专科数学模拟题 卷Ⅰ
一、选择题：本大题共15小题，每小题5分，共75分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的。
（1）由小于7的质数所组成的集合（ B
）
（A ）{1,2,3,5,7}， （B ）{2,3,5,7} （C ）{2,3,5}， （D ）x x ≤7
（2）设函数y =f (x )的定义域是区间[a , b ]，且g (x )=f (x +1)，则函数g (x )的定义域是区间
{}
( C )
(A )[a , b ]. (B )[a +1, b +1]. (C )[a -1, b -1]. (D )[a -1, b +1].
（3
（ D ）
（A ）x +y , （B ）-(x +y ), （C ）x +y , （D ）x +y （4）如果a
（A ）a +5>b +5. （B ）3a >3b .
（C ）-5a >-5b . （D ）a 3>b 3
. （5）数列
11⨯2, -12⨯3, 13⨯4, -14⨯5
, 的一个通项公式（ D ） （A ）
1n n+1. （B ）-1
n n+1.
C ）(-1)n (-1)n+1
（n n+1. （D ）n n+1. .
（6）过曲线y =
18
x 4
上一点P (2,2)的切线的斜率是（ C ） （A ） 1. （B ） 2. （C ） 4. （D ）8.
（7）sin
π
3
+cos
π
3
+tan
π
3
=（ C ）
（A ）
. （B ）
12+ （C ）
1. （D
）2+
（8）已知tan α=2, 那么
2sin α+cos α
sin α-cos α
=（ B ）
（A ） 15. （B ）5. （C ） -5. （D ）-1
5.
（9）函数y =5
2
+2cos x -cos 2x 的最大值是（ 4 ）
（A ） 5. （B ） -5. （C ） 55
2. （D ）-2
.
1
, 那么a 得知满足（ B ） 3
（A ）a
（11
）已知a =, b =-1, 则a , b =（ D ）
（10）已知∆ABC 中, 如果 b =6, c =4,cos A =
(()
（A ）30. （B ）60. （C ） 120. （D ）150.
（12）直线ax -2y -1=0和直线6x -4y +c =0平行, 那么（ B ） （A ）a =3, c =-2. （B ）a =3, c ≠-2. （C ）a ≠3, c =-2. （D ）a ≠3, c ≠-2.
（13）圆x 2+y 2=16与圆x 2+y 2-2x -3=0的位置关系是（ A ）
（A ）内含. （B ）相交. （C ）相离. （D ）相切. （14）在一次读书活动中, 一人要从 5本不同的科技书、7本不同的文艺书里任意选取一本书, 那么不
同的选法有（ C ）
（A ）5种. （B ）7种. （C ）12种. （D ）35种.
（15）甲、乙两人各进行一次足球射门, 甲击中目标的概率是0.5 , 乙击中目标的概率是0.8, 那么两人
都击中目标的概率是（ A ）
（A ）0.4. （B ）0.3. （C ）0.6. （D ）1.
二、填空题。本题考查基本知识和基本运算. 每小题6分，共30分。把答案填在题中横线上。 （16）抛物线y =(x -1)(x -3)顶点的坐标是_______ (2,-1) . （17）函数f (
x )=
的定义域为_______空集 .
（18）不等式(3x -4)(2x +1)>0的解集是_______ {xlx4/3} . （19）已知直线ax -2y +1=0和直线平行2x -ay +3=0平行, 则a =_ -2 . （20）当x +x
-1
=5时, x 3+x -3.
三、本大题共4小题，共45分。解答应写出推理、演算步骤。 （21）（本小题满分10分）
已知a =(-1, -2), b =(-2,4), c =(2,3). 求ab , a +b a -b , a +b
a +b =(－3, 2)
a -b =(1,-6)
a +c =(1,1)
ab =-6
(a +b )(a -b ) =-15
(a +b )(a +c ) =-1
()(
)()(
a +c 。
)
（22）（本小题满分10分）
用3米长的绳索围一个三角形，怎样围可以使这个三角形的面积最大？（限用导数法） 设三边为a ，b ，c 面积为s
(a +b +c )
2
即求a +b +c -3=0，s 最大值，即s 2最大值s =m =F =s 2+λ（a +b +c -3）求得a =b =c =1.5m
（23）（本小题满分12分）
设等比数列{a
n }的各项是正数且满足a 3+a 2=2
a 3-a 2=a 1，求该数列的通项公式。
a q 2+
q =2+ 1
()
a q 2-a q =
a 111
q =
1 +22
a =1 1
1n -1
a = (+ n
22
（24）（本小题满分13分）
从已知圆(x +1)+(y -1)=1外一点P (-2,3)向圆引两条切线，求不垂直于x 轴的圆的切线方程。
解，设y=kx+b
b=3+2k
2
2
R =
=1
k =-
3433y =-x +
42
专科数学模拟题 卷Ⅱ
一、选择题：本大题共15小题，每小题5分，共75分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
的。
（1）已知集合A ={1,2,3,4,6,12} ，B ={1,2,3,6,9,18}，则A B =(A )
（A ）{1,2,3,4,6,9,12,18}， （B ）{1,2,3,6} （C ）{1,3,6}， （D ）{1,2,6}
3
（2）函数y =(1+x )
2
-
(1+x )4
x
的定义域是( C )
(A ){x x ≤-1}. (B ){x x ≥-1}.
(C ){x ≥-1, 且x ≠0}. (D ){x x >-1, 且x ≠0}.
（3）抛物线x 2=-2y +2 （ D ）
(A )开口向上, 顶点为 (0, -1). (B )开口向上, 顶点为(0,1). (C )开口向下, 顶点为 (0, -1) (D )开口向下, 顶点为(0,1). （4）如果a >b ，a ≠0，b ≠0，那么(D )
（A ）
11a 1b . （D ）11a 可小于也可大于b
.
（5）已知数列1, -112, 3, -14, , (-1)n +11
n
, , 那么它的第10项的值等于（（A ）-1. （B ）1. （C ）-110
. （D ）1
10.
（6）过曲线y =x 2+1 上一点P (-2,5)的切线的斜率是（ D ）
（A ） 8. （B ） -2. （C ） -3. （D ）-4. （7）sin
π
π
4
+cos
4
+tan
π
4
=（ D ）
（A ）
1+ （B ）
2+ （C ）
（D
）1（8）已知sin α=4⎛π5 ⎝2
⎪⎭
, 那么tan α=（ A ） （A ） -
43. （B ）-34. （C ） 34. （D ）43. （9）函数y =3
2
+2cos x -cos 2x 的最小值是（ D ）
（A ） 3. （B ） -3. （C ） 33
2. （D ）-2
.
C ）
（10）已知∆ABC 中, 如果
a 1, b =2, c =, 那么C =（ B ）
（A ）15. （B ）30. （C ） 45. （D ）60.
（11
）已知a =-1, b =, 则a , b =（ D ）
()
(（A ）30. （B ）60. （C ） 120. （D ）150.
（12）直线3x -2y +c =0和直线6x +by +2=0平行, 那么（ B ） （A ）b =4, c =1. （B ）b =-4, c ≠1. （C ）b =-4, c =1. （D ）b =4, c ≠1.
（13）圆x 2+y 2=25与圆x 2+y 2-2x -3=0的位置关系是（ A ）
（A ）内含. （B ）相交. （C ）相离. （D ）相切.
（14）在一次选举活动中, 要从 7名男同学，5名女同学中任意选取一名主席, 那么不同的选法有（ C ）
（A ）5种. （B ）7种. （C ）12种. （D ）35种.
（15）甲、乙两人各进行一次射击, 甲击中目标的概率是0.8, 乙击中目标的概率是0.6, 那么两人都击中目标的概率
是（ C ）
（A ）0.4. （B ）1.4. （C ）0.48. （D ）1.
二、填空题。本题考查基本知识和基本运算. 每小题6分，共30分。把答案填在题中横线上。
2
（16）抛物线y =3x -7x +6顶点的坐标是_______(,
723
) . 612
（17
）函数y =
_______ (-2, 2) .
（18）不等式x -4>3的解集是_______ (7,+∞) ⋃(-∞,1) .
（19）已知直线6x +4y -3=0和直线平行3x +2y -6=0平行, 那么这两条平行线间的距离等于
（20）当x =2, y =3时, x +y 的值是-3
2
. 26
73
. 8
三、本大题共4小题，共45分。解答应写出推理、演算步骤。 （21）（本小题满分10分）
已知a =(2,3), b =(-2,4), c =(-1, -2). 求ab , a +b a -b , a b +c ,
()(
)()
(
a +b
)(
a +b
)
a +b =(0,7)
a -b =(4,-1)
b +c =(-3, 2) ab =8
(a +b )(a -b ) =-7 a (b +c ) =0
(a +b )(a +b ) =49
（22）（本小题满分10分）
用4米长的绳索围一个矩形，怎样围可以使这个矩形的面积最大？（限用导数法）
解，设一边为x ，另一边为2－x ，s=x(2-x)=2x-x2s , =2-2x =0x =1长和宽都为1
（23）（本小题满分12分）
三个正数成等差数列，和为15，若将这三个数分别加上1, 正数.
4, 19后，得到的三个数成等比数列，求这三个
解，设这三个正数为x ,x-a,x+ax-a+x+x+a=15x=5
81=(6-a)(24+a)
a=3
这三个数为2 5 8
（24）（本小题满分13分）
从已知圆(x -1)+(y -1)=1外一点P (2,3)向圆引两条切线，求不垂直于x 轴的圆的切线方程。
2
2
y =kx -2k +3
R ==1
3
k =
433y =x +
42
专科数学模拟题 卷Ⅲ
一、选择题：本大题共15小题，每小题5分，共75分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
的。
（1）已知集合A ={1,2,4,12}, B ={1,2,4,8,16}，则A B =(B )
（A ）{1,2,4,12,1,2,4,8,16} （B ）{1,2,4}
（C ）{1,2,4,8,12,16} （D ）{1,2,4,12,4,8,16} （2）2-3⨯62+92⨯3-3=(
B )
(A )
13. (B )71152. (C )4. (D )9
. （3）定义域为R , 且x ≠3的函数是( D )
(A )
y =23-x . (B )y =2x -3.
11 (C )
y =⎛x
-3 1⎫⎝2⎪⎭
. (D )
y =⎛1⎫x -3
⎝2⎪⎭
.
（4）如果a
（A ）a -b
（C ）a -b >0. （D ）a -b 可为任意实数.
（5）已知等差数列{a n }, 首项为a , 公差为d , 那么该数列的通项公式为（（A ）a n =na +d . （B ）a n =a +(n -1)d . （C ）a n =a +nd . （D ）a n =(n +1)a +d . （6）函数y =2x 3
-x 的导数是（ B ）
（A ） 6x 2
. （B ）6x 2
-1. （C ） 2x 2
-1. （D ）2x 2
（7）已知R 为圆的半径, 弧长为
3
5
R 的圆弧所对的圆心角等于（ D ） （A ） 108
. （B ）
135π. （C ） 145
. （D ）
108
π
（8）已知cos 2α=
5⎛13 3π⎝2
⎪⎭
, 则tan α=（ C ）
（A ）
23. （B ） 32. （C ） -233. （D ）-2
. （9）函数y =3sin 2
x +6sin x -4 的最小值是（ C ）
（A ） 5. （B ） -5. （C ）-7. （D ）7.
（10）已知∆ABC 中, A :B :C =1:2:3, 那么a :b :c =（ C ）
B ）
（A ）1:2:3. （B ）3:2:1.. （C
）2. （D
）.
（11）已知 a =4, b =3, a , b =150
, 则 ab =（ B ）
（A ）-6. （B
）-. （C
） （D ） 6.
（12）直线2x +y +n =0, 与直线x -2y +m =0的位置关系是（ A ）
（A ） 垂直. （B ） 平行.
（C ）相交但不垂直. （D ）不能确定, 与m , n 的取值有关. （13）圆x 2+y 2-4x +6y +4=0的圆心坐标和半径分别是（ C ）
（A ）（2,3）,3. （B ）（-2,3）
,
（C ）
（2,-3）, 3. （D ）（-2,3）
, （14） 从10 名理事中选出3名常务理事, 共有可能的人选（ A ） （A ）120组. （B ）240组. （C ）600组. （D ）720组.
（15）任意抛掷三枚均匀硬币, 恰有一枚正面朝上的概率是（ D ）
（A ）
14. （B ）13. （C ）334. （D ）8
. 二、 填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。把答案填在题中横线上。
（16
）
2
2)
= （17）不等式x ≤5的解集是[-5,5]
（18）抛物线y =(x -1)(x -3)顶点的坐标是_______ (2,-1) .
（19）已知经过点A (-2, a )和点B (a ,7)的直线的斜率是2，则a = 1 .
（20）在平面直角坐标系中，A (2,5)，B (1,7)，则向量 AB
的坐标为 (-1,2) .
三、本大题共5小题，每小题10分，共50分。解答应写出推理、演算步骤。 （21）（本小题满分10分）
已知 a =(1,0),
b =(0,2)，计算(2 a + b )( a -2 b )
2 a +b
=(2,2) a -2
b =(1,- (2 a + b )( 4)
a -2
b ) =-6
（22）（本小题满分10分）
已知两个数的和等于16，问甲乙两个数各为多少时它们的乘积最大？（限用导数法）
解，设甲为x ，乙为16-x ，他们的乘积为y y=x(16-x)
y . =16-2x =0x =8
（23）（本小题满分10分）
已知直线6x +4y -1=0和直线3x +2y -6=0平行，求与这两条直线距离相等的点的轨迹。
解，设直线方程为3x +2y -a =0
3x +2y -6=0上的点（2，0）到6x +4y -1=0的距离11d 213a ＝
4
轨迹为12x+8y-13=0d （24）（本小题满分10分）
已知等差数列{a n }的第4项是10，第8项是22，求它的第10项.
a+3d=10a+7d=22
a=1,d=3a 10=a +9d =28
（25）（本小题满分10分）
已知函数y =ax 2+bx +c 的图象是以点(-1,2)为顶点的抛物线，并且这个图象经过点(1,6), 求a , b , c 的值. 并写出二次函数的表达式。
y , =2ax +b b -2a =02=a -b +c
6=a +b +c a =1, b =2, c =3y =x 2+2x +3
专科数学模拟题 卷Ⅳ
一、选择题：本大题共15小题，每小题5分，共75分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）由平面直角坐标系中坐标轴上的点所组成的集合是（ A ）
（A ）{(x , y )x =0}， （B ）{(x ,0, ), (0, y )} （C ）
{(x , y )x =0. 且y =0}， （D ）{(x , y )xy =0}
（2）函数设x +x -1=2, 则x 2+x -2的值是(C
)
（A ）0, （B ） 4, （C ） 2, （D ） 1
（3
）函数y =
D ）
（A ）x ≥1, （B ）x ≤-1, （C ）-1≤x ≤1, （D ）x ≥1, 或x ≤-1 （4）如果a
)
（A ）
1a
a =b . （C ）1a >1b . （D ）11a 可小于也可大于b
.
（5）已知数列-1, 14, -19, , (-1)n 1
n
2, , 那么它的第5项的值等于（ （A ）15. （B ）-15. （C ）125
. （D ）-125.
（6）函数y =13
3
x -4x +4（ D ）
（A ）没有极大值. （B ）没有极小值. （C ）极大值为-44
3. （D ）极小值为-3
.
（7）cos
π
π
2
+cot
2
+cos (-π)=（ B ）
（A ） 1. （B ） -1. （C ） 0. （D ）2.
（8）已知, tan α=3那么sin αcos α=（ D ）
（A ） -
10103. （B ）3. （C ）-310
. （D ）310.
（9）函数y =5
2
+2cos x -cos 2x 的最小值是（ D ）
（A ） 2. （B ） -2. （C ） 11
2 . （D ）-2
.
（10）已知∆ABC 中, 如果
C =90 , a =b =那么cos
B
2
=（ C ） （A
（B
1 （C ）
（D ）2.
（11）已知 a =8, b =6, 则 a , b =150
, 则 ab =（ A ）
（A ）-24. （B
）- （C
） （D ）16.
D ）
（12）已知点A (1,3)，B (3, -5)，则线段AB 的垂直平分线的方程是（ A ） （A ）x -4y -6=0. （B ）x -4y +6=0. （C ）x +4y -6=0. （D ）x +4y +6=0.
（13）圆x 2+y 2-4x +6y +8=0的圆心坐标和半径分别是（ B ）
（A ）（2,3）,5. （B ）（2,-3）
,
（-2,3）,5. （D ）（-2,3）
, （C ）
（14）一个集合由8个不同的元素组成，这个集合中包含3个元素的子集有（ A ） （A ）56个. （B ）256个. （C ）336个. （D ）512个.
（15）阅览室里陈列了5科技本杂志和7本文艺杂志，一人从中任取一本阅读，那么他阅读文艺杂志的概率是
（ C ）
（A ）
5571. （B ）. （C ）. （D ）. 712125
二、填空题。本题考查基本知识和基本运算. 每小题6分，共30分。
把答案填在题中横线上。 （16
）.
（17）抛物线x 2=-2y +2的顶点坐标为（18）不等式
3-2x
n
(-1), 1
（19）数列{a n }的第n 项a n =那么a 4+
n n +1a 4
（20）过曲线y =
=.
13⎛8⎫
x 上一点P 2, ⎪的切线方程是______y=4x-32/3_ . 3⎝3⎭
三、本大题共4小题，共45分。解答应写出推理、演算步骤。
（21）（本小题满分10分）
已知∆ABC 中，a +c =2b ,3a +b =2c ，求sin A :sin B :sin C 。
a +c =2b
3a +b =2c
5b =c
73a =c
7
sin A :sin B :sin C =3：7：5
（22）（本小题满分10分）
求点P (4,5)关于直线y =3x +3的对称点的坐标。
11
k ，=-过p 点的直线为y =-x-4）+5
331
y =-x-4）+5
3y =3x +3x =1y =6
2222
（1-4）+（6-5）=（x -1）+（y -6）
1
y =-x-4）+5
3x =-2y =7
坐标为（-2.7）
（23）（本小题满分12分）
成等差数列的三个正数，和为15，若将这三个数分别加上1, 个数.
设这三个数为a ，a+d,a+2d
3, 9后，得到的三个数成等比数列，求这3
3a+3d=15
(a+1)(a+2d+9)=(a+d+3)2a =3d =2
（24）（本小题满分13分）
已知二次函数f (x )在x =2时有最大值5，并且f (1)=0。求（ⅰ）f (x )的解析式；（ⅱ）当f (x )>-5时x 的取值范围。
设方程为f (x ) =a (x -2) 2+b f (x ) =a (x -2) 2+b f (2)=5
f (1)=0a =-5b =5
f (x ) =-5(x -2) 2+5f (x ) ≥-5-5(x -2) 2+5≥-52
专科数学模拟题 卷Ⅴ
一、选择题：本大题共15小题，每小题5分，共75分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
的。
（1）由平面直角坐标系中不在坐标轴上的点所组成的集合是（ A ）
（A ）{(x , y )xy ≠0}， （B ）{(x , y , )x ≠0}
（C ）
{(x , y , )y ≠0}， （D ）{(x , y )xy =0}
（2）设2x -1=a ,2y -1=b , 则2x+y =（ D ）
（A ）a +b , （B ）2ab , （C ）ab , （D ） 4ab
（3
）函数y = C ）
（A ）x ≥1, （B ）x ≤-1, （C ）-1≤x ≤1, （D ）x ≥1, 或x ≤-1 （4）如果a >0, ab
)
（A ）b >0 （B ）b 可大于也可等于0 （C ）b
（5）已知等差数列{a n }中，a 5+a 8=5，那么a 2+a 11=（ A ）
（A ）5 （B ）10 （C ）15. （D ）20. （6）函数y =x 3+3x 2-1（ C ）
（A ）没有极大值. （B ）没有极小值. （C ）极大值为3. （D ）极小值为-3. （7）sin
π
2
+cot
π
2
+cos (-π)=（ C ）
（A ） 1. （B ） -1. （C ） 0. （D ）2. （8
）已知tan α=π
3π⎫
2
⎪⎭
, , 那么sin α-cos α=（A ） （A ）
. （B
（C
（D
（9）函数y =-3sin 2
x -6sin x +4 的最大值是（ C ）
（A ） 5. （B ） -5. （C ） 7 . （D ）-7.
（10）已知∆ABC 中, b -a cos C =（ C c o s
A ） （A ）b cos A . （B ）b cos B . （C ） c cos C . （D （11）已知
a =(3, x ), b =(, 且 a ⊥b ）c cos B .
, 则x =（
）
（A ）-
74. （B ）74. （C ）-773. （D ）3
. （12）直线ax -by +ab =0(ab ≠0)在x 轴上的截距是（ A ） （A ）-b . （B ）b . （C ）-a . （D ）a .
（13）与圆x 2
+y 2
-4x +6y -3=0的圆心相同，并且经过点（-1，1）的圆的方程是（ A
）
（A ）(x -2)+(y +3)=25. （B ）(x -2)+(y +3)=5. （C ）(x +2)+(y -3)=25. （D ）(x +2)+(y -3)=5
（14）一个集合由7个不同的元素组成，这个集合中包含3个元素的子集有（ B ）
（A ）21个. （B ）35个. （C ）210个. （D ）105个.
（15）任选一个小于10的正整数，它恰好是3的整数倍的概率是（ B ）
（A ）0.3. （B ）
2
2
2
2
2222
124. （C ）. （D ）. 399
二、填空题。本题考查基本知识和基本运算. 每小题6分，共30分。把答案填在题中横线上。 （16）设x +x -1=5, 则x 3+x -3.
（17）抛物线x 2=-2y +2的开口方向为11⎫⎧
x |-0的解集是_______ （18）不等式
1-2x
（19）已知等比数列{a n }的a 5=4, a 7=6, 那么a 9=（20）过曲线y =x 3-3x 2+1上一点P (2, -3)的切线方程是. 三、本大题共4小题，共45分。解答应写出推理、演算步骤。 （21）（本小题满分10分）
在∆
ABC 中，已知AB =2, BC =1, CA =D , E , F 分别在AB , BC , CA 边上，∆DEF 为正三角形，
记∠FEC 为
α，如果sin α=A
D B
，求∆DEF 的边长。
7
设边长为a a cos α+a =
7
（22）（本小题满分10分）
a 0
sin(180-α) =a +=1sin 6007
已知a =(1,0)，b =(0,2)，计算3a +b a -2b 。
()()
→
3a +b =(3,2)→ →
a -2b =(1, -4)→ → → →
(3a +b )(a -2b ) =3-2⨯4=-5
→
（23）（本小题满分12分）
设等比数列{a
n }的各项都是正数且满足a 3+a 2=2a 3-a 2=a 1，求该数列的通项公式. 设这三个数为a 1, a
1q , a 1q 2
a +a 1q 1q 2
=2a +1q 2-a =a 1q 1q =
12a 1=1a n =(1+n -12
（24）（本小题满分13分）
设y =ax 2
+bx +
1
4a
，当x =1时，y =-2, 当x =3时，其最大值为m ，求a , b , m 的值。 -
b 2a =3a
=-2a =-110
b =
3
5m =
85
专科数学模拟题 卷Ⅵ
一、选择题：本大题共15小题，每小题5分，共75分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
的。
（1）由8的正因数所组成的集合是（ D ）
（A ）1,2,4,8 （B ）{2,4,8} （C ）{2,4} （D ）{1,2,4,8}
3（2）函数y =(1+x )0
-
(1+x )
4
x
的定义域是( C )
(A ){x x ≤-1}. (B ){x x ≥-1}.
(C ){x x ≥-1, 且x ≠0}. (D ){x x >-1, 且x ≠0}.
（3）设f (x )=
1+x
1-x ，则当x ≠±1时，f (-x )=（ B ） (A ) 1+x 1-x x +1-x . (B ) 1+x . (C ) 1x -1
x -1. (D ) x +1
.
（4）如果a +b >0, b
（A ）a >b >-a >-b （B ）a >-a >b >-b .
（C ）a >-b >b >-a （D ）-a >-b >a >b .
（5）两个数的等差中项为a ，这两个数的差为4a ，那么这两个数为（ B ）
（A ）a,3a （B ）-a,3a （C ）a,-3a （D ）-a,-3a . （6）函数y =x 4-2x 2+5在区间[-2,2]上的（ A ）
（A ）最大值为13, 最小值为4. （B ）最大值为5, 最小值为4. （C ）最大值为13, 最小值为5. （D ）最大值为最小值的3倍. （7）已知角α的终边通过点P (3,4)，则sin α+cos α+tan α=（D ）
（A ）
4320. （B ） 2320. （C ） 74. （D ）4115
. （8）已知tan α+cot α=4, 那么sin 2α=（ C ）
（A ） 2. （B ）-2. （C ） 11
2. （D ）-2
.
（9）在α, β两角的变化过程中，若α+β=120
，则y =sin
2
α+cos 2β 的最小值是（ A ）
（A
）1-
2. （B ）
1+2
. （C ） 1. （D ）-1. （10）在∆ABC 中, 已知A =2B , 那么a 等于（ D ）
（A ）2b sin A . （B ）2b cos A . （C ） 2b sin B . （D ）2b cos B . （11）已知A (1,2), B (2,3), C (-2,5)，则∆ABC 的三个内角中（ A ）
（A ）∠A =90
. （B ）∠B =90
. （C ）∠C =90
. （D ）没有直角.
（12）方程ax +by +c =0与方程2ax +2by +c +1=0表示两条平行直线的充要条件是（ C ）
（A ）ab >0, 且c ≠1. （B ）ab
（A ）
2
2
11. （B ）. （C
. （D
23（14）把6个苹果平均分给3各小孩，不同的分配方法有（ D ） （A ）15种. （B ）30种. （C ）60种. （D ）90种.
（15）把一枚均匀硬币连掷四次，至少得到一次正面朝上的概率是（ C ）
（A ）
1415. （B ）. （C ）. （D ）1. 161616
二、填空题。本题考查基本知识和基本运算. 每小题6分，共30分。把答案填在题中横线上。 （16）抛物线y =2x 2-6x +10顶点的坐标是.
2-2-1
（17）已知a -a =2a -a ，则a =±1()
1⎧⎫x |x >, x
22⎭（18）不等式-2x -5x +3
1111
, , , , 那么它的前n 项的和S n =11+21+2+31+2+3+ +n
（20）在∆ABC 中, 已知a =5，那么 b cos C +c cos B =___ 5 .
（19）已知数列,
三、本大题共4小题，共45分。解答应写出推理、演算步骤。 （21）（本小题满分10分）
2(1-
1
) n +1 122
2
已知在∆ABC 中，顶点A , B , C 所对的边长分别为a , b , c . 求证：AB ⋅AC =(b +c -a )
2
A
C B -a 2+b 2+c 2122
AB ⋅AC =|AB ||AC |cos(AB ⋅AC ) =bc =(b +c -a 2)
2bc 2
→
→
→
→
→
→
（22）（本小题满分10分）
一周长为16cm 的长方形绕其中一边旋转一周形成一个圆柱。当长方形的长、宽各是多少是，旋转形成的圆柱的体积最大？（限用导数法）
a +b =8
v =∏a 2b =∏a 2(8-a ) =8∏a 2-∏a 3v , =16∏a -3∏a 2=01638b =
3a =
（23）（本小题满分10分）
求与圆x +y -x +2y =0关于点C (1,2)对称的圆的方程。
2
2
(x -12) 2+(y +1) 2=
54o (12
, -1) 2⨯1=12
+x
2⨯2=-1+y
x =3
2, y =5
(x -32) 2+(y -5) 2=
54
24）（本小题满分15分）
不等式(a 2-1)
x 2
-(a -1)x -1
a 2-1
∆=(a -1) 2+4(a 2-1)
0
2
5
（
专科数学模拟题 卷Ⅰ
一、选择题：本大题共15小题，每小题5分，共75分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的。
（1）由小于7的质数所组成的集合（ B
）
（A ）{1,2,3,5,7}， （B ）{2,3,5,7} （C ）{2,3,5}， （D ）x x ≤7
（2）设函数y =f (x )的定义域是区间[a , b ]，且g (x )=f (x +1)，则函数g (x )的定义域是区间
{}
( C )
(A )[a , b ]. (B )[a +1, b +1]. (C )[a -1, b -1]. (D )[a -1, b +1].
（3
（ D ）
（A ）x +y , （B ）-(x +y ), （C ）x +y , （D ）x +y （4）如果a
（A ）a +5>b +5. （B ）3a >3b .
（C ）-5a >-5b . （D ）a 3>b 3
. （5）数列
11⨯2, -12⨯3, 13⨯4, -14⨯5
, 的一个通项公式（ D ） （A ）
1n n+1. （B ）-1
n n+1.
C ）(-1)n (-1)n+1
（n n+1. （D ）n n+1. .
（6）过曲线y =
18
x 4
上一点P (2,2)的切线的斜率是（ C ） （A ） 1. （B ） 2. （C ） 4. （D ）8.
（7）sin
π
3
+cos
π
3
+tan
π
3
=（ C ）
（A ）
. （B ）
12+ （C ）
1. （D
）2+
（8）已知tan α=2, 那么
2sin α+cos α
sin α-cos α
=（ B ）
（A ） 15. （B ）5. （C ） -5. （D ）-1
5.
（9）函数y =5
2
+2cos x -cos 2x 的最大值是（ 4 ）
（A ） 5. （B ） -5. （C ） 55
2. （D ）-2
.
1
, 那么a 得知满足（ B ） 3
（A ）a
（11
）已知a =, b =-1, 则a , b =（ D ）
（10）已知∆ABC 中, 如果 b =6, c =4,cos A =
(()
（A ）30. （B ）60. （C ） 120. （D ）150.
（12）直线ax -2y -1=0和直线6x -4y +c =0平行, 那么（ B ） （A ）a =3, c =-2. （B ）a =3, c ≠-2. （C ）a ≠3, c =-2. （D ）a ≠3, c ≠-2.
（13）圆x 2+y 2=16与圆x 2+y 2-2x -3=0的位置关系是（ A ）
（A ）内含. （B ）相交. （C ）相离. （D ）相切. （14）在一次读书活动中, 一人要从 5本不同的科技书、7本不同的文艺书里任意选取一本书, 那么不
同的选法有（ C ）
（A ）5种. （B ）7种. （C ）12种. （D ）35种.
（15）甲、乙两人各进行一次足球射门, 甲击中目标的概率是0.5 , 乙击中目标的概率是0.8, 那么两人
都击中目标的概率是（ A ）
（A ）0.4. （B ）0.3. （C ）0.6. （D ）1.
二、填空题。本题考查基本知识和基本运算. 每小题6分，共30分。把答案填在题中横线上。 （16）抛物线y =(x -1)(x -3)顶点的坐标是_______ (2,-1) . （17）函数f (
x )=
的定义域为_______空集 .
（18）不等式(3x -4)(2x +1)>0的解集是_______ {xlx4/3} . （19）已知直线ax -2y +1=0和直线平行2x -ay +3=0平行, 则a =_ -2 . （20）当x +x
-1
=5时, x 3+x -3.
三、本大题共4小题，共45分。解答应写出推理、演算步骤。 （21）（本小题满分10分）
已知a =(-1, -2), b =(-2,4), c =(2,3). 求ab , a +b a -b , a +b
a +b =(－3, 2)
a -b =(1,-6)
a +c =(1,1)
ab =-6
(a +b )(a -b ) =-15
(a +b )(a +c ) =-1
()(
)()(
a +c 。
)
（22）（本小题满分10分）
用3米长的绳索围一个三角形，怎样围可以使这个三角形的面积最大？（限用导数法） 设三边为a ，b ，c 面积为s
(a +b +c )
2
即求a +b +c -3=0，s 最大值，即s 2最大值s =m =F =s 2+λ（a +b +c -3）求得a =b =c =1.5m
（23）（本小题满分12分）
设等比数列{a
n }的各项是正数且满足a 3+a 2=2
a 3-a 2=a 1，求该数列的通项公式。
a q 2+
q =2+ 1
()
a q 2-a q =
a 111
q =
1 +22
a =1 1
1n -1
a = (+ n
22
（24）（本小题满分13分）
从已知圆(x +1)+(y -1)=1外一点P (-2,3)向圆引两条切线，求不垂直于x 轴的圆的切线方程。
解，设y=kx+b
b=3+2k
2
2
R =
=1
k =-
3433y =-x +
42
专科数学模拟题 卷Ⅱ
一、选择题：本大题共15小题，每小题5分，共75分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
的。
（1）已知集合A ={1,2,3,4,6,12} ，B ={1,2,3,6,9,18}，则A B =(A )
（A ）{1,2,3,4,6,9,12,18}， （B ）{1,2,3,6} （C ）{1,3,6}， （D ）{1,2,6}
3
（2）函数y =(1+x )
2
-
(1+x )4
x
的定义域是( C )
(A ){x x ≤-1}. (B ){x x ≥-1}.
(C ){x ≥-1, 且x ≠0}. (D ){x x >-1, 且x ≠0}.
（3）抛物线x 2=-2y +2 （ D ）
(A )开口向上, 顶点为 (0, -1). (B )开口向上, 顶点为(0,1). (C )开口向下, 顶点为 (0, -1) (D )开口向下, 顶点为(0,1). （4）如果a >b ，a ≠0，b ≠0，那么(D )
（A ）
11a 1b . （D ）11a 可小于也可大于b
.
（5）已知数列1, -112, 3, -14, , (-1)n +11
n
, , 那么它的第10项的值等于（（A ）-1. （B ）1. （C ）-110
. （D ）1
10.
（6）过曲线y =x 2+1 上一点P (-2,5)的切线的斜率是（ D ）
（A ） 8. （B ） -2. （C ） -3. （D ）-4. （7）sin
π
π
4
+cos
4
+tan
π
4
=（ D ）
（A ）
1+ （B ）
2+ （C ）
（D
）1（8）已知sin α=4⎛π5 ⎝2
⎪⎭
, 那么tan α=（ A ） （A ） -
43. （B ）-34. （C ） 34. （D ）43. （9）函数y =3
2
+2cos x -cos 2x 的最小值是（ D ）
（A ） 3. （B ） -3. （C ） 33
2. （D ）-2
.
C ）
（10）已知∆ABC 中, 如果
a 1, b =2, c =, 那么C =（ B ）
（A ）15. （B ）30. （C ） 45. （D ）60.
（11
）已知a =-1, b =, 则a , b =（ D ）
()
(（A ）30. （B ）60. （C ） 120. （D ）150.
（12）直线3x -2y +c =0和直线6x +by +2=0平行, 那么（ B ） （A ）b =4, c =1. （B ）b =-4, c ≠1. （C ）b =-4, c =1. （D ）b =4, c ≠1.
（13）圆x 2+y 2=25与圆x 2+y 2-2x -3=0的位置关系是（ A ）
（A ）内含. （B ）相交. （C ）相离. （D ）相切.
（14）在一次选举活动中, 要从 7名男同学，5名女同学中任意选取一名主席, 那么不同的选法有（ C ）
（A ）5种. （B ）7种. （C ）12种. （D ）35种.
（15）甲、乙两人各进行一次射击, 甲击中目标的概率是0.8, 乙击中目标的概率是0.6, 那么两人都击中目标的概率
是（ C ）
（A ）0.4. （B ）1.4. （C ）0.48. （D ）1.
二、填空题。本题考查基本知识和基本运算. 每小题6分，共30分。把答案填在题中横线上。
2
（16）抛物线y =3x -7x +6顶点的坐标是_______(,
723
) . 612
（17
）函数y =
_______ (-2, 2) .
（18）不等式x -4>3的解集是_______ (7,+∞) ⋃(-∞,1) .
（19）已知直线6x +4y -3=0和直线平行3x +2y -6=0平行, 那么这两条平行线间的距离等于
（20）当x =2, y =3时, x +y 的值是-3
2
. 26
73
. 8
三、本大题共4小题，共45分。解答应写出推理、演算步骤。 （21）（本小题满分10分）
已知a =(2,3), b =(-2,4), c =(-1, -2). 求ab , a +b a -b , a b +c ,
()(
)()
(
a +b
)(
a +b
)
a +b =(0,7)
a -b =(4,-1)
b +c =(-3, 2) ab =8
(a +b )(a -b ) =-7 a (b +c ) =0
(a +b )(a +b ) =49
（22）（本小题满分10分）
用4米长的绳索围一个矩形，怎样围可以使这个矩形的面积最大？（限用导数法）
解，设一边为x ，另一边为2－x ，s=x(2-x)=2x-x2s , =2-2x =0x =1长和宽都为1
（23）（本小题满分12分）
三个正数成等差数列，和为15，若将这三个数分别加上1, 正数.
4, 19后，得到的三个数成等比数列，求这三个
解，设这三个正数为x ,x-a,x+ax-a+x+x+a=15x=5
81=(6-a)(24+a)
a=3
这三个数为2 5 8
（24）（本小题满分13分）
从已知圆(x -1)+(y -1)=1外一点P (2,3)向圆引两条切线，求不垂直于x 轴的圆的切线方程。
2
2
y =kx -2k +3
R ==1
3
k =
433y =x +
42
专科数学模拟题 卷Ⅲ
一、选择题：本大题共15小题，每小题5分，共75分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
的。
（1）已知集合A ={1,2,4,12}, B ={1,2,4,8,16}，则A B =(B )
（A ）{1,2,4,12,1,2,4,8,16} （B ）{1,2,4}
（C ）{1,2,4,8,12,16} （D ）{1,2,4,12,4,8,16} （2）2-3⨯62+92⨯3-3=(
B )
(A )
13. (B )71152. (C )4. (D )9
. （3）定义域为R , 且x ≠3的函数是( D )
(A )
y =23-x . (B )y =2x -3.
11 (C )
y =⎛x
-3 1⎫⎝2⎪⎭
. (D )
y =⎛1⎫x -3
⎝2⎪⎭
.
（4）如果a
（A ）a -b
（C ）a -b >0. （D ）a -b 可为任意实数.
（5）已知等差数列{a n }, 首项为a , 公差为d , 那么该数列的通项公式为（（A ）a n =na +d . （B ）a n =a +(n -1)d . （C ）a n =a +nd . （D ）a n =(n +1)a +d . （6）函数y =2x 3
-x 的导数是（ B ）
（A ） 6x 2
. （B ）6x 2
-1. （C ） 2x 2
-1. （D ）2x 2
（7）已知R 为圆的半径, 弧长为
3
5
R 的圆弧所对的圆心角等于（ D ） （A ） 108
. （B ）
135π. （C ） 145
. （D ）
108
π
（8）已知cos 2α=
5⎛13 3π⎝2
⎪⎭
, 则tan α=（ C ）
（A ）
23. （B ） 32. （C ） -233. （D ）-2
. （9）函数y =3sin 2
x +6sin x -4 的最小值是（ C ）
（A ） 5. （B ） -5. （C ）-7. （D ）7.
（10）已知∆ABC 中, A :B :C =1:2:3, 那么a :b :c =（ C ）
B ）
（A ）1:2:3. （B ）3:2:1.. （C
）2. （D
）.
（11）已知 a =4, b =3, a , b =150
, 则 ab =（ B ）
（A ）-6. （B
）-. （C
） （D ） 6.
（12）直线2x +y +n =0, 与直线x -2y +m =0的位置关系是（ A ）
（A ） 垂直. （B ） 平行.
（C ）相交但不垂直. （D ）不能确定, 与m , n 的取值有关. （13）圆x 2+y 2-4x +6y +4=0的圆心坐标和半径分别是（ C ）
（A ）（2,3）,3. （B ）（-2,3）
,
（C ）
（2,-3）, 3. （D ）（-2,3）
, （14） 从10 名理事中选出3名常务理事, 共有可能的人选（ A ） （A ）120组. （B ）240组. （C ）600组. （D ）720组.
（15）任意抛掷三枚均匀硬币, 恰有一枚正面朝上的概率是（ D ）
（A ）
14. （B ）13. （C ）334. （D ）8
. 二、 填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。把答案填在题中横线上。
（16
）
2
2)
= （17）不等式x ≤5的解集是[-5,5]
（18）抛物线y =(x -1)(x -3)顶点的坐标是_______ (2,-1) .
（19）已知经过点A (-2, a )和点B (a ,7)的直线的斜率是2，则a = 1 .
（20）在平面直角坐标系中，A (2,5)，B (1,7)，则向量 AB
的坐标为 (-1,2) .
三、本大题共5小题，每小题10分，共50分。解答应写出推理、演算步骤。 （21）（本小题满分10分）
已知 a =(1,0),
b =(0,2)，计算(2 a + b )( a -2 b )
2 a +b
=(2,2) a -2
b =(1,- (2 a + b )( 4)
a -2
b ) =-6
（22）（本小题满分10分）
已知两个数的和等于16，问甲乙两个数各为多少时它们的乘积最大？（限用导数法）
解，设甲为x ，乙为16-x ，他们的乘积为y y=x(16-x)
y . =16-2x =0x =8
（23）（本小题满分10分）
已知直线6x +4y -1=0和直线3x +2y -6=0平行，求与这两条直线距离相等的点的轨迹。
解，设直线方程为3x +2y -a =0
3x +2y -6=0上的点（2，0）到6x +4y -1=0的距离11d 213a ＝
4
轨迹为12x+8y-13=0d （24）（本小题满分10分）
已知等差数列{a n }的第4项是10，第8项是22，求它的第10项.
a+3d=10a+7d=22
a=1,d=3a 10=a +9d =28
（25）（本小题满分10分）
已知函数y =ax 2+bx +c 的图象是以点(-1,2)为顶点的抛物线，并且这个图象经过点(1,6), 求a , b , c 的值. 并写出二次函数的表达式。
y , =2ax +b b -2a =02=a -b +c
6=a +b +c a =1, b =2, c =3y =x 2+2x +3
专科数学模拟题 卷Ⅳ
一、选择题：本大题共15小题，每小题5分，共75分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）由平面直角坐标系中坐标轴上的点所组成的集合是（ A ）
（A ）{(x , y )x =0}， （B ）{(x ,0, ), (0, y )} （C ）
{(x , y )x =0. 且y =0}， （D ）{(x , y )xy =0}
（2）函数设x +x -1=2, 则x 2+x -2的值是(C
)
（A ）0, （B ） 4, （C ） 2, （D ） 1
（3
）函数y =
D ）
（A ）x ≥1, （B ）x ≤-1, （C ）-1≤x ≤1, （D ）x ≥1, 或x ≤-1 （4）如果a
)
（A ）
1a
a =b . （C ）1a >1b . （D ）11a 可小于也可大于b
.
（5）已知数列-1, 14, -19, , (-1)n 1
n
2, , 那么它的第5项的值等于（ （A ）15. （B ）-15. （C ）125
. （D ）-125.
（6）函数y =13
3
x -4x +4（ D ）
（A ）没有极大值. （B ）没有极小值. （C ）极大值为-44
3. （D ）极小值为-3
.
（7）cos
π
π
2
+cot
2
+cos (-π)=（ B ）
（A ） 1. （B ） -1. （C ） 0. （D ）2.
（8）已知, tan α=3那么sin αcos α=（ D ）
（A ） -
10103. （B ）3. （C ）-310
. （D ）310.
（9）函数y =5
2
+2cos x -cos 2x 的最小值是（ D ）
（A ） 2. （B ） -2. （C ） 11
2 . （D ）-2
.
（10）已知∆ABC 中, 如果
C =90 , a =b =那么cos
B
2
=（ C ） （A
（B
1 （C ）
（D ）2.
（11）已知 a =8, b =6, 则 a , b =150
, 则 ab =（ A ）
（A ）-24. （B
）- （C
） （D ）16.
D ）
（12）已知点A (1,3)，B (3, -5)，则线段AB 的垂直平分线的方程是（ A ） （A ）x -4y -6=0. （B ）x -4y +6=0. （C ）x +4y -6=0. （D ）x +4y +6=0.
（13）圆x 2+y 2-4x +6y +8=0的圆心坐标和半径分别是（ B ）
（A ）（2,3）,5. （B ）（2,-3）
,
（-2,3）,5. （D ）（-2,3）
, （C ）
（14）一个集合由8个不同的元素组成，这个集合中包含3个元素的子集有（ A ） （A ）56个. （B ）256个. （C ）336个. （D ）512个.
（15）阅览室里陈列了5科技本杂志和7本文艺杂志，一人从中任取一本阅读，那么他阅读文艺杂志的概率是
（ C ）
（A ）
5571. （B ）. （C ）. （D ）. 712125
二、填空题。本题考查基本知识和基本运算. 每小题6分，共30分。
把答案填在题中横线上。 （16
）.
（17）抛物线x 2=-2y +2的顶点坐标为（18）不等式
3-2x
n
(-1), 1
（19）数列{a n }的第n 项a n =那么a 4+
n n +1a 4
（20）过曲线y =
=.
13⎛8⎫
x 上一点P 2, ⎪的切线方程是______y=4x-32/3_ . 3⎝3⎭
三、本大题共4小题，共45分。解答应写出推理、演算步骤。
（21）（本小题满分10分）
已知∆ABC 中，a +c =2b ,3a +b =2c ，求sin A :sin B :sin C 。
a +c =2b
3a +b =2c
5b =c
73a =c
7
sin A :sin B :sin C =3：7：5
（22）（本小题满分10分）
求点P (4,5)关于直线y =3x +3的对称点的坐标。
11
k ，=-过p 点的直线为y =-x-4）+5
331
y =-x-4）+5
3y =3x +3x =1y =6
2222
（1-4）+（6-5）=（x -1）+（y -6）
1
y =-x-4）+5
3x =-2y =7
坐标为（-2.7）
（23）（本小题满分12分）
成等差数列的三个正数，和为15，若将这三个数分别加上1, 个数.
设这三个数为a ，a+d,a+2d
3, 9后，得到的三个数成等比数列，求这3
3a+3d=15
(a+1)(a+2d+9)=(a+d+3)2a =3d =2
（24）（本小题满分13分）
已知二次函数f (x )在x =2时有最大值5，并且f (1)=0。求（ⅰ）f (x )的解析式；（ⅱ）当f (x )>-5时x 的取值范围。
设方程为f (x ) =a (x -2) 2+b f (x ) =a (x -2) 2+b f (2)=5
f (1)=0a =-5b =5
f (x ) =-5(x -2) 2+5f (x ) ≥-5-5(x -2) 2+5≥-52
专科数学模拟题 卷Ⅴ
一、选择题：本大题共15小题，每小题5分，共75分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
的。
（1）由平面直角坐标系中不在坐标轴上的点所组成的集合是（ A ）
（A ）{(x , y )xy ≠0}， （B ）{(x , y , )x ≠0}
（C ）
{(x , y , )y ≠0}， （D ）{(x , y )xy =0}
（2）设2x -1=a ,2y -1=b , 则2x+y =（ D ）
（A ）a +b , （B ）2ab , （C ）ab , （D ） 4ab
（3
）函数y = C ）
（A ）x ≥1, （B ）x ≤-1, （C ）-1≤x ≤1, （D ）x ≥1, 或x ≤-1 （4）如果a >0, ab
)
（A ）b >0 （B ）b 可大于也可等于0 （C ）b
（5）已知等差数列{a n }中，a 5+a 8=5，那么a 2+a 11=（ A ）
（A ）5 （B ）10 （C ）15. （D ）20. （6）函数y =x 3+3x 2-1（ C ）
（A ）没有极大值. （B ）没有极小值. （C ）极大值为3. （D ）极小值为-3. （7）sin
π
2
+cot
π
2
+cos (-π)=（ C ）
（A ） 1. （B ） -1. （C ） 0. （D ）2. （8
）已知tan α=π
3π⎫
2
⎪⎭
, , 那么sin α-cos α=（A ） （A ）
. （B
（C
（D
（9）函数y =-3sin 2
x -6sin x +4 的最大值是（ C ）
（A ） 5. （B ） -5. （C ） 7 . （D ）-7.
（10）已知∆ABC 中, b -a cos C =（ C c o s
A ） （A ）b cos A . （B ）b cos B . （C ） c cos C . （D （11）已知
a =(3, x ), b =(, 且 a ⊥b ）c cos B .
, 则x =（
）
（A ）-
74. （B ）74. （C ）-773. （D ）3
. （12）直线ax -by +ab =0(ab ≠0)在x 轴上的截距是（ A ） （A ）-b . （B ）b . （C ）-a . （D ）a .
（13）与圆x 2
+y 2
-4x +6y -3=0的圆心相同，并且经过点（-1，1）的圆的方程是（ A
）
（A ）(x -2)+(y +3)=25. （B ）(x -2)+(y +3)=5. （C ）(x +2)+(y -3)=25. （D ）(x +2)+(y -3)=5
（14）一个集合由7个不同的元素组成，这个集合中包含3个元素的子集有（ B ）
（A ）21个. （B ）35个. （C ）210个. （D ）105个.
（15）任选一个小于10的正整数，它恰好是3的整数倍的概率是（ B ）
（A ）0.3. （B ）
2
2
2
2
2222
124. （C ）. （D ）. 399
二、填空题。本题考查基本知识和基本运算. 每小题6分，共30分。把答案填在题中横线上。 （16）设x +x -1=5, 则x 3+x -3.
（17）抛物线x 2=-2y +2的开口方向为11⎫⎧
x |-0的解集是_______ （18）不等式
1-2x
（19）已知等比数列{a n }的a 5=4, a 7=6, 那么a 9=（20）过曲线y =x 3-3x 2+1上一点P (2, -3)的切线方程是. 三、本大题共4小题，共45分。解答应写出推理、演算步骤。 （21）（本小题满分10分）
在∆
ABC 中，已知AB =2, BC =1, CA =D , E , F 分别在AB , BC , CA 边上，∆DEF 为正三角形，
记∠FEC 为
α，如果sin α=A
D B
，求∆DEF 的边长。
7
设边长为a a cos α+a =
7
（22）（本小题满分10分）
a 0
sin(180-α) =a +=1sin 6007
已知a =(1,0)，b =(0,2)，计算3a +b a -2b 。
()()
→
3a +b =(3,2)→ →
a -2b =(1, -4)→ → → →
(3a +b )(a -2b ) =3-2⨯4=-5
→
（23）（本小题满分12分）
设等比数列{a
n }的各项都是正数且满足a 3+a 2=2a 3-a 2=a 1，求该数列的通项公式. 设这三个数为a 1, a
1q , a 1q 2
a +a 1q 1q 2
=2a +1q 2-a =a 1q 1q =
12a 1=1a n =(1+n -12
（24）（本小题满分13分）
设y =ax 2
+bx +
1
4a
，当x =1时，y =-2, 当x =3时，其最大值为m ，求a , b , m 的值。 -
b 2a =3a
=-2a =-110
b =
3
5m =
85
专科数学模拟题 卷Ⅵ
一、选择题：本大题共15小题，每小题5分，共75分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
的。
（1）由8的正因数所组成的集合是（ D ）
（A ）1,2,4,8 （B ）{2,4,8} （C ）{2,4} （D ）{1,2,4,8}
3（2）函数y =(1+x )0
-
(1+x )
4
x
的定义域是( C )
(A ){x x ≤-1}. (B ){x x ≥-1}.
(C ){x x ≥-1, 且x ≠0}. (D ){x x >-1, 且x ≠0}.
（3）设f (x )=
1+x
1-x ，则当x ≠±1时，f (-x )=（ B ） (A ) 1+x 1-x x +1-x . (B ) 1+x . (C ) 1x -1
x -1. (D ) x +1
.
（4）如果a +b >0, b
（A ）a >b >-a >-b （B ）a >-a >b >-b .
（C ）a >-b >b >-a （D ）-a >-b >a >b .
（5）两个数的等差中项为a ，这两个数的差为4a ，那么这两个数为（ B ）
（A ）a,3a （B ）-a,3a （C ）a,-3a （D ）-a,-3a . （6）函数y =x 4-2x 2+5在区间[-2,2]上的（ A ）
（A ）最大值为13, 最小值为4. （B ）最大值为5, 最小值为4. （C ）最大值为13, 最小值为5. （D ）最大值为最小值的3倍. （7）已知角α的终边通过点P (3,4)，则sin α+cos α+tan α=（D ）
（A ）
4320. （B ） 2320. （C ） 74. （D ）4115
. （8）已知tan α+cot α=4, 那么sin 2α=（ C ）
（A ） 2. （B ）-2. （C ） 11
2. （D ）-2
.
（9）在α, β两角的变化过程中，若α+β=120
，则y =sin
2
α+cos 2β 的最小值是（ A ）
（A
）1-
2. （B ）
1+2
. （C ） 1. （D ）-1. （10）在∆ABC 中, 已知A =2B , 那么a 等于（ D ）
（A ）2b sin A . （B ）2b cos A . （C ） 2b sin B . （D ）2b cos B . （11）已知A (1,2), B (2,3), C (-2,5)，则∆ABC 的三个内角中（ A ）
（A ）∠A =90
. （B ）∠B =90
. （C ）∠C =90
. （D ）没有直角.
（12）方程ax +by +c =0与方程2ax +2by +c +1=0表示两条平行直线的充要条件是（ C ）
（A ）ab >0, 且c ≠1. （B ）ab
（A ）
2
2
11. （B ）. （C
. （D
23（14）把6个苹果平均分给3各小孩，不同的分配方法有（ D ） （A ）15种. （B ）30种. （C ）60种. （D ）90种.
（15）把一枚均匀硬币连掷四次，至少得到一次正面朝上的概率是（ C ）
（A ）
1415. （B ）. （C ）. （D ）1. 161616
二、填空题。本题考查基本知识和基本运算. 每小题6分，共30分。把答案填在题中横线上。 （16）抛物线y =2x 2-6x +10顶点的坐标是.
2-2-1
（17）已知a -a =2a -a ，则a =±1()
1⎧⎫x |x >, x
22⎭（18）不等式-2x -5x +3
1111
, , , , 那么它的前n 项的和S n =11+21+2+31+2+3+ +n
（20）在∆ABC 中, 已知a =5，那么 b cos C +c cos B =___ 5 .
（19）已知数列,
三、本大题共4小题，共45分。解答应写出推理、演算步骤。 （21）（本小题满分10分）
2(1-
1
) n +1 122
2
已知在∆ABC 中，顶点A , B , C 所对的边长分别为a , b , c . 求证：AB ⋅AC =(b +c -a )
2
A
C B -a 2+b 2+c 2122
AB ⋅AC =|AB ||AC |cos(AB ⋅AC ) =bc =(b +c -a 2)
2bc 2
→
→
→
→
→
→
（22）（本小题满分10分）
一周长为16cm 的长方形绕其中一边旋转一周形成一个圆柱。当长方形的长、宽各是多少是，旋转形成的圆柱的体积最大？（限用导数法）
a +b =8
v =∏a 2b =∏a 2(8-a ) =8∏a 2-∏a 3v , =16∏a -3∏a 2=01638b =
3a =
（23）（本小题满分10分）
求与圆x +y -x +2y =0关于点C (1,2)对称的圆的方程。
2
2
(x -12) 2+(y +1) 2=
54o (12
, -1) 2⨯1=12
+x
2⨯2=-1+y
x =3
2, y =5
(x -32) 2+(y -5) 2=
54
24）（本小题满分15分）
不等式(a 2-1)
x 2
-(a -1)x -1
a 2-1
∆=(a -1) 2+4(a 2-1)
0
2
5
（