等腰三角形三线合一专题练习[1]

等腰三角形三线合一 专题训练1

例1：如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。

求证：BC=AB+DC。

变1：如图，AB∥CD，∠A＝90°，AB＝2，BC＝3，CD＝1，E是AD边中点。求证：CE⊥BE。

变2：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，E是CD上一点，且AE、BE分别平分∠BAD、∠ABC.

（1）求证：AE⊥BE； （2）求证：E是CD的中点； （3）求证：AD+BC=AB.

变3：△ABC是等腰直角三角形 ，∠BAC=90,AB=AC.⑴若D为BC的中点，过D作DM⊥DN分别交AB、AC于M、N，求证：（1）DM＝DN。

M

N

°

BDC

⑵若DM⊥DN分别和BA、AC延长线交于M、N。问DM和DN有何数量关系。

M

B

C

N

(1) 已知：如图，AB=AC，E为AB上一点，F是AC延长线上一点，且BE=CF，EF交BC于点D． 求证：DE=DF．

A

E

B

D

F

(2)已知：如图，AB=AC，E为AB上一点，F是AC延长线上一点，且，EF交BC于点D，且D为EF的中点． 求证：BE=CF．

A

E

B

D

F

利用面积法证明线段之间的和差关系

1、如图，在△ABC中，AB=AC，P为底边BC上的一点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，•CF⊥AB于F

，那么PD+PE与CF相等吗？

变1：若P点在直线BC上运动，其他条件不变，则PD 、PE与CF的关系又怎样，请你作图，证明。

Ｆ

Ｆ

1、已知等腰三角形的两边长分别为4、9，则它的周长为（ ）

A 17 B 22 C 17或22 D 13

根据等腰三角形的性质寻求规律 例1．在△ABC中，AB=AC，∠1=与∠A的大小有什么关系？ 若∠1=

11∠ABC，∠2=∠ACB，BD与CE相交于点O，如图，∠BOC的大小22

11

∠ABC，∠2=∠ACB，则∠BOC与∠A大小关系如何？ 3311

若∠1=∠ABC，∠2=∠ACB，则∠BOC与∠A大小关系如何？

nn

会用等腰三角形的判定和性质计算与证明

例2．如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，一腰上的中线BD•将这个等腰三角形周长分成15和6两部分，求这个三角形的腰长及底边长．

利用等腰三角形的性质证线段相等

例3．如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA、PB、PC，•以BP为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，连结CQ．

（1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论．

（2）若PA：PB：PC=3：4：5，连结PQ，试判断△PQC的形状，并说明理由．

例1、等腰三角形底边长为5cm，腰上的中线把三角形周长分为差是3cm的两部分，则腰长为（ ） A、2cm B、8cm C、2cm或8cm D、不能确定

例2、已知AD为△ABC的高，AB=AC，△ABC周长为20cm，△ADC的周长为14cm，求AD的长。 C

例3、如图，已知BC=3，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，OE∥AB，OF∥AC，求△OEF 的周长。

B

E

F

C

例4、如图，已知等边△ABC中，D为AC上中点，延长BC到E，使CE=CD，连接DE，试说明DB=DE。

例5、等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为45，则这个三角形是（ ） A、锐角三角形 B、钝角三角形 C、等边三角形 D、等腰直角三角形

例6、（1）等腰三角形的腰长为10，底边上的高为6，则底边的长为 。 （2）直角三角形的周长为12cm，斜边的长为5cm，则其面积为 ； （3）若直角三角形三边为1，2，c，则c= 。

例7、下列说法：①若在△ABC中a+b≠c，则△ABC不是直角三角形；

②若△ABC是直角三角形，∠C=90，则a+b=c； ③若在△ABC中，a+b=c，则∠C=90；

④若两直角边的平方和等于斜边的平方，可以判定这个三角形是直角三角形。 正确的有 （把你认为正确的序号填在横线上）。

例8、正三角形ABC所在平面内有一点P，使得△PAB、△PBC、△PCA都是等腰三角形，则这样的P点

有（ ）

（A）1个（B）4个（C）7个（D）10个

例9. 四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠CDA=90°，BE⊥AD于点E，且四边形ABCD的面积为8，则BE=（ ） A．2

例10. 已知△ABC为正三角形，P为其内一点，且AP=4，BP=23，CP=2，则△ABC 的边长为 （ ） （A） 25 （B）2 （C）4 （D）42 三．巩固练习

1、已知等腰三角形的一边等于5，另一边等于9，求它的周长。

B．3

C

．

D

．2

2

2

00

2

2

2

2

2

2

A

B C E

2、在△ABC中，AB=AC，∠B=40，则∠A= 。 3、等腰三角形的一个内角是70，则它的顶角为 。

4、有一个内角为40°的等腰三角形的另外两个内角的度数为 .140°呢

o

5、如图，在Rt△ABC中，∠C＝105，直线BD交AC于D，

C

把直角三角形沿着直线BD翻折，点C恰好落在斜边AB上， 如果△ABD是等腰三角形，那么∠A等于 （ ） (A)40

o

(B) 30

o

(C)25

o

(D )15

o

2

2

2

B A

6、若△ABC三边分别为a、b、c，且满足a+b+c+50=6a+8b+10c，则△ABC的形状为（ ） （A）等腰三角形 （B）直角三角形 （C）等腰直角三角形 （D）等边三角形 7、判定两个等腰三角形全等的条件可以是„„„„„„„„ （ ）。

A、有一腰和一角对应相等 B、有两边对应相等 C、有顶角和一个底角对应相等 D、有两角对应相等

8、等腰三角形一腰上的高线与底边的夹角等于（ ）

A、顶角 B、底角 C、顶角的一半 D、底角的一半

9、在等腰三角形ABC中，∠A与∠B度数之比为5∶2，则∠A的度数是（ ）

A、100° B、75° C、150° D、75°或100°

10、如图，P、Q是△ABC边BC上的两点，且QC＝AP＝AQ＝BP＝PQ，则∠BAC＝„（ ）

A、125 B、130 C、90 D、120

11、如图，△ABC中，AB＝AC，BD、CE为中线，图中共有等腰三角形（ ）个。

A、4个 B、6个 C、3个 D、5个

12题图

12、如图，AB＝AC，AE＝EC，∠ACE＝28，则∠B的度数是„„„„（ ）

10题图

11题图

A、60

B、70

C、76

D、45

甲虫P到

13、如图是一个等边三角形木框，甲虫P在边框AC上（端点A、C除外），设

另外两边距离之和为d，等边三角形ABC的高为h， 则d与h的大小关系是（ ）

【解题方法指导】

例1. 已知，如图，AB＝AC＝CD，求证：∠B＝2∠D

A

B C

D

例2. 已知，如图，△ABC是等边三角形，AD//BC，AD⊥BD，BC＝6，求AD的长。

D A

C

【考点指要】

等腰三角形、等边三角形及含30°角的直角三角形是应用非常广泛的图形，因此，在中考试题中经常以证明题或计算题频频出现，而且经常把它们结合在一道题中加以应用，虽然题目的难度不是很大，但也要善于分析，找出图形中有关的性质。

【典型例题分析】

例1. （2005年 苏州）

如图，等腰三角形ABC的顶角为120°，腰长为10，则底边上的高AD＝________。

B D C

例2. 已知，如图，△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线交AB于E，交AC于D，AD＝8，∠A＝30°，求CD的长。

C

D

B

例3. 已知，如图，△ABC是等边三角形，E是AB上一点，D是AC上一点，且AE＝CD，又BD

与CE交于点F，试求∠BFE的度数。

A

D

【综合测试】

1. 已知，如图，AB＝AC，∠ABD＝∠ACD，求证：DB＝DC

C

D

2. 已知，如图，D、E是BC上两点，AB＝AC，AD＝AE，求证：BD＝CE

B D E C

3. 已知，如图，△ABC中，DE//BC，AB＝AC，求证：AD＝AE

A

E

B C

4. 已知，如图，△ABC中，AB＝AC，D是AB上一点，E是AC延长线上一点，DE交BC于F，又BD＝CE，求证：DF＝EF

D

B C

E

5. 已知，如图，D是BC上一点，△ABC、△BDE都是等边三角形，求证：AD＝CE

C

E

6. 已知，如图，△ABC中，∠B＝90°，AC的垂直平分线交AC于D，交BC于E，又∠C＝15°，

EC＝10，求AB的长。

D

E C

例6、如图11，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为BC边中点，E、F分别在AB、AC上，且DE⊥DF，求证：AE＋AF是一个定值. 证明：连接AD，

∵AB＝AC，D为BC中点，∴AD⊥BC， ∵∠BAC＝90°，AB＝AC， ∴∠B＝∠C＝45°， ∴∠BAD＝45°，∠CAD＝45°，∴AD＝BD＝CD， ∵∠EDF＝90°，∴∠EDA＋∠ADF＝90°，

又由AD⊥BC得∠BDE＋∠ADE＝90°，∴∠BDE＝∠ADF，

在△BDE和△ADF中，∠B＝∠DAF，BD＝AD

，∠BDE＝∠ADF，∴△BDE≌△ADF， ∴BE＝AF，∴AE＋AF＝AE＋BE＝AB（定值）.

D

图11

思考：四边形AEDF的面积是否也是定值呢？为什么？

例4、如图9，已知AD为△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，且有BF＝AC，FD＝CD，你认为BE与AC之间有怎样的位置关系?你能证明它吗？ 证明：线段BE⊥AC，理由如下： ∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°， ∴∠FBD＋∠BFD＝90°，

在Rt△BDF和Rt△ADC中，BF＝AC，FD＝CD， ∴Rt△BDF≌Rt△ADC，

∴∠BFD＝∠C，∴∠FBD＋∠C＝90°，

∴∠BEC＝180°－（∠FBD＋∠C）＝180°－90°＝90°，即BE⊥AC.

222例5、如图10，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，M是AB上一点，求证：AMBM2CM.

图9

证明：过C作CD⊥AB于点D， ∵∠ACB＝90°，AC＝BC，CD⊥AB， ∴∠A＝∠B＝45°，∠ACD＝∠BCD＝45°， ∴∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCD，

∴AD＝BD，BD＝CD，即AD＝BD＝CD，

A

222

∵CD⊥AB，∴DMCDCM，

M

图

10

2

∴AMBM(ADDM)(BDDM)2(DMCD)2CM. 思考：请同学们试试用另外的方法来证明本题.

例1、如图5，在△ABC中，AB＝AC，点O在△ABC内，OB＝OC，求证：AO⊥BC. 证明：延长AO交BC于点D，

∵AB＝AC，OB＝OC，OA＝OA，∴△ABO≌△ACO， ∴∠BAO＝∠CAO，即∠BAD＝∠CAD， ∴AD⊥BC，即AO⊥BC.

B

D图

5

222222

例2、如图6，在等边△ABC中，D、E分别在边BC、BA的延长线上，且AE＝BD，求证：CE＝DE. 证明：过E作EF⊥CD于点F，

∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°，∴∠BEF＝30°，

∴BE＝2BF，即BA＋AE＝BC＋BD＝2BC＋CD＝2（BC＋CF）， ∴CD＝2CF， ∴CF＝DF，

在△CEF和△DEF中，CF＝DF，∠CFE＝∠DFE＝90°，EF＝EF， ∴△CEF≌△DEF，∴CE＝DE.

图6

例3、如图7，已知在△ABC中，AB＝AC，P为底边BC上任意一点，PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，求证：PD＋PE是一个定值. 解：连接AP，过点C作CF⊥AB于点F，

11

ABCF，SPABABPD， 2211

SPACACPEABPE，SABCSPABSPAC，

22111

得：ABCFABPDABPE，

222

由SABC

即，PDPECF（定值）.

图7

说明：本例的结论可用文字语言叙述为：等腰三角形底边上一点到两腰的距离之和等于腰上的高. 拓展：如果点P不是在边BC上，而是在BC的延长线上，其它条件保持不变，那么PD与PE之间又有怎样的关系呢？

解：连接AP，过点C作CF⊥AB于点F，（如图8）

由SABC

SPAC

11

ABCF，SPABABPD， 2211

ACPEABPE， 22

SABCSPABSPAC，

得：

111

ABCFABPDABPE， 222

E

P

即,PDPECF（定值）.

即，当点P在BC延长线上时，PD与PE之差为一定值.

基础训练：1、填空题：

（1）等腰三角形中，如果底边长为6，一腰长为8，那么周长是 。

（2）如果等腰三角形有一边长是6，另一边长是8，那么它的周长是 ；如果等腰三角形的两边长分别是4、8，那么它的周长是 。

（3）等腰三角形的对称轴最多有 条。 2、填空题：

（1）如果△ABC是等腰三角形，那么它的边长（或周长）可以是（ ）

A、三条边长分别是5，5，11 B、三条边长分别是4，4，8

C、周长为14，其中两边长分别是4，5 D、周长为24，其中两边长分别是6，12 （2）等腰三角形一边长为2，周长为5，那么它的腰长为（ ）

A、3 B、2 C、1.5 D、2或1.5

3、已知等腰三角形的腰长是底边的3倍，周长为35cm，求等腰三角形各边的长。 4、已知：如图，AD平分∠BAC，AB=AC，请你说明△DBC是等腰三角形。

B C x+2y=4

{

5、已知等腰三角形的底边和一腰长是方程组 3x+y=7 的解， 求这个三角形的各边长。

（1）等腰三角形的顶角平分线、 、 互相重合。 （2）等腰三角形有一个角是120°，那么其他两个角的度数是 和 。 （3）△ABC中，∠A=∠B=2∠C，那么∠C= 。

（4）在等腰三角形中，设底角为x°，顶角为y°，则用含x的代数式表示y，得y= ；用含y的

代数式表示x，得x= 。 2、选择题：

（1）等腰三角形的一个外角为140°，那么底角等于（ ）

A、40° B、100° C、70° D、40°或70° （2）等腰三角形一腰上的高线与底边的夹角等于（ ）

A、顶角 B、底角 C、顶角的一半 D、底角的一半

（3）在等腰三角形ABC中，∠A与∠B度数之比为5∶2，则∠A的度数是（ ）

A、100° B、75° C、150° D、75°或100°

（4）等腰三角形ABC中，AB=AC，AD是角平分线，则“①AD⊥BC，②BD=DC，

③∠B=∠C，④∠BAD=∠CAD”中，结论正确的个数是（ ） A、4 B、3 C、2 D、1

3、如图，已知△ABC中，D在BC上，AB=AD=DC，∠C=20°，求∠BAD。

B C D

4、如图，已知△ABC中，点D、E在BC上， AB=AC，AD=AE。请说明BD=CE的理由。 B C

D E

1、填空题：

（1）在△ABC中，∠A的相邻外角是110°，要使△ABC是等腰三角形，则∠B= 。

（2）在一个三角形中，等角对 ；等边对 。

（3）如果等腰三角形底边上的高线和腰上的高线相等，则它的各内角的度数是 。 （4）如图，AB=AC，BD平分∠ABC，且∠C=2∠A， 则图中等腰三角形共有 个。

2、选择题：

如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=108°，∠ADB=72°， C DE平分∠ADB，则图中等腰三角形的个数是（ ）

A、3 B、4 C、5 D、6

B C

D

3、如图，在△ABC中，∠B和∠C的平分线相交于点O，且OB=OC，请说明AB=AC的理由。

C

4、如图，已知∠EAC是△ABC的外角，∠1=∠2，AD∥BC，请说明AB=AC的理由。

D

5、如图，AB=AC，∠ABD=∠ACD，请你说明AD是BC的中垂线。

B

D

C

等腰三角形三线合一 专题训练1

例1：如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。

求证：BC=AB+DC。

变1：如图，AB∥CD，∠A＝90°，AB＝2，BC＝3，CD＝1，E是AD边中点。求证：CE⊥BE。

变2：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，E是CD上一点，且AE、BE分别平分∠BAD、∠ABC.

（1）求证：AE⊥BE； （2）求证：E是CD的中点； （3）求证：AD+BC=AB.

变3：△ABC是等腰直角三角形 ，∠BAC=90,AB=AC.⑴若D为BC的中点，过D作DM⊥DN分别交AB、AC于M、N，求证：（1）DM＝DN。

M

N

°

BDC

⑵若DM⊥DN分别和BA、AC延长线交于M、N。问DM和DN有何数量关系。

M

B

C

N

(1) 已知：如图，AB=AC，E为AB上一点，F是AC延长线上一点，且BE=CF，EF交BC于点D． 求证：DE=DF．

A

E

B

D

F

(2)已知：如图，AB=AC，E为AB上一点，F是AC延长线上一点，且，EF交BC于点D，且D为EF的中点． 求证：BE=CF．

A

E

B

D

F

利用面积法证明线段之间的和差关系

1、如图，在△ABC中，AB=AC，P为底边BC上的一点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，•CF⊥AB于F

，那么PD+PE与CF相等吗？

变1：若P点在直线BC上运动，其他条件不变，则PD 、PE与CF的关系又怎样，请你作图，证明。

Ｆ

Ｆ

1、已知等腰三角形的两边长分别为4、9，则它的周长为（ ）

A 17 B 22 C 17或22 D 13

根据等腰三角形的性质寻求规律 例1．在△ABC中，AB=AC，∠1=与∠A的大小有什么关系？ 若∠1=

11∠ABC，∠2=∠ACB，BD与CE相交于点O，如图，∠BOC的大小22

11

∠ABC，∠2=∠ACB，则∠BOC与∠A大小关系如何？ 3311

若∠1=∠ABC，∠2=∠ACB，则∠BOC与∠A大小关系如何？

nn

会用等腰三角形的判定和性质计算与证明

例2．如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，一腰上的中线BD•将这个等腰三角形周长分成15和6两部分，求这个三角形的腰长及底边长．

利用等腰三角形的性质证线段相等

例3．如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA、PB、PC，•以BP为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，连结CQ．

（1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论．

（2）若PA：PB：PC=3：4：5，连结PQ，试判断△PQC的形状，并说明理由．

例1、等腰三角形底边长为5cm，腰上的中线把三角形周长分为差是3cm的两部分，则腰长为（ ） A、2cm B、8cm C、2cm或8cm D、不能确定

例2、已知AD为△ABC的高，AB=AC，△ABC周长为20cm，△ADC的周长为14cm，求AD的长。 C

例3、如图，已知BC=3，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，OE∥AB，OF∥AC，求△OEF 的周长。

B

E

F

C

例4、如图，已知等边△ABC中，D为AC上中点，延长BC到E，使CE=CD，连接DE，试说明DB=DE。

例5、等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为45，则这个三角形是（ ） A、锐角三角形 B、钝角三角形 C、等边三角形 D、等腰直角三角形

例6、（1）等腰三角形的腰长为10，底边上的高为6，则底边的长为 。 （2）直角三角形的周长为12cm，斜边的长为5cm，则其面积为 ； （3）若直角三角形三边为1，2，c，则c= 。

例7、下列说法：①若在△ABC中a+b≠c，则△ABC不是直角三角形；

②若△ABC是直角三角形，∠C=90，则a+b=c； ③若在△ABC中，a+b=c，则∠C=90；

④若两直角边的平方和等于斜边的平方，可以判定这个三角形是直角三角形。 正确的有 （把你认为正确的序号填在横线上）。

例8、正三角形ABC所在平面内有一点P，使得△PAB、△PBC、△PCA都是等腰三角形，则这样的P点

有（ ）

（A）1个（B）4个（C）7个（D）10个

例9. 四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠CDA=90°，BE⊥AD于点E，且四边形ABCD的面积为8，则BE=（ ） A．2

例10. 已知△ABC为正三角形，P为其内一点，且AP=4，BP=23，CP=2，则△ABC 的边长为 （ ） （A） 25 （B）2 （C）4 （D）42 三．巩固练习

1、已知等腰三角形的一边等于5，另一边等于9，求它的周长。

B．3

C

．

D

．2

2

2

00

2

2

2

2

2

2

A

B C E

2、在△ABC中，AB=AC，∠B=40，则∠A= 。 3、等腰三角形的一个内角是70，则它的顶角为 。

4、有一个内角为40°的等腰三角形的另外两个内角的度数为 .140°呢

o

5、如图，在Rt△ABC中，∠C＝105，直线BD交AC于D，

C

把直角三角形沿着直线BD翻折，点C恰好落在斜边AB上， 如果△ABD是等腰三角形，那么∠A等于 （ ） (A)40

o

(B) 30

o

(C)25

o

(D )15

o

2

2

2

B A

6、若△ABC三边分别为a、b、c，且满足a+b+c+50=6a+8b+10c，则△ABC的形状为（ ） （A）等腰三角形 （B）直角三角形 （C）等腰直角三角形 （D）等边三角形 7、判定两个等腰三角形全等的条件可以是„„„„„„„„ （ ）。

A、有一腰和一角对应相等 B、有两边对应相等 C、有顶角和一个底角对应相等 D、有两角对应相等

8、等腰三角形一腰上的高线与底边的夹角等于（ ）

A、顶角 B、底角 C、顶角的一半 D、底角的一半

9、在等腰三角形ABC中，∠A与∠B度数之比为5∶2，则∠A的度数是（ ）

A、100° B、75° C、150° D、75°或100°

10、如图，P、Q是△ABC边BC上的两点，且QC＝AP＝AQ＝BP＝PQ，则∠BAC＝„（ ）

A、125 B、130 C、90 D、120

11、如图，△ABC中，AB＝AC，BD、CE为中线，图中共有等腰三角形（ ）个。

A、4个 B、6个 C、3个 D、5个

12题图

12、如图，AB＝AC，AE＝EC，∠ACE＝28，则∠B的度数是„„„„（ ）

10题图

11题图

A、60

B、70

C、76

D、45

甲虫P到

13、如图是一个等边三角形木框，甲虫P在边框AC上（端点A、C除外），设

另外两边距离之和为d，等边三角形ABC的高为h， 则d与h的大小关系是（ ）

【解题方法指导】

例1. 已知，如图，AB＝AC＝CD，求证：∠B＝2∠D

A

B C

D

例2. 已知，如图，△ABC是等边三角形，AD//BC，AD⊥BD，BC＝6，求AD的长。

D A

C

【考点指要】

等腰三角形、等边三角形及含30°角的直角三角形是应用非常广泛的图形，因此，在中考试题中经常以证明题或计算题频频出现，而且经常把它们结合在一道题中加以应用，虽然题目的难度不是很大，但也要善于分析，找出图形中有关的性质。

【典型例题分析】

例1. （2005年 苏州）

如图，等腰三角形ABC的顶角为120°，腰长为10，则底边上的高AD＝________。

B D C

例2. 已知，如图，△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线交AB于E，交AC于D，AD＝8，∠A＝30°，求CD的长。

C

D

B

例3. 已知，如图，△ABC是等边三角形，E是AB上一点，D是AC上一点，且AE＝CD，又BD

与CE交于点F，试求∠BFE的度数。

A

D

【综合测试】

1. 已知，如图，AB＝AC，∠ABD＝∠ACD，求证：DB＝DC

C

D

2. 已知，如图，D、E是BC上两点，AB＝AC，AD＝AE，求证：BD＝CE

B D E C

3. 已知，如图，△ABC中，DE//BC，AB＝AC，求证：AD＝AE

A

E

B C

4. 已知，如图，△ABC中，AB＝AC，D是AB上一点，E是AC延长线上一点，DE交BC于F，又BD＝CE，求证：DF＝EF

D

B C

E

5. 已知，如图，D是BC上一点，△ABC、△BDE都是等边三角形，求证：AD＝CE

C

E

6. 已知，如图，△ABC中，∠B＝90°，AC的垂直平分线交AC于D，交BC于E，又∠C＝15°，

EC＝10，求AB的长。

D

E C

例6、如图11，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为BC边中点，E、F分别在AB、AC上，且DE⊥DF，求证：AE＋AF是一个定值. 证明：连接AD，

∵AB＝AC，D为BC中点，∴AD⊥BC， ∵∠BAC＝90°，AB＝AC， ∴∠B＝∠C＝45°， ∴∠BAD＝45°，∠CAD＝45°，∴AD＝BD＝CD， ∵∠EDF＝90°，∴∠EDA＋∠ADF＝90°，

又由AD⊥BC得∠BDE＋∠ADE＝90°，∴∠BDE＝∠ADF，

在△BDE和△ADF中，∠B＝∠DAF，BD＝AD

，∠BDE＝∠ADF，∴△BDE≌△ADF， ∴BE＝AF，∴AE＋AF＝AE＋BE＝AB（定值）.

D

图11

思考：四边形AEDF的面积是否也是定值呢？为什么？

例4、如图9，已知AD为△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，且有BF＝AC，FD＝CD，你认为BE与AC之间有怎样的位置关系?你能证明它吗？ 证明：线段BE⊥AC，理由如下： ∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°， ∴∠FBD＋∠BFD＝90°，

在Rt△BDF和Rt△ADC中，BF＝AC，FD＝CD， ∴Rt△BDF≌Rt△ADC，

∴∠BFD＝∠C，∴∠FBD＋∠C＝90°，

∴∠BEC＝180°－（∠FBD＋∠C）＝180°－90°＝90°，即BE⊥AC.

222例5、如图10，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，M是AB上一点，求证：AMBM2CM.

图9

证明：过C作CD⊥AB于点D， ∵∠ACB＝90°，AC＝BC，CD⊥AB， ∴∠A＝∠B＝45°，∠ACD＝∠BCD＝45°， ∴∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCD，

∴AD＝BD，BD＝CD，即AD＝BD＝CD，

A

222

∵CD⊥AB，∴DMCDCM，

M

图

10

2

∴AMBM(ADDM)(BDDM)2(DMCD)2CM. 思考：请同学们试试用另外的方法来证明本题.

例1、如图5，在△ABC中，AB＝AC，点O在△ABC内，OB＝OC，求证：AO⊥BC. 证明：延长AO交BC于点D，

∵AB＝AC，OB＝OC，OA＝OA，∴△ABO≌△ACO， ∴∠BAO＝∠CAO，即∠BAD＝∠CAD， ∴AD⊥BC，即AO⊥BC.

B

D图

5

222222

例2、如图6，在等边△ABC中，D、E分别在边BC、BA的延长线上，且AE＝BD，求证：CE＝DE. 证明：过E作EF⊥CD于点F，

∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°，∴∠BEF＝30°，

∴BE＝2BF，即BA＋AE＝BC＋BD＝2BC＋CD＝2（BC＋CF）， ∴CD＝2CF， ∴CF＝DF，

在△CEF和△DEF中，CF＝DF，∠CFE＝∠DFE＝90°，EF＝EF， ∴△CEF≌△DEF，∴CE＝DE.

图6

例3、如图7，已知在△ABC中，AB＝AC，P为底边BC上任意一点，PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，求证：PD＋PE是一个定值. 解：连接AP，过点C作CF⊥AB于点F，

11

ABCF，SPABABPD， 2211

SPACACPEABPE，SABCSPABSPAC，

22111

得：ABCFABPDABPE，

222

由SABC

即，PDPECF（定值）.

图7

说明：本例的结论可用文字语言叙述为：等腰三角形底边上一点到两腰的距离之和等于腰上的高. 拓展：如果点P不是在边BC上，而是在BC的延长线上，其它条件保持不变，那么PD与PE之间又有怎样的关系呢？

解：连接AP，过点C作CF⊥AB于点F，（如图8）

由SABC

SPAC

11

ABCF，SPABABPD， 2211

ACPEABPE， 22

SABCSPABSPAC，

得：

111

ABCFABPDABPE， 222

E

P

即,PDPECF（定值）.

即，当点P在BC延长线上时，PD与PE之差为一定值.

基础训练：1、填空题：

（1）等腰三角形中，如果底边长为6，一腰长为8，那么周长是 。

（2）如果等腰三角形有一边长是6，另一边长是8，那么它的周长是 ；如果等腰三角形的两边长分别是4、8，那么它的周长是 。

（3）等腰三角形的对称轴最多有 条。 2、填空题：

（1）如果△ABC是等腰三角形，那么它的边长（或周长）可以是（ ）

A、三条边长分别是5，5，11 B、三条边长分别是4，4，8

C、周长为14，其中两边长分别是4，5 D、周长为24，其中两边长分别是6，12 （2）等腰三角形一边长为2，周长为5，那么它的腰长为（ ）

A、3 B、2 C、1.5 D、2或1.5

3、已知等腰三角形的腰长是底边的3倍，周长为35cm，求等腰三角形各边的长。 4、已知：如图，AD平分∠BAC，AB=AC，请你说明△DBC是等腰三角形。

B C x+2y=4

{

5、已知等腰三角形的底边和一腰长是方程组 3x+y=7 的解， 求这个三角形的各边长。

（1）等腰三角形的顶角平分线、 、 互相重合。 （2）等腰三角形有一个角是120°，那么其他两个角的度数是 和 。 （3）△ABC中，∠A=∠B=2∠C，那么∠C= 。

（4）在等腰三角形中，设底角为x°，顶角为y°，则用含x的代数式表示y，得y= ；用含y的

代数式表示x，得x= 。 2、选择题：

（1）等腰三角形的一个外角为140°，那么底角等于（ ）

A、40° B、100° C、70° D、40°或70° （2）等腰三角形一腰上的高线与底边的夹角等于（ ）

A、顶角 B、底角 C、顶角的一半 D、底角的一半

（3）在等腰三角形ABC中，∠A与∠B度数之比为5∶2，则∠A的度数是（ ）

A、100° B、75° C、150° D、75°或100°

（4）等腰三角形ABC中，AB=AC，AD是角平分线，则“①AD⊥BC，②BD=DC，

③∠B=∠C，④∠BAD=∠CAD”中，结论正确的个数是（ ） A、4 B、3 C、2 D、1

3、如图，已知△ABC中，D在BC上，AB=AD=DC，∠C=20°，求∠BAD。

B C D

4、如图，已知△ABC中，点D、E在BC上， AB=AC，AD=AE。请说明BD=CE的理由。 B C

D E

1、填空题：

（1）在△ABC中，∠A的相邻外角是110°，要使△ABC是等腰三角形，则∠B= 。

（2）在一个三角形中，等角对 ；等边对 。

（3）如果等腰三角形底边上的高线和腰上的高线相等，则它的各内角的度数是 。 （4）如图，AB=AC，BD平分∠ABC，且∠C=2∠A， 则图中等腰三角形共有 个。

2、选择题：

如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=108°，∠ADB=72°， C DE平分∠ADB，则图中等腰三角形的个数是（ ）

A、3 B、4 C、5 D、6

B C

D

3、如图，在△ABC中，∠B和∠C的平分线相交于点O，且OB=OC，请说明AB=AC的理由。

C

4、如图，已知∠EAC是△ABC的外角，∠1=∠2，AD∥BC，请说明AB=AC的理由。

D

5、如图，AB=AC，∠ABD=∠ACD，请你说明AD是BC的中垂线。

B

D

C