§5.1 平面向量的概念及线性运算
3. 共线向量定理
向量a (a ≠0) 与b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b ＝λa .
1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量． (2)|a |与|b |是否相等与a ，b 的方向无关．
( × ) ( √ ) ( × ) ( √ ) ( × )
(3)已知两向量a ，b ，若|a |＝1，|b |＝1，则|a ＋b |＝2.
→1→→
(4)△ABC 中，D 是BC 中点，则AD ＝(AC ＋AB ) ．
2
→→
(5)向量AB 与向量CD 是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上．
(6)当两个非零向量a ，b 共线时，一定有b ＝λa ，反之成立． ( √ )
a b
2．(2012·四川) 设a 、b 都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是( )
|a ||b |A ．a ＝－b C ．a ＝2b
B ．a ∥b
D ．a ∥b 且|a |＝|b |
答案 C
a b
解析 a 表示与b 同向的单位向量，只要
a 与b 同向，就有
|a ||b |a b
＝，观察选项易知C 满足题意． |a ||b |
→→→
3．已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边的中点，且2OA ＋OB ＋OC ＝0，那么( )
→→→→A. AO ＝OD B. AO ＝2OD →→→→C. AO ＝3OD D ．2AO ＝OD 答案 A
→→→→→解析 由2OA ＋OB ＋OC ＝0可知，O 是底边BC 上的中线AD 的中点，故AO ＝OD .
→→→→→
4．已知D 为三角形ABC 边BC 的中点，点P 满足P A ＋BP ＋CP ＝0，AP ＝λPD ，则实数λ的值为________． 答案 －2
→→→→→
解析 如图所示，由AP ＝λPD ，且P A ＋BP ＋CP ＝0，则P 是以AB 、AC 为邻边的平行四
→→
边形的第四个顶点，因此AP ＝－2PD ，则λ＝－2.
→→→
5．设a 、b 是两个不共线向量，AB ＝2a ＋p b ，BC ＝a ＋b ，CD ＝a －2b ，若A 、B 、D 三点共线，则实数p 的值为________．
答案 －1
→→→
解析 ∵BD ＝BC ＋CD ＝2a －b ，又A 、B 、D 三点共线，
⎪2＝2λ→→⎧
∴存在实数λ，使AB ＝λBD . 即⎨，∴p ＝－
1.
⎪p ＝－λ⎩
题型一 平面向量的概念辨析 例1 给出下列命题：
→→
①若|a |＝|b |，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB ＝DC 是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b . 其中正确命题的序号是________．
思维启迪 正确理解向量的概念，向量共线和点共线的区别，向量相等的定义是解题关键． 答案 ②③
解析 ①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同．
→→→→→→
②正确．∵AB ＝DC ，∴|AB |＝|DC |且AB ∥DC ，
又∵A ，B ，C ，D 是不共线的四点，∴四边形ABCD 为平行四边形；反之，若四边形ABCD
→→→→→→→→
为平行四边形，则AB ∥DC 且|AB |＝|DC |，因此，AB ＝DC . 故“AB ＝DC ”是“四边形ABCD 为平行四边形”的充要条件．
③正确．∵a ＝b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同；又b ＝c ， ∴b ，c 的长度相等且方向相同， ∴a ，c 的长度相等且方向相同，故a ＝c .
④不正确．当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，故“|a |＝|b |且a ∥b ”不是“a ＝b ”的充要条件，而是必要不充分条件． 综上所述，正确命题的序号是②③.
思维升华 (1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性． (2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．
(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象的移动混为一谈．
a a
(4)非零向量a 与是a 方向上的单位向量．
|a||a|
给出下列命题：
①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量． ②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小． ③λa ＝0(λ为实数) ，则λ必为零．
④λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线． 其中错误命题的个数为 A ．1 答案 C
解析 ①错误．两向量共线要看其方向而不是起点与终点．
②正确．因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小．
③错误．当a ＝0时，不论λ为何值，λa ＝0.
④错误．当λ＝μ＝0时，λa ＝μb ，此时，a 与b 可以是任意向量． 题型二 平面向量的线性运算
例2 (1)如图，正方形ABCD 中，点E 是
( )
B ．2 C ．3 D ．4
→
DC 的中点，点F 是BC 的一个三等分点，那么EF 等于 1→1→A. AB －AD 231→1→＋ 421→1→＋ 321→2→D. AB －AD 23
→→→→→
(2)在△ABC 中，AB ＝c ，AC ＝b ，若点D 满足BD ＝2DC ，则AD 等于 2152A. b ＋c －b 33332112－c D. ＋c 3333
( )
( )
思维启迪 结合图形性质，准确灵活运用三角形法则和平行四边形法则是向量加减法运算的关键．
答案 (1)D (2)A
→→→解析 (1)在△CEF 中，有EF ＝EC ＋CF .
→1→
因为点E 为DC 的中点，所以EC ＝DC .
2
→2→
因为点F 为BC 的一个三等分点，所以CF ＝CB .
3
→1→2→1→2→所以EF ＋CB ＝AB ＋DA
2323
1→2→
＝AB －AD ，故选D. 23→→→→→→→→(2)∵BD ＝2DC ，∴AD －AB ＝BD ＝2DC ＝2(AC －AD ) ，
→→→∴3AD ＝2AC ＋AB ，
→2→1→21∴AD ＝＋＝＋c .
3333
思维升华 (1)解题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化．
(2)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果．
→→
(1)已知O ，A ，B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足2AC ＋CB ＝0，
→
则OC 等于
→→
A ．2OA －OB 2→1→
－OB 33
→→
B ．－OA ＋2OB
1→2→
D ．－＋OB
33→→→
(2)设P 是△ABC 所在平面内的一点，BC ＋BA ＝2BP ，则 →→→→A. P A ＋PB ＝0 B. PC ＋P A ＝0 →→→→→C. PB ＋PC ＝0 D. P A ＋PB ＋PC ＝0
( )
( )
答案 (1)A (2)B
→→→→→→
解析 (1)由2AC ＋CB ＝0得2AO ＋2OC ＋CO ＋OB ＝0， →→→→→∴OC ＝－2AO －OB ＝2OA －OB .
→→→
(2)如图，根据向量加法的几何意义有BC ＋BA ＝2BP ⇔P 是AC 的中点，→→
故P A ＋PC ＝0.
题型三 共线向量定理及应用
例3 设两个非零向量a 与b 不共线，
→→→
(1)若AB ＝a ＋b ，BC ＝2a ＋8b ，CD ＝3(a －b ) ，求证：A 、B 、D 三点共线； (2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．
思维启迪 解决点共线或向量共线的问题，要结合向量共线定理进行．
→→→
(1)证明 ∵AB ＝a ＋b ，BC ＝2a ＋8b ，CD ＝3(a －b ) ， →→→
∴BD ＝BC ＋CD ＝2a ＋8b ＋3(a －b )
→
＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b ) ＝5AB . →→
∴AB 、BD 共线，又∵它们有公共点B ， ∴A 、B 、D 三点共线． (2)解 ∵k a ＋b 与a ＋k b 共线， ∴存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b ) ， 即k a ＋b ＝λa ＋λkb . ∴(k －λ) a ＝(λk－1) b . ∵a 、b 是不共线的两个非零向量，
∴k －λ＝λk－1＝0，∴k 2－1＝0. ∴k ＝±1.
思维升华 (1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．
(2)向量a 、b 共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a ＋λ2b ＝0成立，若λ1a ＋λ2b ＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，否则向量a 、b 不共线．
(1)在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE
→→→
的延长线与CD 交于点F ，若AC ＝a ，BD ＝b ，则AF 等于 ( ) 1121A. a ＋b ＋b 42331112＋b D. ＋b 2433
3→→
(2)在△ABC 中，sin A ＝，AB ·AC ＝8，则△ABC 的面积为 ( )
5
12
A ．3 B ．4 C ．6 D.
5答案 (1)B (2)A
→→→
解析 (1)如图，AF ＝AD ＋DF ，由题意知，
DE ∶BE ＝1∶3＝DF ∶AB ， →1→∴DF ＝，
3
11121→11
∴AF ＝a ＋b ＋(a ) ＝＋b .
2232233→→→→(2)∵AB ·AC ＝|A B |·|A C |·cos A ＝8>0，
→→
由于|AB |>0，|AC |>0，故cos A >0，
4851→→→→
∴cos A ＝1－sin A ＝1－(2＝∴|AB |·|AC |＝＝8×10，∴S △ABC ＝AB |·|AC |·sin
55cos A 42
13
A ＝10△ABC 的面积为3.
25
方程思想在平面向量的线性运算中的应用
典例：
→1→→1→
(12分) 如图所示，在△ABO 中，OC ＝OA ，OD ＝OB ，AD 与BC 相交于
42
→→→
点M ，设OA ＝a ，OB ＝b . 试用a 和b 表示向量OM .
思维启迪 (1)用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本要领，要尽可能地转化到平行四边形或三角形中去．
→→
(2)既然OM 能用a 、b 表示，那我们不妨设出OM ＝m a ＋n b
.
(3)利用向量共线建立方程，用方程的思想求解． 规范解答
→
解 设OM ＝m a ＋n b ， →→→
则AM ＝OM －OA ＝m a ＋n b －a ＝(m －1) a ＋n b .
1→→→1→→
AD ＝OD －OA ＝OB －OA ＝－a ＋b . [3分]
22
→→
又∵A 、M 、D 三点共线，∴AM 与AD 共线．
→→
∴存在实数t ，使得AM ＝tAD ，
1
－a ＋⎫. [5分] 即(m －1) a ＋n b ＝t ⎛2⎭⎝
1
∴(m －1) a ＋n b ＝－t a ＋b .
2m －1＝－t ⎧⎪∴⎨，消去t 得，m －1＝－2n ， t ⎪⎩n 2即m ＋2n ＝1. ① [7分]
11→→→
m －⎫a ＋n b ， 又∵CM ＝OM －OC ＝m a ＋n b －a ＝⎛4⎭4⎝
11→→→
CB ＝OB －OC ＝b －a ＋b .
44
→→
又∵C 、M 、B 三点共线，∴CM 与CB 共线．[10分]
→→
∴存在实数t 1，使得CM ＝t 1CB ，
11
m －⎫a ＋n b ＝t 1⎛－a ＋b ⎫， ∴⎛4⎭⎝⎝4⎭
11⎧⎪m －4＝－4t 1
∴⎨，消去t 得，4m ＋n ＝1. ②
⎪⎩n ＝t 1
1
13→13
由①②得m ＝n ＝∴OM ＝a . [12分]
7777
温馨提醒 (1)本题考查了向量的线性运算，知识要点清楚，但解题过程复杂，有一定的难度．(2)易错点是，找不到问题的切入口，想不到利用待定系数法求解．(3)数形结合思想是向量加法、减法运算的核心，向量是一个几何量，是有“形”的量，因此在解决向量有关问题时，多数习题要结合图形进行分析、判断、求解，这是研究平面向量最重要的方法与技巧．如本题易忽视A 、M 、D 三点共线和B 、M 、C 三点共线这个几何特征．(4)方程思想是解决本题的关键，要注意体会
.
方法与技巧
1．向量的线性运算要满足三角形法则和平行四边形法则，做题时，要注意三角形法则与平行四边形法则的要素．向量加法的三角形法则要素是“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则要素是“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则要素是“起点重合”．
→→
2．可以运用向量共线证明线段平行或三点共线．如AB ∥CD 且AB 与CD 不共线，则AB ∥CD ；
→→
若AB ∥BC ，则A 、B 、C 三点共线． 失误与防范
1．解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件．要特别注意零向量的特殊性．
2．在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误
.
A 组 专项基础训练 (时间：40分钟)
一、选择题
1．下列命题中正确的是
( )
A ．a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 也共线
B ．任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四个顶点 C ．向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量 D ．有相同起点的两个非零向量不平行 答案 C
解析 由于零向量与任一向量都共线，所以A 不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，所以B 不正确；向量的平行只要求方向相同或相反，与起点是否相同无关，所以D 不正确；对于C ，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题入手来考虑，假设a 与b 不都是非零向量，即a 与b 中至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可知a 与b 共线，符合已知条件，所以有向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量，故选C.
→→→
2．已知AB ＝a ＋2b ，BC ＝－5a ＋6b ，CD ＝7a －2b ，则下列一定共线的三点是 A ．A 、B 、C C ．B 、C 、D
B ．A 、B 、D D ．A 、C 、D
( )
答案 B
→→→→→→
解析 BD ＝BC ＋CD ＝2a ＋4b ＝2AB ⇒BD ∥AB ⇒A 、B 、D 三点共线．
→→→→→→
3．已知△ABC 和点M 满足MA ＋MB ＋MC ＝0，若存在实数m 使得AB ＋AC ＝mAM 成立，则m 等于 A ．2 答案 B
→→→
解析 由已知条件得MB ＋MC ＝－MA .
如图，因此延长AM 交BC 于D 点，则D 为BC 的中点．延长BM 交 AC 于E 点，延长CM 交AB 于F 点，同理可证E 、F 分别为AC 、
AB
( )
B ．3 C ．4 D ．5
的中点，即M 为△ABC 的重心． →2→1→→→→→
AM ＝AD (AB ＋AC ) ，即AB ＋AC ＝3AM ，则m ＝3.
33
→→→
4．已知点O 为△ABC 外接圆的圆心，且OA ＋OB ＋OC ＝0，则△ABC 的内角A 等于( ) A ．30° B ．60° C ．90° D ．120° 答案 B
→→→
解析 由OA ＋OB ＋OC ＝0，知点O 为△ABC 的重心， 又O 为△ABC 外接圆的圆心， ∴△ABC 为等边三角形，A ＝60°.
→5．在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝60°，AD 为BC 边上的高，O 为AD 的中点，若AO
→→
＝λAB ＋μBC ，则λ＋μ等于 ( )
112
A ．1 C. D.
233答案 D
→→→→1→
解析 AD ＝AB ＋BD ＝AB ，
3
→→1→→1→1→2AO ＝AB ＋，即AO AB BC .
326112
故λ＋μ.
263二、填空题
→→→
6．设向量e 1，e 2不共线，AB ＝3(e 1＋e 2) ，CB ＝e 2－e 1，CD ＝2e 1＋e 2，给出下列结论：①A ，B ，C 共线；②A ，B ，D 共线；③B ，C ，D 共线；④A ，C ，D 共线，其中所有正确结论的序号为________．
答案 ④
→→→→→→
解析 AC ＝AB －CB ＝4e 1＋2e 2，BD ＝CD －CB ＝3e 1，
由向量共线的充要条件b ＝λa (a ≠0) 可得A ，C ，D 共线，而其他λ无解．
→→→→→
7．在▱ABCD 中，AB ＝a ，AD ＝b ，AN ＝3NC ，M 为BC 的中点，则MN ＝____________.(用a ，b 表示)
11
答案 ＋b
44→→→3→3
解析 由AN ＝3NC 得AN ＝AC ＝(a ＋b ) ，
44
1→→→→
AM ＝a b ，所以MN ＝AN －AM
2
1311a ＋b ⎫＝－a ＋. ＝a ＋b ) －⎛⎝2⎭444
→→→1→→
8．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD ＝2DB ，CD ＝CA ＋λCB ，则λ＝________.
3
2答案
3
→→→
解析 由图知CD ＝CA ＋AD ，① →→→
CD ＝CB ＋BD ，②
→→
且AD ＋2BD ＝0.
→→→
①＋②×2得：3CD ＝CA ＋2CB ，
2→1→2→
∴CD ＝CA ＋CB ，∴λ＝.
333三、解答题
9．已知向量a ＝2e 1－3e 2，b ＝2e 1＋3e 2，其中e 1、e 2不共线，向量c ＝2e 1－9e 2. 问是否存在这样的实数λ、μ，使向量d ＝λa ＋μb 与c 共线？ 解 ∵d ＝λ(2e 1－3e 2) ＋μ(2e 1＋3e 2) ＝(2λ＋2μ) e 1＋(－3λ＋3μ) e 2，
要使d 与c 共线，则应有实数k ，使d ＝k c ， 即(2λ＋2μ) e 1＋(－3λ＋3μ) e 2＝2k e 1－9k e 2， 即⎧⎪⎨2λ＋2
μ＝2k ，⎪⎩
－3λ＋3μ＝－9k ，
得λ＝－2μ. 故存在这样的实数λ、μ，只要λ＝－2μ，就能使d 与c 共线．
10. 如图所示，在△ABC 中，D 、F 分别是BC 、AC 的中点，AE →＝2→
3
AD ， AB →＝a ，AC →
＝b .
(1)用a 、b 表示向量AD →，AE →，AF →，BE →，BF →
； (2)求证：B ，E ，F 三点共线． (1)解
延长AD 到G ，使AD →＝1→
2
，
连接BG ，CG ，得到▱ABGC ，所以AG →
＝a ＋b ， AD →＝12→＝1
2(a ＋b ) ，
AE →＝23AD →＝1
3a ＋b ) ，
AF →＝1→2AC ＝12
，
BE →＝AE →－AB →1
3(a ＋b ) －a ＝13
(b －2a ) ．
BF →＝AF →－AB →1
12b －a ＝2
(b －2a ) ．
(2)证明 由(1)可知BE →＝2→
3BF ，
因为有公共点B ，所以B ，E ，F 三点共线．
B 组 专项能力提升
(时间：30分钟)
→→→1．设O 在△ABC 的内部，D 为AB 的中点，且OA ＋OB ＋2OC ＝0，则△ABC 的面积与△AOC
的面积的比值为 ( )
A ．3 B ．4 C ．5 D ．6
答案 B
解析
∵D 为AB 的中点，
则OD →＝12(OA →＋OB →) ，
又OA →＋OB →＋2OC →＝0，∴OD →＝－OC →，
∴O 为CD 的中点，
又∵D 为AB 中点，∴S 11△AOC ＝2S △ADC ＝4△ABC ，
则S △ABC
S 4.
△AOC
2．O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足：OP →＝OA →＋λ ⎛ AB →
AC →⎫，λ∈[0，＋∞) ，则P 的轨迹一定通过△ABC
⎝|AB →||AC →的 (
|⎭
A ．外心 B ．内心
C ．重心 D ．垂心
答案 B
解析
作∠BAC 的平分线AD .
∵OP →＝OA →＋λ⎛ AB →→
⎝|AB →AC ⎫，
||AC →|⎭
∴AP →＝λ⎛ AB →
AC →⎫
⎝
|AB →||AC →|⎪⎭
→
＝λ′AD (λ′∈[0，＋∞)) ，
|AD →|
∴AP →＝λ′·AD →，∴AP →∥AD →.
|AD →|
∴P 的轨迹一定通过△ABC 的内心．
)
3. 如图所示，在△ABC 中，点O 是BC 的中点．过点O 的直线分别交直线
→→→→AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB ＝mAM ，AC ＝nAN ，则m ＋n 的值
为________．
答案 2
解析 ∵O 是BC 的中点，
→1→→∴AO ＝(AB ＋AC ) ． 2
→→→→→m →n →又∵AB ＝mAM ，AC ＝nAN ，∴AO ＝AM ＋. 22
m n ∵M ，O ，N 三点共线，∴＋1. 则m ＋n ＝2. 22
14．设a ，b 是两个不共线的非零向量，若a 与b 起点相同，t ∈R ，t 为何值时，a ，t b a ＋3
b ) 三向量的终点在一条直线上？
→→→1解 设OA ＝a ，OB ＝t b ，OC ＝(a ＋b ) ． 3
→→若A ，B ，C 三点共线，则有AB ＝λAC ，
→→→→∴OB －OA ＝λ(OC －OA ) ，
1∴t b －a ＝λ[(a ＋b ) －a ]． 3
21化简整理得，(λ－1) a ＝(λ－t ) b ， 33
∵a 与b 不共线，由平面向量基本定理得
31λ＝t ＝. 22
11故当t ＝时，a ，t b ，(a ＋b ) 三向量的终点在一条直线上． 23
→→→5．已知O ，A ，B 是不共线的三点，且OP ＝mOA ＋nOB (m ，n ∈R ) ．
(1)若m ＋n ＝1，求证：A ，P ，B 三点共线；
(2)若A ，P ，B 三点共线，求证：m ＋n ＝1.
证明 (1)若m ＋n ＝1，
→→→→→→则OP ＝mOA ＋(1－m ) OB ＝OB ＋m (OA －OB ) ，
→→→→∴OP －OB ＝m (OA －OB ) ，
→→→→即BP ＝mBA ，∴BP 与BA 共线．
→→又∵BP 与BA 有公共点B ，则A 、P 、B 三点共线，
→→(2)若A ，P ，B 三点共线，则存在实数λ，使BP ＝λBA ，
→→→→∴OP －OB ＝λ(OA －OB ) ．
→→→又OP ＝mOA ＋nOB .
→→→→故有mOA ＋(n －1) OB ＝λOA －λOB ，
→→即(m －λ) OA ＋(n ＋λ－1) OB ＝0.
→→∵O ，A ，B 不共线，∴OA ，OB 不共线，
⎧⎪m －λ＝0，∴⎨∴m ＋n ＝1. ⎪n ＋λ－1＝0，⎩
§5.1 平面向量的概念及线性运算
3. 共线向量定理
向量a (a ≠0) 与b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b ＝λa .
1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量． (2)|a |与|b |是否相等与a ，b 的方向无关．
( × ) ( √ ) ( × ) ( √ ) ( × )
(3)已知两向量a ，b ，若|a |＝1，|b |＝1，则|a ＋b |＝2.
→1→→
(4)△ABC 中，D 是BC 中点，则AD ＝(AC ＋AB ) ．
2
→→
(5)向量AB 与向量CD 是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上．
(6)当两个非零向量a ，b 共线时，一定有b ＝λa ，反之成立． ( √ )
a b
2．(2012·四川) 设a 、b 都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是( )
|a ||b |A ．a ＝－b C ．a ＝2b
B ．a ∥b
D ．a ∥b 且|a |＝|b |
答案 C
a b
解析 a 表示与b 同向的单位向量，只要
a 与b 同向，就有
|a ||b |a b
＝，观察选项易知C 满足题意． |a ||b |
→→→
3．已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边的中点，且2OA ＋OB ＋OC ＝0，那么( )
→→→→A. AO ＝OD B. AO ＝2OD →→→→C. AO ＝3OD D ．2AO ＝OD 答案 A
→→→→→解析 由2OA ＋OB ＋OC ＝0可知，O 是底边BC 上的中线AD 的中点，故AO ＝OD .
→→→→→
4．已知D 为三角形ABC 边BC 的中点，点P 满足P A ＋BP ＋CP ＝0，AP ＝λPD ，则实数λ的值为________． 答案 －2
→→→→→
解析 如图所示，由AP ＝λPD ，且P A ＋BP ＋CP ＝0，则P 是以AB 、AC 为邻边的平行四
→→
边形的第四个顶点，因此AP ＝－2PD ，则λ＝－2.
→→→
5．设a 、b 是两个不共线向量，AB ＝2a ＋p b ，BC ＝a ＋b ，CD ＝a －2b ，若A 、B 、D 三点共线，则实数p 的值为________．
答案 －1
→→→
解析 ∵BD ＝BC ＋CD ＝2a －b ，又A 、B 、D 三点共线，
⎪2＝2λ→→⎧
∴存在实数λ，使AB ＝λBD . 即⎨，∴p ＝－
1.
⎪p ＝－λ⎩
题型一 平面向量的概念辨析 例1 给出下列命题：
→→
①若|a |＝|b |，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB ＝DC 是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b . 其中正确命题的序号是________．
思维启迪 正确理解向量的概念，向量共线和点共线的区别，向量相等的定义是解题关键． 答案 ②③
解析 ①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同．
→→→→→→
②正确．∵AB ＝DC ，∴|AB |＝|DC |且AB ∥DC ，
又∵A ，B ，C ，D 是不共线的四点，∴四边形ABCD 为平行四边形；反之，若四边形ABCD
→→→→→→→→
为平行四边形，则AB ∥DC 且|AB |＝|DC |，因此，AB ＝DC . 故“AB ＝DC ”是“四边形ABCD 为平行四边形”的充要条件．
③正确．∵a ＝b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同；又b ＝c ， ∴b ，c 的长度相等且方向相同， ∴a ，c 的长度相等且方向相同，故a ＝c .
④不正确．当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，故“|a |＝|b |且a ∥b ”不是“a ＝b ”的充要条件，而是必要不充分条件． 综上所述，正确命题的序号是②③.
思维升华 (1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性． (2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．
(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象的移动混为一谈．
a a
(4)非零向量a 与是a 方向上的单位向量．
|a||a|
给出下列命题：
①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量． ②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小． ③λa ＝0(λ为实数) ，则λ必为零．
④λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线． 其中错误命题的个数为 A ．1 答案 C
解析 ①错误．两向量共线要看其方向而不是起点与终点．
②正确．因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小．
③错误．当a ＝0时，不论λ为何值，λa ＝0.
④错误．当λ＝μ＝0时，λa ＝μb ，此时，a 与b 可以是任意向量． 题型二 平面向量的线性运算
例2 (1)如图，正方形ABCD 中，点E 是
( )
B ．2 C ．3 D ．4
→
DC 的中点，点F 是BC 的一个三等分点，那么EF 等于 1→1→A. AB －AD 231→1→＋ 421→1→＋ 321→2→D. AB －AD 23
→→→→→
(2)在△ABC 中，AB ＝c ，AC ＝b ，若点D 满足BD ＝2DC ，则AD 等于 2152A. b ＋c －b 33332112－c D. ＋c 3333
( )
( )
思维启迪 结合图形性质，准确灵活运用三角形法则和平行四边形法则是向量加减法运算的关键．
答案 (1)D (2)A
→→→解析 (1)在△CEF 中，有EF ＝EC ＋CF .
→1→
因为点E 为DC 的中点，所以EC ＝DC .
2
→2→
因为点F 为BC 的一个三等分点，所以CF ＝CB .
3
→1→2→1→2→所以EF ＋CB ＝AB ＋DA
2323
1→2→
＝AB －AD ，故选D. 23→→→→→→→→(2)∵BD ＝2DC ，∴AD －AB ＝BD ＝2DC ＝2(AC －AD ) ，
→→→∴3AD ＝2AC ＋AB ，
→2→1→21∴AD ＝＋＝＋c .
3333
思维升华 (1)解题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化．
(2)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果．
→→
(1)已知O ，A ，B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足2AC ＋CB ＝0，
→
则OC 等于
→→
A ．2OA －OB 2→1→
－OB 33
→→
B ．－OA ＋2OB
1→2→
D ．－＋OB
33→→→
(2)设P 是△ABC 所在平面内的一点，BC ＋BA ＝2BP ，则 →→→→A. P A ＋PB ＝0 B. PC ＋P A ＝0 →→→→→C. PB ＋PC ＝0 D. P A ＋PB ＋PC ＝0
( )
( )
答案 (1)A (2)B
→→→→→→
解析 (1)由2AC ＋CB ＝0得2AO ＋2OC ＋CO ＋OB ＝0， →→→→→∴OC ＝－2AO －OB ＝2OA －OB .
→→→
(2)如图，根据向量加法的几何意义有BC ＋BA ＝2BP ⇔P 是AC 的中点，→→
故P A ＋PC ＝0.
题型三 共线向量定理及应用
例3 设两个非零向量a 与b 不共线，
→→→
(1)若AB ＝a ＋b ，BC ＝2a ＋8b ，CD ＝3(a －b ) ，求证：A 、B 、D 三点共线； (2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．
思维启迪 解决点共线或向量共线的问题，要结合向量共线定理进行．
→→→
(1)证明 ∵AB ＝a ＋b ，BC ＝2a ＋8b ，CD ＝3(a －b ) ， →→→
∴BD ＝BC ＋CD ＝2a ＋8b ＋3(a －b )
→
＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b ) ＝5AB . →→
∴AB 、BD 共线，又∵它们有公共点B ， ∴A 、B 、D 三点共线． (2)解 ∵k a ＋b 与a ＋k b 共线， ∴存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b ) ， 即k a ＋b ＝λa ＋λkb . ∴(k －λ) a ＝(λk－1) b . ∵a 、b 是不共线的两个非零向量，
∴k －λ＝λk－1＝0，∴k 2－1＝0. ∴k ＝±1.
思维升华 (1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．
(2)向量a 、b 共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a ＋λ2b ＝0成立，若λ1a ＋λ2b ＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，否则向量a 、b 不共线．
(1)在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE
→→→
的延长线与CD 交于点F ，若AC ＝a ，BD ＝b ，则AF 等于 ( ) 1121A. a ＋b ＋b 42331112＋b D. ＋b 2433
3→→
(2)在△ABC 中，sin A ＝，AB ·AC ＝8，则△ABC 的面积为 ( )
5
12
A ．3 B ．4 C ．6 D.
5答案 (1)B (2)A
→→→
解析 (1)如图，AF ＝AD ＋DF ，由题意知，
DE ∶BE ＝1∶3＝DF ∶AB ， →1→∴DF ＝，
3
11121→11
∴AF ＝a ＋b ＋(a ) ＝＋b .
2232233→→→→(2)∵AB ·AC ＝|A B |·|A C |·cos A ＝8>0，
→→
由于|AB |>0，|AC |>0，故cos A >0，
4851→→→→
∴cos A ＝1－sin A ＝1－(2＝∴|AB |·|AC |＝＝8×10，∴S △ABC ＝AB |·|AC |·sin
55cos A 42
13
A ＝10△ABC 的面积为3.
25
方程思想在平面向量的线性运算中的应用
典例：
→1→→1→
(12分) 如图所示，在△ABO 中，OC ＝OA ，OD ＝OB ，AD 与BC 相交于
42
→→→
点M ，设OA ＝a ，OB ＝b . 试用a 和b 表示向量OM .
思维启迪 (1)用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本要领，要尽可能地转化到平行四边形或三角形中去．
→→
(2)既然OM 能用a 、b 表示，那我们不妨设出OM ＝m a ＋n b
.
(3)利用向量共线建立方程，用方程的思想求解． 规范解答
→
解 设OM ＝m a ＋n b ， →→→
则AM ＝OM －OA ＝m a ＋n b －a ＝(m －1) a ＋n b .
1→→→1→→
AD ＝OD －OA ＝OB －OA ＝－a ＋b . [3分]
22
→→
又∵A 、M 、D 三点共线，∴AM 与AD 共线．
→→
∴存在实数t ，使得AM ＝tAD ，
1
－a ＋⎫. [5分] 即(m －1) a ＋n b ＝t ⎛2⎭⎝
1
∴(m －1) a ＋n b ＝－t a ＋b .
2m －1＝－t ⎧⎪∴⎨，消去t 得，m －1＝－2n ， t ⎪⎩n 2即m ＋2n ＝1. ① [7分]
11→→→
m －⎫a ＋n b ， 又∵CM ＝OM －OC ＝m a ＋n b －a ＝⎛4⎭4⎝
11→→→
CB ＝OB －OC ＝b －a ＋b .
44
→→
又∵C 、M 、B 三点共线，∴CM 与CB 共线．[10分]
→→
∴存在实数t 1，使得CM ＝t 1CB ，
11
m －⎫a ＋n b ＝t 1⎛－a ＋b ⎫， ∴⎛4⎭⎝⎝4⎭
11⎧⎪m －4＝－4t 1
∴⎨，消去t 得，4m ＋n ＝1. ②
⎪⎩n ＝t 1
1
13→13
由①②得m ＝n ＝∴OM ＝a . [12分]
7777
温馨提醒 (1)本题考查了向量的线性运算，知识要点清楚，但解题过程复杂，有一定的难度．(2)易错点是，找不到问题的切入口，想不到利用待定系数法求解．(3)数形结合思想是向量加法、减法运算的核心，向量是一个几何量，是有“形”的量，因此在解决向量有关问题时，多数习题要结合图形进行分析、判断、求解，这是研究平面向量最重要的方法与技巧．如本题易忽视A 、M 、D 三点共线和B 、M 、C 三点共线这个几何特征．(4)方程思想是解决本题的关键，要注意体会
.
方法与技巧
1．向量的线性运算要满足三角形法则和平行四边形法则，做题时，要注意三角形法则与平行四边形法则的要素．向量加法的三角形法则要素是“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则要素是“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则要素是“起点重合”．
→→
2．可以运用向量共线证明线段平行或三点共线．如AB ∥CD 且AB 与CD 不共线，则AB ∥CD ；
→→
若AB ∥BC ，则A 、B 、C 三点共线． 失误与防范
1．解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件．要特别注意零向量的特殊性．
2．在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误
.
A 组 专项基础训练 (时间：40分钟)
一、选择题
1．下列命题中正确的是
( )
A ．a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 也共线
B ．任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四个顶点 C ．向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量 D ．有相同起点的两个非零向量不平行 答案 C
解析 由于零向量与任一向量都共线，所以A 不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，所以B 不正确；向量的平行只要求方向相同或相反，与起点是否相同无关，所以D 不正确；对于C ，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题入手来考虑，假设a 与b 不都是非零向量，即a 与b 中至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可知a 与b 共线，符合已知条件，所以有向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量，故选C.
→→→
2．已知AB ＝a ＋2b ，BC ＝－5a ＋6b ，CD ＝7a －2b ，则下列一定共线的三点是 A ．A 、B 、C C ．B 、C 、D
B ．A 、B 、D D ．A 、C 、D
( )
答案 B
→→→→→→
解析 BD ＝BC ＋CD ＝2a ＋4b ＝2AB ⇒BD ∥AB ⇒A 、B 、D 三点共线．
→→→→→→
3．已知△ABC 和点M 满足MA ＋MB ＋MC ＝0，若存在实数m 使得AB ＋AC ＝mAM 成立，则m 等于 A ．2 答案 B
→→→
解析 由已知条件得MB ＋MC ＝－MA .
如图，因此延长AM 交BC 于D 点，则D 为BC 的中点．延长BM 交 AC 于E 点，延长CM 交AB 于F 点，同理可证E 、F 分别为AC 、
AB
( )
B ．3 C ．4 D ．5
的中点，即M 为△ABC 的重心． →2→1→→→→→
AM ＝AD (AB ＋AC ) ，即AB ＋AC ＝3AM ，则m ＝3.
33
→→→
4．已知点O 为△ABC 外接圆的圆心，且OA ＋OB ＋OC ＝0，则△ABC 的内角A 等于( ) A ．30° B ．60° C ．90° D ．120° 答案 B
→→→
解析 由OA ＋OB ＋OC ＝0，知点O 为△ABC 的重心， 又O 为△ABC 外接圆的圆心， ∴△ABC 为等边三角形，A ＝60°.
→5．在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝60°，AD 为BC 边上的高，O 为AD 的中点，若AO
→→
＝λAB ＋μBC ，则λ＋μ等于 ( )
112
A ．1 C. D.
233答案 D
→→→→1→
解析 AD ＝AB ＋BD ＝AB ，
3
→→1→→1→1→2AO ＝AB ＋，即AO AB BC .
326112
故λ＋μ.
263二、填空题
→→→
6．设向量e 1，e 2不共线，AB ＝3(e 1＋e 2) ，CB ＝e 2－e 1，CD ＝2e 1＋e 2，给出下列结论：①A ，B ，C 共线；②A ，B ，D 共线；③B ，C ，D 共线；④A ，C ，D 共线，其中所有正确结论的序号为________．
答案 ④
→→→→→→
解析 AC ＝AB －CB ＝4e 1＋2e 2，BD ＝CD －CB ＝3e 1，
由向量共线的充要条件b ＝λa (a ≠0) 可得A ，C ，D 共线，而其他λ无解．
→→→→→
7．在▱ABCD 中，AB ＝a ，AD ＝b ，AN ＝3NC ，M 为BC 的中点，则MN ＝____________.(用a ，b 表示)
11
答案 ＋b
44→→→3→3
解析 由AN ＝3NC 得AN ＝AC ＝(a ＋b ) ，
44
1→→→→
AM ＝a b ，所以MN ＝AN －AM
2
1311a ＋b ⎫＝－a ＋. ＝a ＋b ) －⎛⎝2⎭444
→→→1→→
8．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD ＝2DB ，CD ＝CA ＋λCB ，则λ＝________.
3
2答案
3
→→→
解析 由图知CD ＝CA ＋AD ，① →→→
CD ＝CB ＋BD ，②
→→
且AD ＋2BD ＝0.
→→→
①＋②×2得：3CD ＝CA ＋2CB ，
2→1→2→
∴CD ＝CA ＋CB ，∴λ＝.
333三、解答题
9．已知向量a ＝2e 1－3e 2，b ＝2e 1＋3e 2，其中e 1、e 2不共线，向量c ＝2e 1－9e 2. 问是否存在这样的实数λ、μ，使向量d ＝λa ＋μb 与c 共线？ 解 ∵d ＝λ(2e 1－3e 2) ＋μ(2e 1＋3e 2) ＝(2λ＋2μ) e 1＋(－3λ＋3μ) e 2，
要使d 与c 共线，则应有实数k ，使d ＝k c ， 即(2λ＋2μ) e 1＋(－3λ＋3μ) e 2＝2k e 1－9k e 2， 即⎧⎪⎨2λ＋2
μ＝2k ，⎪⎩
－3λ＋3μ＝－9k ，
得λ＝－2μ. 故存在这样的实数λ、μ，只要λ＝－2μ，就能使d 与c 共线．
10. 如图所示，在△ABC 中，D 、F 分别是BC 、AC 的中点，AE →＝2→
3
AD ， AB →＝a ，AC →
＝b .
(1)用a 、b 表示向量AD →，AE →，AF →，BE →，BF →
； (2)求证：B ，E ，F 三点共线． (1)解
延长AD 到G ，使AD →＝1→
2
，
连接BG ，CG ，得到▱ABGC ，所以AG →
＝a ＋b ， AD →＝12→＝1
2(a ＋b ) ，
AE →＝23AD →＝1
3a ＋b ) ，
AF →＝1→2AC ＝12
，
BE →＝AE →－AB →1
3(a ＋b ) －a ＝13
(b －2a ) ．
BF →＝AF →－AB →1
12b －a ＝2
(b －2a ) ．
(2)证明 由(1)可知BE →＝2→
3BF ，
因为有公共点B ，所以B ，E ，F 三点共线．
B 组 专项能力提升
(时间：30分钟)
→→→1．设O 在△ABC 的内部，D 为AB 的中点，且OA ＋OB ＋2OC ＝0，则△ABC 的面积与△AOC
的面积的比值为 ( )
A ．3 B ．4 C ．5 D ．6
答案 B
解析
∵D 为AB 的中点，
则OD →＝12(OA →＋OB →) ，
又OA →＋OB →＋2OC →＝0，∴OD →＝－OC →，
∴O 为CD 的中点，
又∵D 为AB 中点，∴S 11△AOC ＝2S △ADC ＝4△ABC ，
则S △ABC
S 4.
△AOC
2．O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足：OP →＝OA →＋λ ⎛ AB →
AC →⎫，λ∈[0，＋∞) ，则P 的轨迹一定通过△ABC
⎝|AB →||AC →的 (
|⎭
A ．外心 B ．内心
C ．重心 D ．垂心
答案 B
解析
作∠BAC 的平分线AD .
∵OP →＝OA →＋λ⎛ AB →→
⎝|AB →AC ⎫，
||AC →|⎭
∴AP →＝λ⎛ AB →
AC →⎫
⎝
|AB →||AC →|⎪⎭
→
＝λ′AD (λ′∈[0，＋∞)) ，
|AD →|
∴AP →＝λ′·AD →，∴AP →∥AD →.
|AD →|
∴P 的轨迹一定通过△ABC 的内心．
)
3. 如图所示，在△ABC 中，点O 是BC 的中点．过点O 的直线分别交直线
→→→→AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB ＝mAM ，AC ＝nAN ，则m ＋n 的值
为________．
答案 2
解析 ∵O 是BC 的中点，
→1→→∴AO ＝(AB ＋AC ) ． 2
→→→→→m →n →又∵AB ＝mAM ，AC ＝nAN ，∴AO ＝AM ＋. 22
m n ∵M ，O ，N 三点共线，∴＋1. 则m ＋n ＝2. 22
14．设a ，b 是两个不共线的非零向量，若a 与b 起点相同，t ∈R ，t 为何值时，a ，t b a ＋3
b ) 三向量的终点在一条直线上？
→→→1解 设OA ＝a ，OB ＝t b ，OC ＝(a ＋b ) ． 3
→→若A ，B ，C 三点共线，则有AB ＝λAC ，
→→→→∴OB －OA ＝λ(OC －OA ) ，
1∴t b －a ＝λ[(a ＋b ) －a ]． 3
21化简整理得，(λ－1) a ＝(λ－t ) b ， 33
∵a 与b 不共线，由平面向量基本定理得
31λ＝t ＝. 22
11故当t ＝时，a ，t b ，(a ＋b ) 三向量的终点在一条直线上． 23
→→→5．已知O ，A ，B 是不共线的三点，且OP ＝mOA ＋nOB (m ，n ∈R ) ．
(1)若m ＋n ＝1，求证：A ，P ，B 三点共线；
(2)若A ，P ，B 三点共线，求证：m ＋n ＝1.
证明 (1)若m ＋n ＝1，
→→→→→→则OP ＝mOA ＋(1－m ) OB ＝OB ＋m (OA －OB ) ，
→→→→∴OP －OB ＝m (OA －OB ) ，
→→→→即BP ＝mBA ，∴BP 与BA 共线．
→→又∵BP 与BA 有公共点B ，则A 、P 、B 三点共线，
→→(2)若A ，P ，B 三点共线，则存在实数λ，使BP ＝λBA ，
→→→→∴OP －OB ＝λ(OA －OB ) ．
→→→又OP ＝mOA ＋nOB .
→→→→故有mOA ＋(n －1) OB ＝λOA －λOB ，
→→即(m －λ) OA ＋(n ＋λ－1) OB ＝0.
→→∵O ，A ，B 不共线，∴OA ，OB 不共线，
⎧⎪m －λ＝0，∴⎨∴m ＋n ＝1. ⎪n ＋λ－1＝0，⎩