一元三次.四次方程的解法及历史

一元三次、四次方程的解法及历史 湖北省天门中学 薛德斌

能否用根式求解的方法，表达出多项式的根，即一个一般多项式的根能否由其系数经过有限次加、减、乘、除、乘方和开方运算得到，曾经是文艺复兴后欧洲数学主要课题。

16世纪以前，人们对一般的一元二次方程已经有了公式解法，但对于一般的一元三次方程，数学家们却束手无策，甚至在1494年，巴乔利(Paciolil)还假定了一般的一元三次方程不可解。

16世纪的欧洲数学家们都致力于寻求一般的一元三次方程的求根公式。终于在1545年意大利数学家卡尔丹诺（Girolamo Cardano，1501-1576）在自己的学术著作《大法》（Ars Magna）中公布了一元三次方程的求根公式。根据历史记载，他是从冯塔纳（Niccolo Fontana，1499-1557）手中获得一元三次方程的求根公式，并将它公诸于世的。冯塔纳是意大利最有成就的学者之一，由于他患有口吃症，所以当时的人们昵称他为“塔尔塔里亚”（Tartaglia）， 也就是意大利语中“结巴”的意思，后来的很多数学书中，都直接用“塔尔塔里亚” 来称呼冯塔纳。

1、一元三次方程的一般形式：Ax3Bx2CxD0(A0) ，„„① 两边同除式A得：x3bx2cxd0， 令xtb，得 t3ptq0„„②， 3

注意到恒等式(mn)33mn(mn)(m3n3)0，

m3n3q令„„③，若此方程有解，则tmn是方程②的解。 3mnp

qq2p3

解③得m、n=， 242733

qq2p3

qq2p3故t是方程②的一个解。 24272427 通过因式分解可求方程②的另两根，通过转换可解方程①。

a 附：方程x3ax2bxc的一个解为xpq，其中 3

12a3ab3pc22732a3ab4(3ba2)3273c7292， 

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12a3ab3qc22732a3ab4(3ba2)3273c7292. 

2、费拉里发现的一元四次方程的解法和三次方程中的做法一样，先用一个坐标平移来消去四次方程一般形式中的三次项.

所以只要考虑下面形式的一元四次方程：x4px2qxr， 关键在于要利用参数把等式的两边配成完全平方形式。

考虑一个参数a，我们有(x2a)2(p2a)x2qxra2，

等式右边是完全平方式当且仅当它的判别式为0，即q24(p2a)(ra2)， 这是一个关于a的三次方程，利用上面一元三次方程的解法，我们可以解出参数a。这样原方程两边都是完全平方式，开方后就是一个关于x的一元二次方程，于是就可以解出原方程的一个根。

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一元三次、四次方程的解法及历史 湖北省天门中学 薛德斌

能否用根式求解的方法，表达出多项式的根，即一个一般多项式的根能否由其系数经过有限次加、减、乘、除、乘方和开方运算得到，曾经是文艺复兴后欧洲数学主要课题。

16世纪以前，人们对一般的一元二次方程已经有了公式解法，但对于一般的一元三次方程，数学家们却束手无策，甚至在1494年，巴乔利(Paciolil)还假定了一般的一元三次方程不可解。

16世纪的欧洲数学家们都致力于寻求一般的一元三次方程的求根公式。终于在1545年意大利数学家卡尔丹诺（Girolamo Cardano，1501-1576）在自己的学术著作《大法》（Ars Magna）中公布了一元三次方程的求根公式。根据历史记载，他是从冯塔纳（Niccolo Fontana，1499-1557）手中获得一元三次方程的求根公式，并将它公诸于世的。冯塔纳是意大利最有成就的学者之一，由于他患有口吃症，所以当时的人们昵称他为“塔尔塔里亚”（Tartaglia）， 也就是意大利语中“结巴”的意思，后来的很多数学书中，都直接用“塔尔塔里亚” 来称呼冯塔纳。

1、一元三次方程的一般形式：Ax3Bx2CxD0(A0) ，„„① 两边同除式A得：x3bx2cxd0， 令xtb，得 t3ptq0„„②， 3

注意到恒等式(mn)33mn(mn)(m3n3)0，

m3n3q令„„③，若此方程有解，则tmn是方程②的解。 3mnp

qq2p3

解③得m、n=， 242733

qq2p3

qq2p3故t是方程②的一个解。 24272427 通过因式分解可求方程②的另两根，通过转换可解方程①。

a 附：方程x3ax2bxc的一个解为xpq，其中 3

12a3ab3pc22732a3ab4(3ba2)3273c7292， 

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12a3ab3qc22732a3ab4(3ba2)3273c7292. 

2、费拉里发现的一元四次方程的解法和三次方程中的做法一样，先用一个坐标平移来消去四次方程一般形式中的三次项.

所以只要考虑下面形式的一元四次方程：x4px2qxr， 关键在于要利用参数把等式的两边配成完全平方形式。

考虑一个参数a，我们有(x2a)2(p2a)x2qxra2，

等式右边是完全平方式当且仅当它的判别式为0，即q24(p2a)(ra2)， 这是一个关于a的三次方程，利用上面一元三次方程的解法，我们可以解出参数a。这样原方程两边都是完全平方式，开方后就是一个关于x的一元二次方程，于是就可以解出原方程的一个根。

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