2015高考函数大题汇编
1. 设函数f (x ) =x 2-ax +b .
（1）讨论函数f (sinx ) 在(-ππ) 内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值； 22
（2）记f 0(x ) =x 2-a 0x +b 0, 求函数f (sinx ) -f 0(sinx ) 在[-
（3）在（2）中，取a 0=b 0=0, 求z =b -
2. 已知函数f (x )=ln
ππ, ]上的最大值D ； 221+x ． 1-x a 2满足D ≤1时的最大值。4 （Ⅰ）求曲线y =f (x )在点(0，f (0))处的切线方程；
⎛x 3⎫1)时，f (x )>2 x +⎪； （Ⅱ）求证：当x ∈(0，3⎭⎝
⎛x 3⎫1)恒成立，求k 的最大值． （Ⅲ）设实数k 使得f (x )>k x +⎪对x ∈(0，3⎝⎭
3. 已知函数f(x ) =ln(1+x ) ，g （x ）=kx（k ∈R ）
(1)证明：当x >0时，f(x )
(2)证明：当k 0, 使得对任意的x ∈（0，t ）恒有f(x ) >g (x ) ；
(3)确定k 的所以可能取值，使得存在t >0，对任意的x ∈（0，t ），恒有|f(x ) -g (x ) |
4. 设a>1，函数f (x ) =(1+x 2) e x -a 。
(1) 求f (x ) 的单调区间 ；
(2) 证明：f (x ) 在（-∞，+∞）上仅有一个零点；
(3) 若曲线y =f (x ) 在点P 处的切线与x 轴平行，且在点M (m , n ) 处的切线与直线OP 平行（O 是坐标原点）, 证明：m ≤3a -2-1 e
25. 设函数f (x ) =ln(x +1) +a (x -x ) ，其中a ∈R 。
（Ⅰ）讨论函数f (x ) 极值点的个数，并说明理由；
（Ⅱ）若∀x >0, f (x ) ≥0成立，求a 的取值范围。
6. 对于定义域为R 的函数g (x )，若存在正常数T，使得cos g (x )是以T为周期的函数，则称g (x )为余弦周期函数，且称T为其余弦周期. 已知f (x )是以T为余弦周期的余弦周期函数，其值域为R . 设f (x )单调递增，f (0)=0，f (T)=4π.
（1）验证h (x )=x +sin x 是以6π为余弦周期的余弦周期函数； 3
（2）设a
（3）证明：“u 0为方程cos f (x )=1在[0, T]上得解”的充要条件是“u 0+T为方程
，并证明对任意x ∈[0, T]都有cos f (x )=1在[T,2T]上有解”
f (x +T)=f (x )+f (T).
7. 已知函数f (x ) =-2(x +a )ln x +x 2-2ax -2a 2+a ，其中a >0，
（Ⅰ）设g (x ) 是f (x ) 的导函数，讨论函数g (x ) 的单调性
（Ⅱ）证明：存在a ∈(0,1)使得f (x ) ≥0在区间(1,+∞) 内恒成立，且f (x ) =0在区间(1,+∞)
内有唯一解
8. 已知函数f (x ) =nx -x n , x ∈R ，其中n ∈N *, n ≥2.
（Ⅰ）讨论f (x ) 的单调性；
（Ⅱ）设曲线y =f (x ) 与x 轴正半轴的交点为P ，曲线在点P 处的切线方程为y =g (x ) , 求证：对于任意的正实数x ，都有f (x ) ≤g (x ) ；
（Ⅲ）若关于x 的方程f (x ) =a (a 为实数) 有两个正实根x 1，x 2，求证： |x 2-x 1|
9. 设函数f (x ) =e mx +x 2-mx 。
（1）证明：f (x ) 在(-∞,0) 单调递减，在(0,+∞) 单调递增；
（2）若对于任意x 1, x 2∈[-1,1]，都有|f (x 1) -f (x 2) |≤e -1，求m 的取值范围。
210. 已知函数f (x ) =x +ax +b (a , b ∈R ) ，记M (a , b ) 是|f (x ) |在区间[-1,1]上的最大值。 a +2. 1-n
（Ⅰ）证明：当|a |≥2时，M (a , b ) ≥2；
（Ⅱ）当a , b 满足M (a , b ) ≤2，求|a |+|b |的最大值.
3x 2+ax 11. 设函数f (x )=(a ∈R ) x e
（Ⅰ）若f (x ) 在x =0处取得极值，确定a 的值，并求此时曲线y =f (x ) 在点(1,f (1))处的
切线方程；
（Ⅱ）若f (x )在[3, +∞)上为减函数，求a 的取值范围。
12. 已知函数f (x ) =x 3+ax 2+b (a , b ∈R ) 。
（1）试讨论f (x ) 的单调性；
（2）若b =c -a （实数c 是与a 无关的常数），当函数f (x ) 有三个不同的零点时，a 的取值范围恰好是(-∞, -3) (1, ) (, +∞) ，求c 的值。
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2015高考函数大题汇编
1. 设函数f (x ) =x 2-ax +b .
（1）讨论函数f (sinx ) 在(-ππ) 内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值； 22
（2）记f 0(x ) =x 2-a 0x +b 0, 求函数f (sinx ) -f 0(sinx ) 在[-
（3）在（2）中，取a 0=b 0=0, 求z =b -
2. 已知函数f (x )=ln
ππ, ]上的最大值D ； 221+x ． 1-x a 2满足D ≤1时的最大值。4 （Ⅰ）求曲线y =f (x )在点(0，f (0))处的切线方程；
⎛x 3⎫1)时，f (x )>2 x +⎪； （Ⅱ）求证：当x ∈(0，3⎭⎝
⎛x 3⎫1)恒成立，求k 的最大值． （Ⅲ）设实数k 使得f (x )>k x +⎪对x ∈(0，3⎝⎭
3. 已知函数f(x ) =ln(1+x ) ，g （x ）=kx（k ∈R ）
(1)证明：当x >0时，f(x )
(2)证明：当k 0, 使得对任意的x ∈（0，t ）恒有f(x ) >g (x ) ；
(3)确定k 的所以可能取值，使得存在t >0，对任意的x ∈（0，t ），恒有|f(x ) -g (x ) |
4. 设a>1，函数f (x ) =(1+x 2) e x -a 。
(1) 求f (x ) 的单调区间 ；
(2) 证明：f (x ) 在（-∞，+∞）上仅有一个零点；
(3) 若曲线y =f (x ) 在点P 处的切线与x 轴平行，且在点M (m , n ) 处的切线与直线OP 平行（O 是坐标原点）, 证明：m ≤3a -2-1 e
25. 设函数f (x ) =ln(x +1) +a (x -x ) ，其中a ∈R 。
（Ⅰ）讨论函数f (x ) 极值点的个数，并说明理由；
（Ⅱ）若∀x >0, f (x ) ≥0成立，求a 的取值范围。
6. 对于定义域为R 的函数g (x )，若存在正常数T，使得cos g (x )是以T为周期的函数，则称g (x )为余弦周期函数，且称T为其余弦周期. 已知f (x )是以T为余弦周期的余弦周期函数，其值域为R . 设f (x )单调递增，f (0)=0，f (T)=4π.
（1）验证h (x )=x +sin x 是以6π为余弦周期的余弦周期函数； 3
（2）设a
（3）证明：“u 0为方程cos f (x )=1在[0, T]上得解”的充要条件是“u 0+T为方程
，并证明对任意x ∈[0, T]都有cos f (x )=1在[T,2T]上有解”
f (x +T)=f (x )+f (T).
7. 已知函数f (x ) =-2(x +a )ln x +x 2-2ax -2a 2+a ，其中a >0，
（Ⅰ）设g (x ) 是f (x ) 的导函数，讨论函数g (x ) 的单调性
（Ⅱ）证明：存在a ∈(0,1)使得f (x ) ≥0在区间(1,+∞) 内恒成立，且f (x ) =0在区间(1,+∞)
内有唯一解
8. 已知函数f (x ) =nx -x n , x ∈R ，其中n ∈N *, n ≥2.
（Ⅰ）讨论f (x ) 的单调性；
（Ⅱ）设曲线y =f (x ) 与x 轴正半轴的交点为P ，曲线在点P 处的切线方程为y =g (x ) , 求证：对于任意的正实数x ，都有f (x ) ≤g (x ) ；
（Ⅲ）若关于x 的方程f (x ) =a (a 为实数) 有两个正实根x 1，x 2，求证： |x 2-x 1|
9. 设函数f (x ) =e mx +x 2-mx 。
（1）证明：f (x ) 在(-∞,0) 单调递减，在(0,+∞) 单调递增；
（2）若对于任意x 1, x 2∈[-1,1]，都有|f (x 1) -f (x 2) |≤e -1，求m 的取值范围。
210. 已知函数f (x ) =x +ax +b (a , b ∈R ) ，记M (a , b ) 是|f (x ) |在区间[-1,1]上的最大值。 a +2. 1-n
（Ⅰ）证明：当|a |≥2时，M (a , b ) ≥2；
（Ⅱ）当a , b 满足M (a , b ) ≤2，求|a |+|b |的最大值.
3x 2+ax 11. 设函数f (x )=(a ∈R ) x e
（Ⅰ）若f (x ) 在x =0处取得极值，确定a 的值，并求此时曲线y =f (x ) 在点(1,f (1))处的
切线方程；
（Ⅱ）若f (x )在[3, +∞)上为减函数，求a 的取值范围。
12. 已知函数f (x ) =x 3+ax 2+b (a , b ∈R ) 。
（1）试讨论f (x ) 的单调性；
（2）若b =c -a （实数c 是与a 无关的常数），当函数f (x ) 有三个不同的零点时，a 的取值范围恰好是(-∞, -3) (1, ) (, +∞) ，求c 的值。
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