２００１年５月
第２２卷第３期ＪｏｕｍａｌｏｆＧｕｙｌｌａｎＴｅａｃｈｅｒｓ固原师专学报（自然科学版）ｃｏｕｅｇｅ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅＥｄｉｔｉｏｎ）Ｍａｙ．２００１Ｖ０１．２２Ｎｏ．３
实数集连续性定理的证明＋
胡丽平
（驻马店师专数学系，河南驻马店４６３０００）
摘要：直接证明单调有界数列必收敛定理与其它实数连续性定理的等价性．
关键词：单调有界数列；实数连续性；等价性
中图分类号：０１５３文献标识码：Ａ文章编号：１００１．０４９１（２００１）０３．００５０．０３
实数的连续性就是从运算上说，实数集关于极限运算是封闭的这一性质．描述实数的连续性，文献［１］有一个公理与六个定理，它们是Ｉ公理：单调有界数列存在极限，Ⅱ闭区间套定理，Ⅲ确界定理，Ⅳ有限覆盖定理，Ｖ聚点定理，Ⅵ致密性定理，Ⅶ柯西收剑准则．上述定理在实数集中是等价的，文献［１］的证法：
公理毒闭区间套定理穹｛凳螽妻霎定理ｊ聚点定理ｊ致密性定理等柯西收敛准则，本文给出单调有界定理与其它几个定理之间等价的证明，从而说明上述定理的等价性．
定理ｌ单调有界数列存在极限定理§闭区间套定理
证明“ｊ”（参见文献１）
“仁”｛ａ。｝是单调增加有上界的数列，设ｄ为其任一上界，记ａｌ＝ｃ即ｃ＝ａｌ≤ａ２≤ａ３≤
…≤ａ。≤…≤ｄ等分［ｃ，ｄ］为［ｃ，（ｃ＋ｄ）／２与［（ｃ＋ｄ）／２，ｄ］，若中点（ｃ＋ｄ）／２仍为｛ａ。｝的上界，记（ｃｌ，ｄ１］＝［ｃｌ，（ｃ＋ｄ）／２］，否则记［ｃｌ，ｄ１］＝［（ｃ＋ｄ）／２，ｄ］，显然存在自然数ｋｌ当ｎ＞ｋｌ时，ａ。∈［ｃ。，ｄ。］仿此，继续等分（ｃ。，ｄ。］并无限进行下去’，便可得一列闭区间｛［ｃ。，ｄ。］｝．满足条件①（ｃ，ｄ］］［ｃｌ，ｄ１］３［ｃ２，ｄ２］…３…］［ｃ。，ｄ］３…②ｌｉｍ（ｄ。一ｃ。）＝０③存在自然数ｋ。，当ｊ）ｋ。时有ｃ。≤ａｊ≤ｄ。且ｄ。是｛ａｊ｝的上界，由①②根据闭区间套定理存在唯一实数Ｌ使ｌｉｍｃ。＝ｌｉｍｄ。＝Ｌ．由于当ｎ一∞时ｊ一∞由③便可得ｌｉｍａ．＝Ｌ即｛ａ。｝存在极限．同法可证单调减少有下界的数列｛ａ。｝存在极限．
定理２单调有界数列存在极限定理甘确界定理
证明“ｊ”（参见［２］）
“乍”（参见［３］）
定理３单调有界数列存在极限定理岱有限覆盖定理
证明“ｊ”设开区间Ｓ覆盖了闭区间［８，ｂ］要证明开区间集中存在有限个开区间便覆盖了－收稿日期：２００１一０２一０５作者简介：胡丽平（１９６３一），女，河南驻马店人，硕士，讲师
万方数据
第２２卷第３期胡丽平：实数集连续性定理的证明５ｌ［ａ，ｂ］．用反证法，假设开区间集中任意有限个开区间都不能覆盖【ａ，ｂ］简称［ａ’ｂ］在Ｓ，中没有有限覆盖将（ａ，ｂ］二等分为（ａ，（ａ＋ｂ）／２］与（（ａ＋ｂ）／２，ｂ］．则显然其中至少有一个在Ｓ中没有有限覆盖，将其中一个没有有限覆盖的小区间记为［ａ。，ｂ。］，再将该区间二等分为［ａ。，（ａ，＋ｂ。）／２］与［（ａ。＋ｂ１）／２，ｂ１］同样其中至少有一个在ｓ中没有有限覆盖，将这样的一个记为（ａ２，ｂ２］，继续对［ａ２，ｂ２］二等分，这样无限进行下去，便得到一个闭区间列｛［ａ。，ｂ。］｝（ｎ＝０，１，２，…，ａ０＝ａ，ｋ＝ｂ）显然具有如下性质
（Ｄ’［ａ，ｂ］］（ａｌ’ｂ１］３…３［ａ。，ｂ。］３…②ｌｉｍ（ｂ。～ａ。）＝ｌｉｍ（ｂ—ａ）／２“＝０
③每个［ａ。，ｂ。］在ｓ中都没有有限覆盖．
由①可知：数列｛ａ。｝与数列｛ｂ。｝都是单调有界数列，据单调有界数列存在极限定理有ｌｉｍａ。
ｎ—＋∞
＝ａ，１ｉｍｂ。＝ｐ显然ａ，８∈［ａ。，ｂ。］（ｎ＝０，１，２，…）可见Ｉａ—ｐＩ≤Ｊｂ。一ａ。Ｉ＝（ｂ—ａ）／２“一０（ｎ一∞）故ａ＝ｐ．已知ｓ覆盖［ａ，ｂ］，因而存在（ｐ，ｑ）∈Ｓ使ａ∈（ｐ，ｑ）由上述（２）易知，存在充分大的自然数ｎ使（ａ。，ｂ。）ｃ（ｐ，ｑ）此与（ａ。，ｂ。］在ｓ中无有限覆盖矛盾，故［ａ，ｂ］在ｓ中存在有限覆盖，这说明有限覆盖定理成立．
“仁”不妨设｛ａ。｝为单调增加有上界的数列，要证明｛ａ。｝存在极限，由｛８。｝的性质｛８。｝的极限必是它的上界，设ｄ为｛ａ。｝的任一上界，记ｃ＝ａ，则ａ，＜ｄ即ｃ＜ｄ，二等分区间［ｃ，ｄ］为［ｃ，（ｃ＋ｄ）／２］与［ｃ（ｃ＋ｄ）／２，ｄ］．若（ｃ＋ｄ）／２为｛ａ。｝的上界记ｄｌ＿（ｃ＋ｄ）／２，ｃｌ＝ｃ，若（ｃ＋ｄ）／２不是｛ａ。｝的上界，记ｄ１＝ｄ，ｃｌ＝（ｃ＋ｄ）／２，显然｛ａ。｝中的无限多项含于［ｃｌ，ｄ１］，对［ｃｌ，ｄ２］继续二等分，这样无限进行下去，便得一个闭区间列｛（ｃ。，ｄ。）｝显然具有如下性质
①［ｃ，ｄ］］（ｃＩ，ｄＩ］３…３［ｃ。，ｄ。］３…
（Ｄｄ。一ｃ。＝（ｄ—ｃ）／２“ｌｉｍ（ｄ。一ｃ。）＝０
③每个［ｃ。，ｄ。］含有｛ａ。｝的无限多项
用反证法，假如｛ａ。｝的根限不存在，即对于任一ｘ∈［ｅ，ｄ］都不是｛ａ。｝的极限，换句话说，存
ｘ∈［ｃ，ｄ］｝覆盖［ｃ，ｄ］，根据有限覆盖定理，ｓ中存在有限个开区间
ｕ△】（。．
另一方面，已知△ｘｉｎ［ｃ。，ｄ。、］＝口（ｉ＿ｌ，２，…ｎ），令Ｎ＝ｍａ】【｛ｎ。；Ｉｉ＿ｌ，２…ｎ｝由性质（１）［ｃＮ，
ｉｄＮ］＝口与开
证明“ｊ”（参见［２］）
“仁”（参见［３］）
证明“ｊ”设｛ｘ。｝是有界无穷数列，即存在ａｌ＜ｂｌ使对一切自然数ｎ，使ａｌ＜ｘ。＜ｂ１，先取ｎｌ＝１，则ｘ。ｌ＝ｘｌ，有ａｌ＜ｘ。ｌ＜ｂｌ，其次把［ａｌ，ｂ１］二等分为［ａ１，（ａｌ＋ｂ１）／２］与（（ａｌ＋ｂ１）／２，ｂ１］，其中至少有一个闭区间含有｛ｘ。｝的无穷多项，将这样一个闭区间记为（ａ２，ｂ２］，这种分法继续下≤ｂｋ；（２）（ａｌ，ｂ１］］［ａ２，ｂ２］］…３［ａｋ，ｂｋ］］…，１ｉｍ（ａｋ—ｂｋ）＝Ｏ由于｛ａｋ｝与｛ｂｋ｝都是单调有界数
万 方数据在某个闭区间（ｃ。。，ｄ。，］使ｘ芭（ｃ。，，ｄ。。］，因此存在以ｘ为中心的开区间△】【，使△）【ｎ［ｃ。。，ｄ。，］＝移，于是开区间集ｓ＝｛△】【ｌ△】（１，△ｘ２，…，△】【。也覆盖了［ｃ，ｄ］即［ｃ，ｄ］ｃｄＮ］ｃ［ｃ。。，ｄ。，］（ｉ＝ｌ，２，…ｎ）于是△ｘ。ｎ［ｃＮ，ｄＮ］＝谚，ｉ＝ｌ，２，…ｎ，即（Ｖ△ｘｉ）ｎ［ｃＮ区间集｛△）【ｉ，Ｉｉ－１，２…ｎ｝覆盖［ｃ，ｄ］矛盾，故｛ａ。｝存在极限，即单调有界数列存在极限定理成立．定理４单调有界存在极限定理§聚点定理定理５单调有界存在极限定理铮致密性定理去，便得到｛ｘ。｝的一个子列｛ｘｎｋ｝及一个闭区间列［ａｋ，ｂｋ］，满足（１）对于任意自然数ｋ，有ａｋ≤ｘ。ｋ
５２固原师专学报（自然科学版）２００１年５月界，据单调有界定理，有ｌｉｍａｋ＝“ｌｉｍｂｋ＝ｐ再由（２）可知ａｋ≤ａ≤ｂｋ，ａｋ≤ｐ≤ｂｋ（ｋ＝ｌ，２…）从而有Ｉａ—ｆｉＩ≤｜ｂｋ—ａｋｌ—Ｏ（ｋ一∞），可见ａ＝ｐ．由（１）ａｋ≤ｘ。ｋ≤ｂｋ（ｋ＝１，２…）可得１ｉｍａ。ｋ＝ａ．
’“乍”不妨设｛ａｎ｝单调增加有上界，任取｛ａ。｝的一个上界ｄ，记ｃ＝ａｌ则ｃ＜ｄ．对［ｃ，ｄ］采用定理３证明中的二等分法，得到一个闭区间列｛［ｃ。，ｄ。］｝，满足ｄ。一ｃ。＝（ｄ—ｃ）／２７，ｌｉｍ（ｄ。一ｃ。）＝０
显然｛ｃ。｝｛ｄ。｝都是有界无穷数列，据致密性定理，存在子列｛ｃ。ｋ｝与｛ｄ。ｉ｝使．１ｉｍｃｎｋ＝ａ，ｌｉｍｄ。ｉ＝｜３．容易看出ｃ。ｋ≤ａ≤ｄ。ｋ，ｃ。ｉ≤ｐ≤ｄ。ｉ取ｍ＝ＩＩｌｉｎ｛ｎｋ，ｎｉ｝由（１）易知［ｃ。，ｄ。］］［ｃ。ｋ，ｄ。ｋ］，［ｃ。，ｄ。］３［ｃ。ｉ，ｄ。ｉ］，于是ｃ。≤ａ≤ｄ。，ｃ。≤ｐ≤ｄ。可见ＩＱ一口Ｉ≤Ｉｄ。一ｃ。Ｉ≤（ｃ—ｄ）／２“一０（ｍ一∞）说明ａ＝ｐ，注意到ｃｋ≤～≤ｄｋ（当ｎ充分大时）与ｃｋ≤ａ≤ｄｋ，容易得到Ｉ％一ａＩ≤Ｉｃｋ—ｄｋＩ≤（ｃ—ｄ）／２。一Ｏ（当ｋ－＋∞，ｎ・∞）这表明ｌｉｍａｎ。ａ．
定理６单调有界数列存在极限定理售柯西收敛准则
证明“ｊ”设Ｉｉｍａ。＝ａ，则显然有Ｖ￡＞０，了自然数Ｎ，当ｍ，ｎ＞Ｎ时不等式Ｉａ。一ａ。Ｉ＜￡成立，反之，设数列｛ａ。｝具有性质：Ｖｅ＞０，３Ｎ，当ｍ，ｎ＞Ｎ时有不等式Ｉａ。一ａ。Ｉ＜￡成立，现在要证明｛ａ。｝存在极限，取ｅ＝１，则存在自然数Ｎｌ，当ｎ，ｍ＞Ｎｌ时，有Ｉａ。一ａ。Ｉ＜ｌ，固定ｍ，对于任意的自然数ｎ＞Ｎｌ，有ａ。一１＜ａ。＜ａ。＋１．记［ｃｌ，ｄ１］＝［ａ。一１，ａ。＋１］，显然［ｃｌ，ｄ１］中含有｛ａ。｝的所有Ｎｌ＋ｌ项以后的各项，将闭区间［ｃｌ，ｄ１］二等分为［ｃｌ，（ｃ１＋ｄ１）／２］与［（ｃｌ＋ｄ１）／２，ｄ１］其中至少有一个闭区间含有｛ａ。｝的无限多项，将这样的一个记为［ｃ２，ｄ２］，用同样的方法二等分［ｃ２，ｄ２］，这样无限进行下去，便得到一个闭区间列｛［ｃ。，ｄ。］｝它显然具有如下性质．
（１）（ｃＩ，ｄ１］３（ｃ２，ｄ２］３…３（ｃ。，ｄ。］］…（２）ｌｉｍ（ｄ。一ｃ。）＝ｌｉｍ（ｄｌ—ｃ１）／２“＿。＝Ｏ
（３）每个闭区间［ｃ。，ｄ。］都含有｛［ａ２］｝的无限多项
由（１）据单调有界数列存在极限定理，有ｌｉｍｃ。＝ａ１ｉｍｄ。＝ｐ，且ｃ。≤ａ，ｐ≥ｄ。又由（２）Ｉａ—ｐｆ≤ｄ。一ｃ。Ｉ＝（ｄｌ—ｃ１）／２”１—０（ｎ一∞），可见ａ＝Ｂ且ｃ。≤ａ≤ｄ。（ｎ＝１，２…）下面只须证明：ｌｉｍａ。＝ａ
由（２），对于上述ｅ＞０，ｊＮ２，当ｎ＞Ｎ２时有Ｉｄ。一ｃ。ｌ＜￡．取Ｎ３＝ｍ缸｛Ｎｌ、Ｎ２｝，则当ｎ，ｍ＞
Ｎ３时，同时有ｌｄ。一ｃ。ｌ＜￡与Ｉａ。一ａ。Ｉ＜￡又因（３），存在某自然数ｍｌ＞Ｎ３，使ｃ。≤ａ。ｌ≤ｄ。（ｎ＞Ｎ３），从而有Ｉ
一ａ。１ａ。ｌ—ａＩ≤Ｉｃ。一ｄ。Ｉ＜￡，这样一来，当ｎ＞Ｎ３时（对固定的ｍｌ＞Ｎ３）有ｌａ。－一ａＩ≤Ｉａ。Ｉ＋Ｉａ。ｌ—ａｌ＜２￡这表明ｌｉｍａ。＝ａ．
“乍”不妨设｛ａＩＩ｝单调增加有上界，任取｛ａＩｌ｝的一个上界ｄ，记ｃ＝ａ，，则ｃ＜ｄ仿照定理３证明中的作法，便得一个闭区间列｛［ｃ。，ｄ。］｝满足ｄ。一ｃ。＝（ｄ—ｃ）／２“，ｌｉｍ（ｄ。一ｃ。）＝０据柯西收敛准则，有ｌｉｍｃ。＝℃且ｌｉｍｄ。＝℃，由（２）易知￡＝１：即ｌｉｍｃ。＝ｌｉｍｄ。＝∈．显然，对于任意自然数ｎ，ｃ。≤毫≤ｄ。．
下面只须证明：ｌｉｍａ：＝ｅ，根据｛ａ。｝的单调性与｛［ｃ。，ｄ。］｝的做法，容易看出：对于每一自然数ｎ，当ｋ充分大时，总有ｃ。≤ａｋ≤ｄ。．由于ｌｉｍｃ。＝ｌｉｍｄ。＝℃便得ｌｉｍａｋ＝《，可见单调有界数列存在极限定理成立．
参考文献：
［１］
［２］
［３］刘玉琏，傅沛仁．数学分析讲义（第三版）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，１９９２．Ｐ１２４一１３５．华东师范大学数学系．数学分析［Ｍ］．北京：人民教育出版社ｊ１９８３．Ｐ１９ｒ７。２１６．刘玉琏．数学分析讲义学习指导［Ｍ］．北京：高等教育出版社，１９８７．Ｐｌｌ９．１４２．（责任编辑麦成）
万方数据
实数集连续性定理的证明
作者：
作者单位：
刊名：
英文刊名：
年，卷(期)：
被引用次数：胡丽平驻马店师专,数学系,河南,驻马店,463000固原师专学报JOURNAL OF GUYUAN TEACHERS COLLEGE2001，22(3)0次
参考文献(3条)
1. 刘玉琏. 傅沛仁 数学分析讲义 1992
2. 华东师范大学数学系 数学分析 1983
3. 刘玉琏 数学分析讲义学习指导 1987
相似文献(2条)
1.期刊论文 陈芝辉. Chen Zhihui 实数连续性九个定理等价的证明 -南宁师范高等专科学校学报2007,24(2)
用闭循环回路的方式证明了实数连续性的闭区间套定理,确界定理,有限覆盖定理,聚点定理,致密性定理,柯西收敛准则,单调有界数列存在极限定理,戴狄金基本定理,界点定理的彼此等价性.
2.期刊论文 霍丽芳. 陈永强. Huo Lifang. Chen Yongqiang 实数连续性探究 -河北建筑工程学院学报2005,23(4) 以通常所说的闭区间套定理作为公理推出单调有界数列存在极限和Dedekind定理,并且证明了通常所说的实数满闭区间套定理.
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２００１年５月
第２２卷第３期ＪｏｕｍａｌｏｆＧｕｙｌｌａｎＴｅａｃｈｅｒｓ固原师专学报（自然科学版）ｃｏｕｅｇｅ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅＥｄｉｔｉｏｎ）Ｍａｙ．２００１Ｖ０１．２２Ｎｏ．３
实数集连续性定理的证明＋
胡丽平
（驻马店师专数学系，河南驻马店４６３０００）
摘要：直接证明单调有界数列必收敛定理与其它实数连续性定理的等价性．
关键词：单调有界数列；实数连续性；等价性
中图分类号：０１５３文献标识码：Ａ文章编号：１００１．０４９１（２００１）０３．００５０．０３
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公理毒闭区间套定理穹｛凳螽妻霎定理ｊ聚点定理ｊ致密性定理等柯西收敛准则，本文给出单调有界定理与其它几个定理之间等价的证明，从而说明上述定理的等价性．
定理ｌ单调有界数列存在极限定理§闭区间套定理
证明“ｊ”（参见文献１）
“仁”｛ａ。｝是单调增加有上界的数列，设ｄ为其任一上界，记ａｌ＝ｃ即ｃ＝ａｌ≤ａ２≤ａ３≤
…≤ａ。≤…≤ｄ等分［ｃ，ｄ］为［ｃ，（ｃ＋ｄ）／２与［（ｃ＋ｄ）／２，ｄ］，若中点（ｃ＋ｄ）／２仍为｛ａ。｝的上界，记（ｃｌ，ｄ１］＝［ｃｌ，（ｃ＋ｄ）／２］，否则记［ｃｌ，ｄ１］＝［（ｃ＋ｄ）／２，ｄ］，显然存在自然数ｋｌ当ｎ＞ｋｌ时，ａ。∈［ｃ。，ｄ。］仿此，继续等分（ｃ。，ｄ。］并无限进行下去’，便可得一列闭区间｛［ｃ。，ｄ。］｝．满足条件①（ｃ，ｄ］］［ｃｌ，ｄ１］３［ｃ２，ｄ２］…３…］［ｃ。，ｄ］３…②ｌｉｍ（ｄ。一ｃ。）＝０③存在自然数ｋ。，当ｊ）ｋ。时有ｃ。≤ａｊ≤ｄ。且ｄ。是｛ａｊ｝的上界，由①②根据闭区间套定理存在唯一实数Ｌ使ｌｉｍｃ。＝ｌｉｍｄ。＝Ｌ．由于当ｎ一∞时ｊ一∞由③便可得ｌｉｍａ．＝Ｌ即｛ａ。｝存在极限．同法可证单调减少有下界的数列｛ａ。｝存在极限．
定理２单调有界数列存在极限定理甘确界定理
证明“ｊ”（参见［２］）
“乍”（参见［３］）
定理３单调有界数列存在极限定理岱有限覆盖定理
证明“ｊ”设开区间Ｓ覆盖了闭区间［８，ｂ］要证明开区间集中存在有限个开区间便覆盖了－收稿日期：２００１一０２一０５作者简介：胡丽平（１９６３一），女，河南驻马店人，硕士，讲师
万方数据
第２２卷第３期胡丽平：实数集连续性定理的证明５ｌ［ａ，ｂ］．用反证法，假设开区间集中任意有限个开区间都不能覆盖【ａ，ｂ］简称［ａ’ｂ］在Ｓ，中没有有限覆盖将（ａ，ｂ］二等分为（ａ，（ａ＋ｂ）／２］与（（ａ＋ｂ）／２，ｂ］．则显然其中至少有一个在Ｓ中没有有限覆盖，将其中一个没有有限覆盖的小区间记为［ａ。，ｂ。］，再将该区间二等分为［ａ。，（ａ，＋ｂ。）／２］与［（ａ。＋ｂ１）／２，ｂ１］同样其中至少有一个在ｓ中没有有限覆盖，将这样的一个记为（ａ２，ｂ２］，继续对［ａ２，ｂ２］二等分，这样无限进行下去，便得到一个闭区间列｛［ａ。，ｂ。］｝（ｎ＝０，１，２，…，ａ０＝ａ，ｋ＝ｂ）显然具有如下性质
（Ｄ’［ａ，ｂ］］（ａｌ’ｂ１］３…３［ａ。，ｂ。］３…②ｌｉｍ（ｂ。～ａ。）＝ｌｉｍ（ｂ—ａ）／２“＝０
③每个［ａ。，ｂ。］在ｓ中都没有有限覆盖．
由①可知：数列｛ａ。｝与数列｛ｂ。｝都是单调有界数列，据单调有界数列存在极限定理有ｌｉｍａ。
ｎ—＋∞
＝ａ，１ｉｍｂ。＝ｐ显然ａ，８∈［ａ。，ｂ。］（ｎ＝０，１，２，…）可见Ｉａ—ｐＩ≤Ｊｂ。一ａ。Ｉ＝（ｂ—ａ）／２“一０（ｎ一∞）故ａ＝ｐ．已知ｓ覆盖［ａ，ｂ］，因而存在（ｐ，ｑ）∈Ｓ使ａ∈（ｐ，ｑ）由上述（２）易知，存在充分大的自然数ｎ使（ａ。，ｂ。）ｃ（ｐ，ｑ）此与（ａ。，ｂ。］在ｓ中无有限覆盖矛盾，故［ａ，ｂ］在ｓ中存在有限覆盖，这说明有限覆盖定理成立．
“仁”不妨设｛ａ。｝为单调增加有上界的数列，要证明｛ａ。｝存在极限，由｛８。｝的性质｛８。｝的极限必是它的上界，设ｄ为｛ａ。｝的任一上界，记ｃ＝ａ，则ａ，＜ｄ即ｃ＜ｄ，二等分区间［ｃ，ｄ］为［ｃ，（ｃ＋ｄ）／２］与［ｃ（ｃ＋ｄ）／２，ｄ］．若（ｃ＋ｄ）／２为｛ａ。｝的上界记ｄｌ＿（ｃ＋ｄ）／２，ｃｌ＝ｃ，若（ｃ＋ｄ）／２不是｛ａ。｝的上界，记ｄ１＝ｄ，ｃｌ＝（ｃ＋ｄ）／２，显然｛ａ。｝中的无限多项含于［ｃｌ，ｄ１］，对［ｃｌ，ｄ２］继续二等分，这样无限进行下去，便得一个闭区间列｛（ｃ。，ｄ。）｝显然具有如下性质
①［ｃ，ｄ］］（ｃＩ，ｄＩ］３…３［ｃ。，ｄ。］３…
（Ｄｄ。一ｃ。＝（ｄ—ｃ）／２“ｌｉｍ（ｄ。一ｃ。）＝０
③每个［ｃ。，ｄ。］含有｛ａ。｝的无限多项
用反证法，假如｛ａ。｝的根限不存在，即对于任一ｘ∈［ｅ，ｄ］都不是｛ａ。｝的极限，换句话说，存
ｘ∈［ｃ，ｄ］｝覆盖［ｃ，ｄ］，根据有限覆盖定理，ｓ中存在有限个开区间
ｕ△】（。．
另一方面，已知△ｘｉｎ［ｃ。，ｄ。、］＝口（ｉ＿ｌ，２，…ｎ），令Ｎ＝ｍａ】【｛ｎ。；Ｉｉ＿ｌ，２…ｎ｝由性质（１）［ｃＮ，
ｉｄＮ］＝口与开
证明“ｊ”（参见［２］）
“仁”（参见［３］）
证明“ｊ”设｛ｘ。｝是有界无穷数列，即存在ａｌ＜ｂｌ使对一切自然数ｎ，使ａｌ＜ｘ。＜ｂ１，先取ｎｌ＝１，则ｘ。ｌ＝ｘｌ，有ａｌ＜ｘ。ｌ＜ｂｌ，其次把［ａｌ，ｂ１］二等分为［ａ１，（ａｌ＋ｂ１）／２］与（（ａｌ＋ｂ１）／２，ｂ１］，其中至少有一个闭区间含有｛ｘ。｝的无穷多项，将这样一个闭区间记为（ａ２，ｂ２］，这种分法继续下≤ｂｋ；（２）（ａｌ，ｂ１］］［ａ２，ｂ２］］…３［ａｋ，ｂｋ］］…，１ｉｍ（ａｋ—ｂｋ）＝Ｏ由于｛ａｋ｝与｛ｂｋ｝都是单调有界数
万 方数据在某个闭区间（ｃ。。，ｄ。，］使ｘ芭（ｃ。，，ｄ。。］，因此存在以ｘ为中心的开区间△】【，使△）【ｎ［ｃ。。，ｄ。，］＝移，于是开区间集ｓ＝｛△】【ｌ△】（１，△ｘ２，…，△】【。也覆盖了［ｃ，ｄ］即［ｃ，ｄ］ｃｄＮ］ｃ［ｃ。。，ｄ。，］（ｉ＝ｌ，２，…ｎ）于是△ｘ。ｎ［ｃＮ，ｄＮ］＝谚，ｉ＝ｌ，２，…ｎ，即（Ｖ△ｘｉ）ｎ［ｃＮ区间集｛△）【ｉ，Ｉｉ－１，２…ｎ｝覆盖［ｃ，ｄ］矛盾，故｛ａ。｝存在极限，即单调有界数列存在极限定理成立．定理４单调有界存在极限定理§聚点定理定理５单调有界存在极限定理铮致密性定理去，便得到｛ｘ。｝的一个子列｛ｘｎｋ｝及一个闭区间列［ａｋ，ｂｋ］，满足（１）对于任意自然数ｋ，有ａｋ≤ｘ。ｋ
５２固原师专学报（自然科学版）２００１年５月界，据单调有界定理，有ｌｉｍａｋ＝“ｌｉｍｂｋ＝ｐ再由（２）可知ａｋ≤ａ≤ｂｋ，ａｋ≤ｐ≤ｂｋ（ｋ＝ｌ，２…）从而有Ｉａ—ｆｉＩ≤｜ｂｋ—ａｋｌ—Ｏ（ｋ一∞），可见ａ＝ｐ．由（１）ａｋ≤ｘ。ｋ≤ｂｋ（ｋ＝１，２…）可得１ｉｍａ。ｋ＝ａ．
’“乍”不妨设｛ａｎ｝单调增加有上界，任取｛ａ。｝的一个上界ｄ，记ｃ＝ａｌ则ｃ＜ｄ．对［ｃ，ｄ］采用定理３证明中的二等分法，得到一个闭区间列｛［ｃ。，ｄ。］｝，满足ｄ。一ｃ。＝（ｄ—ｃ）／２７，ｌｉｍ（ｄ。一ｃ。）＝０
显然｛ｃ。｝｛ｄ。｝都是有界无穷数列，据致密性定理，存在子列｛ｃ。ｋ｝与｛ｄ。ｉ｝使．１ｉｍｃｎｋ＝ａ，ｌｉｍｄ。ｉ＝｜３．容易看出ｃ。ｋ≤ａ≤ｄ。ｋ，ｃ。ｉ≤ｐ≤ｄ。ｉ取ｍ＝ＩＩｌｉｎ｛ｎｋ，ｎｉ｝由（１）易知［ｃ。，ｄ。］］［ｃ。ｋ，ｄ。ｋ］，［ｃ。，ｄ。］３［ｃ。ｉ，ｄ。ｉ］，于是ｃ。≤ａ≤ｄ。，ｃ。≤ｐ≤ｄ。可见ＩＱ一口Ｉ≤Ｉｄ。一ｃ。Ｉ≤（ｃ—ｄ）／２“一０（ｍ一∞）说明ａ＝ｐ，注意到ｃｋ≤～≤ｄｋ（当ｎ充分大时）与ｃｋ≤ａ≤ｄｋ，容易得到Ｉ％一ａＩ≤Ｉｃｋ—ｄｋＩ≤（ｃ—ｄ）／２。一Ｏ（当ｋ－＋∞，ｎ・∞）这表明ｌｉｍａｎ。ａ．
定理６单调有界数列存在极限定理售柯西收敛准则
证明“ｊ”设Ｉｉｍａ。＝ａ，则显然有Ｖ￡＞０，了自然数Ｎ，当ｍ，ｎ＞Ｎ时不等式Ｉａ。一ａ。Ｉ＜￡成立，反之，设数列｛ａ。｝具有性质：Ｖｅ＞０，３Ｎ，当ｍ，ｎ＞Ｎ时有不等式Ｉａ。一ａ。Ｉ＜￡成立，现在要证明｛ａ。｝存在极限，取ｅ＝１，则存在自然数Ｎｌ，当ｎ，ｍ＞Ｎｌ时，有Ｉａ。一ａ。Ｉ＜ｌ，固定ｍ，对于任意的自然数ｎ＞Ｎｌ，有ａ。一１＜ａ。＜ａ。＋１．记［ｃｌ，ｄ１］＝［ａ。一１，ａ。＋１］，显然［ｃｌ，ｄ１］中含有｛ａ。｝的所有Ｎｌ＋ｌ项以后的各项，将闭区间［ｃｌ，ｄ１］二等分为［ｃｌ，（ｃ１＋ｄ１）／２］与［（ｃｌ＋ｄ１）／２，ｄ１］其中至少有一个闭区间含有｛ａ。｝的无限多项，将这样的一个记为［ｃ２，ｄ２］，用同样的方法二等分［ｃ２，ｄ２］，这样无限进行下去，便得到一个闭区间列｛［ｃ。，ｄ。］｝它显然具有如下性质．
（１）（ｃＩ，ｄ１］３（ｃ２，ｄ２］３…３（ｃ。，ｄ。］］…（２）ｌｉｍ（ｄ。一ｃ。）＝ｌｉｍ（ｄｌ—ｃ１）／２“＿。＝Ｏ
（３）每个闭区间［ｃ。，ｄ。］都含有｛［ａ２］｝的无限多项
由（１）据单调有界数列存在极限定理，有ｌｉｍｃ。＝ａ１ｉｍｄ。＝ｐ，且ｃ。≤ａ，ｐ≥ｄ。又由（２）Ｉａ—ｐｆ≤ｄ。一ｃ。Ｉ＝（ｄｌ—ｃ１）／２”１—０（ｎ一∞），可见ａ＝Ｂ且ｃ。≤ａ≤ｄ。（ｎ＝１，２…）下面只须证明：ｌｉｍａ。＝ａ
由（２），对于上述ｅ＞０，ｊＮ２，当ｎ＞Ｎ２时有Ｉｄ。一ｃ。ｌ＜￡．取Ｎ３＝ｍ缸｛Ｎｌ、Ｎ２｝，则当ｎ，ｍ＞
Ｎ３时，同时有ｌｄ。一ｃ。ｌ＜￡与Ｉａ。一ａ。Ｉ＜￡又因（３），存在某自然数ｍｌ＞Ｎ３，使ｃ。≤ａ。ｌ≤ｄ。（ｎ＞Ｎ３），从而有Ｉ
一ａ。１ａ。ｌ—ａＩ≤Ｉｃ。一ｄ。Ｉ＜￡，这样一来，当ｎ＞Ｎ３时（对固定的ｍｌ＞Ｎ３）有ｌａ。－一ａＩ≤Ｉａ。Ｉ＋Ｉａ。ｌ—ａｌ＜２￡这表明ｌｉｍａ。＝ａ．
“乍”不妨设｛ａＩＩ｝单调增加有上界，任取｛ａＩｌ｝的一个上界ｄ，记ｃ＝ａ，，则ｃ＜ｄ仿照定理３证明中的作法，便得一个闭区间列｛［ｃ。，ｄ。］｝满足ｄ。一ｃ。＝（ｄ—ｃ）／２“，ｌｉｍ（ｄ。一ｃ。）＝０据柯西收敛准则，有ｌｉｍｃ。＝℃且ｌｉｍｄ。＝℃，由（２）易知￡＝１：即ｌｉｍｃ。＝ｌｉｍｄ。＝∈．显然，对于任意自然数ｎ，ｃ。≤毫≤ｄ。．
下面只须证明：ｌｉｍａ：＝ｅ，根据｛ａ。｝的单调性与｛［ｃ。，ｄ。］｝的做法，容易看出：对于每一自然数ｎ，当ｋ充分大时，总有ｃ。≤ａｋ≤ｄ。．由于ｌｉｍｃ。＝ｌｉｍｄ。＝℃便得ｌｉｍａｋ＝《，可见单调有界数列存在极限定理成立．
参考文献：
［１］
［２］
［３］刘玉琏，傅沛仁．数学分析讲义（第三版）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，１９９２．Ｐ１２４一１３５．华东师范大学数学系．数学分析［Ｍ］．北京：人民教育出版社ｊ１９８３．Ｐ１９ｒ７。２１６．刘玉琏．数学分析讲义学习指导［Ｍ］．北京：高等教育出版社，１９８７．Ｐｌｌ９．１４２．（责任编辑麦成）
万方数据
实数集连续性定理的证明
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被引用次数：胡丽平驻马店师专,数学系,河南,驻马店,463000固原师专学报JOURNAL OF GUYUAN TEACHERS COLLEGE2001，22(3)0次
参考文献(3条)
1. 刘玉琏. 傅沛仁 数学分析讲义 1992
2. 华东师范大学数学系 数学分析 1983
3. 刘玉琏 数学分析讲义学习指导 1987
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