复合函数单调性的求法与含参数问题
若y =f (u ) ，又u =g (x ) ，且g (x ) 值域与f (u ) 定义域的交集不空，
u =g (x ) 叫则函数y =f [g (x )]叫x 的复合函数，其中y =f (u ) 叫外层函数，
内层函数，简而言之，所谓复合函数就是由一些初等函数复合而成的函数。
对于有关复合函数定义域问题我们可以分成以下几种常见题型：
（一）求复合函数表达式
例１、（1）设 f(x)=2x-3 g(x)=x2+2 求f[g(x)]（或g[f(x)]）。
（2）已知：f(x)=x2-x+3 求：f() f(x+1)
（二）求复合函数相关定义域
一、已知f (x ) 的定义域，求复合函数f [g (x )]的定义域
由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：若f (x ) 的定义域为x ∈(a , b )，求出f [g (x )]中a
例1 已知f (x ) 的定义域为(0，3]，求f (x 2+2x ) 定义域。
解 因为复合函数中内层函数值域必须包含于外层函数定义域中，即
2⎧⎧x 0⎪x +2x >0⇔⎨ 0
即-3≤x
故f (x 2+2x ) 的定义域为[-3, -2) (0, 1]
【评注】所谓定义域是指函数中自变量x 的取值范围，因此我们
可以直接将复合函数中x 2+2x 看成一个整体x ，即由0
（2006年湖北卷）设f (x )=lg 2+x ⎛x ⎫⎛2⎫，则f ⎪+f ⎪的定义域2-x ⎝2⎭⎝x ⎭
为 （B ）
A. (-4, 0) (0, 4) B. (-4, -1) (1, 4)
C. (-2, -1) (1, 2) D. (-4, -2) (2, 4)
二、已知复合函数f [g (x )]的定义域，求f (x ) 的定义域
方法是：若f [g (x )]的定义域为x ∈(a , b )，则由a
范围即为f (x ) 的定义域。
例2 若函数f (3-2x )的定义域为[-1, 2]，求函数f (x )的定义域
解 -1≤x ≤2， ∴-1≤3-2x ≤5，
故函数f (x )的定义域为[-1, 5]
【评注】由f (3-2x )的定义域为[-1, 2]得-1≤x ≤2，有的同学会误
将此x 的范围当作f (x )的定义域，为了更易分清此x 非彼x ，我们可将
3-2x 令成一个整体t ，即t =3-2x ，先解出f (t )的定义域，即为f (x )的
定义域。
三、已知复合函数f [g (x )]的定义域，求f [h (x )]的定义域
结合以上一、二两类定义域的求法，我们可以得到此类解法为：
可先由f [g (x )]定义域求得f (x )的定义域，再由f (x )的定义域求得
f [h (x )]的定义域。
例3 已知f (x +1) 的定义域为[-2，3) ，求f (x -2)的定义域。
解 由f (x +1) 的定义域为[-2，3) 得-2≤x
4) ，从而得到-1≤x -2
故得函数f (x -2)的定义域为[1, 6)
四、已知f (x )的定义域，求四则运算型函数的定义域
若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为
各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集。
例4 已知函数f (x )定义域为是[a , b ]，且a +b >0
求函数h (x )=f (x +m )+f (x -m )(m >0)的定义域
⎧a ≤x +m ≤b ⎧a -m ≤x ≤b -m 解 ⎨， m >0, ∴a -m
b -m
要使函数h (x )的定义域为非空集合，必须且只需a +m ≤b -m ，即
0
【评注】由于所得不等式组中两个不等式的四个“端点”都含有
字母，所以既要分别判断它们左、右端点值的大小，还要交叉判断第
一个不等式的左端点与第二个不等式的右端点和第一个不等式的右
端点与第二个不等式的左端点的大小，需要特别指出的是，函数的定
义域不能是空集。
（三）复合函数的单调性
(1)求复合函数定义域；
(2)将复合函数分解为若干个常见函数(一次、二次、幂、指、对函数) ；
(3)判断每个常见函数的单调性；
(4)将中间变量的取值范围转化为自变量的取值范围；
(5)求出复合函数的单调性。
一、外函数与内函数只有一种单调性的复合型：
例1已知函数y=loga (2-ax)在[0,1]上是x 的减函数，则a 的取
值范围是( )
(A).(0,1) (B).(1,2) (C).(0,2) (D).[2，+≦)
解：设y= loga u ，u=2-ax，≧a 是底数，所以a>0，
≧ 函数y=loga u在u ∈[0,1]上是减函数，而u=2-ax在区
间x ∈[0,1]上是减函数，
≨ y= loga u 是u ∈(0, +≦) 上的增函数，故a>1，还要使
2-ax>0在区间上总成立，
g(0)=2-a〃0>0令g(x)= 2-ax，由{ ，解得a
故选(B).
二、外函数只有一种单调性，而内函数有两种单调性的复合型：
例2函数y=log0.5(x2+4x+4)在什么区间上是增函数？
解：令y= log 0.5u ，u= x 2+4x+4，由x 2+4x+4>0知函数的定义域为
x ≠0，
因y= log0.5u 在u ∈(0,+≦) 上是减函数，而u= x2+4x+4在x
∈(-≦，-2) 上是减函数，
在(-2，+ ≦) 上是增函数，根据复合规律知，
函数y=log0.5(x2+4x+4) 在x ∈(-≦，-2) 上是增函数.
例3. 讨论函数y=0.8x2-4x+3的单调性。
解：函数定义域为R 。
令u=x2-4x+3，y=0.8u 。
指数函数y=0.8u 在(-≦，+≦) 上是减函数，
u=x2-4x+3在(-≦，2]上是减函数，在[2，+≦) 上是增函数，
≨ 函数y=0.8x2-4x+3在(-≦，2]上是增函数，在[2，+≦) 上是减
函数。
这里没有第四步，因为中间变量允许的取值范围是R ，无需转
化为自变量的取值范围。
三、外函数有两种单调性，而内涵数只有一种单调性的复合型：
π例4 在下列各区间中，函数y=sin(x+) 的单调递增区间是4
( )
ππππ(A).[，π] (B).[0(C).[-π，0] (D). 2442
πππ解：令y=sinu，u=x+≧y=sinu在u ∈[2kπ- ，2k π+ 422
∈Z) 上单调递增，
π3ππ在u ∈[2kπ+ ，2k π+ ](k∈Z) 上单调递增，而u=x+224
在R 上是增函数，
πππ根据函数单调性的复合规律，由2k π- x+≤2k π+ 242
得
3ππ3ππ2k π- ≤x ≤2k π+，当k=0时，- x ≤，而[0，4444
π3ππ]∈[- ，] 444
故选(B) .
例5. 讨论函数y=(log2x) 2+log2x 的单调性。
解：显然函数定义域为(0，+≦) 。
令 u=log2x ，y=u2+u
≧ u=log2x 在(0，+≦) 上是增函数，
y=u2+u在(-≦，-]上是减函数，在[-，+≦) 上是增函数(注
意(-≦，-]及[-，+≦) 是u 的取值范围)
112，(u≥-
log 2x ≥- 222
222x ≥ 所以y=(log2x) 2+log2x 在(0]上是减函数，在[，[1**********]因为u ≤-1
2log 2x ≤-，0＜x ≤12
+≦) 上是增函数。
四、外函数与内函数都有两种单调性的复合型：
例6、(89〃全国〃理) 已知函数f(x)=8+2x-x2，如果g(x)=f(2-x2) ，
那么g(x) ( )
(A).在区间(-1，0) 上是减函数； (B).在区间(0， 1)上是
减函数；
(C).在区间(-2，0) 上是增函数； (D).在区间(0， 2)上是
增函数.
解：令g(x)=f(u)=-(u-1) 2+9，u=2-x2，则
(1) g(x) =-(u-1) 2+9在u ∈(-≦，1]上是增函数，与u=2-x2
具有相同的增减性，
由2-x 2≤1得 x≤-1或x ≥1，而u 在x ∈(-≦，-1]上是
增函数，
u 在x ∈[1,+≦)上是减函数，
≨g(x)在区间(-≦，-1]上是增函数, 在区间[1，+≦)上
是减函数.
(2) g(x) =-(u-1) 2+9在u ∈[1,+≦)上是减函数，与u=2-x2
具有相反的增减性，
由2-x 2≥1得 -1≤x ≤1，而u=2-x2在x ∈ [-1,0] 上是
增函数，
在x ∈(0， 1)上是减函数，
≨g(x) =-(u-1) 2+9在区间[-1，0]上是减函数, 在区间
(0，1) 上是增函数.
故选(A)
（四）利用复合函数求参数取值范围
求参数的取值范围是一类重要问题，解题关键是建立关于这个参
数的不等式组，必须
将已知的所有条件加以转化。
2例1. 已知函数f(x)=(x-ax+3a)在区间[2，+≦) 上是减函数，
则实数a 的取值范
围是_______。
分析如下：
2 令u=x-ax+3a，y=u ． 因为y=u 在(0，+≦) 上是减函数
≨ f(x)=(x2-ax+3a)在[2，+≦) 上是减函数
u=x2-ax+3a在[2，+≦) 上是增函数，且对任意x ∈[2，+≦) ，
都有u ＞0。
对称轴x=在2的左侧或过(2，0) 点，且u(2)＞0。
-4＜a ≤4
例2. 若f(x)=loga (3-ax)在[0，1]上是减函数，则a 的取值范围
是_______。
令u=-ax+3＞0，y=loga u ，由于a 作对数的底数，所以a ＞0且a
≠1，由u=-ax+3＞0
得x ＜。
在[0，1]上，且u 是减函数。 ≨ f(x)=loga (3-ax)在[0，1]上
是减函数。
y=loga u 是增函数，且[0，1](-≦，] 3a
1＜a ＜3 ． 所以a 的取值范围是(1，3) 。
复合函数习题
1．函数lg[f(x)∙g(x)]的定义域为M ，lgf(x)的定义域为N ，lgg(x)
的定义域为P ，则M 、N 、P 间的关系是 （ A ）
A 、M ⊇（N ⋂P ） B、M ⊇N ⊇P C、M=（N ⋂P ） D、M ⊇（N ⋃P ）
2．若g(x)是奇函数，且F(x)=ag(x)+bx3+5在（0，+∞）内有最大值
12，则F(x)在（—∞，0）内有 （ D ）
A 、最小值—12 B、最大值12 C、最小值—2 D、最小值—2
３．求下列复合函数的单调区间.
（1）y=log3(x2－2x);(答：(－≦，0) 是单调减区间，(2，+≦) 是单
调增区间.)
（2）y=log 1(x2－3x+2)；(答：(－≦，1) 是单调增区间，(2，+≦)
2
是单调减区间.)
（3）y=-x 2+5x -6,(答：［2，5是单调增区间，］［5，3］是单调22减区间.)
（4）y=
区间之间不可以取并集.) （5）y=23-x ;(答(－≦，0) 为单调增区间，(0，+≦) 为单调减区间)
４． 若y = f ( x ) 的定义域是[0，1]，则 f ( x + a ) + f (2 x
+ a) (0
a 1-a a 1-a A ．[-，] B．[-，1-a] C．[-a ，1-a] D．[-a ，]2222
５．关于x 的函数y =log 1(-ax +a 2+2a ) 在［1，+≦) 上为减函数，则实
2
数a 的取值范围是 ( D ）
A ．（－≦,0）B ．(－1,0) C．(0,2] D．(－≦, －1)
复合函数单调性的求法与含参数问题
若y =f (u ) ，又u =g (x ) ，且g (x ) 值域与f (u ) 定义域的交集不空，
u =g (x ) 叫则函数y =f [g (x )]叫x 的复合函数，其中y =f (u ) 叫外层函数，
内层函数，简而言之，所谓复合函数就是由一些初等函数复合而成的函数。
对于有关复合函数定义域问题我们可以分成以下几种常见题型：
（一）求复合函数表达式
例１、（1）设 f(x)=2x-3 g(x)=x2+2 求f[g(x)]（或g[f(x)]）。
（2）已知：f(x)=x2-x+3 求：f() f(x+1)
（二）求复合函数相关定义域
一、已知f (x ) 的定义域，求复合函数f [g (x )]的定义域
由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：若f (x ) 的定义域为x ∈(a , b )，求出f [g (x )]中a
例1 已知f (x ) 的定义域为(0，3]，求f (x 2+2x ) 定义域。
解 因为复合函数中内层函数值域必须包含于外层函数定义域中，即
2⎧⎧x 0⎪x +2x >0⇔⎨ 0
即-3≤x
故f (x 2+2x ) 的定义域为[-3, -2) (0, 1]
【评注】所谓定义域是指函数中自变量x 的取值范围，因此我们
可以直接将复合函数中x 2+2x 看成一个整体x ，即由0
（2006年湖北卷）设f (x )=lg 2+x ⎛x ⎫⎛2⎫，则f ⎪+f ⎪的定义域2-x ⎝2⎭⎝x ⎭
为 （B ）
A. (-4, 0) (0, 4) B. (-4, -1) (1, 4)
C. (-2, -1) (1, 2) D. (-4, -2) (2, 4)
二、已知复合函数f [g (x )]的定义域，求f (x ) 的定义域
方法是：若f [g (x )]的定义域为x ∈(a , b )，则由a
范围即为f (x ) 的定义域。
例2 若函数f (3-2x )的定义域为[-1, 2]，求函数f (x )的定义域
解 -1≤x ≤2， ∴-1≤3-2x ≤5，
故函数f (x )的定义域为[-1, 5]
【评注】由f (3-2x )的定义域为[-1, 2]得-1≤x ≤2，有的同学会误
将此x 的范围当作f (x )的定义域，为了更易分清此x 非彼x ，我们可将
3-2x 令成一个整体t ，即t =3-2x ，先解出f (t )的定义域，即为f (x )的
定义域。
三、已知复合函数f [g (x )]的定义域，求f [h (x )]的定义域
结合以上一、二两类定义域的求法，我们可以得到此类解法为：
可先由f [g (x )]定义域求得f (x )的定义域，再由f (x )的定义域求得
f [h (x )]的定义域。
例3 已知f (x +1) 的定义域为[-2，3) ，求f (x -2)的定义域。
解 由f (x +1) 的定义域为[-2，3) 得-2≤x
4) ，从而得到-1≤x -2
故得函数f (x -2)的定义域为[1, 6)
四、已知f (x )的定义域，求四则运算型函数的定义域
若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为
各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集。
例4 已知函数f (x )定义域为是[a , b ]，且a +b >0
求函数h (x )=f (x +m )+f (x -m )(m >0)的定义域
⎧a ≤x +m ≤b ⎧a -m ≤x ≤b -m 解 ⎨， m >0, ∴a -m
b -m
要使函数h (x )的定义域为非空集合，必须且只需a +m ≤b -m ，即
0
【评注】由于所得不等式组中两个不等式的四个“端点”都含有
字母，所以既要分别判断它们左、右端点值的大小，还要交叉判断第
一个不等式的左端点与第二个不等式的右端点和第一个不等式的右
端点与第二个不等式的左端点的大小，需要特别指出的是，函数的定
义域不能是空集。
（三）复合函数的单调性
(1)求复合函数定义域；
(2)将复合函数分解为若干个常见函数(一次、二次、幂、指、对函数) ；
(3)判断每个常见函数的单调性；
(4)将中间变量的取值范围转化为自变量的取值范围；
(5)求出复合函数的单调性。
一、外函数与内函数只有一种单调性的复合型：
例1已知函数y=loga (2-ax)在[0,1]上是x 的减函数，则a 的取
值范围是( )
(A).(0,1) (B).(1,2) (C).(0,2) (D).[2，+≦)
解：设y= loga u ，u=2-ax，≧a 是底数，所以a>0，
≧ 函数y=loga u在u ∈[0,1]上是减函数，而u=2-ax在区
间x ∈[0,1]上是减函数，
≨ y= loga u 是u ∈(0, +≦) 上的增函数，故a>1，还要使
2-ax>0在区间上总成立，
g(0)=2-a〃0>0令g(x)= 2-ax，由{ ，解得a
故选(B).
二、外函数只有一种单调性，而内函数有两种单调性的复合型：
例2函数y=log0.5(x2+4x+4)在什么区间上是增函数？
解：令y= log 0.5u ，u= x 2+4x+4，由x 2+4x+4>0知函数的定义域为
x ≠0，
因y= log0.5u 在u ∈(0,+≦) 上是减函数，而u= x2+4x+4在x
∈(-≦，-2) 上是减函数，
在(-2，+ ≦) 上是增函数，根据复合规律知，
函数y=log0.5(x2+4x+4) 在x ∈(-≦，-2) 上是增函数.
例3. 讨论函数y=0.8x2-4x+3的单调性。
解：函数定义域为R 。
令u=x2-4x+3，y=0.8u 。
指数函数y=0.8u 在(-≦，+≦) 上是减函数，
u=x2-4x+3在(-≦，2]上是减函数，在[2，+≦) 上是增函数，
≨ 函数y=0.8x2-4x+3在(-≦，2]上是增函数，在[2，+≦) 上是减
函数。
这里没有第四步，因为中间变量允许的取值范围是R ，无需转
化为自变量的取值范围。
三、外函数有两种单调性，而内涵数只有一种单调性的复合型：
π例4 在下列各区间中，函数y=sin(x+) 的单调递增区间是4
( )
ππππ(A).[，π] (B).[0(C).[-π，0] (D). 2442
πππ解：令y=sinu，u=x+≧y=sinu在u ∈[2kπ- ，2k π+ 422
∈Z) 上单调递增，
π3ππ在u ∈[2kπ+ ，2k π+ ](k∈Z) 上单调递增，而u=x+224
在R 上是增函数，
πππ根据函数单调性的复合规律，由2k π- x+≤2k π+ 242
得
3ππ3ππ2k π- ≤x ≤2k π+，当k=0时，- x ≤，而[0，4444
π3ππ]∈[- ，] 444
故选(B) .
例5. 讨论函数y=(log2x) 2+log2x 的单调性。
解：显然函数定义域为(0，+≦) 。
令 u=log2x ，y=u2+u
≧ u=log2x 在(0，+≦) 上是增函数，
y=u2+u在(-≦，-]上是减函数，在[-，+≦) 上是增函数(注
意(-≦，-]及[-，+≦) 是u 的取值范围)
112，(u≥-
log 2x ≥- 222
222x ≥ 所以y=(log2x) 2+log2x 在(0]上是减函数，在[，[1**********]因为u ≤-1
2log 2x ≤-，0＜x ≤12
+≦) 上是增函数。
四、外函数与内函数都有两种单调性的复合型：
例6、(89〃全国〃理) 已知函数f(x)=8+2x-x2，如果g(x)=f(2-x2) ，
那么g(x) ( )
(A).在区间(-1，0) 上是减函数； (B).在区间(0， 1)上是
减函数；
(C).在区间(-2，0) 上是增函数； (D).在区间(0， 2)上是
增函数.
解：令g(x)=f(u)=-(u-1) 2+9，u=2-x2，则
(1) g(x) =-(u-1) 2+9在u ∈(-≦，1]上是增函数，与u=2-x2
具有相同的增减性，
由2-x 2≤1得 x≤-1或x ≥1，而u 在x ∈(-≦，-1]上是
增函数，
u 在x ∈[1,+≦)上是减函数，
≨g(x)在区间(-≦，-1]上是增函数, 在区间[1，+≦)上
是减函数.
(2) g(x) =-(u-1) 2+9在u ∈[1,+≦)上是减函数，与u=2-x2
具有相反的增减性，
由2-x 2≥1得 -1≤x ≤1，而u=2-x2在x ∈ [-1,0] 上是
增函数，
在x ∈(0， 1)上是减函数，
≨g(x) =-(u-1) 2+9在区间[-1，0]上是减函数, 在区间
(0，1) 上是增函数.
故选(A)
（四）利用复合函数求参数取值范围
求参数的取值范围是一类重要问题，解题关键是建立关于这个参
数的不等式组，必须
将已知的所有条件加以转化。
2例1. 已知函数f(x)=(x-ax+3a)在区间[2，+≦) 上是减函数，
则实数a 的取值范
围是_______。
分析如下：
2 令u=x-ax+3a，y=u ． 因为y=u 在(0，+≦) 上是减函数
≨ f(x)=(x2-ax+3a)在[2，+≦) 上是减函数
u=x2-ax+3a在[2，+≦) 上是增函数，且对任意x ∈[2，+≦) ，
都有u ＞0。
对称轴x=在2的左侧或过(2，0) 点，且u(2)＞0。
-4＜a ≤4
例2. 若f(x)=loga (3-ax)在[0，1]上是减函数，则a 的取值范围
是_______。
令u=-ax+3＞0，y=loga u ，由于a 作对数的底数，所以a ＞0且a
≠1，由u=-ax+3＞0
得x ＜。
在[0，1]上，且u 是减函数。 ≨ f(x)=loga (3-ax)在[0，1]上
是减函数。
y=loga u 是增函数，且[0，1](-≦，] 3a
1＜a ＜3 ． 所以a 的取值范围是(1，3) 。
复合函数习题
1．函数lg[f(x)∙g(x)]的定义域为M ，lgf(x)的定义域为N ，lgg(x)
的定义域为P ，则M 、N 、P 间的关系是 （ A ）
A 、M ⊇（N ⋂P ） B、M ⊇N ⊇P C、M=（N ⋂P ） D、M ⊇（N ⋃P ）
2．若g(x)是奇函数，且F(x)=ag(x)+bx3+5在（0，+∞）内有最大值
12，则F(x)在（—∞，0）内有 （ D ）
A 、最小值—12 B、最大值12 C、最小值—2 D、最小值—2
３．求下列复合函数的单调区间.
（1）y=log3(x2－2x);(答：(－≦，0) 是单调减区间，(2，+≦) 是单
调增区间.)
（2）y=log 1(x2－3x+2)；(答：(－≦，1) 是单调增区间，(2，+≦)
2
是单调减区间.)
（3）y=-x 2+5x -6,(答：［2，5是单调增区间，］［5，3］是单调22减区间.)
（4）y=
区间之间不可以取并集.) （5）y=23-x ;(答(－≦，0) 为单调增区间，(0，+≦) 为单调减区间)
４． 若y = f ( x ) 的定义域是[0，1]，则 f ( x + a ) + f (2 x
+ a) (0
a 1-a a 1-a A ．[-，] B．[-，1-a] C．[-a ，1-a] D．[-a ，]2222
５．关于x 的函数y =log 1(-ax +a 2+2a ) 在［1，+≦) 上为减函数，则实
2
数a 的取值范围是 ( D ）
A ．（－≦,0）B ．(－1,0) C．(0,2] D．(－≦, －1)