江西省五市八校2017届高三第一次联考数学（理科）试卷
主命题：乐平中学 李林 副命题：九江三中 聂己未
本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分. 全卷满分150分，考试时间120分钟. 考生注意：
1. 答题前，考生务必将自己的学号、姓名等项内容填写在答题卡上.
2. 第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，第II 卷用黑色墨水签字笔在答题卡上指定区域书写作答， 在试题卷上作答，答案无效. 3. 考试结束，监考员将答题卡收回.
第Ⅰ卷（选择题60分）
一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1、集合A ={x ||x -1|-a ≥0}，B ={x |x
2017
+2、设复数z =2-i （i 是虚数单位），则复数i
1
的虚部是（ ） z -1
A.
1133 B. -i C. D. i 2222
3、某工厂生产某种产品的产量x （吨）与相应的生产能耗y （吨标准煤）有如下几组样本数据：据相关性检验，这组样本数据具有线性相关关系，通过线性回归分析，求得其回归直线的斜率为0.7，则这组样本数据的回归直线方程是（ ）
A ．$y =0.7x +2.05 B ．$y =0.7x +1 C．$y =0.7x +0.35 D．$y =0.7x +0.45 4、已知函数y =A. x =-
x +ϕ)(|ϕ|
π
) 的图象经过点(,1) ，则该函数图象的一条对称轴方程为（ ）
22
π
π
4
B. x =-
π
8
C. x =
π
4
D. x =
π
8
5、等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d >0”是“S n 有最小值”的（ ） A.
充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6、如图下框图所给的程序运行结果为S =35，那么判断框中应填入的关于k 的条件是（ ）
A. k =3? B. k ≤2? C. k >2? D. k
7、设a , b 是两个不同的直线，α, β是两个不同的平面，则下列四个命题中，正确的个数是（ ） ①若a ⊥b , a ⊥α，则b //α ②若a //α, α⊥β，则a //β ③若a ⊥β, α⊥β，则a //α ④若a //b , a //α, b //β，则α//β
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
8、在明朝程大位《算法统宗》中有首依等算钞歌：“甲乙丙丁戊己更，七人钱本不均平，甲乙念三七钱钞，念六一钱戊己更，惟有丙丁钱无数，要依等第数分明，请问先生能算者，细推详算莫差争。”题意是：“现有七人，他们手里钱不一样多，依次差值等额，已知甲乙两人共237钱，戊己更三人共261钱，求各人钱数。”根据上题的已知条件，丁有（ ）
A. 100钱 B. 101钱 C. 102钱 D. 103钱
9、甲、乙、丙、丁、戊五位同学按照前二后三的位置照相留念，则甲不在丙左侧的概率为（ ） A.
2412 B. C. D. 5523
x 2y 2
10．已知双曲线2-2=1(b >a >0) ，过右焦点F 2作双曲线的其中一条渐近线的垂线l ，垂足为P ，交
a b
另一条渐近线于Q 点，若S ∆OPQ =ab （其中O 为坐标原点），则双曲线的离心率为（ ）
A ．
B
C
D
．
11、正实数u , v , w 均不等于1，若log u (vw ) +log v w =5，log v u +log w v =3，则log w u 的值为（ ） A.
334
B. C. D. 1 545
12、已知函数f (x )满足f (x )=4f
⎛1⎫⎡1⎤⎡1⎤
x ∈,1, 4⎥上，方程f (x )=kx ，当时，，若在f x =ln x ()⎪⎢⎥⎢⎝x ⎭⎣4⎦⎣4⎦
有三个不同的实根，则实数k 的取值范围是（ ）
A ．⎢-4ln 4, -⎥ B．[-4ln 4, -ln 4] C．⎢-, -ln 4⎥ D． -, -ln 4⎥
e e e
⎡
⎣
4⎤⎦⎡4⎣⎤⎦⎛4⎝⎤⎦
第Ⅱ卷（非选择题90分）
本卷包括必考题和选考题两部分. 第13-21题为必考题，每个试题考生都必须作答. 第22-23题为选考题，学生根据要求作答.
>4⎧x +y ⎪*
⎪x >0⎩
14、二项式(2x -) (n ∈N ) 的展开式中，前三项的系数绝对值依次成等差数列，则此展开式中系数绝对值之和为
1x
n *
15、如图是某空间几何体的三视图，则该几何体的外接球表面积为 16、已知圆C ：(x -2) 2+y 2=4, 圆M ：(x -2-5cos θ) 2+(y -5sin θ) 2=1(θ∈R ) ，过圆C 的圆心任意作一条直线交圆C 于E ，F 两点，其中点P 是圆M 上的一动
uu r uu u r
点，连接PE ，PF ，则PE ⋅PF 的最大值
三、解答题:本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17
、已知函数f (x ) =π-x )sin(x -（1）求函数f (x ) 的单调递增区间；
（2）已知在∆ABC 中，A , B , C 的对边分别为a , b , c ，若f (A ) =1，a =2, b +c =3，求∆ABC 的面积。 18、全面放开二胎以来，考虑到孩子的教育、医疗、住房、老人养老等因素，“二胎”越来越成为人们热议的话题，某机构对“放开二胎”的态度进行调查，随机抽取了50人，他们年龄的频数分布及对“放开二胎”
3
2
π
π1
) +cos 2(+x ) - 222
（
1）若以“年龄40岁为分界点”，由以上统计数据完成下面的2⨯2列联表，并判断是否有99%的把握认为“放开二胎”的态度与人的年龄有关：
（2）若从年龄在20岁以下，50岁以上的被调查人中各随机选取两人进行追踪调查．记选中的4人中赞成“放开二胎”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望． 2
n (
ad -bc ) 2
K =
(a +b )(c +d )(a +c )(b +d ) ，(n =a +b +c +d ) ． 参考公式：
19、如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是菱形，∠ABC =60，点A 在平面PBC 上的射影为PB 的中点O ，PD =2。
（1）若PB ⊥AC ，求AB 长
（2）在（1）的条件下，求二面角A -PC -B 的余弦值
（3）平面OCD 截四棱锥P -ABCD 为上下两个几何体，求V 上：V 下
x 2y 2
20、如图，椭圆C ：2+2=1(a >b >0) 的顶点为A ，B,C,D, 焦点为F 1, F
2，|AC
|=a b
S 四边形ACBD =
S 四边形F 1CF 2D . 3
（1）求椭圆C 的方程；
（2）过定点T （1,0）的直线l 交椭圆于M ，N 两点（异于A ，B 两点），直线AM ，BN 交于点G ，试判断点G 是否在一条定直线上，如果在，请求出此直线的方程，如果不存在，请说明理由。
21、已知函数f (x ) =e ax -x
（1）若对一切x ∈R ，f (x ) ≥1恒成立，求a 的取值集合；
（2）若a =1，k 为整数，且存在x 0>0，使得(x 0-k ) f ' (x 0) +x 0+1
请考生在第22、23、题中任选一题作答, 如果多做, 则按所做的第一题计分。 22、选修4-4：坐标系与参数方程
x
⎧⎪x =-2θ, θ
已知曲线C
1的参数方程为⎨（为参数），曲线C 2的极坐标方程为ρ=2cos θ+6sin θ．
⎪⎩y =θ,
（1）将曲线C 1的参数方程化为普通方程，将曲线C 2的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）在同一坐标系下，曲线C 1，C 2是否相交，若相交，请求出公共弦的长；若不相交，请说明理由． 23、选修4-5：不等式选讲 已知函数f (x ) =|x |+2|x -2|
-tx ≤0的解集非空，求实数t 的取值范围
（2）若不等式f (x )
答案
选择题
1-5 ACCBA 6-10 CDBBB 11-12 CD 填空题 13、 1 14、 6561 15、
40π
3
16、 32 解答题
⎤
17、（1）⎡-+k π, +k π⎢⎥(k ∈Z ) （2
）
⎣6
3
⎦
ππ
12
（1）化简得f (x ) =sin(2x -)
6
π
⎤
单调递增区间为⎡-+k π, +k π⎢⎥(k ∈Z )
⎣6
3
⎦
5b 2+c 2-a 2（2）由f (A ) =1，得A =，由余弦定理cos A =，a =2, b +c =3，得bc
=，
332bc
ππ
π
1S ∆ABC =bc sin A =
218、（1）有99%的把握（2）分布列见解析，E ξ=
（1）2⨯2列联表
2
27
25
50⨯(25⨯11-6⨯8) 2
K =≈7.797>6.635，
33⨯17⨯19⨯31
所以有99%的把握认为“放开二胎”的态度与人的年龄有关． （2）ξ所有可能取值有0,1,2,3，
1111221221
C 32C 4C 2C 3C 4C 32C 4C 2C 3C 4C 2C 49123
P (ξ=0) =2⋅2=P (ξ=1) =2⋅2+2⋅2=P (ξ=2) =2⋅2+2⋅2=
C 5C 550，C 5C 5C 5C 525，C 5C 5C 5C 510，
21C 2C 41
P (ξ=3) =2⋅2=
C 5C 525，
所以ξ的分布列是
+1⨯+2⨯+3⨯=． 所以ξ的期望值是E ξ=0⨯502510255
19、（1）AB =（2
33）
5（1）（2）
连接BD 交AC 于点E ，连接OE,OC ，由点A 在平面PBC 上的射影为PB 的中点
O ，可知AO ⊥面PBC , AO ⊥
PB , AO ⊥OC ，且
PB ⊥AC
，得P B ⊥面A O C , PB ⊥OC . 在面
1PD =,
经计算AB 取2PBD 中，OE =
PC 中点F ，连接OF ，AF ，∠AFO 就是二面角A -PC -B 的平面角，经计算余弦值为
（3）取PA 中点G ，连接OG ，OG//CD，面OCDG 截四棱锥P -ABCD 为上下两个几何体，V 上=V P -OGC +V P -GCD , 经计算V 上：V 下=
35
x 2
20、（1）+y 2=1（2）x =4
4
解：（1
）依题意有|AC |==∴a 2+b 2=5
又由S Y ACBD =
2bc ，∴a =c Y
F 1CF 2D ，有2ab =33x 2
+y 2=1 解得a =4, b =1，，故椭圆C 的方程为4
2
2
⎧x =my +1⎪
（2）设点M (x 1, y 1), N (x 2, y 2), G (x 0, y 0) ，直线l 的方程为x =my +1，由⎨x 2得： 2
⎪+y =1⎩4
(m 2+4) y 2+2my -3=0∴y 1+y 2=-
2m 3
, y y =-，联立直线AM 与BN 的方程： 12
m 2+4m 2+4
y 1⎧
y =(x +2) ⎪2(x 1y 2+x 2y 1-2y 1+2y 2) x +2⎪1解得点G 的横坐标x 0= ⎨x y -x y +2y +2y 122112⎪y =y 2(x -2) ⎪x 2-2⎩
4m
+4y 2) 22[(my 1+1) y 2+(my 2+1) y 1-2y 1+2y 2]2(2my 1y 2-y 1+3y 2) ====4 2m (my 1+1) y 2-(my 2+1) y 1+2y 1+2y 2y 1+3y 2
-2+2y 2m +4
∴点G 在定直线上，此直线方程为x =4。
2(-
21、（1）{1}（2）3
(Ⅰ) 若a ≤0，则对一切x >0，f (x ) ＝e ax －x
11
故a >0.而f ′(x ) ＝a e ax －1，令f ′(x ) ＝0，得x ＝ln .
a a 11
当x
a a 11
当x >时，f ′(x )>0，f (x ) 单调递增，
a a
11⎫11111
故当x ＝ln 时，f (x ) 取最小值f ⎛⎝a ln a ⎭＝a a ln a . a a
111
于是对一切x ∈R ，f (x ) ≥1恒成立，当且仅当ln ≥1. ①
a a a
令g (t ) ＝t －t ln t ，则g ′(t ) ＝－ln t .
当00，g (t ) 单调递增；当t >1时，g ′(t )
故当t ＝1时，g (t ) 取最大值g (1)＝1. 因此，1即a ＝1时，①式成立.
a 综上所述，a 的取值集合为{1}.
(Ⅱ) a ＝1时，f ′(x ) ＝e x －1, 所以(x －k ) f ′(x ) ＋x ＋1＝(x －k )(ex －1) ＋x ＋1,
x ＋1
故当x >0时， (x －k ) f ′(x ) ＋x ＋1x ， ②
e －1x ＋1－x e x －1e x （e x －x －2）
令h (x ) ＝＋x (x >0)，则h ′(x ) ＝＋1＝
e －1（e －1）（e －1）令φ(x ) ＝e x －x －2(x >0)，则φ′(x ) ＝e x －1 >0，φ(x ) 在(0, ＋∞) 上单调递增，而φ(1)0，所以φ(x )
在(0, ＋∞) 上存在唯一的零点，亦即h ′(x ) 在(0, ＋∞) 上存在唯一的零点，设此零点为α，
α
则α∈(1，2) ，e ＝α＋2，
当x ∈(0，α) 时， h ′(x )0，所以h (x ) 在(0，＋∞) 上的最小值为h (α) ，α＋1
而h (α) αα＝α＋1∈(2，3) ，
e －1
而由②知，存在x 0>0，使(x 0－k ) f ′(x 0) ＋x 0＋1h (α) ，所以整数k 的最小值为3.
选做题
2222
(x +2) +y =10(x -1) +(y -3) =10；22、（1），（2
⎧⎪x =-2+θ, ⎨22y =θ⎪(x +2) +y =10， ⎩θ（1
）由（为参数）得
22
C (x +2) +y =10， 1曲线的普通方程为
2ρ=2cos θ+6sin θρ∵，∴=2ρcos θ+6s ρin θ，
2222
(x -1) +(y -3) =10为所求曲线C 2的直角坐标方程． x +y =2x +6y ∴有，即
（2）∵圆C 1的圆心坐标(-2,0) ，圆C 2的圆心坐标为(1,3)，
∴
|C 1C 2|==
设相交弦长为d ，因为两圆半径相等，所以公共弦平分线段C 1C 2，
d 2
() 2+(=2
2∴2，
∴d =
23、（1）x ∈(0,) （2）t
8
3
江西省五市八校2017届高三第一次联考数学（理科）试卷
主命题：乐平中学 李林 副命题：九江三中 聂己未
本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分. 全卷满分150分，考试时间120分钟. 考生注意：
1. 答题前，考生务必将自己的学号、姓名等项内容填写在答题卡上.
2. 第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，第II 卷用黑色墨水签字笔在答题卡上指定区域书写作答， 在试题卷上作答，答案无效. 3. 考试结束，监考员将答题卡收回.
第Ⅰ卷（选择题60分）
一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1、集合A ={x ||x -1|-a ≥0}，B ={x |x
2017
+2、设复数z =2-i （i 是虚数单位），则复数i
1
的虚部是（ ） z -1
A.
1133 B. -i C. D. i 2222
3、某工厂生产某种产品的产量x （吨）与相应的生产能耗y （吨标准煤）有如下几组样本数据：据相关性检验，这组样本数据具有线性相关关系，通过线性回归分析，求得其回归直线的斜率为0.7，则这组样本数据的回归直线方程是（ ）
A ．$y =0.7x +2.05 B ．$y =0.7x +1 C．$y =0.7x +0.35 D．$y =0.7x +0.45 4、已知函数y =A. x =-
x +ϕ)(|ϕ|
π
) 的图象经过点(,1) ，则该函数图象的一条对称轴方程为（ ）
22
π
π
4
B. x =-
π
8
C. x =
π
4
D. x =
π
8
5、等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d >0”是“S n 有最小值”的（ ） A.
充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6、如图下框图所给的程序运行结果为S =35，那么判断框中应填入的关于k 的条件是（ ）
A. k =3? B. k ≤2? C. k >2? D. k
7、设a , b 是两个不同的直线，α, β是两个不同的平面，则下列四个命题中，正确的个数是（ ） ①若a ⊥b , a ⊥α，则b //α ②若a //α, α⊥β，则a //β ③若a ⊥β, α⊥β，则a //α ④若a //b , a //α, b //β，则α//β
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
8、在明朝程大位《算法统宗》中有首依等算钞歌：“甲乙丙丁戊己更，七人钱本不均平，甲乙念三七钱钞，念六一钱戊己更，惟有丙丁钱无数，要依等第数分明，请问先生能算者，细推详算莫差争。”题意是：“现有七人，他们手里钱不一样多，依次差值等额，已知甲乙两人共237钱，戊己更三人共261钱，求各人钱数。”根据上题的已知条件，丁有（ ）
A. 100钱 B. 101钱 C. 102钱 D. 103钱
9、甲、乙、丙、丁、戊五位同学按照前二后三的位置照相留念，则甲不在丙左侧的概率为（ ） A.
2412 B. C. D. 5523
x 2y 2
10．已知双曲线2-2=1(b >a >0) ，过右焦点F 2作双曲线的其中一条渐近线的垂线l ，垂足为P ，交
a b
另一条渐近线于Q 点，若S ∆OPQ =ab （其中O 为坐标原点），则双曲线的离心率为（ ）
A ．
B
C
D
．
11、正实数u , v , w 均不等于1，若log u (vw ) +log v w =5，log v u +log w v =3，则log w u 的值为（ ） A.
334
B. C. D. 1 545
12、已知函数f (x )满足f (x )=4f
⎛1⎫⎡1⎤⎡1⎤
x ∈,1, 4⎥上，方程f (x )=kx ，当时，，若在f x =ln x ()⎪⎢⎥⎢⎝x ⎭⎣4⎦⎣4⎦
有三个不同的实根，则实数k 的取值范围是（ ）
A ．⎢-4ln 4, -⎥ B．[-4ln 4, -ln 4] C．⎢-, -ln 4⎥ D． -, -ln 4⎥
e e e
⎡
⎣
4⎤⎦⎡4⎣⎤⎦⎛4⎝⎤⎦
第Ⅱ卷（非选择题90分）
本卷包括必考题和选考题两部分. 第13-21题为必考题，每个试题考生都必须作答. 第22-23题为选考题，学生根据要求作答.
>4⎧x +y ⎪*
⎪x >0⎩
14、二项式(2x -) (n ∈N ) 的展开式中，前三项的系数绝对值依次成等差数列，则此展开式中系数绝对值之和为
1x
n *
15、如图是某空间几何体的三视图，则该几何体的外接球表面积为 16、已知圆C ：(x -2) 2+y 2=4, 圆M ：(x -2-5cos θ) 2+(y -5sin θ) 2=1(θ∈R ) ，过圆C 的圆心任意作一条直线交圆C 于E ，F 两点，其中点P 是圆M 上的一动
uu r uu u r
点，连接PE ，PF ，则PE ⋅PF 的最大值
三、解答题:本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17
、已知函数f (x ) =π-x )sin(x -（1）求函数f (x ) 的单调递增区间；
（2）已知在∆ABC 中，A , B , C 的对边分别为a , b , c ，若f (A ) =1，a =2, b +c =3，求∆ABC 的面积。 18、全面放开二胎以来，考虑到孩子的教育、医疗、住房、老人养老等因素，“二胎”越来越成为人们热议的话题，某机构对“放开二胎”的态度进行调查，随机抽取了50人，他们年龄的频数分布及对“放开二胎”
3
2
π
π1
) +cos 2(+x ) - 222
（
1）若以“年龄40岁为分界点”，由以上统计数据完成下面的2⨯2列联表，并判断是否有99%的把握认为“放开二胎”的态度与人的年龄有关：
（2）若从年龄在20岁以下，50岁以上的被调查人中各随机选取两人进行追踪调查．记选中的4人中赞成“放开二胎”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望． 2
n (
ad -bc ) 2
K =
(a +b )(c +d )(a +c )(b +d ) ，(n =a +b +c +d ) ． 参考公式：
19、如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是菱形，∠ABC =60，点A 在平面PBC 上的射影为PB 的中点O ，PD =2。
（1）若PB ⊥AC ，求AB 长
（2）在（1）的条件下，求二面角A -PC -B 的余弦值
（3）平面OCD 截四棱锥P -ABCD 为上下两个几何体，求V 上：V 下
x 2y 2
20、如图，椭圆C ：2+2=1(a >b >0) 的顶点为A ，B,C,D, 焦点为F 1, F
2，|AC
|=a b
S 四边形ACBD =
S 四边形F 1CF 2D . 3
（1）求椭圆C 的方程；
（2）过定点T （1,0）的直线l 交椭圆于M ，N 两点（异于A ，B 两点），直线AM ，BN 交于点G ，试判断点G 是否在一条定直线上，如果在，请求出此直线的方程，如果不存在，请说明理由。
21、已知函数f (x ) =e ax -x
（1）若对一切x ∈R ，f (x ) ≥1恒成立，求a 的取值集合；
（2）若a =1，k 为整数，且存在x 0>0，使得(x 0-k ) f ' (x 0) +x 0+1
请考生在第22、23、题中任选一题作答, 如果多做, 则按所做的第一题计分。 22、选修4-4：坐标系与参数方程
x
⎧⎪x =-2θ, θ
已知曲线C
1的参数方程为⎨（为参数），曲线C 2的极坐标方程为ρ=2cos θ+6sin θ．
⎪⎩y =θ,
（1）将曲线C 1的参数方程化为普通方程，将曲线C 2的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）在同一坐标系下，曲线C 1，C 2是否相交，若相交，请求出公共弦的长；若不相交，请说明理由． 23、选修4-5：不等式选讲 已知函数f (x ) =|x |+2|x -2|
-tx ≤0的解集非空，求实数t 的取值范围
（2）若不等式f (x )
答案
选择题
1-5 ACCBA 6-10 CDBBB 11-12 CD 填空题 13、 1 14、 6561 15、
40π
3
16、 32 解答题
⎤
17、（1）⎡-+k π, +k π⎢⎥(k ∈Z ) （2
）
⎣6
3
⎦
ππ
12
（1）化简得f (x ) =sin(2x -)
6
π
⎤
单调递增区间为⎡-+k π, +k π⎢⎥(k ∈Z )
⎣6
3
⎦
5b 2+c 2-a 2（2）由f (A ) =1，得A =，由余弦定理cos A =，a =2, b +c =3，得bc
=，
332bc
ππ
π
1S ∆ABC =bc sin A =
218、（1）有99%的把握（2）分布列见解析，E ξ=
（1）2⨯2列联表
2
27
25
50⨯(25⨯11-6⨯8) 2
K =≈7.797>6.635，
33⨯17⨯19⨯31
所以有99%的把握认为“放开二胎”的态度与人的年龄有关． （2）ξ所有可能取值有0,1,2,3，
1111221221
C 32C 4C 2C 3C 4C 32C 4C 2C 3C 4C 2C 49123
P (ξ=0) =2⋅2=P (ξ=1) =2⋅2+2⋅2=P (ξ=2) =2⋅2+2⋅2=
C 5C 550，C 5C 5C 5C 525，C 5C 5C 5C 510，
21C 2C 41
P (ξ=3) =2⋅2=
C 5C 525，
所以ξ的分布列是
+1⨯+2⨯+3⨯=． 所以ξ的期望值是E ξ=0⨯502510255
19、（1）AB =（2
33）
5（1）（2）
连接BD 交AC 于点E ，连接OE,OC ，由点A 在平面PBC 上的射影为PB 的中点
O ，可知AO ⊥面PBC , AO ⊥
PB , AO ⊥OC ，且
PB ⊥AC
，得P B ⊥面A O C , PB ⊥OC . 在面
1PD =,
经计算AB 取2PBD 中，OE =
PC 中点F ，连接OF ，AF ，∠AFO 就是二面角A -PC -B 的平面角，经计算余弦值为
（3）取PA 中点G ，连接OG ，OG//CD，面OCDG 截四棱锥P -ABCD 为上下两个几何体，V 上=V P -OGC +V P -GCD , 经计算V 上：V 下=
35
x 2
20、（1）+y 2=1（2）x =4
4
解：（1
）依题意有|AC |==∴a 2+b 2=5
又由S Y ACBD =
2bc ，∴a =c Y
F 1CF 2D ，有2ab =33x 2
+y 2=1 解得a =4, b =1，，故椭圆C 的方程为4
2
2
⎧x =my +1⎪
（2）设点M (x 1, y 1), N (x 2, y 2), G (x 0, y 0) ，直线l 的方程为x =my +1，由⎨x 2得： 2
⎪+y =1⎩4
(m 2+4) y 2+2my -3=0∴y 1+y 2=-
2m 3
, y y =-，联立直线AM 与BN 的方程： 12
m 2+4m 2+4
y 1⎧
y =(x +2) ⎪2(x 1y 2+x 2y 1-2y 1+2y 2) x +2⎪1解得点G 的横坐标x 0= ⎨x y -x y +2y +2y 122112⎪y =y 2(x -2) ⎪x 2-2⎩
4m
+4y 2) 22[(my 1+1) y 2+(my 2+1) y 1-2y 1+2y 2]2(2my 1y 2-y 1+3y 2) ====4 2m (my 1+1) y 2-(my 2+1) y 1+2y 1+2y 2y 1+3y 2
-2+2y 2m +4
∴点G 在定直线上，此直线方程为x =4。
2(-
21、（1）{1}（2）3
(Ⅰ) 若a ≤0，则对一切x >0，f (x ) ＝e ax －x
11
故a >0.而f ′(x ) ＝a e ax －1，令f ′(x ) ＝0，得x ＝ln .
a a 11
当x
a a 11
当x >时，f ′(x )>0，f (x ) 单调递增，
a a
11⎫11111
故当x ＝ln 时，f (x ) 取最小值f ⎛⎝a ln a ⎭＝a a ln a . a a
111
于是对一切x ∈R ，f (x ) ≥1恒成立，当且仅当ln ≥1. ①
a a a
令g (t ) ＝t －t ln t ，则g ′(t ) ＝－ln t .
当00，g (t ) 单调递增；当t >1时，g ′(t )
故当t ＝1时，g (t ) 取最大值g (1)＝1. 因此，1即a ＝1时，①式成立.
a 综上所述，a 的取值集合为{1}.
(Ⅱ) a ＝1时，f ′(x ) ＝e x －1, 所以(x －k ) f ′(x ) ＋x ＋1＝(x －k )(ex －1) ＋x ＋1,
x ＋1
故当x >0时， (x －k ) f ′(x ) ＋x ＋1x ， ②
e －1x ＋1－x e x －1e x （e x －x －2）
令h (x ) ＝＋x (x >0)，则h ′(x ) ＝＋1＝
e －1（e －1）（e －1）令φ(x ) ＝e x －x －2(x >0)，则φ′(x ) ＝e x －1 >0，φ(x ) 在(0, ＋∞) 上单调递增，而φ(1)0，所以φ(x )
在(0, ＋∞) 上存在唯一的零点，亦即h ′(x ) 在(0, ＋∞) 上存在唯一的零点，设此零点为α，
α
则α∈(1，2) ，e ＝α＋2，
当x ∈(0，α) 时， h ′(x )0，所以h (x ) 在(0，＋∞) 上的最小值为h (α) ，α＋1
而h (α) αα＝α＋1∈(2，3) ，
e －1
而由②知，存在x 0>0，使(x 0－k ) f ′(x 0) ＋x 0＋1h (α) ，所以整数k 的最小值为3.
选做题
2222
(x +2) +y =10(x -1) +(y -3) =10；22、（1），（2
⎧⎪x =-2+θ, ⎨22y =θ⎪(x +2) +y =10， ⎩θ（1
）由（为参数）得
22
C (x +2) +y =10， 1曲线的普通方程为
2ρ=2cos θ+6sin θρ∵，∴=2ρcos θ+6s ρin θ，
2222
(x -1) +(y -3) =10为所求曲线C 2的直角坐标方程． x +y =2x +6y ∴有，即
（2）∵圆C 1的圆心坐标(-2,0) ，圆C 2的圆心坐标为(1,3)，
∴
|C 1C 2|==
设相交弦长为d ，因为两圆半径相等，所以公共弦平分线段C 1C 2，
d 2
() 2+(=2
2∴2，
∴d =
23、（1）x ∈(0,) （2）t
8
3