圆锥曲线的焦半径公式及其应用

！

圆锥曲线的焦半径公式及其应用

圆锥曲线上任意一点到焦点的距离叫做圆锥曲线关于该点的焦半径。利用圆锥曲线的第二定义很容易得到圆锥曲线的焦半径公式。

1.椭圆的焦半径公式 (1)若

x2

P(x0,y0)为椭圆2

a

y2+2

b

=1(a>b>0)上任意一点，F1、F2

分别为椭圆的左、右焦点，则PF1=a+e x0,PF2=a-e x0.

(2) 若

y2

P(x0,y0)为椭圆2

a

x2+2b

=1(a>b>0)上任意一点，F2、

F1分别为椭圆的上、下焦点，则PF1=a+e y0,PF2=a-e y0.

2.双曲线的焦半径公式 (1)若

x2

P(x0,y0)为双曲线2

a

y2-2

b

=1(a>0，b>0)上任意一点，

F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，则

①当点Px0-a,PF2= -e x0+a. PF1=-e ②当点P在双曲线的右支上时，PF1=e x0+a,PF2= e x0-a. (2)若

y2

P(x0,y0)为双曲线2

a

x2-2b

=1(a>0，b>0)上任意一点，

F2、 F1分别为双曲线的上、下焦点，则

①当点PPF1=-e y0-a,PF2= -ey0+a. ②当点P在双曲线的上支上时，PF1=ey0+a,PF2= ey0-a. 3.抛物线的焦半径公式

！

(1)若P(x0,y0)为抛物线y2=2px(p>0)上任意一点，则PF= x0+

(2) 若P(x0,y0)为抛物线y2=-2px(p>0)上任意一点，则

PF

p2

= -x0+

(3) 若P(x0,y0)为抛物线x2=2py(p>0)上任意一点，则PF=

p

2

y0+

(4)若P(x0,y0)为抛物线x2=-2py(p>0)上任意一点，则PF= -y0+

下面举例说明上述各公式的应用 例离.

解：易知a=5,e=且椭圆的焦点在轴上，∴MF1= a+ey0=5+×4=

37

,MF25

p2

p2

x2y2

1．求椭圆+=1

1625

上一点M(2.4,4)与焦点F1、F2的距

3535

= a-e y0=5-×4=

3513

。 5

例

x2y2

2.试在椭圆+

259

=1上求一点P，使它到左焦点的距离是

它到右焦点的距离的两倍．

解：由

{

PF12PF2PF1PF210

，得

{

20

310PF2

3PF1

。

45

20

，解之得3

设P(x0, y0),则PF1=a+ex0,即5+x0=所以P(

4

25, 12

x0=

25，12

).

！

例

x2y2

3.在双曲线-169

=1上求一点M，使它到左、右两焦点的

距离 的比为3：2，并求M点到两准线的距离。

解：设点M的坐标为（x0，y0）, 左、右两焦点分别为F1、F2，则由MF1：MF2=3：2，知MF1>MF2,所以点M在双曲线

x2y2

-169

=1的右支上，∴MF1=ex0+a,MF2= ex0-a，即

54

(ex0+a):( ex0-a)=3:2，∴ 2(ex0+a)=3(ex0-a),把a=4, e=代入，得x0=16, ∴y0

=即M（16

，。故双曲线的准线方程为

a2

x=

c

=

16

,∴M5

点到两准线的距离分别为

9664

和。 55

例4． (1994年全国高考题) 设F1、F2是双曲线

x2

4

-y2=1(a>b>0)的左、右两个焦点，点P在双曲线上，且满足

∠F1PF2=90，则⊿F1PF2的面积是 （ ）

A．1 B

．2 D

解：根据对称性，可设点P(x0,y0)在双曲线的右支上，则

PF1

=e x0+a,PF2= e x0-a.由∠F1PF2=90，得PF12+PF22=F1F22，

即(e x0+a)2+(e x0-a)2=4c2,∴e2x02+a2=2 c2,即e2x02=2 c2-a2= a2+2b2,∴S=

练习： (2001

1

PF1PF22

=( e2x02- a2)= b2=1,故选(A).

y2

-16

12

x2

年全国高考题)双曲线

9

=1的左、右两个

焦点为F1、F2，点P在双曲线上，若PF1⊥PF2，则点P到x轴的距离为______.

！

提示：仿照例2可求出xP

得yP

2

2

419x2=，代入双曲线259

16

. 5

y2-16

=1，

162

=,∴点25

P到x轴的距离d=

例5.(2000

x2

年全国高考题)椭圆

9

+

y24

=1的焦点为F1、F2，

点P为其上的动点，当∠F1PF2为钝角时，点P横坐标的取值范围是______.

解：易知

e=x0

F1PF2=

0,PF22

.设点3

P的横坐标为x0,则PF1=a+e

0.由余弦定理，得=a-e x0

2

2

cos∠

PF1PF2F1F2

2PF1PF2

52

x1

5x29==,∵∠F1PF2是钝角，2

52

2(9x)2(815x)

9

5x29

∴-1

例6．若抛物线y2=2px(p>0)上三点的纵坐标的平方成等差数列，那么这三点的焦半径的关系是 （ ）

A．成等差数列 B．常数数列 C．成等比数列 D．非等差、等比数列

解：设抛物线y2=2px(p>0)上纵坐标的平方成等差数列的三点依次为A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3),则y12=2px1，y22=2px2，y32=2px3.

由y12+y32=2y22,得x1+x3=2x2.∴

AF

+CF=(x1+)+(x3+)=x1+

p

2p2

！

x3+p=2x2+p=2(x2+)=2BF，∴AF，BF，CF成等差数列,故选A.

例7．在抛物线x2=2py(p>0)上有一点A(m,4)，它到该抛物线的焦点的距离为5，求此抛物线的方程和点A的坐标.

解：根据抛物线的焦半径公式，有4++=5，∴p=2,故抛物线的方程为x2=4y。 将x=m,y=4代入x2=4y,得m=4, ∴点A的坐标为（-4，4）或（4，4）.

例

x2y2

8．在双曲线-1312

p

2

p2

=-1的一支上有不同的三点A(x1,y1)、

B(x2,6)、C(x3,y3)与焦点F(0,5)的距离成等差数列。

(1)求y1+ y3;(2)求证线段AC的垂直平分线经过某一定点，并求出该定点的坐标。

解(1)：由题设知，A、B、C在双曲线的上支上，故有AF=e y1

BF

CF=e y3

∵AF，BF，CF成等差数列,∴2×6e= (e y1

y3

即y1+ y3=12.

证(2)：∵A、C

x3213

x2y2

在双曲线-1312

=-1

x12

上，∴

13y12-12

=-1，

-

y32

=-1，两式相减，得 12

y1y312x1x3

=

x1x313y1y3

=

x1x313

，即kAC=

x1x3

2

x1x313

,于是线段AC的垂直x+y-25

=0,又∵2

平分线方程为y-6=-

x1x313

(x-),即

13x1x3

！

13x1x3

是实数，∴x=0且 y=

2525

，故直线经过定点(0, ). 22

例9．设

x2

F1、F2是椭圆2

ay2+2

b

=1(a>b>0)的左、右两个焦点，

P是椭圆上的任意一点，且∠F1PF2=2，求证：⊿F1PF2的面积S=b2tan.

证明：设点P的坐标为（x0,y0），则PF1=a+e x0,PF2=a-e x0.由余弦定理，得（a+e x0）2+（a-e x0）2-2（a+e x0）（a-e x0）cos2=(2c)2,即a2+ e2x02-( a2- e2x02) cos2=2c2,∴a2(1- cos2)+ e2x02(1+ cos2)=2c2,∴a2sin2+ e2x02cos2=c2,∴ex0

2

2

c2a2sin2

=

cos2

12

, ∴S=

1

PF1PF22

sin2=（a+e x0）（a-e

1

2

x0）sin2=( a2- e2x02)

1

sin2=

2

( a

2

c2a2sin2-cos21a2cos2c2a2sin2

)sin2=2sin2

2cos

c

os= b2tan.

说明：1.题设中的⊿F1PF2通常称为椭圆的焦点三角形，且此结论对于焦点在y轴上的椭圆也适用。

2.用同样的方法可得双曲线的焦点三角形的面积公式S=b2cot,其中∠F1PF2=2（P为双曲线上的任意一点）.

3.利用本例结论很容易求解下面的习题： 设

x2

F1、F2为椭圆

4

+y2=1的左、右两个焦点，点P在椭圆

上且满足∠F1PF2=90，则⊿F1PF2的面积是 （ ）

！

A．

1 B.

2

请读者不妨一试，答案：选A.

例10.过抛物线的焦点F作不垂直于对称轴的直线交抛物线与A、B两点，线段AB的垂直平分线交对称轴于N，求证：

AB2NF

.

证明：设抛物线的方程为x2=2py(p>0)，A(x1,y1)、B(x2,y2)，线段AB的中点为M(x0,y0),则y12=2px1，y22=2px2，两式相减，得

y1y2x1x2

=

2py1y2

=

py0

，即kAB=

y0p

py0

.∵MN⊥AB，∴kMN=-

y0p

，∴直线

MN的方程为y-y0=-x

N

(x-x0),令y=0, 得xN= x0+p，∴NF=

p2

-

p2

= x0+

p2

,又∵AB=AF+BF=(x1+

p2

)+(x2+

p2

)=

x1+x2+P=2x0+P=2(x0+),从而

AB2NF

.

的左右焦点分别为F1、F2，左

例

x2y2

11.已知双曲线-=1

25144

准线为L，能否在双曲线的左支上找到一点P，使PF1是P到L的距离d与PF2的等比中项？若能，试求出点P的坐标，：若不能，请说明理由.

解：假设在双曲线的左支上找到一点P(x0,y0)( x0≤-5), 使PF12

=dPF2，由双曲线的第二定义，得∴PF1

PF1

d

=e=

13

,即5

d=

PF1d

=

5

PF113

,

！

51313

PF2,又∵PF1=-ex0-a=-(x0+5)， PF2=-ex0+a=-x0+5, 1355

13513225∴-(x0+5)=(-x0+5), ∴x0=->-5, ∴不存在这样的

513552

=

点P.

x2练习：.已知椭圆

4

+

y23

=1，能否在此椭圆位于y轴左侧的

部分上找到一点P，使它到左准线的距离为它到两个焦点F1、F2的距离的等比中项？若能，试求出点P的坐标，：若不能，请说明理由.(答案：点P不存在)

！

圆锥曲线的焦半径公式及其应用

圆锥曲线上任意一点到焦点的距离叫做圆锥曲线关于该点的焦半径。利用圆锥曲线的第二定义很容易得到圆锥曲线的焦半径公式。

1.椭圆的焦半径公式 (1)若

x2

P(x0,y0)为椭圆2

a

y2+2

b

=1(a>b>0)上任意一点，F1、F2

分别为椭圆的左、右焦点，则PF1=a+e x0,PF2=a-e x0.

(2) 若

y2

P(x0,y0)为椭圆2

a

x2+2b

=1(a>b>0)上任意一点，F2、

F1分别为椭圆的上、下焦点，则PF1=a+e y0,PF2=a-e y0.

2.双曲线的焦半径公式 (1)若

x2

P(x0,y0)为双曲线2

a

y2-2

b

=1(a>0，b>0)上任意一点，

F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，则

①当点Px0-a,PF2= -e x0+a. PF1=-e ②当点P在双曲线的右支上时，PF1=e x0+a,PF2= e x0-a. (2)若

y2

P(x0,y0)为双曲线2

a

x2-2b

=1(a>0，b>0)上任意一点，

F2、 F1分别为双曲线的上、下焦点，则

①当点PPF1=-e y0-a,PF2= -ey0+a. ②当点P在双曲线的上支上时，PF1=ey0+a,PF2= ey0-a. 3.抛物线的焦半径公式

！

(1)若P(x0,y0)为抛物线y2=2px(p>0)上任意一点，则PF= x0+

(2) 若P(x0,y0)为抛物线y2=-2px(p>0)上任意一点，则

PF

p2

= -x0+

(3) 若P(x0,y0)为抛物线x2=2py(p>0)上任意一点，则PF=

p

2

y0+

(4)若P(x0,y0)为抛物线x2=-2py(p>0)上任意一点，则PF= -y0+

下面举例说明上述各公式的应用 例离.

解：易知a=5,e=且椭圆的焦点在轴上，∴MF1= a+ey0=5+×4=

37

,MF25

p2

p2

x2y2

1．求椭圆+=1

1625

上一点M(2.4,4)与焦点F1、F2的距

3535

= a-e y0=5-×4=

3513

。 5

例

x2y2

2.试在椭圆+

259

=1上求一点P，使它到左焦点的距离是

它到右焦点的距离的两倍．

解：由

{

PF12PF2PF1PF210

，得

{

20

310PF2

3PF1

。

45

20

，解之得3

设P(x0, y0),则PF1=a+ex0,即5+x0=所以P(

4

25, 12

x0=

25，12

).

！

例

x2y2

3.在双曲线-169

=1上求一点M，使它到左、右两焦点的

距离 的比为3：2，并求M点到两准线的距离。

解：设点M的坐标为（x0，y0）, 左、右两焦点分别为F1、F2，则由MF1：MF2=3：2，知MF1>MF2,所以点M在双曲线

x2y2

-169

=1的右支上，∴MF1=ex0+a,MF2= ex0-a，即

54

(ex0+a):( ex0-a)=3:2，∴ 2(ex0+a)=3(ex0-a),把a=4, e=代入，得x0=16, ∴y0

=即M（16

，。故双曲线的准线方程为

a2

x=

c

=

16

,∴M5

点到两准线的距离分别为

9664

和。 55

例4． (1994年全国高考题) 设F1、F2是双曲线

x2

4

-y2=1(a>b>0)的左、右两个焦点，点P在双曲线上，且满足

∠F1PF2=90，则⊿F1PF2的面积是 （ ）

A．1 B

．2 D

解：根据对称性，可设点P(x0,y0)在双曲线的右支上，则

PF1

=e x0+a,PF2= e x0-a.由∠F1PF2=90，得PF12+PF22=F1F22，

即(e x0+a)2+(e x0-a)2=4c2,∴e2x02+a2=2 c2,即e2x02=2 c2-a2= a2+2b2,∴S=

练习： (2001

1

PF1PF22

=( e2x02- a2)= b2=1,故选(A).

y2

-16

12

x2

年全国高考题)双曲线

9

=1的左、右两个

焦点为F1、F2，点P在双曲线上，若PF1⊥PF2，则点P到x轴的距离为______.

！

提示：仿照例2可求出xP

得yP

2

2

419x2=，代入双曲线259

16

. 5

y2-16

=1，

162

=,∴点25

P到x轴的距离d=

例5.(2000

x2

年全国高考题)椭圆

9

+

y24

=1的焦点为F1、F2，

点P为其上的动点，当∠F1PF2为钝角时，点P横坐标的取值范围是______.

解：易知

e=x0

F1PF2=

0,PF22

.设点3

P的横坐标为x0,则PF1=a+e

0.由余弦定理，得=a-e x0

2

2

cos∠

PF1PF2F1F2

2PF1PF2

52

x1

5x29==,∵∠F1PF2是钝角，2

52

2(9x)2(815x)

9

5x29

∴-1

例6．若抛物线y2=2px(p>0)上三点的纵坐标的平方成等差数列，那么这三点的焦半径的关系是 （ ）

A．成等差数列 B．常数数列 C．成等比数列 D．非等差、等比数列

解：设抛物线y2=2px(p>0)上纵坐标的平方成等差数列的三点依次为A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3),则y12=2px1，y22=2px2，y32=2px3.

由y12+y32=2y22,得x1+x3=2x2.∴

AF

+CF=(x1+)+(x3+)=x1+

p

2p2

！

x3+p=2x2+p=2(x2+)=2BF，∴AF，BF，CF成等差数列,故选A.

例7．在抛物线x2=2py(p>0)上有一点A(m,4)，它到该抛物线的焦点的距离为5，求此抛物线的方程和点A的坐标.

解：根据抛物线的焦半径公式，有4++=5，∴p=2,故抛物线的方程为x2=4y。 将x=m,y=4代入x2=4y,得m=4, ∴点A的坐标为（-4，4）或（4，4）.

例

x2y2

8．在双曲线-1312

p

2

p2

=-1的一支上有不同的三点A(x1,y1)、

B(x2,6)、C(x3,y3)与焦点F(0,5)的距离成等差数列。

(1)求y1+ y3;(2)求证线段AC的垂直平分线经过某一定点，并求出该定点的坐标。

解(1)：由题设知，A、B、C在双曲线的上支上，故有AF=e y1

BF

CF=e y3

∵AF，BF，CF成等差数列,∴2×6e= (e y1

y3

即y1+ y3=12.

证(2)：∵A、C

x3213

x2y2

在双曲线-1312

=-1

x12

上，∴

13y12-12

=-1，

-

y32

=-1，两式相减，得 12

y1y312x1x3

=

x1x313y1y3

=

x1x313

，即kAC=

x1x3

2

x1x313

,于是线段AC的垂直x+y-25

=0,又∵2

平分线方程为y-6=-

x1x313

(x-),即

13x1x3

！

13x1x3

是实数，∴x=0且 y=

2525

，故直线经过定点(0, ). 22

例9．设

x2

F1、F2是椭圆2

ay2+2

b

=1(a>b>0)的左、右两个焦点，

P是椭圆上的任意一点，且∠F1PF2=2，求证：⊿F1PF2的面积S=b2tan.

证明：设点P的坐标为（x0,y0），则PF1=a+e x0,PF2=a-e x0.由余弦定理，得（a+e x0）2+（a-e x0）2-2（a+e x0）（a-e x0）cos2=(2c)2,即a2+ e2x02-( a2- e2x02) cos2=2c2,∴a2(1- cos2)+ e2x02(1+ cos2)=2c2,∴a2sin2+ e2x02cos2=c2,∴ex0

2

2

c2a2sin2

=

cos2

12

, ∴S=

1

PF1PF22

sin2=（a+e x0）（a-e

1

2

x0）sin2=( a2- e2x02)

1

sin2=

2

( a

2

c2a2sin2-cos21a2cos2c2a2sin2

)sin2=2sin2

2cos

c

os= b2tan.

说明：1.题设中的⊿F1PF2通常称为椭圆的焦点三角形，且此结论对于焦点在y轴上的椭圆也适用。

2.用同样的方法可得双曲线的焦点三角形的面积公式S=b2cot,其中∠F1PF2=2（P为双曲线上的任意一点）.

3.利用本例结论很容易求解下面的习题： 设

x2

F1、F2为椭圆

4

+y2=1的左、右两个焦点，点P在椭圆

上且满足∠F1PF2=90，则⊿F1PF2的面积是 （ ）

！

A．

1 B.

2

请读者不妨一试，答案：选A.

例10.过抛物线的焦点F作不垂直于对称轴的直线交抛物线与A、B两点，线段AB的垂直平分线交对称轴于N，求证：

AB2NF

.

证明：设抛物线的方程为x2=2py(p>0)，A(x1,y1)、B(x2,y2)，线段AB的中点为M(x0,y0),则y12=2px1，y22=2px2，两式相减，得

y1y2x1x2

=

2py1y2

=

py0

，即kAB=

y0p

py0

.∵MN⊥AB，∴kMN=-

y0p

，∴直线

MN的方程为y-y0=-x

N

(x-x0),令y=0, 得xN= x0+p，∴NF=

p2

-

p2

= x0+

p2

,又∵AB=AF+BF=(x1+

p2

)+(x2+

p2

)=

x1+x2+P=2x0+P=2(x0+),从而

AB2NF

.

的左右焦点分别为F1、F2，左

例

x2y2

11.已知双曲线-=1

25144

准线为L，能否在双曲线的左支上找到一点P，使PF1是P到L的距离d与PF2的等比中项？若能，试求出点P的坐标，：若不能，请说明理由.

解：假设在双曲线的左支上找到一点P(x0,y0)( x0≤-5), 使PF12

=dPF2，由双曲线的第二定义，得∴PF1

PF1

d

=e=

13

,即5

d=

PF1d

=

5

PF113

,

！

51313

PF2,又∵PF1=-ex0-a=-(x0+5)， PF2=-ex0+a=-x0+5, 1355

13513225∴-(x0+5)=(-x0+5), ∴x0=->-5, ∴不存在这样的

513552

=

点P.

x2练习：.已知椭圆

4

+

y23

=1，能否在此椭圆位于y轴左侧的

部分上找到一点P，使它到左准线的距离为它到两个焦点F1、F2的距离的等比中项？若能，试求出点P的坐标，：若不能，请说明理由.(答案：点P不存在)