23.1锐角的三角函数 1. 锐角的三角函数 第一课时 正切
教学目标 ◆ 知识与技能
1.初步了解角度与数值的一一对应的函数关系。
2. 会求直角三角形中某个锐角的正切值。 3. 了解坡度的有关概念。 ◆ 过程与方法
让学生经历操作、观察、思考、求解等过程，感受数形结合的数学思想方法，培养学生理性思维习惯，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。 ◆ 情感态度
通过探究活动激发学生学习的积极性和主动性，引导学生自主探索，合作交流，培养学生的创新意识。 教学重点：
1.从现实情境中探索直角三角形的边角关系。
2.理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系。 教学难点：
锐角三角函数的概念的理解。 教学准备
多媒体课件制作 教学设计 一、导入新课
导语：因为这座桥的设计让它成为了旅游新热点，火起来的原因不是因为怪异的设计或者美不胜收的景色，而是大家都很好奇这个桥的坡度到底有多陡？ 陡峭堪比过山车！
不少人给这座桥赋予了极不靠谱的数据，实际上这个坡的斜率仅为6.1%，如果按咱们口头常用单位来讲还不足4度。
大家看到这个图片后一定很吃惊，那我们要想了解这副图的背景故事，我们就要来学习这里出现的数据6.1%和4度代表了什么? （导入课题锐角三角函数） 二、推进新课 1．交流合作
【问题1】在图23－2中有两个直角三角形，直角边AC 与A 1C 1表示水平面，斜边AB 与A 1B 1分别表示两个不同的坡面，哪个更陡？你是怎么判断的？
学生可由水平长度相等，铅直高度不同进行判断．
【问题2】当水平长度和铅直高度都不相等时，类似的在图23－3中，坡面AB 与A 1B 1
哪个更陡？你又是如何判断呢？
设计意图：引发学生的争论，激发学生的求知欲．从而教师可提出能否用铅直高度与水平长度的比值进行衡量呢？
【问题3】 如图，在锐角A 的一边上任取一点B ，自点B 向另一边作垂线，垂足为C ，得到Rt △ABC ；再任取一点B 1，自点B 1向另一边作垂线，垂足为C 1，得到Rt △AB 3C 3„„，这样，我们可以得到无数个直角三角形．在这些直角三角形中，BC B 1C 1B C 锐角A 的对边与邻边之比，，22„„有怎样的关系？
AC AC 1AC 2请同学们小组合作测量并计算它们的近似值，看看会有什么发现？
同学们得到近似相等的值，我们猜测它们是相等的，是不是这样的呢，下面我们从理论角度来验证。
引导学生独立证明：易知，BC ∥B 1C 1∥B 2C 2∥B 3C 3∥„， ∴△ABC ∽△AB 1C 1∽△AB 2C 2∽△AB 3C 3∽„， BC B C B C
∴＝11＝22＝„. AC AC 1AC 2
因此，在这些直角三角形中，∠A 的对边与邻边的比值是一个固定值． 设计意图：理论证明太过抽象性，让学生经历“操作—猜测—论证—归纳”的自我体验过程，达到教学目标，培养了学生发现问题、解决问题的能力． 3. 正切函数概念的提出
在日常生活和数学活动中，上面所得出的结论是非常有用的．为了叙述方便，作出如下规定：
如图25-5，在Rt △ABC 中，∠C=90°，我们把锐角A 的对边与邻边的比叫做
∠A 的正切，记作tan A，即tan A=
∠A 的对边a
=
∠A 的邻边b
注意：正切的定义是在直角三角形中，相对其锐角而定义的，实质是两条线段长度的比，它只是一个数值，没有单位，其大小只与角的大小有关，与三角形的大小无关． 4．坡度和坡角
对于交流中“当水平长度和铅直高度都不相等时，判断坡度的大小”，你现在能判断了吗？
结合图形，教师讲述坡度概念，并板书：
坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度(或叫做坡比) ，
h
一般用i 表示，即i ＝
l
把坡面与水平面的夹角α叫做坡角(或称倾斜角) ．
引导学生结合图形思考，坡度i 与坡角α之间具有什么关系？
h
i ＝＝tan α. l
你们能计算一下课本图23－2、图23－3中坡面AB 与和坡面A 1B 1的坡度吗？ 显然，坡度i 越大，坡角α越大，坡面就越陡 三、拓展延伸
例1. 在Rt △ABC 中, ∠C=90°,AC=4,BC=3,求tanA 和tanB .
解:
tan A =
BC 3
=AC 4AC 4
=BC 3
a b
和tanB ＝又有怎b a
tan B =
思考：tanA 和tanB 的值有什么样的关系？如右图tanA ＝样的关系？
学生总结： 当两个互余锐角的正切互为倒数。即：若∠A+∠B=90°，则有tanA ·tanB ＝1
设计意图：由题目的结果，让学生自己找出三角函数中的相互关系。而不是教师直接的灌输。 四、巩固应用
现在大家能理解开始我们对于那座桥出现的两个数据的含义了吗？6.1%是桥的 坡度i ，4度是坡角。那么从数据上看桥面是否如我们看到的那样陡呢？
江岛大桥全长约1446米，高约44米，桥下可供5000吨级的轮船通过。一侧的斜率为6.1%，你能计算出这一侧的水平长度约有多长吗？坡面的长度大约是多少呢？
设计意图：善始善终, 回归生活实际，用知识来解决实际问题，激发学生应用新知的意识，巩固所学。
五、课堂小结
学生自主小结，在相互的交流中，感知本节课学习的体会和收获。可能在讨论中会存在一些困惑。此时，教师及时点拨，合作完成课堂小结。
1、直角三角形两条直角边的比随着直角三角形中锐角大小的确定而唯一确定。 2、正切的概念。
3、两个互余锐角的正切互为倒数。
即：若∠A+∠B=90°，则有tanA ·tanB ＝1
设计意图：体现教学的民主性，同时培养学生归纳、概括问题的能力和团队合作精神，教师适当引导学生反思学习过程，增强信心，提高兴趣。 六、课后作业 Ｐ114练习第2、3题 奥赛链接
如图，沿AE 折叠矩形纸片ABCD ，使点D 落在BC 边的点F 处，已知AB ＝8，BC ＝10，则tan ∠EFC 的值为( ) ．
3434A ． B ． C ． D ． 4355
板书设计
23.1锐角的三角函数 1. 锐角的三角函数 第一课时 正切
教学目标 ◆ 知识与技能
1.初步了解角度与数值的一一对应的函数关系。
2. 会求直角三角形中某个锐角的正切值。 3. 了解坡度的有关概念。 ◆ 过程与方法
让学生经历操作、观察、思考、求解等过程，感受数形结合的数学思想方法，培养学生理性思维习惯，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。 ◆ 情感态度
通过探究活动激发学生学习的积极性和主动性，引导学生自主探索，合作交流，培养学生的创新意识。 教学重点：
1.从现实情境中探索直角三角形的边角关系。
2.理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系。 教学难点：
锐角三角函数的概念的理解。 教学准备
多媒体课件制作 教学设计 一、导入新课
导语：因为这座桥的设计让它成为了旅游新热点，火起来的原因不是因为怪异的设计或者美不胜收的景色，而是大家都很好奇这个桥的坡度到底有多陡？ 陡峭堪比过山车！
不少人给这座桥赋予了极不靠谱的数据，实际上这个坡的斜率仅为6.1%，如果按咱们口头常用单位来讲还不足4度。
大家看到这个图片后一定很吃惊，那我们要想了解这副图的背景故事，我们就要来学习这里出现的数据6.1%和4度代表了什么? （导入课题锐角三角函数） 二、推进新课 1．交流合作
【问题1】在图23－2中有两个直角三角形，直角边AC 与A 1C 1表示水平面，斜边AB 与A 1B 1分别表示两个不同的坡面，哪个更陡？你是怎么判断的？
学生可由水平长度相等，铅直高度不同进行判断．
【问题2】当水平长度和铅直高度都不相等时，类似的在图23－3中，坡面AB 与A 1B 1
哪个更陡？你又是如何判断呢？
设计意图：引发学生的争论，激发学生的求知欲．从而教师可提出能否用铅直高度与水平长度的比值进行衡量呢？
【问题3】 如图，在锐角A 的一边上任取一点B ，自点B 向另一边作垂线，垂足为C ，得到Rt △ABC ；再任取一点B 1，自点B 1向另一边作垂线，垂足为C 1，得到Rt △AB 3C 3„„，这样，我们可以得到无数个直角三角形．在这些直角三角形中，BC B 1C 1B C 锐角A 的对边与邻边之比，，22„„有怎样的关系？
AC AC 1AC 2请同学们小组合作测量并计算它们的近似值，看看会有什么发现？
同学们得到近似相等的值，我们猜测它们是相等的，是不是这样的呢，下面我们从理论角度来验证。
引导学生独立证明：易知，BC ∥B 1C 1∥B 2C 2∥B 3C 3∥„， ∴△ABC ∽△AB 1C 1∽△AB 2C 2∽△AB 3C 3∽„， BC B C B C
∴＝11＝22＝„. AC AC 1AC 2
因此，在这些直角三角形中，∠A 的对边与邻边的比值是一个固定值． 设计意图：理论证明太过抽象性，让学生经历“操作—猜测—论证—归纳”的自我体验过程，达到教学目标，培养了学生发现问题、解决问题的能力． 3. 正切函数概念的提出
在日常生活和数学活动中，上面所得出的结论是非常有用的．为了叙述方便，作出如下规定：
如图25-5，在Rt △ABC 中，∠C=90°，我们把锐角A 的对边与邻边的比叫做
∠A 的正切，记作tan A，即tan A=
∠A 的对边a
=
∠A 的邻边b
注意：正切的定义是在直角三角形中，相对其锐角而定义的，实质是两条线段长度的比，它只是一个数值，没有单位，其大小只与角的大小有关，与三角形的大小无关． 4．坡度和坡角
对于交流中“当水平长度和铅直高度都不相等时，判断坡度的大小”，你现在能判断了吗？
结合图形，教师讲述坡度概念，并板书：
坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度(或叫做坡比) ，
h
一般用i 表示，即i ＝
l
把坡面与水平面的夹角α叫做坡角(或称倾斜角) ．
引导学生结合图形思考，坡度i 与坡角α之间具有什么关系？
h
i ＝＝tan α. l
你们能计算一下课本图23－2、图23－3中坡面AB 与和坡面A 1B 1的坡度吗？ 显然，坡度i 越大，坡角α越大，坡面就越陡 三、拓展延伸
例1. 在Rt △ABC 中, ∠C=90°,AC=4,BC=3,求tanA 和tanB .
解:
tan A =
BC 3
=AC 4AC 4
=BC 3
a b
和tanB ＝又有怎b a
tan B =
思考：tanA 和tanB 的值有什么样的关系？如右图tanA ＝样的关系？
学生总结： 当两个互余锐角的正切互为倒数。即：若∠A+∠B=90°，则有tanA ·tanB ＝1
设计意图：由题目的结果，让学生自己找出三角函数中的相互关系。而不是教师直接的灌输。 四、巩固应用
现在大家能理解开始我们对于那座桥出现的两个数据的含义了吗？6.1%是桥的 坡度i ，4度是坡角。那么从数据上看桥面是否如我们看到的那样陡呢？
江岛大桥全长约1446米，高约44米，桥下可供5000吨级的轮船通过。一侧的斜率为6.1%，你能计算出这一侧的水平长度约有多长吗？坡面的长度大约是多少呢？
设计意图：善始善终, 回归生活实际，用知识来解决实际问题，激发学生应用新知的意识，巩固所学。
五、课堂小结
学生自主小结，在相互的交流中，感知本节课学习的体会和收获。可能在讨论中会存在一些困惑。此时，教师及时点拨，合作完成课堂小结。
1、直角三角形两条直角边的比随着直角三角形中锐角大小的确定而唯一确定。 2、正切的概念。
3、两个互余锐角的正切互为倒数。
即：若∠A+∠B=90°，则有tanA ·tanB ＝1
设计意图：体现教学的民主性，同时培养学生归纳、概括问题的能力和团队合作精神，教师适当引导学生反思学习过程，增强信心，提高兴趣。 六、课后作业 Ｐ114练习第2、3题 奥赛链接
如图，沿AE 折叠矩形纸片ABCD ，使点D 落在BC 边的点F 处，已知AB ＝8，BC ＝10，则tan ∠EFC 的值为( ) ．
3434A ． B ． C ． D ． 4355
板书设计