2016年全国卷高考文科数学模拟试题(1)

本试卷共4页，23小题，满分150分．考试用时120分钟．

参考公式：锥体的体积公式V =

Sh ，其中S 为锥体的底面积，h 为高． 3

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的 1． A =

{(x , y )|x +y =0, x , y ∈R }, B ={(x , y )|x -y -2=0, x , y ∈R }，则集合

{

}

A B =( )

A ．(1,-1) B ．{x =1} {y =-1} C ．{1, -1} D ．(1, -1) 2．下列函数中，在其定义域内是减函数的是( )

A .f (x ) =-x +x +1 B ． f (x ) =

C ． f (x ) =log 1x D . f (x ) =ln x

3．已知函数f (x ) =⎨

⎧x (x +1), x

，则函数f (x ) 的零点个数为（）

⎩x (x -1), x ≥0

A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 4. 等差数列{a n }中，若a 2+a 8=15-a 5，则a 5等于( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 5．已知a >0,

f (x ) =x 4-a x +4, 则f (x ) 为( )

A ．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．奇偶性与a 有关

6．已知向量a =(1，，，若向量a //b ，则x =( ) 2) b =(x ，4)

A ．2 B ． -2 C ． 8

D ．-8

7. 设数列{a n }是等差数列, 且a 2=-8, a 15=5, S n 是数列{a n }的前n 项和，则 ( ) A. S 9

B.S 9=S 10 C.S 11

D.S 11=S 10

8．已知直线l 、m , 平面α、β，则下列命题中：

①．若α//β，l ⊂α, 则l //β ②．若α//β，l ⊥α, 则l ⊥β

③．若l //α，m ⊂α, 则l //m ④．若α⊥β，α⋂β=l , m ⊥l , 则m ⊥β. 其中，真命题有（）

A ．0个 B．1个 C．2个 D．3个

x 2y 2

9．已知离心率为e 的曲线2-=1，其右焦点

a 7

与抛物线y 2=16x 的焦点重合，则e 的值为（）

A ．

B C ．

10．给出计算

1111

+++ + 的值的一个 24620

程序框图如右图，其中判断框内应填入的条件是（）． A ．i >10 B ．i 20 D ．i

12．规定记号“⊗”表示一种运算，即a ⊗b =ab +a +b 2(a , b 为正实数) ，若1⊗k =3，

则k =（）

A ．-2 B ．1 C ．-2 或1 D ．2

二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分。（一）必做题（13 15题）

10题

⎧x ≥0⎪

13．在约束条件⎨y ≤1下，函数S =2x +y 的最大值为．

⎪2x -2y +1≤0⎩

14．如右图，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正三角形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的体积为．

15．一个容量为20的样本，数据的分组及各组的频数如下表：(其中x ，y ∈N *)

分/组频数

[10，20) [20，30) [30，40) [40，50) [50，60) [60，70)

则样本在区间 [10，50 ) 上的频率为（二）选做题（16、17题，考生只能从中选做一题）

16．（几何证明选讲选做题）四边形ABCD 内接于⊙O ，BC 是直径，

MN 切⊙O 于A ，∠MAB =25，则∠D =．

17．（坐标系与参数方程选做题）以极坐标系中的点(1,1)为∙

圆心，1为半径的圆的方程是三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 18. （本小题满分10分）已知sin

x x

-2cos =0，（Ⅰ）求tan x 的值；（Ⅱ）求22

cos 2x 2+x ) ⋅sin x

的值．

19. （本小题满分12分）从某学校高三年级

800名学生中随机抽取50名测量身高，据

测量被抽取的学生的身高全部介于155cm 和195cm 之间，将测量结果按如下方式分成

八组：第一组[155,160)．第二组[160,165)；„第八组[190,195]，右图是按上述分组方法得到的条形图. (1)根据已知条件填写下面表格：组别样本数

(2)估计这所学校高三年级800名

学生中身高在180cm 以上（含180cm ）的人数；

(3)在样本中，若第二组有1人为男生，其余为女生，第七组有1人为女生，其余为男生，在第二组和第七组中各选一名同学组成实验小组，问：实验小组中恰为一男一女的概率是多少？

20．（本小题满分12分）如图，在正方体

ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BB 1、CD 的中点.

（1）证明:AD ⊥D 1F ；（2）证明:面AED ⊥面A 1FD 1；（3）设AA 1＝2 ，求三棱维E －AA 1F 的体积V E －A A 1F 21．（本小题满分12分）

已知三次函数f (x ) =x 3+ax 2+bx +c 在x =1和x =-1时取极值，且f (-2) =-4．（Ⅰ）求函数y =f (x ) 的表达式；（Ⅱ）求函数y =f (x ) 的单调区间和极值；（Ⅲ）若函数g (x ) =f (x -m ) +4m (m >0) 在区间[m -3, n ]上的值域为[-4,16]，试求m 、应满足的条件。

x 2y 22

22. （本小题满分12分）已知椭圆C :2+2=1(a >b >0) 的离心率e =，左、右

2a b

焦点分别为F 1、F 2，点P (2, (1)求椭圆C 的方程; (2)) 满足F 2在线段PF 1的中垂线上．

如果圆E ：(x -) +y =r 被椭圆C 所覆盖，求圆的半径r 的最大值 23．（本小题满分12分）

设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=1，且对任意正整数n , 点(a n +1, S n )在直线

2x +y -2=0上.

（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；

（Ⅱ）是否存在实数λ，使得数列⎨S n +λ⋅n +值；若不存在，则说明理由.

⎧⎩

⎬为等差数列？若存在，求出λ的2⎭

λ⎫

1n 2-k 1

（Ⅲ）求证：≤∑

6k =1(a k +1)(a k +1+1) 2

2016年全国卷高考文科数学模拟试题(1)答案

一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共12小题，每小题5分，满分60分题

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 号答

D C C C B A B C C A A B 案

选择题参考答案: 1. A =

{(x , y )|x +y =0, x , y ∈R }, B ={(x , y )|x -y -2=0, x , y ∈R }，则集合

⎧x +y =0⎫⎪⎨⎬, 化简, 选D x -y -2=0⎩⎪⎭

⎧⎪

A B =⎨{(x , y )

⎪⎩

2.A 选项中二次函数增减区间均存在，B 选项中该函数不是在整个定义域上单调递减，D 选

项中恒为单调递增函数，故选C 3. 当x

当x ≥0时，x (x -1) =0, ∴x =1或x =0，共3个零点，选C 4. 由

a 2+a 8=15-a 5，根据等差数列的下脚标公式，则2a 5=15-a 5, ∴a 5=5，选 C

5. 根据奇偶性的判定：显然f (-x ) =f (x ) ，偶函数且与参数取值无关，故选B

6 a =(1，2) ，b =(x ，4) ，且向量a //b ，则2x =4, ∴x =2 选A

7. a 2=-8, a 15=513d =13, d =1故a 10=a 2+8d =0，则S 9=S 10 , , 选B

8. ①②正确， ③④错误故选C

4⎛16⎫

9. 由题意：a 2+7= ⎪=16, ∴a 2=9，则离心率为，选C

3⎝4⎭

10. 根据框图，当加到

时，总共经过了10次运算，则不能超过10次，故选A 20

11. 因为 y 2=xz ，但是x , z 可能同时为负数，所以必要性不成立，选A

12. 由 a ⊗b =ab +a +b 2(a , b 为正实数) ，若1⊗k =3，则k +1+k 2=3，解得

k =1或k =-2，但根据定义域k =-2舍去，选B

二、填空题：本大题查基本知识和基本运算，体现选择性．共5小题，每小题5分，满分

20分．其中16~17题是选做题，考生只能选做一题．

13．2

14.

15. 0.7

16．115︒ 17．ρ=2cos (θ-1)

填空题参考答案：

13. 根据线性规划知识作出平面区域，代入点(0.5,1)计算可得

14.

圆锥体积为V =

111Sh =π⋅() 2⋅= 332224

15. 频率为

20-2-4

=0.720

∙

16. 连接BD , AC ，根据弦切角定理∠MAB =∠ACB =∠ADB =25 故所求角度为25+90=17. 略

11o 5

三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

x x

18、（本小题满分10分）已知sin -2cos =0，（Ⅰ）求tan x 的值；

x x x

解：（Ⅰ）由sin -2cos =0, ⇒tan =2，----------3分

222

x 2tan

=2⨯2=-4．-----------------------6分 ∴tan x =

31-222x 1-tan

（Ⅱ）求

cos 2x 2+x ) ⋅sin x

的值．

解：原式＝

cos 2x -sin 2x 2(

22cos x -sin x ) sin x 22

(cosx -sin x )(cosx +sin x )

(cosx -sin x ) sin x

cos x +sin x

----------9分

sin x

31=c o t x +1=(-) +1= ．-----------------------12分

19. （本小题满分12分）

从某学校高三年级800名学生中随机抽取

50名测量身高，据测量被抽取的学生的身高

全部介于155cm 和195cm 之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[155,160)．第二

组[160,165)；…第八组[190,195]，右图是按上述分组方法得到的条形图. (1)根据已知条件填写下面表格：

解：(1)由条形图得第七组频率为

1-(0.04⨯2+0.08⨯2+0.2⨯2+0.3) =0.06,0.06⨯50=3.

∴第七组的人数为3人. --------1分

组别样本中人数

1 2

2 4 10

5 6 4

7 3

8 2

---------4分

(2)估计这所学校高三年级800名学生中身高在180cm 以上（含180cm ）的人数；解：由条形图得前五组频率为(0.008+0.016+0.04+0.04+0.06)×5=0.82,后三组频率为1-0.82=0.18.估计这所学校高三年级身高在180cm 以上(含180cm) 的人数800×0.18=144(人). ---------8分

解：第二组四人记为a 、b 、c 、d ，其中a 为男生，b 、c 、d 为女生，第七组三人记为1、2、3，其中1、2为男生，3为女生，基本事件列表如下：

1 2 3

a 1a 2a 3a

b 1b 2b 3b

c 1c 2c 3c

d 1d 2d 3d

所以基本事件有12个, 恰为一男一女的事件有1b ，1c ，1d ，2b ，2c ，2d ，3a 共7个, 因此实验小组中，恰为一男一女的概率是

. ---------12分 12

20、（本小题满分12分）如图，在正方体

ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BB 1、CD 的中点.

（1）证明:AD ⊥D 1F ；（

证明: ∵AC 1是正方体 ∴AD ⊥面DC 1

又D 1F ⊂面DC 1 ∴AD ⊥D 1F „„„„„„4分

（2）求证:面AED ⊥面A 1FD 1；

证明：由（1）知AD ⊥D 1F , 由(2) 知AE ⊥D 1F 　又　AD AE =A , ∴D 1F ⊥面AED 　　又　　D 1F ⊂面A 1FD 1

∴面AED ⊥面A 1FD „„„„„9分

（3）设AA 1＝2 ，求三棱维E －AA 1F 的体积V E －A A 1F 解：连结GE 　、GD

∵体积V E -AA F =V F -AA 1E „„„„„10分

又 FG⊥面ABB 1A 1 ，三棱锥F-AA 1E 的高FG=AA 1=2

∴面积S ∆AA 1E =

1S 2

□

∴V E -AA 1F =V F -AA 1E

⨯22=2 „„„„„12分 214

=⋅FG ⋅S ∆AA 1E =„„„„„14分 33

ABB 1A 1=

21. （本小题满分12分）

已知三次函数f (x ) =x 3+ax 2+bx +c 在x =1和x =-1时取极值，且f (-2) =-4．（Ⅰ）求函数y =f (x ) 的表达式；解：（Ⅰ）f '(x ) =3x 2+2ax +b ，

由题意得：1, -1是3x 2+2ax +b =0的两个根，解得，a =0, b =-3．

再由f (-2) =-4可得c =-2． -----------------2分 ∴f (x ) =x 3-3x -2．

（Ⅱ）求函数y =f (x ) 的单调区间和极值；

解：f (x ) =3x -3=3(x +1)(x -1) ，

------------------4分

当x 0；当x =-1时，f '(x ) =0；------------------5分当-1

当x >1时，f '(x ) >0．∴函数f (x ) 在区间(-∞, -1]上是增函数； ------------------7分 ]上是减函数；在区间[1,+∞) 上是增函数．在区间[-1, １

函数f (x ) 的极大值是f (-1) =0，极小值是f (1)=-4． ------------------9分

（Ⅲ）若函数g (x ) =f (x -m ) +4m (m >0) 在区间[m -3, n ]上的值域为[-4,16]，试求m 、应满足的条件。

解：函数g (x ) 的图象是由f (x ) 的图象向右平移m 个单位，向上平移4m 个单位得到，所以，函数f (x ) 在区间[-3, n -m ]上的值域为

[-4-4m ,16-4m ]（m >0）． -------------10分

而f (-3) =-20，∴-4-4m =-20，即m =4．

则函数f (x ) 在区间[-3, n -4]上的值域为[-20, 0]．------------------12分令f (x ) =0得x =-1或x =2．

由f (x ) 的单调性知，-1≤n -4≤2，即3≤n ≤6．

综上所述，m 、应满足的条件是：m =4，且3≤n ≤6------------------14分

22. （本小题满分12分）

x 2y 22 已知椭圆C :2+2=1(a >b >0) 的离心率e =，左、右焦点分别为F 1、F 2，

2a b

点P (2,

3) 满足F 2在线段PF 1的中垂线上．(1)求椭圆C 的方程;

解（1）：椭圆C 的离心率e =

，得： 2

c 2=，„„1分 a 2

其中c =

a 2-b 2, 椭圆C 的左、右焦点分别为F 1(-c , 0), F 2(c , 0) ,

又点F 2在线段PF 1的中垂线上,

∴|F 1F 2|=|PF 2|, ∴(2c ) 2=() 2+(2-c ) 2, „„3分

解得c =1, a =2, b =1,

x 2

∴椭圆C 的方程为+y 2=1． „„6分

(2)如果圆E ：(x -) +y =r 被椭圆C 所覆盖，求圆的半径r 的最大值

222

解：设P (x 0, y 0) 是椭圆C 上任意一点, 2x 2+y 0=

1, |PE |=则22x 0 y =1-, „„„„8分

∴|PE |==

≤x 0≤„12分当x 0=1时, |PE

|min ==

, ∴半径r

„14分

23. （本小题满分12分）

设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=1，且对任意正整数n , 点(a n +1, S n )在直线2x +y -2=0上.

（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；

解：(Ⅰ) 由题意可得：

2a n +1+S n -2=0. ①

n ≥2时, 2a n +S n -1-2=0. ② „„„„„„ 1分 ①─②得2a n +1-2a n +a n =0⇒a n +11=(n ≥2)， a n 2

a 1=1, 2a 2+a 1=2⇒a 2=1 „„„„„„„„ 3分 2

n -11⎛1⎫∴{a n }是首项为1，公比为的等比数列，∴a n = ⎪. „„„„„„ 4分 2⎝2⎭

（Ⅱ）是否存在实数λ，使得数列⎨S n +λ⋅n +⎧⎬为等差数列？若存在，求出λ的n λ⎫⎩2⎭

值；若不存在，则说明理由.

1-1

（Ⅱ）解法一: S n =n =2-1. „„„„„„ 5分 1-12n -1

若⎨⎧λ⎫

⎩S n +2n ⎬⎭为等差数列，则S 1+λ+λ

2, S 2+2λ+λ

22, S 3+3λ+λ

23成等差数列, „„„ 6分

⎛ 9λ⎫

⎝S 3λ

2+4⎪⎭=S 1+2+S 25λ⎛39λ⎫3λ725λ

3+8⇒2 ⎝2+4⎪⎭=1+2+4+8,

得λ=2. „„„„„„ 8分

又λ=2时，S n +2n +2

2n =2n +2，显然{2n +2}成等差数列，

故存在实数λ=2，使得数列⎨⎧S λ⎫

⎩n +λn +2n ⎬⎭成等差数列. „„ 9分

1-1

解法二: S n =n 1

1-1=2-2n -1. „„„„ 5分

∴S n +λn +λ

2n =2-12n -1+λn +λ2n =2+λn +(λ-2)12n . „ „„„„

欲使⎨⎧λ⎫

⎩S n +λ⋅n +2n ⎬⎭成等差数列,

只须λ-2=0即λ=2便可. „8分

故存在实数λ=2，使得数列⎨⎧λ⎫

⎩S n +λn +2n ⎬⎭成等差数列. „„„ 9分

7分

（Ⅲ）求证：1n 2-k 1

6≤∑1)

解： 1

k +1)(a k +1+1)

= 1=1

(12k (11

2k -1+1)(11-) 2k +1) 2k +112k -1+1

„„„ 10分

∴∑2-k n

=11)

k =1(a ∑( „„ 11分

k +1)(a kt +1+1) k =11-1

2k +12k -1+1

=(11111

1-1) +(-1) + +(-)

2+11+1122+12+12t +112k -1+1

=-1

1+1+1

2k +1

2k +1-2 „„„„ 12分又函数y =2x 2x +1=1

1在x ∈[1, +∞) 上为增函数，

2x +1

212k

∴21+1≤2k +1

32≤2k 111n 2-k

∴-1

2k +1-2

k =1(a k +1)(a k +1+1) 2

14分

2016年全国卷高考文科数学模拟试题(1)

本试卷共4页，23小题，满分150分．考试用时120分钟．

参考公式：锥体的体积公式V =

Sh ，其中S 为锥体的底面积，h 为高． 3

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的 1． A =

{(x , y )|x +y =0, x , y ∈R }, B ={(x , y )|x -y -2=0, x , y ∈R }，则集合

{

}

A B =( )

A ．(1,-1) B ．{x =1} {y =-1} C ．{1, -1} D ．(1, -1) 2．下列函数中，在其定义域内是减函数的是( )

A .f (x ) =-x +x +1 B ． f (x ) =

C ． f (x ) =log 1x D . f (x ) =ln x

3．已知函数f (x ) =⎨

⎧x (x +1), x

，则函数f (x ) 的零点个数为（）

⎩x (x -1), x ≥0

A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 4. 等差数列{a n }中，若a 2+a 8=15-a 5，则a 5等于( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 5．已知a >0,

f (x ) =x 4-a x +4, 则f (x ) 为( )

A ．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．奇偶性与a 有关

6．已知向量a =(1，，，若向量a //b ，则x =( ) 2) b =(x ，4)

A ．2 B ． -2 C ． 8

D ．-8

7. 设数列{a n }是等差数列, 且a 2=-8, a 15=5, S n 是数列{a n }的前n 项和，则 ( ) A. S 9

B.S 9=S 10 C.S 11

D.S 11=S 10

8．已知直线l 、m , 平面α、β，则下列命题中：

①．若α//β，l ⊂α, 则l //β ②．若α//β，l ⊥α, 则l ⊥β

③．若l //α，m ⊂α, 则l //m ④．若α⊥β，α⋂β=l , m ⊥l , 则m ⊥β. 其中，真命题有（）

A ．0个 B．1个 C．2个 D．3个

x 2y 2

9．已知离心率为e 的曲线2-=1，其右焦点

a 7

与抛物线y 2=16x 的焦点重合，则e 的值为（）

A ．

B C ．

10．给出计算

1111

+++ + 的值的一个 24620

程序框图如右图，其中判断框内应填入的条件是（）． A ．i >10 B ．i 20 D ．i

12．规定记号“⊗”表示一种运算，即a ⊗b =ab +a +b 2(a , b 为正实数) ，若1⊗k =3，

则k =（）

A ．-2 B ．1 C ．-2 或1 D ．2

二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分。（一）必做题（13 15题）

10题

⎧x ≥0⎪

13．在约束条件⎨y ≤1下，函数S =2x +y 的最大值为．

⎪2x -2y +1≤0⎩

14．如右图，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正三角形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的体积为．

15．一个容量为20的样本，数据的分组及各组的频数如下表：(其中x ，y ∈N *)

分/组频数

[10，20) [20，30) [30，40) [40，50) [50，60) [60，70)

则样本在区间 [10，50 ) 上的频率为（二）选做题（16、17题，考生只能从中选做一题）

16．（几何证明选讲选做题）四边形ABCD 内接于⊙O ，BC 是直径，

MN 切⊙O 于A ，∠MAB =25，则∠D =．

17．（坐标系与参数方程选做题）以极坐标系中的点(1,1)为∙

圆心，1为半径的圆的方程是三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 18. （本小题满分10分）已知sin

x x

-2cos =0，（Ⅰ）求tan x 的值；（Ⅱ）求22

cos 2x 2+x ) ⋅sin x

的值．

19. （本小题满分12分）从某学校高三年级

800名学生中随机抽取50名测量身高，据

测量被抽取的学生的身高全部介于155cm 和195cm 之间，将测量结果按如下方式分成

八组：第一组[155,160)．第二组[160,165)；„第八组[190,195]，右图是按上述分组方法得到的条形图. (1)根据已知条件填写下面表格：组别样本数

(2)估计这所学校高三年级800名

学生中身高在180cm 以上（含180cm ）的人数；

20．（本小题满分12分）如图，在正方体

ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BB 1、CD 的中点.

（1）证明:AD ⊥D 1F ；（2）证明:面AED ⊥面A 1FD 1；（3）设AA 1＝2 ，求三棱维E －AA 1F 的体积V E －A A 1F 21．（本小题满分12分）

x 2y 22

22. （本小题满分12分）已知椭圆C :2+2=1(a >b >0) 的离心率e =，左、右

2a b

焦点分别为F 1、F 2，点P (2, (1)求椭圆C 的方程; (2)) 满足F 2在线段PF 1的中垂线上．

如果圆E ：(x -) +y =r 被椭圆C 所覆盖，求圆的半径r 的最大值 23．（本小题满分12分）

设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=1，且对任意正整数n , 点(a n +1, S n )在直线

2x +y -2=0上.

（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；

（Ⅱ）是否存在实数λ，使得数列⎨S n +λ⋅n +值；若不存在，则说明理由.

⎧⎩

⎬为等差数列？若存在，求出λ的2⎭

λ⎫

1n 2-k 1

（Ⅲ）求证：≤∑

6k =1(a k +1)(a k +1+1) 2

2016年全国卷高考文科数学模拟试题(1)答案

一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共12小题，每小题5分，满分60分题

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 号答

D C C C B A B C C A A B 案

选择题参考答案: 1. A =

{(x , y )|x +y =0, x , y ∈R }, B ={(x , y )|x -y -2=0, x , y ∈R }，则集合

⎧x +y =0⎫⎪⎨⎬, 化简, 选D x -y -2=0⎩⎪⎭

⎧⎪

A B =⎨{(x , y )

⎪⎩

2.A 选项中二次函数增减区间均存在，B 选项中该函数不是在整个定义域上单调递减，D 选

项中恒为单调递增函数，故选C 3. 当x

当x ≥0时，x (x -1) =0, ∴x =1或x =0，共3个零点，选C 4. 由

a 2+a 8=15-a 5，根据等差数列的下脚标公式，则2a 5=15-a 5, ∴a 5=5，选 C

5. 根据奇偶性的判定：显然f (-x ) =f (x ) ，偶函数且与参数取值无关，故选B

6 a =(1，2) ，b =(x ，4) ，且向量a //b ，则2x =4, ∴x =2 选A

7. a 2=-8, a 15=513d =13, d =1故a 10=a 2+8d =0，则S 9=S 10 , , 选B

8. ①②正确， ③④错误故选C

4⎛16⎫

9. 由题意：a 2+7= ⎪=16, ∴a 2=9，则离心率为，选C

3⎝4⎭

10. 根据框图，当加到

时，总共经过了10次运算，则不能超过10次，故选A 20

11. 因为 y 2=xz ，但是x , z 可能同时为负数，所以必要性不成立，选A

12. 由 a ⊗b =ab +a +b 2(a , b 为正实数) ，若1⊗k =3，则k +1+k 2=3，解得

k =1或k =-2，但根据定义域k =-2舍去，选B

二、填空题：本大题查基本知识和基本运算，体现选择性．共5小题，每小题5分，满分

20分．其中16~17题是选做题，考生只能选做一题．

13．2

14.

15. 0.7

16．115︒ 17．ρ=2cos (θ-1)

填空题参考答案：

13. 根据线性规划知识作出平面区域，代入点(0.5,1)计算可得

14.

圆锥体积为V =

111Sh =π⋅() 2⋅= 332224

15. 频率为

20-2-4

=0.720

∙

16. 连接BD , AC ，根据弦切角定理∠MAB =∠ACB =∠ADB =25 故所求角度为25+90=17. 略

11o 5

三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

x x

18、（本小题满分10分）已知sin -2cos =0，（Ⅰ）求tan x 的值；

x x x

解：（Ⅰ）由sin -2cos =0, ⇒tan =2，----------3分

222

x 2tan

=2⨯2=-4．-----------------------6分 ∴tan x =

31-222x 1-tan

（Ⅱ）求

cos 2x 2+x ) ⋅sin x

的值．

解：原式＝

cos 2x -sin 2x 2(

22cos x -sin x ) sin x 22

(cosx -sin x )(cosx +sin x )

(cosx -sin x ) sin x

cos x +sin x

----------9分

sin x

31=c o t x +1=(-) +1= ．-----------------------12分

19. （本小题满分12分）

从某学校高三年级800名学生中随机抽取

50名测量身高，据测量被抽取的学生的身高

全部介于155cm 和195cm 之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[155,160)．第二

组[160,165)；…第八组[190,195]，右图是按上述分组方法得到的条形图. (1)根据已知条件填写下面表格：

解：(1)由条形图得第七组频率为

1-(0.04⨯2+0.08⨯2+0.2⨯2+0.3) =0.06,0.06⨯50=3.

∴第七组的人数为3人. --------1分

组别样本中人数

1 2

2 4 10

5 6 4

7 3

8 2

---------4分

解：第二组四人记为a 、b 、c 、d ，其中a 为男生，b 、c 、d 为女生，第七组三人记为1、2、3，其中1、2为男生，3为女生，基本事件列表如下：

1 2 3

a 1a 2a 3a

b 1b 2b 3b

c 1c 2c 3c

d 1d 2d 3d

所以基本事件有12个, 恰为一男一女的事件有1b ，1c ，1d ，2b ，2c ，2d ，3a 共7个, 因此实验小组中，恰为一男一女的概率是

. ---------12分 12

20、（本小题满分12分）如图，在正方体

ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BB 1、CD 的中点.

（1）证明:AD ⊥D 1F ；（

证明: ∵AC 1是正方体 ∴AD ⊥面DC 1

又D 1F ⊂面DC 1 ∴AD ⊥D 1F „„„„„„4分

（2）求证:面AED ⊥面A 1FD 1；

证明：由（1）知AD ⊥D 1F , 由(2) 知AE ⊥D 1F 　又　AD AE =A , ∴D 1F ⊥面AED 　　又　　D 1F ⊂面A 1FD 1

∴面AED ⊥面A 1FD „„„„„9分

（3）设AA 1＝2 ，求三棱维E －AA 1F 的体积V E －A A 1F 解：连结GE 　、GD

∵体积V E -AA F =V F -AA 1E „„„„„10分

又 FG⊥面ABB 1A 1 ，三棱锥F-AA 1E 的高FG=AA 1=2

∴面积S ∆AA 1E =

1S 2

□

∴V E -AA 1F =V F -AA 1E

⨯22=2 „„„„„12分 214

=⋅FG ⋅S ∆AA 1E =„„„„„14分 33

ABB 1A 1=

21. （本小题满分12分）

已知三次函数f (x ) =x 3+ax 2+bx +c 在x =1和x =-1时取极值，且f (-2) =-4．（Ⅰ）求函数y =f (x ) 的表达式；解：（Ⅰ）f '(x ) =3x 2+2ax +b ，

由题意得：1, -1是3x 2+2ax +b =0的两个根，解得，a =0, b =-3．

再由f (-2) =-4可得c =-2． -----------------2分 ∴f (x ) =x 3-3x -2．

（Ⅱ）求函数y =f (x ) 的单调区间和极值；

解：f (x ) =3x -3=3(x +1)(x -1) ，

------------------4分

当x 0；当x =-1时，f '(x ) =0；------------------5分当-1

当x >1时，f '(x ) >0．∴函数f (x ) 在区间(-∞, -1]上是增函数； ------------------7分 ]上是减函数；在区间[1,+∞) 上是增函数．在区间[-1, １

函数f (x ) 的极大值是f (-1) =0，极小值是f (1)=-4． ------------------9分

（Ⅲ）若函数g (x ) =f (x -m ) +4m (m >0) 在区间[m -3, n ]上的值域为[-4,16]，试求m 、应满足的条件。

解：函数g (x ) 的图象是由f (x ) 的图象向右平移m 个单位，向上平移4m 个单位得到，所以，函数f (x ) 在区间[-3, n -m ]上的值域为

[-4-4m ,16-4m ]（m >0）． -------------10分

而f (-3) =-20，∴-4-4m =-20，即m =4．

则函数f (x ) 在区间[-3, n -4]上的值域为[-20, 0]．------------------12分令f (x ) =0得x =-1或x =2．

由f (x ) 的单调性知，-1≤n -4≤2，即3≤n ≤6．

综上所述，m 、应满足的条件是：m =4，且3≤n ≤6------------------14分

22. （本小题满分12分）

x 2y 22 已知椭圆C :2+2=1(a >b >0) 的离心率e =，左、右焦点分别为F 1、F 2，

2a b

点P (2,

3) 满足F 2在线段PF 1的中垂线上．(1)求椭圆C 的方程;

解（1）：椭圆C 的离心率e =

，得： 2

c 2=，„„1分 a 2

其中c =

a 2-b 2, 椭圆C 的左、右焦点分别为F 1(-c , 0), F 2(c , 0) ,

又点F 2在线段PF 1的中垂线上,

∴|F 1F 2|=|PF 2|, ∴(2c ) 2=() 2+(2-c ) 2, „„3分

解得c =1, a =2, b =1,

x 2

∴椭圆C 的方程为+y 2=1． „„6分

(2)如果圆E ：(x -) +y =r 被椭圆C 所覆盖，求圆的半径r 的最大值

222

解：设P (x 0, y 0) 是椭圆C 上任意一点, 2x 2+y 0=

1, |PE |=则22x 0 y =1-, „„„„8分

∴|PE |==

≤x 0≤„12分当x 0=1时, |PE

|min ==

, ∴半径r

„14分

23. （本小题满分12分）

设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=1，且对任意正整数n , 点(a n +1, S n )在直线2x +y -2=0上.

（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；

解：(Ⅰ) 由题意可得：

2a n +1+S n -2=0. ①

n ≥2时, 2a n +S n -1-2=0. ② „„„„„„ 1分 ①─②得2a n +1-2a n +a n =0⇒a n +11=(n ≥2)， a n 2

a 1=1, 2a 2+a 1=2⇒a 2=1 „„„„„„„„ 3分 2

n -11⎛1⎫∴{a n }是首项为1，公比为的等比数列，∴a n = ⎪. „„„„„„ 4分 2⎝2⎭

（Ⅱ）是否存在实数λ，使得数列⎨S n +λ⋅n +⎧⎬为等差数列？若存在，求出λ的n λ⎫⎩2⎭

值；若不存在，则说明理由.

1-1

（Ⅱ）解法一: S n =n =2-1. „„„„„„ 5分 1-12n -1

若⎨⎧λ⎫

⎩S n +2n ⎬⎭为等差数列，则S 1+λ+λ

2, S 2+2λ+λ

22, S 3+3λ+λ

23成等差数列, „„„ 6分

⎛ 9λ⎫

⎝S 3λ

2+4⎪⎭=S 1+2+S 25λ⎛39λ⎫3λ725λ

3+8⇒2 ⎝2+4⎪⎭=1+2+4+8,

得λ=2. „„„„„„ 8分

又λ=2时，S n +2n +2

2n =2n +2，显然{2n +2}成等差数列，

故存在实数λ=2，使得数列⎨⎧S λ⎫

⎩n +λn +2n ⎬⎭成等差数列. „„ 9分

1-1

解法二: S n =n 1

1-1=2-2n -1. „„„„ 5分

∴S n +λn +λ

2n =2-12n -1+λn +λ2n =2+λn +(λ-2)12n . „ „„„„

欲使⎨⎧λ⎫

⎩S n +λ⋅n +2n ⎬⎭成等差数列,

只须λ-2=0即λ=2便可. „8分

故存在实数λ=2，使得数列⎨⎧λ⎫

⎩S n +λn +2n ⎬⎭成等差数列. „„„ 9分

7分

（Ⅲ）求证：1n 2-k 1

6≤∑1)

解： 1

k +1)(a k +1+1)

= 1=1

(12k (11

2k -1+1)(11-) 2k +1) 2k +112k -1+1

„„„ 10分

∴∑2-k n

=11)

k =1(a ∑( „„ 11分

k +1)(a kt +1+1) k =11-1

2k +12k -1+1

=(11111

1-1) +(-1) + +(-)

2+11+1122+12+12t +112k -1+1

=-1

1+1+1

2k +1

2k +1-2 „„„„ 12分又函数y =2x 2x +1=1

1在x ∈[1, +∞) 上为增函数，

2x +1

212k

∴21+1≤2k +1

32≤2k 111n 2-k

∴-1

2k +1-2

k =1(a k +1)(a k +1+1) 2

14分

2016年全国卷高考文科数学模拟试题(1)

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