高中三角函数典型例题
1 ．设锐角∆ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c , a =2b sin A .
(Ⅰ) 求B 的大小; (Ⅱ) 求cos A +sin C 的取值范围.
2 ．在∆ABC 中, 角A ． B ．C 的对边分别为a 、b 、c, 且满足(2a-c)cosB=bcos C．
(Ⅰ) 求角B 的大小;
(Ⅱ) 设m =(sin A,cos 2A ),n =(4k, 1)(k >1), 且m ⋅n 的最大值是5, 求k 的值.
3 ．在∆ABC 中, 角A , B , C 所对的边分别为a ，b ，c , sin
A +B 2+sin C
2
=2. I. 试判断△ABC 的形状;
II. 若△ABC 的周长为16, 求面积的最大值.
4 ．在∆ABC 中, a 、b 、c 分别是角A ． B ．C 的对边, C =2A , cos A =
34
, (1)求cos C , cos B 的值; (2)若BA ⋅BC =
27
2
, 求边AC 的长｡ 5 ．已知在∆ABC 中, A >B , 且tan A 与tan B 是方程x
2
-5x +6=0的两个根.
(Ⅰ) 求tan(A +B ) 的值;
(Ⅱ) 若AB =5, 求BC 的长.
6 ．在∆ABC 中, 已知内角
A ． B ．C 所对的边分别为a 、m =(2s i B n , n =3⎛
⎝
cos 2B ,2cos 2B ⎫2-1⎪⎭, 且m //n ｡
(I)求锐角B 的大小;
(II)如果b =2, 求∆ABC 的面积S ∆ABC 的最大值｡
7 ．在∆ABC 中, 角A ． B ．C 所对的边分别是a , b , c , 且a 2
+c 2
-b 2
=
1
2
ac . (1)求sin
2
A +C
2
+cos 2B 的值; (2)若b =2,求△ABC 面积的最大值.
1
b 、c , 向
量
+θ)
8 ．已知tan α=a , (a >1) , 求⋅tan 2θ的值｡ sin(-θ)
2
3π⎫⎛
sin (5π-α)⋅cos α+⎪⋅cos (π+α)2⎝⎭9 ．已知f (α)=
3π⎫π⎫⎛⎛
sin α-⎪⋅cos α+⎪⋅tan (α-3π)22⎭⎝⎭⎝
(I)化简f
π
(α)
⎛3π⎫1
-α⎪=, 求f (α)的值｡ ⎝2⎭5
(II)若α是第三象限角, 且cos
10．已知函数f(x)=sinx+
2
3sinxcosx+2cos2x,x ∈R.
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调增区间;
(2)函数f(x)的图象可以由函数y=sin2x(x∈R) 的图象经过怎样的变换得到?
⎛33⎫πx πx
⎪, =(sin, cos ) , f (x ) =⋅｡ , -11．已知= 2442⎪⎝⎭
(1)求f (x ) 的单调递减区间｡
(2)若函数y =g (x ) 与y =f (x ) 关于直线x =1对称, 求当x ∈[0, ]时, y =g (x ) 的最大值｡
12．已知cos α=-2sin α, 求下列各式的值;
4
3
(1)
2sin α-cos α
;
sin α+3cos α
2
(2)sin α+2sin αcos α
13．设向量a =(sinx ,cos x ), b =(cosx ,cos x ), x ∈R , 函数f (x ) =a ⋅(a +b )
(I)求函数f (x ) 的最大值与最小正周期; (II)求使不等式f (x ) ≥
14．已知向量3
成立的x 的取值集合｡ 2
=(cosα-
π2
, -1) , =(sinα, 1) , 与为共线向量, 且α∈[-, 0]23
(Ⅰ) 求sin α+cos α的值; (Ⅱ) 求
sin 2α
的值. ｡sin α-cos α
15．如图,A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平面内,B,D 为两岛上的两座
2
灯塔的塔顶｡测量船于水面A 处测得B 点和D 点的仰角分别为75, 30, 于水面C 处测得B 点和D 点的仰角均为60,AC=0.1km｡试探究图中B,D 间距离与另外哪两点距离相等, 然后求B,D 的距离(计算结果精确到
≈
≈2.449)
16．已知函数f (x ) =A sin(ωx +ϕ), x ∈R (其中A >0, ω>0,0
00
π
2
) 的图象与x 轴的交点中, 相邻两个
交点之间的距离为
π2π
, -2) . , 且图象上一个最低点为M (32
ππ
(Ⅰ) 求f (x ) 的解析式;(Ⅱ) 当x ∈[, ], 求f (x ) 的值域.
122
AB =50m , BC =120m , 于A 处测得水深AD =80m , 于B 处测得水深BE =200m , 于C 处测得水深
17．如图, 为了解某海域海底构造, 在海平面内一条直线上的A,B,C 三点进行测量, 已知
CF =110m , 求∠DEF 的余弦值｡
18．已知sin θ+cos θ=
1π
，θ∈(, π) ， 52
3344
求（1）sin θ-cos θ（2）sin θ-cos θ（3）sin θ+cos θ
19．已知函数y =A sin(ωx +ϕ) （A >0， ω>0，|ϕ|
如图所示，
（1）求函数的解析式；
（2）求这个函数的单调递增区间。
20．已知∆ABC 的内角A ． B ．C 所对边分别为a 、b 、c ，设向量
m =(1-cos(A +B ), cos
5A -B 9n =(, cos ) ，且m ⋅n =.
828（Ⅰ）求tan A ⋅tan B 的值；
ab sin C
（Ⅱ）求2的最大值. 22
a +b -c
21．已知函数f (x ) =(1-tan x )[1+
A -B
) ， 2
2sin(2x +
π
4
)]，求：
（1）函数f (x ) 的定义域和值域； （2）写出函数f (x ) 的单调递增区间。
3
22．如图为一个观览车示意图．该观览车圆半径为4.8m ，圆上最低点与地面距
离为0.8m ，60秒转动一圈．途中OA 与地面垂直．以OA 为始边，逆时针转动θ角到OB ．设B 点与地面距离为h ． （1）求h 与θ的函数解析式；
（2）设从OA 开始转动，经过80秒到达OB ，求h .
23．设函数
f (x ) =a ⋅b , 其中向量a =(2cos x , 1), b =(cosx , 3sin 2x +m ).
（1）求函数f (x ) 的最小正周期和在[0, π]上的单调递增区间； （2）当x ∈[0,
π
6
]时, -4
24．
已知函数
⎛π⎫⎡ππ⎤f (x ) =2sin 2 +x ⎪-2x ，x ∈⎢⎥．
⎝4⎭⎣42⎦
（1）求f (x ) 的最大值和最小值；
（2）f (x ) -m
42
25．在锐角△ABC 中, 角A ． B ．C 的对边分别为a 、b 、c, 已知(b
2
⎡ππ⎤⎣⎦
+c 2-a 2) tan A =3bc .
(I)求角A;
(II)若a=2,求△ABC 面积S 的最大值｡ 26．甲船由A 岛出发向北偏东45°的方向作匀速直线航行, 速度为
152浬/小时, 在甲船从A 岛出发的同时, 乙船从A 岛正南40浬处的B 岛出发, 朝北偏东θ(θ=arctg 1) 的方向作匀速直线航
2
行, 速度为10
5浬/小时.(如图所示)
(Ⅰ) 求出发后3小时两船相距多少浬?
(Ⅱ) 求两船出发后多长时间相距最近? 最近距离为多少浬?
27．在锐角∆ABC 中，已知内角A ． B ．C 所对的边分别为a 、b 、
c ，且(tanA－tanB) ＝1＋tanA·tan B．
(1)若a 2－ab ＝c 2－b 2，求A ． B ．C 的大小；
(2)已知向量m ＝(sinA，cosA) ，n ＝(cosB，sinB) ，求｜3m －2n ｜的取值范围．
28．如图，某住宅小区的平面图呈扇形AO C．小区的两个出入口设置在点A
及点C 处，小区里有两条笔直的小路AD ，DC ，且拐弯处的转角为
120．已知某人从C 沿CD 走到D 用了10分钟，从D 沿DA 走到A 用
了6分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA
的长
4
（精确到1米）．
29．已知角α的顶点在原点, 始边与x 轴的正半轴重合,
终边经过点P (-.
(1)求tan α的值; (2)定义行列式运算
a b sin α
=ad -bc , 求行列式
1c d tan α
的值; cos α
(3)若函数f (x ) =求函数y =(
cos(x +α) -sin α
(x ∈R ),
sin(x +α) cos α
π
2
-2x ) +2f 2(x ) 的最大值, 并指出取到最大值时x 的值
30．已知函数f (x ) =(sinx +cos x ) 2+cos2x .
⎡π⎤
(Ⅰ) 求函数f (x )的最小正周期;(Ⅱ) 当x ∈⎢0, ⎥时, 求函数f (x )的最大值, 并写出x 相应的取值.
⎣2⎦
5
高中三角函数典型例题
1 ．设锐角∆ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c , a =2b sin A .
(Ⅰ) 求B 的大小; (Ⅱ) 求cos A +sin C 的取值范围.
2 ．在∆ABC 中, 角A ． B ．C 的对边分别为a 、b 、c, 且满足(2a-c)cosB=bcos C．
(Ⅰ) 求角B 的大小;
(Ⅱ) 设m =(sin A,cos 2A ),n =(4k, 1)(k >1), 且m ⋅n 的最大值是5, 求k 的值.
3 ．在∆ABC 中, 角A , B , C 所对的边分别为a ，b ，c , sin
A +B 2+sin C
2
=2. I. 试判断△ABC 的形状;
II. 若△ABC 的周长为16, 求面积的最大值.
4 ．在∆ABC 中, a 、b 、c 分别是角A ． B ．C 的对边, C =2A , cos A =
34
, (1)求cos C , cos B 的值; (2)若BA ⋅BC =
27
2
, 求边AC 的长｡ 5 ．已知在∆ABC 中, A >B , 且tan A 与tan B 是方程x
2
-5x +6=0的两个根.
(Ⅰ) 求tan(A +B ) 的值;
(Ⅱ) 若AB =5, 求BC 的长.
6 ．在∆ABC 中, 已知内角
A ． B ．C 所对的边分别为a 、m =(2s i B n , n =3⎛
⎝
cos 2B ,2cos 2B ⎫2-1⎪⎭, 且m //n ｡
(I)求锐角B 的大小;
(II)如果b =2, 求∆ABC 的面积S ∆ABC 的最大值｡
7 ．在∆ABC 中, 角A ． B ．C 所对的边分别是a , b , c , 且a 2
+c 2
-b 2
=
1
2
ac . (1)求sin
2
A +C
2
+cos 2B 的值; (2)若b =2,求△ABC 面积的最大值.
1
b 、c , 向
量
+θ)
8 ．已知tan α=a , (a >1) , 求⋅tan 2θ的值｡ sin(-θ)
2
3π⎫⎛
sin (5π-α)⋅cos α+⎪⋅cos (π+α)2⎝⎭9 ．已知f (α)=
3π⎫π⎫⎛⎛
sin α-⎪⋅cos α+⎪⋅tan (α-3π)22⎭⎝⎭⎝
(I)化简f
π
(α)
⎛3π⎫1
-α⎪=, 求f (α)的值｡ ⎝2⎭5
(II)若α是第三象限角, 且cos
10．已知函数f(x)=sinx+
2
3sinxcosx+2cos2x,x ∈R.
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调增区间;
(2)函数f(x)的图象可以由函数y=sin2x(x∈R) 的图象经过怎样的变换得到?
⎛33⎫πx πx
⎪, =(sin, cos ) , f (x ) =⋅｡ , -11．已知= 2442⎪⎝⎭
(1)求f (x ) 的单调递减区间｡
(2)若函数y =g (x ) 与y =f (x ) 关于直线x =1对称, 求当x ∈[0, ]时, y =g (x ) 的最大值｡
12．已知cos α=-2sin α, 求下列各式的值;
4
3
(1)
2sin α-cos α
;
sin α+3cos α
2
(2)sin α+2sin αcos α
13．设向量a =(sinx ,cos x ), b =(cosx ,cos x ), x ∈R , 函数f (x ) =a ⋅(a +b )
(I)求函数f (x ) 的最大值与最小正周期; (II)求使不等式f (x ) ≥
14．已知向量3
成立的x 的取值集合｡ 2
=(cosα-
π2
, -1) , =(sinα, 1) , 与为共线向量, 且α∈[-, 0]23
(Ⅰ) 求sin α+cos α的值; (Ⅱ) 求
sin 2α
的值. ｡sin α-cos α
15．如图,A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平面内,B,D 为两岛上的两座
2
灯塔的塔顶｡测量船于水面A 处测得B 点和D 点的仰角分别为75, 30, 于水面C 处测得B 点和D 点的仰角均为60,AC=0.1km｡试探究图中B,D 间距离与另外哪两点距离相等, 然后求B,D 的距离(计算结果精确到
≈
≈2.449)
16．已知函数f (x ) =A sin(ωx +ϕ), x ∈R (其中A >0, ω>0,0
00
π
2
) 的图象与x 轴的交点中, 相邻两个
交点之间的距离为
π2π
, -2) . , 且图象上一个最低点为M (32
ππ
(Ⅰ) 求f (x ) 的解析式;(Ⅱ) 当x ∈[, ], 求f (x ) 的值域.
122
AB =50m , BC =120m , 于A 处测得水深AD =80m , 于B 处测得水深BE =200m , 于C 处测得水深
17．如图, 为了解某海域海底构造, 在海平面内一条直线上的A,B,C 三点进行测量, 已知
CF =110m , 求∠DEF 的余弦值｡
18．已知sin θ+cos θ=
1π
，θ∈(, π) ， 52
3344
求（1）sin θ-cos θ（2）sin θ-cos θ（3）sin θ+cos θ
19．已知函数y =A sin(ωx +ϕ) （A >0， ω>0，|ϕ|
如图所示，
（1）求函数的解析式；
（2）求这个函数的单调递增区间。
20．已知∆ABC 的内角A ． B ．C 所对边分别为a 、b 、c ，设向量
m =(1-cos(A +B ), cos
5A -B 9n =(, cos ) ，且m ⋅n =.
828（Ⅰ）求tan A ⋅tan B 的值；
ab sin C
（Ⅱ）求2的最大值. 22
a +b -c
21．已知函数f (x ) =(1-tan x )[1+
A -B
) ， 2
2sin(2x +
π
4
)]，求：
（1）函数f (x ) 的定义域和值域； （2）写出函数f (x ) 的单调递增区间。
3
22．如图为一个观览车示意图．该观览车圆半径为4.8m ，圆上最低点与地面距
离为0.8m ，60秒转动一圈．途中OA 与地面垂直．以OA 为始边，逆时针转动θ角到OB ．设B 点与地面距离为h ． （1）求h 与θ的函数解析式；
（2）设从OA 开始转动，经过80秒到达OB ，求h .
23．设函数
f (x ) =a ⋅b , 其中向量a =(2cos x , 1), b =(cosx , 3sin 2x +m ).
（1）求函数f (x ) 的最小正周期和在[0, π]上的单调递增区间； （2）当x ∈[0,
π
6
]时, -4
24．
已知函数
⎛π⎫⎡ππ⎤f (x ) =2sin 2 +x ⎪-2x ，x ∈⎢⎥．
⎝4⎭⎣42⎦
（1）求f (x ) 的最大值和最小值；
（2）f (x ) -m
42
25．在锐角△ABC 中, 角A ． B ．C 的对边分别为a 、b 、c, 已知(b
2
⎡ππ⎤⎣⎦
+c 2-a 2) tan A =3bc .
(I)求角A;
(II)若a=2,求△ABC 面积S 的最大值｡ 26．甲船由A 岛出发向北偏东45°的方向作匀速直线航行, 速度为
152浬/小时, 在甲船从A 岛出发的同时, 乙船从A 岛正南40浬处的B 岛出发, 朝北偏东θ(θ=arctg 1) 的方向作匀速直线航
2
行, 速度为10
5浬/小时.(如图所示)
(Ⅰ) 求出发后3小时两船相距多少浬?
(Ⅱ) 求两船出发后多长时间相距最近? 最近距离为多少浬?
27．在锐角∆ABC 中，已知内角A ． B ．C 所对的边分别为a 、b 、
c ，且(tanA－tanB) ＝1＋tanA·tan B．
(1)若a 2－ab ＝c 2－b 2，求A ． B ．C 的大小；
(2)已知向量m ＝(sinA，cosA) ，n ＝(cosB，sinB) ，求｜3m －2n ｜的取值范围．
28．如图，某住宅小区的平面图呈扇形AO C．小区的两个出入口设置在点A
及点C 处，小区里有两条笔直的小路AD ，DC ，且拐弯处的转角为
120．已知某人从C 沿CD 走到D 用了10分钟，从D 沿DA 走到A 用
了6分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA
的长
4
（精确到1米）．
29．已知角α的顶点在原点, 始边与x 轴的正半轴重合,
终边经过点P (-.
(1)求tan α的值; (2)定义行列式运算
a b sin α
=ad -bc , 求行列式
1c d tan α
的值; cos α
(3)若函数f (x ) =求函数y =(
cos(x +α) -sin α
(x ∈R ),
sin(x +α) cos α
π
2
-2x ) +2f 2(x ) 的最大值, 并指出取到最大值时x 的值
30．已知函数f (x ) =(sinx +cos x ) 2+cos2x .
⎡π⎤
(Ⅰ) 求函数f (x )的最小正周期;(Ⅱ) 当x ∈⎢0, ⎥时, 求函数f (x )的最大值, 并写出x 相应的取值.
⎣2⎦
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