第六章 习题参考答案与提示
2．合成纤维的强度y 与其拉伸倍数x 有关，测的试验数据如下： x i y （1）建立合成纤维的强度y 与其拉伸倍数x 的回归方程； （2）检验所建方程是否有意义(α=0. 05) ；
（3）预测当拉伸倍数x =6时，强度y 的置信度为95%的置信区间。
解：（1）建立回归方程，数据计算列表如下: 序 号 x i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
这里n =12, 进一步计算得，=64. 8/12=5. 4；=57. 5/12≈4. 7917。
2.0 2.5 2.7 3.5 4.0 4.5 5.2 6.3 7.1 8.0 9.0 10.0 64.8
y i 1.3 2.5 2.5 2.7 3.5 4.2 5.0 6.4 6.3 7.0 8.0 8.1 57.5
x i 2 4.0 6.25 7.29 12.25 16.0 20.25 27.04 39.69 50.41 64.0 81.0 100.0 428.18
y i 2 1.69 6.25 6.25 7.29 12.25 17.64 25.00 40.96 39.69 49.00 64.00 65.61 335.63
x i y i 2.60 6.25 6.75 9.45 14.00 18.90 26.00 40.32 44.73 56.00 72.00 81.00 378
∑
64. 82
=78. 26 l xx =ˆ∑(x i −) =∑x −12=428. 18−12i =1i =1
12
2
12
2
i
2
57.52
≈60.1092 l yy =ˆ∑(y i −=∑y −12=335.63−12i =1i =1
12
2
n
2
i
2
l xy =ˆ∑(x i −)(y i −) =∑x i y i −12⋅=378−
i =1
i =1
1212
64. 8×57. 5
=67. 5 12
于是得 ˆ= b
l xy l xx
=
67. 5
≈0. 8625 78. 26
ˆ≈4. 7917−0. 6825×5. 4=0. 1342 ˆ=−b a
故所求回归方程为
ˆ=0. 1342+0. 8625x y
（2）显著性检验，即检验假设H 0：b =0。令 F =经计算得
2
=l yy =60. 1092 S 总
2ˆl =0. 8625×67. 5=58. 2188 S 回=b xy
222
S 残=S 总−S 回=60. 1092−58. 2188=1. 8904
2
S 回
S /(12−2)
2残
（当H 0：b =0成立时F ~F (1，12−2) ）
F =
2S 回
2
/(12−2) S 残
=
58. 2188
=307. 9708
1. 8904/10
对给定水平α=0. 05，由P {F >λ}=0. 05,查F (1，分布表得λ=4. 96，10）显然F >>λ,故否定H 0，说明x 与y 存在非常显著的线性关系。 （3）取样本函数 T =
ˆ0y 0−y S +
1(x 0−+n l xx
2
~t (n −2)
2
/(n −2) 。因此，对给定水平α=1-0.95=0.05，由 其中S =S 残
P {T >λ}=α/2=0.025
ˆ=5. 3092。将上述结果代查T ~t (10) 分布表可求得λ=2.2281。当x =6时，y
入
1(x −) 21(x −2
ˆ−λS ++ˆ+λS ++ （y ，y ）
n l xx n l xx 从而得y 的置信度为0. 95的置信区间为
（5.3029－2.2281×0.4348×1.0430，5.3029＋2.2281×0.4348×1.0430）
=（4.2925，6.3133）
3．在某矿区某井田勘探过程中，获得一批数据（n =25）如下表：
32.29 4.75 21.90 1.66 29.65 2.80 15.94 1.29 22.00 2.61 14.67 0.57 23.24 3.26
29.20 3.65 15.90 1.21 29.30 2.20 14.66 0.78 32.01 2.68 23.34 1.42
33.55 3.24 16.80 0.58 16.55 1.10 35.71 5.30 20.04 2.43 45.93 5.77
20.49 1.32 18.86 1.77 30.30 3.41 12.67 1.31 26.90 2.98 17.87 1.38
试研究地层厚度x 与煤层厚度y 的相关关系，并检验所得回归方程是否有意义（α=0. 01）。
提示：先作散点图，观察地层厚度x 与煤层厚度y 是否为线性关系。
4、在一项试验中测得关于x 1、x 2、y 的部分数据如下： x 1 8 9 9 11 14 12 13 16 18 17 x 2 y 试建立y 与x 1、x 2之间的线性回归方程。并就α=0. 05检验所得回归方程是否有意义。
解：将数据预处理（x 1j −12，x 2j −17，y j −20）得 x 1 -4 -3 -3 -1 2 0 1 4 6 5 x -7 -7 -3 -1 -1 3 7 6 5 3 -10 -8 -4 -1 2 4 8 9 10 11
经计算得相应数据表6-3，
表6-3（使用处理后的数据）
2
x 1 x 2 y x 12 x 2 x 1x 2 x 1y x 2y y 2 序号
2 -3 -7 -8 9 49 21 24 56 64 3 -3 -3 -4 9 9 9 12 12 16 4 -1 -1 -1 1 1 1 1 1 1 5 2 -1 2 4 1 -2 4 - 2 4 6 0 3 4 0 9 0 0 12 16 7 1 7 8 1 49 7 8 56 64 8 4 6 9 16 36 24 36 54 81 $+b $x +b $x 则 $=b 设所建立的线性回归方程为y 01122
2
l 11=∑x i 21−101=117−
i =11010
1
×72=112. 1 10
1
×7×5=129. 5=l 21 10
l 12=∑x i 1x i 2−1012=133−
i =110
2
=237− l 22=∑x i 22−102
i =110
1
×52=234. 5 10
1
×7×21=225. 3 10
1
×5×21=331. 5 10
1
×212=522. 9 10
l 1y =∑y i x i 1−10i 1=240−
i =1
l 2y =∑y i x i 2−10i 2=342−
i =110
2
10
10
l yy =∑(y l −) =∑y i 2−102=567−
i =1
i =1
解正规方程
⎧112. 1b 1+129. 5b 2=225. 3
⎨
⎩129. 5b 1+234. 5b 2=331. 5
ˆ=1. 0406，b ˆ=0. 8390，从而 得b 12
ˆ=−b ˆ−b ˆ=221−1. 0406×127−0. 8390×175=−5. 798 b 01122
101010
代入（6-43）式，得回归方程
ˆ=−5. 798+1. 0406x 1+0. 8390x 2 y
由（6-34）式及（6-35）式，得
ˆ+l b ˆ=225. 3×1. 0406+331. 5×0. 8390=512. 576 S 2=l b
回
1y 1
2y
2
2222
=S 总−S 回=l yy −S 回=522. 9−512. 576=10. 324 S 残
2
S 回/22
S 残/(10−2−1)
F ==
512. 576/2
=173. 771
13. 324/7
对于给定的α=0. 05, 查F (2，7) 表得临界值λ=4. 74, 由于
F =173. 771>λ=4. 74,所以检验效果显著，即回归方程有意义。
5．研究平炉钢的效率y 与出钢量x 1和FeO x 2的关系，测得数据如下表： 56.9 87.9 101.4
x 1 x 2
13 73 84 80 88 101.9
（1）建立y 关于x 1、x 2的线性回归方程； （2）检验所建方程是否有意义(α=0. 10) ； （3）检验x 1、x 2是否对y 有显著影响(α=0. 10) ；
（4）如果有对y 影响不显著的变量，将其去掉再建立一元回归方程。 解：经计算得相应数据表
x 1 x 2
x 1x 2y i 11i 22i 4.75 -1.7 0.77 80 13.15 4.8 -3.23 88 6.75 -2.2 4.77 13.95 0.1 3.27 -16.35 -2.3 -2.23
88.6 -3.65 -0.5 5.37 81.9 12.25 0.2 -1.33 79.1 -7.15 3.1 -4.13 $+b $x +b $x 则 $=b (1) 设所建立的线性回归方程为y 01122
1=96.65，2=15.2，1=83.23， l 11=∑(x i 1−1) 2=3217.205
i =11818
l 12=∑(x i 1−1)(x i 2−2) =27.55=l 21
i =1
l 22=∑(x i 2−2) 2=81.23
i =118
18
l 1y =∑(x i 1−1)(y i −=560.405
i =118
l 2y =∑(x i 2−2)(y i −=−27.51
i =1
l yy =∑(y l −) 2=357.89
i =1
18
解正规方程
⎧3217.205b 1+27.55b 2=560.405
⎨
27.55b +81.32b =−27.51⎩12
ˆ=0.1776，b ˆ=−0.3985，从而 得b 12
ˆ=−b ˆ−b ˆ=83.23−0.1776×96.65+0.3985×15.2=72.120 b 01122代入（6-43）式，得回归方程
ˆ=72.12+0.1776x 1+0.3985x 2 y (2) 显著性检验
2ˆ+l b ˆ S 回=l 1y b 12y 2=560.405×0.1776+27.51×0.3985=110.491 22
=l yy −S 回=357.98−110.50=247.48 S 殘
2S 回/2110.5/2
F =2==3.35
S 殘/15247.5/15
对于给定的α=0.10,查F (2，15) 表得临界值λ=2.7,由于F =3.35>λ=2.7, 所以检验效果显著，即回归方程有意义。
(3) 检验x 1、x 2是否对y 有显著影响(α=0. 10) ,
−27.55⎞⎛3217.20527.55⎞⎛81.321
(l ij ) −1=⎜=⎟⎜⎟
81.32⎠260864.1⎝−27.553217.205⎠⎝27.55
260864.1
p 1=(0.1776)2×=101.2
81.32260864.1
p 2=(0.3985)2×=12.88
3217.205
P i
，得 由F i =2
S 残/(n −m −1)
F 1=
101.212.88
=6.13, F 2==0.78
247.48/15247.48/15
对于给定的α=0.10, 查F (1，15) 表得临界值λ=3.07, 由于F 1=6.13>λ=3.07,所以x 1对y 有影响显著，而F 2=0.78
对y 影响不显著。
(4) 去掉对y 影响不显著的变量x 2再建立一元回归方程。
l 11=∑(x i 1−1) 2=3217.205
i =1
18
l yy =∑(y l −) 2=357.89
i =118
18
l 1y =∑(x i 1−1)(y i −=560.405
i =1
于是得
ˆ=l 1y =560.405≈0.17419 b
l 113217.205
=83.23−0.17419×96.65=66.3945 ˆ=− a
故所求回归方程为
ˆ=66.3945+0.17419x y
补充-1 在某项实验中，测得含量y 与因素x 数据如表6-4。
表6-4 数据表
x
2 3 4 5 7 8 10 11 14 15 16 18 19 106.42 109.58 110.00 110.49 110.60 110.76 111.20 108.20 109.50 109.93 110.59 110.90 111.00
试建立适当的y 与因素x 的回归方程（α=0. 01）。
解：作散点图，如图下所示
由散点图可以看出，以下三种曲线方程的曲线图都与散点图接近，因此都可以作为曲线回归的选择对象。
（1
）y =β0+β（2）y =β0+β1lg x ，（3）y =β0+β1/x ， 选取曲线回归（2）求解。令x ′=lg x ，可算得数据列入表6-5。
表6-5数据计算表
13
' i
13
l x ′x ′=∑(x −) =1.1947 l yy =∑(y i −2=21.2105
2
i =1i =1
l x ′y =∑(x i ' −)(y i −=4.7150
i =1
13
l x ′y 4.7150ˆ==3.9466 由此得 β1=
l x ′x ′1.1947
ˆ=−βˆ=109.9362−3.9466×0.9176=106.3148 β01
ˆ=106.3148+3.9466x ′ ， 故所求的回归方程为y
进行变量还原得回归方程
ˆ=106.3148+3.9466lg x 。 y
（2）检验假设H 01：β1=0
2ˆ2l =(3.9466)2×1.1947=18.608 =β S 回1x ′x ′
22=l yy −S 回=21.2105−18.608=2.6025 S 殘
2
S 回18.608
==78.6505 F =2
S 殘/152.6025/11
对给定的α=0.01，查F (111)，表得临界值λ=9.65。由于F >λ，检验效果显著，所以拒绝H 01，即回归方程有意义。
选取曲线回归（2）求解。 所求的回归方程为
ˆ=106.30132+1.19473x ′ y
进行变量还原得回归方程
ˆ=106.30132+
y
检验效果显著，即回归方程有意义。
选取曲线回归（3）求解。令x ′=1/x ，
ˆ=111.48751−9.83334x ′ 故所求的回归方程为 y
ˆ=111.48751−9.83334/x 进行变量还原得回归方程 y
检验效果显著，即回归方程有意义。
计算结果表明（1）、（2）与（3）的回归方程均有意义。在解决实际问题
22
=l yy −S 回时，为了优中选优，通常可对同一问题用几种曲线作回归，通过对S 残2
作比较，S 残小者则回归方程较优。
6．试用下列数据表，建立形如y =a +b x y 1
+ε的曲线回归方程。 x
5.67 4.45 3.84 3.84 3.37 2.18 1.92 17.7 18.5 18.9 18.8 18.3 19.1 20.2
提示：参考上补充题的方法。
7．某地质队为了掌握孔斜规律，以便使严重弯曲的钻孔满足提高地质成
果的要求，对某矿区的187个严重弯曲且测斜资料齐全的钻孔的顶角进行分析，并取得不同孔深顶角变化的平均值数据如下： 孔深h 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 顶角γ0 6 12 18 20 23 24 26 27 28 29
ˆlg h ，并检验方程的显著性。 ˆ+b 试建立对数型曲线回归方程γ=a
提示：参考上补充题的方法。
2的公式： 8．试证明一元线性回归分析中的计算S 回
2ˆl 。 S 回=b xy
证明：略。
第六章 习题参考答案与提示
2．合成纤维的强度y 与其拉伸倍数x 有关，测的试验数据如下： x i y （1）建立合成纤维的强度y 与其拉伸倍数x 的回归方程； （2）检验所建方程是否有意义(α=0. 05) ；
（3）预测当拉伸倍数x =6时，强度y 的置信度为95%的置信区间。
解：（1）建立回归方程，数据计算列表如下: 序 号 x i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
这里n =12, 进一步计算得，=64. 8/12=5. 4；=57. 5/12≈4. 7917。
2.0 2.5 2.7 3.5 4.0 4.5 5.2 6.3 7.1 8.0 9.0 10.0 64.8
y i 1.3 2.5 2.5 2.7 3.5 4.2 5.0 6.4 6.3 7.0 8.0 8.1 57.5
x i 2 4.0 6.25 7.29 12.25 16.0 20.25 27.04 39.69 50.41 64.0 81.0 100.0 428.18
y i 2 1.69 6.25 6.25 7.29 12.25 17.64 25.00 40.96 39.69 49.00 64.00 65.61 335.63
x i y i 2.60 6.25 6.75 9.45 14.00 18.90 26.00 40.32 44.73 56.00 72.00 81.00 378
∑
64. 82
=78. 26 l xx =ˆ∑(x i −) =∑x −12=428. 18−12i =1i =1
12
2
12
2
i
2
57.52
≈60.1092 l yy =ˆ∑(y i −=∑y −12=335.63−12i =1i =1
12
2
n
2
i
2
l xy =ˆ∑(x i −)(y i −) =∑x i y i −12⋅=378−
i =1
i =1
1212
64. 8×57. 5
=67. 5 12
于是得 ˆ= b
l xy l xx
=
67. 5
≈0. 8625 78. 26
ˆ≈4. 7917−0. 6825×5. 4=0. 1342 ˆ=−b a
故所求回归方程为
ˆ=0. 1342+0. 8625x y
（2）显著性检验，即检验假设H 0：b =0。令 F =经计算得
2
=l yy =60. 1092 S 总
2ˆl =0. 8625×67. 5=58. 2188 S 回=b xy
222
S 残=S 总−S 回=60. 1092−58. 2188=1. 8904
2
S 回
S /(12−2)
2残
（当H 0：b =0成立时F ~F (1，12−2) ）
F =
2S 回
2
/(12−2) S 残
=
58. 2188
=307. 9708
1. 8904/10
对给定水平α=0. 05，由P {F >λ}=0. 05,查F (1，分布表得λ=4. 96，10）显然F >>λ,故否定H 0，说明x 与y 存在非常显著的线性关系。 （3）取样本函数 T =
ˆ0y 0−y S +
1(x 0−+n l xx
2
~t (n −2)
2
/(n −2) 。因此，对给定水平α=1-0.95=0.05，由 其中S =S 残
P {T >λ}=α/2=0.025
ˆ=5. 3092。将上述结果代查T ~t (10) 分布表可求得λ=2.2281。当x =6时，y
入
1(x −) 21(x −2
ˆ−λS ++ˆ+λS ++ （y ，y ）
n l xx n l xx 从而得y 的置信度为0. 95的置信区间为
（5.3029－2.2281×0.4348×1.0430，5.3029＋2.2281×0.4348×1.0430）
=（4.2925，6.3133）
3．在某矿区某井田勘探过程中，获得一批数据（n =25）如下表：
32.29 4.75 21.90 1.66 29.65 2.80 15.94 1.29 22.00 2.61 14.67 0.57 23.24 3.26
29.20 3.65 15.90 1.21 29.30 2.20 14.66 0.78 32.01 2.68 23.34 1.42
33.55 3.24 16.80 0.58 16.55 1.10 35.71 5.30 20.04 2.43 45.93 5.77
20.49 1.32 18.86 1.77 30.30 3.41 12.67 1.31 26.90 2.98 17.87 1.38
试研究地层厚度x 与煤层厚度y 的相关关系，并检验所得回归方程是否有意义（α=0. 01）。
提示：先作散点图，观察地层厚度x 与煤层厚度y 是否为线性关系。
4、在一项试验中测得关于x 1、x 2、y 的部分数据如下： x 1 8 9 9 11 14 12 13 16 18 17 x 2 y 试建立y 与x 1、x 2之间的线性回归方程。并就α=0. 05检验所得回归方程是否有意义。
解：将数据预处理（x 1j −12，x 2j −17，y j −20）得 x 1 -4 -3 -3 -1 2 0 1 4 6 5 x -7 -7 -3 -1 -1 3 7 6 5 3 -10 -8 -4 -1 2 4 8 9 10 11
经计算得相应数据表6-3，
表6-3（使用处理后的数据）
2
x 1 x 2 y x 12 x 2 x 1x 2 x 1y x 2y y 2 序号
2 -3 -7 -8 9 49 21 24 56 64 3 -3 -3 -4 9 9 9 12 12 16 4 -1 -1 -1 1 1 1 1 1 1 5 2 -1 2 4 1 -2 4 - 2 4 6 0 3 4 0 9 0 0 12 16 7 1 7 8 1 49 7 8 56 64 8 4 6 9 16 36 24 36 54 81 $+b $x +b $x 则 $=b 设所建立的线性回归方程为y 01122
2
l 11=∑x i 21−101=117−
i =11010
1
×72=112. 1 10
1
×7×5=129. 5=l 21 10
l 12=∑x i 1x i 2−1012=133−
i =110
2
=237− l 22=∑x i 22−102
i =110
1
×52=234. 5 10
1
×7×21=225. 3 10
1
×5×21=331. 5 10
1
×212=522. 9 10
l 1y =∑y i x i 1−10i 1=240−
i =1
l 2y =∑y i x i 2−10i 2=342−
i =110
2
10
10
l yy =∑(y l −) =∑y i 2−102=567−
i =1
i =1
解正规方程
⎧112. 1b 1+129. 5b 2=225. 3
⎨
⎩129. 5b 1+234. 5b 2=331. 5
ˆ=1. 0406，b ˆ=0. 8390，从而 得b 12
ˆ=−b ˆ−b ˆ=221−1. 0406×127−0. 8390×175=−5. 798 b 01122
101010
代入（6-43）式，得回归方程
ˆ=−5. 798+1. 0406x 1+0. 8390x 2 y
由（6-34）式及（6-35）式，得
ˆ+l b ˆ=225. 3×1. 0406+331. 5×0. 8390=512. 576 S 2=l b
回
1y 1
2y
2
2222
=S 总−S 回=l yy −S 回=522. 9−512. 576=10. 324 S 残
2
S 回/22
S 残/(10−2−1)
F ==
512. 576/2
=173. 771
13. 324/7
对于给定的α=0. 05, 查F (2，7) 表得临界值λ=4. 74, 由于
F =173. 771>λ=4. 74,所以检验效果显著，即回归方程有意义。
5．研究平炉钢的效率y 与出钢量x 1和FeO x 2的关系，测得数据如下表： 56.9 87.9 101.4
x 1 x 2
13 73 84 80 88 101.9
（1）建立y 关于x 1、x 2的线性回归方程； （2）检验所建方程是否有意义(α=0. 10) ； （3）检验x 1、x 2是否对y 有显著影响(α=0. 10) ；
（4）如果有对y 影响不显著的变量，将其去掉再建立一元回归方程。 解：经计算得相应数据表
x 1 x 2
x 1x 2y i 11i 22i 4.75 -1.7 0.77 80 13.15 4.8 -3.23 88 6.75 -2.2 4.77 13.95 0.1 3.27 -16.35 -2.3 -2.23
88.6 -3.65 -0.5 5.37 81.9 12.25 0.2 -1.33 79.1 -7.15 3.1 -4.13 $+b $x +b $x 则 $=b (1) 设所建立的线性回归方程为y 01122
1=96.65，2=15.2，1=83.23， l 11=∑(x i 1−1) 2=3217.205
i =11818
l 12=∑(x i 1−1)(x i 2−2) =27.55=l 21
i =1
l 22=∑(x i 2−2) 2=81.23
i =118
18
l 1y =∑(x i 1−1)(y i −=560.405
i =118
l 2y =∑(x i 2−2)(y i −=−27.51
i =1
l yy =∑(y l −) 2=357.89
i =1
18
解正规方程
⎧3217.205b 1+27.55b 2=560.405
⎨
27.55b +81.32b =−27.51⎩12
ˆ=0.1776，b ˆ=−0.3985，从而 得b 12
ˆ=−b ˆ−b ˆ=83.23−0.1776×96.65+0.3985×15.2=72.120 b 01122代入（6-43）式，得回归方程
ˆ=72.12+0.1776x 1+0.3985x 2 y (2) 显著性检验
2ˆ+l b ˆ S 回=l 1y b 12y 2=560.405×0.1776+27.51×0.3985=110.491 22
=l yy −S 回=357.98−110.50=247.48 S 殘
2S 回/2110.5/2
F =2==3.35
S 殘/15247.5/15
对于给定的α=0.10,查F (2，15) 表得临界值λ=2.7,由于F =3.35>λ=2.7, 所以检验效果显著，即回归方程有意义。
(3) 检验x 1、x 2是否对y 有显著影响(α=0. 10) ,
−27.55⎞⎛3217.20527.55⎞⎛81.321
(l ij ) −1=⎜=⎟⎜⎟
81.32⎠260864.1⎝−27.553217.205⎠⎝27.55
260864.1
p 1=(0.1776)2×=101.2
81.32260864.1
p 2=(0.3985)2×=12.88
3217.205
P i
，得 由F i =2
S 残/(n −m −1)
F 1=
101.212.88
=6.13, F 2==0.78
247.48/15247.48/15
对于给定的α=0.10, 查F (1，15) 表得临界值λ=3.07, 由于F 1=6.13>λ=3.07,所以x 1对y 有影响显著，而F 2=0.78
对y 影响不显著。
(4) 去掉对y 影响不显著的变量x 2再建立一元回归方程。
l 11=∑(x i 1−1) 2=3217.205
i =1
18
l yy =∑(y l −) 2=357.89
i =118
18
l 1y =∑(x i 1−1)(y i −=560.405
i =1
于是得
ˆ=l 1y =560.405≈0.17419 b
l 113217.205
=83.23−0.17419×96.65=66.3945 ˆ=− a
故所求回归方程为
ˆ=66.3945+0.17419x y
补充-1 在某项实验中，测得含量y 与因素x 数据如表6-4。
表6-4 数据表
x
2 3 4 5 7 8 10 11 14 15 16 18 19 106.42 109.58 110.00 110.49 110.60 110.76 111.20 108.20 109.50 109.93 110.59 110.90 111.00
试建立适当的y 与因素x 的回归方程（α=0. 01）。
解：作散点图，如图下所示
由散点图可以看出，以下三种曲线方程的曲线图都与散点图接近，因此都可以作为曲线回归的选择对象。
（1
）y =β0+β（2）y =β0+β1lg x ，（3）y =β0+β1/x ， 选取曲线回归（2）求解。令x ′=lg x ，可算得数据列入表6-5。
表6-5数据计算表
13
' i
13
l x ′x ′=∑(x −) =1.1947 l yy =∑(y i −2=21.2105
2
i =1i =1
l x ′y =∑(x i ' −)(y i −=4.7150
i =1
13
l x ′y 4.7150ˆ==3.9466 由此得 β1=
l x ′x ′1.1947
ˆ=−βˆ=109.9362−3.9466×0.9176=106.3148 β01
ˆ=106.3148+3.9466x ′ ， 故所求的回归方程为y
进行变量还原得回归方程
ˆ=106.3148+3.9466lg x 。 y
（2）检验假设H 01：β1=0
2ˆ2l =(3.9466)2×1.1947=18.608 =β S 回1x ′x ′
22=l yy −S 回=21.2105−18.608=2.6025 S 殘
2
S 回18.608
==78.6505 F =2
S 殘/152.6025/11
对给定的α=0.01，查F (111)，表得临界值λ=9.65。由于F >λ，检验效果显著，所以拒绝H 01，即回归方程有意义。
选取曲线回归（2）求解。 所求的回归方程为
ˆ=106.30132+1.19473x ′ y
进行变量还原得回归方程
ˆ=106.30132+
y
检验效果显著，即回归方程有意义。
选取曲线回归（3）求解。令x ′=1/x ，
ˆ=111.48751−9.83334x ′ 故所求的回归方程为 y
ˆ=111.48751−9.83334/x 进行变量还原得回归方程 y
检验效果显著，即回归方程有意义。
计算结果表明（1）、（2）与（3）的回归方程均有意义。在解决实际问题
22
=l yy −S 回时，为了优中选优，通常可对同一问题用几种曲线作回归，通过对S 残2
作比较，S 残小者则回归方程较优。
6．试用下列数据表，建立形如y =a +b x y 1
+ε的曲线回归方程。 x
5.67 4.45 3.84 3.84 3.37 2.18 1.92 17.7 18.5 18.9 18.8 18.3 19.1 20.2
提示：参考上补充题的方法。
7．某地质队为了掌握孔斜规律，以便使严重弯曲的钻孔满足提高地质成
果的要求，对某矿区的187个严重弯曲且测斜资料齐全的钻孔的顶角进行分析，并取得不同孔深顶角变化的平均值数据如下： 孔深h 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 顶角γ0 6 12 18 20 23 24 26 27 28 29
ˆlg h ，并检验方程的显著性。 ˆ+b 试建立对数型曲线回归方程γ=a
提示：参考上补充题的方法。
2的公式： 8．试证明一元线性回归分析中的计算S 回
2ˆl 。 S 回=b xy
证明：略。