线面、面面平行和垂直的八大定理
一、线面平行。
1、判定定理：平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么这条直线与这个平
a ⊄β⎫⎪b ⊂β⎬⇒a //β
面平行。符合表示： a //b ⎪ ⎭
2、性质定理：如果一条直线与平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。 符号表示：
⎫⎪a //α⎪⎬⇒a //b a ⊂β⎪
α β=b ⎪⎭a ⊄α
二、面面平行。
1、判定定理：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。
n //b ⎫⎪m //a ⎪⎪a b =M ⎬⇒α//β
m n =N ⎪⎪⎪ 符号表示： ⎭
2、性质定理：如果两个平面平行同时与第三个平面相交，那它们的交线平行。
α//β⎫⎪ 符号表示： α γ=l ⎬⇒l //d （更加实用的性质：一个平
β γ=d ⎪⎭
面内的任一直线平行另一平面）
三、线面垂直。
1、判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直
⎫⎪a ⊥c ⎪⎪a ⊥b ⎪线垂直这个平面。 符号表示： ⎬⇒a ⊥α b c =M ⎪⎪⎪⎪⎭
＄：三垂线定理：（经常考到这种逻辑）在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
符号表示：
a ⊂α ⎫⎪oA ⊂α⎪ ⎬⇒a ⊥PA po ⊥α⎪
a ⊥oA =A ⎪⎭
2、性质定理：垂直同一平面的两条直线互相平行。（更加实用的性质是：一个平面的垂线垂直于该平面内任一直线。）
四、面面垂直。
1、判定定理：经过一个平面的垂线的平面与该平面垂直。
a ⊥β, a ⊂α⇒α⊥β
2、性质定理：已知两个平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。α⊥β，α⋂β=b , a ⊂α, a ⊥b ⇒a ⊥β
线面、面面平行和垂直的八大定理
一、线面平行。
1、判定定理：平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么这条直线与这个平
a ⊄β⎫⎪b ⊂β⎬⇒a //β
面平行。符合表示： a //b ⎪ ⎭
2、性质定理：如果一条直线与平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。 符号表示：
⎫⎪a //α⎪⎬⇒a //b a ⊂β⎪
α β=b ⎪⎭a ⊄α
二、面面平行。
1、判定定理：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。
n //b ⎫⎪m //a ⎪⎪a b =M ⎬⇒α//β
m n =N ⎪⎪⎪ 符号表示： ⎭
2、性质定理：如果两个平面平行同时与第三个平面相交，那它们的交线平行。
α//β⎫⎪ 符号表示： α γ=l ⎬⇒l //d （更加实用的性质：一个平
β γ=d ⎪⎭
面内的任一直线平行另一平面）
三、线面垂直。
1、判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直
⎫⎪a ⊥c ⎪⎪a ⊥b ⎪线垂直这个平面。 符号表示： ⎬⇒a ⊥α b c =M ⎪⎪⎪⎪⎭
＄：三垂线定理：（经常考到这种逻辑）在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
符号表示：
a ⊂α ⎫⎪oA ⊂α⎪ ⎬⇒a ⊥PA po ⊥α⎪
a ⊥oA =A ⎪⎭
2、性质定理：垂直同一平面的两条直线互相平行。（更加实用的性质是：一个平面的垂线垂直于该平面内任一直线。）
四、面面垂直。
1、判定定理：经过一个平面的垂线的平面与该平面垂直。
a ⊥β, a ⊂α⇒α⊥β
2、性质定理：已知两个平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。α⊥β，α⋂β=b , a ⊂α, a ⊥b ⇒a ⊥β