1.2.3 相反数
(二)解读探究
1.观察下列数:6和-6,2
2255
和-2,7和-7,和-,并把它们在数轴上标出. 3377
想一想 (1)上述各对数之间有什么特点? (2)表示这两对数的点在数轴上有什么特点? (3)你能够写出具有上述特点的数吗? 观察 像这样只有符号不同的两个数叫相反数.
两个互为相反数的数,在数轴上的对应点(0除外),是在原点两旁,•并且距离原点相等的两个点.即:互为相反数的两个数在数轴上的对应点关于原点对称.我们把a 的相反数记为-a ,并且规定0的相反数就是零.
【总结】 在正数前面添上一个“-”号,就得到这个正数的相反数,是一个负数;把负数前的“-”号去掉,就得到这个负数的相反数,是一个正数.
2.在任意一个数前面添上“-”号,新的数就是原数的相反数.如-(+5)=•-5,表示+5的相反数为-5;-(-5)=5,表示-5的相反数是5;-0=0,表示0•的相反数是0. (三)应用迁移,巩固提高 例1 填空
(1)-5.8是 的相反数, 的相反数是-(+3),a 的相反数是 ,a-b 的相反数是 ,0的相反数是 .
(2)正数的相反数是 ,负数的相反数是 , 的相反数是它本身. 例2 下列判断不正确的有 ( )
①互为相反数的两个数一定不相等;②互为相反数的数在数轴上的点一定在原点的两边;③所有的有理数都有相反数;④相反数是符号相反的两个点. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 例3 化简下列各符号:
(1)-[-(-2)] (2)+{-[-(+5)]} (3)-{-{-„-(-6)}„}(共n 个负号)
例4 数轴上A 点表示+4,B 、C 两点所表示的数是互为相反数,且C 到A•的距离为2,点B 和点C 各对应什么数?
(2004·江西)如图所示,数轴上的点A 所表示的是实数a ,则点A 到原点的距离是______.
(四)总结反思,拓展升华 归纳 ①相反数的概念及表示方法. ②相反数的代数意义和几何意义. ③符号的化简.
1.(1)王亮说:“一个数总比它的相反数大”.你认为正确吗?为什么? (2)若数轴上表示一对相反数的两点之间的距离为26.8,求这两个数.
2.你若a 是不小于-1又不大于3的数,那么a 的相反数是什么样的数呢?
(五)课堂跟踪反馈 夯实基础 1.判断题
(1)-3是相反数 () (2)-7和7是相反数 () (3)-a 的相反数是a ,它们互为相反数 () (4)符号不同的两个数互为相反数 ()
2.分别写出下列各数的相反数,并把它们在数轴上表示出来. 1,-2,0,4.5,-2.5,3
3.若一个数的相反数不是正数,则这个数一定是() A.正数 B.正数或0 C.负数 D.负数或0 4.一个数比它的相反数小,这个数是()
A.正数 B.负数 C.非负数 D.非正数 5.数轴上表示互为相反数的两个点之间的距离为4 6.比-6的相反数大7的数是 . 提升能力
7.若a 与a-2互为相反数,则a 的相反数是 . 8.(1)-(-8)的相反数是 ,
2
,则这两个数是_______. 3
(2)+(-6)是 的相反数. (3) 的相反数是a-1. (4)若-x=9,则x= .
9.已知有理数m 、-3、n 在数轴上位置如图所示,将m 、-3、n•的相反数在数轴上表示,并将这6个数用“
11.试讨论-a 的正负.
12.新中考题
3
的相反数是 () 4
3344
A. B.- C. D.-
4433
(2004·河南)-
1.2.4 绝对值(第一课时)
(二)解读探究
观察 出示一组数6与-6,3.5与-3.5,1和-1,它们是一对互为________,•它们的__________不同,__________相同.
【总结】 例如6和-6两个数在数轴上的两点虽然分布在原点的两边,•但它们到原点的距离相等,如果我们不考虑两点在原点的哪一边,只考虑它们离开原点的距离,这个距离都是6,我们就把这个距离叫做6和-6的绝对值.
绝对值:在数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做a 的绝对值,记作│a │. 想一想 (1)-3的绝对值是什么? (2)+2
3
的绝对值是多少? 7
(3)-12的绝对值呢? (4)a 的绝对值呢?
交流 同桌间合作交流,每位同学任说五个数,由同桌指出它们的绝对值. 思考 例1 求8,-8,3,-3, 由此,你想到什么规律?
11
,-的绝对值. 44
总结 互为相反数的两个数的绝对值相同. 求+2.3,-1.6,9,0,-7,+3的绝对值. 总结 正数的绝对值是它本身. 负数的绝对值是它的相反数. 零的绝对值是零.
讨论 字母a 可以代表任意的数,那么表示什么数?这时a 的绝对值分别是多少? 归纳 若a>0,则│a │=a 若a
(1)绝对值等于4的数有 个,它们是 . (2)绝对值等于-3的数有 个.
(3)绝对值等于本身的数有 个,它们是 . (4)①若│a │=2,则a= . ②若│-a │=3,则a= .
(5)绝对值不大于2的整数是 . (6)根据绝对值的意义,思考: ①如果=1,那么a 0; ②如果=-1,那么a 0; ③如果a
(2004·四川资阳)绝对值为4的数是 ( ) A.±4 B.4 C.-4 D.2
(四)总结反思,拓展升华
本节课,我们学习认识了绝对值,要注意掌握以下两点:①一个数的绝对值是在数轴上表示这个数的点到原点的距离;②求一个数的绝对值必须先判断是正数还是负数. 1.阅读与理解:
点A 、B 在数轴上分别表示有理数a 、b ,A 、B 两点之间的距离表示为│AB │.
当AB 两点中有一点在原点时,不妨设点A 在原点,如图(1)所示,│AB │=│OB │=│b │=│a-b │;
当A 、B 两点都不在原点时:
① 如图(2)所示,点都在原点的右边,
│AB │=│OB │-│OA │=│b │-│a │=•b-a=│a-b │; ② 如图(3)所示,点都在原点的左边,
│AB=│OB │-│OA │=│b │-│a │=-b-•(-a )=│a-b │; ③ 如图(4)所示,点都在原点的两边,
│AB │=│OA │+│OB │=│a │+│b │=•-a+b=│a-b │;
(1)
(2)
(3)
(4)
综上,数轴上A 、B 两点之间的距离│AB │=│a-b │. 2.回答下列问题:
(1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ,数轴上表示-2和-5•的两点之间的距离是 ,数轴上表示1和-3的两点之间的距离是 ;
(2)数轴上表示x 和-1的两点之间的距离是 ,如果│AB │=2,那么x•为 ; (3)当代数式│x+1│+│x-2│取最小值时,相应的x 的取值范围是 . (五)课堂跟踪反馈 夯实基础 1.填空题
(1)-│-3│= ,+│-0.27│= , -│+26│= ,-(+24)= .
(2)-4的绝对值是 ,绝对值等于4的数是 .
(3)若│x │=2,则x= ,若│-x │=2,则x= .若│-x │=3,则x . (4)│3.14- |= .
(5)绝对值小于3的所有整数有 . 2.选择题
(1)则│a │≥0,那么 ()
A.a>0 B.a
(2)若│a │=│b │,则a 、b 的关系是 ()
A.a=b B.a=-b C.a+b=0或a-b=0 D.a=0且b=0 (3)下列说法不正确的是 ()
A.如果a 的绝对值比它本身大,则a 一定是负数 B.如果两个数相等,那么它们的绝对值也必不相等 C.两个负有理数,绝对值大的离原点远 D.两个负有理数,大的离原点近 (4)若│x │+x=0,则x 一定是 ()
A.负数 B.0 C.非正数 D.非负数
(5)已知│a+b│+│a-b │-2b=0,在数轴上给出关于a 、b 的四种位置关系,•则可能成立的有 ()
A.1种 B.2种 C.3种 D.4种 提升能力
3.若实数a 、b 满足│3a-1│+│b-2│=0,求a+b的值.
5.新中考题
(2004·长沙)-2的绝对值是 .
1.2.4 绝对值(第二课时)
你能比较下列各组数的大小吗?
(1)│-3│与│-8│ (2)4与-5 (3)0与3 (4)-7和0 (5)0.9和1.2
由以上各组数的大小比较可见:正数都大于0,0都大于负数,正数都大于负数. 思考 若任取两个负数,该如何比较它的大小呢?
点拨 若-7表示-7℃,-1表示-1℃,则两个温度谁高谁低?
【总结】 两个负数,绝对值大的反而小,或说,两个负数绝对值小的反而大. 注意 ①比较两个负数的大小又多了一种方法,即:两个负数,绝对值大的反而小.
②异号的两数比较大小,要考虑它们的正负;同号两数比较大小,要考虑先比较它们的绝对值.
③在数轴上表示有理数,它们从左到右的顺序也就是从小到大的顺序,即:左边的数总比右边的数要小.即:利用数轴来比较有理数的大小. (三)应用迁移,巩固提高 例1 比较下列各组数的大小 (1)-
553和-2.7 (2)-和- 674
例2 按从大到小的顺序,用“〈”号把下列数连接起来.
12,-(-),│-0.6│,-0.6,-│4.2│ 23
51
例3 自己任写三个数,使它大于-而小于-.
78
-4
例4 已知│a │=4,│b │=3,且a>b,求a 、b 的值.
(2004.江苏南通)如图1-2-11所示,在所给数轴上画出数-3,-1,│-2│的点.把这组数从小到大用“〈”号连接起来.
(四)总结反思,拓展升华
1.本节课所学的有理数的大小比较你能掌握两种方法吗?
(1)利用数轴,在数轴上把这些数表示出来,•然后根据“数轴上左边的数总比右边的数大”来比较;
(2)利用比较法则:“正数大于零,负数小于零,两个负数,•绝对值大的反而小”来进行.
2.(1)阅读下列比较-a 与- 解:∵│-a │=a,│- 又∵a>
2
a 的大小的解题过程: 3
22a │=a 33
22
a ∴-a
你认为上述解答过程正确吗?与同学们研究,并发表你的看法.
(2)要比较有理数a 和a
1
a 的大小时,因为a 的正、负不能确定.所以要分a>0,a=0,3
1a . 31
当a=0时,a=a .
31
当a3
当a>0时,a> 利用以上结论解题: ①计算│a │+a=_________. ②比较3a+a的值. 【点评】 (1)错,-a 与-可以用比差法,也可以分类.
(2)①当a>0时,2a ;当a ≤0时,0
②a>0时,3a>a;a=0时,3a=a;a(1)绝对值小于3的负整数有 ,绝对值不小于2且不大于5的非负整数有 . (2)若│x │=-x,则 ,若=1,则 . (3)用“〉”、“=”、“〈”填空:
①-7 -5 ②-0.1 -0.01
2
a 并不一定是负数,•不可以用比较绝对值方法加以比较,3
10
│ -3.34 3
881
④ - - ⑥-(-) 0.025
974
22202
⑦- -3.14 ⑧- -
20323
③-│-3.2│ -(-3.2) ④-│- (4)若│x+3│=5,则x= . 2.选择题
(1)下列判断正确的是 () A.a>-a B.2a>a C.a>-
1
D.│a │≥a a
11
而小于-的数是 () 34
11436
A.- B.- C.- D.-
13161720
(2)下列分数中,大于-
(3)│m │与-5m 的大小关系是 ()
A.│m │>-5m B.│m │
|a|
= () a
A.1 B.-1 C.±1 D.无法判断 提升能力 3.解答题 (1)比较-
76
和-的大小,并写出比较过程. 87
1
│,-│+2│,-│-(+1.5)│,-(-3),│-(+22
(2)求同时满足:①│a │=6,②-a>0这两个条件的有理数a . (3)将有理数:-(-4),0,-│-3
1
)│表示到数轴上,并用“〈”把它们连接起来. 2
(4)甲、乙、丙、丁四个有理数讨论大小问题.甲说:我是正整数中最小的.•乙说:我是绝对值最小的.丙说:我与甲的一半相反.丁说:我是丙的倒数.你能写出它们分别是多少吗?然后按从小到大的顺序排列.
(5)若a0,且│a │
开放探究 4.开放题
已知数轴上有A 和B 两点,它们之间的距离为1,点A 和原点的距离为2,•那么所有满足条件的点B 对应的数有哪些?
5.新中考题
(2004·山东泰安)若│a │=1,│b │=4,且ab
1.2.3 相反数
(二)解读探究
1.观察下列数:6和-6,2
2255
和-2,7和-7,和-,并把它们在数轴上标出. 3377
想一想 (1)上述各对数之间有什么特点? (2)表示这两对数的点在数轴上有什么特点? (3)你能够写出具有上述特点的数吗? 观察 像这样只有符号不同的两个数叫相反数.
两个互为相反数的数,在数轴上的对应点(0除外),是在原点两旁,•并且距离原点相等的两个点.即:互为相反数的两个数在数轴上的对应点关于原点对称.我们把a 的相反数记为-a ,并且规定0的相反数就是零.
【总结】 在正数前面添上一个“-”号,就得到这个正数的相反数,是一个负数;把负数前的“-”号去掉,就得到这个负数的相反数,是一个正数.
2.在任意一个数前面添上“-”号,新的数就是原数的相反数.如-(+5)=•-5,表示+5的相反数为-5;-(-5)=5,表示-5的相反数是5;-0=0,表示0•的相反数是0. (三)应用迁移,巩固提高 例1 填空
(1)-5.8是 的相反数, 的相反数是-(+3),a 的相反数是 ,a-b 的相反数是 ,0的相反数是 .
(2)正数的相反数是 ,负数的相反数是 , 的相反数是它本身. 例2 下列判断不正确的有 ( )
①互为相反数的两个数一定不相等;②互为相反数的数在数轴上的点一定在原点的两边;③所有的有理数都有相反数;④相反数是符号相反的两个点. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 例3 化简下列各符号:
(1)-[-(-2)] (2)+{-[-(+5)]} (3)-{-{-„-(-6)}„}(共n 个负号)
例4 数轴上A 点表示+4,B 、C 两点所表示的数是互为相反数,且C 到A•的距离为2,点B 和点C 各对应什么数?
(2004·江西)如图所示,数轴上的点A 所表示的是实数a ,则点A 到原点的距离是______.
(四)总结反思,拓展升华 归纳 ①相反数的概念及表示方法. ②相反数的代数意义和几何意义. ③符号的化简.
1.(1)王亮说:“一个数总比它的相反数大”.你认为正确吗?为什么? (2)若数轴上表示一对相反数的两点之间的距离为26.8,求这两个数.
2.你若a 是不小于-1又不大于3的数,那么a 的相反数是什么样的数呢?
(五)课堂跟踪反馈 夯实基础 1.判断题
(1)-3是相反数 () (2)-7和7是相反数 () (3)-a 的相反数是a ,它们互为相反数 () (4)符号不同的两个数互为相反数 ()
2.分别写出下列各数的相反数,并把它们在数轴上表示出来. 1,-2,0,4.5,-2.5,3
3.若一个数的相反数不是正数,则这个数一定是() A.正数 B.正数或0 C.负数 D.负数或0 4.一个数比它的相反数小,这个数是()
A.正数 B.负数 C.非负数 D.非正数 5.数轴上表示互为相反数的两个点之间的距离为4 6.比-6的相反数大7的数是 . 提升能力
7.若a 与a-2互为相反数,则a 的相反数是 . 8.(1)-(-8)的相反数是 ,
2
,则这两个数是_______. 3
(2)+(-6)是 的相反数. (3) 的相反数是a-1. (4)若-x=9,则x= .
9.已知有理数m 、-3、n 在数轴上位置如图所示,将m 、-3、n•的相反数在数轴上表示,并将这6个数用“
11.试讨论-a 的正负.
12.新中考题
3
的相反数是 () 4
3344
A. B.- C. D.-
4433
(2004·河南)-
1.2.4 绝对值(第一课时)
(二)解读探究
观察 出示一组数6与-6,3.5与-3.5,1和-1,它们是一对互为________,•它们的__________不同,__________相同.
【总结】 例如6和-6两个数在数轴上的两点虽然分布在原点的两边,•但它们到原点的距离相等,如果我们不考虑两点在原点的哪一边,只考虑它们离开原点的距离,这个距离都是6,我们就把这个距离叫做6和-6的绝对值.
绝对值:在数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做a 的绝对值,记作│a │. 想一想 (1)-3的绝对值是什么? (2)+2
3
的绝对值是多少? 7
(3)-12的绝对值呢? (4)a 的绝对值呢?
交流 同桌间合作交流,每位同学任说五个数,由同桌指出它们的绝对值. 思考 例1 求8,-8,3,-3, 由此,你想到什么规律?
11
,-的绝对值. 44
总结 互为相反数的两个数的绝对值相同. 求+2.3,-1.6,9,0,-7,+3的绝对值. 总结 正数的绝对值是它本身. 负数的绝对值是它的相反数. 零的绝对值是零.
讨论 字母a 可以代表任意的数,那么表示什么数?这时a 的绝对值分别是多少? 归纳 若a>0,则│a │=a 若a
(1)绝对值等于4的数有 个,它们是 . (2)绝对值等于-3的数有 个.
(3)绝对值等于本身的数有 个,它们是 . (4)①若│a │=2,则a= . ②若│-a │=3,则a= .
(5)绝对值不大于2的整数是 . (6)根据绝对值的意义,思考: ①如果=1,那么a 0; ②如果=-1,那么a 0; ③如果a
(2004·四川资阳)绝对值为4的数是 ( ) A.±4 B.4 C.-4 D.2
(四)总结反思,拓展升华
本节课,我们学习认识了绝对值,要注意掌握以下两点:①一个数的绝对值是在数轴上表示这个数的点到原点的距离;②求一个数的绝对值必须先判断是正数还是负数. 1.阅读与理解:
点A 、B 在数轴上分别表示有理数a 、b ,A 、B 两点之间的距离表示为│AB │.
当AB 两点中有一点在原点时,不妨设点A 在原点,如图(1)所示,│AB │=│OB │=│b │=│a-b │;
当A 、B 两点都不在原点时:
① 如图(2)所示,点都在原点的右边,
│AB │=│OB │-│OA │=│b │-│a │=•b-a=│a-b │; ② 如图(3)所示,点都在原点的左边,
│AB=│OB │-│OA │=│b │-│a │=-b-•(-a )=│a-b │; ③ 如图(4)所示,点都在原点的两边,
│AB │=│OA │+│OB │=│a │+│b │=•-a+b=│a-b │;
(1)
(2)
(3)
(4)
综上,数轴上A 、B 两点之间的距离│AB │=│a-b │. 2.回答下列问题:
(1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ,数轴上表示-2和-5•的两点之间的距离是 ,数轴上表示1和-3的两点之间的距离是 ;
(2)数轴上表示x 和-1的两点之间的距离是 ,如果│AB │=2,那么x•为 ; (3)当代数式│x+1│+│x-2│取最小值时,相应的x 的取值范围是 . (五)课堂跟踪反馈 夯实基础 1.填空题
(1)-│-3│= ,+│-0.27│= , -│+26│= ,-(+24)= .
(2)-4的绝对值是 ,绝对值等于4的数是 .
(3)若│x │=2,则x= ,若│-x │=2,则x= .若│-x │=3,则x . (4)│3.14- |= .
(5)绝对值小于3的所有整数有 . 2.选择题
(1)则│a │≥0,那么 ()
A.a>0 B.a
(2)若│a │=│b │,则a 、b 的关系是 ()
A.a=b B.a=-b C.a+b=0或a-b=0 D.a=0且b=0 (3)下列说法不正确的是 ()
A.如果a 的绝对值比它本身大,则a 一定是负数 B.如果两个数相等,那么它们的绝对值也必不相等 C.两个负有理数,绝对值大的离原点远 D.两个负有理数,大的离原点近 (4)若│x │+x=0,则x 一定是 ()
A.负数 B.0 C.非正数 D.非负数
(5)已知│a+b│+│a-b │-2b=0,在数轴上给出关于a 、b 的四种位置关系,•则可能成立的有 ()
A.1种 B.2种 C.3种 D.4种 提升能力
3.若实数a 、b 满足│3a-1│+│b-2│=0,求a+b的值.
5.新中考题
(2004·长沙)-2的绝对值是 .
1.2.4 绝对值(第二课时)
你能比较下列各组数的大小吗?
(1)│-3│与│-8│ (2)4与-5 (3)0与3 (4)-7和0 (5)0.9和1.2
由以上各组数的大小比较可见:正数都大于0,0都大于负数,正数都大于负数. 思考 若任取两个负数,该如何比较它的大小呢?
点拨 若-7表示-7℃,-1表示-1℃,则两个温度谁高谁低?
【总结】 两个负数,绝对值大的反而小,或说,两个负数绝对值小的反而大. 注意 ①比较两个负数的大小又多了一种方法,即:两个负数,绝对值大的反而小.
②异号的两数比较大小,要考虑它们的正负;同号两数比较大小,要考虑先比较它们的绝对值.
③在数轴上表示有理数,它们从左到右的顺序也就是从小到大的顺序,即:左边的数总比右边的数要小.即:利用数轴来比较有理数的大小. (三)应用迁移,巩固提高 例1 比较下列各组数的大小 (1)-
553和-2.7 (2)-和- 674
例2 按从大到小的顺序,用“〈”号把下列数连接起来.
12,-(-),│-0.6│,-0.6,-│4.2│ 23
51
例3 自己任写三个数,使它大于-而小于-.
78
-4
例4 已知│a │=4,│b │=3,且a>b,求a 、b 的值.
(2004.江苏南通)如图1-2-11所示,在所给数轴上画出数-3,-1,│-2│的点.把这组数从小到大用“〈”号连接起来.
(四)总结反思,拓展升华
1.本节课所学的有理数的大小比较你能掌握两种方法吗?
(1)利用数轴,在数轴上把这些数表示出来,•然后根据“数轴上左边的数总比右边的数大”来比较;
(2)利用比较法则:“正数大于零,负数小于零,两个负数,•绝对值大的反而小”来进行.
2.(1)阅读下列比较-a 与- 解:∵│-a │=a,│- 又∵a>
2
a 的大小的解题过程: 3
22a │=a 33
22
a ∴-a
你认为上述解答过程正确吗?与同学们研究,并发表你的看法.
(2)要比较有理数a 和a
1
a 的大小时,因为a 的正、负不能确定.所以要分a>0,a=0,3
1a . 31
当a=0时,a=a .
31
当a3
当a>0时,a> 利用以上结论解题: ①计算│a │+a=_________. ②比较3a+a的值. 【点评】 (1)错,-a 与-可以用比差法,也可以分类.
(2)①当a>0时,2a ;当a ≤0时,0
②a>0时,3a>a;a=0时,3a=a;a(1)绝对值小于3的负整数有 ,绝对值不小于2且不大于5的非负整数有 . (2)若│x │=-x,则 ,若=1,则 . (3)用“〉”、“=”、“〈”填空:
①-7 -5 ②-0.1 -0.01
2
a 并不一定是负数,•不可以用比较绝对值方法加以比较,3
10
│ -3.34 3
881
④ - - ⑥-(-) 0.025
974
22202
⑦- -3.14 ⑧- -
20323
③-│-3.2│ -(-3.2) ④-│- (4)若│x+3│=5,则x= . 2.选择题
(1)下列判断正确的是 () A.a>-a B.2a>a C.a>-
1
D.│a │≥a a
11
而小于-的数是 () 34
11436
A.- B.- C.- D.-
13161720
(2)下列分数中,大于-
(3)│m │与-5m 的大小关系是 ()
A.│m │>-5m B.│m │
|a|
= () a
A.1 B.-1 C.±1 D.无法判断 提升能力 3.解答题 (1)比较-
76
和-的大小,并写出比较过程. 87
1
│,-│+2│,-│-(+1.5)│,-(-3),│-(+22
(2)求同时满足:①│a │=6,②-a>0这两个条件的有理数a . (3)将有理数:-(-4),0,-│-3
1
)│表示到数轴上,并用“〈”把它们连接起来. 2
(4)甲、乙、丙、丁四个有理数讨论大小问题.甲说:我是正整数中最小的.•乙说:我是绝对值最小的.丙说:我与甲的一半相反.丁说:我是丙的倒数.你能写出它们分别是多少吗?然后按从小到大的顺序排列.
(5)若a0,且│a │
开放探究 4.开放题
已知数轴上有A 和B 两点,它们之间的距离为1,点A 和原点的距离为2,•那么所有满足条件的点B 对应的数有哪些?
5.新中考题
(2004·山东泰安)若│a │=1,│b │=4,且ab