万有引力定律

万有引力定律

一、开普勒三定律

1．（2010新课标卷）太阳系中的8大行星的轨道均可以近似看成圆轨道。下列4幅图是用来描述这些行星运动所遵从的某一规律的图像。图中坐标系的横轴是lg(T/TO),纵轴是lg(R/RO);这里T和R分别是行星绕太阳运行的周期和相应的圆轨道半径，TO和R0分别是水星绕太阳运行的周期和相应的圆轨道半径。下列4幅图中正确的是

2．（2009年四川卷）据报道，2009年4月29日，美国亚利桑那州一天文观测机构发现一颗与太阳系其它行星逆向运行的小行星，代号为2009HC82。该小行星绕太阳一周的时间为3.39年，直径2～3千米，其轨道平面与地球轨道平面呈155°的倾斜。假定该小行星与地球均以太阳为中心做匀速圆周运动，则小行星和地球绕太阳运动的速度大小的比值为（ ） A.3.39 B.3.39 C.3.39 D.3.3.9

3．（2007上海理综）太阳系八大行星公转轨道可近似看做圆轨道，“行星公转周期的平方”与“行星与太阳的平均距离的三次方”成正比。地球与太阳之间平均距离约为1.5

）

亿千米

4．（2011安徽卷）（1）开普勒行星运动第三定律指出：行星绕太阳运动的椭圆轨道的13123223

a3

半长轴a的三次方与它的公转周期T的二次方成正比，即2k，k是一个对所有行星都T

相同的常量。将行星绕太阳的运动按圆周运动处理，请你推导出太阳系中该常量k的表达式。已知引力常量为G，太阳的质量为M太。

（2）开普勒定律不仅适用于太阳系，它对一切具有中心天体的引力系统（如地月系统）都成立。经测定月地距离为3.84×108m，月球绕地球运动的周期为2.36×106S，试计算地球的质M地。（G=6.67×10-11Nm2/kg2，结果保留一位有效数字）

二、万有引力与重力

5．（2009浙江）在讨论地球潮汐成因时，地球绕太阳运行轨道与月球绕地球运行轨道

可视为圆轨道。已知太阳质量约为月球质量的2.7×107倍，地球绕太阳运行的轨道半径约为月球绕地球运行的轨道半径的400倍。关于太阳和月球对地球上相同质量海水的引力，以下说法正确的是

A．太阳引力远大于月球引力 B．太阳引力与月球引力相差不大

C．月球对不同区域海水的吸引力大小相等

D．月球对不同区域海水的吸引力大小有差异

6．某物体在地面上受到的重力为160N，将它放置在卫星中，在卫星以a＝

距地球表面有多远？（地球半径R地6.410km，g＝10m/s2）

7．（2012新课标）假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体。一矿井深度为d。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为

A．131g的加2速度随火箭向上加速升空的过程中，当物体与卫星中的支持物的相互挤压力为90N，卫星

8．（2010北京）一物体静置在平均密度为的球形天体表面的赤道上。已知万有引力常量为G，若由于天体自转使物体对天体表面压力恰好为零，则天体自转周期为 ddRd2R2 B．1 C．() D．() RRRRd

π3π D. GG

119．（2008江苏）火星的质量和半径分别约为地球的和，地球表面的重力加速度102A.4π 3G12 B.3 4πG12 C.1212

为g，则火星表面的重力加速度约为

A．0.2g B．0.4g C．2.5g D．5g

10．（2009江苏卷）英国《新科学家（New Scientist）》杂志评选出了2008年度世界8项科学之最，在XTEJ1650-500双星系统中发现的最小黑洞位列其中，若某黑洞的半径R约

Mc2

45km，质量M和半径R的关系满足（其中c为光速，G为引力常量），则该黑R2G

洞表面重力加速度的数量级为

10m/s B．10m/s C．10m/s D．10m/s A．

11．（2007全国卷1）据报道，最近在太阳系外发现了首颗“宜居”行星，其质量约为地球质量的6.4倍，一个在地球表面重量为600N的人在这个行星表面的重量将变为960N。由此可推知，该行星的半径与地球半径之比约为（ ）

A、0.5 B、2 C、3.2 D、4

12．（2009全国卷2）如图，P、Q为某地区水平地面上的两点，在P点正下方一球形区域内储藏有石油，假定区域周围岩石均匀分布，密度为ρ石油密度远小于ρ，可将上述球形区域视为空腔。如果没有这一空腔，则该地区重力加速度（正常值）沿竖直方向，当存在空腔时，该地区重力加速度的大小和方向会与正常情况有微小偏高，重力回速度在原竖直方向（即PO方向）上的投影相对于正常值的偏离叫做“重力加速度反常”。为了探寻石油区域的位置和石油储量，常利用P点到附近重力加速度反常现象，已知引力常数为G

（1）设球形空腔体积为V，球心深度为d（远小于地球半径），PQx求空腔所引起的Q点处的重力加速度反常

[1**********]

（2）若在水平地面上半径L的范围内发现：重力加

速度反常值在δ与kδ（k>1）之间变化,且重力加速度反常的最大值出现在半为L的范围的中心，如果这种反常是于

地下存在某一球形空腔造成的，试求此球形空腔球心的深

度和空腔的体积 13．（2012全国大纲）一单摆在地面处的摆动周期与

在某矿井底部摆动周期的比值为k。设地球的半径为R。假

定地球的密度均匀。已知质量均匀分布的球壳对壳内物体的引力为零，求矿井的深度d。

三、天体运动中基本参量的求解及比较

14．（2011天津卷）质量为m的探月航天器在接近月球表面的轨道上飞行，其运动视为匀速圆周运动。已知月球质量为M，月球半径为R，月球表面重力加速度为g，引力常量为G，不考虑月球自转的影响，则航天器的

B

．角速度 GMC

．运行周期T2 D．向心加速度a2R

15．（2011四川卷）据报道，天文学家近日发现了一颗距地球40光年的“超级地球”，A

．线速度v名为“55 Cancri e”，该行星绕母星（中心天体）运行的周期约为地球绕太阳运行周期的1，480母星的体积约为太阳的60倍。假设母星与太阳密度相同，“55 Cancri e”与地球均做匀速圆周运动，则“55 Cancri e”与地球的

A.

B.

C.

D.

16．（2009福建卷）“嫦娥一号”月球探测器在环绕月球运行过程

中，设探测器运行的轨道半径为r，运行速率为v，当探测器在飞越

月球上一些环形山中的质量密集区上空时

A.r、v都将略为减小 B.r、v都将保持不变

C.r将略为减小，v将略为增大

D. r将略为增大，v将略为减小

17．（2011重庆卷）某行星和地球绕太阳公转的轨道均可视为

圆。每过N年，该行星会运行到日地连线的延长线上，如题21图所示。该行星与地球的公转半径比为

233N12NN1N)3 B．()3 C．()2 D．()2 A．(NN1NN1

18．（2010福建卷）火星探测项目是我国继神舟载人航天工程、嫦娥探月工程之后又一个重大太空探索项目。假设火星探测器在火星表面附近圆形轨道运行的周期T1，神舟飞船在地球表面附近的圆形轨道运行周期为T2，火星质量与地球质量之比为p，火星半径与地球半径之比为q，则T1与T2之比为

A

B

C

D

19．（2009重庆卷）据报道，“嫦娥一号”和“嫦娥二号”绕月飞行器的圆形轨道距月球表面分别约为200km和100km，运动速率分别为v1和v2，那么v1和v2的比值为（月球半径取1700km）

A. 1918

D. 1819

20．（2007江苏卷）假设太阳系中天体的密度不变，天体直径和天体之间距离都缩小到原来的一半，地球绕太阳公转近似为匀速圆周运动，则下列物理量变化正确的是

A．地球的向心力变为缩小前的一半 B．地球的向心力变为缩小前的1 16

C．地球绕太阳公转周期与缩小前的相同

D．地球绕太阳公转周期变为缩小前的一半

21．（2006四川）荡秋千是大家喜爱的一项体育活动。随着科技的迅速发展，将来的某一天，同学们也许会在其它星球上享受荡秋千的乐趣。假设你当时所在星球的质量为M、半径为R，可将人视为质点，秋千质量不计、摆长不变、摆角小于90°，万有引力常量为G。那么，（1）该星球表面附近的重力加速度g星等于多少？

（2）若经过最低位置的速度为v0，你能上升的最大高度是多少？

四、天体质量与密度的计算

22．（2011江苏卷）一行星绕恒星作圆周运动。由天文观测可得，其运动周期为T，速度为v，引力常量为G，则

v3T42v3

A．恒星的质量为 B．行星的质量为 22GGT

vT2vC．行星运动的轨道半径为 D．行星运动的加速度为 2T

23．（2011福建卷）“嫦娥二号”是我国月球探测第二期工程的先导星。若测得“嫦娥二号”在月球（可视为密度均匀的球体）表面附近圆形轨道运行的周期T，已知引力常数G，半径为R的球体体积公式V33R，则可估算月球的（ ） 4

A.密度 B.质量 C.半径 D.自转周期

24．（2010安徽卷）为了对火星及其周围的空间环境进行探测，我国预计于2011年10月发射第一颗火星探测器“萤火一号”。假设探测器在离火星表面高度分别为h1和h2的圆轨道上运动时，周期分别为T1和T2。火星可视为质量分布均匀的球体，且忽略火星的自转影响，万有引力常量为G。仅利用以上数据，可以计算出

A．火星的密度和火星表面的重力加速度

B．火星的质量和火星对“萤火一号”的引力

C．火星的半径和“萤火一号”的质量

D．火星表面的重力加速度和火星对“萤火一号”的引力

25．（2009全国1）天文学家新发现了太阳系外的一颗行星。这颗行星的体积是地球的4.7倍，质量是地球的25倍，已知某一近地卫星绕地球运动的周期约为1.4小时，引力常量G=6.67×10-11N·m2/kg2，由此佑算该行星的平均密度约为

Ａ．1.8×103kg/m3 Ｂ．5.6×103kg/m3 Ｃ．1.1×104kg/m3 Ｄ．2.9×104kg/m3

26．（2009天津卷）2008年12月，天文学家们通过观测的数据确认了银河系中央的黑洞“人马座A*”的质量与太阳质量的倍数关系。研究发现，有一星体S2绕人马座A*做椭圆运动，其轨道半长轴为9.50102天文单位（地球公转轨道的半径为一个天文单位），

人马座A*就处在该椭圆的一个焦点上。观测得到S2星的运行周期为15.2年。

① 若将S2星的运行轨道视为半径r=9.50102天文单位的圆轨道，试估算人马座A*

的质量MA是太阳质量Ms的多少倍(结果保留一位有效数字)；

② 黑洞的第二宇宙速度极大，处于黑洞表面的粒子即使以光速运动，其具有的动能

也不足以克服黑洞对它的引力束缚。由于引力的作用，黑洞表面处质量为m的粒

Mm(设粒子在离黑洞无限远处的势能为零)，式中M、R分R

别表示黑洞的质量和半径。已知引力常量G=6.710-11N·m2/kg2，光速c=3.0108m/s，太阳质量Ms=2.01030kg，太阳半径Rs=7.0108m，不考虑相对论效应，利用上问结果，在经典力学范围内求人马座A*的半径RA与太阳半径Rg之子具有势能为Ep=-G比应小于多少（结果按四舍五入保留整数）。

27．（2007广东A卷）土星周围有许多大小不等的岩石颗粒，其绕土星的运动可视为圆周运动。其中有两个岩石颗粒A和B与土星中心距离分别为rA＝8.0×104 km和r B＝1.2×105 km。忽略所有岩石颗粒间的相互作用。（结果可用根式表示）

⑴求岩石颗粒A和B的线速度之比；

⑵求岩石颗粒A和B的周期之比；

⑶土星探测器上有一物体，在地球上重为10 N，推算出他在距土星中心3.2×105 km处受到土星的引力为0.38 N。已知地球半径为6.4×103 km，请估算土星质量是地球质量的多少倍？

28．（2007上海卷）宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间t小球落回原处；若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间5t小球落回原处。（取地球表面重力加速度g＝10m/s2，空气阻力不计）

（1）求该星球表面附近的重力加速度g’；

（2）已知该星球的半径与地球半径之比为R星:R地＝1:4，求该星球的质量与地球质量之比M星:M地。

29．（2005广东）已知万有引力常量G，地球半径R，月球和地球之间的距离r，同步卫星距地面的高度h，月球绕地球的运转周期T1，地球的自转周期T2，地球表面的重力加速度g。某同学根据以上条件，提出一种估算地球质量M的方法：同步卫星绕地球作圆周Mm242h3 运动，由G2m得hMhGT2T

⑴请判断上面的结果是否正确，并说明理由。如不正确，请给出正确的解法和结果。 ⑵请根据已知条件再提出两种估算地球质量的方法并解得结果。

五、人造卫星

（一）发射

30．（2009广东A卷）发射人造卫星是将卫星以一定的速度送入

预定轨道。发射场一般选择在尽可能靠近赤道的地方。如图2，这

样选址的优点是，在赤道附近

A．地球的引力较大 B．地球自转线速度较大

C．重力加速度较大 D．地球自转角速度较大

31．（2009北京卷）已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g，不考虑地球自转的影响。（1）推到第一宇宙速度v1的表达式；（2）若卫星绕地球做匀速圆周运动，运行轨道距离地面高度为h，求卫星的运行周期T。

（二）运行

32．（2010江苏卷）2009年5

月，航天飞机在完成对哈勃空间望远镜的维修任务后，2

在A点从圆形轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ，B为轨道Ⅱ上的一点，如图所示，

关于航天飞机的运动，下列说法中正确的有

（A）在轨道Ⅱ上经过A的速度小于经过B的速度

（B）在轨道Ⅱ上经过A的动能小于在轨道Ⅰ上经过A 的动能

（C）在轨道Ⅱ上运动的周期小于在轨道Ⅰ上运动的周期

（D）在轨道Ⅱ上经过A的加速度小于在轨道Ⅰ上经过A的加速度

33．（2010山东卷）1970年4月24日，我过自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东方红一号”发射成功，开创了我国航天事业的新纪元。“东方红一

号”的运行轨道为椭圆轨道，其近地点的M和远地点的N的高度

分别为439km和2384km，则

A.卫星在M点的势能大于N点的势能

B.卫星在M点的角速度大于N点的角速度

C.卫星在M点的加速度大于N点的加速度

D.卫星在N点的速度大于7.9km/s

34．（2010浙江卷）宇宙飞船以周期为T绕地球作圆周运动时，由于地球遮挡阳光，会经历“日全食”过程，如图所示。已知地球的半径为R，地球质量为M，引力常量为G，地球自转周期为T。太阳光可看作平行光，宇航员在A点测出地球的张角为，则

A. 飞船绕地球运动的线速度为2R Tsin(2)

A B. 一天内飞船经历“日全食”的次数为T/T0 C. 飞船每次“日全食”过程的时间为aT0/(2)

D. 飞船周期为

35．（2009海南卷）近地人造卫星1和2绕地球做匀速圆周运动的周期分别为T1和T2,设在卫星1、卫星2各自所在的高度上的重力加速度大小分别为g1、g2，则

gTA．11g2T24/3gT B． 12g2T14/3gTgT C． 11 D． 12 g2T2g2T122

（三）轨道

36．（2011新课标卷）卫星电话信号需要通地球同步卫星传送。如果你与同学在地面上用卫星电话通话，则从你发出信号至对方接收到信号所需最短时间最接近于（可能用到的数据：月球绕地球运动的轨道半径约为3.8×105km，运行周期约为27天，地球半径约为6400km，无线电信号的传播速度为3×108m/s。）

A．0.1s B．0.25s C．0.5s D．1s

37．（2011山东卷）甲、乙为两颗地球卫星，其中甲为地球同步卫星，乙的运行高度低于甲的运行高度，两卫星轨道均可视为圆轨道。以下判断正确的是

A.甲的周期大于乙的周期 B.乙的速度大于第一宇宙速度

C.甲的加速度小于乙的加速度 D.甲在运行时能经过北极的正上方

38．（2010全国卷2）已知地球同步卫星离地面的高度约为地球半径的6倍。若某行星的平均密度为地球平均密度的一半，它的同步卫星距其表面的高度是其半径的2.5倍，则该行星的自转周期约为

A．6小时 B. 12小时 C. 24小时 D. 36小时

39．（2010四川卷）a是地球赤道上一栋建筑，b是在赤道平面内作匀速圆周运动、距地面9.610m的卫星，c是地球同步卫星，某一时刻b、c刚好位于a的正上方（如图甲所示），经48h，a、b、c的大致位置是图乙中的（取地球半径R=6.410m，地球表面重

2力加速度g=10m/s，

66

轨道2 （四）变轨

40．（2012广东）如图所示，飞船从轨道1变轨至轨道2。若飞

船在两轨道上都做匀速圆周运动，不考虑质量变化，相对于在轨道1 上，飞船在轨道2上的

A．动能大 B．向心加速度大 1 C．运行周期长 D．角速度小 41．（2011全国卷1）我国“嫦娥一号”探月卫星发射后，先在

“24小时轨道”上绕地球运行（即绕地球一圈需要24小时)；然后，

经过两次变轨依次到达“48小时轨道”和“72小时轨道”；最后奔向月球。如果按圆形轨道计算，并忽略卫星质量的变化，则在每次变轨完成后与变轨前相比，

A．卫星动能增大，引力势能减小 B．卫星动能增大，引力势能增大

C．卫星动能减小，引力势能减小 D．卫星动能减小，引力势能增大

42．（2010天津卷）探测器绕月球做匀速圆周运动，变轨后在周期较小的轨道上仍做匀速圆周运动，则变轨后与变轨前相比 轨道2 A．轨道半径变小 B．向心加速度变小

C．线速度变小 D．角速度变小 43．（2009山东卷）2008年9月25日至28日我国成功实施了“神舟”七号载入航天飞行并实现了航天员首次出舱。飞船先沿椭圆轨道飞 行，后在远地点343千米处点火加速，由椭圆轨道变成高度为343千米的圆轨道，在此圆轨道上飞船运行周期约为90分钟。下列判断正确

的是（ ）

A．飞船变轨前后的机械能相等

B．飞船在圆轨道上时航天员出舱前后都处于失重状态

C．飞船在此圆轨道上运动的角度速度大于同步卫星运动的角速度

D．飞船变轨前通过椭圆轨道远地点时的加速度大于变轨后沿圆轨道运动的加速度

44．如图所示是“嫦娥一号奔月”示意

图，卫星发射后通过自带的小型火箭多次

变轨，进入地月转移轨道，最终被月球引

力捕获，成为绕月卫星，并开展对月球的

探测。下列说法正确的是

A．发射“嫦娥一号”的速度必须达到

A

第三宇宙速度

B．在绕月圆轨道上，卫星的周期与卫星质量有关

C．卫星受月球的引力与它到月球中心距离的平方成反比

D．在绕月圆轨道上，卫星受地球的引力大于受月球的引力

六、双星（或三星）系统

45．（2010全国1）如右图，质量分别为m和M的两个星球

A和B在引力作用下都绕O点做匀速圆周运动，星球A和B两

者中心之间的距离为L。已知A、B的中心和O三点始终共线，

A和B分别在O的两侧。引力常数为G。

（1）求两星球做圆周运动的周期：

（2）在地月系统中，若忽略其他星球的影响，可以将月球和

地球看成上述星球A和B，月球绕其轨道中心运行的周期为T1。

但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这

样算得的运行周期记为T2。已知地球和月球的质量分别为5.98×1024kg和7.35×1022kg。求T2与T1两者平方之比。（结果保留3位小数）

46．（2008宁夏）天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作

用下运行的两颗恒星称为双星。双星系统在银河系中很普遍。利

用双星系统中两颗恒星的运动特征可推算出它们的总质量。已知

某双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某一固定点分别做匀

速圆周运动，周期均为T，两颗恒星之间的距离为r，试推算这

个双星系统的总质量。（引力常量为G）

47．（2006天津）神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种

特殊天体，探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律。天

文学家观测河外星系大麦哲伦云时，发现了LMCX-3双星系统，

它由可见星A和不可见的暗星B构成。两星视为质点，不考虑其它天体的影响，A、B围绕两者连线上的O点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，如图所示。引力常量为G，由观测能够得到可见星A的速率v和运行周期T。

（1）可见星A所受暗星B的引力FA可等效为位于O点处质量为m的星体（视为质点）对它的引力，设A和B的质量分别为m1、m2，试求m（用m1、m2表示）；

（2）求暗星B的质量m2与可见星A的速率v、运行周期T和质量m1之间的关系式；

（3）恒星演化到末期，如果其质量大于太阳质量ms的2倍，它将有可能成为黑洞。

54若可见星A的速率v2.710m/s，运行周期T4.710s，质量m16ms，试

通过估算来判断暗星B有可能是黑洞吗？

（G6.671011Nm2/kg2,ms2.01030kg）

48．（2006广东）宇宙中存在一些离其它恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其它星体对它们的引力作用。已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为 R 的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个项点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行。设每个星体的质量均为m。

（1）试求第一种形式下，星体运动的线速度和周期。

（2）假设两种形式星体的运动周期相同，第二种形式下星体之间的距离应为多少？

万有引力定律

一、开普勒三定律

1．（2010新课标卷）太阳系中的8大行星的轨道均可以近似看成圆轨道。下列4幅图是用来描述这些行星运动所遵从的某一规律的图像。图中坐标系的横轴是lg(T/TO),纵轴是lg(R/RO);这里T和R分别是行星绕太阳运行的周期和相应的圆轨道半径，TO和R0分别是水星绕太阳运行的周期和相应的圆轨道半径。下列4幅图中正确的是

2．（2009年四川卷）据报道，2009年4月29日，美国亚利桑那州一天文观测机构发现一颗与太阳系其它行星逆向运行的小行星，代号为2009HC82。该小行星绕太阳一周的时间为3.39年，直径2～3千米，其轨道平面与地球轨道平面呈155°的倾斜。假定该小行星与地球均以太阳为中心做匀速圆周运动，则小行星和地球绕太阳运动的速度大小的比值为（ ） A.3.39 B.3.39 C.3.39 D.3.3.9

3．（2007上海理综）太阳系八大行星公转轨道可近似看做圆轨道，“行星公转周期的平方”与“行星与太阳的平均距离的三次方”成正比。地球与太阳之间平均距离约为1.5

）

亿千米

4．（2011安徽卷）（1）开普勒行星运动第三定律指出：行星绕太阳运动的椭圆轨道的13123223

a3

半长轴a的三次方与它的公转周期T的二次方成正比，即2k，k是一个对所有行星都T

相同的常量。将行星绕太阳的运动按圆周运动处理，请你推导出太阳系中该常量k的表达式。已知引力常量为G，太阳的质量为M太。

（2）开普勒定律不仅适用于太阳系，它对一切具有中心天体的引力系统（如地月系统）都成立。经测定月地距离为3.84×108m，月球绕地球运动的周期为2.36×106S，试计算地球的质M地。（G=6.67×10-11Nm2/kg2，结果保留一位有效数字）

二、万有引力与重力

5．（2009浙江）在讨论地球潮汐成因时，地球绕太阳运行轨道与月球绕地球运行轨道

可视为圆轨道。已知太阳质量约为月球质量的2.7×107倍，地球绕太阳运行的轨道半径约为月球绕地球运行的轨道半径的400倍。关于太阳和月球对地球上相同质量海水的引力，以下说法正确的是

A．太阳引力远大于月球引力 B．太阳引力与月球引力相差不大

C．月球对不同区域海水的吸引力大小相等

D．月球对不同区域海水的吸引力大小有差异

6．某物体在地面上受到的重力为160N，将它放置在卫星中，在卫星以a＝

距地球表面有多远？（地球半径R地6.410km，g＝10m/s2）

7．（2012新课标）假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体。一矿井深度为d。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为

A．131g的加2速度随火箭向上加速升空的过程中，当物体与卫星中的支持物的相互挤压力为90N，卫星

8．（2010北京）一物体静置在平均密度为的球形天体表面的赤道上。已知万有引力常量为G，若由于天体自转使物体对天体表面压力恰好为零，则天体自转周期为 ddRd2R2 B．1 C．() D．() RRRRd

π3π D. GG

119．（2008江苏）火星的质量和半径分别约为地球的和，地球表面的重力加速度102A.4π 3G12 B.3 4πG12 C.1212

为g，则火星表面的重力加速度约为

A．0.2g B．0.4g C．2.5g D．5g

10．（2009江苏卷）英国《新科学家（New Scientist）》杂志评选出了2008年度世界8项科学之最，在XTEJ1650-500双星系统中发现的最小黑洞位列其中，若某黑洞的半径R约

Mc2

45km，质量M和半径R的关系满足（其中c为光速，G为引力常量），则该黑R2G

洞表面重力加速度的数量级为

10m/s B．10m/s C．10m/s D．10m/s A．

11．（2007全国卷1）据报道，最近在太阳系外发现了首颗“宜居”行星，其质量约为地球质量的6.4倍，一个在地球表面重量为600N的人在这个行星表面的重量将变为960N。由此可推知，该行星的半径与地球半径之比约为（ ）

A、0.5 B、2 C、3.2 D、4

12．（2009全国卷2）如图，P、Q为某地区水平地面上的两点，在P点正下方一球形区域内储藏有石油，假定区域周围岩石均匀分布，密度为ρ石油密度远小于ρ，可将上述球形区域视为空腔。如果没有这一空腔，则该地区重力加速度（正常值）沿竖直方向，当存在空腔时，该地区重力加速度的大小和方向会与正常情况有微小偏高，重力回速度在原竖直方向（即PO方向）上的投影相对于正常值的偏离叫做“重力加速度反常”。为了探寻石油区域的位置和石油储量，常利用P点到附近重力加速度反常现象，已知引力常数为G

（1）设球形空腔体积为V，球心深度为d（远小于地球半径），PQx求空腔所引起的Q点处的重力加速度反常

[1**********]

（2）若在水平地面上半径L的范围内发现：重力加

速度反常值在δ与kδ（k>1）之间变化,且重力加速度反常的最大值出现在半为L的范围的中心，如果这种反常是于

地下存在某一球形空腔造成的，试求此球形空腔球心的深

度和空腔的体积 13．（2012全国大纲）一单摆在地面处的摆动周期与

在某矿井底部摆动周期的比值为k。设地球的半径为R。假

定地球的密度均匀。已知质量均匀分布的球壳对壳内物体的引力为零，求矿井的深度d。

三、天体运动中基本参量的求解及比较

14．（2011天津卷）质量为m的探月航天器在接近月球表面的轨道上飞行，其运动视为匀速圆周运动。已知月球质量为M，月球半径为R，月球表面重力加速度为g，引力常量为G，不考虑月球自转的影响，则航天器的

B

．角速度 GMC

．运行周期T2 D．向心加速度a2R

15．（2011四川卷）据报道，天文学家近日发现了一颗距地球40光年的“超级地球”，A

．线速度v名为“55 Cancri e”，该行星绕母星（中心天体）运行的周期约为地球绕太阳运行周期的1，480母星的体积约为太阳的60倍。假设母星与太阳密度相同，“55 Cancri e”与地球均做匀速圆周运动，则“55 Cancri e”与地球的

A.

B.

C.

D.

16．（2009福建卷）“嫦娥一号”月球探测器在环绕月球运行过程

中，设探测器运行的轨道半径为r，运行速率为v，当探测器在飞越

月球上一些环形山中的质量密集区上空时

A.r、v都将略为减小 B.r、v都将保持不变

C.r将略为减小，v将略为增大

D. r将略为增大，v将略为减小

17．（2011重庆卷）某行星和地球绕太阳公转的轨道均可视为

圆。每过N年，该行星会运行到日地连线的延长线上，如题21图所示。该行星与地球的公转半径比为

233N12NN1N)3 B．()3 C．()2 D．()2 A．(NN1NN1

18．（2010福建卷）火星探测项目是我国继神舟载人航天工程、嫦娥探月工程之后又一个重大太空探索项目。假设火星探测器在火星表面附近圆形轨道运行的周期T1，神舟飞船在地球表面附近的圆形轨道运行周期为T2，火星质量与地球质量之比为p，火星半径与地球半径之比为q，则T1与T2之比为

A

B

C

D

19．（2009重庆卷）据报道，“嫦娥一号”和“嫦娥二号”绕月飞行器的圆形轨道距月球表面分别约为200km和100km，运动速率分别为v1和v2，那么v1和v2的比值为（月球半径取1700km）

A. 1918

D. 1819

20．（2007江苏卷）假设太阳系中天体的密度不变，天体直径和天体之间距离都缩小到原来的一半，地球绕太阳公转近似为匀速圆周运动，则下列物理量变化正确的是

A．地球的向心力变为缩小前的一半 B．地球的向心力变为缩小前的1 16

C．地球绕太阳公转周期与缩小前的相同

D．地球绕太阳公转周期变为缩小前的一半

21．（2006四川）荡秋千是大家喜爱的一项体育活动。随着科技的迅速发展，将来的某一天，同学们也许会在其它星球上享受荡秋千的乐趣。假设你当时所在星球的质量为M、半径为R，可将人视为质点，秋千质量不计、摆长不变、摆角小于90°，万有引力常量为G。那么，（1）该星球表面附近的重力加速度g星等于多少？

（2）若经过最低位置的速度为v0，你能上升的最大高度是多少？

四、天体质量与密度的计算

22．（2011江苏卷）一行星绕恒星作圆周运动。由天文观测可得，其运动周期为T，速度为v，引力常量为G，则

v3T42v3

A．恒星的质量为 B．行星的质量为 22GGT

vT2vC．行星运动的轨道半径为 D．行星运动的加速度为 2T

23．（2011福建卷）“嫦娥二号”是我国月球探测第二期工程的先导星。若测得“嫦娥二号”在月球（可视为密度均匀的球体）表面附近圆形轨道运行的周期T，已知引力常数G，半径为R的球体体积公式V33R，则可估算月球的（ ） 4

A.密度 B.质量 C.半径 D.自转周期

24．（2010安徽卷）为了对火星及其周围的空间环境进行探测，我国预计于2011年10月发射第一颗火星探测器“萤火一号”。假设探测器在离火星表面高度分别为h1和h2的圆轨道上运动时，周期分别为T1和T2。火星可视为质量分布均匀的球体，且忽略火星的自转影响，万有引力常量为G。仅利用以上数据，可以计算出

A．火星的密度和火星表面的重力加速度

B．火星的质量和火星对“萤火一号”的引力

C．火星的半径和“萤火一号”的质量

D．火星表面的重力加速度和火星对“萤火一号”的引力

25．（2009全国1）天文学家新发现了太阳系外的一颗行星。这颗行星的体积是地球的4.7倍，质量是地球的25倍，已知某一近地卫星绕地球运动的周期约为1.4小时，引力常量G=6.67×10-11N·m2/kg2，由此佑算该行星的平均密度约为

Ａ．1.8×103kg/m3 Ｂ．5.6×103kg/m3 Ｃ．1.1×104kg/m3 Ｄ．2.9×104kg/m3

26．（2009天津卷）2008年12月，天文学家们通过观测的数据确认了银河系中央的黑洞“人马座A*”的质量与太阳质量的倍数关系。研究发现，有一星体S2绕人马座A*做椭圆运动，其轨道半长轴为9.50102天文单位（地球公转轨道的半径为一个天文单位），

人马座A*就处在该椭圆的一个焦点上。观测得到S2星的运行周期为15.2年。

① 若将S2星的运行轨道视为半径r=9.50102天文单位的圆轨道，试估算人马座A*

的质量MA是太阳质量Ms的多少倍(结果保留一位有效数字)；

② 黑洞的第二宇宙速度极大，处于黑洞表面的粒子即使以光速运动，其具有的动能

也不足以克服黑洞对它的引力束缚。由于引力的作用，黑洞表面处质量为m的粒

Mm(设粒子在离黑洞无限远处的势能为零)，式中M、R分R

别表示黑洞的质量和半径。已知引力常量G=6.710-11N·m2/kg2，光速c=3.0108m/s，太阳质量Ms=2.01030kg，太阳半径Rs=7.0108m，不考虑相对论效应，利用上问结果，在经典力学范围内求人马座A*的半径RA与太阳半径Rg之子具有势能为Ep=-G比应小于多少（结果按四舍五入保留整数）。

27．（2007广东A卷）土星周围有许多大小不等的岩石颗粒，其绕土星的运动可视为圆周运动。其中有两个岩石颗粒A和B与土星中心距离分别为rA＝8.0×104 km和r B＝1.2×105 km。忽略所有岩石颗粒间的相互作用。（结果可用根式表示）

⑴求岩石颗粒A和B的线速度之比；

⑵求岩石颗粒A和B的周期之比；

⑶土星探测器上有一物体，在地球上重为10 N，推算出他在距土星中心3.2×105 km处受到土星的引力为0.38 N。已知地球半径为6.4×103 km，请估算土星质量是地球质量的多少倍？

28．（2007上海卷）宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间t小球落回原处；若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间5t小球落回原处。（取地球表面重力加速度g＝10m/s2，空气阻力不计）

（1）求该星球表面附近的重力加速度g’；

（2）已知该星球的半径与地球半径之比为R星:R地＝1:4，求该星球的质量与地球质量之比M星:M地。

29．（2005广东）已知万有引力常量G，地球半径R，月球和地球之间的距离r，同步卫星距地面的高度h，月球绕地球的运转周期T1，地球的自转周期T2，地球表面的重力加速度g。某同学根据以上条件，提出一种估算地球质量M的方法：同步卫星绕地球作圆周Mm242h3 运动，由G2m得hMhGT2T

⑴请判断上面的结果是否正确，并说明理由。如不正确，请给出正确的解法和结果。 ⑵请根据已知条件再提出两种估算地球质量的方法并解得结果。

五、人造卫星

（一）发射

30．（2009广东A卷）发射人造卫星是将卫星以一定的速度送入

预定轨道。发射场一般选择在尽可能靠近赤道的地方。如图2，这

样选址的优点是，在赤道附近

A．地球的引力较大 B．地球自转线速度较大

C．重力加速度较大 D．地球自转角速度较大

31．（2009北京卷）已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g，不考虑地球自转的影响。（1）推到第一宇宙速度v1的表达式；（2）若卫星绕地球做匀速圆周运动，运行轨道距离地面高度为h，求卫星的运行周期T。

（二）运行

32．（2010江苏卷）2009年5

月，航天飞机在完成对哈勃空间望远镜的维修任务后，2

在A点从圆形轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ，B为轨道Ⅱ上的一点，如图所示，

关于航天飞机的运动，下列说法中正确的有

（A）在轨道Ⅱ上经过A的速度小于经过B的速度

（B）在轨道Ⅱ上经过A的动能小于在轨道Ⅰ上经过A 的动能

（C）在轨道Ⅱ上运动的周期小于在轨道Ⅰ上运动的周期

（D）在轨道Ⅱ上经过A的加速度小于在轨道Ⅰ上经过A的加速度

33．（2010山东卷）1970年4月24日，我过自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东方红一号”发射成功，开创了我国航天事业的新纪元。“东方红一

号”的运行轨道为椭圆轨道，其近地点的M和远地点的N的高度

分别为439km和2384km，则

A.卫星在M点的势能大于N点的势能

B.卫星在M点的角速度大于N点的角速度

C.卫星在M点的加速度大于N点的加速度

D.卫星在N点的速度大于7.9km/s

34．（2010浙江卷）宇宙飞船以周期为T绕地球作圆周运动时，由于地球遮挡阳光，会经历“日全食”过程，如图所示。已知地球的半径为R，地球质量为M，引力常量为G，地球自转周期为T。太阳光可看作平行光，宇航员在A点测出地球的张角为，则

A. 飞船绕地球运动的线速度为2R Tsin(2)

A B. 一天内飞船经历“日全食”的次数为T/T0 C. 飞船每次“日全食”过程的时间为aT0/(2)

D. 飞船周期为

35．（2009海南卷）近地人造卫星1和2绕地球做匀速圆周运动的周期分别为T1和T2,设在卫星1、卫星2各自所在的高度上的重力加速度大小分别为g1、g2，则

gTA．11g2T24/3gT B． 12g2T14/3gTgT C． 11 D． 12 g2T2g2T122

（三）轨道

36．（2011新课标卷）卫星电话信号需要通地球同步卫星传送。如果你与同学在地面上用卫星电话通话，则从你发出信号至对方接收到信号所需最短时间最接近于（可能用到的数据：月球绕地球运动的轨道半径约为3.8×105km，运行周期约为27天，地球半径约为6400km，无线电信号的传播速度为3×108m/s。）

A．0.1s B．0.25s C．0.5s D．1s

37．（2011山东卷）甲、乙为两颗地球卫星，其中甲为地球同步卫星，乙的运行高度低于甲的运行高度，两卫星轨道均可视为圆轨道。以下判断正确的是

A.甲的周期大于乙的周期 B.乙的速度大于第一宇宙速度

C.甲的加速度小于乙的加速度 D.甲在运行时能经过北极的正上方

38．（2010全国卷2）已知地球同步卫星离地面的高度约为地球半径的6倍。若某行星的平均密度为地球平均密度的一半，它的同步卫星距其表面的高度是其半径的2.5倍，则该行星的自转周期约为

A．6小时 B. 12小时 C. 24小时 D. 36小时

39．（2010四川卷）a是地球赤道上一栋建筑，b是在赤道平面内作匀速圆周运动、距地面9.610m的卫星，c是地球同步卫星，某一时刻b、c刚好位于a的正上方（如图甲所示），经48h，a、b、c的大致位置是图乙中的（取地球半径R=6.410m，地球表面重

2力加速度g=10m/s，

66

轨道2 （四）变轨

40．（2012广东）如图所示，飞船从轨道1变轨至轨道2。若飞

船在两轨道上都做匀速圆周运动，不考虑质量变化，相对于在轨道1 上，飞船在轨道2上的

A．动能大 B．向心加速度大 1 C．运行周期长 D．角速度小 41．（2011全国卷1）我国“嫦娥一号”探月卫星发射后，先在

“24小时轨道”上绕地球运行（即绕地球一圈需要24小时)；然后，

经过两次变轨依次到达“48小时轨道”和“72小时轨道”；最后奔向月球。如果按圆形轨道计算，并忽略卫星质量的变化，则在每次变轨完成后与变轨前相比，

A．卫星动能增大，引力势能减小 B．卫星动能增大，引力势能增大

C．卫星动能减小，引力势能减小 D．卫星动能减小，引力势能增大

42．（2010天津卷）探测器绕月球做匀速圆周运动，变轨后在周期较小的轨道上仍做匀速圆周运动，则变轨后与变轨前相比 轨道2 A．轨道半径变小 B．向心加速度变小

C．线速度变小 D．角速度变小 43．（2009山东卷）2008年9月25日至28日我国成功实施了“神舟”七号载入航天飞行并实现了航天员首次出舱。飞船先沿椭圆轨道飞 行，后在远地点343千米处点火加速，由椭圆轨道变成高度为343千米的圆轨道，在此圆轨道上飞船运行周期约为90分钟。下列判断正确

的是（ ）

A．飞船变轨前后的机械能相等

B．飞船在圆轨道上时航天员出舱前后都处于失重状态

C．飞船在此圆轨道上运动的角度速度大于同步卫星运动的角速度

D．飞船变轨前通过椭圆轨道远地点时的加速度大于变轨后沿圆轨道运动的加速度

44．如图所示是“嫦娥一号奔月”示意

图，卫星发射后通过自带的小型火箭多次

变轨，进入地月转移轨道，最终被月球引

力捕获，成为绕月卫星，并开展对月球的

探测。下列说法正确的是

A．发射“嫦娥一号”的速度必须达到

A

第三宇宙速度

B．在绕月圆轨道上，卫星的周期与卫星质量有关

C．卫星受月球的引力与它到月球中心距离的平方成反比

D．在绕月圆轨道上，卫星受地球的引力大于受月球的引力

六、双星（或三星）系统

45．（2010全国1）如右图，质量分别为m和M的两个星球

A和B在引力作用下都绕O点做匀速圆周运动，星球A和B两

者中心之间的距离为L。已知A、B的中心和O三点始终共线，

A和B分别在O的两侧。引力常数为G。

（1）求两星球做圆周运动的周期：

（2）在地月系统中，若忽略其他星球的影响，可以将月球和

地球看成上述星球A和B，月球绕其轨道中心运行的周期为T1。

但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这

样算得的运行周期记为T2。已知地球和月球的质量分别为5.98×1024kg和7.35×1022kg。求T2与T1两者平方之比。（结果保留3位小数）

46．（2008宁夏）天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作

用下运行的两颗恒星称为双星。双星系统在银河系中很普遍。利

用双星系统中两颗恒星的运动特征可推算出它们的总质量。已知

某双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某一固定点分别做匀

速圆周运动，周期均为T，两颗恒星之间的距离为r，试推算这

个双星系统的总质量。（引力常量为G）

47．（2006天津）神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种

特殊天体，探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律。天

文学家观测河外星系大麦哲伦云时，发现了LMCX-3双星系统，

它由可见星A和不可见的暗星B构成。两星视为质点，不考虑其它天体的影响，A、B围绕两者连线上的O点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，如图所示。引力常量为G，由观测能够得到可见星A的速率v和运行周期T。

（1）可见星A所受暗星B的引力FA可等效为位于O点处质量为m的星体（视为质点）对它的引力，设A和B的质量分别为m1、m2，试求m（用m1、m2表示）；

（2）求暗星B的质量m2与可见星A的速率v、运行周期T和质量m1之间的关系式；

（3）恒星演化到末期，如果其质量大于太阳质量ms的2倍，它将有可能成为黑洞。

54若可见星A的速率v2.710m/s，运行周期T4.710s，质量m16ms，试

通过估算来判断暗星B有可能是黑洞吗？

（G6.671011Nm2/kg2,ms2.01030kg）

48．（2006广东）宇宙中存在一些离其它恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其它星体对它们的引力作用。已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为 R 的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个项点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行。设每个星体的质量均为m。

（1）试求第一种形式下，星体运动的线速度和周期。

（2）假设两种形式星体的运动周期相同，第二种形式下星体之间的距离应为多少？