三角函数练习题(带答案)

1．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且a cos B -b cos A =

3c ．（Ⅰ）求5

tan A cot B 的值；（Ⅱ）求tan(A -B ) 的最大值．

2. 在△ABC 中，cos B =-的长．

3. 在∆ABC 中，角A , B , C 所对应的边分别为a , b , c

，a =5433，cos C =．（Ⅰ）求sin A 的值；（Ⅱ）设△ABC 的面积S △ABC =，求BC 1352

tan

A +B C

+tan =4, 2sin B cos C =sin A ，求A , B 及b , c 22

已知函数f (t ) =

17π

g (x ) =cos x ⋅f (sinx ) +sin x ⋅f (cosx ), x ∈(π, ). （Ⅰ）将函数g (x ) 化简12

成A sin(ωx +ϕ) +B （A >0，ω>0，ϕ∈[0,2π) ）的形式；（Ⅱ）求函数g (x ) 的值域.(本小题主要考查函数的定义域、值域和三角函数的性质等基本知识，考查三角恒等变换、代数式的化简变形和运算能力.

（满分12分）)

已知函数f (x ) =2sin

x x x

cos -2．（Ⅰ）求函数f (x ) 的最小正周期及最值；（Ⅱ）令444

π⎫⎛

g (x ) =f x +⎪，判断函数g (x ) 的奇偶性，并说明理由．

3⎭⎝

6. 已知向量m =(sinA ,cos A ), n

=-1) ，m ·n ＝1，且A 为锐角. （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）求函数三角函数的基本公f (x ) =cos 2x +4cos A sin x (x ∈R ) 的值域.(本小题主要考查平面向量的数量积计算、式、三角恒等变换、一元二次函数的最值等基本知识，考查运算能力. 满分12分.)

7. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边的边长分别是a ，b ，c ，已知c =2，C =

π．（Ⅰ）若△ABC 的面

a ，b ；（Ⅱ）若sin C +sin(B -A ) =2sin 2A ，求△ABC 的面积．(本小题主要考查三角形的边角关系，三角函数公式等基础知识，考查综合应用三角函数有关知识的能力．满分12分) ．

8、△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 已知a ＝3，cos A 求△ABC 的面积．

9、在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＋b ＋c ＝8.(1)若a ＝2，b ＝cos C 的值；

2B A 9

(2)若sin A cos 2sin B cos 2＝2sin C ，且△ABC 的面积S ＝sin C ，求a 和b 的值．

222

10、 △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c . 已知3a cos C ＝2c cos A ，tan A ，求B .

解：由题设和正弦定理得3sin A cos C ＝2sin C cos A ，故3tan A cos C ＝2sin C .

1→→

11、在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＞c . 已知BA ·BC ＝2，cos B ＝，b ＝3. 求：

(1)a 和c 的值；(2)cos(B －C ) 的值．

12、在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 已知 a －c ＝，sin B ＝6sin C .(1)求cos A 的

值；(2)求cos ⎛2A －的值．

6⎝

π6

，B ＝A 求b 的值；(2)32

1．解：（Ⅰ）在△ABC 中，由正弦定理及a cos B -b cos A =可得sin A cos B -sin B cos A =

c 5

3333

sin C =sin(A +B ) =sin A cos B +cos A sin B 5555

即sin A cos B =4cos A sin B ，则tan A cot B =4；（Ⅱ）由tan A cot B =4得tan A =4tan B >0

tan A -tan B 3tan B 33

tan(A -B ) ===≤ 2

1+tan A tan B 1+4tan B cot B +4tan B 4

当且仅当4tan B =cot B , tan B =, tan A =2时，等号成立，

故当tan A =2, tan B =时，tan(A -B ) 的最大值为.

51243

2. 解：（Ⅰ）由cos B =-，得sin B =，由cos C =，得sin C =．

131355

所以sin A =sin(B +C ) =sin B cos C +cos B sin C =． ············ 5分

33133

（Ⅱ）由S △ABC =得⨯AB ⨯AC ⨯sin A =，

22233

由（Ⅰ）知sin A =，故AB ⨯AC =65， ·················· 8分

13AB ⨯sin B 2020AB ⨯sin A 11

=AB ，故AB 2=65，AB =．所以BC ==． 10分又AC =

2sin C 1313sin C 2

A +B C C C

+tan =4得cot +tan =4 3. 解：由tan 2222

C C cos sin 1π5π1+=4 ∴∴ =4, ∴sin C =，又C ∈(0,π) , ∴C =，或C =C C 266sin cos sin cos

2222

由2sin B cos C =sin A 得 2sin B cos B =sin(B +C ) 即sin(B -C ) =0 ∴B =C , B =C =

, A =π-(B +C ) =

2π

a b c sin B

由正弦定理得b =c =a ==2 sin A sin B sin C sin A

4. 解：

（Ⅰ）g (x ) =cos x sin

x =cos x

sin x =cos x

1-sin x 1-cos x

+sin x .

cos x sin x

1-sin x 1-cos x ⎛17π⎤

∴g (x ) =cos x +sin x x ∈ π, , ∴cos x =-cos x , sin x =-sin x , ⎥-cos x -sin x 12⎝⎦

π⎫⎛

=sin x +cos x -

2 x +⎪-2.

4⎭⎝

（Ⅱ）由π＜x ≤

17π5ππ5π

＜x +≤. 得12443

⎛5π3π⎤⎛3π5π⎤

sin t 在 , ⎥上为减函数，在 , ⎥上为增函数，

⎝42⎦⎝23⎦

又sin

5π5π3ππ5π⎛17π⎤＜sin , ∴sin ≤sin(x +) ＜sin （当x ∈ π, ），

⎥342442⎝⎦

即-1≤sin(x +) ＜π

4π

2≤x +) -2＜-3，

故g (x )

的值域为⎡2, -3.

⎣

)

5. 解：

（Ⅰ）

f (x ) =sin

x x x x ⎛x π⎫

-2sin 2) =sin +=2sin +⎪． 2422⎝23⎭

∴f (x ) 的最小正周期T =

2π

=4π． 12

当sin

⎛x π⎫⎛x π⎫

+⎪=-1时，f (x ) 取得最小值-2；当sin +⎪=1时，f (x ) 取得最大值2． ⎝23⎭⎝23⎭

π⎫⎛x π⎫⎛

+⎪．又g (x ) =f x +⎪．

3⎭⎝23⎭⎝

x ⎛x ⎫

g (-x ) =2cos -⎪=2cos =g (x ) ．

2⎝2⎭

（Ⅱ）由（Ⅰ）知f (x ) =2sin

x ⎡1⎛π⎫π⎤⎛x π⎫

∴g (x ) =2sin ⎢ x +⎪+⎥=2sin +⎪=

2cos ．

23⎭3⎦⎝22⎭⎣2⎝

∴函数g (x ) 是偶函数．

6. 解：（Ⅰ）由题意得m n =A -cos A =1, 2sin(A -) =1,sin(A -) =

π6π61

. 由A 为锐角得2

A -

πππ=, A =. 663

113

, 所以f (x ) =cos 2x +2sin x =1-2sin 2x +2sin s =-2(sinx -) 2+. 222

因为x ∈R ，所以sin x ∈[-1,1]，因此，当sin x =时，f (x ) 有最大值.

当sin x =-1时，f (x ) 有最小值-3，所以所求函数f (x ) 的值域是⎢-3, ⎥. 2

（Ⅱ）由（Ⅰ）知cos A =

⎡⎣

3⎤⎦

7. 解：（Ⅰ）由余弦定理及已知条件得，a +b -ab =4，又因为△

ABC

ab sin C =ab =4． ······· 4分 2

⎧a 2+b 2-ab =4，

联立方程组⎨解得a =2，b =2． ··············· 6分

⎩ab =4，

（Ⅱ）由题意得sin(B +A ) +sin(B -A ) =4sin A cos A ，即sin B cos A =2sin A cos A ， 8分

当cos A =0时，A =

ππ，B =

，a =

，b =， 2633

当cos A ≠0时，得sin B =2sin A ，由正弦定理得b =2a ，

⎧a 2+b 2-ab =4，联立方程组⎨解得a =

b =

⎩b =2a ，

所以△

ABC 的面积S =

1 ················· 12分 ab sin C =

8、解：(1)在△ABC 中，由题意知，sin A ＝1－cos A ＝ππ6

又因为B ＝A sin B ＝sin ⎛A ＋⎫＝cos A .

232⎭⎝a sin B

由正弦定理可得，b ＝＝

sin A

3×

＝32. 3

ππ3

(2)由B ＝A ＋得cos B ＝cos ⎛A ＝－sin A ＝－232⎝由A ＋B ＋C ＝π，得C ＝π－(A ＋B ) ，

所以sin C ＝sin[π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B ) ＝sin A cos B ＋cos A sin B 1113因此△ABC 的面积S ＝ab sin C ×3×2×.

2232

a 2＋b 2－c 27

9、解：(1)由题意可知c ＝8－(a ＋b ) ＝. 由余弦定理得cos C ＝22ab

5⎛72＋⎛⎝2－⎝22

3⎛6613

×－＋. 3⎝3333

2×2×

1＋cos B 1＋cos A B A

(2)由sin A cos 2sin B cos 2＝2sin C 可得sin A ·sin B ·2sin C ，

2222化简得sin A ＋sin A cos B ＋sin B ＋sin B cos A ＝4sin C .

因为sin A cos B ＋cos A sin B ＝sin(A ＋B ) ＝sin C ，所以sin A ＋sin B ＝3sin C . 由正弦定理可知a ＋b ＝3c . 又a ＋b ＋c ＝8，所以a ＋b ＝6.

由于S sin C ＝sin C ，所以ab ＝9，从而a 2－6a ＋9＝0，解得a ＝3，所以b ＝3.

10、解：由题设和正弦定理得3sin A cos C ＝2sin C cos A ，故3tan A cos C ＝2sin C . 11

因为tan A ＝cos C ＝2sin C ，所以tan C ＝

32所以tan B ＝tan[180°－(A ＋C )]＝－tan(A ＋C ) ＝

tan A ＋tan C

＝－1，

tan A tan C －1

所以B ＝135°.

→→

11、解：(1)由BA ·BC ＝2，得c ·a cos B ＝2，

又cos B ac ＝6. 由余弦定理，得a 2＋c 2＝b 2＋2ac cos B ，

又b ＝3，所以a 2＋c 2＝9＋2×2＝13.

⎧⎧⎪ac ＝6，⎪a ＝2，⎧⎪a ＝3，⎨⎨联立22得或⎨ ⎪a ＋c ＝13，⎩⎪c ＝3⎪c ＝2. ⎩⎩因为a ＞c ，所以a ＝3，c ＝2.

12⎛(2)在△ABC 中，sin B ＝1－cos B ＝1－⎝3＝3

c 22242

由正弦定理，得sin C ＝B ＝＝.

b 339因为a ＝b ＞c ，所以C 为锐角，因此cos C 1－sin C 427

1－⎛＝. ⎝99

172 24 223

于是cos(B －C ) ＝cos B cos C ＋sin B sin C ＝＋×

393927

b c 6

12解：(1)在△ABC 中，由，及sin B ＝C ，可得b ＝c . 又由a －c ＝b ，有a ＝2c .

sin B sin C 6

222222b ＋c －a 6c ＋c －4c 6

所以cos A ＝2bc 426c 2

610115

(2)在△ABC 中，由cos A ，可得sin A ＝. 于是cos 2A ＝2cos 2A －1sin 2A ＝2sin A ·cos A .

4444

ππ15－3π

所以cos ⎛2A ⎫＝cos 2A ·cos ＋sin 2A ·sin 6686⎭⎝