基于PASCO 系统的混沌摆实验的研究
韩晓茹1 ，傅筱莹1 ，彭可鑫1，向勇1，陈建育1，金 立1
( 1. 浙江理工大学 , 理学院 , 浙江 杭州 310018 )
摘 要： 基于PASCO 系统研制了具备出现混沌现象的受周期外力驱动的混沌摆实验仪，调节实验混沌摆系统
的参数而使系统演示出各种非线性动力学特征行为，完成无驱动情况，有驱动情况（固定电压、可变电压）下的系统相位图的描绘，并对初值敏感性、奇异性(奇异吸引子) 现象作出结果分析。应用混沌摆的动力学方程，进行Matlab 仿真实验，对比仿真状态下的图形，分析混沌现象的形成原理。实验结果表明：混沌实验摆系统动力学的性质依赖于振动频率值；系统驱动振幅必须大于一定阈值是混沌相出现的必要条件。
关键词：混沌现象；PASCO 系统；传感器；混沌摆；数值模拟 中图分类号：O415.5 文献标识码： A
Research of the Chaotic pendulum Experiment based on PASCO system
Han Xiao-ru1，Fu Xiao-ying 1，Peng Ke-xin1，Xiang Yong1，Chen Jian-yu1，JIN Li1
（ Faculty of Science ，Zhejiang Sci-Tech University，Hangzhou ，310018）
Abstract: A development of the chaotic pendulum instrument which can given chaos phenomenon and can be driven
by the periodic force based on PASCO system was finished. Adjusting the parameters of the chaotic pendulum instrument ，the system can demonstrate different nonlinear dynamic actions，and completed the depict of phase diagram sunder the situations such as non-driven force , driven force(fixed voltage 、variable voltage) ，then make the results analysis to the phenomenon such as sensitive to initial value，singularity （singular attractor）. Using the dynamic equation for the chaotic pendulum ，carrying out the simulation experiment based on Matlab ，also the figures under the simulation condition are compared，then analyzing the formation principle of chaos phenomenon. The result indicate that the properities of the chaotic pendulum dynamic system are sensitive to the driven frequency.A threshold value of the driven amplitude exists for the appearance of chaos phase.
Keywords: Chaos phenomenon ; PASCO system; Sensor; Chaotic pendulum; numerical simulation
1 引 言
混沌现象亦称“蝴蝶效应”[1-3]，这种现象普遍存在于物理学、化学、电子学、生物学和社会学等科学领域。近年来许多学者通过非线性电路对混沌行为进行
基金项目：浙江省新世纪高等教育教学改革项目ZC2010020；物理实验省级示范中心SB1002001-E ；校级教改项目EL1108 作者简介：韩晓茹(1989—) 女，山东龙口人，08应用物理专业学生。E-mail: [email protected]
通信作者：金 立(1972—) 男， 浙江杭州人，硕士，高级实验师，主要研究方向为物理实验教学与仪器开发。
Tel ：[1**********]；E-mail: [email protected]
了广泛地研究，其中最典型的是由美国Berkeley 大学的Leon O Chua提出的蔡氏电路 (Chua s Circuit) ，它是能产生混沌行为的最小、最简单的三阶自治电路[4]。但是，采用力学装置呈现混沌现象的实践在国内外则相对少见[5]。随着人们对系统复杂性的探索和研究的逐步深入，混沌现象已日益受到研究人员的关注。作为一种普遍存在的非线性现象，混沌的发现对科学的发展具有深远的影响。如果借助原理浅显、结构简单的实验装置来呈现混沌的特性，可以使人们较好地理解和掌握混沌的
知识[6]。本文主要完成了基于PASCO 系统的混沌摆实验仪的研制，利用PASCO 系统高性能的传感器采集信号，使用科学工作室DataStudio 程序：
启动科学工作室，选择转动感器并连接到模拟通道在计算机科学工作室软件DataStudio 上进行实验，成功地呈现了混沌的基本特征，并对该过程实现了Matlab 数值模拟。
2 实验原理与方法
2.1 PASCO 系统简介
PASCO 系统是采用传感器和数据采集接口，利用电脑进行控制和数据采集的物理实验系统，主要包括3个部分：（1）传感器。现有传感器60余种。如：力传感器、旋转移动传感器、压强传感器、光传感器等。（2）数据采集接口。将传感器的数据通过科学工作室输入计算机，最高采样频率为250kHz 。（3）数据采集软件。包括240个预设的物理实验，可进行多种实验数据的显示形式和处理功能。
2.2 实验仪构建
所需仪器主要由下面几部分组成：PASCO 系统750接口、0-30V 直流稳压电源、圆盘、机械震荡驱动器、转动传感器、偏心铜圆柱、120 cm长钢杆（2根）、45 cm 长钢杆（1根）、底座（1个）、 细线和弹簧。电源用于输出驱动电压，万用表可测量对应电压的实际值。该装置示意图如图1所示。
图1 PASCO系统混沌摆实验仪实物图
A ，选择旋转运动传感器并连接到数字通道1、2。利用转动传感器来记录驱动力的角频率和铝盘的旋转角频率。选取平滑函数“Smooth （n ，x ）”，设置图表中的横坐标为角度，单位是弧度，纵坐标为角速度，单位是弧度/秒。
通过电机的驱动使曲柄连杆做周期性圆周运动引起圆盘在外力的作用下做混沌摆运动，转动传感器记录它的运动并传输到计算机进行处理，描绘出图像。
2.3 实验原理
混沌摆的动力学方程[7]
I θ⋅⋅
+μθ +I c sin θ+kr (2k θ-∆L 0) =kr (L c -L c 0
) （1） 其中磁阻尼力矩用μ表示，线性弹簧的倔强系数为
k ，θ表示转轮的转角; ∆L 0是初始位置时弹簧的伸
长, L c 0, L c 分别为初始时刻和t 时刻外部策动振幅,
L A 2
2
2
c 0=c L 2a +L b -2L a L b cos φ0 （2）L L 22c =A c a +L a -2L 2
2a L b cos(
ωt +φ0) （3） 式中φ0为初始相角，ω为策动力的角速度，A c 为策动振幅，L a 和L b 表示外部策动力与转轮的距离。
为讨论动力学性质的方便，公式（1）可改写为如下的标准一阶微分方程形式：
θ∙=ω，ω∙
=-I -1c I sin θ-2kr 2I -1θ+krI -1∆L （4）
式中转轮的内外半径分别为r , R ，质量为M ，转轮圆盘的转动惯量I =MR 2
/2，I c 为偏心铜圆柱的转动惯量，∆L =L c -L c 0+∆L 0，A c ，ω和θ的初始值作为系统的可调节参数。为简单起见，对系统动力学性质没有影响的弹簧初始伸长和外部策动力的初位相分别取∆L 0=0, φ0=11π/18。
由公式（4）可见，当无外部策动力（∆L =0）和
磁阻尼系数（μ=0）时，该装置构成保守动力学系统。
公式（4）可简化为 为方便理解混沌现象，对上述的动力学方程应用Matlab 作了数值模拟，定义pi 表示圆周率π。
当无外部策动力(∆L =0) 时，系统在不同的初始角度θ=pi /6, pi /4, pi /2下的数值模拟图像如图2所示。由图可知，当系统没有出现混沌时，系统对初始值不敏感。
外部策动力条件下，不同条件下的系统相图如图3所示。同理，在实验中通过改变参数出现的双周期、三周期的、多周期这些特殊的图像通过数值模拟也能实现，见图4所示。
θ=ω，ω=-I c I -1sin θ-2kr 2I -1θ （5）
系统没有出现混沌时，系统对初始值不敏感。
当有外部策动力和阻尼存在时，该系统成为耗散动力学体系，表现出许多复杂的动力学性质, 这些性质十分依赖于驱动振幅A c , 振动频率ω和转动初始角θ等可调节实验参数。具备了产生混沌现象的基本条件[8]：
1） 方程右侧至少有1个非线性项； 2） 至少有3个变量。
∙∙
θ=pi /6 θ=pi θ=pi /2 /4
图2 无外部策动力时的系统相图
A c =1
, ω=2, θ=pi
/3 A c =0. 9, ω= 7, θ=0 A c =1, ω=12, θ=pi /2
图3 不同条件下的系统相图
A c =1. 7, ω=7. 2, θ=pi /3，三周期 A c =1. 5, ω=12, θ=pi /3，双周期
，四周期 A c =1. 5, ω=10, θ=pi /3
A c =1. 2, ω=7, θ=pi /3，五周期
图4 不同条件下的特殊相图
从数值模拟结果发现，系统动力学性质灵敏地依赖始值不敏感。
于驱动振幅Ac 和振动频率ω。对于一个非线性系统，3.2
有源驱动情况
依次改变系统的参数，可以出现从无序向有序的转变，3.2.1 固定驱动电压 有序程度不断增加的转变，最后出现混沌。
驱动一定（V =5. 2v ）的情况下，改变摆角初始值分别为θ=100，θ=135，θ=150。实验结果如图3所示。从相位图表现为混沌现象，并且各个初值对应的相位图差异很大。比较图6发现系统从双吸引子逐渐向单吸引子改变，当系统出现混沌时，系统对初始值很敏感。
3 PASCO 系统混沌状态测试
已测参数：转轮外半径R =0. 048m ，内半径
r =0. 024m ，质量M =0. 1182kg ， 偏心铜圆柱质量
m =0. 0145kg ，L =0. 048m ，弹簧倔强系数
k 1=k 2=2. 4N ⋅. m -1，L a =0. 05m ，L b =0. 16m 。
从混沌摆的相轨迹（PASCO 仪器上呈现的相图）很容易判断是否为混沌运动，为方便比较混沌现象，特定几个特殊的初始相位，即φ。
3.2.2 可变驱动电压
逐渐增大驱动电压，从而增加驱动频率下得到如图7所示的相位变化图。从实验结果可知，在一定范围内当混沌摆的驱动电压越大时驱动频率越大，系统的运动
3.1 无驱动情况
改变摆角初始值，为θ=0，θ=20，θ=40。实验结果如图5所示。从相位图表现可知在无驱动时混沌摆作振幅衰减运动，当系统没有出现混沌时，系统对初
越趋于复杂。当驱动电压较小时，如1周期、2周期所示结果都是周期运动的相图。当驱动电压达到一定大小时就出现了混沌现象，如单吸引子与双吸引子所示结果就是混沌现象的相图。
V =0v ，θ=0 ，φ=180
5. 2v ，θ=100 ，φ=0 V =
V =0v ，θ=20 ，φ=180
图5 无驱动状态混沌现象
V =0v ，θ=40 ，φ=180
V ==55. 2v ，θ==150150，φ==180180 V =5. 2v ，θ=135 ，φ=90 V . 2v ，θ，φ
图6 固定驱动状态混沌现象
V =4. 3v ，θ=135 ，φ=90 ， 1周期
V =6. 0v ，θ=135 ，φ=90 ，单吸引子
V = 4. 4v ，θ=135 ，φ=90 ，2周期
双吸引子 V =5. 8v ，θ=135 ，φ=90 ，
图7 可变驱动状态混沌现象
由单吸引子与双吸引子现象可知，当驱动频率达到一定值时系统从周期运动逐渐出现混沌现象。并且发现当角度初始值稍微改变时系统的运动情况却变化很大，可以出现混沌运动，也可以出现周期运动，这就是混沌系统的初值敏感性的基本特征。
观察奇异吸引子相图，当相图存在吸引子现象时，吸引子首先由外向内绕若干圈，转到圆心附近时将随机跳跃，继续向内绕若干圈后再突然跳回原来的那个循环。对应于混沌摆的实际运动，则是铜圆柱时而做周期运动时而角度超过
360度，有时可以一直不停旋转多圈，然后再作周期运动。尽管无法预料轨迹将在何时从一边跳到另一边，但是相轨道总不会超出边界，也绝不会自相重复。
通过上述实验的手段，依次改变PASCO 混沌摆系统的参数（驱动电压、驱动频率），系统由稳定有序逐渐失稳，开始分岔，系统由有序到无序。同时可以出现从无序向有序的转变，随着有序程度不断的增加，最后会观察到混沌现象，从而可得出结论，混沌是一种确定的系统中出现的貌似不规则的有序运动。
4 结语
本文基于PASCO 系统研制具备出现混沌现象的条件的受周期外力驱动的摆，采用转动传感器采集数据，测试实验出现的现象，还用Matlab 进行了数值模拟。
基于PASCO 系统开发传统实验，其实验内容融合了激光技术、传感器技术、信息存储和光电技术应用[9-10]等要求，除可以培养学生的独立实验能力、分析与研究能力之外, 更能提高创新能力, 并使学生在自主学习和训练过程中可以检验自己的能力，展示个性才华，使综合实验能力得到提高。
参考文献（References ）:
[1]Mccauley JL.Nonlinear Dynamics and Chaos Theory [M].Stockholm(Sweden) ：Royal Swedish Academy of sciences Press，1991，52—85．
[2] 梁勇, 温吉华．混沌引入大学物理教学的探讨[J] ．滁州学院学报,2005(8)：99—101．
[3] 郝柏林．从抛物线谈起一混沌动力学引论[M]．上海：上海科技教育出版社，1993,5—18．
[4] Leon 0 Chua，Chai wah wu，An shan Huang，Guo-Qun zhang ．A Universal Circuit for Studying，Generating Chaos-partII ：Strange Attractors[J]．IEEE Transactions on Circurt and Systems．1993，40(10)：747—749． [5] 李明，于艳春，李冠成等．混沌理论及现象实验仪的研制[J]．实验技术与管理，2005(1)：59—64． [6] 程敏熙，曾碧芬，刘惠娜等．周期性外力驱动的混沌摆[J] ．物理实验，2009(1)：7—13．
[7]朱桂萍，王健．混沌摆系统的动力学分析和数值模拟[J]．扬州大学学报（自然科学版），2008，11（3）：27—30．
[8]陈士华，陆君安．混沌动力学初步[M] ．武汉：武汉水力水电学院出版社，1998，137—154．
[9] 朱海平．PASCO 实验在物理教学中的应用[J]．丽水学院学报，2007，29（2）：89—91．
[10] 彭东青，刘志高，黄宏纬．基于PASCO 系统的物质折射率测量[J]．物理实验，2008，28（2）：33—35．
基于PASCO 系统的混沌摆实验的研究
韩晓茹1 ，傅筱莹1 ，彭可鑫1，向勇1，陈建育1，金 立1
( 1. 浙江理工大学 , 理学院 , 浙江 杭州 310018 )
摘 要： 基于PASCO 系统研制了具备出现混沌现象的受周期外力驱动的混沌摆实验仪，调节实验混沌摆系统
的参数而使系统演示出各种非线性动力学特征行为，完成无驱动情况，有驱动情况（固定电压、可变电压）下的系统相位图的描绘，并对初值敏感性、奇异性(奇异吸引子) 现象作出结果分析。应用混沌摆的动力学方程，进行Matlab 仿真实验，对比仿真状态下的图形，分析混沌现象的形成原理。实验结果表明：混沌实验摆系统动力学的性质依赖于振动频率值；系统驱动振幅必须大于一定阈值是混沌相出现的必要条件。
关键词：混沌现象；PASCO 系统；传感器；混沌摆；数值模拟 中图分类号：O415.5 文献标识码： A
Research of the Chaotic pendulum Experiment based on PASCO system
Han Xiao-ru1，Fu Xiao-ying 1，Peng Ke-xin1，Xiang Yong1，Chen Jian-yu1，JIN Li1
（ Faculty of Science ，Zhejiang Sci-Tech University，Hangzhou ，310018）
Abstract: A development of the chaotic pendulum instrument which can given chaos phenomenon and can be driven
by the periodic force based on PASCO system was finished. Adjusting the parameters of the chaotic pendulum instrument ，the system can demonstrate different nonlinear dynamic actions，and completed the depict of phase diagram sunder the situations such as non-driven force , driven force(fixed voltage 、variable voltage) ，then make the results analysis to the phenomenon such as sensitive to initial value，singularity （singular attractor）. Using the dynamic equation for the chaotic pendulum ，carrying out the simulation experiment based on Matlab ，also the figures under the simulation condition are compared，then analyzing the formation principle of chaos phenomenon. The result indicate that the properities of the chaotic pendulum dynamic system are sensitive to the driven frequency.A threshold value of the driven amplitude exists for the appearance of chaos phase.
Keywords: Chaos phenomenon ; PASCO system; Sensor; Chaotic pendulum; numerical simulation
1 引 言
混沌现象亦称“蝴蝶效应”[1-3]，这种现象普遍存在于物理学、化学、电子学、生物学和社会学等科学领域。近年来许多学者通过非线性电路对混沌行为进行
基金项目：浙江省新世纪高等教育教学改革项目ZC2010020；物理实验省级示范中心SB1002001-E ；校级教改项目EL1108 作者简介：韩晓茹(1989—) 女，山东龙口人，08应用物理专业学生。E-mail: [email protected]
通信作者：金 立(1972—) 男， 浙江杭州人，硕士，高级实验师，主要研究方向为物理实验教学与仪器开发。
Tel ：[1**********]；E-mail: [email protected]
了广泛地研究，其中最典型的是由美国Berkeley 大学的Leon O Chua提出的蔡氏电路 (Chua s Circuit) ，它是能产生混沌行为的最小、最简单的三阶自治电路[4]。但是，采用力学装置呈现混沌现象的实践在国内外则相对少见[5]。随着人们对系统复杂性的探索和研究的逐步深入，混沌现象已日益受到研究人员的关注。作为一种普遍存在的非线性现象，混沌的发现对科学的发展具有深远的影响。如果借助原理浅显、结构简单的实验装置来呈现混沌的特性，可以使人们较好地理解和掌握混沌的
知识[6]。本文主要完成了基于PASCO 系统的混沌摆实验仪的研制，利用PASCO 系统高性能的传感器采集信号，使用科学工作室DataStudio 程序：
启动科学工作室，选择转动感器并连接到模拟通道在计算机科学工作室软件DataStudio 上进行实验，成功地呈现了混沌的基本特征，并对该过程实现了Matlab 数值模拟。
2 实验原理与方法
2.1 PASCO 系统简介
PASCO 系统是采用传感器和数据采集接口，利用电脑进行控制和数据采集的物理实验系统，主要包括3个部分：（1）传感器。现有传感器60余种。如：力传感器、旋转移动传感器、压强传感器、光传感器等。（2）数据采集接口。将传感器的数据通过科学工作室输入计算机，最高采样频率为250kHz 。（3）数据采集软件。包括240个预设的物理实验，可进行多种实验数据的显示形式和处理功能。
2.2 实验仪构建
所需仪器主要由下面几部分组成：PASCO 系统750接口、0-30V 直流稳压电源、圆盘、机械震荡驱动器、转动传感器、偏心铜圆柱、120 cm长钢杆（2根）、45 cm 长钢杆（1根）、底座（1个）、 细线和弹簧。电源用于输出驱动电压，万用表可测量对应电压的实际值。该装置示意图如图1所示。
图1 PASCO系统混沌摆实验仪实物图
A ，选择旋转运动传感器并连接到数字通道1、2。利用转动传感器来记录驱动力的角频率和铝盘的旋转角频率。选取平滑函数“Smooth （n ，x ）”，设置图表中的横坐标为角度，单位是弧度，纵坐标为角速度，单位是弧度/秒。
通过电机的驱动使曲柄连杆做周期性圆周运动引起圆盘在外力的作用下做混沌摆运动，转动传感器记录它的运动并传输到计算机进行处理，描绘出图像。
2.3 实验原理
混沌摆的动力学方程[7]
I θ⋅⋅
+μθ +I c sin θ+kr (2k θ-∆L 0) =kr (L c -L c 0
) （1） 其中磁阻尼力矩用μ表示，线性弹簧的倔强系数为
k ，θ表示转轮的转角; ∆L 0是初始位置时弹簧的伸
长, L c 0, L c 分别为初始时刻和t 时刻外部策动振幅,
L A 2
2
2
c 0=c L 2a +L b -2L a L b cos φ0 （2）L L 22c =A c a +L a -2L 2
2a L b cos(
ωt +φ0) （3） 式中φ0为初始相角，ω为策动力的角速度，A c 为策动振幅，L a 和L b 表示外部策动力与转轮的距离。
为讨论动力学性质的方便，公式（1）可改写为如下的标准一阶微分方程形式：
θ∙=ω，ω∙
=-I -1c I sin θ-2kr 2I -1θ+krI -1∆L （4）
式中转轮的内外半径分别为r , R ，质量为M ，转轮圆盘的转动惯量I =MR 2
/2，I c 为偏心铜圆柱的转动惯量，∆L =L c -L c 0+∆L 0，A c ，ω和θ的初始值作为系统的可调节参数。为简单起见，对系统动力学性质没有影响的弹簧初始伸长和外部策动力的初位相分别取∆L 0=0, φ0=11π/18。
由公式（4）可见，当无外部策动力（∆L =0）和
磁阻尼系数（μ=0）时，该装置构成保守动力学系统。
公式（4）可简化为 为方便理解混沌现象，对上述的动力学方程应用Matlab 作了数值模拟，定义pi 表示圆周率π。
当无外部策动力(∆L =0) 时，系统在不同的初始角度θ=pi /6, pi /4, pi /2下的数值模拟图像如图2所示。由图可知，当系统没有出现混沌时，系统对初始值不敏感。
外部策动力条件下，不同条件下的系统相图如图3所示。同理，在实验中通过改变参数出现的双周期、三周期的、多周期这些特殊的图像通过数值模拟也能实现，见图4所示。
θ=ω，ω=-I c I -1sin θ-2kr 2I -1θ （5）
系统没有出现混沌时，系统对初始值不敏感。
当有外部策动力和阻尼存在时，该系统成为耗散动力学体系，表现出许多复杂的动力学性质, 这些性质十分依赖于驱动振幅A c , 振动频率ω和转动初始角θ等可调节实验参数。具备了产生混沌现象的基本条件[8]：
1） 方程右侧至少有1个非线性项； 2） 至少有3个变量。
∙∙
θ=pi /6 θ=pi θ=pi /2 /4
图2 无外部策动力时的系统相图
A c =1
, ω=2, θ=pi
/3 A c =0. 9, ω= 7, θ=0 A c =1, ω=12, θ=pi /2
图3 不同条件下的系统相图
A c =1. 7, ω=7. 2, θ=pi /3，三周期 A c =1. 5, ω=12, θ=pi /3，双周期
，四周期 A c =1. 5, ω=10, θ=pi /3
A c =1. 2, ω=7, θ=pi /3，五周期
图4 不同条件下的特殊相图
从数值模拟结果发现，系统动力学性质灵敏地依赖始值不敏感。
于驱动振幅Ac 和振动频率ω。对于一个非线性系统，3.2
有源驱动情况
依次改变系统的参数，可以出现从无序向有序的转变，3.2.1 固定驱动电压 有序程度不断增加的转变，最后出现混沌。
驱动一定（V =5. 2v ）的情况下，改变摆角初始值分别为θ=100，θ=135，θ=150。实验结果如图3所示。从相位图表现为混沌现象，并且各个初值对应的相位图差异很大。比较图6发现系统从双吸引子逐渐向单吸引子改变，当系统出现混沌时，系统对初始值很敏感。
3 PASCO 系统混沌状态测试
已测参数：转轮外半径R =0. 048m ，内半径
r =0. 024m ，质量M =0. 1182kg ， 偏心铜圆柱质量
m =0. 0145kg ，L =0. 048m ，弹簧倔强系数
k 1=k 2=2. 4N ⋅. m -1，L a =0. 05m ，L b =0. 16m 。
从混沌摆的相轨迹（PASCO 仪器上呈现的相图）很容易判断是否为混沌运动，为方便比较混沌现象，特定几个特殊的初始相位，即φ。
3.2.2 可变驱动电压
逐渐增大驱动电压，从而增加驱动频率下得到如图7所示的相位变化图。从实验结果可知，在一定范围内当混沌摆的驱动电压越大时驱动频率越大，系统的运动
3.1 无驱动情况
改变摆角初始值，为θ=0，θ=20，θ=40。实验结果如图5所示。从相位图表现可知在无驱动时混沌摆作振幅衰减运动，当系统没有出现混沌时，系统对初
越趋于复杂。当驱动电压较小时，如1周期、2周期所示结果都是周期运动的相图。当驱动电压达到一定大小时就出现了混沌现象，如单吸引子与双吸引子所示结果就是混沌现象的相图。
V =0v ，θ=0 ，φ=180
5. 2v ，θ=100 ，φ=0 V =
V =0v ，θ=20 ，φ=180
图5 无驱动状态混沌现象
V =0v ，θ=40 ，φ=180
V ==55. 2v ，θ==150150，φ==180180 V =5. 2v ，θ=135 ，φ=90 V . 2v ，θ，φ
图6 固定驱动状态混沌现象
V =4. 3v ，θ=135 ，φ=90 ， 1周期
V =6. 0v ，θ=135 ，φ=90 ，单吸引子
V = 4. 4v ，θ=135 ，φ=90 ，2周期
双吸引子 V =5. 8v ，θ=135 ，φ=90 ，
图7 可变驱动状态混沌现象
由单吸引子与双吸引子现象可知，当驱动频率达到一定值时系统从周期运动逐渐出现混沌现象。并且发现当角度初始值稍微改变时系统的运动情况却变化很大，可以出现混沌运动，也可以出现周期运动，这就是混沌系统的初值敏感性的基本特征。
观察奇异吸引子相图，当相图存在吸引子现象时，吸引子首先由外向内绕若干圈，转到圆心附近时将随机跳跃，继续向内绕若干圈后再突然跳回原来的那个循环。对应于混沌摆的实际运动，则是铜圆柱时而做周期运动时而角度超过
360度，有时可以一直不停旋转多圈，然后再作周期运动。尽管无法预料轨迹将在何时从一边跳到另一边，但是相轨道总不会超出边界，也绝不会自相重复。
通过上述实验的手段，依次改变PASCO 混沌摆系统的参数（驱动电压、驱动频率），系统由稳定有序逐渐失稳，开始分岔，系统由有序到无序。同时可以出现从无序向有序的转变，随着有序程度不断的增加，最后会观察到混沌现象，从而可得出结论，混沌是一种确定的系统中出现的貌似不规则的有序运动。
4 结语
本文基于PASCO 系统研制具备出现混沌现象的条件的受周期外力驱动的摆，采用转动传感器采集数据，测试实验出现的现象，还用Matlab 进行了数值模拟。
基于PASCO 系统开发传统实验，其实验内容融合了激光技术、传感器技术、信息存储和光电技术应用[9-10]等要求，除可以培养学生的独立实验能力、分析与研究能力之外, 更能提高创新能力, 并使学生在自主学习和训练过程中可以检验自己的能力，展示个性才华，使综合实验能力得到提高。
参考文献（References ）:
[1]Mccauley JL.Nonlinear Dynamics and Chaos Theory [M].Stockholm(Sweden) ：Royal Swedish Academy of sciences Press，1991，52—85．
[2] 梁勇, 温吉华．混沌引入大学物理教学的探讨[J] ．滁州学院学报,2005(8)：99—101．
[3] 郝柏林．从抛物线谈起一混沌动力学引论[M]．上海：上海科技教育出版社，1993,5—18．
[4] Leon 0 Chua，Chai wah wu，An shan Huang，Guo-Qun zhang ．A Universal Circuit for Studying，Generating Chaos-partII ：Strange Attractors[J]．IEEE Transactions on Circurt and Systems．1993，40(10)：747—749． [5] 李明，于艳春，李冠成等．混沌理论及现象实验仪的研制[J]．实验技术与管理，2005(1)：59—64． [6] 程敏熙，曾碧芬，刘惠娜等．周期性外力驱动的混沌摆[J] ．物理实验，2009(1)：7—13．
[7]朱桂萍，王健．混沌摆系统的动力学分析和数值模拟[J]．扬州大学学报（自然科学版），2008，11（3）：27—30．
[8]陈士华，陆君安．混沌动力学初步[M] ．武汉：武汉水力水电学院出版社，1998，137—154．
[9] 朱海平．PASCO 实验在物理教学中的应用[J]．丽水学院学报，2007，29（2）：89—91．
[10] 彭东青，刘志高，黄宏纬．基于PASCO 系统的物质折射率测量[J]．物理实验，2008，28（2）：33—35．