全等三角形的构造
一、 在角平分线、高线和中线的两侧构造全等三角形
例1. 如图，在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，BD ⊥AD ，垂
足为D. 已知AB=5，BD=2，AC=9.
求证：∠ABC=3∠ACB.
分析：延长BD 交AC 于E. 易得：△ABD ≌△AED.
从而求得AE=5，BE=2BD=5.
∴CE=AC-AE=9-5=4.
得等腰三角形BEC ，再利用等腰三角形和外角的性
质易证.
E D A
C
练习：如图，△ABC 中，∠C=900，CA=CB，BD 是∠B 的平分线，
AE ⊥BD 交BD 延长线于E. 求证：BD=2AE.
二、倍长中线构造全等三角形
例２. 如图, △ABC 中，BD=DC.若AD ⊥AC, ∠BAD=300.
1求证: AC=2
简析：虽然AC 、AB 在同一个三角形中，但无法证得结论。想到BD=DC，即AD 是中线，可倍长中线，即延长AD 至E ，使DE=AD.再连结BE ，则易证△BDE ≌△CDA. 于是∠E=∠CAD ，BE=AC.而AD ⊥AC.
11则∠E=９０. 在Rt △AEB 中，∠BAD=30. 所以BE= AB.故AC=22０0
E
B C C E
H
练习：已知：AD 是△ABC 的中线，BE 交AC 于E ，交AD 于F ，且AE=EF. 求证：AC=BF.
三、 用三角形的旋转构造全等三角形
1. 旋转９00构造全等三角形
例３：如图，P 为正方形ABCD 内一点，PA:PB:PC=１:２:３. 求: ∠APB 的度数．
分析:本题运用旋转变换，使已知或所求的部分集中到一个
基本的图形中，以便顺利地解决问题．运用旋转变换是
要注意:（１）确定旋转中心（点B ）；（２）确定旋转
图形（△BPC ）；（３）确定旋转的角度和方向（逆时针
转９００）．
解：如图，以B 为圆心，将△BPC 按逆时针方向旋转９００
到BAP' ．设PA ＝а，PB ＝２а，PC ＝３а.
由作图得PB ＝P'B ＝２а，△BPP' 为等腰直角三角形.
∴PP' ＝２2 а.
又AP ＝а，AP' ＝３а
∴AP ２+PP'２＝а２+（２2 а）２＝（３а）２＝AP' ２
∴∠APP' ＝９００，又∠BPP' ＝４５０.
∴∠APB ＝１３５０.
A D P
B C B A
2. 旋转600构造全等三角形
例4. 如图P 为等边三角形ABC 内一点，PA=2，PB=23 , PC=4.
求△ABC 的边长.
解:如图, 以C 为圆心, 将△ACP 按顺时针方向旋转600到
△P'BC. 则PB'=BP=23 ,∠P'BP=600.
得等边三角形P'BP ．从而PP' ＝PB=23 .
利用勾股定理逆定理，从而得含３００角的Rt △P'CP.
∠CPP=300, 又∠P'BP=600，∴∠CPB ＝９００.
∴BC ＝BP ２＋PC ２12+16 =27 .
说明：利用旋转能够把分散的已知条件集中在一个三角形中，从而使问题得到解决.
3. 旋转一个定角:
例5 △ABC 中, AB=AC,D为其内部一点, 若∠ADB>∠ADC.
求证: DC>DB. (提示:如图把△ADC 绕点A 顺时针旋转
到△AD'B 处, 再连接DD').
D
F
B C C
练习1：如图在正方形ABCD 的形内作∠EAF=450. 角的两边分别交BC 、DE 于E 、F ，作AP ⊥EF 于P ．求证：AP=AB.
（提示：把△AFD 绕点A 顺时针旋转９００到△AGB. ）
练习２：如图，凸四边形ABCD 中，∠ABC=３００，∠ADC=６００，AD=DC.求证： BD２=AB２+BC２. （提示：把△DBC 绕点C 顺时针旋转６００到△ACE ）.
E
D
总之，构造全等三角形，有利于集中利用题目中的已知条件，使之成为由已知到求证的桥梁． （此文获省三等奖）
全等三角形的构造
一、 在角平分线、高线和中线的两侧构造全等三角形
例1. 如图，在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，BD ⊥AD ，垂
足为D. 已知AB=5，BD=2，AC=9.
求证：∠ABC=3∠ACB.
分析：延长BD 交AC 于E. 易得：△ABD ≌△AED.
从而求得AE=5，BE=2BD=5.
∴CE=AC-AE=9-5=4.
得等腰三角形BEC ，再利用等腰三角形和外角的性
质易证.
E D A
C
练习：如图，△ABC 中，∠C=900，CA=CB，BD 是∠B 的平分线，
AE ⊥BD 交BD 延长线于E. 求证：BD=2AE.
二、倍长中线构造全等三角形
例２. 如图, △ABC 中，BD=DC.若AD ⊥AC, ∠BAD=300.
1求证: AC=2
简析：虽然AC 、AB 在同一个三角形中，但无法证得结论。想到BD=DC，即AD 是中线，可倍长中线，即延长AD 至E ，使DE=AD.再连结BE ，则易证△BDE ≌△CDA. 于是∠E=∠CAD ，BE=AC.而AD ⊥AC.
11则∠E=９０. 在Rt △AEB 中，∠BAD=30. 所以BE= AB.故AC=22０0
E
B C C E
H
练习：已知：AD 是△ABC 的中线，BE 交AC 于E ，交AD 于F ，且AE=EF. 求证：AC=BF.
三、 用三角形的旋转构造全等三角形
1. 旋转９00构造全等三角形
例３：如图，P 为正方形ABCD 内一点，PA:PB:PC=１:２:３. 求: ∠APB 的度数．
分析:本题运用旋转变换，使已知或所求的部分集中到一个
基本的图形中，以便顺利地解决问题．运用旋转变换是
要注意:（１）确定旋转中心（点B ）；（２）确定旋转
图形（△BPC ）；（３）确定旋转的角度和方向（逆时针
转９００）．
解：如图，以B 为圆心，将△BPC 按逆时针方向旋转９００
到BAP' ．设PA ＝а，PB ＝２а，PC ＝３а.
由作图得PB ＝P'B ＝２а，△BPP' 为等腰直角三角形.
∴PP' ＝２2 а.
又AP ＝а，AP' ＝３а
∴AP ２+PP'２＝а２+（２2 а）２＝（３а）２＝AP' ２
∴∠APP' ＝９００，又∠BPP' ＝４５０.
∴∠APB ＝１３５０.
A D P
B C B A
2. 旋转600构造全等三角形
例4. 如图P 为等边三角形ABC 内一点，PA=2，PB=23 , PC=4.
求△ABC 的边长.
解:如图, 以C 为圆心, 将△ACP 按顺时针方向旋转600到
△P'BC. 则PB'=BP=23 ,∠P'BP=600.
得等边三角形P'BP ．从而PP' ＝PB=23 .
利用勾股定理逆定理，从而得含３００角的Rt △P'CP.
∠CPP=300, 又∠P'BP=600，∴∠CPB ＝９００.
∴BC ＝BP ２＋PC ２12+16 =27 .
说明：利用旋转能够把分散的已知条件集中在一个三角形中，从而使问题得到解决.
3. 旋转一个定角:
例5 △ABC 中, AB=AC,D为其内部一点, 若∠ADB>∠ADC.
求证: DC>DB. (提示:如图把△ADC 绕点A 顺时针旋转
到△AD'B 处, 再连接DD').
D
F
B C C
练习1：如图在正方形ABCD 的形内作∠EAF=450. 角的两边分别交BC 、DE 于E 、F ，作AP ⊥EF 于P ．求证：AP=AB.
（提示：把△AFD 绕点A 顺时针旋转９００到△AGB. ）
练习２：如图，凸四边形ABCD 中，∠ABC=３００，∠ADC=６００，AD=DC.求证： BD２=AB２+BC２. （提示：把△DBC 绕点C 顺时针旋转６００到△ACE ）.
E
D
总之，构造全等三角形，有利于集中利用题目中的已知条件，使之成为由已知到求证的桥梁． （此文获省三等奖）