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学生姓名: 学生学号: 指导教师: 毕业时间: 单位代码: 分 类 号: 大 学 浅谈概率论在生活中的应用 数学与应用数学
浅谈概率论在生活中的应用
摘 要:随机现象存在于我们日常生活的方方面面和科学技术的各个领域,概率论与数理统计是一门十分重要的大学数学基础课,也是唯一一门研究随机现象规律的学科,它指导人们从事物表象看到其本质.它的实际应用背景很广,包括自然科学、社会科学、工程技术、经济、管理、军事和工农业生产等领域.经过不断的发展,学科本身的理论和方法日趋成熟,近年来,概率统计知识也越来越多的渗透到诸如物理学、遗传学、信息论等学科当中.另外,在社会生活中,就连面试、赌博、彩票、体育和天气等等也都会涉及到概率学知识.可以说,概率统计是当今数学中最活跃,应用最广泛的学科之一.本文通过对现实生活中的部分现象分析探讨了概率知识在日常生活中的广泛应用.
关 键 词:随机现象;概率;日常生活;应用分析
Discuss the application in life probability
Abstract: Random phenomenon exists in every aspect of our everyday lives and scientific technology each domain, probability and mathematical statistics is an important basic course in college mathematics, and is the only the study of random phenomenon regular course, its guiding people from representation see its nature. Its actual application background is very wide, including natural science, social science, engineering, economics, management, military and industrial and agricultural production, etc. Through continuous development, the theory and method of subject itself becomes mature, in recent years, the probability and statistics knowledge also more and more penetrated into such as physics, genetics, information subjects such as the midst. In addition, in social life, even interview, gambling, lottery tickets, sports and weather, etc are also involves probability learn knowledge. Can say, probability and statistics is the most active in mathematics, the most widely used in the fields of. This article through to in real life part phenomenon discussed probability knowledge in daily life the widely application.
Keywords: random phenomenon; probability; daily life; application analysis
目 录
引言 .................................................................. 1
1 概率在博彩领域中的应用 .............................................. 1
1.1 概率与赌博问题 ................................................. 1
1.2 彩票中奖问题 ................................................... 2
1.2.1 哪种血型的人更容易中大奖? ................................. 2
1.2.2 叫什么名字更容易中大奖? ................................... 3
1.2.3 什么号码更容易中大奖? ..................................... 3
2 概率在工作、学习中的应用 ............................................ 4
2.1 面试通过的概率 ................................................. 4
2.2 选择题瞎猜问题 ................................................. 5
3 概率在体育学中的应用 ................................................ 6
3.1 概率在乒乓球比赛中的应用 ....................................... 6
3.2 足球点球大战的方案 ............................................. 7
3.3 棒球界“三成击球员”的安打概率 ................................. 8
4 概率在猜拳游戏中的应用 .............................................. 8
4.1 猜拳必胜的方法 ................................................. 8
4.1.1 规定起始拳 ................................................ 8
4.1.2 不规定起始拳 .............................................. 9
4.2 猜拳多少回合可以决出胜负? ...................................... 9
5 生日概率问题 ....................................................... 10
6 降水概率问题 ....................................................... 11
7 用概率的方法证明谚语 ............................................... 12
7.1 三个臭皮匠抵个诸葛亮 .......................................... 12
7.2 一根筷子容易折 一把筷子坚如铁 .................................. 13
7.3 吃剩下的东西有福气 ............................................ 13
结束语 ............................................................... 14
参考文献 ............................................................. 15
谢 辞 ............................................................... 16
引言
概率,简单地说,就是一件事发生的可能性的大小.比如:太阳每天都会东升西落,这件事发生的概率就是100%或者说是1,因为它肯定会发生;而太阳西升东落的概率就是0,因为它肯定不会发生.但生活中的很多现象是既有可能发生,也有可能不发生的,比如某天会不会下雨、买东西买到次品等等,这类事件的概率就介于0和100%之间,或者说0和1之间.在日常生活中无论是股市涨跌,还是发生某类事故,但凡捉摸不定、需要用“运气”来解释的事件,都可用概率模型进行定量分析.不确定性既给人们带来许多麻烦,同时又常常是解决问题的一种有效手段甚至唯一手段. 1 概率在博彩领域中的应用
1.1 概率与赌博问题
《重要的艺术》一书的作者、意大利医生兼数学家卡当,据说曾大量地进行过赌博.他在赌博时研究不输的方法,实际是概率论的萌芽.
据说卡当曾参加过这样的一种赌法:把两颗骰子掷出去,以每个骰子朝上的点数之和作为赌的内容.已知骰子的六个面上分别为1-6点,那么,赌注下在多少点上最有利?
61= 366
卡当曾预言说押7最好.
现在看来这个想法是很简单的,可是在卡当的时代,应该说是很杰出的思想方法.
在那个时代,虽然概率论的萌芽有些进展,但还没有出现真正的概率论.
十七世纪中叶,法国贵族德•美黑在骰子赌博中,由于有要急近处理的事情必须中途停止赌博,要靠对胜负的预测把赌资进行合理的分配,但不知用什么样的比例分配才算合理,于是就写信向当时法国的最高数学家帕斯卡请教.正是这封信使概率论向前迈出了第一步.
帕斯卡和当时第一流的数学家费尔玛一起,研究了德•美黑提出的关于骰子赌博的问题.于是,一个新的数学分支--概率论登上了历史舞台.概率论从赌博的游戏开始,完全是一种新的数学.现在它在许多领域发挥着越来越大,十分重要的作用.
1.2 彩票中奖问题
在令人心动的彩票摇奖中,概率也同样指导着我们的实践.继股票之后,彩票也成了城乡居民经济生活中的一个热点.作为一门学科,概率学相当深奥,但应用却十分广泛.在实际买彩时,有些彩民在自觉不自觉地运用概率学的理论.譬如,有些彩民对某一数上以往出现次数多的号码,会多选几次.也许他们并不知道这就是概率学的知识那么,购买彩票真的能让我们如愿以偿吗?看起来似乎并不很难,其实却是“可望而不可及”的.
1.2.1 哪种血型的人更容易中大奖?
根据2002年日本“长者白书彩票”的统计数据,我们对1000万日元以上大奖的中奖者的血型进行了分析,分析结果如下:容易中大奖的血型分别为A型39.3%、O型26.1、B型19%以及AB型10.4%(未作回答者52%).
从这个结果来看,似乎A型和O型的人比B型和AB型的人更容易中大奖.事实上果真如此吗?其实不然,这个分析结果只是一个表面现象.
事实上,中大奖者的血型比例刚好与日本人的血型比例吻合.日本人的血型比例为A型40%,O型30%,B型20%以及AB型10%.
因此,并不存在某个血型的人更容易中大奖的事情.统计中奖者的血型比例会出现上述结果也是必然的,因为所有日本人的血型比例本来就是如此.
1.2.2 叫什么名字更容易中大奖?
根据2004年日本“长者白书彩票”的统计数据,我们对1000万日元以上大奖中奖者姓名的第一个字母进行了分析,结果发现男性中奖者中姓名的第一个字母分别为T·K、K·K和T·M的居多;而女性则以K·M、K·S和M·K的居多.
看到自己姓名的第一个字母恰好是上述统计结果中的一种,会不会觉得自己也容易中大奖呢?呵呵,当然不会.其实,这和前面讲的血型一样,上述几种姓名首字母的组合也是日本最常见的几种组合.叫这样名字的人较多,当然中奖的概率也大.实际上,已经有人对此做过验证了,请看下面的例子:
日本人常用的姓名(第一个字母)
上面的例子引自《只要刮风,卖水桶的就可以多赚0.8%!?》 (丸山健夫著)一书.该书中有一节叫做“T·K君更容易中彩票?”.在这一节中,作者丸公布了对日本人姓名第一个字母的统计结果,如上所示.由此可见,日本人姓名的第一个字母出现最多的就是K、S、T和M.因此,姓名的首字母为K,S,T和M的人买彩票中奖的也较多,这也是理所当然的事情.
1.2.3 什么号码更容易中大奖?
有很多杂志或网站会根据以前的彩票中奖数据预测以后的中奖趋势.他们真能分析出更容易中奖的号码吗?真的有更容易中奖的号码吗?我们可以斩钉截铁的说,根本不存在这样的号码!
有三张号码不同的彩票,分别是(77组777777,01组234567,51组309482),如果免费送你一张,你会选哪一张?
我想大部分人都会选择最后一张“51组309482”.大多数人都会认为像“77组777777”和“01组234567”这样规则的号码中奖的概率很很低,而越是不规律的号码越容易中奖,比如“51组309482”.
即使并不相信有些号码更容易中奖,人们在面对“77组777777”“01组234567”,
和“51组309482 ”这三组号码时,还是会下意识的估算每组号码的中奖概率,从而选择中奖概率更高号码.
然而正如前面所讲,号码根本不存在容易中奖和不容易中奖之分.一套彩票发行1000万注,每组号码都是其中的一注.不管是“77组777777”还是“51组309482”都是1000万注中的一注,因而它们的中奖概率是一样的.
因此不管是规则排列的号码,还是没有规则可循的号码,中奖的还率都一样,并没有容易中奖和不容易之分.尽管如此,大部分人还是愿意选择不规则的号码.这是一种先入为主的观念在作怪.
2 概率在工作、学习中的应用
2.1 面试通过的概率
刚从学校毕业即将步入社会的年轻人都希望找一份合适的工作.可是,目前的经济情况一直不景气,找个工作都很难,很多公司的面试通过率也很低,年轻人该怎么办呢?其实,年轻的朋友不必灰心丧气.从概率学的角度讲,只要坚持不懈地努力,成功的概率就会不断提高.
一件成功概率为50%的事情.只要我们反复做5次,就可以把成功概率提高至97%.
如果5家公司的面试率都是50%,那么我们去这5家公司面试时至少可以通过一家公司面试的概率也为97%.
将每家公司面试不合格的概率相乘,就可以得出去5家公司面试都不合格的概率,即
50.5=0.03 (约3%)
用1减去都不合格的概率,得出的便是至少可以通过一家公司面试的概率:
1- 0.03=0.97(97%)
同样,如果面试的通过率都为30%,面试5家,至少可以通过1家面试的概率为83%.
如果面试的通过率仅为10%,连续面试10家,至少可以通过1家面试的概率为
65%.如果连续面试20家,至少通过1家面试的概率则高达88%.
此外,如果几家公司的面试通过率各不相同,分别是10%、20%、30%、40%和50%,那么参加这几家公司的面试后,至少能通过1家面试的概率该如何计算呢?
即使各个公司的面试通过率各不相同,同样可以利用前面的方法进行计算.首先将各个公司面试的不合格的概率相乘,就可以得到去任何一家公司面试都不合格的概率,再用1减去这一概率,便得到至少能通过一家公司面试的概率.
因此
1-(0.9×0.8×0.7×0.6×0.5)=约0.85
也就是说,至少通过1家公司面试的概率为85%.
2.2 选择题瞎猜问题
现在用计算机阅卷的考试越来越多.于是在考卷上,便于计算机阅卷的选择题的比例也越来越大.你想过做选择题全凭瞎猜能得多少分吗?
比如,有5倒3选1的选择题,5道题全部答错的概率为:
232=243=约13% 3因此,只要用1减去5道题全部答错的概率:
100%-13%=约87%
由此可见,即使不看题目,瞎猜乱选,也有近90%的概率至少可以答对1道题.当然,绝不是鼓励大家在考试中胡乱做选择题.如果知道正确答案,还是要选对应的选项.
再比如,如果考试中有10道选择题,每道题都有4个选项,但其中只有1个正确答案.在这种情况下,至少能猜对1道题的概率有多大?
10道题全部答错的概率为:
3=0.056=5.6% 4105
用1减去10道题全部答错的概率5.6%,得到的就是至少能猜对1道题的概率,即94.4%.由此看出,即使瞎猜乱选,做10道题中至少能猜对一道还是不难的.
那么做10道题中猜对5道的概率又该如何计算呢?通过下面的公式可以算出概
率为P的事情发生r次的概率:
C
C
了. r×P×1Pnrnr 而是从n个元素中选出r个元素的公式,计算方法为: rn=n!÷r!×(nr)! 公式里全是符号,可能会有点晕.其实,只要把具体数字带入公式,就容易理解
我们的问题是“有10道4选1的选择题,猜对其中5道的概率有多大?”,换言
1的情况出现5次的概率为多大?” 4
1一共有10道选择题,所以n=10;由于是4选1的选择题,所以P=;问的是猜对5道题的概4
1率,所以r=5.把n=10、P=和r=5代入上述公式中,便得到: 4之,就是“在10道题中,概率为
135××= C1044
252×1243×=0.058„„ 1024102455
5.8%
因此,做10道4选1的选择题时,猜对其中5道的概率仅有5.8%.
这也就是说,猜对的题目越多,实现的概率越小.因此,要想在考试中取得好成绩,光靠运气瞎猜乱选是行不通的,必须具有真才实学.
3 概率在体育学中的应用
3.1 概率在乒乓球比赛中的应用
大家打球中经常会遇到半机会球,这样的球许多业余爱好者通常会全力冲之,不是你死就是我亡,力求一板解决战斗,而职业运动员通常只会用七八成力而寻求连续攻击,显然后者的处理球方式更为合理.以下用高等数学中的概率知识加以解释:
问题:对半机会球一板打中和多板连续打中的得分概率比较
假设前提:
1、进攻方和其对手均不变,即双方攻防技术水平确定不变
2、方法一:一板死的打法,如打中,则对方回击失误(即我方得分)概率为90％,如被对方防回,则进攻方失分,没有第三板可言 .
3、方法二:连续攻打法(只讨论攻两板的情况,攻多板可类推),如第一板打中,对方回击失误概率为80％,如被对方防回,由于没有全力发力,因此假设连续的第二板攻击打中并且仍能使对方回击失误概率保持在80％ .
比较:上述两种方法的总体得分概率P
方法一:P=90%+(1-90%)×0=90%
方法二:P=80%+(1-80%)×80%=96%
可以依次类推:
连续第三板的P=80%+(1-80%)×80%+(1-80%)×(1-80%)×80%=99.2%
„
„
连续第n板的P=80%+(1-80%)×80%+„„(180%n1×80%=„„
实际上这是一个等比数列求和,当n趋向于无穷大时,该等比数列和为1,即此时得分率为100％,正好与事实验证.
结论:最凶的未必是最好的,半机会的情况下,连续的杀伤力更大.
3.2 足球点球大战的方案
在足球比赛中,如果在90分钟的比赛和加时赛过后,双方比分仍不分高下,就要进行点球大战决一胜负.那么,从11名队员中选出5名参加点球大战,而且出场的顺序也是固定的话,一共有多少种方案?
在点球大战中,第一位出场的队员要从11个人中选出,共有11种选法;第二位出场的队员从生下的十人中选出,有10种选法;第三位出场的队员从剩下的9人中选出,有9种选法„„依此类推,我们就可以知道,如果从11人中选出5人,而且顺序固定的话,可以通过下面的乘法计算出一共有多少种选法.
11×10×9×8×7=55440种
3.3 棒球界“三成击球员”的安打概率
在棒球界,“三成击球员”就已经是非常优秀的击球员了.那么什么叫“三成击球员”呢?每次击球能打出安打(安打,即成功击球)的概率为30%的球员即为“三成击球员”.不过,为什么安打概率这么低的击球员就被认为是优秀级球员了呢?
在一场比赛中,如果“三成击球员”出场4次,其中至少有一次能打出安打的概率为76%.这也就是说,一个“三成击球员”在一场比赛中打出安打的概率就为76%.
在一场比赛中,如果“三成击球员”出场5次,他在全场比赛中打出安打的概率就可以提高至83%.
由此可见,虽然30我们这次概率并不算高,但只要尝试4次,就可以把成功概率提高到76%.如果尝试5次,则可以让成功概率跃至86%.这是不是远远高过你的想象呢?
因此即使失败了一两次,也不要马上放弃,至少应该再尝试5次.并不是要求大家尝试几十次甚至上百次,只要5次就足够了.
如果单次成功概率为30%,尝试4次,就可以把成功的概率提升到76%.如果单次成功的概率为50%,尝试5次则可以使成功概率一跃至97%.
因此,失败后不能马上放弃,要多尝试几次.
4 概率在猜拳游戏中的应用
在剪刀石头布的猜拳游戏中,有必胜的方法吗?或者说有胜算高的方法吗?我们先来看一下猜拳规则.首先,两人共同伸出一只手,握拳成石头状.然后,在一齐喊“剪刀、石头、布”后,各自出拳.大家最初都握成石头状,因此胜负的关键在与之后出什么拳.
4.1 猜拳必胜的方法
4.1.1 规定起始拳
据心理学家研究发现,在剪刀石头布的猜拳中,大多数人都不会连续出同一种拳.这也就是说,对方下一拳很有可能出石头以外的拳,即剪刀或布.如果对方出剪
刀或布的概率较大,那我们就出剪刀.如果对方出布,我们就赢了.如果对方出剪刀,只是平局,我们至少不会输.如果双方都出剪刀打成平局,接下来对方出剪刀以外的拳,即石头或布的概率会比较大,因此那我们要出布.如果对方出石头,我们就赢了.如果对方出布,则是平局,再继续„„
因此,大家都从握拳成石头状态开始,之后我们应该出剪刀.如果出剪刀打成平局,我们再出布.这也就是说,出拳的顺序应该是:石头、剪刀、布.如果出布再打成平局,那就再出石头,然后还是剪刀、布、石头、剪刀、布„„照这样的顺序出拳,获胜的概率会比较高.
如果要总结规律,那就是这次出的拳,那就是这次出的拳应该是上次输给对手的拳.具体而言,如果对手上次出的是石头,我们这次就应该出剪刀;如果对手上次出剪刀,我们这次就应该出布,等等以此类推.
当然,如果遇到喜欢连续出同一种拳的人我们刚才的方法就会让你输的很惨.不过,这个世界上喜欢连续出同一种拳的人没有变换出拳的人多,因此使用这种方法获胜的概率还是大一些.
如果规定从一开始就不可以连续出同一种拳,那按照刚才的顺序出拳就绝对不会输,甚至可以说它是猜拳的必胜方法.
4.1.2 不规定起始拳
前面讲的方法是规定起始拳为石头,假如不规定起始拳,第一拳大家随便出,那就必须另寻他法了.据统计,在不规定起始拳的情况下,现出石头或布的人要多于先出剪刀的人.剪刀的手势是相对最难做的了,因为要在瞬间出拳,与复杂的剪刀相比,人们更容易选择简单的石头或布.
因此,在不规定起始拳的情况下,如果先出石头或布的人居多,那我们第一拳就应该出布.对方出石头,我们获胜.对方出布,只是平局.如果出现平局,便可以采用前面所讲的策略了,即如果出布打成平局,下一拳我们就出石头.
4.2 猜拳多少回合可以决出胜负?
前面我们讲了猜拳时获胜概率较高的出拳方法,那么要多少回合才能决出胜负呢?我们以两个人猜拳为例进行说明.
两个人猜拳,每人都有剪刀、石头.布三种出拳方法.因此,两个人一起出拳的方法一共有:
3×3=9种
其中,平局的情况有三种,即双方同时出剪刀、石头或布.因此,出现平局的概率为:
13÷9= 3
那么,决出胜负的概率就是: 12 1-= 33
这也就是说,一个回合决出胜负的概率为2,约为67%. 3
如果第一回合打成了平局,第二回合分出了胜负,出现这种情况的概率为平局12的概率乘以决出胜负的概率,即: 33
122×=(约22%) 339
那么,如果前两回合都打成平局,第三回合决出了胜负,出现这种情况的概率又是多少呢?这样计算:
1122××=(约7%) 33327
根据以上结果,在三个回合以内决出胜负的概率,就是把上述三个概率相加,结果如下: 22226++=(67%+22%+7%=96%) 392727
这也就是说,两个人玩剪刀、石头、布猜拳游戏的时候,在三个回合内决出胜负的概率大约为96%.
5 生日概率问题
小时侯看《少年科学》,记得一个问题,就是在一群人中,你很有可能找到相同生日的人.而且你找到生日相同的人的可能性超过找不到生日相同的人的可能性,对这群人数的数字要求,可能并不像你想象中的那样高.
一个班有五十个人,我赌班上肯定有生日相同的一对同学.《少年科学》讲,胜
算非常大.一直记不清人数达到多少时,有生日相同的人的可能性会超过百分之五
十.终于看到答案:23人.
我们来看一个经典的生日概率问题.以1年365天计(不考虑闰年因素),你如果肯定在某人群中至少要有两人生日相同,那么需要多少人?大家不难得到结果,366人,只要人数超过365人,必然会有人生日相同.但如果一个班有50个人,他们中间有人生日相同的概率是多少?你可能想,大概20%～30%,错,有97%的可能! 它的计算方式是这样的:
a、50个人可能的生日组合是365×365×365ׄ„×365(共50个)个;
b、50个人生日都不重复的组合是365×364×363ׄ„×316(共50个)个;
b. a
b 这里,50个人生日全不相同的概率是=0.03,因此50个人生日有重复的概率a c、50个人生日有重复的概率是1-
是1-0.03＝0.97,即97%.
根据概率公式计算,只要有23人在一起,其中两人生日相同的概率就达到51%! 但是,如果换一个角度,要求你遇到的人中至少有一人和你生日相同的概率大于50%,你最少要遇到253人才成.
6 降水概率问题
降水概率为0,为什么还会下雨?
一提到概率,很多朋友首先会想起天气预报中出现的“降水概率”,毕竟每天都有天气预报,每天都能接触到“降水概率”这个专用术语.那么,到底什么事降水概率呢?所谓降水概率就是下雨或下雪的概率.
听到天气预报中说的降水概率后,一般人都会根据经验决定出门时是否带伞.比如,一听到预报说降水概率在50%以上,很多朋友就会带雨伞出门.不过,对我而言,降水概率不上60%,我决不会带雨伞出门.
我们说过,概率为0的事情绝对不会发生.不过,说到降水概率,即使为0%,也不能保证绝对不会下雨或下雪.这是为什么呢?降水概率是将未来可能出现的气象条件与以往的气象数据进行对比和分析后得到的.
首先,要使用超级计算机预测未来一半时间内的大气状况和气压配置等各种气
象条件.然后,再将预测的气象数据与过去保存的气象数据进行对比,并找出过去在相同的气象条件下降水在1毫米以上的概率有多大.这一概率就是未来一段时间内的降水概率.
比如,为了预测明天早晨6点到中午12点之间的降水概率,气象专家首先要用超级计算机预测明天这个时间段内的各种气象条件.然后,再找出过去与预测的现象条件类似或接近的气象数据,并据此计算出降水在1毫米以上的概率值.假如在以往10次类似的气象条件中,有7次降水在1毫米以上,那么降水的概率就为70%.
因此,预测说降水概率为70%这,相当于预报10次降水概率为70%中只有7次的降水会在1毫米以上.
此外,现在的降水概率的预报以10%为单位,因而降水概率都是10%的整数倍,之间的数值都要进行四舍五入.当然,预报得过于具体也没有多大意义.因此,0%—40%的降水概率都会预报为0%,而5%—14%的降水概率都会预报为10% „„因此,预报降水概率为0%,是说降水概率在0%-4%之间,因此不能完全保证不会下雨或下雪.
7 用概率的方法证明谚语
在中国五千年的文化长河中,流传着许多谚语、典故,他们体现出了很强的哲学思想,人们往往对这些谚语、典故的正确性深信不疑.其实,这些谚语典故从数学角度来讲,说的是一些小概率事件.只要我们掌握了小概率事件的理论解说,就可以诠说它的哲学思想.
7.1 三个臭皮匠抵个诸葛亮
我们知道,诸葛亮足智多谋,运筹帷幄,决胜千里.某一问题能够被诸葛亮解决似乎是必然的,但这一问题能够被臭皮匠解决似乎就有偶然性.但我们却有如下的文学成语“三个臭皮匠抵个诸葛亮”.它能否从数学上得到证明？回答是肯定的. 假如,有三个臭皮匠参加射击比赛,他们三个人能射中的概率分别为0.4,0.45,0.5.那么,他们三个人中至少有一个能射中的概率是多少?
我们用反面证明的方法,三个人都射不中的概率为:
P=(1-0.4)(1-0.45)(1-0.5)=0.165
所以三个人中至少有一个人能射中的概率为:
1-0.165=0.835
百分之八十多的成功概率,就算诸葛亮也不过如此了.
很简单的概率题,谁都能明白的道理.你没把握,我没把握,但是我们坐在一起,思想交织,那就有把握.可是现实中又是什么阻隔了这样的一种合作?是面子,是心高气傲,更是对利益分配的斤斤计较„„一个人不可能每一个领域都神通广大,而一个人却是对每一个领域都有需要.你不懂得合作,你就只有一个人在那里寂寞无助,却还以自己的独当一面沾沾自喜,其实,你就是个可怜虫,不懂得合作的人,终将被淘汰.
7.2 一根筷子容易折 一把筷子坚如铁
此谚语说的是“团结就是力量”,下面用概率论加以分析.
我们可以假设一根筷子能够被折断的概率为P,则n根相同筷子能同时被折断概率就为P.对于n,P取不同的值,将会得到不同的结果,现假设P=0．9,则根相同筷子能同时被折断的概率如下表: n
结束语从上表可以明显看出,筷子越多时,能折断的概率就越小,当n=50时,能被折断的概率只有0.0052,几乎不可能折断.事实上,团结不仅是力的整合,更是智力的互补、性格的兼容、文化的升华.团队精神是难能可贵的.类似的谚语还有“众人拾柴火焰高”、“人心齐,泰山移”、“众人一条心,黄土变成金”等.
7.3 吃剩下的东西有福气
很多人都拘泥抽签顺序,总认为:如果第一个人中签的话,后面的人就没有中签的机会了,所以如果自己不第一个抽,那么就感到自己的命运是被别人决定似的,有吃亏的感觉.其实不然,中签的概率并不依赖于抽签顺序,下面用一个事例进行论证.
假设这里共有10个签,其中只有一个是要中的签.两个人抽签时,我们把第一个抽签和第二个抽签的中签概率做一比较.
1 .然后考虑第二个抽签人的中签概率,分10
1两种情况:一是第一个人中签的情况(概率为 ).因为别人不会再有中签的机会了,10
9所以第二个人中签的概率为O；二是第一个人不中签的情况(概率为).因为第一个10首先,第一个抽签人的中签概率是
人已经抽走一个签,剩下的9个签只有一个签是要中的签,所以第二个人中签的概率就为
191 × = 91010
这样一来,第二个人中签的概率就是两种情况相加 0+11 = 1010
即,其结果和第一个抽签人的中签概率相同.
由此可见,是否中签与抽签的先后次序无关,有了这一理论,我们在抽签时就完全不必争先恐后了,说不定您最后—个抽正好中签,是最有福气的人.这里要说明一点,为确保每次抽签都是公平的,即每个人抽中的概率均相等,建议:(1)同时抽；(2)序贯抽签时,前面抽完签的人不要急于公布结果,等全部抽完后再说.
结束语
虽然在现实生活中我们不能准确预测未来或一些尚未发生的事件,但概率论的应用有利于更好地处理各种不确定因素.概率论渗透到生活的方方面面,从而为我们的日常生活带来方便. 有人设想,不久的将来,新闻报道中每一条消息旁都会注明“真实概率”,电视节目的预告中,每个节目旁都会写上“可视度概率”.另外,还有西瓜成熟概率、火车正点概率、药方疗效概率、广告可靠概率等等.又由于概率是等可能性的表现,从某种意义上说是民主与平等的体现,因此,社会生活中的很多竞争机制都能用概率来解释其公平合理性.
总之,我们在生活和工作中,无论做什么事都要脚踏实地,对生活中的某些偶然事件要理性的分析、对待.由于随机现象在现实世界中大量存在,概率必将越来越显示出它巨大的威力.
参考文献
[1] 程依明.概率论与数理统计教程[M].北京:高等教育出版社,2004:1-4.
[2] 魏宗舒.概率论与数理统计教程[M].北京:高等教育出版社,1983.
[3] [日]野口哲典.成功概率学[M].陕西:陕西师范大学出版社,2009.
[4] 孙荣恒.趣味随机问题[M].北京:科学出版社,2004.
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[7] 罗浩源.生活的数学[M].上海:上海远东出版社,2001.
[8] 刘长波.生活中的概率问题举例[J].沈阳师范大学学报,2007,25(4):531-533.
[9] 杨玉红.浅谈概率在生活中的应用[J].经济研究导刊,2010,(18):203-204.
[10 ]李平龙.“三局两胜、五局三胜”制公平吗?[J].数学通讯,2001,(2):2.
[11] 金炳陶.先下手为强[J].数理统计与管理,1991,(3).
[12] 王琼.谚语中的概率论[J].西藏大学学报,2009,24(2):106-108.
谢 辞
走的最快的总是时间,来不及感叹,大学生活已近尾声,四年多的努力与付出,随着本次论文的完成,将要划下完美的句号.
本论文设计在张盈老师的悉心指导和严格要求下业已完成,从课题选择到具体的写作过程,论文初稿与定稿无不凝聚着张老师的心血和汗水.在我的毕业设计期间,张盈老师为我提供了种种专业知识上的指导和一些富于创造性的建议,张老师一丝不苟的作风,严谨求实的态度使我深受感动,没有这样的帮助和关怀和熏陶,我不会这么顺利的完成毕业设计.在此向张老师表示深深的感谢和崇高的敬意!
在临近毕业之际,我还要借此机会向在这四年中给予我诸多教诲和帮助的各位老师表示由衷的谢意,感谢他们四年来的辛勤栽培.不积跬步何以至千里,各位任课老师认真负责,在他们的悉心帮助和支持下,我能够很好的掌握和运用专业知识,并在设计中得以体现,顺利完成毕业论文.
同时,在论文写作过程中,我还参考了有关的书籍和论文,在这里一并向有关的作者表示谢意.
我还要感谢同组的各位同学以及我的各位室友,在毕业设计的这段时间里,你们给了我很多的启发,提出了很多宝贵的意见,对于你们帮助和支持,在此我表示深深地感谢!
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X X
题 目:
专业名称:
学生姓名: 学生学号: 指导教师: 毕业时间: 单位代码: 分 类 号: 大 学 浅谈概率论在生活中的应用 数学与应用数学
浅谈概率论在生活中的应用
摘 要:随机现象存在于我们日常生活的方方面面和科学技术的各个领域,概率论与数理统计是一门十分重要的大学数学基础课,也是唯一一门研究随机现象规律的学科,它指导人们从事物表象看到其本质.它的实际应用背景很广,包括自然科学、社会科学、工程技术、经济、管理、军事和工农业生产等领域.经过不断的发展,学科本身的理论和方法日趋成熟,近年来,概率统计知识也越来越多的渗透到诸如物理学、遗传学、信息论等学科当中.另外,在社会生活中,就连面试、赌博、彩票、体育和天气等等也都会涉及到概率学知识.可以说,概率统计是当今数学中最活跃,应用最广泛的学科之一.本文通过对现实生活中的部分现象分析探讨了概率知识在日常生活中的广泛应用.
关 键 词:随机现象;概率;日常生活;应用分析
Discuss the application in life probability
Abstract: Random phenomenon exists in every aspect of our everyday lives and scientific technology each domain, probability and mathematical statistics is an important basic course in college mathematics, and is the only the study of random phenomenon regular course, its guiding people from representation see its nature. Its actual application background is very wide, including natural science, social science, engineering, economics, management, military and industrial and agricultural production, etc. Through continuous development, the theory and method of subject itself becomes mature, in recent years, the probability and statistics knowledge also more and more penetrated into such as physics, genetics, information subjects such as the midst. In addition, in social life, even interview, gambling, lottery tickets, sports and weather, etc are also involves probability learn knowledge. Can say, probability and statistics is the most active in mathematics, the most widely used in the fields of. This article through to in real life part phenomenon discussed probability knowledge in daily life the widely application.
Keywords: random phenomenon; probability; daily life; application analysis
目 录
引言 .................................................................. 1
1 概率在博彩领域中的应用 .............................................. 1
1.1 概率与赌博问题 ................................................. 1
1.2 彩票中奖问题 ................................................... 2
1.2.1 哪种血型的人更容易中大奖? ................................. 2
1.2.2 叫什么名字更容易中大奖? ................................... 3
1.2.3 什么号码更容易中大奖? ..................................... 3
2 概率在工作、学习中的应用 ............................................ 4
2.1 面试通过的概率 ................................................. 4
2.2 选择题瞎猜问题 ................................................. 5
3 概率在体育学中的应用 ................................................ 6
3.1 概率在乒乓球比赛中的应用 ....................................... 6
3.2 足球点球大战的方案 ............................................. 7
3.3 棒球界“三成击球员”的安打概率 ................................. 8
4 概率在猜拳游戏中的应用 .............................................. 8
4.1 猜拳必胜的方法 ................................................. 8
4.1.1 规定起始拳 ................................................ 8
4.1.2 不规定起始拳 .............................................. 9
4.2 猜拳多少回合可以决出胜负? ...................................... 9
5 生日概率问题 ....................................................... 10
6 降水概率问题 ....................................................... 11
7 用概率的方法证明谚语 ............................................... 12
7.1 三个臭皮匠抵个诸葛亮 .......................................... 12
7.2 一根筷子容易折 一把筷子坚如铁 .................................. 13
7.3 吃剩下的东西有福气 ............................................ 13
结束语 ............................................................... 14
参考文献 ............................................................. 15
谢 辞 ............................................................... 16
引言
概率,简单地说,就是一件事发生的可能性的大小.比如:太阳每天都会东升西落,这件事发生的概率就是100%或者说是1,因为它肯定会发生;而太阳西升东落的概率就是0,因为它肯定不会发生.但生活中的很多现象是既有可能发生,也有可能不发生的,比如某天会不会下雨、买东西买到次品等等,这类事件的概率就介于0和100%之间,或者说0和1之间.在日常生活中无论是股市涨跌,还是发生某类事故,但凡捉摸不定、需要用“运气”来解释的事件,都可用概率模型进行定量分析.不确定性既给人们带来许多麻烦,同时又常常是解决问题的一种有效手段甚至唯一手段. 1 概率在博彩领域中的应用
1.1 概率与赌博问题
《重要的艺术》一书的作者、意大利医生兼数学家卡当,据说曾大量地进行过赌博.他在赌博时研究不输的方法,实际是概率论的萌芽.
据说卡当曾参加过这样的一种赌法:把两颗骰子掷出去,以每个骰子朝上的点数之和作为赌的内容.已知骰子的六个面上分别为1-6点,那么,赌注下在多少点上最有利?
61= 366
卡当曾预言说押7最好.
现在看来这个想法是很简单的,可是在卡当的时代,应该说是很杰出的思想方法.
在那个时代,虽然概率论的萌芽有些进展,但还没有出现真正的概率论.
十七世纪中叶,法国贵族德•美黑在骰子赌博中,由于有要急近处理的事情必须中途停止赌博,要靠对胜负的预测把赌资进行合理的分配,但不知用什么样的比例分配才算合理,于是就写信向当时法国的最高数学家帕斯卡请教.正是这封信使概率论向前迈出了第一步.
帕斯卡和当时第一流的数学家费尔玛一起,研究了德•美黑提出的关于骰子赌博的问题.于是,一个新的数学分支--概率论登上了历史舞台.概率论从赌博的游戏开始,完全是一种新的数学.现在它在许多领域发挥着越来越大,十分重要的作用.
1.2 彩票中奖问题
在令人心动的彩票摇奖中,概率也同样指导着我们的实践.继股票之后,彩票也成了城乡居民经济生活中的一个热点.作为一门学科,概率学相当深奥,但应用却十分广泛.在实际买彩时,有些彩民在自觉不自觉地运用概率学的理论.譬如,有些彩民对某一数上以往出现次数多的号码,会多选几次.也许他们并不知道这就是概率学的知识那么,购买彩票真的能让我们如愿以偿吗?看起来似乎并不很难,其实却是“可望而不可及”的.
1.2.1 哪种血型的人更容易中大奖?
根据2002年日本“长者白书彩票”的统计数据,我们对1000万日元以上大奖的中奖者的血型进行了分析,分析结果如下:容易中大奖的血型分别为A型39.3%、O型26.1、B型19%以及AB型10.4%(未作回答者52%).
从这个结果来看,似乎A型和O型的人比B型和AB型的人更容易中大奖.事实上果真如此吗?其实不然,这个分析结果只是一个表面现象.
事实上,中大奖者的血型比例刚好与日本人的血型比例吻合.日本人的血型比例为A型40%,O型30%,B型20%以及AB型10%.
因此,并不存在某个血型的人更容易中大奖的事情.统计中奖者的血型比例会出现上述结果也是必然的,因为所有日本人的血型比例本来就是如此.
1.2.2 叫什么名字更容易中大奖?
根据2004年日本“长者白书彩票”的统计数据,我们对1000万日元以上大奖中奖者姓名的第一个字母进行了分析,结果发现男性中奖者中姓名的第一个字母分别为T·K、K·K和T·M的居多;而女性则以K·M、K·S和M·K的居多.
看到自己姓名的第一个字母恰好是上述统计结果中的一种,会不会觉得自己也容易中大奖呢?呵呵,当然不会.其实,这和前面讲的血型一样,上述几种姓名首字母的组合也是日本最常见的几种组合.叫这样名字的人较多,当然中奖的概率也大.实际上,已经有人对此做过验证了,请看下面的例子:
日本人常用的姓名(第一个字母)
上面的例子引自《只要刮风,卖水桶的就可以多赚0.8%!?》 (丸山健夫著)一书.该书中有一节叫做“T·K君更容易中彩票?”.在这一节中,作者丸公布了对日本人姓名第一个字母的统计结果,如上所示.由此可见,日本人姓名的第一个字母出现最多的就是K、S、T和M.因此,姓名的首字母为K,S,T和M的人买彩票中奖的也较多,这也是理所当然的事情.
1.2.3 什么号码更容易中大奖?
有很多杂志或网站会根据以前的彩票中奖数据预测以后的中奖趋势.他们真能分析出更容易中奖的号码吗?真的有更容易中奖的号码吗?我们可以斩钉截铁的说,根本不存在这样的号码!
有三张号码不同的彩票,分别是(77组777777,01组234567,51组309482),如果免费送你一张,你会选哪一张?
我想大部分人都会选择最后一张“51组309482”.大多数人都会认为像“77组777777”和“01组234567”这样规则的号码中奖的概率很很低,而越是不规律的号码越容易中奖,比如“51组309482”.
即使并不相信有些号码更容易中奖,人们在面对“77组777777”“01组234567”,
和“51组309482 ”这三组号码时,还是会下意识的估算每组号码的中奖概率,从而选择中奖概率更高号码.
然而正如前面所讲,号码根本不存在容易中奖和不容易中奖之分.一套彩票发行1000万注,每组号码都是其中的一注.不管是“77组777777”还是“51组309482”都是1000万注中的一注,因而它们的中奖概率是一样的.
因此不管是规则排列的号码,还是没有规则可循的号码,中奖的还率都一样,并没有容易中奖和不容易之分.尽管如此,大部分人还是愿意选择不规则的号码.这是一种先入为主的观念在作怪.
2 概率在工作、学习中的应用
2.1 面试通过的概率
刚从学校毕业即将步入社会的年轻人都希望找一份合适的工作.可是,目前的经济情况一直不景气,找个工作都很难,很多公司的面试通过率也很低,年轻人该怎么办呢?其实,年轻的朋友不必灰心丧气.从概率学的角度讲,只要坚持不懈地努力,成功的概率就会不断提高.
一件成功概率为50%的事情.只要我们反复做5次,就可以把成功概率提高至97%.
如果5家公司的面试率都是50%,那么我们去这5家公司面试时至少可以通过一家公司面试的概率也为97%.
将每家公司面试不合格的概率相乘,就可以得出去5家公司面试都不合格的概率,即
50.5=0.03 (约3%)
用1减去都不合格的概率,得出的便是至少可以通过一家公司面试的概率:
1- 0.03=0.97(97%)
同样,如果面试的通过率都为30%,面试5家,至少可以通过1家面试的概率为83%.
如果面试的通过率仅为10%,连续面试10家,至少可以通过1家面试的概率为
65%.如果连续面试20家,至少通过1家面试的概率则高达88%.
此外,如果几家公司的面试通过率各不相同,分别是10%、20%、30%、40%和50%,那么参加这几家公司的面试后,至少能通过1家面试的概率该如何计算呢?
即使各个公司的面试通过率各不相同,同样可以利用前面的方法进行计算.首先将各个公司面试的不合格的概率相乘,就可以得到去任何一家公司面试都不合格的概率,再用1减去这一概率,便得到至少能通过一家公司面试的概率.
因此
1-(0.9×0.8×0.7×0.6×0.5)=约0.85
也就是说,至少通过1家公司面试的概率为85%.
2.2 选择题瞎猜问题
现在用计算机阅卷的考试越来越多.于是在考卷上,便于计算机阅卷的选择题的比例也越来越大.你想过做选择题全凭瞎猜能得多少分吗?
比如,有5倒3选1的选择题,5道题全部答错的概率为:
232=243=约13% 3因此,只要用1减去5道题全部答错的概率:
100%-13%=约87%
由此可见,即使不看题目,瞎猜乱选,也有近90%的概率至少可以答对1道题.当然,绝不是鼓励大家在考试中胡乱做选择题.如果知道正确答案,还是要选对应的选项.
再比如,如果考试中有10道选择题,每道题都有4个选项,但其中只有1个正确答案.在这种情况下,至少能猜对1道题的概率有多大?
10道题全部答错的概率为:
3=0.056=5.6% 4105
用1减去10道题全部答错的概率5.6%,得到的就是至少能猜对1道题的概率,即94.4%.由此看出,即使瞎猜乱选,做10道题中至少能猜对一道还是不难的.
那么做10道题中猜对5道的概率又该如何计算呢?通过下面的公式可以算出概
率为P的事情发生r次的概率:
C
C
了. r×P×1Pnrnr 而是从n个元素中选出r个元素的公式,计算方法为: rn=n!÷r!×(nr)! 公式里全是符号,可能会有点晕.其实,只要把具体数字带入公式,就容易理解
我们的问题是“有10道4选1的选择题,猜对其中5道的概率有多大?”,换言
1的情况出现5次的概率为多大?” 4
1一共有10道选择题,所以n=10;由于是4选1的选择题,所以P=;问的是猜对5道题的概4
1率,所以r=5.把n=10、P=和r=5代入上述公式中,便得到: 4之,就是“在10道题中,概率为
135××= C1044
252×1243×=0.058„„ 1024102455
5.8%
因此,做10道4选1的选择题时,猜对其中5道的概率仅有5.8%.
这也就是说,猜对的题目越多,实现的概率越小.因此,要想在考试中取得好成绩,光靠运气瞎猜乱选是行不通的,必须具有真才实学.
3 概率在体育学中的应用
3.1 概率在乒乓球比赛中的应用
大家打球中经常会遇到半机会球,这样的球许多业余爱好者通常会全力冲之,不是你死就是我亡,力求一板解决战斗,而职业运动员通常只会用七八成力而寻求连续攻击,显然后者的处理球方式更为合理.以下用高等数学中的概率知识加以解释:
问题:对半机会球一板打中和多板连续打中的得分概率比较
假设前提:
1、进攻方和其对手均不变,即双方攻防技术水平确定不变
2、方法一:一板死的打法,如打中,则对方回击失误(即我方得分)概率为90％,如被对方防回,则进攻方失分,没有第三板可言 .
3、方法二:连续攻打法(只讨论攻两板的情况,攻多板可类推),如第一板打中,对方回击失误概率为80％,如被对方防回,由于没有全力发力,因此假设连续的第二板攻击打中并且仍能使对方回击失误概率保持在80％ .
比较:上述两种方法的总体得分概率P
方法一:P=90%+(1-90%)×0=90%
方法二:P=80%+(1-80%)×80%=96%
可以依次类推:
连续第三板的P=80%+(1-80%)×80%+(1-80%)×(1-80%)×80%=99.2%
„
„
连续第n板的P=80%+(1-80%)×80%+„„(180%n1×80%=„„
实际上这是一个等比数列求和,当n趋向于无穷大时,该等比数列和为1,即此时得分率为100％,正好与事实验证.
结论:最凶的未必是最好的,半机会的情况下,连续的杀伤力更大.
3.2 足球点球大战的方案
在足球比赛中,如果在90分钟的比赛和加时赛过后,双方比分仍不分高下,就要进行点球大战决一胜负.那么,从11名队员中选出5名参加点球大战,而且出场的顺序也是固定的话,一共有多少种方案?
在点球大战中,第一位出场的队员要从11个人中选出,共有11种选法;第二位出场的队员从生下的十人中选出,有10种选法;第三位出场的队员从剩下的9人中选出,有9种选法„„依此类推,我们就可以知道,如果从11人中选出5人,而且顺序固定的话,可以通过下面的乘法计算出一共有多少种选法.
11×10×9×8×7=55440种
3.3 棒球界“三成击球员”的安打概率
在棒球界,“三成击球员”就已经是非常优秀的击球员了.那么什么叫“三成击球员”呢?每次击球能打出安打(安打,即成功击球)的概率为30%的球员即为“三成击球员”.不过,为什么安打概率这么低的击球员就被认为是优秀级球员了呢?
在一场比赛中,如果“三成击球员”出场4次,其中至少有一次能打出安打的概率为76%.这也就是说,一个“三成击球员”在一场比赛中打出安打的概率就为76%.
在一场比赛中,如果“三成击球员”出场5次,他在全场比赛中打出安打的概率就可以提高至83%.
由此可见,虽然30我们这次概率并不算高,但只要尝试4次,就可以把成功概率提高到76%.如果尝试5次,则可以让成功概率跃至86%.这是不是远远高过你的想象呢?
因此即使失败了一两次,也不要马上放弃,至少应该再尝试5次.并不是要求大家尝试几十次甚至上百次,只要5次就足够了.
如果单次成功概率为30%,尝试4次,就可以把成功的概率提升到76%.如果单次成功的概率为50%,尝试5次则可以使成功概率一跃至97%.
因此,失败后不能马上放弃,要多尝试几次.
4 概率在猜拳游戏中的应用
在剪刀石头布的猜拳游戏中,有必胜的方法吗?或者说有胜算高的方法吗?我们先来看一下猜拳规则.首先,两人共同伸出一只手,握拳成石头状.然后,在一齐喊“剪刀、石头、布”后,各自出拳.大家最初都握成石头状,因此胜负的关键在与之后出什么拳.
4.1 猜拳必胜的方法
4.1.1 规定起始拳
据心理学家研究发现,在剪刀石头布的猜拳中,大多数人都不会连续出同一种拳.这也就是说,对方下一拳很有可能出石头以外的拳,即剪刀或布.如果对方出剪
刀或布的概率较大,那我们就出剪刀.如果对方出布,我们就赢了.如果对方出剪刀,只是平局,我们至少不会输.如果双方都出剪刀打成平局,接下来对方出剪刀以外的拳,即石头或布的概率会比较大,因此那我们要出布.如果对方出石头,我们就赢了.如果对方出布,则是平局,再继续„„
因此,大家都从握拳成石头状态开始,之后我们应该出剪刀.如果出剪刀打成平局,我们再出布.这也就是说,出拳的顺序应该是:石头、剪刀、布.如果出布再打成平局,那就再出石头,然后还是剪刀、布、石头、剪刀、布„„照这样的顺序出拳,获胜的概率会比较高.
如果要总结规律,那就是这次出的拳,那就是这次出的拳应该是上次输给对手的拳.具体而言,如果对手上次出的是石头,我们这次就应该出剪刀;如果对手上次出剪刀,我们这次就应该出布,等等以此类推.
当然,如果遇到喜欢连续出同一种拳的人我们刚才的方法就会让你输的很惨.不过,这个世界上喜欢连续出同一种拳的人没有变换出拳的人多,因此使用这种方法获胜的概率还是大一些.
如果规定从一开始就不可以连续出同一种拳,那按照刚才的顺序出拳就绝对不会输,甚至可以说它是猜拳的必胜方法.
4.1.2 不规定起始拳
前面讲的方法是规定起始拳为石头,假如不规定起始拳,第一拳大家随便出,那就必须另寻他法了.据统计,在不规定起始拳的情况下,现出石头或布的人要多于先出剪刀的人.剪刀的手势是相对最难做的了,因为要在瞬间出拳,与复杂的剪刀相比,人们更容易选择简单的石头或布.
因此,在不规定起始拳的情况下,如果先出石头或布的人居多,那我们第一拳就应该出布.对方出石头,我们获胜.对方出布,只是平局.如果出现平局,便可以采用前面所讲的策略了,即如果出布打成平局,下一拳我们就出石头.
4.2 猜拳多少回合可以决出胜负?
前面我们讲了猜拳时获胜概率较高的出拳方法,那么要多少回合才能决出胜负呢?我们以两个人猜拳为例进行说明.
两个人猜拳,每人都有剪刀、石头.布三种出拳方法.因此,两个人一起出拳的方法一共有:
3×3=9种
其中,平局的情况有三种,即双方同时出剪刀、石头或布.因此,出现平局的概率为:
13÷9= 3
那么,决出胜负的概率就是: 12 1-= 33
这也就是说,一个回合决出胜负的概率为2,约为67%. 3
如果第一回合打成了平局,第二回合分出了胜负,出现这种情况的概率为平局12的概率乘以决出胜负的概率,即: 33
122×=(约22%) 339
那么,如果前两回合都打成平局,第三回合决出了胜负,出现这种情况的概率又是多少呢?这样计算:
1122××=(约7%) 33327
根据以上结果,在三个回合以内决出胜负的概率,就是把上述三个概率相加,结果如下: 22226++=(67%+22%+7%=96%) 392727
这也就是说,两个人玩剪刀、石头、布猜拳游戏的时候,在三个回合内决出胜负的概率大约为96%.
5 生日概率问题
小时侯看《少年科学》,记得一个问题,就是在一群人中,你很有可能找到相同生日的人.而且你找到生日相同的人的可能性超过找不到生日相同的人的可能性,对这群人数的数字要求,可能并不像你想象中的那样高.
一个班有五十个人,我赌班上肯定有生日相同的一对同学.《少年科学》讲,胜
算非常大.一直记不清人数达到多少时,有生日相同的人的可能性会超过百分之五
十.终于看到答案:23人.
我们来看一个经典的生日概率问题.以1年365天计(不考虑闰年因素),你如果肯定在某人群中至少要有两人生日相同,那么需要多少人?大家不难得到结果,366人,只要人数超过365人,必然会有人生日相同.但如果一个班有50个人,他们中间有人生日相同的概率是多少?你可能想,大概20%～30%,错,有97%的可能! 它的计算方式是这样的:
a、50个人可能的生日组合是365×365×365ׄ„×365(共50个)个;
b、50个人生日都不重复的组合是365×364×363ׄ„×316(共50个)个;
b. a
b 这里,50个人生日全不相同的概率是=0.03,因此50个人生日有重复的概率a c、50个人生日有重复的概率是1-
是1-0.03＝0.97,即97%.
根据概率公式计算,只要有23人在一起,其中两人生日相同的概率就达到51%! 但是,如果换一个角度,要求你遇到的人中至少有一人和你生日相同的概率大于50%,你最少要遇到253人才成.
6 降水概率问题
降水概率为0,为什么还会下雨?
一提到概率,很多朋友首先会想起天气预报中出现的“降水概率”,毕竟每天都有天气预报,每天都能接触到“降水概率”这个专用术语.那么,到底什么事降水概率呢?所谓降水概率就是下雨或下雪的概率.
听到天气预报中说的降水概率后,一般人都会根据经验决定出门时是否带伞.比如,一听到预报说降水概率在50%以上,很多朋友就会带雨伞出门.不过,对我而言,降水概率不上60%,我决不会带雨伞出门.
我们说过,概率为0的事情绝对不会发生.不过,说到降水概率,即使为0%,也不能保证绝对不会下雨或下雪.这是为什么呢?降水概率是将未来可能出现的气象条件与以往的气象数据进行对比和分析后得到的.
首先,要使用超级计算机预测未来一半时间内的大气状况和气压配置等各种气
象条件.然后,再将预测的气象数据与过去保存的气象数据进行对比,并找出过去在相同的气象条件下降水在1毫米以上的概率有多大.这一概率就是未来一段时间内的降水概率.
比如,为了预测明天早晨6点到中午12点之间的降水概率,气象专家首先要用超级计算机预测明天这个时间段内的各种气象条件.然后,再找出过去与预测的现象条件类似或接近的气象数据,并据此计算出降水在1毫米以上的概率值.假如在以往10次类似的气象条件中,有7次降水在1毫米以上,那么降水的概率就为70%.
因此,预测说降水概率为70%这,相当于预报10次降水概率为70%中只有7次的降水会在1毫米以上.
此外,现在的降水概率的预报以10%为单位,因而降水概率都是10%的整数倍,之间的数值都要进行四舍五入.当然,预报得过于具体也没有多大意义.因此,0%—40%的降水概率都会预报为0%,而5%—14%的降水概率都会预报为10% „„因此,预报降水概率为0%,是说降水概率在0%-4%之间,因此不能完全保证不会下雨或下雪.
7 用概率的方法证明谚语
在中国五千年的文化长河中,流传着许多谚语、典故,他们体现出了很强的哲学思想,人们往往对这些谚语、典故的正确性深信不疑.其实,这些谚语典故从数学角度来讲,说的是一些小概率事件.只要我们掌握了小概率事件的理论解说,就可以诠说它的哲学思想.
7.1 三个臭皮匠抵个诸葛亮
我们知道,诸葛亮足智多谋,运筹帷幄,决胜千里.某一问题能够被诸葛亮解决似乎是必然的,但这一问题能够被臭皮匠解决似乎就有偶然性.但我们却有如下的文学成语“三个臭皮匠抵个诸葛亮”.它能否从数学上得到证明？回答是肯定的. 假如,有三个臭皮匠参加射击比赛,他们三个人能射中的概率分别为0.4,0.45,0.5.那么,他们三个人中至少有一个能射中的概率是多少?
我们用反面证明的方法,三个人都射不中的概率为:
P=(1-0.4)(1-0.45)(1-0.5)=0.165
所以三个人中至少有一个人能射中的概率为:
1-0.165=0.835
百分之八十多的成功概率,就算诸葛亮也不过如此了.
很简单的概率题,谁都能明白的道理.你没把握,我没把握,但是我们坐在一起,思想交织,那就有把握.可是现实中又是什么阻隔了这样的一种合作?是面子,是心高气傲,更是对利益分配的斤斤计较„„一个人不可能每一个领域都神通广大,而一个人却是对每一个领域都有需要.你不懂得合作,你就只有一个人在那里寂寞无助,却还以自己的独当一面沾沾自喜,其实,你就是个可怜虫,不懂得合作的人,终将被淘汰.
7.2 一根筷子容易折 一把筷子坚如铁
此谚语说的是“团结就是力量”,下面用概率论加以分析.
我们可以假设一根筷子能够被折断的概率为P,则n根相同筷子能同时被折断概率就为P.对于n,P取不同的值,将会得到不同的结果,现假设P=0．9,则根相同筷子能同时被折断的概率如下表: n
结束语从上表可以明显看出,筷子越多时,能折断的概率就越小,当n=50时,能被折断的概率只有0.0052,几乎不可能折断.事实上,团结不仅是力的整合,更是智力的互补、性格的兼容、文化的升华.团队精神是难能可贵的.类似的谚语还有“众人拾柴火焰高”、“人心齐,泰山移”、“众人一条心,黄土变成金”等.
7.3 吃剩下的东西有福气
很多人都拘泥抽签顺序,总认为:如果第一个人中签的话,后面的人就没有中签的机会了,所以如果自己不第一个抽,那么就感到自己的命运是被别人决定似的,有吃亏的感觉.其实不然,中签的概率并不依赖于抽签顺序,下面用一个事例进行论证.
假设这里共有10个签,其中只有一个是要中的签.两个人抽签时,我们把第一个抽签和第二个抽签的中签概率做一比较.
1 .然后考虑第二个抽签人的中签概率,分10
1两种情况:一是第一个人中签的情况(概率为 ).因为别人不会再有中签的机会了,10
9所以第二个人中签的概率为O；二是第一个人不中签的情况(概率为).因为第一个10首先,第一个抽签人的中签概率是
人已经抽走一个签,剩下的9个签只有一个签是要中的签,所以第二个人中签的概率就为
191 × = 91010
这样一来,第二个人中签的概率就是两种情况相加 0+11 = 1010
即,其结果和第一个抽签人的中签概率相同.
由此可见,是否中签与抽签的先后次序无关,有了这一理论,我们在抽签时就完全不必争先恐后了,说不定您最后—个抽正好中签,是最有福气的人.这里要说明一点,为确保每次抽签都是公平的,即每个人抽中的概率均相等,建议:(1)同时抽；(2)序贯抽签时,前面抽完签的人不要急于公布结果,等全部抽完后再说.
结束语
虽然在现实生活中我们不能准确预测未来或一些尚未发生的事件,但概率论的应用有利于更好地处理各种不确定因素.概率论渗透到生活的方方面面,从而为我们的日常生活带来方便. 有人设想,不久的将来,新闻报道中每一条消息旁都会注明“真实概率”,电视节目的预告中,每个节目旁都会写上“可视度概率”.另外,还有西瓜成熟概率、火车正点概率、药方疗效概率、广告可靠概率等等.又由于概率是等可能性的表现,从某种意义上说是民主与平等的体现,因此,社会生活中的很多竞争机制都能用概率来解释其公平合理性.
总之,我们在生活和工作中,无论做什么事都要脚踏实地,对生活中的某些偶然事件要理性的分析、对待.由于随机现象在现实世界中大量存在,概率必将越来越显示出它巨大的威力.
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谢 辞
走的最快的总是时间,来不及感叹,大学生活已近尾声,四年多的努力与付出,随着本次论文的完成,将要划下完美的句号.
本论文设计在张盈老师的悉心指导和严格要求下业已完成,从课题选择到具体的写作过程,论文初稿与定稿无不凝聚着张老师的心血和汗水.在我的毕业设计期间,张盈老师为我提供了种种专业知识上的指导和一些富于创造性的建议,张老师一丝不苟的作风,严谨求实的态度使我深受感动,没有这样的帮助和关怀和熏陶,我不会这么顺利的完成毕业设计.在此向张老师表示深深的感谢和崇高的敬意!
在临近毕业之际,我还要借此机会向在这四年中给予我诸多教诲和帮助的各位老师表示由衷的谢意,感谢他们四年来的辛勤栽培.不积跬步何以至千里,各位任课老师认真负责,在他们的悉心帮助和支持下,我能够很好的掌握和运用专业知识,并在设计中得以体现,顺利完成毕业论文.
同时,在论文写作过程中,我还参考了有关的书籍和论文,在这里一并向有关的作者表示谢意.
我还要感谢同组的各位同学以及我的各位室友,在毕业设计的这段时间里,你们给了我很多的启发,提出了很多宝贵的意见,对于你们帮助和支持,在此我表示深深地感谢!
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