第8章 弯曲内力 习题解答
题8 – 2 试列出下列各梁的剪力及弯矩方程，作剪力图及弯矩图并求出F S
max
及M
max
。
b ）解：（1）求支座反力（本题中支座反力也可以不求）
由右图所示梁的受力分析图，可得
∑F =0：F -qa =0，F =qa
3qa ⋅a -M =0，M ：M =0∑2
y
B
B
B B B
=
32
qa 2
（2）列剪力方程与弯矩方程
AC 段（以左段为研究对象）：
剪力方程：F S (x )=-qx （0 ≤ x ≤ a ）
qx 2
弯矩方程：M (x )=- （0 ≤ x ≤ a ）
2
CB 段（以右段为研究对象）：
剪力方程：F S (x )=-F B =-qa （a ＜ x ≤ 2a ）
32qa 2
M (x )=F B (2a -x ) -M B =qa ⨯(2a -x )-qa =-qax
22
qa 2
-qax （a ＜ x ≤ 2a ） 弯矩方程：M (x )=2
（3）画剪力图 （4）画弯矩图
（5）求F S
max
及M
max
：F S
max
=qa ，M
max
3qa 2=
2
c ）解：（1）求支座反力（本题中支座反力也可以不求）
由右图所示梁的受力分析图，可得
∑F =0：F =0
∑M =0：M +Fa -F ⋅2a , M
y
B
B B B
=Fa
（2）列剪力方程与弯矩方程
AC 段（以左段为研究对象）：
剪力方程：F S (x )=F （0 ≤ x ≤ a ） 弯矩方程：M (x )=Fx （0 ≤ x ≤ a ） CB 段（以右段为研究对象）：
剪力方程：F S (x )=0 （a ＜ x ≤ 2a ） 弯矩方程：M (x )=M B =Fa （a ＜ x ≤ 2a ）
（3）画剪力图 （4）画弯矩图
（5）求F S
max
及M
max
：
F S
max
=F ，M
max
=Fa
e ）解：（1）求支座反力
由右图所示梁的受力分析图，可得
5
F =qa ：，得-F ⨯3a +2qa ⨯2a +qa ⨯a =0M =0A ∑B A
3
4F =qa ：，得F +F -2qa -qa =0F =0B A B ∑y
3
（2）列剪力方程与弯矩方程
AC 段（以左段为研究对象）：
5
qa -qx （0 ＜ x ＜ 2a ） 3qx 25qx 2
=qax -弯矩方程：M (x )=F A x - （0 ＜ x ＜ 2a ） 232
剪力方程：F S (x )=F A -qx =CB 段（以右段为研究对象）：
4
qa （3a ＜ x ≤ 4a ） 3
442
弯矩方程：M (x )=F B (3a -x ) =qa (3a -x ) =4qa -qax （3a ＜ x ≤ 4a ）
33
剪力方程：F S (x )=-F B =-
（3）画剪力图 （4）画弯矩图
（5）求F S
max
及M
max
：
max
x =0处剪力最大，F S
=
5
qa ； 3
dM 5
=0, 即x =处, 弯矩取极值, 也是最大值, dx 3
55q 52252
qa 故M max =qa ⨯a -⨯(a ) =
332318
f ）解：（1）求支座反力
由右图所示梁的受力分析图，可得
∑M =0：-F ⨯2a +F ⨯a +F ⨯a =0，得F
∑F =0： F -F +F +F =0，得F =-F
B
A
A
=F
y A B B
（2）列剪力方程与弯矩方程
AC 段（以左段为研究对象）
剪力方程：F S (x )=F A =F （0 ≤ x ＜a ） 弯矩方程：M (x )=Fx （0 ≤ x ＜a ） CB 段（以左段为研究对象）
剪力方程：F S (x )=F A -F =0 （a ＜ x ≤ 2a ） 弯矩方程：M (x )=F A x -F (x -a )=Fa （a ＜ x ≤ 2a ） BD 段（以右段为研究对象）
剪力方程：F S (x )=-F （2a ＜ x ≤ 3a ） 弯矩方程：M (x )=F (3a -x )=-Fx +3Fa （2a ＜ x ≤ 3a ） （3）画剪力图 （4）画弯矩图
（5）求F S
max
及M
max
：
max
F S
max
=F M =Fa
g ）解：（1）求支座反力
由右图所示梁的受力分析图，可得
∑M =0：-F ⨯2a +qa ⨯a -qa
∑F =0：F +F -qa =0，得F
B
A
2
=0，得F A =0 =qa
y A B B
（2）列剪力方程与弯矩方程
AC 段（以左段为研究对象）：
剪力方程：F S (x )=F A =0 （0 ≤ x ＜a ）
弯矩方程：M (x )=F A x =0 （0 ≤ x ＜a ） CB 段（以右段为研究对象）：
剪力方程：F S (x )=-F B =-qa （a ≤ x ≤ 2a ）
2
弯矩方程：M (x )=F （B 2a -x ) =qa (2a -x ) =2qa -qax （a ≤ x ≤ 2a ）
（3）画剪力图 （4）画弯矩图
（5）求F S
max
及M
max
F S
max
=qa M max =qa 2
题8 – 3 试利用弯矩、剪力和载荷集度间的微分关系作下列各梁的剪力图和弯矩图。
（c ）解：（1）求支反力
由右图所示梁的受力分析图，可得
∑F =0：F +qa -2aq =0，得F =qa
得M ∑M =0：2qa ⋅2a -F ⋅3a -M =0，
y
A
A
B A A A
=qa 2
（2）画剪力图与弯矩图
（d ）解：（1）求座支反力
由右图所示梁的受力分析图，可得
F A =F B =0
（2）剪力图与弯矩图
（f ）解：（1）求支座反力
由右图所示梁的受力分析图，可得
F A =F B =
qa
2
（2）剪力图与弯矩图
（h ）解：（1）求支反力
由右图所示梁的受力分析图，可得
F A =
qa 3qa
，F B = 22
（2）画剪力图与弯矩图
（i ）解：（1）求支座反力
由右图所示梁的受力分析图，可得
F A =
qa 7qa ，F B = 44
（2）画剪力图与弯矩图
题8– 4 试作下列各梁的弯矩图，求出其M
max
，并加以比较。
解：（1）受力分析图
支座反力：F 1
A =F B =2
ql （2）求剪力
(a) AC段：F ql S =2，CB 段：F ql S =-2 (b) AC段：F =ql 2，CD 段：F ，DB 段：F ql
S S =0S =-2
(c) F =1
S 2
ql -qx
(d) CA段：F AB 段：F 1
S =-qx ，S =2
ql -qx ，BD 段：F S =q (l -x )
（3）画弯矩图
(a) AC段无分布载荷，剪力为正，弯矩图为正斜率的斜直线； CB 段亦无分布载荷，但剪力为负，弯矩图为负斜率的斜直线。 (b) AC段无分布载荷，剪力为正，弯矩图为正斜率的斜直线； CD 段无分布载荷，剪力为零，弯矩图为水平直线；
DB 段亦无分布载荷，但剪力为负，弯矩图为负斜率的斜直线。 (c) 整段梁（AB ）受负的均布载荷作用，弯矩图为凹向下的抛物线。
(d) 整段梁（CD ）受负的均布载荷作用，弯矩图为凹向下的抛物线。但在A 、B 处有集中力（支座反力）作用，故M 图斜率有突变，M 图出现尖角，发生转折。
（4）最大弯矩
（a ）C 点处（x=l/2）M 值最大，M
ql 2max
=4
; b ）CD 段M 值最大，M ql 2
（max =8;
c ）x=l/2处M 值最大，M =ql 2
（max 8；
（d ）x=l/2处M 值最大，M ql 2
max =16
题8–5 试利用弯矩、剪力和载荷集度间的微分关系检查下列各梁的剪力图和弯矩图，并将错误处加以改正。
解：受力分析图： （a ） （b ）
1
支座反力：F A =
4qa , F =34qa F 51
B A =4qa , F B =4
qa AC 段前剪力：F =-11
S =-F A 4qa CB 段剪力：F S =-F B =-4
qa
正确的剪力图与弯矩图： 正确的剪力图与弯矩图
（a ） （b ）
第8章 弯曲内力 习题解答
题8 – 2 试列出下列各梁的剪力及弯矩方程，作剪力图及弯矩图并求出F S
max
及M
max
。
b ）解：（1）求支座反力（本题中支座反力也可以不求）
由右图所示梁的受力分析图，可得
∑F =0：F -qa =0，F =qa
3qa ⋅a -M =0，M ：M =0∑2
y
B
B
B B B
=
32
qa 2
（2）列剪力方程与弯矩方程
AC 段（以左段为研究对象）：
剪力方程：F S (x )=-qx （0 ≤ x ≤ a ）
qx 2
弯矩方程：M (x )=- （0 ≤ x ≤ a ）
2
CB 段（以右段为研究对象）：
剪力方程：F S (x )=-F B =-qa （a ＜ x ≤ 2a ）
32qa 2
M (x )=F B (2a -x ) -M B =qa ⨯(2a -x )-qa =-qax
22
qa 2
-qax （a ＜ x ≤ 2a ） 弯矩方程：M (x )=2
（3）画剪力图 （4）画弯矩图
（5）求F S
max
及M
max
：F S
max
=qa ，M
max
3qa 2=
2
c ）解：（1）求支座反力（本题中支座反力也可以不求）
由右图所示梁的受力分析图，可得
∑F =0：F =0
∑M =0：M +Fa -F ⋅2a , M
y
B
B B B
=Fa
（2）列剪力方程与弯矩方程
AC 段（以左段为研究对象）：
剪力方程：F S (x )=F （0 ≤ x ≤ a ） 弯矩方程：M (x )=Fx （0 ≤ x ≤ a ） CB 段（以右段为研究对象）：
剪力方程：F S (x )=0 （a ＜ x ≤ 2a ） 弯矩方程：M (x )=M B =Fa （a ＜ x ≤ 2a ）
（3）画剪力图 （4）画弯矩图
（5）求F S
max
及M
max
：
F S
max
=F ，M
max
=Fa
e ）解：（1）求支座反力
由右图所示梁的受力分析图，可得
5
F =qa ：，得-F ⨯3a +2qa ⨯2a +qa ⨯a =0M =0A ∑B A
3
4F =qa ：，得F +F -2qa -qa =0F =0B A B ∑y
3
（2）列剪力方程与弯矩方程
AC 段（以左段为研究对象）：
5
qa -qx （0 ＜ x ＜ 2a ） 3qx 25qx 2
=qax -弯矩方程：M (x )=F A x - （0 ＜ x ＜ 2a ） 232
剪力方程：F S (x )=F A -qx =CB 段（以右段为研究对象）：
4
qa （3a ＜ x ≤ 4a ） 3
442
弯矩方程：M (x )=F B (3a -x ) =qa (3a -x ) =4qa -qax （3a ＜ x ≤ 4a ）
33
剪力方程：F S (x )=-F B =-
（3）画剪力图 （4）画弯矩图
（5）求F S
max
及M
max
：
max
x =0处剪力最大，F S
=
5
qa ； 3
dM 5
=0, 即x =处, 弯矩取极值, 也是最大值, dx 3
55q 52252
qa 故M max =qa ⨯a -⨯(a ) =
332318
f ）解：（1）求支座反力
由右图所示梁的受力分析图，可得
∑M =0：-F ⨯2a +F ⨯a +F ⨯a =0，得F
∑F =0： F -F +F +F =0，得F =-F
B
A
A
=F
y A B B
（2）列剪力方程与弯矩方程
AC 段（以左段为研究对象）
剪力方程：F S (x )=F A =F （0 ≤ x ＜a ） 弯矩方程：M (x )=Fx （0 ≤ x ＜a ） CB 段（以左段为研究对象）
剪力方程：F S (x )=F A -F =0 （a ＜ x ≤ 2a ） 弯矩方程：M (x )=F A x -F (x -a )=Fa （a ＜ x ≤ 2a ） BD 段（以右段为研究对象）
剪力方程：F S (x )=-F （2a ＜ x ≤ 3a ） 弯矩方程：M (x )=F (3a -x )=-Fx +3Fa （2a ＜ x ≤ 3a ） （3）画剪力图 （4）画弯矩图
（5）求F S
max
及M
max
：
max
F S
max
=F M =Fa
g ）解：（1）求支座反力
由右图所示梁的受力分析图，可得
∑M =0：-F ⨯2a +qa ⨯a -qa
∑F =0：F +F -qa =0，得F
B
A
2
=0，得F A =0 =qa
y A B B
（2）列剪力方程与弯矩方程
AC 段（以左段为研究对象）：
剪力方程：F S (x )=F A =0 （0 ≤ x ＜a ）
弯矩方程：M (x )=F A x =0 （0 ≤ x ＜a ） CB 段（以右段为研究对象）：
剪力方程：F S (x )=-F B =-qa （a ≤ x ≤ 2a ）
2
弯矩方程：M (x )=F （B 2a -x ) =qa (2a -x ) =2qa -qax （a ≤ x ≤ 2a ）
（3）画剪力图 （4）画弯矩图
（5）求F S
max
及M
max
F S
max
=qa M max =qa 2
题8 – 3 试利用弯矩、剪力和载荷集度间的微分关系作下列各梁的剪力图和弯矩图。
（c ）解：（1）求支反力
由右图所示梁的受力分析图，可得
∑F =0：F +qa -2aq =0，得F =qa
得M ∑M =0：2qa ⋅2a -F ⋅3a -M =0，
y
A
A
B A A A
=qa 2
（2）画剪力图与弯矩图
（d ）解：（1）求座支反力
由右图所示梁的受力分析图，可得
F A =F B =0
（2）剪力图与弯矩图
（f ）解：（1）求支座反力
由右图所示梁的受力分析图，可得
F A =F B =
qa
2
（2）剪力图与弯矩图
（h ）解：（1）求支反力
由右图所示梁的受力分析图，可得
F A =
qa 3qa
，F B = 22
（2）画剪力图与弯矩图
（i ）解：（1）求支座反力
由右图所示梁的受力分析图，可得
F A =
qa 7qa ，F B = 44
（2）画剪力图与弯矩图
题8– 4 试作下列各梁的弯矩图，求出其M
max
，并加以比较。
解：（1）受力分析图
支座反力：F 1
A =F B =2
ql （2）求剪力
(a) AC段：F ql S =2，CB 段：F ql S =-2 (b) AC段：F =ql 2，CD 段：F ，DB 段：F ql
S S =0S =-2
(c) F =1
S 2
ql -qx
(d) CA段：F AB 段：F 1
S =-qx ，S =2
ql -qx ，BD 段：F S =q (l -x )
（3）画弯矩图
(a) AC段无分布载荷，剪力为正，弯矩图为正斜率的斜直线； CB 段亦无分布载荷，但剪力为负，弯矩图为负斜率的斜直线。 (b) AC段无分布载荷，剪力为正，弯矩图为正斜率的斜直线； CD 段无分布载荷，剪力为零，弯矩图为水平直线；
DB 段亦无分布载荷，但剪力为负，弯矩图为负斜率的斜直线。 (c) 整段梁（AB ）受负的均布载荷作用，弯矩图为凹向下的抛物线。
(d) 整段梁（CD ）受负的均布载荷作用，弯矩图为凹向下的抛物线。但在A 、B 处有集中力（支座反力）作用，故M 图斜率有突变，M 图出现尖角，发生转折。
（4）最大弯矩
（a ）C 点处（x=l/2）M 值最大，M
ql 2max
=4
; b ）CD 段M 值最大，M ql 2
（max =8;
c ）x=l/2处M 值最大，M =ql 2
（max 8；
（d ）x=l/2处M 值最大，M ql 2
max =16
题8–5 试利用弯矩、剪力和载荷集度间的微分关系检查下列各梁的剪力图和弯矩图，并将错误处加以改正。
解：受力分析图： （a ） （b ）
1
支座反力：F A =
4qa , F =34qa F 51
B A =4qa , F B =4
qa AC 段前剪力：F =-11
S =-F A 4qa CB 段剪力：F S =-F B =-4
qa
正确的剪力图与弯矩图： 正确的剪力图与弯矩图
（a ） （b ）