天津中考26题（全国最难08-13）
2008年天津中考题26．（本小题10分） 已知抛物线y =3ax 2+2bx +c ，
（Ⅰ）若a =b =1，c =-1，求该抛物线与x 轴公共点的坐标；
（Ⅱ）若a =b =1，且当-1
x 2=1时，（Ⅲ）若a +b +c =0，且x 1=0时，对应的y 1>0；对应的y 2>0，试判断当0
时，抛物线与x 轴是否有公共点？若有，请证明你的结论；若没有，阐述理由．
26．本小题满分10分．
解（Ⅰ）当a =b =1，c =-1时，抛物线为y =3x 2+2x -1， 方程3x 2+2x -1=0的两个根为x 1=-1，x 2=
1
． 3
∴该抛物线与x 轴公共点的坐标是(-1············· 2分 0⎪． ，0)和 ，（Ⅱ）当a =b =1时，抛物线为y =3x 2+2x +c ，且与x 轴有公共点．
⎛1
⎝3⎫⎭
1
对于方程3x 2+2x +c =0，判别式∆=4-12c ≥0，有c ≤． ·········· 3分
3①当c =
111时，由方程3x 2+2x +=0，解得x 1=x 2=-． 333
此时抛物线为y =3x 2+2x +
⎛1⎫1
与x 轴只有一个公共点 -，0⎪． ········· 4分 3⎝3⎭
②当c
1
时， 3
x 1=-1时，y 1=3-2+c =1+c ， x 2=1时，y 2=3+2+c =5+c ．
1
由已知-1
3
⎧y 1≤0，⎧1+c ≤0，应有⎨ 即⎨
y >0. 5+c >0. ⎩2⎩
解得-5
1
综上，c =或-5
3（Ⅲ）对于二次函数y =3ax 2+2bx +c ，
由已知x 1=0时，y 1=c >0；x 2=1时，y 2=3a +2b +c >0， 又a +b +c =0，∴3a +2b +c =(a +b +c ) +2a +b =2a +b ． 于是2a +b >0．而b =-a -c ，∴2a -a -c >0，即a -c >0．
∴a >c >0． ······························ 7分 ∵关于x 的一元二次方程3ax 2+2bx +c =0的判别式
∆=4b 2-12ac =4(a +c ) 2-12ac =4[(a -c ) 2+ac ]>0，
∴抛物线y =3ax 2+2bx +c 与x 轴有两个公共点，顶点在x 轴下方． ········ 8分 又该抛物线的对称轴x =-
b
， 3a
由a +b +c =0，c >0，2a +b >0， 得-2a
1b 2
又由已知x 1=0时，y 1>0；x 2=1时，y 2>0，观察图象，
可知在0
2009年天津中考题26．（本小题10分）
已知函数y 1=x ，y 2=x 2+bx +c ，α，β为方程y 1-y 2=0的两个根，点M (1，T )在函数y 2的图象上． （Ⅰ）若α=，β=
1
31
，求函数y 2的解析式； 2
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若函数y 1与y 2的图象的两个交点为A ，B ，当△ABM 的面积为
1
时，求t 的值； 12
（Ⅲ）若0
26．本小题满分10分.
解（Ⅰ） y 1=x ，y 2=x +bx +c ，y 1-y 2=0，
·································································································· 1分 ∴x 2+(b -1)x +c =0. ·将α=，β=
2
1
312
分别代入x +(b -1)x +c =0，得
2
11⎛1⎫⎛1⎫
+b -1⨯+c =0+b -1⨯+c =0， ()() ⎪ ⎪
32⎝3⎭⎝2⎭
解得b =
22
11，c =. 66
51
···································································· 3分
∴函数y 2的解析式为y 2=x 2-x +． ·
66
（Ⅱ）由已知，得AB =
，设△ABM 的高为h ，
∴S △ABM =
111
.
AB ·
h =h =3=14421212
根据题意，t -T =由T =t +
2
2
，
11511
t +，得-t 2+t -=. 6666144
当t -
5115t +=-时，解得t 1=t 2=； 6614412
51155+t +=
时，解得t 3=. t 4=661441212
当t -
2
∴
t 的值为
555. ······················································································ 6分 121212
（Ⅲ）由已知，得
α=α2+b α+c ，β=β2+b β+c ，T =t 2+bt +c .
∴T -α=(t -α)(t +α+b )， T -β=(t -β)(t +β+b )，
α-β=(α2+b α+c )-(β2+b β+c )，化简得(α-β)(α+β+b -1)=0.
0
有α+b =1-β>0，β+b =1-α>0. 又00，t +β+b >0，
∴当0
当α
2010年天津中考题（26）（本小题10分）
在平面直角坐标系中，已知抛物线y =-x 2+bx +c 与x 轴交于点A 、B （点A 在点B 的左侧），与y 轴的正半轴交于点C ，顶点为E .
（Ⅰ）若b =2，c =3，求此时抛物线顶点E 的坐标；
（Ⅱ）将（Ⅰ）中的抛物线向下平移，若平移后，在四边形ABEC 中满足 S △BCE = S △ABC ，求此时直线BC 的解析式；
（Ⅲ）将（Ⅰ）中的抛物线作适当的平移，若平移后，在四边形ABEC 中满足 S △BCE = 2S △AOC ，且顶点E 恰好落在直线y =-4x +3上，求此时抛物线的解析式. 26）（本小题10分）
解：（Ⅰ）当b =2，c =3时，抛物线的解析式为y =-x 2+2x +3，即y =-(x -1) 2+4.
∴ 抛物线顶点E 的坐标为（1，4）． ．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 （Ⅱ）将（Ⅰ）中的抛物线向下平移，则顶点E 在对称轴x =1上，有b =2，
∴ 抛物线的解析式为y =-x 2+2x +c （c >0）．
c ) ，顶点为E (1， 1+c ) ． ∴ 此时，抛物线与y 轴的交点为C (0，
∵ 方程-x 2+2x +c =
0的两个根为x 1=1
x 2=1 ∴ 此时，抛物线与x
轴的交点为A (1
0) ，B (10) ． 如图，过点E 作EF ∥CB 与x 轴交于点F ，连接CF ，则S △BCE = S △BCF ． ∵ S △BCE = S △ABC ， ∴ S △BCF = S △ABC ． ∴
BF =AB = 设对称轴x =1与x 轴交于点D ，
x
1
则DF =AB +BF =
2由EF ∥CB ，得∠EFD =∠CBO ． ∴ Rt △EDF ∽Rt △COB ．有∴
=
ED CO
． =
DF OB
5． 4
．结合题意，解得 c =
55
∴ 点C (0 ) ，B (， 0)．
42
2011年天津中考题(26)(本小题10分) 已知抛物线C 1：y 1=
12
x -x +1．点F(1，1) ． 2
(Ⅰ) 求抛物线C 1的顶点坐标；
(Ⅱ) ①若抛物线C 1与y 轴的交点为A ．连接AF ，并延长交抛物线C 1于点B ，求证：
11+=2 AF BF
②抛物线C 1上任意一点P （x P ，y P ）) （0
11
+=2是否成立？请说明理由； PF QF
1
(x -h ) 2，若2
y 2= (Ⅲ) 将抛物线C 1作适当的平移．得抛物线C 2：
恒成立，求m 的最大值．
（26）（本小题10分）
1211
x -x +1=(x -1) 2+， 222
1
∴抛物线C 1的顶点坐标为(1， ) ．
2
解 (I)∵y 1=
(II)①根据题意，可得点A(0，1) ， ∵F(1，1) ．
∴AB ∥x 轴．得AF=BF=1，
11+=2 AF BF
②
11+=2成立． PF QF
理由如下：
如图，过点P （x P ，y P ）作PM ⊥AB 于点M ，则FM=1-x P ，PM=1-y P （0
PF 2=FM 2+PM 2=(1-x P ) 2+(1-y P ) 2
又点P （x P ，y P ）在抛物线C 1上， 得y P =
2
11
(x P -1) 2+，即(x P -1) 2=2y P -1 22
2
2
∴PF =2y P -1+(1-y P ) =y P 即PF =y P ．
过点Q （x Q ，y Q ）作QN ⊥B ，与AB 的延长线交于点N ， 同理可得QF =y Q ．
图文∠PMF=∠QNF=90°，∠MFP=∠NFQ ， ∴△PMF ∽△QNF 有
PF PM
=
QF QN
这里PM =1-y P =1-PF ，QN =y Q -1=QF -1 ∴
PF 1-PF
= QF QF -111+=2 PF QF
即
(Ⅲ) 令y 3=x ，
设其图象与抛物线C 2交点的横坐标为x 0，x 0' ，且x 0
12
x 左右平移得到的， 2
观察图象．随着抛物线C 2向右不断平移，x 0，x 0' 的值不断增大， ∴当满足2
1
(x -h ) 2=x ， 2
1
(2-h ) 2=2 2
解得h =4或h =0（舍）
12
∴y 2=(x -4)
2
12
此时，y 2=y 3，得(x -4) =x
2
解得x 0=2，x 0' =8 ∴m 的最大值为8.
2012年天津中考题（26）（本小题10分）
已知抛物线y =ax 2+bx +c （0
y A
的值；
y B -y C
（Ⅰ）当a =1，b =4，c =10时，①求顶点P 的坐标；②求（Ⅱ）当y 0≥0恒成立时，求
y A
的最小值．
y B -y C
解：（Ⅰ）若a=1，b=4，c=10，此时抛物线的解析式为y=x2+4x+10。 ①∵y=x2+4x+10=（x+2）2+6，∴抛物线的顶点坐标为P （－2，6）。 ②∵点A （1，yA ）、B （0，yB ）、C （－1，yC ）在抛物线y=x2+4x+10上， ∴yA=15，yB=10，yC=7。∴。 （Ⅱ）由0＜2a ＜b ，得。
由题意，如图过点A 作AA1⊥x 轴于点A1， 则AA1=yA，OA1=1。
连接BC ，过点C 作CD ⊥y 轴于点D ，
则BD=yB－yC ，CD=1。
过点A 作AF ∥BC ，交抛物线于点E （x1，yE ），交x 轴于点F （x2，0）。 则∠FAA1=∠CBD 。∴Rt △AFA1∽Rt △BCD 。 ∴ ，即。
过点E 作EG ⊥AA1于点G ，易得△AEG ∽△BCD 。 ∴，即。
∵点A （1，yA ）、B （0，yB ）、C （－1，yC ）、E （x1，yE ）在抛物线y=ax2+bx+c上， ∴yA=a+b+c，yB=c，yC=a－b+c，yE=ax12+bx1+c， ∴，化简，得x12＋x1－2=0， 解得x1=－2（x1=1舍去）。
∵y0≥0恒成立，根据题意，有x2≤x1＜－1。 则1－x2≥1－x1，即1－x2≥3。 ∴的最小值为3。
【考点】二次函数综合题，二次函数的性质，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质。 【分析】（Ⅰ）将a=1，b=4，c=10代入解析式，即可得到二次函数解析式。 ①将二次函数化为顶点式，即可得到得到抛物线顶点坐标。 ②将A （1，yA ）、B （0，yB ）、C （－1，yC ）分别代入解析式，即可求出yA 、yB 、yC 的值，然后计算的值即可。 （Ⅱ）根据0＜2a ＜b ，求出，作出图中辅助线：点A 作AA1⊥x 轴于点A1，则AA1=yA，OA1=1．连接BC ，过点C 作CD ⊥y 轴于点D ，则BD=yB－yC ，CD=1．过点A 作AF ∥BC ，交抛物线于点E （x1，yE ），交x 轴于点F （x2，0）。证出Rt △AFA1∽Rt △BCD ，得到，，再根据△AEG ∽△BCD 得到，然后求出yA 、yB 、yC 、yE 的表达式，然后y0≥0恒成立，得到x2≤x1＜－1，从而利用不等式求出 的最小值。 追问
向左转|向右转
（26）（本小题10分） 解：（Ⅰ）若a =1，b =4，c =10，
此时抛物线的解析式为y =x 2+4x +10． ① ∵y =x 2+4x +10=(x +2) 2+6， 6) ； ∴ 抛物线的顶点坐标为P (-2，
y B ) 、C (-1，y C ) 在抛物线y =x 2+4x +10上， ② ∵点A (1，y A ) 、B (0，
∴ y A =15，y B =10，y C =7． ∴
y A 15
==5．
y B -y C 10-7
（Ⅱ）由0
b
由题意，如图，过点A 作AA 1⊥x 轴于点A 1，则AA 1=y A ，OA 1=1． 连接BC ，过点C 作CD ⊥y 轴于点D ，则BD =y B -y C ，CD =1． y E ) ，交x 轴于点F (x 2，过点A 作AF //BC ，交抛物线于点E (x 1，0) ，
则∠FAA 1=∠CBD ． 于是Rt △AFA 1∽Rt △BCD ．
y A 1-x 2
===1-x 2． 有，即BD CD y B -y C 1AA 1
FA 1
过点E 作EG ⊥AA 1于点G ， 易得△AEG ∽△BCD ．
y -y E AG EG
=1-x 1．
有 ，即 A =
y B -y C BD CD
∵ 点A (1，y B ) 、C (-1，y C ) 、E (x 1，y E ) 在抛物线y =ax 2+bx +c 上， y A ) 、B (0，得y A =a +b +c ，y B =c ，y C =a -b +c ，y E =ax 12+bx 1+c ， ∴
(a +b +c ) -(ax 12+bx 1+c )
c -(a -b +c )
=1-x 1．
化简，得x 12+x 1-2=0，解得x 1=-2（x 1=1舍去）． ∵ y 0≥0恒成立，根据题意，有x 2≤x 1＜-1， 则1-x 2≥1-x 1，即1-x 2≥3． ∴
2013年天津中考题（26）（本小题10分）
已知抛物线y 1=ax 2+bx +c (a ≠0) 的对称轴是直线l ，顶点为M . 若自变量x 与函数值
y A
的最小值为3．
y B -y C
y 1的部分对应值如下表所示：
（Ⅰ）求y 1与x 之间的函数关系式；
（Ⅱ）若经过点T (0,t ) 作垂直于y 轴的直线l '，A 为直线l '上的动点，线段AM 的垂直平分线交直线l 于点B ，点B 关于直线AM 的对称点为P ，记作P (x , y 2) ；
①求y 2与x 之间的函数关系式；
②当x 取任意实数时，若对于同一个x ，有y 1
天津中考26题（全国最难08-13）
2008年天津中考题26．（本小题10分） 已知抛物线y =3ax 2+2bx +c ，
（Ⅰ）若a =b =1，c =-1，求该抛物线与x 轴公共点的坐标；
（Ⅱ）若a =b =1，且当-1
x 2=1时，（Ⅲ）若a +b +c =0，且x 1=0时，对应的y 1>0；对应的y 2>0，试判断当0
时，抛物线与x 轴是否有公共点？若有，请证明你的结论；若没有，阐述理由．
26．本小题满分10分．
解（Ⅰ）当a =b =1，c =-1时，抛物线为y =3x 2+2x -1， 方程3x 2+2x -1=0的两个根为x 1=-1，x 2=
1
． 3
∴该抛物线与x 轴公共点的坐标是(-1············· 2分 0⎪． ，0)和 ，（Ⅱ）当a =b =1时，抛物线为y =3x 2+2x +c ，且与x 轴有公共点．
⎛1
⎝3⎫⎭
1
对于方程3x 2+2x +c =0，判别式∆=4-12c ≥0，有c ≤． ·········· 3分
3①当c =
111时，由方程3x 2+2x +=0，解得x 1=x 2=-． 333
此时抛物线为y =3x 2+2x +
⎛1⎫1
与x 轴只有一个公共点 -，0⎪． ········· 4分 3⎝3⎭
②当c
1
时， 3
x 1=-1时，y 1=3-2+c =1+c ， x 2=1时，y 2=3+2+c =5+c ．
1
由已知-1
3
⎧y 1≤0，⎧1+c ≤0，应有⎨ 即⎨
y >0. 5+c >0. ⎩2⎩
解得-5
1
综上，c =或-5
3（Ⅲ）对于二次函数y =3ax 2+2bx +c ，
由已知x 1=0时，y 1=c >0；x 2=1时，y 2=3a +2b +c >0， 又a +b +c =0，∴3a +2b +c =(a +b +c ) +2a +b =2a +b ． 于是2a +b >0．而b =-a -c ，∴2a -a -c >0，即a -c >0．
∴a >c >0． ······························ 7分 ∵关于x 的一元二次方程3ax 2+2bx +c =0的判别式
∆=4b 2-12ac =4(a +c ) 2-12ac =4[(a -c ) 2+ac ]>0，
∴抛物线y =3ax 2+2bx +c 与x 轴有两个公共点，顶点在x 轴下方． ········ 8分 又该抛物线的对称轴x =-
b
， 3a
由a +b +c =0，c >0，2a +b >0， 得-2a
1b 2
又由已知x 1=0时，y 1>0；x 2=1时，y 2>0，观察图象，
可知在0
2009年天津中考题26．（本小题10分）
已知函数y 1=x ，y 2=x 2+bx +c ，α，β为方程y 1-y 2=0的两个根，点M (1，T )在函数y 2的图象上． （Ⅰ）若α=，β=
1
31
，求函数y 2的解析式； 2
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若函数y 1与y 2的图象的两个交点为A ，B ，当△ABM 的面积为
1
时，求t 的值； 12
（Ⅲ）若0
26．本小题满分10分.
解（Ⅰ） y 1=x ，y 2=x +bx +c ，y 1-y 2=0，
·································································································· 1分 ∴x 2+(b -1)x +c =0. ·将α=，β=
2
1
312
分别代入x +(b -1)x +c =0，得
2
11⎛1⎫⎛1⎫
+b -1⨯+c =0+b -1⨯+c =0， ()() ⎪ ⎪
32⎝3⎭⎝2⎭
解得b =
22
11，c =. 66
51
···································································· 3分
∴函数y 2的解析式为y 2=x 2-x +． ·
66
（Ⅱ）由已知，得AB =
，设△ABM 的高为h ，
∴S △ABM =
111
.
AB ·
h =h =3=14421212
根据题意，t -T =由T =t +
2
2
，
11511
t +，得-t 2+t -=. 6666144
当t -
5115t +=-时，解得t 1=t 2=； 6614412
51155+t +=
时，解得t 3=. t 4=661441212
当t -
2
∴
t 的值为
555. ······················································································ 6分 121212
（Ⅲ）由已知，得
α=α2+b α+c ，β=β2+b β+c ，T =t 2+bt +c .
∴T -α=(t -α)(t +α+b )， T -β=(t -β)(t +β+b )，
α-β=(α2+b α+c )-(β2+b β+c )，化简得(α-β)(α+β+b -1)=0.
0
有α+b =1-β>0，β+b =1-α>0. 又00，t +β+b >0，
∴当0
当α
2010年天津中考题（26）（本小题10分）
在平面直角坐标系中，已知抛物线y =-x 2+bx +c 与x 轴交于点A 、B （点A 在点B 的左侧），与y 轴的正半轴交于点C ，顶点为E .
（Ⅰ）若b =2，c =3，求此时抛物线顶点E 的坐标；
（Ⅱ）将（Ⅰ）中的抛物线向下平移，若平移后，在四边形ABEC 中满足 S △BCE = S △ABC ，求此时直线BC 的解析式；
（Ⅲ）将（Ⅰ）中的抛物线作适当的平移，若平移后，在四边形ABEC 中满足 S △BCE = 2S △AOC ，且顶点E 恰好落在直线y =-4x +3上，求此时抛物线的解析式. 26）（本小题10分）
解：（Ⅰ）当b =2，c =3时，抛物线的解析式为y =-x 2+2x +3，即y =-(x -1) 2+4.
∴ 抛物线顶点E 的坐标为（1，4）． ．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 （Ⅱ）将（Ⅰ）中的抛物线向下平移，则顶点E 在对称轴x =1上，有b =2，
∴ 抛物线的解析式为y =-x 2+2x +c （c >0）．
c ) ，顶点为E (1， 1+c ) ． ∴ 此时，抛物线与y 轴的交点为C (0，
∵ 方程-x 2+2x +c =
0的两个根为x 1=1
x 2=1 ∴ 此时，抛物线与x
轴的交点为A (1
0) ，B (10) ． 如图，过点E 作EF ∥CB 与x 轴交于点F ，连接CF ，则S △BCE = S △BCF ． ∵ S △BCE = S △ABC ， ∴ S △BCF = S △ABC ． ∴
BF =AB = 设对称轴x =1与x 轴交于点D ，
x
1
则DF =AB +BF =
2由EF ∥CB ，得∠EFD =∠CBO ． ∴ Rt △EDF ∽Rt △COB ．有∴
=
ED CO
． =
DF OB
5． 4
．结合题意，解得 c =
55
∴ 点C (0 ) ，B (， 0)．
42
2011年天津中考题(26)(本小题10分) 已知抛物线C 1：y 1=
12
x -x +1．点F(1，1) ． 2
(Ⅰ) 求抛物线C 1的顶点坐标；
(Ⅱ) ①若抛物线C 1与y 轴的交点为A ．连接AF ，并延长交抛物线C 1于点B ，求证：
11+=2 AF BF
②抛物线C 1上任意一点P （x P ，y P ）) （0
11
+=2是否成立？请说明理由； PF QF
1
(x -h ) 2，若2
y 2= (Ⅲ) 将抛物线C 1作适当的平移．得抛物线C 2：
恒成立，求m 的最大值．
（26）（本小题10分）
1211
x -x +1=(x -1) 2+， 222
1
∴抛物线C 1的顶点坐标为(1， ) ．
2
解 (I)∵y 1=
(II)①根据题意，可得点A(0，1) ， ∵F(1，1) ．
∴AB ∥x 轴．得AF=BF=1，
11+=2 AF BF
②
11+=2成立． PF QF
理由如下：
如图，过点P （x P ，y P ）作PM ⊥AB 于点M ，则FM=1-x P ，PM=1-y P （0
PF 2=FM 2+PM 2=(1-x P ) 2+(1-y P ) 2
又点P （x P ，y P ）在抛物线C 1上， 得y P =
2
11
(x P -1) 2+，即(x P -1) 2=2y P -1 22
2
2
∴PF =2y P -1+(1-y P ) =y P 即PF =y P ．
过点Q （x Q ，y Q ）作QN ⊥B ，与AB 的延长线交于点N ， 同理可得QF =y Q ．
图文∠PMF=∠QNF=90°，∠MFP=∠NFQ ， ∴△PMF ∽△QNF 有
PF PM
=
QF QN
这里PM =1-y P =1-PF ，QN =y Q -1=QF -1 ∴
PF 1-PF
= QF QF -111+=2 PF QF
即
(Ⅲ) 令y 3=x ，
设其图象与抛物线C 2交点的横坐标为x 0，x 0' ，且x 0
12
x 左右平移得到的， 2
观察图象．随着抛物线C 2向右不断平移，x 0，x 0' 的值不断增大， ∴当满足2
1
(x -h ) 2=x ， 2
1
(2-h ) 2=2 2
解得h =4或h =0（舍）
12
∴y 2=(x -4)
2
12
此时，y 2=y 3，得(x -4) =x
2
解得x 0=2，x 0' =8 ∴m 的最大值为8.
2012年天津中考题（26）（本小题10分）
已知抛物线y =ax 2+bx +c （0
y A
的值；
y B -y C
（Ⅰ）当a =1，b =4，c =10时，①求顶点P 的坐标；②求（Ⅱ）当y 0≥0恒成立时，求
y A
的最小值．
y B -y C
解：（Ⅰ）若a=1，b=4，c=10，此时抛物线的解析式为y=x2+4x+10。 ①∵y=x2+4x+10=（x+2）2+6，∴抛物线的顶点坐标为P （－2，6）。 ②∵点A （1，yA ）、B （0，yB ）、C （－1，yC ）在抛物线y=x2+4x+10上， ∴yA=15，yB=10，yC=7。∴。 （Ⅱ）由0＜2a ＜b ，得。
由题意，如图过点A 作AA1⊥x 轴于点A1， 则AA1=yA，OA1=1。
连接BC ，过点C 作CD ⊥y 轴于点D ，
则BD=yB－yC ，CD=1。
过点A 作AF ∥BC ，交抛物线于点E （x1，yE ），交x 轴于点F （x2，0）。 则∠FAA1=∠CBD 。∴Rt △AFA1∽Rt △BCD 。 ∴ ，即。
过点E 作EG ⊥AA1于点G ，易得△AEG ∽△BCD 。 ∴，即。
∵点A （1，yA ）、B （0，yB ）、C （－1，yC ）、E （x1，yE ）在抛物线y=ax2+bx+c上， ∴yA=a+b+c，yB=c，yC=a－b+c，yE=ax12+bx1+c， ∴，化简，得x12＋x1－2=0， 解得x1=－2（x1=1舍去）。
∵y0≥0恒成立，根据题意，有x2≤x1＜－1。 则1－x2≥1－x1，即1－x2≥3。 ∴的最小值为3。
【考点】二次函数综合题，二次函数的性质，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质。 【分析】（Ⅰ）将a=1，b=4，c=10代入解析式，即可得到二次函数解析式。 ①将二次函数化为顶点式，即可得到得到抛物线顶点坐标。 ②将A （1，yA ）、B （0，yB ）、C （－1，yC ）分别代入解析式，即可求出yA 、yB 、yC 的值，然后计算的值即可。 （Ⅱ）根据0＜2a ＜b ，求出，作出图中辅助线：点A 作AA1⊥x 轴于点A1，则AA1=yA，OA1=1．连接BC ，过点C 作CD ⊥y 轴于点D ，则BD=yB－yC ，CD=1．过点A 作AF ∥BC ，交抛物线于点E （x1，yE ），交x 轴于点F （x2，0）。证出Rt △AFA1∽Rt △BCD ，得到，，再根据△AEG ∽△BCD 得到，然后求出yA 、yB 、yC 、yE 的表达式，然后y0≥0恒成立，得到x2≤x1＜－1，从而利用不等式求出 的最小值。 追问
向左转|向右转
（26）（本小题10分） 解：（Ⅰ）若a =1，b =4，c =10，
此时抛物线的解析式为y =x 2+4x +10． ① ∵y =x 2+4x +10=(x +2) 2+6， 6) ； ∴ 抛物线的顶点坐标为P (-2，
y B ) 、C (-1，y C ) 在抛物线y =x 2+4x +10上， ② ∵点A (1，y A ) 、B (0，
∴ y A =15，y B =10，y C =7． ∴
y A 15
==5．
y B -y C 10-7
（Ⅱ）由0
b
由题意，如图，过点A 作AA 1⊥x 轴于点A 1，则AA 1=y A ，OA 1=1． 连接BC ，过点C 作CD ⊥y 轴于点D ，则BD =y B -y C ，CD =1． y E ) ，交x 轴于点F (x 2，过点A 作AF //BC ，交抛物线于点E (x 1，0) ，
则∠FAA 1=∠CBD ． 于是Rt △AFA 1∽Rt △BCD ．
y A 1-x 2
===1-x 2． 有，即BD CD y B -y C 1AA 1
FA 1
过点E 作EG ⊥AA 1于点G ， 易得△AEG ∽△BCD ．
y -y E AG EG
=1-x 1．
有 ，即 A =
y B -y C BD CD
∵ 点A (1，y B ) 、C (-1，y C ) 、E (x 1，y E ) 在抛物线y =ax 2+bx +c 上， y A ) 、B (0，得y A =a +b +c ，y B =c ，y C =a -b +c ，y E =ax 12+bx 1+c ， ∴
(a +b +c ) -(ax 12+bx 1+c )
c -(a -b +c )
=1-x 1．
化简，得x 12+x 1-2=0，解得x 1=-2（x 1=1舍去）． ∵ y 0≥0恒成立，根据题意，有x 2≤x 1＜-1， 则1-x 2≥1-x 1，即1-x 2≥3． ∴
2013年天津中考题（26）（本小题10分）
已知抛物线y 1=ax 2+bx +c (a ≠0) 的对称轴是直线l ，顶点为M . 若自变量x 与函数值
y A
的最小值为3．
y B -y C
y 1的部分对应值如下表所示：
（Ⅰ）求y 1与x 之间的函数关系式；
（Ⅱ）若经过点T (0,t ) 作垂直于y 轴的直线l '，A 为直线l '上的动点，线段AM 的垂直平分线交直线l 于点B ，点B 关于直线AM 的对称点为P ，记作P (x , y 2) ；
①求y 2与x 之间的函数关系式；
②当x 取任意实数时，若对于同一个x ，有y 1