人教版数学必修二
第三章 直线与方程 重难点解析
第三章 课文目录
3．1 直线的倾斜角与斜率 3．2 直线的方程
3．3 直线的交点坐标与距离公式
重难点：
1、倾斜角、斜率、过两点的直线的斜率公式。 2、直线方程的两点式、截距式的推导及运用。 3、两点间的距离公式和它的简单应用。
4、点到直线距离公式，会求两条平行直线间的距离。
一、直线的倾斜角与斜率
1．直线的倾斜角
一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α，那么α叫做直线的倾斜角。一条直线与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角α为0°。
直线倾斜角的取值范围是：0°≤α
2．直线的斜率：
倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，记为k, 即k=tanα。 [说明]：(1) α=0°k=0 (2) 0°0 (3) 90°
[注意]：斜率k 可以是任意实数，每条直线都存在唯一确定的倾斜角，但不是每条直线都有斜率。
3．过两点的直线的斜率公式：
直线经过两点P 1(x1, y1), P2(x2 ,y2), (x1≠x2) 。它的斜率
对于上面的斜率公式要注意下面五点：
。
(1) 当x1=x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角α= 90°, 直线与x 轴垂直；
(2)k与P1、P2的顺序无关, 即y1,y2和x1,x2在公式中的前后次序可以同时交换, 但分子与分母不能交换;
(3)斜率k 可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得;
(4) 当 y1=y2时, 斜率k = 0, 直线的倾斜角α=0°，直线与x 轴平行或重合. (5)求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到．
典型例题：
[例题1]：已知A(3, 2), B(-4, 1), C(0, -1), 求直线AB, BC, CA的斜率, 并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角.(用计算机作直线, 图略)
分析: 已知两点坐标, 而且x1≠x2, 由斜率公式代入即可求得k 的值; 而当k = tanα0时, 倾斜角α是锐角; 而当k = tanα=0时, 倾斜角α是0°.
解析: 直线AB 的斜率k1=1/7>0, 所以它的倾斜角α是锐角; 直线BC 的斜率k2=-0.50, 所以它的倾斜角α是锐角.
[例题2]：已知直线l 1⊥l 2，且l 1的倾斜角为，求l 1, l 2的斜率。
解析：∵ l 1的斜率角，∴ ，
则l 1，l 2的斜率分别为。
点评：已知直线的倾斜角，可以由定义式直接得出直线的斜率。
[例题3]：求出过两点A （-2，0），B （-5，3）的直线的倾斜角和斜率。
解析：，即tan α=-1， 而α∈[0，π），∴。
点评：已知直线的斜率，可以直接得出倾斜角，但要注意角的范围。
[例题4]：已知点P(a,b) (a,b不同时为0) ，0为坐标原点，求直线OP 的斜率和倾斜角。
解析：当b=0时，由a≠0，则OP 的倾斜角α=0，斜率k=0。
当a,b 同号时，，。
当a,b 异号时，。
当a=0时，由b≠0，则
，k 不存在。
点评：斜率是否存在，与P 点位置有关；斜率的正、负与零，倾斜角的表达方式不同，这是因为倾角的范围造成的。
[例题5]：如图，直线l 1的倾斜角α1=30 ，直线l 1⊥l 2，求l 1、l 2的斜率。
解析：l
1的斜率k 1=tan 30=
， l 2
l 1
∵l 2的倾斜角α2=90 +30 =120 ， ∴l
2的斜率k 2=tan α2=tan120 =
[例题6]：已知α和k 分别是l 的倾斜角和斜率，当（1）sin α=
33；（2）cos α=；（3）55
3
cos α=-时，分别求直线l 的斜率k ．
5
33
解析：当sin α=时，∵0≤α
5434
当cos α=时，∵0≤α
5334
当cos α=-时，∵0≤α
53
[例题7]：已知直线l 的方程：(λ+1)x+2λy-1-λ=0(λ∈R)。
（1）求直线l 的倾斜角的范围；
（2）证明此直线恒过一定点，并求定点坐标。
2
2
解析：（1）当λ=0时，倾角；当λ≠0时，直线化为：，
若λ>0，直线斜率。
若λ
综上所述，l 的倾角的范围是
。
（2）原方程变形为以λ为主变量的方程：(x-1)λ+2λy+(x-1)=0，令知此方程与λ无关的解为x=1, y=0。故直线l 恒过定点(1, 0)。
二、直线的方程
2
，可
直线方程的四种形式： (1) 点斜式：
已知：直线l 经过定点P 0(x0,y 0) ，且斜率为k ，则直线l 的方程为：y-y 0=k(x-x0) ，称为直线的点斜式方程。特别地，当l 的倾斜角为0°时，k=tan0°=0，此时，l 的方程为y=y0。 如果直线l 的斜率为k, 与y 轴的交点为(0, b) ，代入点斜式得l 的方程为：y=kx+b（其中，b 叫直线l 的纵截距），这便是直线的斜截式。
[注意]：斜截式是点斜式的特例，两者均不能表示与x 轴垂直的直线方程。换句话说，斜率存在的直线才可以用点斜式或斜截式表示，斜率不存在的直线的方程可写成x=x0的形式（直线经过P 0(x0, y 0) ）。此外，斜截式中的b 不是指距离，而是直线与y 轴交点的纵坐标。b 可正可负，也可为0。 （2）两点式：
已知：直线l 过两点P 1(x1, y1), P2(x2, y2) ，(x1≠x2) ，则利用斜率公式和点斜式可得l 的方程为：
（其中x 1≠x2，y 1≠y2）。
这便是直线方程的两点式。两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，但把两点式化为整式
形式：
(x2-x 1)(y-y1)=(y2-y 1)(x-x1) ，就可以利用它求出平面内过任意两个已知点的直线方程： 若x 1=x2, y1≠y2时，则有x-x 1=0，即: x=x1； 若y 1=y2, x1≠x2时，则有y-y 1=0, 即：y=y1。 （3）截距式：
如果直线l 在x 轴，y 轴上的截距分别为a 和b(a≠0, b≠0)，则l 的方程为：。
这便是直线方程的截距式，显然，截距式是两点式的特例，它不能表示与坐标轴垂直及过原点的直线。 （4）一般式：
方程Ax+By+C=0（A 、B 不全为零）叫做直线方程的一般式。任何一条直线的方程都可以化成一般式。
直线的方程都是二元一次方程；任何一个关于x, y的二元一次方程都表示一条直线。这就是直线与二元一次方程的关系。
当B≠0时：直线Ax+By+C=0的斜率，在y 轴上的截距。
当B=0时：直线Ax+By+C=0的斜率不存在，在x 轴上的截距。
综上所述，两个独立条件确定一条直线，所以求一条直线的方程，必须给出两个独立的条件。一般说来，确定一条直线主要有两种方法。第一个方法，由直线上的一点和直线的方向确定。而直线的方向由斜率确定，这便是直线方程的点斜式的由来（斜截式是点斜式的特例）。第二个方法，由两点确定一条直线，这便是两点式的由来，当然两点式也可以由点斜式而来，截距式可看作是两点式的特例。
四种形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式) 进行比较：
典型例题：
[例题1]：求满足下列条件的直线方程： （1）经过点P(-2,3)，倾斜角是直线
的倾斜角的一半。
（2）经过点P(-2,3)，且在两坐标轴上截距相等。 （3）经过两点A(-2,3), B(4,-1)。
（4）经过点P(-2,3)，且与两坐标轴围成三角形的面积为4。 解析：（1）由题设直线方程为y-3=k(x+2)。
中
，∴ 此直线倾斜角α=120°，
，所以方程为
因为直线
由题所求直线的倾斜角θ=60°，则： 即：
就是所求方程。
（2）当直线过原点时：设直线为y=kx，由于过P(-2,3)，则3=-2k，则，则
为直线方程。
当直线不过原点时：设直线为，由于过P(-2,3)，则，∴a=1，
所以，方程为x+y=1，即：x+y-1=0就是所求方程。
（3）由两点式得，即：2x+3y-5=0。
（4）由题可设方程为y-3=k(x+2)，分别令x=0得纵截距b=2k+3；y=0
得横截距
。
又由题得：，解之得。
故所求方程为：
和，即：x+2y-4=0或9x+2y+12=0。
评点：（1）要根据不同的条件，选择适当的方程形式。
（2）在点斜式和斜截式中，都有斜率k, 常把k 作为参数引入待定。 （3）截距相等，要注意区分截距是否为零，即是否过原点。
（4）直线方程的最后结果要求写成斜截式或者一般式的形式。
[例题6]：已知点P(x,y), A(x1, y1), B(x2, y2), (x1≠x2) 则点P 在直线AB 上的充要条件是（ ）。
A 、 B、
C 、 D 、
提示：本题复习充分条件和必要条件；直线的方程和方程的直线；定比分点坐标公式并渗透参数方程等内容，但作为选择题，只要熟悉概念，不难判断：A ：P 不能取A 点，B
：不
能取A 点和B 点，D ：不能取A 点和B 点，故只能选C 。
事实上，对于C ：当t=0时，表示B 点，当t=1时，表示A 点。
当t≠0，1时，于A 、B 的点（反之亦然）。
，由定比分点公式知，它可以表示直线AB 上所有异
[例题7]：过点P (2，1）作直线l 交x , y 正半轴于AB 两点，当|PA |⋅|PB |取到最小值时，求直线l 的方程.
解析：设直线l 的方程为：y -1=k (x -2), (k ≠0) 令y ＝0解得x =2-∴A （2-
1
；令x ＝0，解得y =1-2k k
1
，0），B （0，1-2k ）， k
∴|PA |⋅|PB |＝(1+
12)(4+k ) 2k
=8+4(k 2+
1
) ≥+4⨯2=4 k 2
2
当且仅当k =1即k =±1时，|PA |⋅|PB |取到最小值.
又根据题意k
点评：此题在求解过程中运用了基本不等式，同时应注意结合直线与坐标轴正半轴相交而排除k ＝1的情形[例题8]：一直线被两直线l 1：4x +y +6=0，l 2：3x -5y -6=0截得的线段的中点恰好是坐标原点，求该直线方程.
解析：设所求直线与l 1，l 2的交点分别是A 、B ，设A(x 0, y 0），则B 点坐标为(-x 0, -y 0)
因为A 、B 分别在l 1，l 2上，所以⎨
①⎧4x 0+y 0+6=0
⎩-3x 0+5y 0-6=0②
①＋②得：x 0+6y 0=0，即点A 在直线x +6y =0上，又直线x +6y =0过原点，所以直线l 的方程为x +6y =0.
[例题9]：直线Ax +By -1=0在y 轴上的截距是－1，而且它的倾斜角是直线
3x -y =33的倾斜角的2倍，则( )
A. A ＝3，B ＝1 B. A ＝－，B ＝－1 C. A ＝，B ＝－1
D. A ＝－，B ＝1
解析：将直线方程化成斜截式y =-A B x +1B
. 因为
1
B
＝－1，B ＝－1，故否定A 、D. 又直线3x -y =33的倾斜角α＝π
3
，
∴直线Ax +By -1=0的倾斜角为2α＝2π
3
，
∴斜率－A B =tan 2π
3
＝-，
∴A ＝－3，B ＝－1，故选B [例题10]：若直线Ax +By +C =0通过第二、三、四象限，则系数A 、B 、C 需满足条件( )
A. A 、B 、C 同号 B. AC ＜0，BC ＜0 C.C ＝0，AB ＜0 D. A ＝0，BC ＜0 解法一：原方程可化为y =-
A B x -C
B
（B ≠0）∵直线通过第二、三、四象限，
∴其斜率小于0，y 轴上的截距小于0，即－A B ＜0，且－C
B
＜0 ∴
A B ＞0，且C
B
＞0 即A 、B 同号，B 、C 同号.∴A 、B 、C 同号，故选A
解法二：(用排除法)
若C ＝0，AB ＜0，则原方程化为y =-
A C B x -B ＝－A
B
x .
由AB ＜0，可知－
A
＞0. B
C C
. 由BC ＜0，得－＞0. B B
∴此时直线经过原点，位于第一、三象限，故排除C. 若A ＝0，BC ＜0，则原方程化为y =-
∴此时直线与x 轴平行，位于x 轴上方，经过一、二象限. 故排除D. 若AC ＜0，BC ＜0，知A 、C 异号，B 、C 异号 ∴A 、B 同号，即AB ＞0.
∴此时直线经过第一、二、四象限，故排除B. 故A 、B 、C 同号，应选A
[例题11]：直线y =ax +b （a +b ＝0）的图象是( )
解法一：由已知，直线y =ax +b 的斜率为a ，在y 轴上的截距为b 又因为a +b ＝0.
∴a 与b 互为相反数，即直线的斜率及其在y 轴上的截距互为相反数图A 中，a ＞0，b ＞0; 图B 中，a ＜0，b ＜0; 图C 中，a ＞0，b ＝0 故排除A 、B 、C. 选D.
解法二：由于所给直线方程是斜截式，所以其斜率a ≠0，于是令y ＝0，解得x =-又因为a +b ＝0，∴a =-b ，∴x =-
b
. a
b
=1 a
∴直线在x 轴上的截距为1，由此可排除A 、B 、C ，故选D 三、直线的交点坐标与距离公式
1、两点间的距离公式
PP 12=
2、点到直线距离公式：
点P (x 0, y 0) 到直线l :Ax +By +C =0的距离为：d =3、直线的交点
如果两条直线A 1x+B1y+C1=0和A 2x+B2y+C2=0相交，由于交点同时在两条直线上，交点坐标一定是它们的方程 A1x+B1y+C1=0
Ax 0+By 0+C A +B
2
2
A2x+B2y+C2=0
的解，反之，如果上面方程组只有一个解，那么这个解为坐标的点就是直线A 1x+B1y+C1=0和A 2x+B2y+C2=0的交点。
说明若无解，则两直线平行；若有无数解，则两直线重合。
典型例题：
[例题1]：例1 ：以知点A （-1，2），B （2
），在x 轴上求一点，使 PA =PB , 并求 PA 的值。
解：设所求点P （x ，0），于是有
=
由 PA =PB 得
x 2+2x +5=x 2-4x +11解得 x=1。
求点P 0(-1, 2) 到下列直线的距离. (1)2x +y -10=0；(2)3x =2 解析：(1)根据点到直线的距离公式得d =
2⨯(-1) +2-10
2+1
2
2
=25
(2)因为直线3x =2平行于y 轴，所以d =|
25
-(-1) |= 33
评述：此例题(1)直接应用了点到直线的距离公式，要求学生熟练掌握； (2)体现了求点到直线距离的灵活性，并没局限于公式.
所以，所求点P （1，
0）且
PA =点间距离公式理解。应用。
=通过例题，使学生对两
⎛1解法二：由已知得，
线段AB 的中点为Ｍ 2，直线AB 的斜率
为
⎝⎭
３1⎫⎛
ｘ－⎪３2⎝⎭
线段AB 的垂直平分线的方程是
1⎫⎛
∙ ｘ－⎪ 2⎭⎝
在上述式子中，令y=0，解得x=1。 所以所求点P 的坐标为（1，0）。因此
[例题2]：求两平行线l 1：2x +3y -8=0，l 2：2x +3y -10=0的距离.
解法一：在直线l 1上取一点P (４，0），因为l 1∥l 2， 所以点P 到l 2的距离等于l 1与l 2的距离. 于是d =
2⨯4-3⨯0+10
22+32
=
2=
2
13
解法二：l 1∥l 2又C 1=-8, C 2=-10. 由两平行线间的距离公式得d =
-8-(-10) 2+3
2
2
=
23
13
[例题3]：求原点到下列直线的距离： (1)3x ＋2y －26＝0；(2) x ＝y 解析：(1)d =
-3+2
2
2
=2.(2)∵原点在直线y ＝x 上，∴d ＝0
[例题4]：求下列点到直线的距离：
(1)A （－2，3），3x ＋４y ＋3＝0;(2)B （1，0），3x ＋y －3＝0； (3)C （1，－2），４x ＋3y ＝0. 解析：(1)d =
3⨯(-2) +4⨯3+3
2+42
=
-9
=; (2)d ==0;
25() +1
(3)d =
4⨯1+3⨯(-2)
4+3
2
2
2
5
[例题5]：求下列两条平行线的距离：
(1)2x ＋3y －８＝0，2x ＋3y ＋1８＝0， (2)3x ＋４y ＝10，3x ＋４y ＝0.
解析：(1)在直线2x ＋3y －８＝0上取一点P （４，0），则点P 到直线2x ＋3y ＋1８
的距离就是两平行线的距离，∴d ＝
2⨯4+182+3
2
2
=2
(2)在直线3x ＋４y ＝0上取一点O （0，0），则点O 到直线3x ＋４y ＝10的距离就是两平行线的距离，∴d =
[例题6]：已知点A （a ，6）到直线3x －４y ＝2的距离d 取下列各值，求a 的值： (1)d ＝４，（2）d ＞４103+4
2
2
＝2
解析：(1)d =
3a -4⨯6-23+(-4)
2
2
＝４，解得a ＝2或a ＝
46
3
(2)d =
3a +4⨯6-23+(-4)
2
2
＞４，解得a ＜2或a ＞
46
3
[例题7]：求下列两直线交点坐标
L 1 ：3x +4y -2=0
解析：解方程组 ⎨
L 1：2x +y +2=0
=0⎧3x +4y -2
2x +2y +2=0⎩
得 x=-2，y=2
所以L1与L2的交点坐标为M （-2，2），如图3。3。1。
6
y
4
2
-55
x
-2
-4
[例题8]：已知a 为实数，两直线l 1：ax +y +1=0，l 2：x +y -a =0相交于一点，求证交点不可能在第一象限及x 轴上.
分析：先通过联立方程组将交点坐标解出，再判断交点横纵坐标的范围.
a +1a 2+1
解析：解方程组若＞0，则a ＞1. 当a ＞1时，－＜0，此时交点在第二象
a -1a -1
限内.
a 2+1
又因为a 为任意实数时，都有a +1≥1＞0，故≠0
a -1
2
因为a ≠1（否则两直线平行，无交点） ，所以，交点不可能在x 轴上，得交点(－
a +1a 2+1
, ) a -1a -1
[例题9]：求下列两条直线的交点：
L 1：3x+4y-2=0， L2： 2x+y+2=0． 解析：解方程组
∴L1与L2的交点是M(-2，2) ． [例题10]：已知两条直线：
l 1： x+my+6=0， l 2： (m-2)x+3y+2m=0．
当m 为何值时，l1与l2：(1)相交，(2)平行，(3)重合． 解析：将两直线的方程组成方程组
解得m=-1或m=3．
(2)当m=-1时，方程组为
∴方程无解，l1与l2平行． (3)当m=3时，方程组为
两方程为同一个方程，l1与l2重合．
《直线方程》单元检测题 满分150分，考试时间120分钟
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 并把答案写在答题卡
1、过点（－1，3）且垂直于直线x －2y +3=0的直线方程为
A . 2x+y－1=0 B.2x+y－5=0 C.x+2y－5=0 D.x－2y+7=0 2．“m=
1
”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m－2)x+(m+2)y－3=0垂直”的 （ ） 2
A ．充分必要条件 B．充分而不必要条件 C ．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 3. 三直线ax +2y +8=0，4x +3y =10，2x －y =10相交于一点，则a 的值是 A. －2 B.－1 C.0 D.1
4、直线xcos θ＋y ＋m =0的倾斜角范围是„„„„„„„„„„„„（ ） ⎡π3π⎤
A. ⎢, ⎥ B.
⎣44⎦
⎡π⎤⎡3π⎫⎢0, 4⎥ ⎢4, π⎪ ⎣⎦⎣⎭
⎡π⎤
C. ⎢0, ⎥ D.
⎣4⎦
⎡ππ⎫⎛π3π⎤⎢4, 2⎪ 2, 4⎥ ⎣⎭⎝⎦
5、如直线l 1、l 2的斜率是二次方程x 2－4x+1=0的两根，那么l 1和l 2的夹角是( ) A.
ππππ
B. C. D. 4368
6．已知直线3和6互相平行，则它们之间的距离是（ ） x +2y -3=0x +my +1=0
A. 4 B.
257 C. D. 132626
7、过点A(1,2)且与原点距离最大的直线方程是（ ）
A ． x B． 2 C x D． 3 +2y -5=0x -y -4=0+3y -7=0x +y -5=08. 已知直线l 1的方程是ax-y+b＝0, l 2的方程是bx-y-a ＝0(ab≠0,a ≠b) ，则下列各示意图形
中，正确的是( )
9．直线y =3x 绕原点逆时针旋转90，再向右平移１个单位，所得到的直线为( ) A. y =-
1111
x + B. y =-x +1 C. y =3x -3 D. y =x +1 3333
10．若动点A (x 1, y 1) 、B (x 2, y 2) 分别在直线l 1：x +y -7=0和l 2：x +y -5=0上移动，则AB 中点M 到原点距离的最小值为
A ．32 B ．23 C ．33 D ．42
11．点A （1，3），B （5，－2），点P 在x 轴上使|AP |－|BP |最大，则P 的坐标为（ ） A. (4,0) B. (13,0) C. (5,0) D. (1,0)
12．设a,b,c 分别是△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对边的边长，则直线sinA ·x+ay+c＝0与
bx-sinB ·y+sinC＝0的位置关系是( )
A. 平行 B.重合 C.垂直 D.相交但不垂直
二．填空题：本大题4小题，每小题4分，共16分. 把正确答案填在答题卡的横线上. ）
13、直线l 1：x ＋my ＋6=0与l 2：(m －2) x ＋3y ＋2m =0，若l 1//l 2则m =__________; 14．过点（1，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程； 15. 直线y=
1
x 关于直线x ＝1对称的直线方程是2
16．已知点P (2, -3), Q (3,2)，直线ax +y +2=0与线段PQ 相交，则实数a 的取值范围 是____；
答 题 卷
一、选择题（60分）
二、选择题：（16分）
13.____________;14._________________________________;15.______________;16.______
三．解答题（74分）
17、（12分）根据下列条件，求直线方程 （1）经过点A （3，0）且与直线2x+y－5=0垂直
（2）经过点B （2，1）且与直线5x+2y+3=0的夹角等于45°
18（12分）△ABC 中，A （3，－1），AB 边上的中线CM 所在直线方程为：6x ＋10y －59=0， ∠B 的平分线方程B T 为：x －4y ＋10=0，求直线BC 的方程.
19、（12分）过点（２，３）的直线Ｌ被两平行直线Ｌ１：２ｘ－５ｙ＋９＝０与
Ｌ２：２ｘ－５ｙ－７＝０所截线段ＡＢ的中点恰在直线ｘ－４ｙ－１＝０上，求直线Ｌ
的方程
O B 20（12分）过点P (4, 1) 作直线l 分别交x 轴的正半轴和y 轴的正半轴于点A 、B ，当∆A
（O 为原点）的面积S 最小时，求直线l 的方程，并求出S 的最小值
21．（12分）光线从Q (2,0)发出射到直线l ：x+y=4上的E 点，经l 反射到y 轴上F 点，再经y 轴反射又回到Q 点，求直线EF 的方程。
22. （14分）在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的长为２，宽为１，AB 、AD
边分别
在x 轴、y 轴的正半轴上，A 点与坐标原点重合（如图所示）。将矩形折叠，使A 点落在线段DC 上。
（1）若折痕所在直线的斜率为k ，试求折痕所在直线的方程； （2
）当-2+k ≤0时，求折痕长的最大值；
（3）当-2≤k ≤-1时，折痕为线段PQ ，设t =k (2|PQ |2-1) ，试求t 的最大值。 （说明：文科班只做（1），（2）理科班做（1）、（2）、（3））
《直线方程》单元检测题参考答案 一、 选择题
1-5，ABBBB 6-10 .DADAA 11-12, B C 二、填空题：
13、-1；14. y =2x , 或x +y -3=0；15、x +2y -2=0；16、⎢-三、解答题
17、解解 (1)x -2y -3=0 (2)设所求直线斜率为k ，因为，直线5x+2y+3=0的斜率为-
⎡41⎤
, ⎥ ⎣32⎦
5 2
5
|=tan 45︒=1所以，k =-3或k =7所求直线方程为3x+7y－13=0 所以，|
5731-k 2
k +
或7x －3y －11=0.
18. 设B (x 0, y 0) 则AB
的中点M (
x 0+3y 0-1
, ) 在直线CM 上, 则22
6⨯
x 0+3y -1
+10⨯0-59=0, 即3x 0+5y 0-55=0„„„„„„„①, 22
又点B 在直线BT 上, 则x 0-4y 0+10=0„„„„„„„②联立①②得B (10, 5) ,
∴K AB =
5-(-1) 6
=,
10-37
611
--K BC
74, 得K =-2 有BT 直线平分∠B , 则由到角公式得=BC
11691+K BC 1+⨯447
∴BC 的直线方程为:2x +9y -65=0.
19. 设线段AB 的中点为M (4y 0+1, y 0) , 点M 到l 1与l 2的距离相等, 故
|2⨯(4y 0+1) -5y 0+9|
2+5
2
2
=
|2(4y 0+1) -5y 0-7|
2+5
2
2
⇒y 0=-1, 则点M (-3, -1)
∴直线l 的方程为
y -3x -2
=, 即4x -5y +7=0
-1-3-3-2
x y
在直线l 上， +=1，又 P(4,1)
a b
20．设a (a ,0),B(0,b),(a ,b>0),则直线l 的方程为：
∴
414141+=1，又 1=+≥2, ∴ab ≥16, ∴S =ab ≥8，等号当且仅当a b a b ab 2
411
==, 即a =8, b =2时成立，∴直线l 的方程为：x +4y－8=0, S min =8 a b 2
21．解：设Q 关于y 轴的对称点为Q 1，则Q 1的坐标为(-2,0) 设Q 关于l 的对称点为Q 2(m , n )，则QQ 2中点为G (
m +2n
, ) ，G 在l 上 22
∴
m +2n
+=4， ① 22
n
=1 ② 又QQ 2⊥l , ∴
m -2
由①②得Q 2(4,2)
由物理学知识可知，Q 1、Q 2在直线EF 上，∴k EF =k Q 1Q 2= ∴直线EF 方程为:y =
1
3
1
(x +2) ，即x -3y +2=0 3
1 2
22、解：(1) ①当k =0时, 此时A 点与D 点重合, 折痕所在的直线方程y =②当k ≠0时，将矩形折叠后A 点落在线段DC 上的点记为G (a ,1) ， 所以A 与G 关于折痕所在的直线对称， 有k OG ⋅k =-1⇒
1
⋅k =-1⇒a =-k a
故G 点坐标为G (-k , 1) ，
从而折痕所在的直线与OG 的交点坐标 （线段OG 的中点）为M (-
k 1, ) 22
1k k 21
+ 折痕所在的直线方程y -=k (x +) ，即y =kx +
2222
k 21
+ 由①②得折痕所在的直线方程为：y =kx +
22
（2）当k =0时，折痕的长为2;
k 2+1k 21
)
当-2k ≤0时，折痕直线交BC 于点M (2,2k ++) ，交y 轴于N (0,
222
k 2+1k 212
-(2k ++)]=4+4k 2≤4+4(7-=32-
∵y =|MN |=2+[222
2
2
=。
而2(6-2) >2 , 故折痕长度的最大值为2(6-)
2k +11k ,0) （3）当-2≤k ≤-1时，折痕直线交DC 于P (-,1) ，交x 轴于Q (-2k 22k
2k 2+11k 1-(-)]2=1+2 ∴t =k (2|PQ |2-1) =k + ∵|PQ |=1+[-2k 2k 2k k 22
∵-2≤k ≤-1
∴k +2≤-
k =(-2, -1) 时取“=”号）
k
∴当k =t 取最大值，t
的最大值是-。
人教版数学必修二
第三章 直线与方程 重难点解析
第三章 课文目录
3．1 直线的倾斜角与斜率 3．2 直线的方程
3．3 直线的交点坐标与距离公式
重难点：
1、倾斜角、斜率、过两点的直线的斜率公式。 2、直线方程的两点式、截距式的推导及运用。 3、两点间的距离公式和它的简单应用。
4、点到直线距离公式，会求两条平行直线间的距离。
一、直线的倾斜角与斜率
1．直线的倾斜角
一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α，那么α叫做直线的倾斜角。一条直线与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角α为0°。
直线倾斜角的取值范围是：0°≤α
2．直线的斜率：
倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，记为k, 即k=tanα。 [说明]：(1) α=0°k=0 (2) 0°0 (3) 90°
[注意]：斜率k 可以是任意实数，每条直线都存在唯一确定的倾斜角，但不是每条直线都有斜率。
3．过两点的直线的斜率公式：
直线经过两点P 1(x1, y1), P2(x2 ,y2), (x1≠x2) 。它的斜率
对于上面的斜率公式要注意下面五点：
。
(1) 当x1=x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角α= 90°, 直线与x 轴垂直；
(2)k与P1、P2的顺序无关, 即y1,y2和x1,x2在公式中的前后次序可以同时交换, 但分子与分母不能交换;
(3)斜率k 可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得;
(4) 当 y1=y2时, 斜率k = 0, 直线的倾斜角α=0°，直线与x 轴平行或重合. (5)求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到．
典型例题：
[例题1]：已知A(3, 2), B(-4, 1), C(0, -1), 求直线AB, BC, CA的斜率, 并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角.(用计算机作直线, 图略)
分析: 已知两点坐标, 而且x1≠x2, 由斜率公式代入即可求得k 的值; 而当k = tanα0时, 倾斜角α是锐角; 而当k = tanα=0时, 倾斜角α是0°.
解析: 直线AB 的斜率k1=1/7>0, 所以它的倾斜角α是锐角; 直线BC 的斜率k2=-0.50, 所以它的倾斜角α是锐角.
[例题2]：已知直线l 1⊥l 2，且l 1的倾斜角为，求l 1, l 2的斜率。
解析：∵ l 1的斜率角，∴ ，
则l 1，l 2的斜率分别为。
点评：已知直线的倾斜角，可以由定义式直接得出直线的斜率。
[例题3]：求出过两点A （-2，0），B （-5，3）的直线的倾斜角和斜率。
解析：，即tan α=-1， 而α∈[0，π），∴。
点评：已知直线的斜率，可以直接得出倾斜角，但要注意角的范围。
[例题4]：已知点P(a,b) (a,b不同时为0) ，0为坐标原点，求直线OP 的斜率和倾斜角。
解析：当b=0时，由a≠0，则OP 的倾斜角α=0，斜率k=0。
当a,b 同号时，，。
当a,b 异号时，。
当a=0时，由b≠0，则
，k 不存在。
点评：斜率是否存在，与P 点位置有关；斜率的正、负与零，倾斜角的表达方式不同，这是因为倾角的范围造成的。
[例题5]：如图，直线l 1的倾斜角α1=30 ，直线l 1⊥l 2，求l 1、l 2的斜率。
解析：l
1的斜率k 1=tan 30=
， l 2
l 1
∵l 2的倾斜角α2=90 +30 =120 ， ∴l
2的斜率k 2=tan α2=tan120 =
[例题6]：已知α和k 分别是l 的倾斜角和斜率，当（1）sin α=
33；（2）cos α=；（3）55
3
cos α=-时，分别求直线l 的斜率k ．
5
33
解析：当sin α=时，∵0≤α
5434
当cos α=时，∵0≤α
5334
当cos α=-时，∵0≤α
53
[例题7]：已知直线l 的方程：(λ+1)x+2λy-1-λ=0(λ∈R)。
（1）求直线l 的倾斜角的范围；
（2）证明此直线恒过一定点，并求定点坐标。
2
2
解析：（1）当λ=0时，倾角；当λ≠0时，直线化为：，
若λ>0，直线斜率。
若λ
综上所述，l 的倾角的范围是
。
（2）原方程变形为以λ为主变量的方程：(x-1)λ+2λy+(x-1)=0，令知此方程与λ无关的解为x=1, y=0。故直线l 恒过定点(1, 0)。
二、直线的方程
2
，可
直线方程的四种形式： (1) 点斜式：
已知：直线l 经过定点P 0(x0,y 0) ，且斜率为k ，则直线l 的方程为：y-y 0=k(x-x0) ，称为直线的点斜式方程。特别地，当l 的倾斜角为0°时，k=tan0°=0，此时，l 的方程为y=y0。 如果直线l 的斜率为k, 与y 轴的交点为(0, b) ，代入点斜式得l 的方程为：y=kx+b（其中，b 叫直线l 的纵截距），这便是直线的斜截式。
[注意]：斜截式是点斜式的特例，两者均不能表示与x 轴垂直的直线方程。换句话说，斜率存在的直线才可以用点斜式或斜截式表示，斜率不存在的直线的方程可写成x=x0的形式（直线经过P 0(x0, y 0) ）。此外，斜截式中的b 不是指距离，而是直线与y 轴交点的纵坐标。b 可正可负，也可为0。 （2）两点式：
已知：直线l 过两点P 1(x1, y1), P2(x2, y2) ，(x1≠x2) ，则利用斜率公式和点斜式可得l 的方程为：
（其中x 1≠x2，y 1≠y2）。
这便是直线方程的两点式。两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，但把两点式化为整式
形式：
(x2-x 1)(y-y1)=(y2-y 1)(x-x1) ，就可以利用它求出平面内过任意两个已知点的直线方程： 若x 1=x2, y1≠y2时，则有x-x 1=0，即: x=x1； 若y 1=y2, x1≠x2时，则有y-y 1=0, 即：y=y1。 （3）截距式：
如果直线l 在x 轴，y 轴上的截距分别为a 和b(a≠0, b≠0)，则l 的方程为：。
这便是直线方程的截距式，显然，截距式是两点式的特例，它不能表示与坐标轴垂直及过原点的直线。 （4）一般式：
方程Ax+By+C=0（A 、B 不全为零）叫做直线方程的一般式。任何一条直线的方程都可以化成一般式。
直线的方程都是二元一次方程；任何一个关于x, y的二元一次方程都表示一条直线。这就是直线与二元一次方程的关系。
当B≠0时：直线Ax+By+C=0的斜率，在y 轴上的截距。
当B=0时：直线Ax+By+C=0的斜率不存在，在x 轴上的截距。
综上所述，两个独立条件确定一条直线，所以求一条直线的方程，必须给出两个独立的条件。一般说来，确定一条直线主要有两种方法。第一个方法，由直线上的一点和直线的方向确定。而直线的方向由斜率确定，这便是直线方程的点斜式的由来（斜截式是点斜式的特例）。第二个方法，由两点确定一条直线，这便是两点式的由来，当然两点式也可以由点斜式而来，截距式可看作是两点式的特例。
四种形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式) 进行比较：
典型例题：
[例题1]：求满足下列条件的直线方程： （1）经过点P(-2,3)，倾斜角是直线
的倾斜角的一半。
（2）经过点P(-2,3)，且在两坐标轴上截距相等。 （3）经过两点A(-2,3), B(4,-1)。
（4）经过点P(-2,3)，且与两坐标轴围成三角形的面积为4。 解析：（1）由题设直线方程为y-3=k(x+2)。
中
，∴ 此直线倾斜角α=120°，
，所以方程为
因为直线
由题所求直线的倾斜角θ=60°，则： 即：
就是所求方程。
（2）当直线过原点时：设直线为y=kx，由于过P(-2,3)，则3=-2k，则，则
为直线方程。
当直线不过原点时：设直线为，由于过P(-2,3)，则，∴a=1，
所以，方程为x+y=1，即：x+y-1=0就是所求方程。
（3）由两点式得，即：2x+3y-5=0。
（4）由题可设方程为y-3=k(x+2)，分别令x=0得纵截距b=2k+3；y=0
得横截距
。
又由题得：，解之得。
故所求方程为：
和，即：x+2y-4=0或9x+2y+12=0。
评点：（1）要根据不同的条件，选择适当的方程形式。
（2）在点斜式和斜截式中，都有斜率k, 常把k 作为参数引入待定。 （3）截距相等，要注意区分截距是否为零，即是否过原点。
（4）直线方程的最后结果要求写成斜截式或者一般式的形式。
[例题6]：已知点P(x,y), A(x1, y1), B(x2, y2), (x1≠x2) 则点P 在直线AB 上的充要条件是（ ）。
A 、 B、
C 、 D 、
提示：本题复习充分条件和必要条件；直线的方程和方程的直线；定比分点坐标公式并渗透参数方程等内容，但作为选择题，只要熟悉概念，不难判断：A ：P 不能取A 点，B
：不
能取A 点和B 点，D ：不能取A 点和B 点，故只能选C 。
事实上，对于C ：当t=0时，表示B 点，当t=1时，表示A 点。
当t≠0，1时，于A 、B 的点（反之亦然）。
，由定比分点公式知，它可以表示直线AB 上所有异
[例题7]：过点P (2，1）作直线l 交x , y 正半轴于AB 两点，当|PA |⋅|PB |取到最小值时，求直线l 的方程.
解析：设直线l 的方程为：y -1=k (x -2), (k ≠0) 令y ＝0解得x =2-∴A （2-
1
；令x ＝0，解得y =1-2k k
1
，0），B （0，1-2k ）， k
∴|PA |⋅|PB |＝(1+
12)(4+k ) 2k
=8+4(k 2+
1
) ≥+4⨯2=4 k 2
2
当且仅当k =1即k =±1时，|PA |⋅|PB |取到最小值.
又根据题意k
点评：此题在求解过程中运用了基本不等式，同时应注意结合直线与坐标轴正半轴相交而排除k ＝1的情形[例题8]：一直线被两直线l 1：4x +y +6=0，l 2：3x -5y -6=0截得的线段的中点恰好是坐标原点，求该直线方程.
解析：设所求直线与l 1，l 2的交点分别是A 、B ，设A(x 0, y 0），则B 点坐标为(-x 0, -y 0)
因为A 、B 分别在l 1，l 2上，所以⎨
①⎧4x 0+y 0+6=0
⎩-3x 0+5y 0-6=0②
①＋②得：x 0+6y 0=0，即点A 在直线x +6y =0上，又直线x +6y =0过原点，所以直线l 的方程为x +6y =0.
[例题9]：直线Ax +By -1=0在y 轴上的截距是－1，而且它的倾斜角是直线
3x -y =33的倾斜角的2倍，则( )
A. A ＝3，B ＝1 B. A ＝－，B ＝－1 C. A ＝，B ＝－1
D. A ＝－，B ＝1
解析：将直线方程化成斜截式y =-A B x +1B
. 因为
1
B
＝－1，B ＝－1，故否定A 、D. 又直线3x -y =33的倾斜角α＝π
3
，
∴直线Ax +By -1=0的倾斜角为2α＝2π
3
，
∴斜率－A B =tan 2π
3
＝-，
∴A ＝－3，B ＝－1，故选B [例题10]：若直线Ax +By +C =0通过第二、三、四象限，则系数A 、B 、C 需满足条件( )
A. A 、B 、C 同号 B. AC ＜0，BC ＜0 C.C ＝0，AB ＜0 D. A ＝0，BC ＜0 解法一：原方程可化为y =-
A B x -C
B
（B ≠0）∵直线通过第二、三、四象限，
∴其斜率小于0，y 轴上的截距小于0，即－A B ＜0，且－C
B
＜0 ∴
A B ＞0，且C
B
＞0 即A 、B 同号，B 、C 同号.∴A 、B 、C 同号，故选A
解法二：(用排除法)
若C ＝0，AB ＜0，则原方程化为y =-
A C B x -B ＝－A
B
x .
由AB ＜0，可知－
A
＞0. B
C C
. 由BC ＜0，得－＞0. B B
∴此时直线经过原点，位于第一、三象限，故排除C. 若A ＝0，BC ＜0，则原方程化为y =-
∴此时直线与x 轴平行，位于x 轴上方，经过一、二象限. 故排除D. 若AC ＜0，BC ＜0，知A 、C 异号，B 、C 异号 ∴A 、B 同号，即AB ＞0.
∴此时直线经过第一、二、四象限，故排除B. 故A 、B 、C 同号，应选A
[例题11]：直线y =ax +b （a +b ＝0）的图象是( )
解法一：由已知，直线y =ax +b 的斜率为a ，在y 轴上的截距为b 又因为a +b ＝0.
∴a 与b 互为相反数，即直线的斜率及其在y 轴上的截距互为相反数图A 中，a ＞0，b ＞0; 图B 中，a ＜0，b ＜0; 图C 中，a ＞0，b ＝0 故排除A 、B 、C. 选D.
解法二：由于所给直线方程是斜截式，所以其斜率a ≠0，于是令y ＝0，解得x =-又因为a +b ＝0，∴a =-b ，∴x =-
b
. a
b
=1 a
∴直线在x 轴上的截距为1，由此可排除A 、B 、C ，故选D 三、直线的交点坐标与距离公式
1、两点间的距离公式
PP 12=
2、点到直线距离公式：
点P (x 0, y 0) 到直线l :Ax +By +C =0的距离为：d =3、直线的交点
如果两条直线A 1x+B1y+C1=0和A 2x+B2y+C2=0相交，由于交点同时在两条直线上，交点坐标一定是它们的方程 A1x+B1y+C1=0
Ax 0+By 0+C A +B
2
2
A2x+B2y+C2=0
的解，反之，如果上面方程组只有一个解，那么这个解为坐标的点就是直线A 1x+B1y+C1=0和A 2x+B2y+C2=0的交点。
说明若无解，则两直线平行；若有无数解，则两直线重合。
典型例题：
[例题1]：例1 ：以知点A （-1，2），B （2
），在x 轴上求一点，使 PA =PB , 并求 PA 的值。
解：设所求点P （x ，0），于是有
=
由 PA =PB 得
x 2+2x +5=x 2-4x +11解得 x=1。
求点P 0(-1, 2) 到下列直线的距离. (1)2x +y -10=0；(2)3x =2 解析：(1)根据点到直线的距离公式得d =
2⨯(-1) +2-10
2+1
2
2
=25
(2)因为直线3x =2平行于y 轴，所以d =|
25
-(-1) |= 33
评述：此例题(1)直接应用了点到直线的距离公式，要求学生熟练掌握； (2)体现了求点到直线距离的灵活性，并没局限于公式.
所以，所求点P （1，
0）且
PA =点间距离公式理解。应用。
=通过例题，使学生对两
⎛1解法二：由已知得，
线段AB 的中点为Ｍ 2，直线AB 的斜率
为
⎝⎭
３1⎫⎛
ｘ－⎪３2⎝⎭
线段AB 的垂直平分线的方程是
1⎫⎛
∙ ｘ－⎪ 2⎭⎝
在上述式子中，令y=0，解得x=1。 所以所求点P 的坐标为（1，0）。因此
[例题2]：求两平行线l 1：2x +3y -8=0，l 2：2x +3y -10=0的距离.
解法一：在直线l 1上取一点P (４，0），因为l 1∥l 2， 所以点P 到l 2的距离等于l 1与l 2的距离. 于是d =
2⨯4-3⨯0+10
22+32
=
2=
2
13
解法二：l 1∥l 2又C 1=-8, C 2=-10. 由两平行线间的距离公式得d =
-8-(-10) 2+3
2
2
=
23
13
[例题3]：求原点到下列直线的距离： (1)3x ＋2y －26＝0；(2) x ＝y 解析：(1)d =
-3+2
2
2
=2.(2)∵原点在直线y ＝x 上，∴d ＝0
[例题4]：求下列点到直线的距离：
(1)A （－2，3），3x ＋４y ＋3＝0;(2)B （1，0），3x ＋y －3＝0； (3)C （1，－2），４x ＋3y ＝0. 解析：(1)d =
3⨯(-2) +4⨯3+3
2+42
=
-9
=; (2)d ==0;
25() +1
(3)d =
4⨯1+3⨯(-2)
4+3
2
2
2
5
[例题5]：求下列两条平行线的距离：
(1)2x ＋3y －８＝0，2x ＋3y ＋1８＝0， (2)3x ＋４y ＝10，3x ＋４y ＝0.
解析：(1)在直线2x ＋3y －８＝0上取一点P （４，0），则点P 到直线2x ＋3y ＋1８
的距离就是两平行线的距离，∴d ＝
2⨯4+182+3
2
2
=2
(2)在直线3x ＋４y ＝0上取一点O （0，0），则点O 到直线3x ＋４y ＝10的距离就是两平行线的距离，∴d =
[例题6]：已知点A （a ，6）到直线3x －４y ＝2的距离d 取下列各值，求a 的值： (1)d ＝４，（2）d ＞４103+4
2
2
＝2
解析：(1)d =
3a -4⨯6-23+(-4)
2
2
＝４，解得a ＝2或a ＝
46
3
(2)d =
3a +4⨯6-23+(-4)
2
2
＞４，解得a ＜2或a ＞
46
3
[例题7]：求下列两直线交点坐标
L 1 ：3x +4y -2=0
解析：解方程组 ⎨
L 1：2x +y +2=0
=0⎧3x +4y -2
2x +2y +2=0⎩
得 x=-2，y=2
所以L1与L2的交点坐标为M （-2，2），如图3。3。1。
6
y
4
2
-55
x
-2
-4
[例题8]：已知a 为实数，两直线l 1：ax +y +1=0，l 2：x +y -a =0相交于一点，求证交点不可能在第一象限及x 轴上.
分析：先通过联立方程组将交点坐标解出，再判断交点横纵坐标的范围.
a +1a 2+1
解析：解方程组若＞0，则a ＞1. 当a ＞1时，－＜0，此时交点在第二象
a -1a -1
限内.
a 2+1
又因为a 为任意实数时，都有a +1≥1＞0，故≠0
a -1
2
因为a ≠1（否则两直线平行，无交点） ，所以，交点不可能在x 轴上，得交点(－
a +1a 2+1
, ) a -1a -1
[例题9]：求下列两条直线的交点：
L 1：3x+4y-2=0， L2： 2x+y+2=0． 解析：解方程组
∴L1与L2的交点是M(-2，2) ． [例题10]：已知两条直线：
l 1： x+my+6=0， l 2： (m-2)x+3y+2m=0．
当m 为何值时，l1与l2：(1)相交，(2)平行，(3)重合． 解析：将两直线的方程组成方程组
解得m=-1或m=3．
(2)当m=-1时，方程组为
∴方程无解，l1与l2平行． (3)当m=3时，方程组为
两方程为同一个方程，l1与l2重合．
《直线方程》单元检测题 满分150分，考试时间120分钟
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 并把答案写在答题卡
1、过点（－1，3）且垂直于直线x －2y +3=0的直线方程为
A . 2x+y－1=0 B.2x+y－5=0 C.x+2y－5=0 D.x－2y+7=0 2．“m=
1
”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m－2)x+(m+2)y－3=0垂直”的 （ ） 2
A ．充分必要条件 B．充分而不必要条件 C ．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 3. 三直线ax +2y +8=0，4x +3y =10，2x －y =10相交于一点，则a 的值是 A. －2 B.－1 C.0 D.1
4、直线xcos θ＋y ＋m =0的倾斜角范围是„„„„„„„„„„„„（ ） ⎡π3π⎤
A. ⎢, ⎥ B.
⎣44⎦
⎡π⎤⎡3π⎫⎢0, 4⎥ ⎢4, π⎪ ⎣⎦⎣⎭
⎡π⎤
C. ⎢0, ⎥ D.
⎣4⎦
⎡ππ⎫⎛π3π⎤⎢4, 2⎪ 2, 4⎥ ⎣⎭⎝⎦
5、如直线l 1、l 2的斜率是二次方程x 2－4x+1=0的两根，那么l 1和l 2的夹角是( ) A.
ππππ
B. C. D. 4368
6．已知直线3和6互相平行，则它们之间的距离是（ ） x +2y -3=0x +my +1=0
A. 4 B.
257 C. D. 132626
7、过点A(1,2)且与原点距离最大的直线方程是（ ）
A ． x B． 2 C x D． 3 +2y -5=0x -y -4=0+3y -7=0x +y -5=08. 已知直线l 1的方程是ax-y+b＝0, l 2的方程是bx-y-a ＝0(ab≠0,a ≠b) ，则下列各示意图形
中，正确的是( )
9．直线y =3x 绕原点逆时针旋转90，再向右平移１个单位，所得到的直线为( ) A. y =-
1111
x + B. y =-x +1 C. y =3x -3 D. y =x +1 3333
10．若动点A (x 1, y 1) 、B (x 2, y 2) 分别在直线l 1：x +y -7=0和l 2：x +y -5=0上移动，则AB 中点M 到原点距离的最小值为
A ．32 B ．23 C ．33 D ．42
11．点A （1，3），B （5，－2），点P 在x 轴上使|AP |－|BP |最大，则P 的坐标为（ ） A. (4,0) B. (13,0) C. (5,0) D. (1,0)
12．设a,b,c 分别是△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对边的边长，则直线sinA ·x+ay+c＝0与
bx-sinB ·y+sinC＝0的位置关系是( )
A. 平行 B.重合 C.垂直 D.相交但不垂直
二．填空题：本大题4小题，每小题4分，共16分. 把正确答案填在答题卡的横线上. ）
13、直线l 1：x ＋my ＋6=0与l 2：(m －2) x ＋3y ＋2m =0，若l 1//l 2则m =__________; 14．过点（1，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程； 15. 直线y=
1
x 关于直线x ＝1对称的直线方程是2
16．已知点P (2, -3), Q (3,2)，直线ax +y +2=0与线段PQ 相交，则实数a 的取值范围 是____；
答 题 卷
一、选择题（60分）
二、选择题：（16分）
13.____________;14._________________________________;15.______________;16.______
三．解答题（74分）
17、（12分）根据下列条件，求直线方程 （1）经过点A （3，0）且与直线2x+y－5=0垂直
（2）经过点B （2，1）且与直线5x+2y+3=0的夹角等于45°
18（12分）△ABC 中，A （3，－1），AB 边上的中线CM 所在直线方程为：6x ＋10y －59=0， ∠B 的平分线方程B T 为：x －4y ＋10=0，求直线BC 的方程.
19、（12分）过点（２，３）的直线Ｌ被两平行直线Ｌ１：２ｘ－５ｙ＋９＝０与
Ｌ２：２ｘ－５ｙ－７＝０所截线段ＡＢ的中点恰在直线ｘ－４ｙ－１＝０上，求直线Ｌ
的方程
O B 20（12分）过点P (4, 1) 作直线l 分别交x 轴的正半轴和y 轴的正半轴于点A 、B ，当∆A
（O 为原点）的面积S 最小时，求直线l 的方程，并求出S 的最小值
21．（12分）光线从Q (2,0)发出射到直线l ：x+y=4上的E 点，经l 反射到y 轴上F 点，再经y 轴反射又回到Q 点，求直线EF 的方程。
22. （14分）在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的长为２，宽为１，AB 、AD
边分别
在x 轴、y 轴的正半轴上，A 点与坐标原点重合（如图所示）。将矩形折叠，使A 点落在线段DC 上。
（1）若折痕所在直线的斜率为k ，试求折痕所在直线的方程； （2
）当-2+k ≤0时，求折痕长的最大值；
（3）当-2≤k ≤-1时，折痕为线段PQ ，设t =k (2|PQ |2-1) ，试求t 的最大值。 （说明：文科班只做（1），（2）理科班做（1）、（2）、（3））
《直线方程》单元检测题参考答案 一、 选择题
1-5，ABBBB 6-10 .DADAA 11-12, B C 二、填空题：
13、-1；14. y =2x , 或x +y -3=0；15、x +2y -2=0；16、⎢-三、解答题
17、解解 (1)x -2y -3=0 (2)设所求直线斜率为k ，因为，直线5x+2y+3=0的斜率为-
⎡41⎤
, ⎥ ⎣32⎦
5 2
5
|=tan 45︒=1所以，k =-3或k =7所求直线方程为3x+7y－13=0 所以，|
5731-k 2
k +
或7x －3y －11=0.
18. 设B (x 0, y 0) 则AB
的中点M (
x 0+3y 0-1
, ) 在直线CM 上, 则22
6⨯
x 0+3y -1
+10⨯0-59=0, 即3x 0+5y 0-55=0„„„„„„„①, 22
又点B 在直线BT 上, 则x 0-4y 0+10=0„„„„„„„②联立①②得B (10, 5) ,
∴K AB =
5-(-1) 6
=,
10-37
611
--K BC
74, 得K =-2 有BT 直线平分∠B , 则由到角公式得=BC
11691+K BC 1+⨯447
∴BC 的直线方程为:2x +9y -65=0.
19. 设线段AB 的中点为M (4y 0+1, y 0) , 点M 到l 1与l 2的距离相等, 故
|2⨯(4y 0+1) -5y 0+9|
2+5
2
2
=
|2(4y 0+1) -5y 0-7|
2+5
2
2
⇒y 0=-1, 则点M (-3, -1)
∴直线l 的方程为
y -3x -2
=, 即4x -5y +7=0
-1-3-3-2
x y
在直线l 上， +=1，又 P(4,1)
a b
20．设a (a ,0),B(0,b),(a ,b>0),则直线l 的方程为：
∴
414141+=1，又 1=+≥2, ∴ab ≥16, ∴S =ab ≥8，等号当且仅当a b a b ab 2
411
==, 即a =8, b =2时成立，∴直线l 的方程为：x +4y－8=0, S min =8 a b 2
21．解：设Q 关于y 轴的对称点为Q 1，则Q 1的坐标为(-2,0) 设Q 关于l 的对称点为Q 2(m , n )，则QQ 2中点为G (
m +2n
, ) ，G 在l 上 22
∴
m +2n
+=4， ① 22
n
=1 ② 又QQ 2⊥l , ∴
m -2
由①②得Q 2(4,2)
由物理学知识可知，Q 1、Q 2在直线EF 上，∴k EF =k Q 1Q 2= ∴直线EF 方程为:y =
1
3
1
(x +2) ，即x -3y +2=0 3
1 2
22、解：(1) ①当k =0时, 此时A 点与D 点重合, 折痕所在的直线方程y =②当k ≠0时，将矩形折叠后A 点落在线段DC 上的点记为G (a ,1) ， 所以A 与G 关于折痕所在的直线对称， 有k OG ⋅k =-1⇒
1
⋅k =-1⇒a =-k a
故G 点坐标为G (-k , 1) ，
从而折痕所在的直线与OG 的交点坐标 （线段OG 的中点）为M (-
k 1, ) 22
1k k 21
+ 折痕所在的直线方程y -=k (x +) ，即y =kx +
2222
k 21
+ 由①②得折痕所在的直线方程为：y =kx +
22
（2）当k =0时，折痕的长为2;
k 2+1k 21
)
当-2k ≤0时，折痕直线交BC 于点M (2,2k ++) ，交y 轴于N (0,
222
k 2+1k 212
-(2k ++)]=4+4k 2≤4+4(7-=32-
∵y =|MN |=2+[222
2
2
=。
而2(6-2) >2 , 故折痕长度的最大值为2(6-)
2k +11k ,0) （3）当-2≤k ≤-1时，折痕直线交DC 于P (-,1) ，交x 轴于Q (-2k 22k
2k 2+11k 1-(-)]2=1+2 ∴t =k (2|PQ |2-1) =k + ∵|PQ |=1+[-2k 2k 2k k 22
∵-2≤k ≤-1
∴k +2≤-
k =(-2, -1) 时取“=”号）
k
∴当k =t 取最大值，t
的最大值是-。