§5向量空间
一、向量空间的定义
定义：设V 是n 维向量的集合，如果
①集合V 非空，
②集合V 对于向量的加法和乘数两种运算封闭，具体地说，就是：
9若a ∈V ，b ∈V ，则a + b ∈V ．（对加法封闭）9若a ∈V ，l ∈R ，则l a ∈V ．（对乘数封闭）那么就称集合V 为向量空间．
例：下列哪些向量组构成向量空间？
1. n 维向量的全体R n
2. 集合V 1= { (0, x 2, …, x n ) T | x 2, …, x n ∈R }
3. 齐次线性方程组的解集S 1= { x | Ax = 0 }
4. 非齐次线性方程组的解集S 2= { x | Ax = b }
解：集合R n ，V 1，S 1 是向量空间，
集合S 2 不是向量空间．
定义：把集合
L = {λ a + μ b | λ, μ ∈R }
称为由向量a , b 所生成的向量空间．
一般地，把集合
L = {λ1a 1+ λ2a 2+ …+ λm a m | λ1, λ2, ...,λm ∈R }
称为由向量a 1, a 2, ...,a m 所生成的向量空间．
例3：设向量组a 1, a 2, ...,a m 和b 1, b 2, ...,b s 等价，记
L 1= { λ1a 1+ λ2a 2+ …+ λm a m | λ1, λ2, ...,λm ∈R }，L 2= { μ1b 1+ μ2b 2+ …+ μs b s | μ1, μ2, ...,μs ∈R }，试证L 1=L 2 ．
结论：等价的向量组所生成的空间相等．
二、向量空间的基与维数
定义：设有向量空间V ，如果在V 中能选出r 个向
量α1, α2, L , αr ，满足
①α1, α2, L , αr 线性无关；
②V 中任意一个向量都能由α1, α2, L , αr 线性表示；那么称向量组α1, α2, L , αr 是向量空间V 的一个基．r 称为向量空间V 的维数，并称V 为r 维向量空间．
向量空间
向量空间的基
向量空间的维数向量组向量组的最大无关组向量组的秩
定理3.3：若向量空间V的维数为r，则V中任意r个线性无关的向量都是V的基
4. 由a 1, a 2, ...,a m 所生成的向量空间
L = { λ1a 1+ λ2a 2+ …+ λm a m | λ1, λ2, ...,λm ∈R }•若a 1, a 2, ...,a m 线性无关，则
a 1, a 2, ...,a m 是向量空间L 的一个基．
•若a 1, a 2, ...,a m 线性相关，则
向量组A ：a 1, a 2, ...,a m
等价于
从而向量组A 的最大无关组A 0：a 1, a 2, ...,a r L =L 1= { λ1a 1+ λ2a 2+ …+ λr a r | λ1, λ2, ...,λr ∈R }故向量组A 0 就是L 的一个基，A 0中向量的个数就是L 的维数.
三、基变换与坐标变换
定义：如果在向量空间V 中取定一个基α1, α2, L , αr ，那么V 中任意一个向量α可唯一表示为
α=x 1α1+x 2α2+L x r αr
(x 1, x 2, L , x r ) 称为向量α在基α1, α2, L , αr 中的坐标向量，简称
坐标．
⎛b 1⎞⎛1⎞⎛0⎞⎛0⎞⎛0⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟b 01002⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟b =⎜b 3⎟=b 1⎜0⎟+b 2⎜0⎟+b 3⎜1⎟L +b n ⎜0⎟
⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜M ⎟⎜M ⎟⎜M ⎟⎜M ⎟⎜M ⎟
⎜0⎟⎜0⎟⎜0⎟⎜1⎟⎜b ⎟
⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝n ⎠
⎛1
⎜0⎜E n =⎜0
⎜⎜M ⎜0⎝
00L 0⎞
⎟
10L 0⎟01L 0⎟
⎟
M M M ⎟00L 1⎟⎠
n 阶单位矩阵E n 的列向量叫做n 维单位坐标向量．n 阶单位矩阵E n 的列向量组称为R n 的自然基．
⎛0⎞⎛1⎞⎛1⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟
例4：设α1=⎜1⎟, α2=⎜0⎟, α3=⎜1⎟
⎜1⎟⎜1⎟⎜0⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠
α1, α2, α3是R 3的一个基(1)证明:
(2)求α=(3,4,5)在α1, α2, α3
T
下的坐标。
结论：同一个向量在不同基中的坐标是不同的．
α, α, L , αβ, β, L , β12r 12r 是r 维空间V 的两组基，定义：设和
且
⎧β1=c 11α1+c 21α2+L +c r 1αr ⎪
⎪β2=c 12α1+c 22α2+L +c r 2αr
(1),即⎨
⎪L ⎪⎩βr =c 1r α1+c 2r α2+L +c rr αr
c 12L c 1r ⎞
⎟c 22L c 2r ⎟
=（α1，L ，αr ）C ,(2)
L L L ⎟
⎟
c r 2L c rr ⎠
⎛c 11⎜c 21⎜=（α1，（β1，L ，βr ）L ，αr ）⎜L ⎜⎝c r 1
称(1)(2)为基变换公式，称C =(c ij ) r ×r 是从基α1, α2, L , αr
到β1, β2, L , βr 过渡矩阵。
定理：设向量空间V 中向量α在基α1, α2, L , αr 和β1, β2, L , βr 下的坐标分别为(x 1, x 2, L , x r ) 与(x , x , L , x ) ，且满足(2)式，则有坐标变换公式
T
' 1
' 2
' T r
⎛x ⎞⎛x 1⎞⎜⎟⎜x ⎟x ⎜⎟=C −1⎜2⎟⎜M ⎟⎜M ⎟⎜' ⎟⎜⎟
⎝x r ⎠⎝x r ⎠
'
1' 2
例5：设的两组基
α1=(1,0, −1) , α2=(2,1,1), α3=(1,1,1)
T
T
T T T T
β1=(0,1,1), β2=(−1,1, 0) , β3=(1,2,1)
(1)求从α1, α2, α3到β1, β2, β3
的过渡矩阵C;
(2)求α=α1+2α2−3α3在β1, β2, β3
下的坐标。
§5向量空间
一、向量空间的定义
定义：设V 是n 维向量的集合，如果
①集合V 非空，
②集合V 对于向量的加法和乘数两种运算封闭，具体地说，就是：
9若a ∈V ，b ∈V ，则a + b ∈V ．（对加法封闭）9若a ∈V ，l ∈R ，则l a ∈V ．（对乘数封闭）那么就称集合V 为向量空间．
例：下列哪些向量组构成向量空间？
1. n 维向量的全体R n
2. 集合V 1= { (0, x 2, …, x n ) T | x 2, …, x n ∈R }
3. 齐次线性方程组的解集S 1= { x | Ax = 0 }
4. 非齐次线性方程组的解集S 2= { x | Ax = b }
解：集合R n ，V 1，S 1 是向量空间，
集合S 2 不是向量空间．
定义：把集合
L = {λ a + μ b | λ, μ ∈R }
称为由向量a , b 所生成的向量空间．
一般地，把集合
L = {λ1a 1+ λ2a 2+ …+ λm a m | λ1, λ2, ...,λm ∈R }
称为由向量a 1, a 2, ...,a m 所生成的向量空间．
例3：设向量组a 1, a 2, ...,a m 和b 1, b 2, ...,b s 等价，记
L 1= { λ1a 1+ λ2a 2+ …+ λm a m | λ1, λ2, ...,λm ∈R }，L 2= { μ1b 1+ μ2b 2+ …+ μs b s | μ1, μ2, ...,μs ∈R }，试证L 1=L 2 ．
结论：等价的向量组所生成的空间相等．
二、向量空间的基与维数
定义：设有向量空间V ，如果在V 中能选出r 个向
量α1, α2, L , αr ，满足
①α1, α2, L , αr 线性无关；
②V 中任意一个向量都能由α1, α2, L , αr 线性表示；那么称向量组α1, α2, L , αr 是向量空间V 的一个基．r 称为向量空间V 的维数，并称V 为r 维向量空间．
向量空间
向量空间的基
向量空间的维数向量组向量组的最大无关组向量组的秩
定理3.3：若向量空间V的维数为r，则V中任意r个线性无关的向量都是V的基
4. 由a 1, a 2, ...,a m 所生成的向量空间
L = { λ1a 1+ λ2a 2+ …+ λm a m | λ1, λ2, ...,λm ∈R }•若a 1, a 2, ...,a m 线性无关，则
a 1, a 2, ...,a m 是向量空间L 的一个基．
•若a 1, a 2, ...,a m 线性相关，则
向量组A ：a 1, a 2, ...,a m
等价于
从而向量组A 的最大无关组A 0：a 1, a 2, ...,a r L =L 1= { λ1a 1+ λ2a 2+ …+ λr a r | λ1, λ2, ...,λr ∈R }故向量组A 0 就是L 的一个基，A 0中向量的个数就是L 的维数.
三、基变换与坐标变换
定义：如果在向量空间V 中取定一个基α1, α2, L , αr ，那么V 中任意一个向量α可唯一表示为
α=x 1α1+x 2α2+L x r αr
(x 1, x 2, L , x r ) 称为向量α在基α1, α2, L , αr 中的坐标向量，简称
坐标．
⎛b 1⎞⎛1⎞⎛0⎞⎛0⎞⎛0⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟b 01002⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟b =⎜b 3⎟=b 1⎜0⎟+b 2⎜0⎟+b 3⎜1⎟L +b n ⎜0⎟
⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜M ⎟⎜M ⎟⎜M ⎟⎜M ⎟⎜M ⎟
⎜0⎟⎜0⎟⎜0⎟⎜1⎟⎜b ⎟
⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝n ⎠
⎛1
⎜0⎜E n =⎜0
⎜⎜M ⎜0⎝
00L 0⎞
⎟
10L 0⎟01L 0⎟
⎟
M M M ⎟00L 1⎟⎠
n 阶单位矩阵E n 的列向量叫做n 维单位坐标向量．n 阶单位矩阵E n 的列向量组称为R n 的自然基．
⎛0⎞⎛1⎞⎛1⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟
例4：设α1=⎜1⎟, α2=⎜0⎟, α3=⎜1⎟
⎜1⎟⎜1⎟⎜0⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠
α1, α2, α3是R 3的一个基(1)证明:
(2)求α=(3,4,5)在α1, α2, α3
T
下的坐标。
结论：同一个向量在不同基中的坐标是不同的．
α, α, L , αβ, β, L , β12r 12r 是r 维空间V 的两组基，定义：设和
且
⎧β1=c 11α1+c 21α2+L +c r 1αr ⎪
⎪β2=c 12α1+c 22α2+L +c r 2αr
(1),即⎨
⎪L ⎪⎩βr =c 1r α1+c 2r α2+L +c rr αr
c 12L c 1r ⎞
⎟c 22L c 2r ⎟
=（α1，L ，αr ）C ,(2)
L L L ⎟
⎟
c r 2L c rr ⎠
⎛c 11⎜c 21⎜=（α1，（β1，L ，βr ）L ，αr ）⎜L ⎜⎝c r 1
称(1)(2)为基变换公式，称C =(c ij ) r ×r 是从基α1, α2, L , αr
到β1, β2, L , βr 过渡矩阵。
定理：设向量空间V 中向量α在基α1, α2, L , αr 和β1, β2, L , βr 下的坐标分别为(x 1, x 2, L , x r ) 与(x , x , L , x ) ，且满足(2)式，则有坐标变换公式
T
' 1
' 2
' T r
⎛x ⎞⎛x 1⎞⎜⎟⎜x ⎟x ⎜⎟=C −1⎜2⎟⎜M ⎟⎜M ⎟⎜' ⎟⎜⎟
⎝x r ⎠⎝x r ⎠
'
1' 2
例5：设的两组基
α1=(1,0, −1) , α2=(2,1,1), α3=(1,1,1)
T
T
T T T T
β1=(0,1,1), β2=(−1,1, 0) , β3=(1,2,1)
(1)求从α1, α2, α3到β1, β2, β3
的过渡矩阵C;
(2)求α=α1+2α2−3α3在β1, β2, β3
下的坐标。