作出对称点 巧求最小值
求平面图形中的最小值问题是初中数学竞赛与各类考试中的常见题型，这类题目往往使同学们感到无从下手，但只要我们细致观察，认真分析，巧妙作出对称点，这类问题大都可以迎刃而解，请看以下几例．
例1．如图，M 是y 轴上的一个动点，点A 和点B 的坐标分别为A （1，1）、B （2，4），要使M 到点A 和点B 的距离之和最小，求M 的坐标．
分析：解答此题的关键是确定出点M 的位置，根据轴对称的性质，先求出点A （1，1）关于y 轴的对称点A '
(-1,1) ，则直线BA '
与y 轴的交点就是M ，此时M 到点A 和点B 的距离之和最小．
解：作出点A （1，1）关于y 轴的对称点A ' ，则A ' 的坐标为(-1,1) ．设直线BA ' 的解析式为y =kx +b ，
把点B 和点A ' 的坐标代入，得⎧⎨2k +b =4，解得⎧⎩-k +b =1⎨k =1
，即直线⎩b =2
BA ' 的解析式为y =x +2．令x =0，
则y =2，所以M 的坐标为（0，2）．
例2．如图2，∠AOB =30︒，角内有一点P ，PO =10，在两边上有点Q 、R （均不同于点O ），
求
PQR 周长的最小值． P '
Q 0 P
R 0B
''
图2
P
析解：首先确定Q 、R 的位置，考虑到要使 PQR 的周长最小，所以要把 PQR 的周长转化为一条线段的长度，于是作点
P 关于OA 和OB 的对称点P ' 和P '' ，连结P ' P '' ，分别交OA 和OB 于Q 和R ，点Q
和R 即为所求．连结OP ' 、OP '' ，则OP ' =OP =OP '' =10，
∠P ' OP '' =2∠AOB =60︒，所以 P ' OP '' 是等边三角形，P ' P '' =10，即 PQR 周长的最小值为10．
简证：分别在OA 、OB 上任取一点Q 0和R 0（不同于Q 和R ），连结P ' Q 0、Q 0R 0、R 0P '' 、Q 0P 、R 0P ，易
见
P Q 的周长为
PQ +PR +QR =P ' P ''
，
PQ 0R 0
的周长为
PQ +Q ' ' ' '
0+PR 00R 0=P Q 0+P '' R 0+Q 0R 0．因为P ' P ' '
，所以见 P Q R 的周长＜ PQ 0R 0的周长，即当 PQR 的周长等于线段P ' P '' 的长度时，是最小值．
例3．如图3，在直角坐标系中，有四点A (-8,3) ，B (-4,5) ，C (0,n ) ，D (m ,0) ，当四边形ABCD 的m
图3
分析：根据对称的性质，设点A 关于x 轴的对称点是A ' ，点B 关于y 轴的对称点是B ' ，若使周长最短，则A ' 、B ' 、D 、C 四点在一条直线上，由于点A ' 和B ' 的坐标可求，所以可以先求出直线的解析式，再根据点D 、C 在直线上，求出点D 、C 的坐标．
解：点A 关于x 轴的对称点是A ' (-8, -3) ，点B 关于y 轴的对称点是B ' (4,5)，设直线A ' B ' 的解析式为
⎧2y =kx +b ，将A ' 和B ' 的坐标代入，得⎧⎨-8k +b =-3b =5，解得⎪⎪k =⎨3. 所以直线⎩4k +A ' B ' 的解析式为
⎪⎪⎩
b =7
3y =
23x +73．把点C (0,n ) 代入y =27727
273x +3，得n =3，把点D (m ,0) 代入y =3x +3
，得0=3m +3，
-
7
解得m =-72
，这时m 3
n =7=-2．
3
在解等腰三角形的边、角有关问题时，往往忽视了所给条件与图形的位置，而造成问题解答错误．下面举例说明等腰三角形中的陷阱问题．
例1 （淄博市中考题）在△ABC 中，AB ＝AC ，AB 的垂直平分线与AC 所在直线相交所得的锐角为40°，则底角∠B 的大小为 ． 错解 65°．
解析 因为AB 的垂直平分线与AC 所在的直线相交，交点可能在线段AC 上也可能在CA 的延长线上，所以要分两种情况进行讨论．当交点在腰AC 上时，如图1，则∠ADE ＝40°，所以∠A ＝
90°－40°＝50°，所以∠B ＝
180 -50
2
=65 ． 当交点在腰CA 的延长线上时，如图2，∠DAE ＝90°－40°＝50°，所以∠B ＝1
2
⨯50 =25 ．故∠B 的度数是65°或25°．
A
D E
A
D
B
E
C
B
C
图1 图2
例2 若等腰三角形的一腰上的高与另一腰的夹角为50°，则这个等腰三角形的顶角为 ．错解 40°．
A
D
D A
B
C
B
C
图3 图4
解析 因为等腰三角形有可能是锐角三角形也可以是钝角三角形，所以要分两种情况进行讨论．（1）当等腰三角形是锐角三角形时，如图3，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，∠ACD ＝50°，则∠A ＝90°－50°＝40°；所以顶角为40°．
（2）当等腰三角形是钝角三角形时，如图4，则∠DAC ＝90°－50°＝40°，所以∠BAC ＝180°－40°＝140°．
故这个等腰三角形的顶角为40°或140°．
例3 已知AD 是等腰△ABC 一腰上的高，且∠DAB ＝60°，求△ABC 的三个内角的度数． 错解 120°、30°、30°．
解析 由于没有指明等腰三角形的哪两边是腰，哪是底边，所以要分情况进行讨论： （1）若AC ＝BC 时（如图5），因为AD ⊥BC ，∠DAB ＝60°，则∠B ＝30°，点D 一定在BC 的延长线上，这时三角形的三个内角分别是120°、30°、30°；
B
D
C
D D
B
A B A C
A
C
图5 图6 图7
（2）当BA ＝BC 时，因为AD ⊥BC ，∠DAB ＝60°，则点D 可以在BC 上（如图6）或在CB 的延长线上（如图7）；
①若点D 在BC 上，则∠B ＝30°，这时三角形的三个内角度数分别为：75°、75°、30°； ②若D 在CB 的延长线上，三角形的三个内角的度数分别为：150°、15°、15°．
综上所述，△ABC 的三个内角的度数分别是：120°、30°、30°或75°、75°、30°或150°、15°、15°．
从以上以例可以看出，求三角形中的角的问题时，习惯上容易画成锐角三角形，所以要注意克服思维定势的影响，分情况进行讨论．
作出对称点 巧求最小值
求平面图形中的最小值问题是初中数学竞赛与各类考试中的常见题型，这类题目往往使同学们感到无从下手，但只要我们细致观察，认真分析，巧妙作出对称点，这类问题大都可以迎刃而解，请看以下几例．
例1．如图，M 是y 轴上的一个动点，点A 和点B 的坐标分别为A （1，1）、B （2，4），要使M 到点A 和点B 的距离之和最小，求M 的坐标．
分析：解答此题的关键是确定出点M 的位置，根据轴对称的性质，先求出点A （1，1）关于y 轴的对称点A '
(-1,1) ，则直线BA '
与y 轴的交点就是M ，此时M 到点A 和点B 的距离之和最小．
解：作出点A （1，1）关于y 轴的对称点A ' ，则A ' 的坐标为(-1,1) ．设直线BA ' 的解析式为y =kx +b ，
把点B 和点A ' 的坐标代入，得⎧⎨2k +b =4，解得⎧⎩-k +b =1⎨k =1
，即直线⎩b =2
BA ' 的解析式为y =x +2．令x =0，
则y =2，所以M 的坐标为（0，2）．
例2．如图2，∠AOB =30︒，角内有一点P ，PO =10，在两边上有点Q 、R （均不同于点O ），
求
PQR 周长的最小值． P '
Q 0 P
R 0B
''
图2
P
析解：首先确定Q 、R 的位置，考虑到要使 PQR 的周长最小，所以要把 PQR 的周长转化为一条线段的长度，于是作点
P 关于OA 和OB 的对称点P ' 和P '' ，连结P ' P '' ，分别交OA 和OB 于Q 和R ，点Q
和R 即为所求．连结OP ' 、OP '' ，则OP ' =OP =OP '' =10，
∠P ' OP '' =2∠AOB =60︒，所以 P ' OP '' 是等边三角形，P ' P '' =10，即 PQR 周长的最小值为10．
简证：分别在OA 、OB 上任取一点Q 0和R 0（不同于Q 和R ），连结P ' Q 0、Q 0R 0、R 0P '' 、Q 0P 、R 0P ，易
见
P Q 的周长为
PQ +PR +QR =P ' P ''
，
PQ 0R 0
的周长为
PQ +Q ' ' ' '
0+PR 00R 0=P Q 0+P '' R 0+Q 0R 0．因为P ' P ' '
，所以见 P Q R 的周长＜ PQ 0R 0的周长，即当 PQR 的周长等于线段P ' P '' 的长度时，是最小值．
例3．如图3，在直角坐标系中，有四点A (-8,3) ，B (-4,5) ，C (0,n ) ，D (m ,0) ，当四边形ABCD 的m
图3
分析：根据对称的性质，设点A 关于x 轴的对称点是A ' ，点B 关于y 轴的对称点是B ' ，若使周长最短，则A ' 、B ' 、D 、C 四点在一条直线上，由于点A ' 和B ' 的坐标可求，所以可以先求出直线的解析式，再根据点D 、C 在直线上，求出点D 、C 的坐标．
解：点A 关于x 轴的对称点是A ' (-8, -3) ，点B 关于y 轴的对称点是B ' (4,5)，设直线A ' B ' 的解析式为
⎧2y =kx +b ，将A ' 和B ' 的坐标代入，得⎧⎨-8k +b =-3b =5，解得⎪⎪k =⎨3. 所以直线⎩4k +A ' B ' 的解析式为
⎪⎪⎩
b =7
3y =
23x +73．把点C (0,n ) 代入y =27727
273x +3，得n =3，把点D (m ,0) 代入y =3x +3
，得0=3m +3，
-
7
解得m =-72
，这时m 3
n =7=-2．
3
在解等腰三角形的边、角有关问题时，往往忽视了所给条件与图形的位置，而造成问题解答错误．下面举例说明等腰三角形中的陷阱问题．
例1 （淄博市中考题）在△ABC 中，AB ＝AC ，AB 的垂直平分线与AC 所在直线相交所得的锐角为40°，则底角∠B 的大小为 ． 错解 65°．
解析 因为AB 的垂直平分线与AC 所在的直线相交，交点可能在线段AC 上也可能在CA 的延长线上，所以要分两种情况进行讨论．当交点在腰AC 上时，如图1，则∠ADE ＝40°，所以∠A ＝
90°－40°＝50°，所以∠B ＝
180 -50
2
=65 ． 当交点在腰CA 的延长线上时，如图2，∠DAE ＝90°－40°＝50°，所以∠B ＝1
2
⨯50 =25 ．故∠B 的度数是65°或25°．
A
D E
A
D
B
E
C
B
C
图1 图2
例2 若等腰三角形的一腰上的高与另一腰的夹角为50°，则这个等腰三角形的顶角为 ．错解 40°．
A
D
D A
B
C
B
C
图3 图4
解析 因为等腰三角形有可能是锐角三角形也可以是钝角三角形，所以要分两种情况进行讨论．（1）当等腰三角形是锐角三角形时，如图3，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，∠ACD ＝50°，则∠A ＝90°－50°＝40°；所以顶角为40°．
（2）当等腰三角形是钝角三角形时，如图4，则∠DAC ＝90°－50°＝40°，所以∠BAC ＝180°－40°＝140°．
故这个等腰三角形的顶角为40°或140°．
例3 已知AD 是等腰△ABC 一腰上的高，且∠DAB ＝60°，求△ABC 的三个内角的度数． 错解 120°、30°、30°．
解析 由于没有指明等腰三角形的哪两边是腰，哪是底边，所以要分情况进行讨论： （1）若AC ＝BC 时（如图5），因为AD ⊥BC ，∠DAB ＝60°，则∠B ＝30°，点D 一定在BC 的延长线上，这时三角形的三个内角分别是120°、30°、30°；
B
D
C
D D
B
A B A C
A
C
图5 图6 图7
（2）当BA ＝BC 时，因为AD ⊥BC ，∠DAB ＝60°，则点D 可以在BC 上（如图6）或在CB 的延长线上（如图7）；
①若点D 在BC 上，则∠B ＝30°，这时三角形的三个内角度数分别为：75°、75°、30°； ②若D 在CB 的延长线上，三角形的三个内角的度数分别为：150°、15°、15°．
综上所述，△ABC 的三个内角的度数分别是：120°、30°、30°或75°、75°、30°或150°、15°、15°．
从以上以例可以看出，求三角形中的角的问题时，习惯上容易画成锐角三角形，所以要注意克服思维定势的影响，分情况进行讨论．