中学数学杂志２００９年第６期
杠杆平衡原理在求几何线段比中的应用
江苏省泰州外国语学校
２２５３００
俞小敏
巧用初中物理中介绍的杠杆平衡原理：“动力Ｘ动力臂
＝阻力Ｘ阻力臂”可妙求几何线段的比值现举例说明如
下：
１
解课本题例１
如图１，已知ＡＤ是ＡＡＢＣ的
中线，Ｅ是ＡＤ的中点，Ｆ是ＢＥ的延长线与ＡＣ的交点．求ＡＦ：ＦＣ（义务教材初中几何第二册Ｐ．１９３—１８）．
证明
①观察以Ｄ为支点的系统
ＢＤＣ，由于ＤＢ＝ＤＣ，故曰，ｃ点各挂ａ牛
Ｂ
Ｄ
Ｃ
重物，Ｄ点受力２口牛，这时系统ＢＤＣ才图１
能达到平衡状态．
②观察以Ｅ为支点的系统ＤＥＡ，由于ＥＡ＝ＥＤ，故在
Ａ处挂２口牛重物，系统ＥＤＡ才能达到平衡，由于Ｄ点受力２口牛，因此Ｅ点受力４口牛．
③观察以Ｅ为支点的系统ＢＥＦ，由于曰点受力ａ牛，Ｅ
点受力４口牛，故Ｆ点受力为３口牛，这时系统ＢＥＦ才能达到平衡状态．
④观察以Ｆ为支点的系统ＡＦＣ，由于Ａ点受力为２口
牛，Ｃ点受力为ａ牛，，点受力为３口牛，正好，点受力为Ａ点和Ｃ点受力之和，因而系统ＡＦＣ处于平衡状态，所以有２ａ・ＡＦ＝ａ・ＦＣ，所以ＡＦ：ＦＣ＝１：２．
２
解中考题
例２（２００７年宜昌市中考题）已知：如图２，ＡＡＢＣ
中，ＡＥ：ＥＢ＝１：３，ＢＤ：ＤＣ＝２：１，ＡＤ与ＣＥ相交于Ｆ，
争
｝
位湖：
Ａ＆。
Ｃ
地２
：
解衅
．＝
珈ｊ嚣擦镏
冻∽
统Ｄ
一手硝站鄯哳
：’．ｆ
需在Ｃ点挂２口牛，这样系统ＢＤＣ就口△
Ｄ
ｃ
能达到平衡状态，此时点Ｄ受力就为
图２
３０牛．
②观察系统ＡＥＢ，由于ＡＥ：ＥＢ＝１：３，且Ｂ点受力ａ
牛，故Ａ点受力应为３口牛，这样要使系统ＡＥＢ达到平衡状态，那么支点Ｅ受力应为ａ＋３ａ＝４ａ牛．
③观察系统ＡＦＤ，因为Ａ点受力３０牛，Ｄ点受力３０
牛，故要使系统ＡＦＤ达到平衡状态，则支点Ｆ的受力应为３口＋３ａ＝６ａ牛．
④观察系统ＣＦＥ，由于ｃ点受力２口牛，Ｅ点受力４口
牛，所以２０＋４ａ＝６ａ牛，正好等于交点Ｆ受力，因而系统
万
方数据ｃ砸处于平衡状态．从而有嚣：篓三肋ＦＣ．・２３口ａ尸ｌ一而ＥＦ＝
圭，篙＝１，故应选ｃ．
３解竞赛题
例３（２００年河北省初中数学竞赛题）如图３，ＡＡＢＣ
中，ＡＤ是ＢＣ边上的中线，Ｆ是ＡＤ上的一点，且ＡＦ：ＦＤ＝
１：５，连结ｃＦ并延长交ＡＢ于点Ｅ，９ＩＩＪＡＥ：衄等于（
）．
４．１：６
Ｂ．１：８
Ｃ．】：９
Ｄ．１：１０
解①观察以Ｄ为支点的系统
ＢＤＣ，由于Ｄ为ＢＣ边的中点，故ＤＢ＝ＤＣ，所以Ｂ、Ｃ点各挂ａ牛重物，Ｄ点受力为２ｎ牛，这时系统ＢＤＣ才达到平衡状态．
②观察以Ｆ为支点的系统ＤＦＡ，由
ＢＤＣ
于ＡＦ：ＦＤ＝１：５，故由杠杆平衡原理知：２ａ・ＦＤ＝茹・ＡＦ，故并＝ｌＯａ牛，即Ａ图３
点受力为ｌＯａ牛，要使系统ＤＦＡ达到平衡，那么Ｆ点受力
为１２ａ牛．
③观察以Ｆ为支点的系统ＣＦＥ，由于ｃ点受力ａ牛，，
点受力１２ａ牛，因此，要使系统ＣＦＥ平衡，那么Ｅ点受力为ｌｌａ牛，此地Ｅ点受力正好是系统ＡＥＢ的Ａ点和口点受力之和，所以有：ＡＥ・ｌＯａ＝ＢＥ・ａ，所以ＡＥ：ＢＥ＝１：１０，故选Ｄ．
Ｄ
综上所述可见：应用杠杆平衡原理解上述几何线段比值问题，不仅富
有规律、数理融汇，而且不要作辅助ｌ
ｊ
＿
。ｌ
线，解题关键在于可将图形中的各个交点袖为力点，从而可利用两个同向平行力的法则“合力的大小等于两分
图４
力的和，合分力对于以合力作用点为支点的合力矩等于
零”，即如图４，Ｆ＝Ｆ。＋Ｒ，∑Ｍｏ＝ｏ，或Ｆ。・ＯＡ＝Ｒ・
ＯＢ来解．此法既具有几何图形的直观性，又具有数理结合的渗透性，因而有必要引起重视．参考文献［１］于志洪．应用杠杆平衡原理巧解几何比值竞赛题（数学教育：香港）［Ｊ］．２００３，（１７）．
［２］
田树岱．应用力学原理求线段比［Ｊ］．中小学数学（教师版）．北京：中国教育学会主办，２００５，（７—８）．
［３］
于志洪．应用力学原理巧求几何连比［Ｊ］．数学教学，
２００６，（８）．
４７
杠杆平衡原理在求几何线段比中的应用
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：
俞小敏
江苏省泰州外国语学校,225300中学数学杂志（初中版）
ZHONGXUE SHUXUE ZAZHI(CHUZHONG BAN)2009(3)
参考文献(3条)
1.于志洪 应用杠杆平衡原理巧解几何比值竞赛题 2003(17)2.田树岱 应用力学原理求线段比 2005(7-8)3.于志洪 应用力学原理巧求几何连比 2006(08)
本文读者也读过(10条)
1. 朱照锐 有趣的数字黑洞[期刊论文]-中学数学杂志（初中版）2009(3)
2. 王东 分式方程的增根与无解的区别与联系[期刊论文]-中学数学杂志（初中版）2009(3)3. 杜客君 一道数学竞赛试题的简证[期刊论文]-中学数学杂志（初中版）2009(3)
4. 杭秉全 课题学习与评价——从南京市2009年数学中考模拟试卷第27题谈起[期刊论文]-中学数学杂志（初中版）2009(4)
5. 唐祥德.聂东明.周炎林.李浏兰 从欧氏几何发展历史角度观察义务教育阶段几何新课程[期刊论文]-中学数学杂志（初中版）2009(3)
6. 张红.吴菊敏 善待错误[期刊论文]-中学数学杂志（初中版）2009(2)
7. 巴兆彬.董林 一道中考试题的多解及评析[期刊论文]-中学数学杂志（初中版）2009(4)
8. 徐卫东 在习题中生成,在生成中教学——例谈试题的演变与联想[期刊论文]-中学数学杂志（初中版）2009(3)9. 杨再发.田政华 巧借助"1"来解题[期刊论文]-中学数学杂志（初中版）2009(4)10. 刘运宜 再谈平面几何代数化背景探源[期刊论文]-中学数学杂志（初中版）2009(3)
本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_zxsxzz-czb200903017.aspx
中学数学杂志２００９年第６期
杠杆平衡原理在求几何线段比中的应用
江苏省泰州外国语学校
２２５３００
俞小敏
巧用初中物理中介绍的杠杆平衡原理：“动力Ｘ动力臂
＝阻力Ｘ阻力臂”可妙求几何线段的比值现举例说明如
下：
１
解课本题例１
如图１，已知ＡＤ是ＡＡＢＣ的
中线，Ｅ是ＡＤ的中点，Ｆ是ＢＥ的延长线与ＡＣ的交点．求ＡＦ：ＦＣ（义务教材初中几何第二册Ｐ．１９３—１８）．
证明
①观察以Ｄ为支点的系统
ＢＤＣ，由于ＤＢ＝ＤＣ，故曰，ｃ点各挂ａ牛
Ｂ
Ｄ
Ｃ
重物，Ｄ点受力２口牛，这时系统ＢＤＣ才图１
能达到平衡状态．
②观察以Ｅ为支点的系统ＤＥＡ，由于ＥＡ＝ＥＤ，故在
Ａ处挂２口牛重物，系统ＥＤＡ才能达到平衡，由于Ｄ点受力２口牛，因此Ｅ点受力４口牛．
③观察以Ｅ为支点的系统ＢＥＦ，由于曰点受力ａ牛，Ｅ
点受力４口牛，故Ｆ点受力为３口牛，这时系统ＢＥＦ才能达到平衡状态．
④观察以Ｆ为支点的系统ＡＦＣ，由于Ａ点受力为２口
牛，Ｃ点受力为ａ牛，，点受力为３口牛，正好，点受力为Ａ点和Ｃ点受力之和，因而系统ＡＦＣ处于平衡状态，所以有２ａ・ＡＦ＝ａ・ＦＣ，所以ＡＦ：ＦＣ＝１：２．
２
解中考题
例２（２００７年宜昌市中考题）已知：如图２，ＡＡＢＣ
中，ＡＥ：ＥＢ＝１：３，ＢＤ：ＤＣ＝２：１，ＡＤ与ＣＥ相交于Ｆ，
争
｝
位湖：
Ａ＆。
Ｃ
地２
：
解衅
．＝
珈ｊ嚣擦镏
冻∽
统Ｄ
一手硝站鄯哳
：’．ｆ
需在Ｃ点挂２口牛，这样系统ＢＤＣ就口△
Ｄ
ｃ
能达到平衡状态，此时点Ｄ受力就为
图２
３０牛．
②观察系统ＡＥＢ，由于ＡＥ：ＥＢ＝１：３，且Ｂ点受力ａ
牛，故Ａ点受力应为３口牛，这样要使系统ＡＥＢ达到平衡状态，那么支点Ｅ受力应为ａ＋３ａ＝４ａ牛．
③观察系统ＡＦＤ，因为Ａ点受力３０牛，Ｄ点受力３０
牛，故要使系统ＡＦＤ达到平衡状态，则支点Ｆ的受力应为３口＋３ａ＝６ａ牛．
④观察系统ＣＦＥ，由于ｃ点受力２口牛，Ｅ点受力４口
牛，所以２０＋４ａ＝６ａ牛，正好等于交点Ｆ受力，因而系统
万
方数据ｃ砸处于平衡状态．从而有嚣：篓三肋ＦＣ．・２３口ａ尸ｌ一而ＥＦ＝
圭，篙＝１，故应选ｃ．
３解竞赛题
例３（２００年河北省初中数学竞赛题）如图３，ＡＡＢＣ
中，ＡＤ是ＢＣ边上的中线，Ｆ是ＡＤ上的一点，且ＡＦ：ＦＤ＝
１：５，连结ｃＦ并延长交ＡＢ于点Ｅ，９ＩＩＪＡＥ：衄等于（
）．
４．１：６
Ｂ．１：８
Ｃ．】：９
Ｄ．１：１０
解①观察以Ｄ为支点的系统
ＢＤＣ，由于Ｄ为ＢＣ边的中点，故ＤＢ＝ＤＣ，所以Ｂ、Ｃ点各挂ａ牛重物，Ｄ点受力为２ｎ牛，这时系统ＢＤＣ才达到平衡状态．
②观察以Ｆ为支点的系统ＤＦＡ，由
ＢＤＣ
于ＡＦ：ＦＤ＝１：５，故由杠杆平衡原理知：２ａ・ＦＤ＝茹・ＡＦ，故并＝ｌＯａ牛，即Ａ图３
点受力为ｌＯａ牛，要使系统ＤＦＡ达到平衡，那么Ｆ点受力
为１２ａ牛．
③观察以Ｆ为支点的系统ＣＦＥ，由于ｃ点受力ａ牛，，
点受力１２ａ牛，因此，要使系统ＣＦＥ平衡，那么Ｅ点受力为ｌｌａ牛，此地Ｅ点受力正好是系统ＡＥＢ的Ａ点和口点受力之和，所以有：ＡＥ・ｌＯａ＝ＢＥ・ａ，所以ＡＥ：ＢＥ＝１：１０，故选Ｄ．
Ｄ
综上所述可见：应用杠杆平衡原理解上述几何线段比值问题，不仅富
有规律、数理融汇，而且不要作辅助ｌ
ｊ
＿
。ｌ
线，解题关键在于可将图形中的各个交点袖为力点，从而可利用两个同向平行力的法则“合力的大小等于两分
图４
力的和，合分力对于以合力作用点为支点的合力矩等于
零”，即如图４，Ｆ＝Ｆ。＋Ｒ，∑Ｍｏ＝ｏ，或Ｆ。・ＯＡ＝Ｒ・
ＯＢ来解．此法既具有几何图形的直观性，又具有数理结合的渗透性，因而有必要引起重视．参考文献［１］于志洪．应用杠杆平衡原理巧解几何比值竞赛题（数学教育：香港）［Ｊ］．２００３，（１７）．
［２］
田树岱．应用力学原理求线段比［Ｊ］．中小学数学（教师版）．北京：中国教育学会主办，２００５，（７—８）．
［３］
于志洪．应用力学原理巧求几何连比［Ｊ］．数学教学，
２００６，（８）．
４７
杠杆平衡原理在求几何线段比中的应用
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：
俞小敏
江苏省泰州外国语学校,225300中学数学杂志（初中版）
ZHONGXUE SHUXUE ZAZHI(CHUZHONG BAN)2009(3)
参考文献(3条)
1.于志洪 应用杠杆平衡原理巧解几何比值竞赛题 2003(17)2.田树岱 应用力学原理求线段比 2005(7-8)3.于志洪 应用力学原理巧求几何连比 2006(08)
本文读者也读过(10条)
1. 朱照锐 有趣的数字黑洞[期刊论文]-中学数学杂志（初中版）2009(3)
2. 王东 分式方程的增根与无解的区别与联系[期刊论文]-中学数学杂志（初中版）2009(3)3. 杜客君 一道数学竞赛试题的简证[期刊论文]-中学数学杂志（初中版）2009(3)
4. 杭秉全 课题学习与评价——从南京市2009年数学中考模拟试卷第27题谈起[期刊论文]-中学数学杂志（初中版）2009(4)
5. 唐祥德.聂东明.周炎林.李浏兰 从欧氏几何发展历史角度观察义务教育阶段几何新课程[期刊论文]-中学数学杂志（初中版）2009(3)
6. 张红.吴菊敏 善待错误[期刊论文]-中学数学杂志（初中版）2009(2)
7. 巴兆彬.董林 一道中考试题的多解及评析[期刊论文]-中学数学杂志（初中版）2009(4)
8. 徐卫东 在习题中生成,在生成中教学——例谈试题的演变与联想[期刊论文]-中学数学杂志（初中版）2009(3)9. 杨再发.田政华 巧借助"1"来解题[期刊论文]-中学数学杂志（初中版）2009(4)10. 刘运宜 再谈平面几何代数化背景探源[期刊论文]-中学数学杂志（初中版）2009(3)
本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_zxsxzz-czb200903017.aspx