一、层次分析法
层次分析法[1] (analytic hierarchy process ，AHP ) 是美国著名的运筹学家T ．L ．Saaty 教授于20世纪70年代初首先提出的一种定性与定量分析相结合的多准则决策方法[2，3，4]．该方法是社会、经济系统决策的有效工具，目前在工程计划、资源分配、方案排序、政策制定、冲突问题、性能评价等方面都有广泛的应用． (一) 层次分析法的基本原理
层次分析法的核心问题是排序，包括递阶层次结构原理、测度原理和排序原理．下面分别予以介绍． 1． 递阶层次结构原理
一个复杂的结构问题可以分解为它的组成部分或因素，即目标、准则、方案等．每一个因素称为元素．按照属性的不同把这些元素分组形成互不相交的层次，上一层的元素对相邻的下一层的全部或部分元素起支配作用，形成按层次自上而下的逐层支配关系．具有这种性质的层次称为递阶层次．
2． 测度原理
决策就是要从一组已知的方案中选择理想方案，而理想方案一般是在一定的准则下通过使效用函数极大化而产生的．然而对于社会、经济系统的决策模型来说，常常难以定量测度．因此，层次分析法的核心是决策模型中各因素的测度化．
3． 排序原理
层次分析法的排序问题，实质上是一组元素两两比较其重要性，计算元素相对重要性的测度问题． (二) 层次分析法的基本步骤
[5]
层次分析法的基本思路与人对一个复杂的决策问题的思维、判断过程大体上是一致的[1]． 1． 成对比较矩阵和权向量
为了能够尽可能地减少性质不同的诸因素相互比较的困难，提高结果的准确度．T ．L ．Saaty 等人的作法，一是不把所有因素放在一起比较，而是两两相互对比，二是对比时采用相对尺度．
假设要比较某一层n 个因素C 1, , C n 对上层一个因素O 的影响，每次取两个因素C i 和C j ，用a ij 表示C i 和C j 对O 的影响之比，全
A =(a ij )
n ⨯n
部比
1a ij
较结果可用成对比较阵
, a ij >0, a ji =
表示，A 称为正互反矩阵．
一般地，如果一个正互反阵A 满足：
a ij ⋅a jk =a ik , i , j , k =1, 2, , n
（1）
则A 称为一致性矩阵，简称一致阵．容易证明n 阶一致阵A 有下列性质： ①A 的秩为1，A 的唯一非零特征根为n ；
②A 的任一列向量都是对应于特征根n 的特征向量．
如果得到的成对比较阵是一致阵，自然应取对应于特征根n 的、归一化的特征向量（即分量之和为1）表示诸因素C 1, , C n 对上层因素O 的权重，这个向量称为权向量．如果成对比较阵A 不是一致阵，但在不一致的容许范围内，用对应于A 最大特征根(记作λ) 的特征向量（归一化后）作为权向量w ，即w 满足：
Aw =λw （2）
直观地看，因为矩阵A 的特征根和特征向量连续地依赖于矩阵的元素a ij ，所以当a ij 离一致性的要求不远时, A 的特征根和特
征向量也与一致阵的相差不大．（2）式表示的方法称为由成对比较阵求权向量的特征根法．
2． 比较尺度
当比较两个可能具有不同性质的因素C i 和C j 对于一个上层因素O 的影响时，采用Saaty 等人提出的1-9尺度，即a ij 的取值范围是1, 2, , 9及其互反数1, 12, , ．
3． 一致性检验
成对比较阵通常不是一致阵，但是为了能用它的对应于特征根λ的特征向量作为被比较因素的权向量，其不一致程度应在容许范围内．
若已经给出n 阶一致阵的特征根是n ，则n 阶正互反阵A 的最大特征根λ≥n ，而当λ=n 时A 是一致阵．所以λ比n 大得越多，
A
的不一致程度越严重，用特征向量作为权向量引起的判断误差越大．因而可以用λ-n 数值的大小衡量A 的不一致程度．Saaty
将
C I =
λ-n
n -1
(3)
定义为一致性指标．C I =0时A 为一致阵；C I 越大A 的不一致程度越严重．注意到A 的n 个特征根之和恰好等于n ，所以C I 相当于除λ外其余n -1个特征根的平均值．
为了确定A 的不一致程度的容许范围，需要找到衡量A 的一致性指标C I 的标准，又引入所谓随机一致性指标R I ，计算R I 的过程是：对于固定的n ，随机地构造正互反阵A '，然后计算A '的一致性指标C I ．
表1 随机一致性指标R I 的数值
表中n =1, 2时R I =0，是因为1, 2阶的正互反
阵总是一致阵．
对于n ≥3的成对比较阵A ，将它的一致性指标C I 与同阶（指n 相同）的随机一致性指标R I 之比称为一致性比率C R ，当
C R =
C I R I
时认为A 的不一致程度在容许范围之内，可用其特征向量作为权向量．
对于A 利用(3)，(4)式和表1进行检验称为一致性检验．当检验不通过时，要重新进行成对比较，或对已有的A 进行修正． 4． 组合权向量
由各准则对目标的权向量和各方案对每一准则的权向量，计算各方案对目标的权向量，称为组合权向量．一般地，若共有s 层，则第k 层对第一层（设只有1个因素）的组合权向量满足：
w
(k )
=W
(k )
w
(k -1)
, k =3, 4 , s
（5）
k
其中W ()是以第k 层对第k -1层的权向量为列向量组成的矩阵．于是最下层对最上层的组合权向量为:
w
(s )
=W
(s )
W
(s -1)
W
(3)
w
(2)
（6）
5． 组合一致性检验
在应用层次分析法作重大决策时，除了对每个成对比较阵进行一致性检验外，还常要进行所谓组合一致性检验，以确定组合权向量是否可以作为最终的决策依据．
组合一致性检验可逐层进行．如第p 层的一致性指标为CI 1(p ), , CI n (p )(n 是第p -1层因素的数目) ，随机一致性指标为
RI 1, , RI n ，定义
C I RI
(P )
(p )(p )(p -1)
=⎡C I 1, , C I n ⎤w ⎣⎦(p )(p )(p -1)=⎡RI 1, , RI n ⎤w ⎣⎦
(p )(p )
(p )
则第p 层的组合一致性比率为:
C R
(p )
=
C I RI
(p )(p )
, p =3, 4, , s (7)
p
第p 层通过组合一致性检验的条件为CR ()
定义最下层(第s 层) 对第一层的组合一致性比率为：
s
C R *=
∑C R
p =2
(P )
(8)
对于重大项目，仅当CR *适当地小时，才认为整个层次的比较判断通过一致性检验．
层次分析法的基本步骤归纳如下:
(1) 建立层次结构模型 在深入分析实际问题的基础上，将有关的各个因素按照不同属性自上而下地分解成若干层次．同一层的诸因素从属于上一层的因素或对上层因素有影响，同时又支配下一层的因素或受到下层因素的作用，而同一层的各因素之间尽量相互独立．最上层为目标层，通常只有1个因素，最下层通常为方案或对象层，中间可以有1个或几个层次，通常称为准则或指标层，当准则过多时（比如多于9个）应进一步分解出子准则层．
(2) 构造成对比较阵 从层次结构模型的第2层开始，对于从属于上一层每个因素的同一层诸因素，用成对比较法和1-9比
较尺度构造成对比较阵，直到最下层．
(3) 计算权向量并做一致性检验 对于每一个成对比较阵计算最大特征根及对应特征向量，利用一致性指标，随机一致性指标和一致性比率做一致性检验．若检验通过，特征向量（归一化后）即为权向量；若不通过，重新构造成对比较阵．
(4) 计算组合权向量并做组合一致性检验 利用公式计算最下层对目标的组合权向量，并酌情作组合一致性检验．若检验通过，则可按照组合权向量表示的结果进行决策，否则需重新考虑模型或重新构造那些一致性比率C R 较大的成对比较阵． (三) 层次分析法的优点
1． 系统性 层次分析把研究对象作为一个系统，按照分解、比较判断、综合的思维方式进行决策，成为继机理分析、统计分析之后发展起来的系统分析的重要工具．
2． 实用性 层次分析把定性和定量方法结合起来，能处理许多用传统的最优化技术无法着手的实际问题，应用范围很广．同时，这种方法将决策者与决策分析者相互沟通，决策者甚至可以直接应用它，这就增加了决策的有效性．
3． 简洁性 具有中等文化程度的人即可了解层次分析的基本原理和掌握它的基本步骤，计算也非常简便，且所得结果简单明确，容易为决策者了解和掌握． (四) 层次分析法的局限性
层次分析法的局限性可以用囿旧、粗略、主观等词来概括． 第一，它只能从原有的方案中选优，不能生成新方案；
第二，它的比较、判断直到结果都是粗糙的，不适于精度要求很高的问题；
第三，从建立层次结构模型到给出成对比较矩阵，人的主观因素的作用很大，这就使得决策结果可能难以为众人接受．当然，采取专家群体判断的方法是克服这个缺点的一种途径．
(五) 层次分析法的若干问题
层次分析法问世以来不仅得到广泛的应用而且在理论体系、计算方法等方面都有很大发展，下面从应用的角度讨论几个问题． 1． 正互反阵最大特征根和对应特征向量的性质
成对比较阵是正互反阵．层次分析法中用对应它的最大特征根的特征向量作为权向量，用最大特征根定义一致性指标进行一致性检验．这里人们碰到的问题是：正互反阵是否存在正的最大特征根和正的特征向量；一致性指标的大小是否反映它接近一致阵的程度，特别，当一致性指标为零时，它是否就为一致阵．下面两个定理可以回答这些问题． 定理1 对于正矩阵A （A 的所有元素为正数） 1）A 的最大特征根是正单根λ；
2）λ对应正特征向量w （ω的所有分量为正数）； 3）lim
A I I A I
T
k k
k →∞
=w ，其中I =(1, 1 , 1)，w 是对应λ的归一化特征向量．
T
定理2 n 阶正互反阵A 的最大特征根λ≥n ；当λ=n 时A 是一致阵．
定理2和前面所述的一致阵的性质表明, n 阶正互反阵A 是一致阵的充要条件为 A 的最大特征根λ=n ．
2． 正互反阵最大特征根和特征向量的实用算法
众所周知，用定义计算矩阵的特征根和特征向量是相当困难的，特别是矩阵阶数较高时．另一方面，因为成对比较阵是通过定性比较得到的比较粗糙的量化结果，对它精确计算是不必要的，下面介绍几种简单的方法． (1) 幂法 步骤如下：
a ．任取n 维归一化初始向量w ()
k +1k
()=Aw (), k =0,1, 2, b ．计算w
c ．w
(k +1)
归一化, 即令w
(k +1)
~(k +1)
=w
n
∑ω
i =1
~
i
(k +1)
d ．对于预先给定的精度ε, 当 |ωi (k +1)-ωi (k )|
1
n
∑n
i =1
i ω
(k +1)(k )
ωi
这是求最大特征根对应特征向量的迭代法, w ()可任选或取下面方法得到的结果． (2) 和法 步骤如下：
n
ij =a ij a. 将A 的每一列向量归一化得ω
n
∑a
ij
i =1
ij 按行求和得ω i =b ．对ω
n
∑ω
j =1
ij
即为近似特征向量． n )
T
i 归一化ωi =ω i c ．将ω
1n
n
, w =(ω1, ω2, ω∑ω
*
i =1
d. 计算λ=
∑
i =1
(A w )i
ωi
，作为最大特征根的近似值．
这个方法实际上是将A 的列向量归一化后取平均值，作为A 的特征向量．
(3) 根法 步骤与和法基本相同，只是将步骤b 术平均值改为求几何平均值．
⎛n ⎫ i = ∏ω ij ⎪ ij 按行求积并开n 次方，即ω改为对ω
⎝j =1⎭
1n
．根法是将和法中求列向量的算
3． 为什么用成对比较阵的特征向量作为权向量
T
当成对比较阵A 是一致阵时, a ij 与权向量w =(ω1, , ωn )的关系满a ij =
ωi ωj
, 那么当A 不是一致阵时，权向量w 的选择应使得
a ij 与
ωi ωj
相差尽量小．这样, 如果从拟合的角度看确定w 可以化为如下的最小二乘问题：
⎛ωi ⎫a -⎪ (9) ∑ ij ωj ⎪j =1⎝⎭
n
2
n
ωi (i =1, , n )
min
∑
i =1
由(9)式得到的最小二乘权向量一般与特征根法得到的不同．因为(9)式将导致求解关于ωi 的非线性方程组，计算复杂，且不能保证得到全局最优解, 没有实用价值．
如果改为对数最小二乘问题：
n
ωi (i =1, , n )
min
∑
i =1
⎛ωi ⎫
ln a -ln ⎪ (10) ∑ ij ωj ⎪j =1⎝⎭
n
2
则化为求解关于ln ωi 的线性方程组．可以验证，如此解得的ωi 恰是前面根法计算的结果．
特征根法解决这个问题的途径可通过对定理2的证明看出． 4． 成对比较阵残缺时的处理
专家或有关学者由于某种原因无法或不愿对某两个因素给出相互比较的结果，于是成对比较阵出现残缺．应如何修正, 以便继续进行权向量的计算呢？
⎧a ij , ⎪ =(a ij =⎨0, 一般地，由残缺阵A =(a ij )构造修正阵A ij )的方法是令a
⎪
⎩m i +1,
a ij ≠θ, i ≠j a ij =θ, i ≠j
m i 为第i 行θ的个数, i =j
(11)
θ表示残缺．已经证明，可以接受的残缺阵A 的充分必要条件是A 为不可约矩阵．
(六) 层次分析法的广泛应用
层次分析法在正式提出来之后，由于它在处理复杂的决策问题上的实用性和有效性，很快就在世界范围内得到普遍的重视和广泛的应用．从处理问题的类型看，主要是决策、评价、分析、预测等方面． 这个方法在20世纪80年代初引入我国，很快为广大的应用数学工作者和有关领域的技术人员所接受，得到了成功的应用．
层次分析法在求解某些优化问题中的应用
举例 假设某人在制定食谱时有三类食品可供选择：肉、面包、蔬菜．这三类食品所含的营养成分及单价如表所示
表2 肉、面包、蔬菜三类食品所含的营养成分及单价
[5]
该人体重为55kg
维生素A 7500 国际单位 (IU) 维生素B 热量 R
1.6338 8548.5
mg kJ
考虑应如何制定食谱可使在保证营养需求的前提下支出最小？
用层次分析法求解最优化问题可以引入包括偏好等这类因素．具体的求解过程如下： ① 建立层次结构
② 根据偏好建立如下两两比较判断矩阵
表3 比较判断矩阵
T
λm ax =2，CI 1=0，CR 1=0
故第二层元素排序总权重为W
1=(0.75, 0.25)
T
表4 比较判断矩阵
1
1
1
T
λm ax =3, C I 1=0, C R 1=0, RI 1=0.58 ，主特征向量W =(0.4, 0.4, 0.2)
故相对权重P 12=(0.4, 0.4, 0.2, 0) ③ 第三层组合一致性检验问题
1
因为CI 2=(CI 11CI 2)W 1=0; RI 2=(RI 11RI 21)W 1=0.435, CR 2=CR 1+CI 2RI 2=0
T
故第三层所有判断矩阵通过一致性检验，从而得到第三
层元素维生素A 、维生素B 、热量Q 及支出E 的总权重为：
W
2
=P W =(P 1P 2)W =(0.3, 0.3, 0.15, 0.25)
2
1
2
2
1
T
求第四层元素关于总目标W 的排序权重向量时，用到第三层与第四层元素的排序关系矩阵，可以用原始的营养成分及单价的数据得到．注意到单价对人们来说希望最小，因此应取各单价的倒数，然后归一化．其他营养成分的数据直接进行归一化计算，可得表5
表5 各营养成分数据的归一化
T
则最终的第四层各元素的综合权重向量为：W 3=P 3W 2=(0.2376, 0.2293, 0.5331)，结果表明，按这个人的偏好，肉、面包和蔬菜的比例取0.2376:0.2293:0.5331较为合适．引入参数变量，令x 1=0.2376k ，x 2=0.2293k ，x 3=0.5331k ，代入(LP 1)
m in f =0.0275x 1+0.006x 2+0.007x 3
s . t .
⎧0.3527x 1+25.0x 3≥7500⎪
⎪0.0021x 1+0.0006x 2+0.002x 3≥1.6338⎨
⎪11.9300x 1+11.5100x 2+1.04x 3≥8548.5⎪x , x , x , ≥0⎩123
(LP 1)
则得
min f =0. 0116k
s . t .
⎧13.4113k ≥7500⎪
⎪0.0017k ≥1.6338⎨
⎪6.0282k ≥8548.5⎪⎩k ≥0
LP 2)
容易求得k =1418. 1，故得最优解x *=(336.9350, 325.1650, 755.9767)；最优值 f *=16.4497，即肉336. 94g ，面325. 17g ，蔬菜
755. 98g ，每日的食品费用为16.45元．
T
总之，对含有主、客观因素以及要求与期望是模糊的优化问题，用层次分析法来处理比较适用．
二、模糊数学法
模糊数学是1965年美国控制论专家 L ．A ．Zadeh 创立的．模糊数学作为一门新兴学科，它已初步应用于模糊控制、模糊识别、模糊聚类分析、模糊决策、模糊评判等各方面．在气象、结构力学、控制、心理学
方面已有具体的研究成果． (一) 模糊数学的研究内容
第一， 研究模糊数学的理论，以及它和精确数学、随机数学的关系；
第二， 研究模糊语言和模糊逻辑，并能作出正确的识别和判断；
第三， 研究模糊数学的应用．
(二) 模糊数学在数学建模中应用的可行性
1． 数学建模的意义在于将数学理论应用于实际问题[6]．而模糊数学作为一种新的理论，本身就有其巨大的应用背景，国内外每年都有大量的相关论文发表，解决了许多实际问题．目前在数学建模中较少运用模糊数学方法的原因不在于模糊数学理论本身有问题，而在于最新的研究成果没有在第一时间进入数学建模的教科书中，就其理论本身所具有的实用性的特点而言，模糊数学应该有助于我们解决建模过程中的实际问题．
2． 数学建模的要求是模型与实际问题尽可能相符．对实际问题有这样一种分类方式：白色问题、灰色问题和黑色问题．毫无疑问，引进新的方法对解决这些问题大有裨益．在灰色问题和黑色问题中有很多现象是用“模糊”的自然语言描述的．在这种情况下，用模糊的模型也许更符合实际．
3． 数学建模活动的目的之一是培养学生的创新精神．用新理论、新方法解题应该受到鼓励．近年来，用神经网络法、层次分析法等新方法建立模型的论文屡有获奖，这也说明了评审者对新方法的重视．我们相信，模糊数学方法应该很好，同样能够写出优秀的论文．
(三) 模糊综合评判法中的最大隶属原则有效度
在模糊统计综合评判中，如何利用综合评判结果向量
b =(b 1, b 2, , b m )
, 其中， 0
j
，m 为可能出现的评语个数，提
供的信息对被评判对象作出所属等级的判断，目前通用的判别原则是最大隶属原则．在实际应用中很少有人注意到最大隶属原则的有效性问题，在模糊综合评判的实例中最大隶属原则无一例外地被到处搬用，然而这个原则并不是普遍适用的．
[7]
最大隶属原则有效度的测量
1． 有效度指标的导出
在模糊综合评判中，当m ax b
1≤j ≤n
n
j
=1, ∑b j =1
j =1
时，最大隶属原则最
有效；而在m ax b
1≤j ≤n
1≤j ≤n
j
j
=c (0
n
∑b
n j =1
j
=nc
时，最大隶属原则完全失效，
且max b 越大（相对于∑b 而言），最大隶属原则也越有效．由
j
j =1
此可认为，最大隶属原则的有效性与max b 在∑b 中的比重有
1≤j ≤n
j
n
j
j =1
关，于是令：
n
β=m ax b j
1≤j ≤n
∑b
j =1
j
(12)
显然，当m ax b
1≤j ≤n
n
n
j
=1, ∑b j =1
j =1
时，则β=1为β的最大值，当
m ax b j =c (0
1≤j ≤n
,
∑b
j =1
j
=n c
时，有β
=1n
为β的最小值，即得到β的取值范围为:
=1n
n ≤β≤1
．由
于在最大隶属原则完全失效时，β而不为，所以不宜直接
用β值来判断最大隶属原则的有效性．为此设：
β'=
β-(1n )
1-(1n )
=n β-1n -1
(13)
则β可在某种程度上测定最大隶属原则的有效性．而最大隶
'
属原则的有效性还与sec b （sec b 的含义是向量各分量中第二
1≤j ≤n
j
1≤j ≤n
j
b
大的分量）的大小有很大关系，于是我们定义：
n
γ=sec b j
1≤j ≤n
∑b
j =1
j
(14)
可见： 当b =(1,1, 0, 0, , 0)时，γ取得最大值12．
当b =(0,1, 0, 0, , 0)时，γ取得最小值0．
γ-0
即γ的取值范围为0≤γ≤12，设γ'=
(1)-0
=2γ．一般地，β'值越大最大隶属原则有效程度越高；而γ'值越大，最大隶属原则
的有效程度越低．因此，可以定义测量最大隶属原则有效度的相对指标：
α=
β'
n β-1⎛n β-1⎫
= ⎪2γ=γ'⎝n -1⎭2γ(n -1)
(15)
使用α指标能更准确地表明实施最大隶属原则的有效性．
2. α指标的使用
从α指标的计算公式看出α与γ成反比，与β成正比．由β与γ的取值范围，可以讨论α的取值范围： 当γ取最大值，β取最小值时，α将取得最小值0；
当γ取最小值，β取最大值时，α将取得最大值：因为 lim α=+∞，所以可定义γ=0时，α=+∞．即：0≤α
γ→0
由以上讨论，可得如下结论：当α=+∞ 时，可认定施行最大隶属原则完全有效；当1≤α
用最大隶属原则确定所属等级，而且可以说明施行最大隶属原则判断后的相对置信程度，即有多大把握认定被评对象属于某个等级． 讨论
a ． 在很多情况下，可根据β值的大小来直接判断使用最大隶属原则的有效性而不必计算α值．根据α与β之间的关系，当
β≥0.7，且n >4时，一定存在α>1．通常评价等级数取4和9之间，所以n >4这一条件往往可以忽略，只要β≥0.7就可免算α
值，直接认定此时采取最大隶属原则确定被评对象的等级是很有效的．
b ． 如果对b =(b 1, b 2, , b m )进行归一化处理而得到b '，则可直接根据b '进行最大隶属原则的有效度测量． (四) 模糊数学在数学建模中的应用
模糊数学有诸多分支，应用广泛．如模糊规划、模糊优化设计、综合评判、模糊聚类分析、模糊排序、模糊层次分析等等．这些方法在工业、军事、管理等诸多领域被广泛应用． 举例 带模糊约束的最小费用流问题[8]
问题的提出 最小费用流问题的一般提法是：设D =(V , A , c , ω)是一个带出发点v s 和收点v t 的容量-费用网络，对于任意
(v , v )∈A ，c
i
j
ij
表示弧(v i , v j )上的容量，ωij 表示弧(v i , v j )上通过单位流量的费用，v 0是给定的非负数，问怎样制定运输方案使得
从v s 到v t 恰好运输流值为v 0的流且总费用最小？如果希望尽可能地节省时间并提高道路的通畅程度，问运输方案应当怎样制定？
模型和解法 问题可以归结为：怎样制定满足以下三个条件的最优运输方案？
(1)从v s 到v t 运送的流的值恰好为v 0；(2)总运输费用最小;(3)在容量c ij 大的弧(v i , v j ) 上适当多运输．如果仅考虑条件(1)和(2)，易写出其数学模型为：
m in
(v i , v j )∈A
∑
ωij f ij
f sj -f tj -f ij -≤c ij
0, ⎧
⎪=⎨-d (c ij -)
1-e ⎪⎩
0≤c ij ≤v 0
⎧∑
⎪(v s , v j )∈A ⎪⎪∑⎪
(M ) s . t . ⎨(v t , v j )∈A
⎪∑⎪v , v ∈A (i j )⎪⎪⎩0≤f ij
把条件(3)中的“容量大” 看作A 上的一个模糊子集A
(v j , v s )∈A (v j , v t )∈A (v j , v i )∈A
∑
f js =v 0f jt =-v 0f ji =0(v i ∈V
∑
∑
v s , v t })
，定义其隶属函数μ：A →[0,1]为：μij =μA (v i , v j )
, c
ij
>其中 =A
-1
⎡⎤
⎢∑c ij ⎥（平均容量） ⎢⎣(v i , v j )⎥⎦
⎧
⎪⎪⎪d =⎨
⎪⎪lg ⎪⎩
-1
0, A
⎡
⎢∑(c ij -⎢⎣(v i , v j )
∈A
⎡
⎢∑(c ij -⎢⎣(v i , v j )∈A
))
2
⎤
⎥≤1⎥⎦⎤⎥>1⎥⎦
A
-1
2
建立μij 是为了量化“适当多运输”这一模糊概念．对条件(2)作如下处理：对容量c ij 大的弧(v i , v j )，人为地降低运价ωij ，形成“虚
k
拟运价”ij ，其中ij 满足：c ij 越大，相应的ij 的调整幅度也越大．选取ij 为ij =ωij (1-μij )，(v i , v j )∈A ．其中k 是正参数，它
反映了条件(2)和条件(3)在决策者心目中的地位．决策者越看重条件(3)，k 取值越小；当k 取值足够大时，便可忽略条件(3) ．一般情况下，合适的k 值最好通过使用一定数量的实际数据进行模拟、检验和判断来决定．最后，用ij 代替原模型M 中的ωij ，得到一个新的模型M '．用现有的方法求解这个新的规划问题，可期望得到满足条件(3)的解．
模型的评价 此模型在原有的数学规划模型和解法的基础上，增加了模糊约束．新模型比较符合实际，它的解包含了原模型的解，因而它是一个较为理想的模型．隶属度的确定在模糊数学中有多种方法，可以根据不同的实际问题进行调整．同样的思想方法可以处理其他的模糊约束问题．
三、灰色系统
客观世界的很多实际问题，其内部结构、参数以及特征并未全部被人们了解，对部分信息已知而部分信息未知的系统，我们称之为灰色系统．灰色系统理论是从系统的角度出发来研究信息间的关系，即研究如何利用已知信息去揭示未知信息．灰色系统理论包括系统建模、系统预测、系统分析等方面．
(一) 灰色关联分析理论及方法
灰色系统理论中的灰色关联分析法是在不完全的信息中，对所要分析研究的各因素，通过一定的数据，在随机的因素序列间，找出它们的关联性，找到主要特性和主要影响因素．
[9]
计算方法与步骤：
1． 原始数据初值化变换处理
分别用时间序列(k )的第一个数据去除后面的原始数据，
得出新的倍数列，即初始化数列，量纲为一，各值均大于零，且数列有共同的起点．
2． 求关联系数
ξi (k )=
m in m in |x 0(k )-x i (k )|+ρm ax m ax |x 0(k )-x i (k )|
i
k
i
k
|x 0(k )-x i (k )|+ρm ax m ax |x 0(k )-x i (k )|
i
k
3． 取分辨系数 0
i (k )
=
1
n
i k )
ξ(∑n
k =1
(二) 灰色预测
1． 灰色预测方法的特点
(1) 灰色预测需要的原始数据少，最少只需四个数据即可建模；
(2) 灰色模型计算方法简单，适用于计算机程序运行，可作实时预测；
(3) 灰色预测一般不需要多因素数据，而只需要预测对象本身的单因素数据，它可以通过数据本身的生成，寻找系统内在的规律；
(4) 灰色预测既可做短期预测，也可做长期预测，实践证明，灰色预测精度较高，误差较小．
2． 灰色预测GM(1，1) 模型的一点改进
一些学者为了提高预测精度做出了大量的研究工作，提出了相应的方法．本文将在改善原始离散序列光滑性的基础上，进一步研究GM(1，1) 预测模型的理论缺陷及改进方法[10]．问题的存在及改进方法如下：
传统灰色预测GM(1，1) 模型的一般步骤为： （1）1-ADO ：对原始数据序列{x 0(k )}（2）对x 0数列进行光滑性检验：
∀λ>0, ∃k 0，当k >k 0时：
x 0(k )
k -1
⎧
(k =1, 2, , n )进行一次累加生成序列⎨x 1(k )=
⎩
k
0i
∑x ()⎬(k
i =1
⎫⎭
=1, 2, , n )
=
x 0(k )x 1(k -1)
∑x ()
0i
i =1
文献[11]进一步指出只要
x 0(k )
k -1
为k 的递减函数即可．
∑
i =1
x 0(i )
（3）对x 1作紧邻生成：Z 1(k )=α*x 1(k -1)+(1-α)*x 1(k ), k =2, 3, , n
一般取α=0.5
dx (1)dt
+ax (1)=b （16）
为灰色微分方程x 0(k )+aZ 1(k )=b 的白化方程． （4）按最小二乘法计算参数a , b
x -b a ⎤exp (-ak )+b a ，其中k =0,1, 2, , n （5）解（16）式并进行离散化得模拟序列1和0的计算公式：1(k +1)=⎡⎣0(1)⎦
⎡⎤0(k +1)=1(k +1)-1(k )=⎡⎣1-exp (a )⎤⎦*⎣x 0(1)-b a ⎦exp (-ak )，其中k =1, 2,
并假定1(1)=x 1(1)=x 0(1)
文献[12,13]指出：假定1(1)=x 1(1)=x 0(1)的理由是不充分的，文献[14]认为应当以最后一个x 1(n )为已知条件来确定微分方程中常数项c m 的值，理由是最后一个数据是最新的，最能反映实际情况．同时文献[15]又进一步提出常数c m 的确定，由于数据序列中的每一个数据都带有一定的随机误差和坏数据，所以应当将n 个数据都分别进行计算来确定n 个不同的c m ，最后选出平均相对误差最小的一个c m ，该方法进一步提高了预测精度．但这两种方法都有共同的特点，就是常数c m 都局限于{x 1(k )}序列来确定，理论上真正最佳的c m 并不一定要由{x 1(k )}序列中数据来确定，本文提出一种新的理论方法来确定较优的c m 值． 分析过程如下： 解微分方程
dx (1)dt
+ax (1)=b
得 x 1(t )=c m *exp (-at )+a b （其中c m 为待定常数） 将上式用差分代替微分进行离散化得到：
1(k +1)=c m *exp (-at )+b a , (k =0,1, 2, , n ) （17）
进行累减还原得：
0(k +1)=1(k +1)-1(k )=c m *⎡⎣1-exp (a )⎤⎦*exp (-ak ), (k =1, 2, , n ) （18）
令c =c m *[1-exp (a )]并分别带入（17）（18） 可以得出：
1(k +1)=c *⎡⎣1-exp (a )⎤⎦
-1
exp (-ak )+b a , (k =0,1, 2, , n ) （19）
0(k +1)=c *exp (-ak ), (k =1, 2, 3, , n ) （20）
可以看出{0(k +1)}, (k =1, 2, , n )都是c 的函数．平均相对误差=
1
设{ε(ε()是衡量预测精度的一个重要指标，∑n
k
k =1
n
k )
}(k =1, 2, , n )是
相对误差向量，理想的应该满足{ε(k )}(k =1, 2, , n )充分接近误差标准量{0, 0, , 0}．如果将向量看作是n 维空间中的一个点的
n
话，那么只需这两个点的距离最小即可，于是得
⎡x -b a ⎤⎡1-exp (a )⎤⎦⎣0(1)⎦⎣c =
⎛⎡1-exp (a )⎤
⎦ ⎣
x 0(1)
⎝
-1
-1
n
+
∑
i =2
exp ⎡⎣-a (i -1)⎤⎦
x 0(i )
⎫
⎪⎪⎭
2
⎫⎪+⎪⎭
(21)
n
∑
i =2
⎛exp ⎡-a (i -1)⎤
⎣⎦ x 0(i )⎝
在实际应用中，为了便于计算也常将第一项忽略掉，则上式可变成
n
∑
c =
n i =2
exp ⎡⎣-a (i -1)⎤⎦
x 0(i )
⎫
⎪⎪⎭
2
(22)
∑
i =2
⎛exp ⎡-a (i -1)⎤
⎣⎦ x 0(i )⎝
(三) 灰色系统的应用
灰色系统是一门处理“少数据不确定性”的新兴学科，具有只需少量数据就可作系统分析、模型建立、未来预测、行为决策和过程控制的特点．
灰色系统在国内生产总值中的应用
1． 建立灰色预测模型 灰色预测利用模型
dx (k )dt
[15]
是指以GM(1，1) 模型为基础的预测，其建模方法是列出预测对象历史发展时间序列，并对其进行一次迭加得{x (k )}，
+ax (k )=b ，然后对模型进行检验．
表6 2002 2007年GDP 及各产业增加值（亿元）
根据上述方法及列出的相应数据，计算得各指标预测方程如下：
（1） GDP预测方程为：x 0(k +1)=10039.07e 0.2k ⨯(e 0.2-1)
由于观察到残差较大，故考虑用GM(1，1) 模型进行残差修正．其残差序列e (k )生成的预测模型为：
e (k +1)=333.25e
0.4244k
⨯(e ⨯(e
0.424k
-1)，即修正后的预测模型为：
0.4244k
x 0(k +1)=10039.07e
0.2k 0.2
-1)-δ(k -1)⨯331.25e ⨯(e
0.4244
-1)
其中 δ(k -1)=⎨
⎧1, ⎩0,
k ≥1k
利用该模型进行预测可得预测值．
（2）第一产业预测方程为：x 1(k +1)=3873.98e 0.1169k (e 0.1169-1)
由于该模型数据残差较小，故直接采用该模型为预测模型．同理可得第二、第三产业预测方程． 2． 各指标预测
1
min x i (k )-~x i (k )+max x i (k )-~x i (k )
1k k 2=γi =
14
x 0(k )-~x i (k )+max x i (k )-~x i (k )
2k
6
对上述预测模型进行下列关联性检验，计算εi (k )
∑ε
k =1
i (k )
；i =0, 1, 2, 3．
经计算得γ0=0.7417，γ1=0.7978，γ2=0.859，γ3=0.646，γ1≥0.6 故预测模型对历史数据进行了较高程度的模拟．
利用上面预测模型对历史数据进行模拟，可得各指标预测值如表7所示：
表7 2002 2007年GDP 及各产业增加值（亿元）
根据上述预测模型可得未来两年各相关数据如表8所示. 从预测结果看第二产业发展势头良好，未来两年将GDP 产生较大影响，第一、第三产业增长速度相对落后第二产业的增长；由于第三产业基数较大，因此也提示我们今后应大力发展第三产业．
表8 2008 2009年GDP 及各产业增加值的预测值（亿元） 3． 灰色关联分析
关联度是事物之间、因素之间关联性的量度，借助关联度，从而为因素分析提供依据，为决策提供基础．根据数据，对各序列作均值化变换：用各序列的平均值除序列的原始数据，得新序列（略）；对新序列x i (k )，计算各相关系数r i (k ), i =1, 2, 3
r i (k )=
m in m in x 0(k )-x i (k )+ρm ax m ax x 0(k )-x i (k )
i
k
i
k
x 0(k )-x i (k )+ρm ax m ax x 0(k )-x i (k )
i
k
其中分辨系数ρ=0.5, k =1, 2, 3, 4, 5, 6； 采用邓氏关联度
[16]
得各产业与 GDP的平均灰色关联度：r (x 0, x 1)=
1
6
i k )
r (∑6
k =1
, i =1, 2, 3
计算得各相关系数如表9所示．
表9 计算得各相关系数表
各产业与GDP 的灰色关联度r (x 0, x 1)=0.659; r (x 0, x 2)=0.539; r (x 0, x 3)=0.684
关联度由大到小的排列顺序为：第三产业、第一产业、第二产业；从三个数字看大小差异不大，说明产业结构在不断优化和改善，但三大产业中没有占主要地位的产业；根据关联度越大，表示两个数列的关联性越大，比较数列对参考数列的影响程度越
大，今后第三产业的发展对GDP 影响将相对较大．
根据表6和表8得各相关系数如表10：
表10 相关系数表
各产业与GDP 的灰色关联度为：r (x 0, x 1)=0.744; r (x 0, x 2)=0.646; r (x 0, x 3)=0.720
关联度由大到小的排列顺序为：第一产业、第三产业、第二产业；三个数字大小差别不大，根据关联度越大，表示两个数列的关联性越大，比较数列对参考数列的影响程度越大，今后第三产业、第一产业的发展对GDP 影响将相对较大． 参考文献
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一、层次分析法
层次分析法[1] (analytic hierarchy process ，AHP ) 是美国著名的运筹学家T ．L ．Saaty 教授于20世纪70年代初首先提出的一种定性与定量分析相结合的多准则决策方法[2，3，4]．该方法是社会、经济系统决策的有效工具，目前在工程计划、资源分配、方案排序、政策制定、冲突问题、性能评价等方面都有广泛的应用． (一) 层次分析法的基本原理
层次分析法的核心问题是排序，包括递阶层次结构原理、测度原理和排序原理．下面分别予以介绍． 1． 递阶层次结构原理
一个复杂的结构问题可以分解为它的组成部分或因素，即目标、准则、方案等．每一个因素称为元素．按照属性的不同把这些元素分组形成互不相交的层次，上一层的元素对相邻的下一层的全部或部分元素起支配作用，形成按层次自上而下的逐层支配关系．具有这种性质的层次称为递阶层次．
2． 测度原理
决策就是要从一组已知的方案中选择理想方案，而理想方案一般是在一定的准则下通过使效用函数极大化而产生的．然而对于社会、经济系统的决策模型来说，常常难以定量测度．因此，层次分析法的核心是决策模型中各因素的测度化．
3． 排序原理
层次分析法的排序问题，实质上是一组元素两两比较其重要性，计算元素相对重要性的测度问题． (二) 层次分析法的基本步骤
[5]
层次分析法的基本思路与人对一个复杂的决策问题的思维、判断过程大体上是一致的[1]． 1． 成对比较矩阵和权向量
为了能够尽可能地减少性质不同的诸因素相互比较的困难，提高结果的准确度．T ．L ．Saaty 等人的作法，一是不把所有因素放在一起比较，而是两两相互对比，二是对比时采用相对尺度．
假设要比较某一层n 个因素C 1, , C n 对上层一个因素O 的影响，每次取两个因素C i 和C j ，用a ij 表示C i 和C j 对O 的影响之比，全
A =(a ij )
n ⨯n
部比
1a ij
较结果可用成对比较阵
, a ij >0, a ji =
表示，A 称为正互反矩阵．
一般地，如果一个正互反阵A 满足：
a ij ⋅a jk =a ik , i , j , k =1, 2, , n
（1）
则A 称为一致性矩阵，简称一致阵．容易证明n 阶一致阵A 有下列性质： ①A 的秩为1，A 的唯一非零特征根为n ；
②A 的任一列向量都是对应于特征根n 的特征向量．
如果得到的成对比较阵是一致阵，自然应取对应于特征根n 的、归一化的特征向量（即分量之和为1）表示诸因素C 1, , C n 对上层因素O 的权重，这个向量称为权向量．如果成对比较阵A 不是一致阵，但在不一致的容许范围内，用对应于A 最大特征根(记作λ) 的特征向量（归一化后）作为权向量w ，即w 满足：
Aw =λw （2）
直观地看，因为矩阵A 的特征根和特征向量连续地依赖于矩阵的元素a ij ，所以当a ij 离一致性的要求不远时, A 的特征根和特
征向量也与一致阵的相差不大．（2）式表示的方法称为由成对比较阵求权向量的特征根法．
2． 比较尺度
当比较两个可能具有不同性质的因素C i 和C j 对于一个上层因素O 的影响时，采用Saaty 等人提出的1-9尺度，即a ij 的取值范围是1, 2, , 9及其互反数1, 12, , ．
3． 一致性检验
成对比较阵通常不是一致阵，但是为了能用它的对应于特征根λ的特征向量作为被比较因素的权向量，其不一致程度应在容许范围内．
若已经给出n 阶一致阵的特征根是n ，则n 阶正互反阵A 的最大特征根λ≥n ，而当λ=n 时A 是一致阵．所以λ比n 大得越多，
A
的不一致程度越严重，用特征向量作为权向量引起的判断误差越大．因而可以用λ-n 数值的大小衡量A 的不一致程度．Saaty
将
C I =
λ-n
n -1
(3)
定义为一致性指标．C I =0时A 为一致阵；C I 越大A 的不一致程度越严重．注意到A 的n 个特征根之和恰好等于n ，所以C I 相当于除λ外其余n -1个特征根的平均值．
为了确定A 的不一致程度的容许范围，需要找到衡量A 的一致性指标C I 的标准，又引入所谓随机一致性指标R I ，计算R I 的过程是：对于固定的n ，随机地构造正互反阵A '，然后计算A '的一致性指标C I ．
表1 随机一致性指标R I 的数值
表中n =1, 2时R I =0，是因为1, 2阶的正互反
阵总是一致阵．
对于n ≥3的成对比较阵A ，将它的一致性指标C I 与同阶（指n 相同）的随机一致性指标R I 之比称为一致性比率C R ，当
C R =
C I R I
时认为A 的不一致程度在容许范围之内，可用其特征向量作为权向量．
对于A 利用(3)，(4)式和表1进行检验称为一致性检验．当检验不通过时，要重新进行成对比较，或对已有的A 进行修正． 4． 组合权向量
由各准则对目标的权向量和各方案对每一准则的权向量，计算各方案对目标的权向量，称为组合权向量．一般地，若共有s 层，则第k 层对第一层（设只有1个因素）的组合权向量满足：
w
(k )
=W
(k )
w
(k -1)
, k =3, 4 , s
（5）
k
其中W ()是以第k 层对第k -1层的权向量为列向量组成的矩阵．于是最下层对最上层的组合权向量为:
w
(s )
=W
(s )
W
(s -1)
W
(3)
w
(2)
（6）
5． 组合一致性检验
在应用层次分析法作重大决策时，除了对每个成对比较阵进行一致性检验外，还常要进行所谓组合一致性检验，以确定组合权向量是否可以作为最终的决策依据．
组合一致性检验可逐层进行．如第p 层的一致性指标为CI 1(p ), , CI n (p )(n 是第p -1层因素的数目) ，随机一致性指标为
RI 1, , RI n ，定义
C I RI
(P )
(p )(p )(p -1)
=⎡C I 1, , C I n ⎤w ⎣⎦(p )(p )(p -1)=⎡RI 1, , RI n ⎤w ⎣⎦
(p )(p )
(p )
则第p 层的组合一致性比率为:
C R
(p )
=
C I RI
(p )(p )
, p =3, 4, , s (7)
p
第p 层通过组合一致性检验的条件为CR ()
定义最下层(第s 层) 对第一层的组合一致性比率为：
s
C R *=
∑C R
p =2
(P )
(8)
对于重大项目，仅当CR *适当地小时，才认为整个层次的比较判断通过一致性检验．
层次分析法的基本步骤归纳如下:
(1) 建立层次结构模型 在深入分析实际问题的基础上，将有关的各个因素按照不同属性自上而下地分解成若干层次．同一层的诸因素从属于上一层的因素或对上层因素有影响，同时又支配下一层的因素或受到下层因素的作用，而同一层的各因素之间尽量相互独立．最上层为目标层，通常只有1个因素，最下层通常为方案或对象层，中间可以有1个或几个层次，通常称为准则或指标层，当准则过多时（比如多于9个）应进一步分解出子准则层．
(2) 构造成对比较阵 从层次结构模型的第2层开始，对于从属于上一层每个因素的同一层诸因素，用成对比较法和1-9比
较尺度构造成对比较阵，直到最下层．
(3) 计算权向量并做一致性检验 对于每一个成对比较阵计算最大特征根及对应特征向量，利用一致性指标，随机一致性指标和一致性比率做一致性检验．若检验通过，特征向量（归一化后）即为权向量；若不通过，重新构造成对比较阵．
(4) 计算组合权向量并做组合一致性检验 利用公式计算最下层对目标的组合权向量，并酌情作组合一致性检验．若检验通过，则可按照组合权向量表示的结果进行决策，否则需重新考虑模型或重新构造那些一致性比率C R 较大的成对比较阵． (三) 层次分析法的优点
1． 系统性 层次分析把研究对象作为一个系统，按照分解、比较判断、综合的思维方式进行决策，成为继机理分析、统计分析之后发展起来的系统分析的重要工具．
2． 实用性 层次分析把定性和定量方法结合起来，能处理许多用传统的最优化技术无法着手的实际问题，应用范围很广．同时，这种方法将决策者与决策分析者相互沟通，决策者甚至可以直接应用它，这就增加了决策的有效性．
3． 简洁性 具有中等文化程度的人即可了解层次分析的基本原理和掌握它的基本步骤，计算也非常简便，且所得结果简单明确，容易为决策者了解和掌握． (四) 层次分析法的局限性
层次分析法的局限性可以用囿旧、粗略、主观等词来概括． 第一，它只能从原有的方案中选优，不能生成新方案；
第二，它的比较、判断直到结果都是粗糙的，不适于精度要求很高的问题；
第三，从建立层次结构模型到给出成对比较矩阵，人的主观因素的作用很大，这就使得决策结果可能难以为众人接受．当然，采取专家群体判断的方法是克服这个缺点的一种途径．
(五) 层次分析法的若干问题
层次分析法问世以来不仅得到广泛的应用而且在理论体系、计算方法等方面都有很大发展，下面从应用的角度讨论几个问题． 1． 正互反阵最大特征根和对应特征向量的性质
成对比较阵是正互反阵．层次分析法中用对应它的最大特征根的特征向量作为权向量，用最大特征根定义一致性指标进行一致性检验．这里人们碰到的问题是：正互反阵是否存在正的最大特征根和正的特征向量；一致性指标的大小是否反映它接近一致阵的程度，特别，当一致性指标为零时，它是否就为一致阵．下面两个定理可以回答这些问题． 定理1 对于正矩阵A （A 的所有元素为正数） 1）A 的最大特征根是正单根λ；
2）λ对应正特征向量w （ω的所有分量为正数）； 3）lim
A I I A I
T
k k
k →∞
=w ，其中I =(1, 1 , 1)，w 是对应λ的归一化特征向量．
T
定理2 n 阶正互反阵A 的最大特征根λ≥n ；当λ=n 时A 是一致阵．
定理2和前面所述的一致阵的性质表明, n 阶正互反阵A 是一致阵的充要条件为 A 的最大特征根λ=n ．
2． 正互反阵最大特征根和特征向量的实用算法
众所周知，用定义计算矩阵的特征根和特征向量是相当困难的，特别是矩阵阶数较高时．另一方面，因为成对比较阵是通过定性比较得到的比较粗糙的量化结果，对它精确计算是不必要的，下面介绍几种简单的方法． (1) 幂法 步骤如下：
a ．任取n 维归一化初始向量w ()
k +1k
()=Aw (), k =0,1, 2, b ．计算w
c ．w
(k +1)
归一化, 即令w
(k +1)
~(k +1)
=w
n
∑ω
i =1
~
i
(k +1)
d ．对于预先给定的精度ε, 当 |ωi (k +1)-ωi (k )|
1
n
∑n
i =1
i ω
(k +1)(k )
ωi
这是求最大特征根对应特征向量的迭代法, w ()可任选或取下面方法得到的结果． (2) 和法 步骤如下：
n
ij =a ij a. 将A 的每一列向量归一化得ω
n
∑a
ij
i =1
ij 按行求和得ω i =b ．对ω
n
∑ω
j =1
ij
即为近似特征向量． n )
T
i 归一化ωi =ω i c ．将ω
1n
n
, w =(ω1, ω2, ω∑ω
*
i =1
d. 计算λ=
∑
i =1
(A w )i
ωi
，作为最大特征根的近似值．
这个方法实际上是将A 的列向量归一化后取平均值，作为A 的特征向量．
(3) 根法 步骤与和法基本相同，只是将步骤b 术平均值改为求几何平均值．
⎛n ⎫ i = ∏ω ij ⎪ ij 按行求积并开n 次方，即ω改为对ω
⎝j =1⎭
1n
．根法是将和法中求列向量的算
3． 为什么用成对比较阵的特征向量作为权向量
T
当成对比较阵A 是一致阵时, a ij 与权向量w =(ω1, , ωn )的关系满a ij =
ωi ωj
, 那么当A 不是一致阵时，权向量w 的选择应使得
a ij 与
ωi ωj
相差尽量小．这样, 如果从拟合的角度看确定w 可以化为如下的最小二乘问题：
⎛ωi ⎫a -⎪ (9) ∑ ij ωj ⎪j =1⎝⎭
n
2
n
ωi (i =1, , n )
min
∑
i =1
由(9)式得到的最小二乘权向量一般与特征根法得到的不同．因为(9)式将导致求解关于ωi 的非线性方程组，计算复杂，且不能保证得到全局最优解, 没有实用价值．
如果改为对数最小二乘问题：
n
ωi (i =1, , n )
min
∑
i =1
⎛ωi ⎫
ln a -ln ⎪ (10) ∑ ij ωj ⎪j =1⎝⎭
n
2
则化为求解关于ln ωi 的线性方程组．可以验证，如此解得的ωi 恰是前面根法计算的结果．
特征根法解决这个问题的途径可通过对定理2的证明看出． 4． 成对比较阵残缺时的处理
专家或有关学者由于某种原因无法或不愿对某两个因素给出相互比较的结果，于是成对比较阵出现残缺．应如何修正, 以便继续进行权向量的计算呢？
⎧a ij , ⎪ =(a ij =⎨0, 一般地，由残缺阵A =(a ij )构造修正阵A ij )的方法是令a
⎪
⎩m i +1,
a ij ≠θ, i ≠j a ij =θ, i ≠j
m i 为第i 行θ的个数, i =j
(11)
θ表示残缺．已经证明，可以接受的残缺阵A 的充分必要条件是A 为不可约矩阵．
(六) 层次分析法的广泛应用
层次分析法在正式提出来之后，由于它在处理复杂的决策问题上的实用性和有效性，很快就在世界范围内得到普遍的重视和广泛的应用．从处理问题的类型看，主要是决策、评价、分析、预测等方面． 这个方法在20世纪80年代初引入我国，很快为广大的应用数学工作者和有关领域的技术人员所接受，得到了成功的应用．
层次分析法在求解某些优化问题中的应用
举例 假设某人在制定食谱时有三类食品可供选择：肉、面包、蔬菜．这三类食品所含的营养成分及单价如表所示
表2 肉、面包、蔬菜三类食品所含的营养成分及单价
[5]
该人体重为55kg
维生素A 7500 国际单位 (IU) 维生素B 热量 R
1.6338 8548.5
mg kJ
考虑应如何制定食谱可使在保证营养需求的前提下支出最小？
用层次分析法求解最优化问题可以引入包括偏好等这类因素．具体的求解过程如下： ① 建立层次结构
② 根据偏好建立如下两两比较判断矩阵
表3 比较判断矩阵
T
λm ax =2，CI 1=0，CR 1=0
故第二层元素排序总权重为W
1=(0.75, 0.25)
T
表4 比较判断矩阵
1
1
1
T
λm ax =3, C I 1=0, C R 1=0, RI 1=0.58 ，主特征向量W =(0.4, 0.4, 0.2)
故相对权重P 12=(0.4, 0.4, 0.2, 0) ③ 第三层组合一致性检验问题
1
因为CI 2=(CI 11CI 2)W 1=0; RI 2=(RI 11RI 21)W 1=0.435, CR 2=CR 1+CI 2RI 2=0
T
故第三层所有判断矩阵通过一致性检验，从而得到第三
层元素维生素A 、维生素B 、热量Q 及支出E 的总权重为：
W
2
=P W =(P 1P 2)W =(0.3, 0.3, 0.15, 0.25)
2
1
2
2
1
T
求第四层元素关于总目标W 的排序权重向量时，用到第三层与第四层元素的排序关系矩阵，可以用原始的营养成分及单价的数据得到．注意到单价对人们来说希望最小，因此应取各单价的倒数，然后归一化．其他营养成分的数据直接进行归一化计算，可得表5
表5 各营养成分数据的归一化
T
则最终的第四层各元素的综合权重向量为：W 3=P 3W 2=(0.2376, 0.2293, 0.5331)，结果表明，按这个人的偏好，肉、面包和蔬菜的比例取0.2376:0.2293:0.5331较为合适．引入参数变量，令x 1=0.2376k ，x 2=0.2293k ，x 3=0.5331k ，代入(LP 1)
m in f =0.0275x 1+0.006x 2+0.007x 3
s . t .
⎧0.3527x 1+25.0x 3≥7500⎪
⎪0.0021x 1+0.0006x 2+0.002x 3≥1.6338⎨
⎪11.9300x 1+11.5100x 2+1.04x 3≥8548.5⎪x , x , x , ≥0⎩123
(LP 1)
则得
min f =0. 0116k
s . t .
⎧13.4113k ≥7500⎪
⎪0.0017k ≥1.6338⎨
⎪6.0282k ≥8548.5⎪⎩k ≥0
LP 2)
容易求得k =1418. 1，故得最优解x *=(336.9350, 325.1650, 755.9767)；最优值 f *=16.4497，即肉336. 94g ，面325. 17g ，蔬菜
755. 98g ，每日的食品费用为16.45元．
T
总之，对含有主、客观因素以及要求与期望是模糊的优化问题，用层次分析法来处理比较适用．
二、模糊数学法
模糊数学是1965年美国控制论专家 L ．A ．Zadeh 创立的．模糊数学作为一门新兴学科，它已初步应用于模糊控制、模糊识别、模糊聚类分析、模糊决策、模糊评判等各方面．在气象、结构力学、控制、心理学
方面已有具体的研究成果． (一) 模糊数学的研究内容
第一， 研究模糊数学的理论，以及它和精确数学、随机数学的关系；
第二， 研究模糊语言和模糊逻辑，并能作出正确的识别和判断；
第三， 研究模糊数学的应用．
(二) 模糊数学在数学建模中应用的可行性
1． 数学建模的意义在于将数学理论应用于实际问题[6]．而模糊数学作为一种新的理论，本身就有其巨大的应用背景，国内外每年都有大量的相关论文发表，解决了许多实际问题．目前在数学建模中较少运用模糊数学方法的原因不在于模糊数学理论本身有问题，而在于最新的研究成果没有在第一时间进入数学建模的教科书中，就其理论本身所具有的实用性的特点而言，模糊数学应该有助于我们解决建模过程中的实际问题．
2． 数学建模的要求是模型与实际问题尽可能相符．对实际问题有这样一种分类方式：白色问题、灰色问题和黑色问题．毫无疑问，引进新的方法对解决这些问题大有裨益．在灰色问题和黑色问题中有很多现象是用“模糊”的自然语言描述的．在这种情况下，用模糊的模型也许更符合实际．
3． 数学建模活动的目的之一是培养学生的创新精神．用新理论、新方法解题应该受到鼓励．近年来，用神经网络法、层次分析法等新方法建立模型的论文屡有获奖，这也说明了评审者对新方法的重视．我们相信，模糊数学方法应该很好，同样能够写出优秀的论文．
(三) 模糊综合评判法中的最大隶属原则有效度
在模糊统计综合评判中，如何利用综合评判结果向量
b =(b 1, b 2, , b m )
, 其中， 0
j
，m 为可能出现的评语个数，提
供的信息对被评判对象作出所属等级的判断，目前通用的判别原则是最大隶属原则．在实际应用中很少有人注意到最大隶属原则的有效性问题，在模糊综合评判的实例中最大隶属原则无一例外地被到处搬用，然而这个原则并不是普遍适用的．
[7]
最大隶属原则有效度的测量
1． 有效度指标的导出
在模糊综合评判中，当m ax b
1≤j ≤n
n
j
=1, ∑b j =1
j =1
时，最大隶属原则最
有效；而在m ax b
1≤j ≤n
1≤j ≤n
j
j
=c (0
n
∑b
n j =1
j
=nc
时，最大隶属原则完全失效，
且max b 越大（相对于∑b 而言），最大隶属原则也越有效．由
j
j =1
此可认为，最大隶属原则的有效性与max b 在∑b 中的比重有
1≤j ≤n
j
n
j
j =1
关，于是令：
n
β=m ax b j
1≤j ≤n
∑b
j =1
j
(12)
显然，当m ax b
1≤j ≤n
n
n
j
=1, ∑b j =1
j =1
时，则β=1为β的最大值，当
m ax b j =c (0
1≤j ≤n
,
∑b
j =1
j
=n c
时，有β
=1n
为β的最小值，即得到β的取值范围为:
=1n
n ≤β≤1
．由
于在最大隶属原则完全失效时，β而不为，所以不宜直接
用β值来判断最大隶属原则的有效性．为此设：
β'=
β-(1n )
1-(1n )
=n β-1n -1
(13)
则β可在某种程度上测定最大隶属原则的有效性．而最大隶
'
属原则的有效性还与sec b （sec b 的含义是向量各分量中第二
1≤j ≤n
j
1≤j ≤n
j
b
大的分量）的大小有很大关系，于是我们定义：
n
γ=sec b j
1≤j ≤n
∑b
j =1
j
(14)
可见： 当b =(1,1, 0, 0, , 0)时，γ取得最大值12．
当b =(0,1, 0, 0, , 0)时，γ取得最小值0．
γ-0
即γ的取值范围为0≤γ≤12，设γ'=
(1)-0
=2γ．一般地，β'值越大最大隶属原则有效程度越高；而γ'值越大，最大隶属原则
的有效程度越低．因此，可以定义测量最大隶属原则有效度的相对指标：
α=
β'
n β-1⎛n β-1⎫
= ⎪2γ=γ'⎝n -1⎭2γ(n -1)
(15)
使用α指标能更准确地表明实施最大隶属原则的有效性．
2. α指标的使用
从α指标的计算公式看出α与γ成反比，与β成正比．由β与γ的取值范围，可以讨论α的取值范围： 当γ取最大值，β取最小值时，α将取得最小值0；
当γ取最小值，β取最大值时，α将取得最大值：因为 lim α=+∞，所以可定义γ=0时，α=+∞．即：0≤α
γ→0
由以上讨论，可得如下结论：当α=+∞ 时，可认定施行最大隶属原则完全有效；当1≤α
用最大隶属原则确定所属等级，而且可以说明施行最大隶属原则判断后的相对置信程度，即有多大把握认定被评对象属于某个等级． 讨论
a ． 在很多情况下，可根据β值的大小来直接判断使用最大隶属原则的有效性而不必计算α值．根据α与β之间的关系，当
β≥0.7，且n >4时，一定存在α>1．通常评价等级数取4和9之间，所以n >4这一条件往往可以忽略，只要β≥0.7就可免算α
值，直接认定此时采取最大隶属原则确定被评对象的等级是很有效的．
b ． 如果对b =(b 1, b 2, , b m )进行归一化处理而得到b '，则可直接根据b '进行最大隶属原则的有效度测量． (四) 模糊数学在数学建模中的应用
模糊数学有诸多分支，应用广泛．如模糊规划、模糊优化设计、综合评判、模糊聚类分析、模糊排序、模糊层次分析等等．这些方法在工业、军事、管理等诸多领域被广泛应用． 举例 带模糊约束的最小费用流问题[8]
问题的提出 最小费用流问题的一般提法是：设D =(V , A , c , ω)是一个带出发点v s 和收点v t 的容量-费用网络，对于任意
(v , v )∈A ，c
i
j
ij
表示弧(v i , v j )上的容量，ωij 表示弧(v i , v j )上通过单位流量的费用，v 0是给定的非负数，问怎样制定运输方案使得
从v s 到v t 恰好运输流值为v 0的流且总费用最小？如果希望尽可能地节省时间并提高道路的通畅程度，问运输方案应当怎样制定？
模型和解法 问题可以归结为：怎样制定满足以下三个条件的最优运输方案？
(1)从v s 到v t 运送的流的值恰好为v 0；(2)总运输费用最小;(3)在容量c ij 大的弧(v i , v j ) 上适当多运输．如果仅考虑条件(1)和(2)，易写出其数学模型为：
m in
(v i , v j )∈A
∑
ωij f ij
f sj -f tj -f ij -≤c ij
0, ⎧
⎪=⎨-d (c ij -)
1-e ⎪⎩
0≤c ij ≤v 0
⎧∑
⎪(v s , v j )∈A ⎪⎪∑⎪
(M ) s . t . ⎨(v t , v j )∈A
⎪∑⎪v , v ∈A (i j )⎪⎪⎩0≤f ij
把条件(3)中的“容量大” 看作A 上的一个模糊子集A
(v j , v s )∈A (v j , v t )∈A (v j , v i )∈A
∑
f js =v 0f jt =-v 0f ji =0(v i ∈V
∑
∑
v s , v t })
，定义其隶属函数μ：A →[0,1]为：μij =μA (v i , v j )
, c
ij
>其中 =A
-1
⎡⎤
⎢∑c ij ⎥（平均容量） ⎢⎣(v i , v j )⎥⎦
⎧
⎪⎪⎪d =⎨
⎪⎪lg ⎪⎩
-1
0, A
⎡
⎢∑(c ij -⎢⎣(v i , v j )
∈A
⎡
⎢∑(c ij -⎢⎣(v i , v j )∈A
))
2
⎤
⎥≤1⎥⎦⎤⎥>1⎥⎦
A
-1
2
建立μij 是为了量化“适当多运输”这一模糊概念．对条件(2)作如下处理：对容量c ij 大的弧(v i , v j )，人为地降低运价ωij ，形成“虚
k
拟运价”ij ，其中ij 满足：c ij 越大，相应的ij 的调整幅度也越大．选取ij 为ij =ωij (1-μij )，(v i , v j )∈A ．其中k 是正参数，它
反映了条件(2)和条件(3)在决策者心目中的地位．决策者越看重条件(3)，k 取值越小；当k 取值足够大时，便可忽略条件(3) ．一般情况下，合适的k 值最好通过使用一定数量的实际数据进行模拟、检验和判断来决定．最后，用ij 代替原模型M 中的ωij ，得到一个新的模型M '．用现有的方法求解这个新的规划问题，可期望得到满足条件(3)的解．
模型的评价 此模型在原有的数学规划模型和解法的基础上，增加了模糊约束．新模型比较符合实际，它的解包含了原模型的解，因而它是一个较为理想的模型．隶属度的确定在模糊数学中有多种方法，可以根据不同的实际问题进行调整．同样的思想方法可以处理其他的模糊约束问题．
三、灰色系统
客观世界的很多实际问题，其内部结构、参数以及特征并未全部被人们了解，对部分信息已知而部分信息未知的系统，我们称之为灰色系统．灰色系统理论是从系统的角度出发来研究信息间的关系，即研究如何利用已知信息去揭示未知信息．灰色系统理论包括系统建模、系统预测、系统分析等方面．
(一) 灰色关联分析理论及方法
灰色系统理论中的灰色关联分析法是在不完全的信息中，对所要分析研究的各因素，通过一定的数据，在随机的因素序列间，找出它们的关联性，找到主要特性和主要影响因素．
[9]
计算方法与步骤：
1． 原始数据初值化变换处理
分别用时间序列(k )的第一个数据去除后面的原始数据，
得出新的倍数列，即初始化数列，量纲为一，各值均大于零，且数列有共同的起点．
2． 求关联系数
ξi (k )=
m in m in |x 0(k )-x i (k )|+ρm ax m ax |x 0(k )-x i (k )|
i
k
i
k
|x 0(k )-x i (k )|+ρm ax m ax |x 0(k )-x i (k )|
i
k
3． 取分辨系数 0
i (k )
=
1
n
i k )
ξ(∑n
k =1
(二) 灰色预测
1． 灰色预测方法的特点
(1) 灰色预测需要的原始数据少，最少只需四个数据即可建模；
(2) 灰色模型计算方法简单，适用于计算机程序运行，可作实时预测；
(3) 灰色预测一般不需要多因素数据，而只需要预测对象本身的单因素数据，它可以通过数据本身的生成，寻找系统内在的规律；
(4) 灰色预测既可做短期预测，也可做长期预测，实践证明，灰色预测精度较高，误差较小．
2． 灰色预测GM(1，1) 模型的一点改进
一些学者为了提高预测精度做出了大量的研究工作，提出了相应的方法．本文将在改善原始离散序列光滑性的基础上，进一步研究GM(1，1) 预测模型的理论缺陷及改进方法[10]．问题的存在及改进方法如下：
传统灰色预测GM(1，1) 模型的一般步骤为： （1）1-ADO ：对原始数据序列{x 0(k )}（2）对x 0数列进行光滑性检验：
∀λ>0, ∃k 0，当k >k 0时：
x 0(k )
k -1
⎧
(k =1, 2, , n )进行一次累加生成序列⎨x 1(k )=
⎩
k
0i
∑x ()⎬(k
i =1
⎫⎭
=1, 2, , n )
=
x 0(k )x 1(k -1)
∑x ()
0i
i =1
文献[11]进一步指出只要
x 0(k )
k -1
为k 的递减函数即可．
∑
i =1
x 0(i )
（3）对x 1作紧邻生成：Z 1(k )=α*x 1(k -1)+(1-α)*x 1(k ), k =2, 3, , n
一般取α=0.5
dx (1)dt
+ax (1)=b （16）
为灰色微分方程x 0(k )+aZ 1(k )=b 的白化方程． （4）按最小二乘法计算参数a , b
x -b a ⎤exp (-ak )+b a ，其中k =0,1, 2, , n （5）解（16）式并进行离散化得模拟序列1和0的计算公式：1(k +1)=⎡⎣0(1)⎦
⎡⎤0(k +1)=1(k +1)-1(k )=⎡⎣1-exp (a )⎤⎦*⎣x 0(1)-b a ⎦exp (-ak )，其中k =1, 2,
并假定1(1)=x 1(1)=x 0(1)
文献[12,13]指出：假定1(1)=x 1(1)=x 0(1)的理由是不充分的，文献[14]认为应当以最后一个x 1(n )为已知条件来确定微分方程中常数项c m 的值，理由是最后一个数据是最新的，最能反映实际情况．同时文献[15]又进一步提出常数c m 的确定，由于数据序列中的每一个数据都带有一定的随机误差和坏数据，所以应当将n 个数据都分别进行计算来确定n 个不同的c m ，最后选出平均相对误差最小的一个c m ，该方法进一步提高了预测精度．但这两种方法都有共同的特点，就是常数c m 都局限于{x 1(k )}序列来确定，理论上真正最佳的c m 并不一定要由{x 1(k )}序列中数据来确定，本文提出一种新的理论方法来确定较优的c m 值． 分析过程如下： 解微分方程
dx (1)dt
+ax (1)=b
得 x 1(t )=c m *exp (-at )+a b （其中c m 为待定常数） 将上式用差分代替微分进行离散化得到：
1(k +1)=c m *exp (-at )+b a , (k =0,1, 2, , n ) （17）
进行累减还原得：
0(k +1)=1(k +1)-1(k )=c m *⎡⎣1-exp (a )⎤⎦*exp (-ak ), (k =1, 2, , n ) （18）
令c =c m *[1-exp (a )]并分别带入（17）（18） 可以得出：
1(k +1)=c *⎡⎣1-exp (a )⎤⎦
-1
exp (-ak )+b a , (k =0,1, 2, , n ) （19）
0(k +1)=c *exp (-ak ), (k =1, 2, 3, , n ) （20）
可以看出{0(k +1)}, (k =1, 2, , n )都是c 的函数．平均相对误差=
1
设{ε(ε()是衡量预测精度的一个重要指标，∑n
k
k =1
n
k )
}(k =1, 2, , n )是
相对误差向量，理想的应该满足{ε(k )}(k =1, 2, , n )充分接近误差标准量{0, 0, , 0}．如果将向量看作是n 维空间中的一个点的
n
话，那么只需这两个点的距离最小即可，于是得
⎡x -b a ⎤⎡1-exp (a )⎤⎦⎣0(1)⎦⎣c =
⎛⎡1-exp (a )⎤
⎦ ⎣
x 0(1)
⎝
-1
-1
n
+
∑
i =2
exp ⎡⎣-a (i -1)⎤⎦
x 0(i )
⎫
⎪⎪⎭
2
⎫⎪+⎪⎭
(21)
n
∑
i =2
⎛exp ⎡-a (i -1)⎤
⎣⎦ x 0(i )⎝
在实际应用中，为了便于计算也常将第一项忽略掉，则上式可变成
n
∑
c =
n i =2
exp ⎡⎣-a (i -1)⎤⎦
x 0(i )
⎫
⎪⎪⎭
2
(22)
∑
i =2
⎛exp ⎡-a (i -1)⎤
⎣⎦ x 0(i )⎝
(三) 灰色系统的应用
灰色系统是一门处理“少数据不确定性”的新兴学科，具有只需少量数据就可作系统分析、模型建立、未来预测、行为决策和过程控制的特点．
灰色系统在国内生产总值中的应用
1． 建立灰色预测模型 灰色预测利用模型
dx (k )dt
[15]
是指以GM(1，1) 模型为基础的预测，其建模方法是列出预测对象历史发展时间序列，并对其进行一次迭加得{x (k )}，
+ax (k )=b ，然后对模型进行检验．
表6 2002 2007年GDP 及各产业增加值（亿元）
根据上述方法及列出的相应数据，计算得各指标预测方程如下：
（1） GDP预测方程为：x 0(k +1)=10039.07e 0.2k ⨯(e 0.2-1)
由于观察到残差较大，故考虑用GM(1，1) 模型进行残差修正．其残差序列e (k )生成的预测模型为：
e (k +1)=333.25e
0.4244k
⨯(e ⨯(e
0.424k
-1)，即修正后的预测模型为：
0.4244k
x 0(k +1)=10039.07e
0.2k 0.2
-1)-δ(k -1)⨯331.25e ⨯(e
0.4244
-1)
其中 δ(k -1)=⎨
⎧1, ⎩0,
k ≥1k
利用该模型进行预测可得预测值．
（2）第一产业预测方程为：x 1(k +1)=3873.98e 0.1169k (e 0.1169-1)
由于该模型数据残差较小，故直接采用该模型为预测模型．同理可得第二、第三产业预测方程． 2． 各指标预测
1
min x i (k )-~x i (k )+max x i (k )-~x i (k )
1k k 2=γi =
14
x 0(k )-~x i (k )+max x i (k )-~x i (k )
2k
6
对上述预测模型进行下列关联性检验，计算εi (k )
∑ε
k =1
i (k )
；i =0, 1, 2, 3．
经计算得γ0=0.7417，γ1=0.7978，γ2=0.859，γ3=0.646，γ1≥0.6 故预测模型对历史数据进行了较高程度的模拟．
利用上面预测模型对历史数据进行模拟，可得各指标预测值如表7所示：
表7 2002 2007年GDP 及各产业增加值（亿元）
根据上述预测模型可得未来两年各相关数据如表8所示. 从预测结果看第二产业发展势头良好，未来两年将GDP 产生较大影响，第一、第三产业增长速度相对落后第二产业的增长；由于第三产业基数较大，因此也提示我们今后应大力发展第三产业．
表8 2008 2009年GDP 及各产业增加值的预测值（亿元） 3． 灰色关联分析
关联度是事物之间、因素之间关联性的量度，借助关联度，从而为因素分析提供依据，为决策提供基础．根据数据，对各序列作均值化变换：用各序列的平均值除序列的原始数据，得新序列（略）；对新序列x i (k )，计算各相关系数r i (k ), i =1, 2, 3
r i (k )=
m in m in x 0(k )-x i (k )+ρm ax m ax x 0(k )-x i (k )
i
k
i
k
x 0(k )-x i (k )+ρm ax m ax x 0(k )-x i (k )
i
k
其中分辨系数ρ=0.5, k =1, 2, 3, 4, 5, 6； 采用邓氏关联度
[16]
得各产业与 GDP的平均灰色关联度：r (x 0, x 1)=
1
6
i k )
r (∑6
k =1
, i =1, 2, 3
计算得各相关系数如表9所示．
表9 计算得各相关系数表
各产业与GDP 的灰色关联度r (x 0, x 1)=0.659; r (x 0, x 2)=0.539; r (x 0, x 3)=0.684
关联度由大到小的排列顺序为：第三产业、第一产业、第二产业；从三个数字看大小差异不大，说明产业结构在不断优化和改善，但三大产业中没有占主要地位的产业；根据关联度越大，表示两个数列的关联性越大，比较数列对参考数列的影响程度越
大，今后第三产业的发展对GDP 影响将相对较大．
根据表6和表8得各相关系数如表10：
表10 相关系数表
各产业与GDP 的灰色关联度为：r (x 0, x 1)=0.744; r (x 0, x 2)=0.646; r (x 0, x 3)=0.720
关联度由大到小的排列顺序为：第一产业、第三产业、第二产业；三个数字大小差别不大，根据关联度越大，表示两个数列的关联性越大，比较数列对参考数列的影响程度越大，今后第三产业、第一产业的发展对GDP 影响将相对较大． 参考文献
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