全概率公式浅析及其应用
申航宇
（北京科技大学数理学院，信息与计算科学1301班，41363006）
摘要：本文讨论了全概率公式的概念及其应用，介绍了如何用公式解决问题的方法。简述 解题步骤以及应用此公式时应注意的事项。
关键词：全概率公式，事件，完备实践组，敏感性调查。
1. 引言
全概率公式是概率论中一个重要的公式，它提供了计算复杂时间概率的一条有效途径，使一个复杂实践的概率计算概率计算问题化繁为简，它是概率论最基本而重要的公式之一。首先介绍完备实践组和全概率事件的定义。
2. 定义
定义1 如果n 个事件A 1, (1)A 1,
, A n . 满足下列两个条件：
, A n . 两两互不相容；
(2)A 1…A n =Ω； 那么，我们称这个n 个事件A 1, 事件组。
定义2 设n 个事件构成样本空间的一个划分，B 是一个事件。当
, A n 构成样本空间Ω的一个划分，也称构成一个完备
P (B ) >0，P (A i ) >0, i =1, 2,
, n 时，则有
P (B ) =∑P (A i ) P (B |A i )
i =1n
这个公式称为全概率公式。
3. 推导
定理(全概率公式) 设两两互不相容，且
A 1, , A n
P (A i ) >0，若
∑A =U , B ⊆A +A
i
1
i =1
n
2
+
+A n
，则
P (B ) =∑P (A i ) P (B |A i )
i =1
n
。
如图1-1所示，由于事件B 能且只能与互不相容的n 个事件
A 1, , A n
中的一个同时发
生，即
B =∑BA i
i =1
n
，其中
BA 1, BA 2,
, BA n 显然也互不相容。
∴由加法和乘法公式得：
P (B ) =P (BA 1+BA 2++BA n ) =P (BA 1) +P (BA 2) +
+p (BA n )
=P (A 1) P (B |A 1) +P (A 2) P (B |A 2) +
=∑P (A i ) P (B |A i )
i =1n
+P (A n ) P (B |A n )
4. 运用全概率公式的一般方法和步骤
1. 了解问题可否采用“全概率公式”求解。 若我们从问题的条件中可以找到一个事件组
A 1, , A n
(即文中所述的完备事件组) ，而该
事件组当且仅当其中之一发生时，事件B 才可能发生，并能求出它们的概率时可以求得在事件组
P (A i )
，同
A 1, , A n
。
A i 发生的条件下事件B 发生的条件概率
P (B |A i ) i =1, 2,
, n ，那么即可利用全概率公式求得P (B ) 。
2. 找出完备事件组及其相关概率。
认真分析题目意思，根据已知条件，找出完备事件组，这些完备事件组
A 1,
, A n 往往是
考虑事件B 发生时的全部假设情况，将这些假设情况一一列出，并由题意得出相应的概率
P (A i )
，根据题意找出或求出在A 发生的条件下事件B 发生的条件概率
, n ，这样就可直接运用全概率公式求解此类问题了。
P (B |A i ) i 1, 2,
例 1. 某药厂用从甲、乙、丙三地收购而来的药材加工生产出一种中成药 , 三地的供 货量分别占40 % ,35 %和 25 % ,且用这三地的药材能生产出优等品的概率分别为 0. 65、0. 70 和 0. 85 ,求从该厂产品中任意取出一件成品是优等品的概率[1]
解:题目分析:由于不知道任意取出的药品究竟是甲、乙、丙三地中的哪一地的药材生产出的 , 所以直接求它为优等品的概率很困难 , 但取出的该药品总是由甲、乙、丙三地中的某一地药材生产出
的 , 即三者必居其一。因此可设 Ai(i = 1 ,2 ,3) 分别表示抽到的产品的原材来自甲、乙、丙三地 ,B = {抽到优等品}(如图 2 所示) 。依题意可知产地 Ai(i = 1 ,2 ,3)构成了完备事件组 ,B 发生时必以 Ai(i = 1 ,2 ,3)之一为先决条件 , 这样总是可以把 B 分解到 Ai 上的 , 因此可以利用全概率公式计算 P(B) 。并由已知条件得 P ( A i) = 0. 4 , P ( A2) = 0. 35 , P ( A3) =0. 25 , P(B/ A1) = 0. 65 , P(B/ A2) = 0. 7 , P(B/ A3)= 0. 85 , 由全概率公式得:P(B) = P(B/ A1) P(A1) + P(B/ A2) P(A2) + P(B/ A3) P(A3) = 0. 65 ×0. 4 + 0. 7 ×0. 35 + 0. 85 ×0. 25 = 0. 7175
所以从该厂产品中任意取出一件成品是优等 品的概率为 0. 7175。
5. 全概率公式在社会敏感问题中的应用
（1）全概率公式可以应用到敏感性调查中. 所谓敏感性调查是指调查的内容中可能涉及到被调查者的高度机密或隐私( 比如, 在考试中是否作弊, 实际收入, 是否吸毒, 等等), 因而常常会发生被调查者拒绝回答或不真实回答的情况. 为此, 沃纳(Warner) 于1965 年提出了一个随机化回答的方法[ 3] 29, 可以消除被调查者的顾虑, 使之能够真实地回答. 下面以调查某校在期末考试中作弊人数的比例为例说明之. 首先为被调查者设定两个问题:
A 1: 您在期末考试中作弊了吗? A 2: 您没在期末考试中作弊吗?
被调查者回答上述问题中的哪一个完全由随机化的方法确定, 并且只有被调查者本人知道他( 她) 回答的是哪一个问题, 比如采取如下抓阄(随机取球) 的方法: 发给被调查者每人 3 个质地与大小完全相同的球, 其中 2 红 1 白, 被调查者从中随机地取一球观察颜色后放回(要求只有被调查者自己知道取到的球的颜色). 当取到红球时回答问题 A1; 否则, 回答问题 A2. 答案在? 是? 与? 不是? 之中作选择.
下面求某校在期末考试中作弊人数的比例. 由于抓阄的结果对于他人来说是保密的, 故只有被调查者自己知道要回答的是哪一个问题, 因此被调查者可以毫无顾虑地给出问题的真实回答. 不妨令 B 1: 回答为? 是?; B 2: 回答为? 不是?.
由于认为被调查者是如实地作出回答, 故有被调查者在期末考试中作弊的概率
P = P(B 1 | A 1) = P(B2 | A 2) 根据全概率公式, 有
P(B1) = P(B1 | A 1)P(A 1) +P(B1 | A 2)P(A 2). 因为
P(A 1) =2/3, P(A 2) =1/3, P(B1 | A 2) = 1- P(B2 | A 2) = 1- P, 则有
P(B1) =2/3P +1/3( 1- P), 从而有 P = 3P(B1) - 1.
设被调查的人数为 n, 其中回答‘是’的人数 为 m. 则当 n 很大时, 有 P(B1) 约等于m/n,
故某校在期末考试中作弊人数比例的近似值为 r =3m/n- 1. 一般地, 如果
P(A 1) = p, P( A2) = 1- p, 那么有
P(B1) = pP + (1- p )(1- P).
当 p 不等于1/ 2 时, 可由上式解得 P =1/（2p - 1）[ P(B1) - (1- p)] ,
进而得某校在期末考试中作弊人数比例的近似值
r =1/（2p - 1）[m/n- (1- p)] .
（2）调查分析的步骤
本文所述社会敏感问题的调查分析方法大致可分为几个步骤:
1. 为了调查社会敏感问题A , 需要同时提出一个辅助的、与问题A 无关的普通问题B 。 2. 用简单随机抽样法从全及总体中抽取n 个样本单位，即n 个调查者，并且设计一个随机试验，使每一调查对象都按照随机选答法真实地回答A , B 两个问题中的一个问题。 3. 确定出
p 1和p 2，其中p 1为全体调查对象中回答问题A 的比数；p 2为回答问题B 的
调查对象中应回答“是”的比数，可用全体调查对象中对问题B 应回答“是”的比数作为其近似值。应当指出，在制定调查计划时，这两个数的确定就应同时考虑进去。其中确定有时需要查询调查者的人事资料。
4. 经过调查统计出n 个调查对象中回答“是”的人数m 。 5. 把
p 2的
p 1, p 2, m 和n 的值代入(*) 式求出p ˆ的值，该值即为全及总体中对该社会敏感问题
回答“是”的个体的比数p 的估计值。我们知道(*) 式是利用全概率公式推得的。 现在回到上段讨论的例子上来。假定该校有五千名学生参加考试。首先用简单随机抽样法确定被调查的学生。本文所说的简单随机抽样是指按照随机原则进行的不放回抽样。制订调查方案时可设计如下格式的调查表: 调查表
〔调查目的〕了解我校上学期末最后一门课考试考场纪律执行情况。
〔调查方式〕请您找出一枚硬币，并投掷它。如果掷出带国徽的一面，请真实回答A ，如果掷出带数字的一面，请真实回答问题B (两问题内容见下表) 。如果你对要求回答的问题答“是”，请在本表最下方空格内打上圈“0”；如果您对要回答的问题答“不是”，请在空格内打上叉“X ”。此表填好后请投入教学楼门口的调查箱内。
〔说 明〕除了您本人以外，任何人都不知道您投掷硬币的结果，因此别人不可能知道您回答的是哪一个问题，也就不可能知道您考试是否有违纪行为。
回答：
假定收到调查表120张，其中打“0”的有33张，则可求得p =0.05，即估计该校有5％的学生，亦即250名学生在那门课考试中作弊。至于这些作弊的学生究竟是谁，这不是调查的目的。恰恰相反，这种调查是要为作弊的学生保密。
如果把上面调查表中的问题B 改为“您有哥哥或姐姐? ”则只有通过查阅被调查学生的档案才能确定他们中有哥哥或姐姐的比数。 顺带指出:可以证明，本文用抽样指标p 估计
ˆ
ˆ未知的全体指标p ，p 是p 的无偏估计。
6. 应用全概率公式的注意事项
1. 使用全概率公式的关键是寻找一完备事件组。 如何找出完备事件组
A 1, , A n
？这是应用全概率公式的一个重点也是一个难点。一般
地说，具体问题具体分析，但下列两点可予以考虑：①全概率公式中的条件可等价地改写成“事件B 能且仅能与
A 1, , A n
之一同时发生，把事件组
A 1, , A n
看成导致事件B 发
生的一个原因或一种假设情况，而这些原因或假设情况的概率是已知的或能求出的，用找原因的方法求
A
1, , A n
比较方便。②对于一个复合试验，如果要求的概率是最后一个
试验结果的一个概率，则可把倒数第二个试验的样本空间进行划分。也就是说，如果要
求的事件B 的发生受到事件组事件组
A 1,
, A n 发生的影响，亦即要使事件B 发生必须先发生
, A n ，
A 1,
, A n (这里的事件B 就是前而所说的最后一个试验结果，事件组A 1,
A 1,
即构成了前而所说的倒数第二个试验的样本空间) ，那么事件组寻找的完备事件组。 2. 弄清事件B 与完备事件组
, A n 就是我们所要
A 1,
, A n 的关系。
如图所示，事件B 与完备事件组
A 1, , A n
的关系为
B =BA 1+BA 2+... +BA n ，即
B =∑BA i
i =1n
。这是因为任何一个事件都
可认为是由样本空间U 中的若干个基本事件构成的，当U 被完备事件组时，所有基本事件就被归类于
A 1, , A n
划分
A 1, , A n
中，这样事件B 中的基本事件也必然归于
A 1, , A n
中，也就是说B 中的基本事件被分配到完备事件组
A 1, , A n
之中了，那么当
A 1, , A n
划分U 时也就划分了B ，所以
B =∑BA i
i =1
n
。
利用全概率公式求复杂事件B 的前提条件是事件B 的发生与一系列互不相容的事件有关。需要说明的是，这列互不相容事件本身并不一定完全构成样本空间U , 往往需要添加某些事件后才能构成样本空间U ，而添加的这些事件对复杂事件的发生没有任何影响，也就是说尽管任一事件B 有时是被完备事件组中的部分事件划分了(即B 的元素并
A 不一定是参与划分者的全部元素) ，但总可以广义地认为是被全部事件划分了，只是没参与划分的事件是没分着B 的任何元素，与B 的积为不可能事件，在这种情况下，全概率公式仍可使用。这样，B 就可以表示成B 分别与完备事件组中各个事件的积之和(如图3-1所示) ，即
B =BA 2+BA 3+... +BA n -1，就可以改写成B =BA 1+BA 2+... +BA n 。
3. 应用全概率公式时，应特别注意条件概率的计算。
首先要弄清楚条件概率的概念 , 例如对条件概率 P(B/ A)的定义中 , “在 A 发生的前提下”这一说法在实际问题中有许多类似的提法 , 如“事件 A 已经出现的条件下”、“给定 ⋯⋯”、“已知 ⋯⋯”、“在⋯⋯的假设下”、“当 ⋯⋯发生时”等等 , 在实际应用中要把握其本质 , 具体问题具体分析 , 善于把描述实际问题的文句转换成概率统计课程中所熟悉的“语言”, 避免解题时理解错误或是不知如何下手 , 导致条件概率计算的错误。
总之 , 在学习过程中通过对全概率公式的推导、例题的理解以及一些应用全概率 的注意事项等的注意 , 更加深入对全概率公式的理解 , 能够熟练掌握应用全概率公式 的方法和技巧 , 从而很好地解决这类实际问题。
总结感受
经过了一段时间的学习，对全概率公式有了更加深入的了解，理解到其在现实生活中强大的应用能力，由于准备太过仓促，并没有对其实际应用深入的探讨，其在医疗方面，责任承担方面，犯罪概率的认定方面等等有不可替代的作用，我们应该更好的掌握数学知识，充分将其运用到实际生活中来。
参考文献：
[1]陶永祥：浅谈全概率公式和贝叶斯公式的应用. 牡丹大学学报,2009.4
[2]吴静, 陈莉：浅析全概率公式的应用. 福建医科大学学报(社会科学版),2008.3 [3]杜镇中:全概率公式及其应用. 遵义师范学院学报,2005.10
[4]唐旭晖, 李冱岸, 段利霞:全概率公式的推广与应用. 高等数学研究,2011.7
[5]范玉妹，汪飞星，王萍，李娜. 概率论与数理统计.2 版. 北京:机械工业出版社, 2013.1
全概率公式浅析及其应用
申航宇
（北京科技大学数理学院，信息与计算科学1301班，41363006）
摘要：本文讨论了全概率公式的概念及其应用，介绍了如何用公式解决问题的方法。简述 解题步骤以及应用此公式时应注意的事项。
关键词：全概率公式，事件，完备实践组，敏感性调查。
1. 引言
全概率公式是概率论中一个重要的公式，它提供了计算复杂时间概率的一条有效途径，使一个复杂实践的概率计算概率计算问题化繁为简，它是概率论最基本而重要的公式之一。首先介绍完备实践组和全概率事件的定义。
2. 定义
定义1 如果n 个事件A 1, (1)A 1,
, A n . 满足下列两个条件：
, A n . 两两互不相容；
(2)A 1…A n =Ω； 那么，我们称这个n 个事件A 1, 事件组。
定义2 设n 个事件构成样本空间的一个划分，B 是一个事件。当
, A n 构成样本空间Ω的一个划分，也称构成一个完备
P (B ) >0，P (A i ) >0, i =1, 2,
, n 时，则有
P (B ) =∑P (A i ) P (B |A i )
i =1n
这个公式称为全概率公式。
3. 推导
定理(全概率公式) 设两两互不相容，且
A 1, , A n
P (A i ) >0，若
∑A =U , B ⊆A +A
i
1
i =1
n
2
+
+A n
，则
P (B ) =∑P (A i ) P (B |A i )
i =1
n
。
如图1-1所示，由于事件B 能且只能与互不相容的n 个事件
A 1, , A n
中的一个同时发
生，即
B =∑BA i
i =1
n
，其中
BA 1, BA 2,
, BA n 显然也互不相容。
∴由加法和乘法公式得：
P (B ) =P (BA 1+BA 2++BA n ) =P (BA 1) +P (BA 2) +
+p (BA n )
=P (A 1) P (B |A 1) +P (A 2) P (B |A 2) +
=∑P (A i ) P (B |A i )
i =1n
+P (A n ) P (B |A n )
4. 运用全概率公式的一般方法和步骤
1. 了解问题可否采用“全概率公式”求解。 若我们从问题的条件中可以找到一个事件组
A 1, , A n
(即文中所述的完备事件组) ，而该
事件组当且仅当其中之一发生时，事件B 才可能发生，并能求出它们的概率时可以求得在事件组
P (A i )
，同
A 1, , A n
。
A i 发生的条件下事件B 发生的条件概率
P (B |A i ) i =1, 2,
, n ，那么即可利用全概率公式求得P (B ) 。
2. 找出完备事件组及其相关概率。
认真分析题目意思，根据已知条件，找出完备事件组，这些完备事件组
A 1,
, A n 往往是
考虑事件B 发生时的全部假设情况，将这些假设情况一一列出，并由题意得出相应的概率
P (A i )
，根据题意找出或求出在A 发生的条件下事件B 发生的条件概率
, n ，这样就可直接运用全概率公式求解此类问题了。
P (B |A i ) i 1, 2,
例 1. 某药厂用从甲、乙、丙三地收购而来的药材加工生产出一种中成药 , 三地的供 货量分别占40 % ,35 %和 25 % ,且用这三地的药材能生产出优等品的概率分别为 0. 65、0. 70 和 0. 85 ,求从该厂产品中任意取出一件成品是优等品的概率[1]
解:题目分析:由于不知道任意取出的药品究竟是甲、乙、丙三地中的哪一地的药材生产出的 , 所以直接求它为优等品的概率很困难 , 但取出的该药品总是由甲、乙、丙三地中的某一地药材生产出
的 , 即三者必居其一。因此可设 Ai(i = 1 ,2 ,3) 分别表示抽到的产品的原材来自甲、乙、丙三地 ,B = {抽到优等品}(如图 2 所示) 。依题意可知产地 Ai(i = 1 ,2 ,3)构成了完备事件组 ,B 发生时必以 Ai(i = 1 ,2 ,3)之一为先决条件 , 这样总是可以把 B 分解到 Ai 上的 , 因此可以利用全概率公式计算 P(B) 。并由已知条件得 P ( A i) = 0. 4 , P ( A2) = 0. 35 , P ( A3) =0. 25 , P(B/ A1) = 0. 65 , P(B/ A2) = 0. 7 , P(B/ A3)= 0. 85 , 由全概率公式得:P(B) = P(B/ A1) P(A1) + P(B/ A2) P(A2) + P(B/ A3) P(A3) = 0. 65 ×0. 4 + 0. 7 ×0. 35 + 0. 85 ×0. 25 = 0. 7175
所以从该厂产品中任意取出一件成品是优等 品的概率为 0. 7175。
5. 全概率公式在社会敏感问题中的应用
（1）全概率公式可以应用到敏感性调查中. 所谓敏感性调查是指调查的内容中可能涉及到被调查者的高度机密或隐私( 比如, 在考试中是否作弊, 实际收入, 是否吸毒, 等等), 因而常常会发生被调查者拒绝回答或不真实回答的情况. 为此, 沃纳(Warner) 于1965 年提出了一个随机化回答的方法[ 3] 29, 可以消除被调查者的顾虑, 使之能够真实地回答. 下面以调查某校在期末考试中作弊人数的比例为例说明之. 首先为被调查者设定两个问题:
A 1: 您在期末考试中作弊了吗? A 2: 您没在期末考试中作弊吗?
被调查者回答上述问题中的哪一个完全由随机化的方法确定, 并且只有被调查者本人知道他( 她) 回答的是哪一个问题, 比如采取如下抓阄(随机取球) 的方法: 发给被调查者每人 3 个质地与大小完全相同的球, 其中 2 红 1 白, 被调查者从中随机地取一球观察颜色后放回(要求只有被调查者自己知道取到的球的颜色). 当取到红球时回答问题 A1; 否则, 回答问题 A2. 答案在? 是? 与? 不是? 之中作选择.
下面求某校在期末考试中作弊人数的比例. 由于抓阄的结果对于他人来说是保密的, 故只有被调查者自己知道要回答的是哪一个问题, 因此被调查者可以毫无顾虑地给出问题的真实回答. 不妨令 B 1: 回答为? 是?; B 2: 回答为? 不是?.
由于认为被调查者是如实地作出回答, 故有被调查者在期末考试中作弊的概率
P = P(B 1 | A 1) = P(B2 | A 2) 根据全概率公式, 有
P(B1) = P(B1 | A 1)P(A 1) +P(B1 | A 2)P(A 2). 因为
P(A 1) =2/3, P(A 2) =1/3, P(B1 | A 2) = 1- P(B2 | A 2) = 1- P, 则有
P(B1) =2/3P +1/3( 1- P), 从而有 P = 3P(B1) - 1.
设被调查的人数为 n, 其中回答‘是’的人数 为 m. 则当 n 很大时, 有 P(B1) 约等于m/n,
故某校在期末考试中作弊人数比例的近似值为 r =3m/n- 1. 一般地, 如果
P(A 1) = p, P( A2) = 1- p, 那么有
P(B1) = pP + (1- p )(1- P).
当 p 不等于1/ 2 时, 可由上式解得 P =1/（2p - 1）[ P(B1) - (1- p)] ,
进而得某校在期末考试中作弊人数比例的近似值
r =1/（2p - 1）[m/n- (1- p)] .
（2）调查分析的步骤
本文所述社会敏感问题的调查分析方法大致可分为几个步骤:
1. 为了调查社会敏感问题A , 需要同时提出一个辅助的、与问题A 无关的普通问题B 。 2. 用简单随机抽样法从全及总体中抽取n 个样本单位，即n 个调查者，并且设计一个随机试验，使每一调查对象都按照随机选答法真实地回答A , B 两个问题中的一个问题。 3. 确定出
p 1和p 2，其中p 1为全体调查对象中回答问题A 的比数；p 2为回答问题B 的
调查对象中应回答“是”的比数，可用全体调查对象中对问题B 应回答“是”的比数作为其近似值。应当指出，在制定调查计划时，这两个数的确定就应同时考虑进去。其中确定有时需要查询调查者的人事资料。
4. 经过调查统计出n 个调查对象中回答“是”的人数m 。 5. 把
p 2的
p 1, p 2, m 和n 的值代入(*) 式求出p ˆ的值，该值即为全及总体中对该社会敏感问题
回答“是”的个体的比数p 的估计值。我们知道(*) 式是利用全概率公式推得的。 现在回到上段讨论的例子上来。假定该校有五千名学生参加考试。首先用简单随机抽样法确定被调查的学生。本文所说的简单随机抽样是指按照随机原则进行的不放回抽样。制订调查方案时可设计如下格式的调查表: 调查表
〔调查目的〕了解我校上学期末最后一门课考试考场纪律执行情况。
〔调查方式〕请您找出一枚硬币，并投掷它。如果掷出带国徽的一面，请真实回答A ，如果掷出带数字的一面，请真实回答问题B (两问题内容见下表) 。如果你对要求回答的问题答“是”，请在本表最下方空格内打上圈“0”；如果您对要回答的问题答“不是”，请在空格内打上叉“X ”。此表填好后请投入教学楼门口的调查箱内。
〔说 明〕除了您本人以外，任何人都不知道您投掷硬币的结果，因此别人不可能知道您回答的是哪一个问题，也就不可能知道您考试是否有违纪行为。
回答：
假定收到调查表120张，其中打“0”的有33张，则可求得p =0.05，即估计该校有5％的学生，亦即250名学生在那门课考试中作弊。至于这些作弊的学生究竟是谁，这不是调查的目的。恰恰相反，这种调查是要为作弊的学生保密。
如果把上面调查表中的问题B 改为“您有哥哥或姐姐? ”则只有通过查阅被调查学生的档案才能确定他们中有哥哥或姐姐的比数。 顺带指出:可以证明，本文用抽样指标p 估计
ˆ
ˆ未知的全体指标p ，p 是p 的无偏估计。
6. 应用全概率公式的注意事项
1. 使用全概率公式的关键是寻找一完备事件组。 如何找出完备事件组
A 1, , A n
？这是应用全概率公式的一个重点也是一个难点。一般
地说，具体问题具体分析，但下列两点可予以考虑：①全概率公式中的条件可等价地改写成“事件B 能且仅能与
A 1, , A n
之一同时发生，把事件组
A 1, , A n
看成导致事件B 发
生的一个原因或一种假设情况，而这些原因或假设情况的概率是已知的或能求出的，用找原因的方法求
A
1, , A n
比较方便。②对于一个复合试验，如果要求的概率是最后一个
试验结果的一个概率，则可把倒数第二个试验的样本空间进行划分。也就是说，如果要
求的事件B 的发生受到事件组事件组
A 1,
, A n 发生的影响，亦即要使事件B 发生必须先发生
, A n ，
A 1,
, A n (这里的事件B 就是前而所说的最后一个试验结果，事件组A 1,
A 1,
即构成了前而所说的倒数第二个试验的样本空间) ，那么事件组寻找的完备事件组。 2. 弄清事件B 与完备事件组
, A n 就是我们所要
A 1,
, A n 的关系。
如图所示，事件B 与完备事件组
A 1, , A n
的关系为
B =BA 1+BA 2+... +BA n ，即
B =∑BA i
i =1n
。这是因为任何一个事件都
可认为是由样本空间U 中的若干个基本事件构成的，当U 被完备事件组时，所有基本事件就被归类于
A 1, , A n
划分
A 1, , A n
中，这样事件B 中的基本事件也必然归于
A 1, , A n
中，也就是说B 中的基本事件被分配到完备事件组
A 1, , A n
之中了，那么当
A 1, , A n
划分U 时也就划分了B ，所以
B =∑BA i
i =1
n
。
利用全概率公式求复杂事件B 的前提条件是事件B 的发生与一系列互不相容的事件有关。需要说明的是，这列互不相容事件本身并不一定完全构成样本空间U , 往往需要添加某些事件后才能构成样本空间U ，而添加的这些事件对复杂事件的发生没有任何影响，也就是说尽管任一事件B 有时是被完备事件组中的部分事件划分了(即B 的元素并
A 不一定是参与划分者的全部元素) ，但总可以广义地认为是被全部事件划分了，只是没参与划分的事件是没分着B 的任何元素，与B 的积为不可能事件，在这种情况下，全概率公式仍可使用。这样，B 就可以表示成B 分别与完备事件组中各个事件的积之和(如图3-1所示) ，即
B =BA 2+BA 3+... +BA n -1，就可以改写成B =BA 1+BA 2+... +BA n 。
3. 应用全概率公式时，应特别注意条件概率的计算。
首先要弄清楚条件概率的概念 , 例如对条件概率 P(B/ A)的定义中 , “在 A 发生的前提下”这一说法在实际问题中有许多类似的提法 , 如“事件 A 已经出现的条件下”、“给定 ⋯⋯”、“已知 ⋯⋯”、“在⋯⋯的假设下”、“当 ⋯⋯发生时”等等 , 在实际应用中要把握其本质 , 具体问题具体分析 , 善于把描述实际问题的文句转换成概率统计课程中所熟悉的“语言”, 避免解题时理解错误或是不知如何下手 , 导致条件概率计算的错误。
总之 , 在学习过程中通过对全概率公式的推导、例题的理解以及一些应用全概率 的注意事项等的注意 , 更加深入对全概率公式的理解 , 能够熟练掌握应用全概率公式 的方法和技巧 , 从而很好地解决这类实际问题。
总结感受
经过了一段时间的学习，对全概率公式有了更加深入的了解，理解到其在现实生活中强大的应用能力，由于准备太过仓促，并没有对其实际应用深入的探讨，其在医疗方面，责任承担方面，犯罪概率的认定方面等等有不可替代的作用，我们应该更好的掌握数学知识，充分将其运用到实际生活中来。
参考文献：
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[2]吴静, 陈莉：浅析全概率公式的应用. 福建医科大学学报(社会科学版),2008.3 [3]杜镇中:全概率公式及其应用. 遵义师范学院学报,2005.10
[4]唐旭晖, 李冱岸, 段利霞:全概率公式的推广与应用. 高等数学研究,2011.7
[5]范玉妹，汪飞星，王萍，李娜. 概率论与数理统计.2 版. 北京:机械工业出版社, 2013.1