微分中值定理及其应用

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第三讲 微分中值定理及其应用

基本信息

课时数 6课时

教学进度 知识精讲课程—高等数学第三章

教学目标

1.掌握微分学中值定理,领会其实质,为微分学的应用打好坚实的理论基础.

2.熟练掌握洛比塔法则,会正确应用它求某些不定式的极限.

3.掌握泰勒公式,并能应用它解决一些有关的问题.

4.使学生掌握运用导数研究函数在区间上整体性态的理论依据和方法,能根据函数的整体性态较为准确地描绘函数的图象.

5.会求函数的极值与最值.

6.弄清函数极值的概念,取得极值必要条件以及第一、第二充分条件；掌握求函数极值的一般方法和步骤；能灵活运用第一、第二充分条件判定函数的极值与最值；会利用函数的极值确定函数的最值.

7.掌握讨论函数的凹凸性和方法.

教学重点

中值定理和泰勒公式,利用导数研究函数单调性、极值与凸性,利用导数求极值的方法,利用导数研究函数的凸性.

教学难点

用辅助函数解决问题的方法,极值的判定,利用凸性证明相关命题.

教学过程

一、课程导入

上一讲我们介绍了导数、微分的概念及其简单的运算,这一讲来介绍一元微分学中另外一个重要的部分——微分中值定理及其应用.

有关中值定理的证明是历年出现频率较高的考点之一,而将中值定理与介值定理或积分中值定理结合起来命题又是最常见的命题形式.在这种题型中,有时候需要构造辅助函数,而构造辅助函数解决问题的方法一直以来都是大家复习的难点,因此在整个复习过程中,同学们应该注意总结.特别是一些比较好的方法和例子.由柯西中值定理推导得到的洛必达法,是求一些未定式极限的有力工具,大家要熟练掌握它的条件和结论.微分中值定理建立了导数值与函数值之间的联系,因此,我们就会想到去利用导数来讨论函数的单调性、极值点、凹凸性与拐点.微分学的另一个重要的应用就是求函数的最大值和最小值,我会给出同学们总结求函数最值的一般方法,希望同学掌握这些方法并会求简单的应用.下面我们先来学习中值定理的相关内容.

二、知识点详解

(一)微分中值定理

本部分考查目标级别：掌握微分学中值定理,领会其实质,为微分学的应用打好坚实的理论基础;熟练掌握洛比塔法则,会正确应用它求某些不定式的极限;掌握泰勒公式,并能应用它解决一些有关的问题.

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1.知识展开

(1)费马引理：若函数f(x)在x0的某邻域U(x0)内xU(x0),有f(x)f(x0)(f(x)f(x0))且f(x)在x0可导 f(x0)0.

注：若x0是一个极值点且f(x)在x0可导 f(x0)0(驻点).

(2)罗尔中值定理

若f(x)满足条件：

1)在闭区间[a,b]上连续；

2)在开区间(a,b)内可导；

3)f(a)f(b),

则在开区间(a,b)内至少存在一点,使得f()0.

注：①几何意义

在每一点都可导的连续曲线,如果曲线两端点高度相同,则至少存在一水平切线.

②定理中的三个条件都是很重要的,缺了其中任何一个,结论就可能不成立. 例如：函数f(x)x,x[0,1]不满足条件⑶,显然无水平切线； 函数f(x)x,x[1,1]不满足条件⑵,显然无水平切线；

函数f(x)x,0x1；不满足条件⑴,显然也无水平切线． 0,x1

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③考研中常利用来做中值等式的证明

导函数和高阶导函数零点的存在性的证明和个数的估计；一般的含有中值的等式证明.

(3)拉格朗日中值定理

若f(x)满足条件：1) 在闭区间[a,b]上连续；2) 在开区间(a,b)内可导,则在开区间(a,b)内至少存在一点,使得f(b)f(a)f'(),即ba

f(b)f(a)f'()(ba),或写成f(b)f(a)f'[a(ba)](ba) (01).

注：1)函数是常数的充要条件：f(x)Cf(x)0.

2)几何意义

可导曲线上存在一点,使其切线平行于端点的连线；Lagrang定理中涉及的

f(b)f(a)f'()为“中值公式”.这个定理也称为微分基本定理.公式：称之ba

中值公式有不同形式：

①fbfaf()ba,a,b；

②fbfaf(a(ba))(ba),01；

③fahfaf(ah)h,01.

此处,中值公式对ab均成立.此时在a,b之间；②、③的好处在于无论a,b如何变化,(0,1)易于控制.

3)利用罗尔定理证明拉格朗日中值定理

4)在考研中直接利用此定理主要是两方面

① 证明含有中值的等式.

② 不等式的证明.

③ 利用拉格朗日中值定理研究函数的性态(有界性).

到此处为第1课时

(4)柯西中值定理

若f(x),g(x)满足条件：

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1)在闭区间[a,b]上连续；2)在开区间(a,b)内可导,且g(x)0

则在开区间(a,b)内至少存在一点,使得

注：1)几何意义

f(b)f(a)f(). g(b)g(a)g()

Cauchy中值定理的几何意义：视为曲线的参数；ufx,vgx,xa,b,则以v为横坐标,u为纵坐标可得曲线上有一点,该处切线与曲线端点连线平行.

f(a)f(b)g(x)x2)三个定理关系如下：RolleLagrangCauchy.

3)判断下列证明方法是否正确,不正确错误在哪里？

由于f(x)与g(x)都在 [a,b]上满足拉格朗日中值定理,故(a,b)使得 f(b)f(a)f'()(ba),g(b)g(a)g'()(ba),将两式相除则结论得证.

4)在考研中直接利用此定理主要是两方面

① 证明含有中值的等式.

② 不等式的证明.

(5)洛必达法则

定理：设

1) 当xa(或x)时,f(x)及F(x)都趋于零；

2) 在点的某去心领域内,f(x)及F(x)都存在且F(x)0； f(x)f(x)f(x)lim3) lim存在(或为无穷大),那么 lim. xaF(x)xaF(x)xaF(x)

注：①利用洛必达法则求极限是要注意条件的验证,特别是limxaf(x)不存在且不F(x)

为无穷大时得不到limxaf(x)不存在. F(x)

②将xx0改为xx0,x0,,,时,上述结论都对. ③limf(x)f(x))不同,更不能认为是是分子,分母分别求导时极限和lim(xx0g(x)g(x)xx0

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(limxx0f(x)). g(x)

④ 未定型的分类及转化方法

07种未定型分为,,,0,1,00,0,其中后5种在求解过程中一般要0

0最终转化为型或型. 0

0A) 化型未定式为型或型的方法是： 0

通分法；提因子法；变量代换法.

0B) 化0,00,1型未定式为型或型的方法是：“换底法”或“用e抬起0

法”,即

limfxgxlimelnfxgx

limegxlnfxlnfxexplim. gx计算1型极限的最简单方法是使用第二个重要极限计算公式：

若limfx1,limgx,则

gxlimfxlim[1fx1]1fx1gxfx1limfx1gxe.

到此处为第2课时

(6)泰勒公式

若f(x)在x0及其附近有直到n1阶的导数,则

f(n)(x0)f(x)f(x0)f(x0)(xx0)(xx0)nRn(x), n!

f(n1)()其中Rn(x)(xx0)n1,在x与x0之间,这是带有拉格朗日余项的泰勒(n1)!

公式.

注：1) 若x00,上面的泰勒公式称为麦克劳林公式.

2)如果条件变弱,f(x)在x0及其附近有直到n阶的导数,这时我们可以得到带皮亚诺型余项的泰勒公式：

f(n)(x0)f(x)f(x0)f(x0)(xx0)(xx0)no((xx0)n). n!

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(lim

xx0

f(x)

). g(x)

④ 未定型的分类及转化方法

0

7种未定型分为,,,0,1,00,0,其中后5种在求解过程中一般要

0

0

最终转化为型或型.

0

0

A) 化型未定式为型或型的方法是：

0

通分法；提因子法；变量代换法.

0

B) 化0,00,1型未定式为型或型的方法是：“换底法”或“用e抬起

0

法”,即

limfx

gx

lime

lnfx

gx

lime

gxlnfx

lnfxexplim.

gx计算1型极限的最简单方法是使用第二个重要极限计算公式： 若limfx1,limgx,则

gx

limfxlim[1fx1]

1

fx1gxfx1

limfx1gx

e.

到此处为第2课时

(6)泰勒公式

若f(x)在x0及其附近有直到n1阶的导数,则

f(n)(x0)

f(x)f(x0)f(x0)(xx0)(xx0)nRn(x),

n!

f(n1)()

其中Rn(x)(xx0)n1,在x与x0之间,这是带有拉格朗日余项的泰勒

(n1)!公式.

注：1) 若x00,上面的泰勒公式称为麦克劳林公式.

2)如果条件变弱,f(x)在x0及其附近有直到n阶的导数,这时我们可以得到带皮亚诺型余项的泰勒公式：

f(n)(x0)

f(x)f(x0)f(x0)(xx0)(xx0)no((xx0)n).

n!

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3) 常用的麦克劳林公式

xkex

exn1,(01).

(n1)!k0k!

x

n

sinx(1)

k1n

n

k1

x2k1sinx2n1

(1)nx,(01).

(2k1)!(2n1)!

x2kcosx2n2

cosx(1)(1)n1x, (01).

(2k)!(2n2)!k0

k

(1)k1k(1)nn1

ln(1x)xx, (01). n1

k(n1)(1x)k1

n

(1x)1



k1

n

(1)(k1)

k!

xk

(1)(n)

(n1)!

(1x)n1xn1,(0,1).

4) 泰勒公式的主要应用：建立函数与高阶导数的关系.

2.记忆方法

结合几何意义讲解几个定理. 3.例题讲解

【例3.1】设f(x)存在二阶导数,下述结论正确的是 ( ) （A） 若f(x)只有两个零点,则f(x)必定只有一个零点 （B） 若f(x)至少有一个零点,则f(x)必至少有三个零点 （C） 若f(x)没有零点,则f(x)至多有一个零点 （D） 若f(x)没有零点,则f(x)至多有两个零点

(1)选题依据：根据题型举例,辅助理解. (2)讲解过程：

1)【解析】函数零点的个数与函数高阶导数零点的个数无关.只有函数在两个点处的函数值相同,则一阶导数至少存在一个零点.故答案选(D)

2)备注：可结合函数的图像来解答此题.

【例3.2】设函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,f(x)0,(0x1),

f(0)

0.证明：存在,(0,1)使得1,

f()f()

 f()f()

(1)选题依据：这个例子进一步的说明该题证明过程是利用中值定理的证明,

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说明题型.

(2)讲解过程：

【解析】若证

f()f()

,只需证f()f()f()f()0,又因为f()f()

1.

所以只需证f()f(1)f()f(1)0. 显然这是f(x)f(1x)

'x

0,

那么我们可以设辅助函数F(x)f(x)f(1x),因为F(1)F(0)0用一次罗尔中值定理,结论可证！

到此处为第3课时

【例3.3】设f(x)在有限区间(a,b) 上可导,下列命题正确的是 ( ) (A)若f(x)在(a,b)上有界,则f(x)在(a,b)上有界. (B)若f(x)在(a,b)上有界,则f(x)在(a,b)上有界. (C)若f(x)在(a,b)上有界,则f(x)在(a,b)上无界. (D)若f(x)在(a,b)上有界,则f(x)在(a,b)上无界.

(1)选题依据：通过例题说明拉格朗日中值定理在研究函数与导函数之间有界性上非常方便.

(2)讲解过程：

【解析】函数有界其导数不一定有界,而导数有界函数一定有界.故答案选

(B)

1. 【例3.4】求lim

x0(1cosx)ln(1x)

3sinxx2cos

(1)选题依据：验证洛必达法则求极限的条件 (2)讲解过程： 1)【解析】

111

3sinxx2cosxcos

limlim3sinxlim303. lim

x0(1cosx)ln(1x)x0x0x02x2x222

3sinxx2cos

2)备注：试用洛比达法则一定要验证条件,此题不能用洛必达法则来求.

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【例3.5】求极限I1

lim

x0

e



1x2

x

,I2lim

xxx,I3lim, I4lim

x0

n

, nan

(a1)

(1)选题依据：辅助理解基本概念. (2)讲解过程：

11

2exx【解析】I1limlim1limlim0, 11x0xx0x0x01222

ex3exex

x

1

I2lim

xlim

x1,

I3limxe

x0

x

x0

limxlnx

e

lnx

limx0x

e

x0

lim

1xxe

limxx0

1,

nx1limlim0. nanxaxxaxlna

1

【例3.6】lim(xx2ln(1)).

xx

(1)选题依据：利用倒代换和洛比达法则求解极限. (2)讲解过程： I4lim

1)【解析】lim

x0

xln(x1)

limx0x2

1

1

x1lim.

x02x22x1x

2)备注：熟练使用倒代换.使用洛比达法则时,是分子分母同时求导,要和对

商求导法则分开.

axcx

【例3.7】若a0,c0均为常数,则lim

2x0(1)选题依据：求解1型的未定式. (2)讲解过程：

1)【解析】

3sinx

_________.

axcxlim

2x0

3sinx

axcx3ln()xx

3ac2exp(lim)exp(lim)

sinxxx0x02

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3axlnacxlnc

exp(lim)e

1x02

3lna3lnc

2

2)备注：注意讲解求解方法.

xln(x1)

【例3.8】求 lim.

x0x2

(1)选题依据：泰勒展开式求解极限. (2)讲解过程：

x2

【解析】ln(x1)xox2

2

x2

xxox2xln(x1)1limlim. 22x0x0xx2

【例3.9】设 f(x)在xa处n阶可导,f(a)0,, f(n1)(a)0 f(n)(a)0,则f(x)~______(xa).

(1)选题依据:泰勒公式的应用.

(2)讲解过程：

【解析】将 f(x)在xa处泰勒展开至n阶,因为

1nn

faxa. n!

sin6xxf(x)

0,利用泰【例3.10】若函数f(x)具有三阶连续导数,且lim3x0x

6f(x)

勒公式求极限lim. 2x0x

(1)选题依据：将具体函数用佩亚诺余项泰勒公式展开化简原极限. (2)讲解过程：

f(a)0,, f(n1)(a)0 f(n)(a)0,,故f(x)~

【解析】将sin6x在x0处按佩亚诺余项泰勒公式展开至x3项:

(6x)3

sin6x6x(x3)6x36x3(x3),

3!

于是

sin6xxf(x)6xxf(x)36x3(x3)



x3x3

6f(x)(x3)

363,

x2x

从而

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6f(x)sin6xxf(x)(x3)limlim36lim3036036. 23x0x0x0xxx

(到此为第4课时)

(二)微分学的应用

本部分考查目标级别为：使学生掌握运用导数研究函数在区间上整体性态的理论依据和方法,能根据函数的整体性态较为准确地描绘函数的图象;会求函数的极值与最值;弄清函数极值的概念,取得极值必要条件以及第一、第二充分条件；掌握求函数极值的一般方法和步骤；能灵活运用第一、第二充分条件判定函数的极值与最值；会利用函数的极值确定函数的最值;掌握讨论函数的凹凸性和方法.

1.知识展开

(1)单调性的判断

定理：设函数yf(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导.

1) 如果在(a,b)内fx0,那么函数yf(x)在[a,b]上单调增加； 2) 如果在(a,b)内fx0,那么函数yf(x)在[a,b]上单调减少. 注1) 利用拉格朗日中值定理简证

证明：任取x1,x2(a,b)且x1x2,易验证f(x)在[x1,x2]上满足拉格朗日定理,应用此定理得(x1,x2),使得f(x2)f(x1)f()(x2x1),故当f(x)0(0)时,我们有

f(x2)f(x1)0(0),即f(x)().

2) 考查yx3的单调性和导函数的性质,由此能得到什么结论？

332任取x1,x2(,),由x2x1(x2x1)(x2x12x1x2)

(x2x1)((x2x1)2x1x2)0,

知yx3在(,)上是单增的,但yx3在x0的导数为0.这说明

f(x)0(

0) 只是f(x)()的充分条件,而非必要条件.

3)结论推广：f(x)(),xIa)f(x)0(0).

b)(,)I,在(,)上总有f(x)不恒为零.

4) 考研中的重要应用,等式与不等式的证明.

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(2)函数极值及求法

1)极值的定义：设函数fx在点x0的某邻域U(x0内有定义,如果对于去心）邻域U(x0）内的任一



x,有fxfx0(或fxfx0),那么就称fx0是函数

fx的一个极大值(或极小值).

2)取得极值的必要条件：x0是极值点函数f(x)在x0不可导或者

f(x0)0(驻点).

3)判定极值点的充分条件

第一充分条件：设函数fx在x0处连续,且在x0的某去心邻域U(x0,）内可导.

①若xx0,x0时,fx0,而xx0,x0时,fx0,则fx在x0

处取得极大值；

②若xx0,x0时,fx0,而xx0,x0时,fx0,则fx在x0

处取得极小值；

③若xUx0,时,fx的符号保持不变,则fx在x0处没有极值. 第二充分条件：若函数f(x)在x0点有fx00,fx00,则函数在x0处取得极值.

①当fx00时,fx0在x0处取得极大值； ②当fx00时,fx0在x0处取得极小值. (3)函数的最值

1)函数f(x)在闭区间[a,b]上确定最值的求解过程

①求出[a,b]内可能的极值点(驻点和不可导点),按顺序排列如下：





ax1x2xnb；

②求出上述n2个点的函数值,f(a),f(x1),,f(xn),f(b)； ③挑最值Mmax{f(a),f(xi),f(b)},mmin{f(a),f(xi),f(b)}.

1in

1in

2)常见的实际问题最值求解过程 ①建立实际问题的函数表达式f(x)；

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②求f(x)的驻点,往往是唯一的；

③根据实际情况判断驻点是极大点还是极小点最大值、最小值. 到此为第5课时

(4)曲线的凹凸性

1)定义：间I上的连续函数fx是凸(凹)对任意不同的两点x1,x2,恒有

xx1

f12fx1fx2222)凹凸性的判定

x1x21ffxfx12. 22

凹凸性判断的充分条件：设函数fx在a,b内具有二阶导数fx, 如果在a,b内的每一点x,恒有fx0,则曲线yfx在a,b内是凹的；

如果在a,b内的每一点x,恒有fx0,则曲线yfx在a,b内是凸的.

3)拐点的判定

①拐点的定义：设yfx在区间I上连续,x0是I的内点,如果曲线

yfx在经过点(x0,f(x0))时,曲线的凹凸性改变了,那么就称点(x0,f(x0))为该曲线的拐点.

②拐点存在的必要条件：点(x0,f(xo))是曲线yf(x)的拐点的必要条件是

f"(x0)0或f"(x0)不存在.

③拐点存在的第一充分条件：设函数f(x)在点x0的某邻域内连续且二阶可导(f'(x0)或f''(x0)可以不存在),在x0的左右两边f"(x)的符号相反,则点

(x0,f(xo))是曲线yf(x)的拐点.

④拐点存在的第二充分条件：设函数f(x)在点x0的某邻域内三阶可导,f"(x0)0,而f'''(x0)0,则点(x0,f(x0))是曲线yf(x)的拐点.

注：确定曲线yf(x)的凹凸区间与拐点的程序： 1)确定函数f(x)的连续区间；

2)计算二阶导数,求出f"(x)0的根及f"(x)不存在的连续点；

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3)用上述各点由小到大将定义域分成若干子区间,讨论每个子区间二阶导数的符号,以确定曲线的凹向并求出拐点.

(5)渐近线

1)渐近线的概念

当曲线上的动点沿着曲线无限远离原点时,若动点与某一定直线的距离趋于零,则称该直线为曲线的渐近线.

2)曲线yf(x)渐近线的分类与求法

①水平渐近线：若limf(x)b或limf(x)b,其中b为常数,则称yb为

x

x

yf(x)的水平渐近线.

f(x)与limf(x)中至少有一个是无穷大,则称xc为②铅垂渐近线：lim

xc

xc

yf(x)的铅垂渐近线.

③斜渐近线：lim

x

x

f(x)

k存在且不为零,又lim[f(x)kx]b也存在(或

xx

lim

f(x)

k存在且不为零,又lim[f(x)kx]b也存在),则称直线ykxb为

xx

yf(x)的斜渐近线.

(6)曲率(数一、数二)

1)弧微分

设yf(x)是平面内的光滑曲线,则弧微分dSy2dx. 若曲线方程为

xx(t),

,则弧微分为dS[x(t)]2[y(t)]2dt.

yy(t).

2)曲率

①设M和N是曲线上不同的两点,弧MN的长为S,当M点沿曲线到达N点时,M点处的切线所转过的角为,则称极限Klim处的曲率.

②曲率计算公式

若曲线方程为yf(x),则K

|y|

. 23/2

(1y)

s0



为该曲线在点MS

若曲线由参数方程③曲率半径：R

|xyyxt|xx(t)

给出,则Kt2t2t3/. 2

yy(t)(xy)tt

1. K

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④曲率圆：在M点的法线上,凹向这一边取一点D,使MDR,则称D为曲率中心,以D为圆心,R为半径的圆周称为曲率圆.

到此处为第6课时

2.记忆方法

结合几何意义研究函数的性态. 3.例题讲解

【例3.11】f(x)二阶可导,f()0,f()0,x是f(x)的极值点,

g(x)f(x)cosx,则 ( )

A. x是g(x)的极大值点 B.x是g(x)的极小值点 C.x不是g(x)的极大值点

D.不能确定x是否为g(x)的极大值点

(1)选题依据：利用导数研究函数的极值. (2)讲解过程：

1)【解析】由取得极值的必要条件f0,

gxfxcosxfxsinx,

g0,gxfxcosx2fxsinxfxcosx,gf0,由取得极值的第二充分条件,gx在x处取得极大值,所以选A. 2)备注：注意结合第一、第二充分条件讲解.

【例3.12】曲线y

1

ln(1ex)的渐近线的条数为( )

x(x1)

A 1. B 2. C 3. D 4.

(1)选题依据：辅助理解基本概念. (2)讲解过程：

1

【解析】limylimln(1ex),所以x0是一条铅直渐近线；

x0x0x(x1)1

limylimln(1ex),所以x1是一条铅直渐近线； x1x1x(x1)

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1limylimln(1ex)0,所以y0是沿x方向的一条水平xxx(x1)

渐近线；

ex

y1ln(1ex)ln(1ex)x1, lim洛lim又 limlim2xxxxx(x1)xxx1

1limyxlimln(1ex)xlimln(1ex)x xxx(x1)x

1ex

limln(x)=limln(ex1)0, xxe

所以yx也是一条渐近线,所以共有4条,故选(D).

【例3.13】若fx不变号,且曲线yfx在点1,1上的曲率圆为x2y22,则fx在区间1,2内 ( )

A有极值点,无零点. B无极值点,有零点.

C有极值点,有零点. D无极值点,无零点.

(1)选题依据：曲线和曲率圆有相同的切线,曲率圆能反映曲线的凹凸性.

(2)讲解过程：

【解析】由题意可知,f(x)是一个凸函数,即f''(x)0,且在点

(1,1)处的曲率|y''|

(1(y'))3

22,而f'(1)1,由此可得,f''(1)2 在[1,2]上,f'(x)f'(1)10,即f(x)单调减少,没有极值点.

对于f(2)f(1)f'()1(1,2), (拉格朗日中值定理)

f(2)0而 f(1)10.

由零点定理知,在[1,2]上,f(x)有零点. 故应选B.

三、典型例题

【例3.14】设函数f(x)在[a,b]上连续,f(a)f(b)0,且f(x)在(a,b)内可

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导,试证：对任意的实数,存在一点(a,b),使得

(1)选题依据：运用罗尔定理证明等式.

(2)讲解过程： f'(). f()

1)分析：先把结论变型,即有f()f(),这是某个函数的导数在(a,b)处的值为0的形式,由此确定辅助函数.

2)书写：

证明：对任意的实数,设F(x)exf(x),则函数F(x)在[a,b]上连续,F(a)F(b)0,且F(x)在(a,b)内可导.由罗尔中值定理,存在一点(a,b),使得F()0,即

F()ef()ef()0所以 f()f()

又因为x(a,b)时,f(x)0,所以f()0所以

3)备注:注意引导学生找到解题思路.

到此为第7课时

【例3.15】设0ab. 试证至少存在一点(a,b),使得 f'(). f()

alnbblna(ab2ba2)(1ln)/2.

(1)选题依据：运用拉格朗日定理证明等式.

(2)讲解过程：

lnblna1ln,由此推出辅助函数的形式为1)分析：先整理结论为ba2

f(x)lnx,再验证条件满足拉格朗日中值定理. x

2)书写： lnx1lnx证明：设f(x),f(x), xx2

因为0ab,所以f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,由拉格朗日中值定理,至

lnblna1ln, 少存在一点(a,b),使得ba2

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即 alnbblna(ab2ba2)(1ln)/2.

【例3.16】设常数bab,证明当x0时, 4

fx2x33abx26abxab20

(1)选题依据：导数研究函数的形态 .

(2)讲解过程：

1)分析：证明不等式,一般可以用单调性来证明..

2)书写： b证明：由ba知,ba0, 4

fx6x26abx6ab,令fx0,得xa,xb.

当x0,a时,fx0,所以函数单调递增,因此fxf00,

当xa,b时,fx0,所以函数单调递减,因此fxfb0,

当xb时,fx0,所以函数单调递增,因此fxfb0.

综上,函数fx2x33abx26abxab20.

x【例3.17】设常数k0,求函数f(x)lnxk在(0,)内零点个数. e

(1)选题依据：利用导数、单调性、极值或中值定理可以证明方程根的个数或函数的零点个数.

(2)讲解过程：

1)分析：判定函数f(x)零点的个数等价于判定函数yf(x)与x的交点个数.

x112)书写：对函数f(x)lnxk两边对x求导,得 f(x). exe

令f(x)0,解得唯一驻点xe,

,f(x)0,0xe;f(x)严格单调增加即  f(x)0,ex;f(x)严格单调减少,

e所以xe是极大值点,也是最大值点,最大值为f(e)lnekk0. e

xlimf(x)lim(lnxk)x0x0e又因为 , xlimf(x)lim(lnxk)xex

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由连续函数的介值定理知在(0,e)与(e,)各有且仅有一个零点(不相同). x故函数f(x)lnxk在(0,)内零点个数为2. e

fx【例3.18】已知fx在x0的某个邻域内连续,且f00,lim2,x01cosx

则在点x0处fx ( )

A不可导. B可导,且f00.

D取得极小值. C取得极大值.

(1)选题依据：根据极限的保号性及极值的定义直接判断极值点

(2)讲解过程：

1)分析：由选项知,此题在考察函数在0点出的可导性及是否取得极值.

2)书写：lim

fx0 1cosxfx20,由极限的保号性,在x0的某个邻域内,有1cosxx0

即f(x)0f(0),所以在点x0处取得极小值.故选D

【例3.19】设f(x)在(,)连续,除x0外f(x)二阶可导.其yf(x)的图形如图,则yf(x) ( )

(A) 有两个极大值点,一个极小值点,一个拐点.

(B) 有两个极大值点,一个极小值点,两个拐点.

(C) 有一个极大值点,一个极小值点,一个拐点.

(D) 有一个极大值点,一个极小值点,两个拐点.

(1)选题依据：根据导数的图像来判定函数的性质.

(2)讲解过程：

【解析】由图像及函数导数及函数的关系求得,x

【例3.20】证明：若函数fx在x0处连续,在，00内可导,且x0limfxA,则f0存在,且f0A.

(1)选题依据：利用中值定理.

(2)讲解过程：

【解析】任取x0(，0),则函数f(x)满足；

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在闭区间x0，存在0上连续,开区间x0，0内可导,从而有拉格朗日中值定理可得：xx0，0，0,使得f'x00f(x0)f(0)„„* x00

f'xA,对上式(*式)两边取x00时的极限可得： 又由于limx0

f'0limx00f(x0)f0limf'(x0)limf'(x0)A x00x00x00

故f'(0)存在,且f'(0)A

四、教学反馈

教学过程中的教学反馈可以通过以下3种情况进行：

在教学过程中授课老师要注意观察学生听课情况,如观察课堂气氛、学生表情、分析学生做练习题情况.遇到课堂气氛嘈杂,学生表情厌烦、学生坐不住或练习结果达不到教学目标时要及时调节授课内容和授课进度或授课方式,以便课程顺利继续进行.

在教学后可通过与学生沟通以直接提问方式、问卷调查方式了解学生听课效果及进一步需求,授课老师根据学生反馈及时调整后面的授课内容、授课进度和授课方法,以达到教学紧密结合的效果.

在某一阶段性课程结束后,建议授课老师对听课学员进行阶段性小测,教师可根

据阶段性测试成绩进一步总结学生在学习中对知识的掌握情况及学生在学习过程存在的问题,授课教师针对学生情况可调整下一阶段授课内容.

五、课程小结

本讲内容是微积分学的重要内容,同学们要理解中值定理的内容、证明过程及几何意义；要熟练掌握洛必达法则和泰勒公式；掌握函数导数研究函数性态的方法,会求函数的单调区间、凹凸区间、极最值及拐点.考数一和数二的同学还要会求函数的曲率等有关问题.

到此处为第8课时

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第三讲 微分中值定理及其应用

基本信息

课时数 6课时

教学进度 知识精讲课程—高等数学第三章

教学目标

1.掌握微分学中值定理,领会其实质,为微分学的应用打好坚实的理论基础.

2.熟练掌握洛比塔法则,会正确应用它求某些不定式的极限.

3.掌握泰勒公式,并能应用它解决一些有关的问题.

4.使学生掌握运用导数研究函数在区间上整体性态的理论依据和方法,能根据函数的整体性态较为准确地描绘函数的图象.

5.会求函数的极值与最值.

6.弄清函数极值的概念,取得极值必要条件以及第一、第二充分条件；掌握求函数极值的一般方法和步骤；能灵活运用第一、第二充分条件判定函数的极值与最值；会利用函数的极值确定函数的最值.

7.掌握讨论函数的凹凸性和方法.

教学重点

中值定理和泰勒公式,利用导数研究函数单调性、极值与凸性,利用导数求极值的方法,利用导数研究函数的凸性.

教学难点

用辅助函数解决问题的方法,极值的判定,利用凸性证明相关命题.

教学过程

一、课程导入

上一讲我们介绍了导数、微分的概念及其简单的运算,这一讲来介绍一元微分学中另外一个重要的部分——微分中值定理及其应用.

有关中值定理的证明是历年出现频率较高的考点之一,而将中值定理与介值定理或积分中值定理结合起来命题又是最常见的命题形式.在这种题型中,有时候需要构造辅助函数,而构造辅助函数解决问题的方法一直以来都是大家复习的难点,因此在整个复习过程中,同学们应该注意总结.特别是一些比较好的方法和例子.由柯西中值定理推导得到的洛必达法,是求一些未定式极限的有力工具,大家要熟练掌握它的条件和结论.微分中值定理建立了导数值与函数值之间的联系,因此,我们就会想到去利用导数来讨论函数的单调性、极值点、凹凸性与拐点.微分学的另一个重要的应用就是求函数的最大值和最小值,我会给出同学们总结求函数最值的一般方法,希望同学掌握这些方法并会求简单的应用.下面我们先来学习中值定理的相关内容.

二、知识点详解

(一)微分中值定理

本部分考查目标级别：掌握微分学中值定理,领会其实质,为微分学的应用打好坚实的理论基础;熟练掌握洛比塔法则,会正确应用它求某些不定式的极限;掌握泰勒公式,并能应用它解决一些有关的问题.

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1.知识展开

(1)费马引理：若函数f(x)在x0的某邻域U(x0)内xU(x0),有f(x)f(x0)(f(x)f(x0))且f(x)在x0可导 f(x0)0.

注：若x0是一个极值点且f(x)在x0可导 f(x0)0(驻点).

(2)罗尔中值定理

若f(x)满足条件：

1)在闭区间[a,b]上连续；

2)在开区间(a,b)内可导；

3)f(a)f(b),

则在开区间(a,b)内至少存在一点,使得f()0.

注：①几何意义

在每一点都可导的连续曲线,如果曲线两端点高度相同,则至少存在一水平切线.

②定理中的三个条件都是很重要的,缺了其中任何一个,结论就可能不成立. 例如：函数f(x)x,x[0,1]不满足条件⑶,显然无水平切线； 函数f(x)x,x[1,1]不满足条件⑵,显然无水平切线；

函数f(x)x,0x1；不满足条件⑴,显然也无水平切线． 0,x1

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③考研中常利用来做中值等式的证明

导函数和高阶导函数零点的存在性的证明和个数的估计；一般的含有中值的等式证明.

(3)拉格朗日中值定理

若f(x)满足条件：1) 在闭区间[a,b]上连续；2) 在开区间(a,b)内可导,则在开区间(a,b)内至少存在一点,使得f(b)f(a)f'(),即ba

f(b)f(a)f'()(ba),或写成f(b)f(a)f'[a(ba)](ba) (01).

注：1)函数是常数的充要条件：f(x)Cf(x)0.

2)几何意义

可导曲线上存在一点,使其切线平行于端点的连线；Lagrang定理中涉及的

f(b)f(a)f'()为“中值公式”.这个定理也称为微分基本定理.公式：称之ba

中值公式有不同形式：

①fbfaf()ba,a,b；

②fbfaf(a(ba))(ba),01；

③fahfaf(ah)h,01.

此处,中值公式对ab均成立.此时在a,b之间；②、③的好处在于无论a,b如何变化,(0,1)易于控制.

3)利用罗尔定理证明拉格朗日中值定理

4)在考研中直接利用此定理主要是两方面

① 证明含有中值的等式.

② 不等式的证明.

③ 利用拉格朗日中值定理研究函数的性态(有界性).

到此处为第1课时

(4)柯西中值定理

若f(x),g(x)满足条件：

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1)在闭区间[a,b]上连续；2)在开区间(a,b)内可导,且g(x)0

则在开区间(a,b)内至少存在一点,使得

注：1)几何意义

f(b)f(a)f(). g(b)g(a)g()

Cauchy中值定理的几何意义：视为曲线的参数；ufx,vgx,xa,b,则以v为横坐标,u为纵坐标可得曲线上有一点,该处切线与曲线端点连线平行.

f(a)f(b)g(x)x2)三个定理关系如下：RolleLagrangCauchy.

3)判断下列证明方法是否正确,不正确错误在哪里？

由于f(x)与g(x)都在 [a,b]上满足拉格朗日中值定理,故(a,b)使得 f(b)f(a)f'()(ba),g(b)g(a)g'()(ba),将两式相除则结论得证.

4)在考研中直接利用此定理主要是两方面

① 证明含有中值的等式.

② 不等式的证明.

(5)洛必达法则

定理：设

1) 当xa(或x)时,f(x)及F(x)都趋于零；

2) 在点的某去心领域内,f(x)及F(x)都存在且F(x)0； f(x)f(x)f(x)lim3) lim存在(或为无穷大),那么 lim. xaF(x)xaF(x)xaF(x)

注：①利用洛必达法则求极限是要注意条件的验证,特别是limxaf(x)不存在且不F(x)

为无穷大时得不到limxaf(x)不存在. F(x)

②将xx0改为xx0,x0,,,时,上述结论都对. ③limf(x)f(x))不同,更不能认为是是分子,分母分别求导时极限和lim(xx0g(x)g(x)xx0

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(limxx0f(x)). g(x)

④ 未定型的分类及转化方法

07种未定型分为,,,0,1,00,0,其中后5种在求解过程中一般要0

0最终转化为型或型. 0

0A) 化型未定式为型或型的方法是： 0

通分法；提因子法；变量代换法.

0B) 化0,00,1型未定式为型或型的方法是：“换底法”或“用e抬起0

法”,即

limfxgxlimelnfxgx

limegxlnfxlnfxexplim. gx计算1型极限的最简单方法是使用第二个重要极限计算公式：

若limfx1,limgx,则

gxlimfxlim[1fx1]1fx1gxfx1limfx1gxe.

到此处为第2课时

(6)泰勒公式

若f(x)在x0及其附近有直到n1阶的导数,则

f(n)(x0)f(x)f(x0)f(x0)(xx0)(xx0)nRn(x), n!

f(n1)()其中Rn(x)(xx0)n1,在x与x0之间,这是带有拉格朗日余项的泰勒(n1)!

公式.

注：1) 若x00,上面的泰勒公式称为麦克劳林公式.

2)如果条件变弱,f(x)在x0及其附近有直到n阶的导数,这时我们可以得到带皮亚诺型余项的泰勒公式：

f(n)(x0)f(x)f(x0)f(x0)(xx0)(xx0)no((xx0)n). n!

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(lim

xx0

f(x)

). g(x)

④ 未定型的分类及转化方法

0

7种未定型分为,,,0,1,00,0,其中后5种在求解过程中一般要

0

0

最终转化为型或型.

0

0

A) 化型未定式为型或型的方法是：

0

通分法；提因子法；变量代换法.

0

B) 化0,00,1型未定式为型或型的方法是：“换底法”或“用e抬起

0

法”,即

limfx

gx

lime

lnfx

gx

lime

gxlnfx

lnfxexplim.

gx计算1型极限的最简单方法是使用第二个重要极限计算公式： 若limfx1,limgx,则

gx

limfxlim[1fx1]

1

fx1gxfx1

limfx1gx

e.

到此处为第2课时

(6)泰勒公式

若f(x)在x0及其附近有直到n1阶的导数,则

f(n)(x0)

f(x)f(x0)f(x0)(xx0)(xx0)nRn(x),

n!

f(n1)()

其中Rn(x)(xx0)n1,在x与x0之间,这是带有拉格朗日余项的泰勒

(n1)!公式.

注：1) 若x00,上面的泰勒公式称为麦克劳林公式.

2)如果条件变弱,f(x)在x0及其附近有直到n阶的导数,这时我们可以得到带皮亚诺型余项的泰勒公式：

f(n)(x0)

f(x)f(x0)f(x0)(xx0)(xx0)no((xx0)n).

n!

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3) 常用的麦克劳林公式

xkex

exn1,(01).

(n1)!k0k!

x

n

sinx(1)

k1n

n

k1

x2k1sinx2n1

(1)nx,(01).

(2k1)!(2n1)!

x2kcosx2n2

cosx(1)(1)n1x, (01).

(2k)!(2n2)!k0

k

(1)k1k(1)nn1

ln(1x)xx, (01). n1

k(n1)(1x)k1

n

(1x)1



k1

n

(1)(k1)

k!

xk

(1)(n)

(n1)!

(1x)n1xn1,(0,1).

4) 泰勒公式的主要应用：建立函数与高阶导数的关系.

2.记忆方法

结合几何意义讲解几个定理. 3.例题讲解

【例3.1】设f(x)存在二阶导数,下述结论正确的是 ( ) （A） 若f(x)只有两个零点,则f(x)必定只有一个零点 （B） 若f(x)至少有一个零点,则f(x)必至少有三个零点 （C） 若f(x)没有零点,则f(x)至多有一个零点 （D） 若f(x)没有零点,则f(x)至多有两个零点

(1)选题依据：根据题型举例,辅助理解. (2)讲解过程：

1)【解析】函数零点的个数与函数高阶导数零点的个数无关.只有函数在两个点处的函数值相同,则一阶导数至少存在一个零点.故答案选(D)

2)备注：可结合函数的图像来解答此题.

【例3.2】设函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,f(x)0,(0x1),

f(0)

0.证明：存在,(0,1)使得1,

f()f()

 f()f()

(1)选题依据：这个例子进一步的说明该题证明过程是利用中值定理的证明,

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说明题型.

(2)讲解过程：

【解析】若证

f()f()

,只需证f()f()f()f()0,又因为f()f()

1.

所以只需证f()f(1)f()f(1)0. 显然这是f(x)f(1x)

'x

0,

那么我们可以设辅助函数F(x)f(x)f(1x),因为F(1)F(0)0用一次罗尔中值定理,结论可证！

到此处为第3课时

【例3.3】设f(x)在有限区间(a,b) 上可导,下列命题正确的是 ( ) (A)若f(x)在(a,b)上有界,则f(x)在(a,b)上有界. (B)若f(x)在(a,b)上有界,则f(x)在(a,b)上有界. (C)若f(x)在(a,b)上有界,则f(x)在(a,b)上无界. (D)若f(x)在(a,b)上有界,则f(x)在(a,b)上无界.

(1)选题依据：通过例题说明拉格朗日中值定理在研究函数与导函数之间有界性上非常方便.

(2)讲解过程：

【解析】函数有界其导数不一定有界,而导数有界函数一定有界.故答案选

(B)

1. 【例3.4】求lim

x0(1cosx)ln(1x)

3sinxx2cos

(1)选题依据：验证洛必达法则求极限的条件 (2)讲解过程： 1)【解析】

111

3sinxx2cosxcos

limlim3sinxlim303. lim

x0(1cosx)ln(1x)x0x0x02x2x222

3sinxx2cos

2)备注：试用洛比达法则一定要验证条件,此题不能用洛必达法则来求.

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【例3.5】求极限I1

lim

x0

e



1x2

x

,I2lim

xxx,I3lim, I4lim

x0

n

, nan

(a1)

(1)选题依据：辅助理解基本概念. (2)讲解过程：

11

2exx【解析】I1limlim1limlim0, 11x0xx0x0x01222

ex3exex

x

1

I2lim

xlim

x1,

I3limxe

x0

x

x0

limxlnx

e

lnx

limx0x

e

x0

lim

1xxe

limxx0

1,

nx1limlim0. nanxaxxaxlna

1

【例3.6】lim(xx2ln(1)).

xx

(1)选题依据：利用倒代换和洛比达法则求解极限. (2)讲解过程： I4lim

1)【解析】lim

x0

xln(x1)

limx0x2

1

1

x1lim.

x02x22x1x

2)备注：熟练使用倒代换.使用洛比达法则时,是分子分母同时求导,要和对

商求导法则分开.

axcx

【例3.7】若a0,c0均为常数,则lim

2x0(1)选题依据：求解1型的未定式. (2)讲解过程：

1)【解析】

3sinx

_________.

axcxlim

2x0

3sinx

axcx3ln()xx

3ac2exp(lim)exp(lim)

sinxxx0x02

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3axlnacxlnc

exp(lim)e

1x02

3lna3lnc

2

2)备注：注意讲解求解方法.

xln(x1)

【例3.8】求 lim.

x0x2

(1)选题依据：泰勒展开式求解极限. (2)讲解过程：

x2

【解析】ln(x1)xox2

2

x2

xxox2xln(x1)1limlim. 22x0x0xx2

【例3.9】设 f(x)在xa处n阶可导,f(a)0,, f(n1)(a)0 f(n)(a)0,则f(x)~______(xa).

(1)选题依据:泰勒公式的应用.

(2)讲解过程：

【解析】将 f(x)在xa处泰勒展开至n阶,因为

1nn

faxa. n!

sin6xxf(x)

0,利用泰【例3.10】若函数f(x)具有三阶连续导数,且lim3x0x

6f(x)

勒公式求极限lim. 2x0x

(1)选题依据：将具体函数用佩亚诺余项泰勒公式展开化简原极限. (2)讲解过程：

f(a)0,, f(n1)(a)0 f(n)(a)0,,故f(x)~

【解析】将sin6x在x0处按佩亚诺余项泰勒公式展开至x3项:

(6x)3

sin6x6x(x3)6x36x3(x3),

3!

于是

sin6xxf(x)6xxf(x)36x3(x3)



x3x3

6f(x)(x3)

363,

x2x

从而

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6f(x)sin6xxf(x)(x3)limlim36lim3036036. 23x0x0x0xxx

(到此为第4课时)

(二)微分学的应用

本部分考查目标级别为：使学生掌握运用导数研究函数在区间上整体性态的理论依据和方法,能根据函数的整体性态较为准确地描绘函数的图象;会求函数的极值与最值;弄清函数极值的概念,取得极值必要条件以及第一、第二充分条件；掌握求函数极值的一般方法和步骤；能灵活运用第一、第二充分条件判定函数的极值与最值；会利用函数的极值确定函数的最值;掌握讨论函数的凹凸性和方法.

1.知识展开

(1)单调性的判断

定理：设函数yf(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导.

1) 如果在(a,b)内fx0,那么函数yf(x)在[a,b]上单调增加； 2) 如果在(a,b)内fx0,那么函数yf(x)在[a,b]上单调减少. 注1) 利用拉格朗日中值定理简证

证明：任取x1,x2(a,b)且x1x2,易验证f(x)在[x1,x2]上满足拉格朗日定理,应用此定理得(x1,x2),使得f(x2)f(x1)f()(x2x1),故当f(x)0(0)时,我们有

f(x2)f(x1)0(0),即f(x)().

2) 考查yx3的单调性和导函数的性质,由此能得到什么结论？

332任取x1,x2(,),由x2x1(x2x1)(x2x12x1x2)

(x2x1)((x2x1)2x1x2)0,

知yx3在(,)上是单增的,但yx3在x0的导数为0.这说明

f(x)0(

0) 只是f(x)()的充分条件,而非必要条件.

3)结论推广：f(x)(),xIa)f(x)0(0).

b)(,)I,在(,)上总有f(x)不恒为零.

4) 考研中的重要应用,等式与不等式的证明.

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(2)函数极值及求法

1)极值的定义：设函数fx在点x0的某邻域U(x0内有定义,如果对于去心）邻域U(x0）内的任一



x,有fxfx0(或fxfx0),那么就称fx0是函数

fx的一个极大值(或极小值).

2)取得极值的必要条件：x0是极值点函数f(x)在x0不可导或者

f(x0)0(驻点).

3)判定极值点的充分条件

第一充分条件：设函数fx在x0处连续,且在x0的某去心邻域U(x0,）内可导.

①若xx0,x0时,fx0,而xx0,x0时,fx0,则fx在x0

处取得极大值；

②若xx0,x0时,fx0,而xx0,x0时,fx0,则fx在x0

处取得极小值；

③若xUx0,时,fx的符号保持不变,则fx在x0处没有极值. 第二充分条件：若函数f(x)在x0点有fx00,fx00,则函数在x0处取得极值.

①当fx00时,fx0在x0处取得极大值； ②当fx00时,fx0在x0处取得极小值. (3)函数的最值

1)函数f(x)在闭区间[a,b]上确定最值的求解过程

①求出[a,b]内可能的极值点(驻点和不可导点),按顺序排列如下：





ax1x2xnb；

②求出上述n2个点的函数值,f(a),f(x1),,f(xn),f(b)； ③挑最值Mmax{f(a),f(xi),f(b)},mmin{f(a),f(xi),f(b)}.

1in

1in

2)常见的实际问题最值求解过程 ①建立实际问题的函数表达式f(x)；

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②求f(x)的驻点,往往是唯一的；

③根据实际情况判断驻点是极大点还是极小点最大值、最小值. 到此为第5课时

(4)曲线的凹凸性

1)定义：间I上的连续函数fx是凸(凹)对任意不同的两点x1,x2,恒有

xx1

f12fx1fx2222)凹凸性的判定

x1x21ffxfx12. 22

凹凸性判断的充分条件：设函数fx在a,b内具有二阶导数fx, 如果在a,b内的每一点x,恒有fx0,则曲线yfx在a,b内是凹的；

如果在a,b内的每一点x,恒有fx0,则曲线yfx在a,b内是凸的.

3)拐点的判定

①拐点的定义：设yfx在区间I上连续,x0是I的内点,如果曲线

yfx在经过点(x0,f(x0))时,曲线的凹凸性改变了,那么就称点(x0,f(x0))为该曲线的拐点.

②拐点存在的必要条件：点(x0,f(xo))是曲线yf(x)的拐点的必要条件是

f"(x0)0或f"(x0)不存在.

③拐点存在的第一充分条件：设函数f(x)在点x0的某邻域内连续且二阶可导(f'(x0)或f''(x0)可以不存在),在x0的左右两边f"(x)的符号相反,则点

(x0,f(xo))是曲线yf(x)的拐点.

④拐点存在的第二充分条件：设函数f(x)在点x0的某邻域内三阶可导,f"(x0)0,而f'''(x0)0,则点(x0,f(x0))是曲线yf(x)的拐点.

注：确定曲线yf(x)的凹凸区间与拐点的程序： 1)确定函数f(x)的连续区间；

2)计算二阶导数,求出f"(x)0的根及f"(x)不存在的连续点；

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3)用上述各点由小到大将定义域分成若干子区间,讨论每个子区间二阶导数的符号,以确定曲线的凹向并求出拐点.

(5)渐近线

1)渐近线的概念

当曲线上的动点沿着曲线无限远离原点时,若动点与某一定直线的距离趋于零,则称该直线为曲线的渐近线.

2)曲线yf(x)渐近线的分类与求法

①水平渐近线：若limf(x)b或limf(x)b,其中b为常数,则称yb为

x

x

yf(x)的水平渐近线.

f(x)与limf(x)中至少有一个是无穷大,则称xc为②铅垂渐近线：lim

xc

xc

yf(x)的铅垂渐近线.

③斜渐近线：lim

x

x

f(x)

k存在且不为零,又lim[f(x)kx]b也存在(或

xx

lim

f(x)

k存在且不为零,又lim[f(x)kx]b也存在),则称直线ykxb为

xx

yf(x)的斜渐近线.

(6)曲率(数一、数二)

1)弧微分

设yf(x)是平面内的光滑曲线,则弧微分dSy2dx. 若曲线方程为

xx(t),

,则弧微分为dS[x(t)]2[y(t)]2dt.

yy(t).

2)曲率

①设M和N是曲线上不同的两点,弧MN的长为S,当M点沿曲线到达N点时,M点处的切线所转过的角为,则称极限Klim处的曲率.

②曲率计算公式

若曲线方程为yf(x),则K

|y|

. 23/2

(1y)

s0



为该曲线在点MS

若曲线由参数方程③曲率半径：R

|xyyxt|xx(t)

给出,则Kt2t2t3/. 2

yy(t)(xy)tt

1. K

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④曲率圆：在M点的法线上,凹向这一边取一点D,使MDR,则称D为曲率中心,以D为圆心,R为半径的圆周称为曲率圆.

到此处为第6课时

2.记忆方法

结合几何意义研究函数的性态. 3.例题讲解

【例3.11】f(x)二阶可导,f()0,f()0,x是f(x)的极值点,

g(x)f(x)cosx,则 ( )

A. x是g(x)的极大值点 B.x是g(x)的极小值点 C.x不是g(x)的极大值点

D.不能确定x是否为g(x)的极大值点

(1)选题依据：利用导数研究函数的极值. (2)讲解过程：

1)【解析】由取得极值的必要条件f0,

gxfxcosxfxsinx,

g0,gxfxcosx2fxsinxfxcosx,gf0,由取得极值的第二充分条件,gx在x处取得极大值,所以选A. 2)备注：注意结合第一、第二充分条件讲解.

【例3.12】曲线y

1

ln(1ex)的渐近线的条数为( )

x(x1)

A 1. B 2. C 3. D 4.

(1)选题依据：辅助理解基本概念. (2)讲解过程：

1

【解析】limylimln(1ex),所以x0是一条铅直渐近线；

x0x0x(x1)1

limylimln(1ex),所以x1是一条铅直渐近线； x1x1x(x1)

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1limylimln(1ex)0,所以y0是沿x方向的一条水平xxx(x1)

渐近线；

ex

y1ln(1ex)ln(1ex)x1, lim洛lim又 limlim2xxxxx(x1)xxx1

1limyxlimln(1ex)xlimln(1ex)x xxx(x1)x

1ex

limln(x)=limln(ex1)0, xxe

所以yx也是一条渐近线,所以共有4条,故选(D).

【例3.13】若fx不变号,且曲线yfx在点1,1上的曲率圆为x2y22,则fx在区间1,2内 ( )

A有极值点,无零点. B无极值点,有零点.

C有极值点,有零点. D无极值点,无零点.

(1)选题依据：曲线和曲率圆有相同的切线,曲率圆能反映曲线的凹凸性.

(2)讲解过程：

【解析】由题意可知,f(x)是一个凸函数,即f''(x)0,且在点

(1,1)处的曲率|y''|

(1(y'))3

22,而f'(1)1,由此可得,f''(1)2 在[1,2]上,f'(x)f'(1)10,即f(x)单调减少,没有极值点.

对于f(2)f(1)f'()1(1,2), (拉格朗日中值定理)

f(2)0而 f(1)10.

由零点定理知,在[1,2]上,f(x)有零点. 故应选B.

三、典型例题

【例3.14】设函数f(x)在[a,b]上连续,f(a)f(b)0,且f(x)在(a,b)内可

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导,试证：对任意的实数,存在一点(a,b),使得

(1)选题依据：运用罗尔定理证明等式.

(2)讲解过程： f'(). f()

1)分析：先把结论变型,即有f()f(),这是某个函数的导数在(a,b)处的值为0的形式,由此确定辅助函数.

2)书写：

证明：对任意的实数,设F(x)exf(x),则函数F(x)在[a,b]上连续,F(a)F(b)0,且F(x)在(a,b)内可导.由罗尔中值定理,存在一点(a,b),使得F()0,即

F()ef()ef()0所以 f()f()

又因为x(a,b)时,f(x)0,所以f()0所以

3)备注:注意引导学生找到解题思路.

到此为第7课时

【例3.15】设0ab. 试证至少存在一点(a,b),使得 f'(). f()

alnbblna(ab2ba2)(1ln)/2.

(1)选题依据：运用拉格朗日定理证明等式.

(2)讲解过程：

lnblna1ln,由此推出辅助函数的形式为1)分析：先整理结论为ba2

f(x)lnx,再验证条件满足拉格朗日中值定理. x

2)书写： lnx1lnx证明：设f(x),f(x), xx2

因为0ab,所以f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,由拉格朗日中值定理,至

lnblna1ln, 少存在一点(a,b),使得ba2

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即 alnbblna(ab2ba2)(1ln)/2.

【例3.16】设常数bab,证明当x0时, 4

fx2x33abx26abxab20

(1)选题依据：导数研究函数的形态 .

(2)讲解过程：

1)分析：证明不等式,一般可以用单调性来证明..

2)书写： b证明：由ba知,ba0, 4

fx6x26abx6ab,令fx0,得xa,xb.

当x0,a时,fx0,所以函数单调递增,因此fxf00,

当xa,b时,fx0,所以函数单调递减,因此fxfb0,

当xb时,fx0,所以函数单调递增,因此fxfb0.

综上,函数fx2x33abx26abxab20.

x【例3.17】设常数k0,求函数f(x)lnxk在(0,)内零点个数. e

(1)选题依据：利用导数、单调性、极值或中值定理可以证明方程根的个数或函数的零点个数.

(2)讲解过程：

1)分析：判定函数f(x)零点的个数等价于判定函数yf(x)与x的交点个数.

x112)书写：对函数f(x)lnxk两边对x求导,得 f(x). exe

令f(x)0,解得唯一驻点xe,

,f(x)0,0xe;f(x)严格单调增加即  f(x)0,ex;f(x)严格单调减少,

e所以xe是极大值点,也是最大值点,最大值为f(e)lnekk0. e

xlimf(x)lim(lnxk)x0x0e又因为 , xlimf(x)lim(lnxk)xex

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由连续函数的介值定理知在(0,e)与(e,)各有且仅有一个零点(不相同). x故函数f(x)lnxk在(0,)内零点个数为2. e

fx【例3.18】已知fx在x0的某个邻域内连续,且f00,lim2,x01cosx

则在点x0处fx ( )

A不可导. B可导,且f00.

D取得极小值. C取得极大值.

(1)选题依据：根据极限的保号性及极值的定义直接判断极值点

(2)讲解过程：

1)分析：由选项知,此题在考察函数在0点出的可导性及是否取得极值.

2)书写：lim

fx0 1cosxfx20,由极限的保号性,在x0的某个邻域内,有1cosxx0

即f(x)0f(0),所以在点x0处取得极小值.故选D

【例3.19】设f(x)在(,)连续,除x0外f(x)二阶可导.其yf(x)的图形如图,则yf(x) ( )

(A) 有两个极大值点,一个极小值点,一个拐点.

(B) 有两个极大值点,一个极小值点,两个拐点.

(C) 有一个极大值点,一个极小值点,一个拐点.

(D) 有一个极大值点,一个极小值点,两个拐点.

(1)选题依据：根据导数的图像来判定函数的性质.

(2)讲解过程：

【解析】由图像及函数导数及函数的关系求得,x

【例3.20】证明：若函数fx在x0处连续,在，00内可导,且x0limfxA,则f0存在,且f0A.

(1)选题依据：利用中值定理.

(2)讲解过程：

【解析】任取x0(，0),则函数f(x)满足；

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在闭区间x0，存在0上连续,开区间x0，0内可导,从而有拉格朗日中值定理可得：xx0，0，0,使得f'x00f(x0)f(0)„„* x00

f'xA,对上式(*式)两边取x00时的极限可得： 又由于limx0

f'0limx00f(x0)f0limf'(x0)limf'(x0)A x00x00x00

故f'(0)存在,且f'(0)A

四、教学反馈

教学过程中的教学反馈可以通过以下3种情况进行：

在教学过程中授课老师要注意观察学生听课情况,如观察课堂气氛、学生表情、分析学生做练习题情况.遇到课堂气氛嘈杂,学生表情厌烦、学生坐不住或练习结果达不到教学目标时要及时调节授课内容和授课进度或授课方式,以便课程顺利继续进行.

在教学后可通过与学生沟通以直接提问方式、问卷调查方式了解学生听课效果及进一步需求,授课老师根据学生反馈及时调整后面的授课内容、授课进度和授课方法,以达到教学紧密结合的效果.

在某一阶段性课程结束后,建议授课老师对听课学员进行阶段性小测,教师可根

据阶段性测试成绩进一步总结学生在学习中对知识的掌握情况及学生在学习过程存在的问题,授课教师针对学生情况可调整下一阶段授课内容.

五、课程小结

本讲内容是微积分学的重要内容,同学们要理解中值定理的内容、证明过程及几何意义；要熟练掌握洛必达法则和泰勒公式；掌握函数导数研究函数性态的方法,会求函数的单调区间、凹凸区间、极最值及拐点.考数一和数二的同学还要会求函数的曲率等有关问题.

到此处为第8课时