1直线方程

直线方程

【知识要点】

1. 直线的倾斜角：

（1）定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线l ，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向转

到和直线l 重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角。当直线l 与x 轴重合或平行时，规定倾斜角为0；

（2）倾斜角的范围[0, π)

例：（1）直线x cos θ+y -2=0的倾斜角的范围是[0π

6][

5π

6，π) ；

（2）过点P (-3, 1), Q (0, m ) 的直线的倾斜角的范围α∈[ππ32）

,(π2, 2π

],那么m 值的范围是_m ≤-2或m ≥4_ 2. 直线的斜率：

（1）定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率k ，即k ＝tan α(α≠90°)；

倾斜角为90°的直线没有斜率；（2）斜率公式：经过两点P 1(x 1, y 1) 、P 2(x 2, y 2) 的直线的斜率为k =

y 1-y 2

x -x (x 1≠x 2)；

（3）a =(1,k ) ，直线的方向向量与直线的斜率有何关系？（4）应用：证明三点共线： k AB =k BC 。

例： (1) 两条直线钭率相等是这两条直线平行的既不充分也不必要条件；

（2）实数x , y 满足3x -2y -5=0 (1≤x ≤3) ，则y x

的最大值、最小值分别为_2

3, -1__

3. 直线的方程：

（1）点斜式：已知直线过点(x 0, y 0) 斜率为k ，则直线方程为y -y 0=k (x -x 0) , 它不包括垂直于x 轴的直线。

（2）斜截式：已知直线在y 轴上的截距为b 和斜率k ，则直线方程为y =kx +b , 它不包括垂直于x 轴的

直线。（3）两点式：已知直线经过P y -y 1x -x 1

1(x 1, y 1) 、P 2(x 2, y 2) 两点，则直线方程为

y =

，它不包括2-y 1x 2-x 1

垂直于坐标轴的直线。

（4）截距式：已知直线在x 轴和y 轴上的截距为a , b , 则直线方程为

x a +y

=1，它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线。

（5）一般式：任何直线均可写成Ax +By +C =0(A,B不同时为0) 的形式。

例：（1）经过点（2，1）且方向向量为v

=(－

1, 3) 的直线的点斜式方程是y -1=x -2) ；

（2）直线(m +2) x -(2m -1) y -(3m -4) =0，不管m 怎样变化恒过点(-1, -2) ；（3）若曲线y =a |x |与y =x +a (a >0) 有两个公共点，则a 的取值范围是a >1 (4)过点A (1,4)，且纵横截距的绝对值相等的直线共有__3_条 4. 设直线方程的一些常用技巧：

（1）知直线纵截距b ，常设其方程为y =kx +b ；

（2）知直线横截距x 0，常设其方程为x =my +x 0(它不适用于斜率为0的直线) ；

（3）知直线过点(x 0, y 0) ，当斜率k 存在时，常设其方程为y =k (x -x 0) +y 0，当斜率k 不存在时，则

其方程为x =x 0；

（4）与直线l :Ax +By +C =0平行的直线可表示为Ax +By +C 1=0；（5）与直线l :Ax +By +C =0垂直的直线可表示为Bx -Ay +C 1=0.

提醒：求直线方程的基本思想和方法是恰当选择方程的形式，利用待定系数法求解。

5．点到直线的距离及两平行直线间的距离：（1）点P (x 0, y 0) 到直线Ax +By

+C =0的距离d =

；

（2）两平行线l 1:Ax +By +

C 1=0, l 2:Ax +By +C 2=0间的距离为d =

6．两条直线的位置关系(一)

已知直线l 1:y =k 1x +b 1, l 2:y =k 2x +b 2 （斜率k 存在） ①l 1与l 2相交⇔________________________ k 1¹k 2

②l 1与l 2平行⇔________________________ k 1=k 2且b 1 b 2 ③l 1与l 2重合⇔________________________ k 1=k 2且b 1=b 2 ④l 1^l 2⇔_______________________________ k 1×k 2=-1 ⑤直线l k 2-k 1

1到l 2的角θ, 则tan θ=________________ tan θ=

1+k

1k 2⑥直线l , 则tan θ=________________ tan θ=k 1-k 2

1与l 2的夹角为θ1+k

1k 2

两条直线的位置关系(二)

已知直线l 1：A 1x +B 1y +C 1=0, l 2：A 2x +B 2y +C 2=0则 ①l 1//l A 2⇐_______________________

1=B 1 C 1A

2B 2C 2

②l 1与l 2相交⇔______________A 1B 2-A 2B 1≠0； ③l 1与l 2 重合⇐____________________

A 1A =B 1=C

1 ④l 1^l 2⇔______________________A 1B 2+A 2B 1=0 2B 2C 2

提醒：（1）

A 1B 1C 1A =≠

、A 1≠B 1、A 1A =B 1=C

1仅是两直线平行、相交、重合的充分不必要条2B 2C 2A 2B 22B 2C 2

件！为什么？

（2）在解析几何中，研究两条直线的位置关系时，有可能这两条直线重合，而在立体几何中提到

的两条直线都是指不重合的两条直线；（3）直线l 1:A 1x +B 1y +C 1=0与直线l 2:A 2x +B 2y +C 2=0垂直⇔A 1A 2+B 1B 2=0。例：（1）设直线l 1:x +my +6=0和l 2:(m -2) x +3y +2m =0，

当m ＝__－1_____时l 1∥l 2；

当m ＝___

_____时l 1⊥l 2； 1与l 2相交；

当m ＝___3______时l 1与l 2重合；

（2）已知直线l 的方程为3x +4y -12=0，则与l 平行，且过点（—1，3）的直线方程是______；

3x +4y -9=0

（3）两条直线ax +y -4=0与x -y -2=0相交于第一象限，则实数a 的取值范围是____；

-1

bx -y sin B +sin C =0的位置关系是____；垂直

7．对称（中心对称和轴对称）问题——转移代入法：

例：（1）已知点M (a , b ) 与点N 关于x 轴对称，点P 与点N 关于y 轴对称，点Q 与点P 关于直线x +y =0对称，则点Q 的坐标为_______；(b , a ) （2）已知直线l 1与l 2的夹角平分线为y =x ，若l 1的方程为ax +by +c =0(ab >0) ，那么l 2的方程是

___________；bx +ay +c =0

（3）点Ａ（４，５）关于直线l 的对称点为Ｂ(－2,7) ，则l 的方程是_________；y=3x＋3 （4）已知一束光线通过点Ａ（－３，５），经直线l :3x－4y+4=0反射。如果反射光线通过点

Ｂ（２，15），则反射光线所在直线的方程是_________；18x ＋y -51=0

（5）已知ΔABC 顶点A(3，－１) ，ＡＢ边上的中线所在直线的方程为6x+10y－59=0，∠B 的平分线所

在的方程为x －4y+10=0，求ＢＣ边所在的直线方程；2x +9y -65=0 提醒：在解几中遇到角平分线、光线反射等条件常利用对称求解。

【典型问题】

【直线倾斜角与斜率关系】

1. 直线l 的斜率k 的变化范围是⎡⎣-, 则其倾斜角的变化范围是（ D ）

A ．⎡⎢ππ⎤⎡ππ⎤⎡π⎡⎣-4+k π, 3+k π⎥ B. ⎢-3π⎤⎡π⎤

4, 3⎥ C. ⎢-3, -4⎥ D.⎢0, ⎥⎢3π⎦⎣⎦⎣⎦⎣3⎦

⎣4, π⎫

⎪⎭

2. 直线bx +ay =ab ，(a

b ç桫÷a ÷÷ B.p -arctan b 骣a a C.arctan ççç桫-÷b ÷÷ D.p -arctan a

3. 已知平面区域D 由以A (1,3),B (5,2),C (3,1)为顶点的三角形内部及边界组成。若在区域D 上有无穷多个点(x , y ) 可使目标函数z ＝x ＋my 取得最小值，则m =( C ) A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．4 解：依题意，令z ＝0，可得直线x ＋my ＝0的斜率为－

，结合可行域可知当直线x ＋my ＝0与直线AC 平行时，线段AC 上的任意一点都可使目标函数z ＝x ＋my 取得最小值，而直线AC 的斜率为－1，所以m ＝1，选C

4. 设直线ax +by +c =0的倾斜角为α，且sin α+cos α=0，则a , b 满足（ D ） A. a +b =1

B. a -b =1

C. a +b =0

D. a -b =0

解：tan α=-1, k =-1, -

=-1, a =b , a -b =0 5. 已知过点A (-2, m ) 和B (m ,4) 的直线与直线2x +y -1=0平行，则m 的值为（ B ） A. 0 B. -8 C. 2 D. 104-m

解：k =

m +2

=-2, m =-8 6. 直线L ：y =kx -1与曲线y -2x -1=1

不相交，则k 的取值范围是( A )

A ．

12或3 B ．12 C ．3 D ．[1

，3] 7. 如果直线l 沿x 轴负方向平移3个单位, 再沿y 轴正方向平移1个单位, 又回到原来的位置, 那么直线l 的斜率是( A )

A ．-13

B ．－3

C ．13

D ．3

【求直线方程】 1. 过点P (-1,3) 且垂直于直线x -2y +3=0 的直线方程为（ A ）

A. 2x +y -1=0 B. 2x +y -5=0 C. x +2y -5=0 D. x -2y +7=0

解：设2x +y +c =0, 又过点P (-1,3) ，则-2+3+c =0, c =-1，即2x +y -1=0 2. 若方程(2m 2

+m -3) x +(m 2

-m ) y -4m +1=0表示一条直线，则实数m 满足（ C ） A. m ≠0

B. m ≠-

C. m ≠1 D. m ≠1，m ≠-

，m ≠0 3. 若原点在直线l 上的射影为(2, -1) ，则l 的方程为____________________.

-1-01

=-, k =2, y --(1=) 2-02

4. 已知直线Ax +By +C =0，

解：2x -y -5=0 k =

2-x ( 2)

A -1 B 2 C -1或 2 D 0 或 1

【夹角与距离公式的应用】

1. 已知点B （1，4），C （6，2），点A 在直线x －3y ＋3 = 0上，并且使∆AB C 的面积等于21，求点A 的坐标。

解：直线B C 方程为2x ＋5y －22 = 0,|B C| =

29，设点A 坐标(3y －3, y ) ，则可求A 到B C

的距离为

（1）系数为什么值时，方程表示通过原点的直线；

（2）系数满足什么关系时与坐标轴都相交；（3）系数满足什么条件时只与x 轴相交；（4）系数满足什么条件时是x 轴；

（5）设P x 0，y 0为直线Ax +By +C =0上一点，证明：这条直线的方程可以写成A (x -x 0)+B (y -y 0)=0. ()

∆解：（1）把原点(0,0)代入Ax +By +C =0，得C =0；（2）此时斜率存在且不为零即A ≠0且B ≠0；

（3）此时斜率不存在，且不与y 轴重合，即B =0且C ≠0；（4）A =C =0, 且B ≠0 （5）证明：

P (x 0，y 0)在直线Ax +By +C =0上 ∴Ax 0+By 0+C =0, C =-Ax 0-By 0

∴A (x -x 0)+B (y -y 0)=0.

5. 经过点A (1,2) 并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几条？请求出这些直线的方程. 解：当截距为0时，设y =kx ，过点A (1,2) ，则得k =2，即y =2x ；

当截距不为0时，设x y x y

a +a =1, 或a +

-a

=1, 过点A (1,2) ，则得a =3，或a =-1，即x +y -3=0，或x -y +1=0，共有3条【两条直线位置关系的判定与应用】

1. 已知两条直线y =ax -2和y =(a +2) x +1互相垂直，则a 等于( D )

A.2 B.1 C.0 D. -1

解：两条直线y =ax -2和y =(a +2) x +1互相垂直，则a (a +2) =-1，∴ a =－1，选D. 2. 设a 、b 、c 分别是△ABC 中, ∠ A 、∠B 、∠C 所对边的边长, 则直线sin A ·x +ay +c =0

与bx -sin B ·y +sin C =0的位置关系是( C )

A ．平行

B ．重合

C ．垂直

D ．相交但不垂直

3. 直线l 2

1:ax +2y -1=0与l 2:x +(a -1) y +a =0平行, 则a = （ B ）

AB C 面积为21

=21，

∴y =

[1**********]或-11，故点A 坐标为（11, 11）或（-7511, -14

） 2. 圆x 2＋y 2＋x －6y ＋c = 0与直线x ＋2y －3 = 0相交于P,Q 两点, 求c 为何值时,OP ⊥OQ(O为原点). 解：解方程组消x 得5y 2－20y ＋12＋c = 0,y 1

1∙y 2=5

(12+c ) ,

消y 得5x 2＋10x ＋4c －27 = 0,x 11∙x 2=5

(4c -27) , ∵OP ⊥OQ, ∴

y 1y 212+c x ⋅=-1, ∴1x 2

5=-4c -27

5，解得c = 3. 3. △ABC 中，顶点A (9,1)、B (3,4) 、内心I (4,1)，则顶点C 的坐标为．（-1，-4） 4. 已知点A (-1,1),B (1,1),点P 是直线y =x -2上的一点，满足∠APB 最大，求点P 的坐标及∠APB 的最大值.

解：设P （t ，t －2），则k t -3AP ＝

t +1(t ≠-1) k t -3

BP =t -1

(t ≠1) ，当t ＜3且t ≠±1时， tan APB ＝

k AP -k BP

1+k =

≤1 AP ⋅k BP

(3-t ) +4

3-t

-3

当且仅当3－t ＝4

3-t

，即t ＝1时等号成立，

∴tan ∠APB

∴P 是(1,-1)时，∠APB 有最大值

π4

；当t ＞3时，同法可求∠APB 的最大值是arctan

结论：当P 点的坐标是（－1，1）时，∠APB 有最大值

π4

5. 某校一年级为配合素质教育，利用一间教室作为学生绘画成果展览室，为节约经费，他们利用课桌作为展台，将装画的镜框放置桌上，斜靠展出，已知镜框对桌面的倾斜角为α(90°≤α＜180°) 镜框中，画的上、下边缘与镜框下边缘分别相距a m,b m,(a ＞b ). 问学生距离镜框下缘多远看画的效果最佳？解：建立如图所示的直角坐标系，AO 为镜框边，AB 为画的宽度，O 为下边缘上的一点，在x 轴的正半

轴上找一点C (x ,0)(x ＞0), 欲使看画的效果最佳，应使∠ACB 取得最大值. 由三角函数的定义知：A 、B 两点坐标分别为(a cos α, a sin α) 、 (b cos α, b sin α), 于是直线AC 、BC 的斜率分别为： k AC =ta n xCA =

a sin α

a cos α-x

k sin α

BC =tan xCB =

b b cos α-x

于是t a n ACB =

k BC -k AC (a -b ) ⋅x sin α(a -1+k =-(a +b ) x cos α+x 2=b ) ⋅sin α

BC ⋅k AC ab x

+x -(a +b ) ⋅cos α

由于∠ACB 为锐角，且x ＞0, 则t a n ACB ≤

(a -b ) ⋅sin α2ab -(a +b ) cos α

, 当且仅当

=x ，即x =时，等号成立，此时∠ACB 取最大值，对应的点为C (ab ,0), 因此，学生距离镜框下缘 cm 处时，视角最大，即看画效果最佳. 【对称问题】

1. 已知直线l 1:y =2x +3, 若l 2与l 1关于y 轴对称，则l 2的方程为__________；若l 3与l 1关于x 轴对称，则l 3的方程为_________；若l 4与l 1关于y =x 对称，则l 4的方程为___________；解：l 2:y =-2x +3, l 3:y =-2x -3, l 4:x =2y +3,

2. 直线2x －y －4=0上有一点P ，它与两定点A (4，－1) ，B (3，4) 的距离之差最大，则P 点坐标是_________. 解：找A 关于l 的对称点A ′，A ′B 与直线l 的交点即为所求的P 点，P (5，6）

3．自点A (－3，3) 发出的光线l 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在直线与圆x 2+y 2－4x －4y +7=0相切，则光线l 所在直线方程为_________.

解：光线l 所在的直线与圆x 2

+y 2

－4x －4y +7=0关于x 轴对称的圆相切.3x +4y －3=0或4x +3y +3=0 4. 已知直线l 1和l 2的夹角的平分线为y =x , 如果l 1的方程是ax +by +c =0(ab >0) , 那么l 2的方程是( A )

A ．bx +ay +c =0

B ．ax -by +c =0 C ．bx +ay -c =0

D ．bx -ay +c =0

5. 已知直线:3x -y -1=0，在上求点P ，使得：（1）P 到A (4, 1) 和B (0, 4) 距离之差最大；

（2，5）

（2）P 到A (4, 1) 和B (3, 4) 距离之和最小．

(

117267

) 【直线系方程】

1. 求经过直线l 1:2x +3y -5=0, l 2:3x -2y -3=0的交点且平行于直线2x +y -3=0的直线方程.

⎧19解：由⎧⎨2x +3y -5=0⎪x =-3=0，得⎪⎨13

，再设2x +y +c =0，则47⎩3x -2y c =-

2x +y -47=0为所求 ⎪13，13⎪⎩

y =9

132. 不论m 为何值, 直线l :(m -1)x +(2m -1)y =m -5恒过一个定点, 此点的坐标 . (

237, 187

) 3. 已知定点P(-2,-1)和直线l ：(1+3λ) x +(1+2λ) y -(2+5λ) =0(λ∈R ) , 求证：无论λ取何值时，点P 到直线的l

4. 在∆ABC 中，顶点A (-1, 4) ，∠B , ∠C 的平分线所在的直线方程分别为x -2y =0和x +y -1=0，求直线BC 的方程. 13x +14y +11=0

【实战训练】

1. （2009宁夏海南卷理）设已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F(1，0) ，直线l 与抛物线C 相交于

A ，B 两点。若AB 的中点为（2，2），则直线ι的方程为_____________.

A (x x ⎧⎪y 2

1=4x 1

1, y 1), B (2, y 2), 则有x 1≠x 2，⎨⎪⎩y 2

2=4x 2

解析：抛物线的方程为y 2

=4x ，两式相减得，y 22y -y 241-y 2=4(x 1-x 2)，∴1x ==1

1-x 2y 1+y 2

∴直线l 的方程为y-2=x-2,即y=x

答案：y=x

2. （2009四川卷理）已知直线l 1:4x -3y +6=0和直线l 2:x =-1，抛物线y 2

=4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是

A.2 B.3 C.

115 D. 3716

【考点定位】本小题考查抛物线的定义、点到直线的距离，综合题。

解析：直线l 22:x =-1为抛物线y =4x 的准线，由抛物线的定义知，P 到l 2的距离等于P 到抛物线的焦点F (1, 0) 的距离，故本题化为在抛物线y 2

=4x 上找一个点P 使得P 到点F (1, 0) 和直线l 2的距离之和最小，最小值为F (1, 0) 到直线l 1:4x -3y +6=0的距离，即

d 4-0+6|

min =

=2，故选择A 。

解析2

：如下图，由题意可知d ==2

3. （09上海文，15）已知直线l 1:(k -3) x +(4-k ) y +1=0, 与l 2:2(k -3) x -2y +3=0, 平行，则k 得值是（）

A. 1或3 B.1或5 C.3或5 D.1或2

【解析】当k ＝3时，两直线平行，当k ≠3

k －3，解得：k

＝5，故选C 。

4. （09天津理，13）设直线l 1+t

1的参数方程为⎨⎧x =3t

（t 为参数），直线⎩y =1+l 2的方程为y =3x +4则l 1与l 2的

距离为_______

【解析】由题直线l 1的普通方程为3x -y -2=0，故它与与l 4+2|

32的距离为

|=5。【答案】35

5. （09江西理16）．设直线系M :x cos θ+(y -2)sin θ=1(0≤θ≤2π) , 对于下列四个命题： A ．M 中所有直线均经过一个定点 B ．存在定点P 不在M 中的任一条直线上

C ．对于任意整数n (n ≥3) ，存在正n 边形, 其所有边均在M 中的直线上 D ．M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等

其中真命题的代号是（写出所有真命题的代号）．【解析】因为x cos θ+(y -2)sin θ=1所以点P (0,2) 到M

中每条直线的距离d =

即M 为圆C :x 2+(y -2) 2=1的全体切线组成的集合, 从而M 中存在两条平行直线, 所以A 错误；

又因为(0,2) 点不存在任何直线上, 所以B 正确；

对任意n ≥3, 存在正n 边形使其内切圆为圆C , 故C 正确；

M 中边能组成两个大小不同的正三角形ABC 和AEF , 故D 错误, 故命题中正确的序号是 B,C.

6. （2009宁夏海南卷文）已知圆C 21：(x +1) +(y -1) 2=1，圆C 2与圆C 1关于直线x -y -1=0对称，则圆C 2的方程为

（A ）(x +2) 2

+(y -2) 2

=1 （B ）(x -2) 2

+(y +2) 2

=1 （C ）(x +2) 2

+(y +2) 2

=1 （D ）(x -2) 2

+(y -2) 2

=1 【答案】B

⎧【解析】设圆C ），则依题意，有⎪a -1⎪-b +1

-1=0⎨22

1，解得：⎧a =22的圆心为（a ，b ⎪b -⎨b =-2，对称圆的半

⎪⎩⎩

a +1=-1

径不变，为1，故选B 。.

7. （2009年上海卷理）过圆C ：(x -1) 2

+(y -1) 2

=1的圆心，作直线分别交x 、y 正半轴于点A 、B ，∆AOB 被圆分成四部分（如图），若这四部分图形面积满足S I+S ¥=S ∏+S |||, 则直线AB 有（）（A ） 0条（B ） 1条（C ） 2条（D ） 3条

【答案】B

【解析】由已知，得：S IV -S II =S III -S I , ，第II ，IV 部分的面积是定值，所以，S IV -S II 为定值，即S III -S I , 为定值，当直线AB 绕着圆心C 移动时，只可能有一个位置符合题意，即直线AB 只有一条，故选B 。 8. （2009全国卷Ⅰ文）若直线m 被两平行线l 1:x -y +1=0与l 2:x -y +3=0所截得的线段的长为

22，则m 的倾斜角可以是

①15 ②30 ③45 ④60 ⑤

其中正确答案的序号是 . （写出所有正确答案的序号）

【解析】本小题考查直线的斜率、直线的倾斜角、两条平行线间的距离，考查数形结合的思想。解：两平行线间的距离为d =

|3-1|+1

=2，由图知直线m 与l 1的夹角为30o ，l 1的倾斜角为45o ，所

以直线m 的倾斜角等于30o

+450

=750

或45o

-300

=150

。故填写①或⑤ 9. （08全国一10）若直线

x a +y

=1通过点M (cosα，sin α) ，则（ D ） A ．a 2+b 2≤1

B ．a 2+b 2≥1 C ．1111

a 2+b 2≤1 D ．a 2+b

2≥1

10. （08全国二11）等腰三角形两腰所在直线的方程分别为x +y -2=0与x -7y -4=0，原

点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为（ A ）

A ．3 B ．2

C ．-1

D ．-132

11. （08四川卷４）直线y =3x 绕原点逆时针旋转900，再向右平移１个单位，所得到的直线

为( A )

（Ａ）y =-13x +13 （Ｂ）y =-11

3x +1 （Ｃ）y =3x -3 （Ｄ）y =3

x +1

12. （08安徽卷8）．若过点A (4,0)的直线l 与曲线(x -2) 2+y 2=1有公共点，则直线l 的斜率

的取值范围为（ C ）

．[

．( C

．[-

．(-

13. （08重庆卷15）直线l 与圆x 2

＋y 2

＋2x －4y +a =0 (a

点为（0，1），则直线l 的方程为 . x-y+1=0

14. （08北京卷19）已知菱形ABCD 的顶点A ，C 在椭圆x 2

+3y 2

=4上，对角线BD 所在直线的斜率

为1．

（Ⅰ）当直线BD 过点(0，1) 时，求直线AC 的方程；

（Ⅱ）当∠ABC =60时，求菱形ABCD 面积的最大值．

解：（Ⅰ）由题意得直线BD 的方程为y =x +1．因为四边形ABCD 为菱形，所以AC ⊥BD ．

于是可设直线AC 的方程为y =-x +n ．由⎧⎨x 2+3y 2=4，得⎩y =-x +n

4x 2-6nx +3n 2

-4=0．

因为A ，C 在椭圆上，

所以∆=-12n 2

+64>

0，解得

则x 3n 32x n 2-4

1+x 2=，1x 2=4

，y 1=-x 1+n ，y 2=-x 2+n ．

所以y 1+y n

．

所以AC 的中点坐标为

⎛3n ⎝4n ⎫

4⎪⎭

．由四边形ABCD 为菱形可知，点⎛ 3n n ⎫

⎝44⎪⎭在直线y =x +1上，

所以n 3n

4=4

+1，解得n =-2．所以直线AC 的方程为y =-x -2，即x +y +2=0．（Ⅱ）因为四边形ABCD 为菱形，且∠ABC =60，所以AB =BC =CA ．

所以菱形ABCD

的面积S =

．由（Ⅰ）可得AC 2

=(x -x 2

-3n 2+16

12) +(y 1-y 2) =2

，

所以S =

⎛-3n 2+16) ⎝

的面积取得最大值

15. （06福建卷）已知两条直线y =ax -2和y =(a +2) x +1互相垂直，则a 等于（A ）2 （B ）1 （C ）0 （D ）-1

解析：两条直线y =ax -2和y =(a +2) x +1互相垂直，则a (a +2) =-1，∴ a =－1，选D.

16. （06湖南卷）若圆x 2

+y 2

-4x -4y -10=0上至少有三个不同点到直线l :ax +by =

0的距离为

则直线l 的倾斜角的取值范围是 ( )

A.[

π,

π124

] B.[

12, 5π12] C.[π6, π3

] D.[0,π

2] 解析：圆x

+y 2

-4x -4y -10=0整理为(x -2) 2+(y -2) 2=2，∴圆心坐标为(2，2) ，半径为32，要求圆上至少有三个不同的点到直线l :ax +by =0的距离为22，则圆心到直线的距离应小

于等于

2， ∴

，∴ (a ) 2a a

b +4(b ) +1≤0，∴

-2(b ) ≤-2，

k =-(a b ) ，∴

22l 的倾斜角的取值范围是[π5π

1212

]，选B.

17. (06上海卷) 已知两条直线l 1:ax +3y -3=0, l 2:4x +6y -1=0. 若l 1//l 2，则a =____. 解：两条直线l 1:ax +3y -3=0, l 2:4x +6y -1=0. 若l 1//l 2，-

a 3=-2

，则a =2. ⎧x +218. (重庆卷) 已知变量x ，y 满足约束条件⎪

y -3≤0

⎨x +3y -3≥0。若目标函数z =ax +y （其中a >0）仅在点

⎪⎩y -1≤0(3,0)处取得最大值，则a 的取值范围为。

解：画出可行域如图所示，其中B （3，0）， C （1，1），D （0，1），若目标函数z =ax +y 取

得最大值，必在B ，C ，D 三点处取得，故有3a >a ＋1

且3a >1，解得a >1

19. “a = 3”是“直线ax -2y -1=0与直线6x -4y +c =0平行”的（）条件

A ．充要

B ．充分而不必要 C ．必要而不充分 D ．既不充分也不必要

答案 C

20. 直线x +2y -3=0与直线ax +4y +b =0关于点A (1, 0) 对称，则b ＝___________。

答案 2

21. 光线从点P （－3，5）射到直线l:3x-4y+4=0上，经过反射，其反射光线过点Q （3，5），则光线从P

到Q 所走过的路程为 . 答案 8

直线方程

【知识要点】

1. 直线的倾斜角：

（1）定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线l ，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向转

到和直线l 重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角。当直线l 与x 轴重合或平行时，规定倾斜角为0；

（2）倾斜角的范围[0, π)

例：（1）直线x cos θ+y -2=0的倾斜角的范围是[0π

6][

5π

6，π) ；

（2）过点P (-3, 1), Q (0, m ) 的直线的倾斜角的范围α∈[ππ32）

,(π2, 2π

],那么m 值的范围是_m ≤-2或m ≥4_ 2. 直线的斜率：

（1）定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率k ，即k ＝tan α(α≠90°)；

倾斜角为90°的直线没有斜率；（2）斜率公式：经过两点P 1(x 1, y 1) 、P 2(x 2, y 2) 的直线的斜率为k =

y 1-y 2

x -x (x 1≠x 2)；

（3）a =(1,k ) ，直线的方向向量与直线的斜率有何关系？（4）应用：证明三点共线： k AB =k BC 。

例： (1) 两条直线钭率相等是这两条直线平行的既不充分也不必要条件；

（2）实数x , y 满足3x -2y -5=0 (1≤x ≤3) ，则y x

的最大值、最小值分别为_2

3, -1__

3. 直线的方程：

（1）点斜式：已知直线过点(x 0, y 0) 斜率为k ，则直线方程为y -y 0=k (x -x 0) , 它不包括垂直于x 轴的直线。

（2）斜截式：已知直线在y 轴上的截距为b 和斜率k ，则直线方程为y =kx +b , 它不包括垂直于x 轴的

直线。（3）两点式：已知直线经过P y -y 1x -x 1

1(x 1, y 1) 、P 2(x 2, y 2) 两点，则直线方程为

y =

，它不包括2-y 1x 2-x 1

垂直于坐标轴的直线。

（4）截距式：已知直线在x 轴和y 轴上的截距为a , b , 则直线方程为

x a +y

=1，它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线。

（5）一般式：任何直线均可写成Ax +By +C =0(A,B不同时为0) 的形式。

例：（1）经过点（2，1）且方向向量为v

=(－

1, 3) 的直线的点斜式方程是y -1=x -2) ；

（1）知直线纵截距b ，常设其方程为y =kx +b ；

（2）知直线横截距x 0，常设其方程为x =my +x 0(它不适用于斜率为0的直线) ；

（3）知直线过点(x 0, y 0) ，当斜率k 存在时，常设其方程为y =k (x -x 0) +y 0，当斜率k 不存在时，则

其方程为x =x 0；

（4）与直线l :Ax +By +C =0平行的直线可表示为Ax +By +C 1=0；（5）与直线l :Ax +By +C =0垂直的直线可表示为Bx -Ay +C 1=0.

提醒：求直线方程的基本思想和方法是恰当选择方程的形式，利用待定系数法求解。

5．点到直线的距离及两平行直线间的距离：（1）点P (x 0, y 0) 到直线Ax +By

+C =0的距离d =

；

（2）两平行线l 1:Ax +By +

C 1=0, l 2:Ax +By +C 2=0间的距离为d =

6．两条直线的位置关系(一)

已知直线l 1:y =k 1x +b 1, l 2:y =k 2x +b 2 （斜率k 存在） ①l 1与l 2相交⇔________________________ k 1¹k 2

1到l 2的角θ, 则tan θ=________________ tan θ=

1+k

1k 2⑥直线l , 则tan θ=________________ tan θ=k 1-k 2

1与l 2的夹角为θ1+k

1k 2

两条直线的位置关系(二)

已知直线l 1：A 1x +B 1y +C 1=0, l 2：A 2x +B 2y +C 2=0则 ①l 1//l A 2⇐_______________________

1=B 1 C 1A

2B 2C 2

②l 1与l 2相交⇔______________A 1B 2-A 2B 1≠0； ③l 1与l 2 重合⇐____________________

A 1A =B 1=C

1 ④l 1^l 2⇔______________________A 1B 2+A 2B 1=0 2B 2C 2

提醒：（1）

A 1B 1C 1A =≠

、A 1≠B 1、A 1A =B 1=C

1仅是两直线平行、相交、重合的充分不必要条2B 2C 2A 2B 22B 2C 2

件！为什么？

（2）在解析几何中，研究两条直线的位置关系时，有可能这两条直线重合，而在立体几何中提到

当m ＝__－1_____时l 1∥l 2；

当m ＝___

_____时l 1⊥l 2； 1与l 2相交；

当m ＝___3______时l 1与l 2重合；

（2）已知直线l 的方程为3x +4y -12=0，则与l 平行，且过点（—1，3）的直线方程是______；

3x +4y -9=0

（3）两条直线ax +y -4=0与x -y -2=0相交于第一象限，则实数a 的取值范围是____；

-1

bx -y sin B +sin C =0的位置关系是____；垂直

7．对称（中心对称和轴对称）问题——转移代入法：

___________；bx +ay +c =0

Ｂ（２，15），则反射光线所在直线的方程是_________；18x ＋y -51=0

（5）已知ΔABC 顶点A(3，－１) ，ＡＢ边上的中线所在直线的方程为6x+10y－59=0，∠B 的平分线所

在的方程为x －4y+10=0，求ＢＣ边所在的直线方程；2x +9y -65=0 提醒：在解几中遇到角平分线、光线反射等条件常利用对称求解。

【典型问题】

【直线倾斜角与斜率关系】

1. 直线l 的斜率k 的变化范围是⎡⎣-, 则其倾斜角的变化范围是（ D ）

A ．⎡⎢ππ⎤⎡ππ⎤⎡π⎡⎣-4+k π, 3+k π⎥ B. ⎢-3π⎤⎡π⎤

4, 3⎥ C. ⎢-3, -4⎥ D.⎢0, ⎥⎢3π⎦⎣⎦⎣⎦⎣3⎦

⎣4, π⎫

⎪⎭

2. 直线bx +ay =ab ，(a

b ç桫÷a ÷÷ B.p -arctan b 骣a a C.arctan ççç桫-÷b ÷÷ D.p -arctan a

，结合可行域可知当直线x ＋my ＝0与直线AC 平行时，线段AC 上的任意一点都可使目标函数z ＝x ＋my 取得最小值，而直线AC 的斜率为－1，所以m ＝1，选C

4. 设直线ax +by +c =0的倾斜角为α，且sin α+cos α=0，则a , b 满足（ D ） A. a +b =1

B. a -b =1

C. a +b =0

D. a -b =0

解：tan α=-1, k =-1, -

=-1, a =b , a -b =0 5. 已知过点A (-2, m ) 和B (m ,4) 的直线与直线2x +y -1=0平行，则m 的值为（ B ） A. 0 B. -8 C. 2 D. 104-m

解：k =

m +2

=-2, m =-8 6. 直线L ：y =kx -1与曲线y -2x -1=1

不相交，则k 的取值范围是( A )

A ．

12或3 B ．12 C ．3 D ．[1

，3] 7. 如果直线l 沿x 轴负方向平移3个单位, 再沿y 轴正方向平移1个单位, 又回到原来的位置, 那么直线l 的斜率是( A )

A ．-13

B ．－3

C ．13

D ．3

【求直线方程】 1. 过点P (-1,3) 且垂直于直线x -2y +3=0 的直线方程为（ A ）

A. 2x +y -1=0 B. 2x +y -5=0 C. x +2y -5=0 D. x -2y +7=0

解：设2x +y +c =0, 又过点P (-1,3) ，则-2+3+c =0, c =-1，即2x +y -1=0 2. 若方程(2m 2

+m -3) x +(m 2

-m ) y -4m +1=0表示一条直线，则实数m 满足（ C ） A. m ≠0

B. m ≠-

C. m ≠1 D. m ≠1，m ≠-

，m ≠0 3. 若原点在直线l 上的射影为(2, -1) ，则l 的方程为____________________.

-1-01

=-, k =2, y --(1=) 2-02

4. 已知直线Ax +By +C =0，

解：2x -y -5=0 k =

2-x ( 2)

A -1 B 2 C -1或 2 D 0 或 1

【夹角与距离公式的应用】

1. 已知点B （1，4），C （6，2），点A 在直线x －3y ＋3 = 0上，并且使∆AB C 的面积等于21，求点A 的坐标。

解：直线B C 方程为2x ＋5y －22 = 0,|B C| =

29，设点A 坐标(3y －3, y ) ，则可求A 到B C

的距离为

（1）系数为什么值时，方程表示通过原点的直线；

（2）系数满足什么关系时与坐标轴都相交；（3）系数满足什么条件时只与x 轴相交；（4）系数满足什么条件时是x 轴；

（5）设P x 0，y 0为直线Ax +By +C =0上一点，证明：这条直线的方程可以写成A (x -x 0)+B (y -y 0)=0. ()

∆解：（1）把原点(0,0)代入Ax +By +C =0，得C =0；（2）此时斜率存在且不为零即A ≠0且B ≠0；

（3）此时斜率不存在，且不与y 轴重合，即B =0且C ≠0；（4）A =C =0, 且B ≠0 （5）证明：

P (x 0，y 0)在直线Ax +By +C =0上 ∴Ax 0+By 0+C =0, C =-Ax 0-By 0

∴A (x -x 0)+B (y -y 0)=0.

当截距不为0时，设x y x y

a +a =1, 或a +

-a

=1, 过点A (1,2) ，则得a =3，或a =-1，即x +y -3=0，或x -y +1=0，共有3条【两条直线位置关系的判定与应用】

1. 已知两条直线y =ax -2和y =(a +2) x +1互相垂直，则a 等于( D )

A.2 B.1 C.0 D. -1

与bx -sin B ·y +sin C =0的位置关系是( C )

A ．平行

B ．重合

C ．垂直

D ．相交但不垂直

3. 直线l 2

1:ax +2y -1=0与l 2:x +(a -1) y +a =0平行, 则a = （ B ）

AB C 面积为21

=21，

∴y =

[1**********]或-11，故点A 坐标为（11, 11）或（-7511, -14

） 2. 圆x 2＋y 2＋x －6y ＋c = 0与直线x ＋2y －3 = 0相交于P,Q 两点, 求c 为何值时,OP ⊥OQ(O为原点). 解：解方程组消x 得5y 2－20y ＋12＋c = 0,y 1

1∙y 2=5

(12+c ) ,

消y 得5x 2＋10x ＋4c －27 = 0,x 11∙x 2=5

(4c -27) , ∵OP ⊥OQ, ∴

y 1y 212+c x ⋅=-1, ∴1x 2

5=-4c -27

解：设P （t ，t －2），则k t -3AP ＝

t +1(t ≠-1) k t -3

BP =t -1

(t ≠1) ，当t ＜3且t ≠±1时， tan APB ＝

k AP -k BP

1+k =

≤1 AP ⋅k BP

(3-t ) +4

3-t

-3

当且仅当3－t ＝4

3-t

，即t ＝1时等号成立，

∴tan ∠APB

∴P 是(1,-1)时，∠APB 有最大值

π4

；当t ＞3时，同法可求∠APB 的最大值是arctan

结论：当P 点的坐标是（－1，1）时，∠APB 有最大值

π4

a sin α

a cos α-x

k sin α

BC =tan xCB =

b b cos α-x

于是t a n ACB =

k BC -k AC (a -b ) ⋅x sin α(a -1+k =-(a +b ) x cos α+x 2=b ) ⋅sin α

BC ⋅k AC ab x

+x -(a +b ) ⋅cos α

由于∠ACB 为锐角，且x ＞0, 则t a n ACB ≤

(a -b ) ⋅sin α2ab -(a +b ) cos α

, 当且仅当

=x ，即x =时，等号成立，此时∠ACB 取最大值，对应的点为C (ab ,0), 因此，学生距离镜框下缘 cm 处时，视角最大，即看画效果最佳. 【对称问题】

3．自点A (－3，3) 发出的光线l 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在直线与圆x 2+y 2－4x －4y +7=0相切，则光线l 所在直线方程为_________.

解：光线l 所在的直线与圆x 2

+y 2

－4x －4y +7=0关于x 轴对称的圆相切.3x +4y －3=0或4x +3y +3=0 4. 已知直线l 1和l 2的夹角的平分线为y =x , 如果l 1的方程是ax +by +c =0(ab >0) , 那么l 2的方程是( A )

A ．bx +ay +c =0

B ．ax -by +c =0 C ．bx +ay -c =0

D ．bx -ay +c =0

5. 已知直线:3x -y -1=0，在上求点P ，使得：（1）P 到A (4, 1) 和B (0, 4) 距离之差最大；

（2，5）

（2）P 到A (4, 1) 和B (3, 4) 距离之和最小．

(

117267

) 【直线系方程】

1. 求经过直线l 1:2x +3y -5=0, l 2:3x -2y -3=0的交点且平行于直线2x +y -3=0的直线方程.

⎧19解：由⎧⎨2x +3y -5=0⎪x =-3=0，得⎪⎨13

，再设2x +y +c =0，则47⎩3x -2y c =-

2x +y -47=0为所求 ⎪13，13⎪⎩

y =9

132. 不论m 为何值, 直线l :(m -1)x +(2m -1)y =m -5恒过一个定点, 此点的坐标 . (

237, 187

) 3. 已知定点P(-2,-1)和直线l ：(1+3λ) x +(1+2λ) y -(2+5λ) =0(λ∈R ) , 求证：无论λ取何值时，点P 到直线的l

4. 在∆ABC 中，顶点A (-1, 4) ，∠B , ∠C 的平分线所在的直线方程分别为x -2y =0和x +y -1=0，求直线BC 的方程. 13x +14y +11=0

【实战训练】

1. （2009宁夏海南卷理）设已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F(1，0) ，直线l 与抛物线C 相交于

A ，B 两点。若AB 的中点为（2，2），则直线ι的方程为_____________.

A (x x ⎧⎪y 2

1=4x 1

1, y 1), B (2, y 2), 则有x 1≠x 2，⎨⎪⎩y 2

2=4x 2

解析：抛物线的方程为y 2

=4x ，两式相减得，y 22y -y 241-y 2=4(x 1-x 2)，∴1x ==1

1-x 2y 1+y 2

∴直线l 的方程为y-2=x-2,即y=x

答案：y=x

2. （2009四川卷理）已知直线l 1:4x -3y +6=0和直线l 2:x =-1，抛物线y 2

=4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是

A.2 B.3 C.

115 D. 3716

【考点定位】本小题考查抛物线的定义、点到直线的距离，综合题。

解析：直线l 22:x =-1为抛物线y =4x 的准线，由抛物线的定义知，P 到l 2的距离等于P 到抛物线的焦点F (1, 0) 的距离，故本题化为在抛物线y 2

=4x 上找一个点P 使得P 到点F (1, 0) 和直线l 2的距离之和最小，最小值为F (1, 0) 到直线l 1:4x -3y +6=0的距离，即

d 4-0+6|

min =

=2，故选择A 。

解析2

：如下图，由题意可知d ==2

3. （09上海文，15）已知直线l 1:(k -3) x +(4-k ) y +1=0, 与l 2:2(k -3) x -2y +3=0, 平行，则k 得值是（）

A. 1或3 B.1或5 C.3或5 D.1或2

【解析】当k ＝3时，两直线平行，当k ≠3

k －3，解得：k

＝5，故选C 。

4. （09天津理，13）设直线l 1+t

1的参数方程为⎨⎧x =3t

（t 为参数），直线⎩y =1+l 2的方程为y =3x +4则l 1与l 2的

距离为_______

【解析】由题直线l 1的普通方程为3x -y -2=0，故它与与l 4+2|

32的距离为

|=5。【答案】35

C ．对于任意整数n (n ≥3) ，存在正n 边形, 其所有边均在M 中的直线上 D ．M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等

其中真命题的代号是（写出所有真命题的代号）．【解析】因为x cos θ+(y -2)sin θ=1所以点P (0,2) 到M

中每条直线的距离d =

即M 为圆C :x 2+(y -2) 2=1的全体切线组成的集合, 从而M 中存在两条平行直线, 所以A 错误；

又因为(0,2) 点不存在任何直线上, 所以B 正确；

对任意n ≥3, 存在正n 边形使其内切圆为圆C , 故C 正确；

M 中边能组成两个大小不同的正三角形ABC 和AEF , 故D 错误, 故命题中正确的序号是 B,C.

6. （2009宁夏海南卷文）已知圆C 21：(x +1) +(y -1) 2=1，圆C 2与圆C 1关于直线x -y -1=0对称，则圆C 2的方程为

（A ）(x +2) 2

+(y -2) 2

=1 （B ）(x -2) 2

+(y +2) 2

=1 （C ）(x +2) 2

+(y +2) 2

=1 （D ）(x -2) 2

+(y -2) 2

=1 【答案】B

⎧【解析】设圆C ），则依题意，有⎪a -1⎪-b +1

-1=0⎨22

1，解得：⎧a =22的圆心为（a ，b ⎪b -⎨b =-2，对称圆的半

⎪⎩⎩

a +1=-1

径不变，为1，故选B 。.

7. （2009年上海卷理）过圆C ：(x -1) 2

+(y -1) 2

【答案】B

22，则m 的倾斜角可以是

①15 ②30 ③45 ④60 ⑤

其中正确答案的序号是 . （写出所有正确答案的序号）

【解析】本小题考查直线的斜率、直线的倾斜角、两条平行线间的距离，考查数形结合的思想。解：两平行线间的距离为d =

|3-1|+1

=2，由图知直线m 与l 1的夹角为30o ，l 1的倾斜角为45o ，所

以直线m 的倾斜角等于30o

+450

=750

或45o

-300

=150

。故填写①或⑤ 9. （08全国一10）若直线

x a +y

=1通过点M (cosα，sin α) ，则（ D ） A ．a 2+b 2≤1

B ．a 2+b 2≥1 C ．1111

a 2+b 2≤1 D ．a 2+b

2≥1

10. （08全国二11）等腰三角形两腰所在直线的方程分别为x +y -2=0与x -7y -4=0，原

点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为（ A ）

A ．3 B ．2

C ．-1

D ．-132

11. （08四川卷４）直线y =3x 绕原点逆时针旋转900，再向右平移１个单位，所得到的直线

为( A )

（Ａ）y =-13x +13 （Ｂ）y =-11

3x +1 （Ｃ）y =3x -3 （Ｄ）y =3

x +1

12. （08安徽卷8）．若过点A (4,0)的直线l 与曲线(x -2) 2+y 2=1有公共点，则直线l 的斜率

的取值范围为（ C ）

．[

．( C

．[-

．(-

13. （08重庆卷15）直线l 与圆x 2

＋y 2

＋2x －4y +a =0 (a

点为（0，1），则直线l 的方程为 . x-y+1=0

14. （08北京卷19）已知菱形ABCD 的顶点A ，C 在椭圆x 2

+3y 2

=4上，对角线BD 所在直线的斜率

为1．

（Ⅰ）当直线BD 过点(0，1) 时，求直线AC 的方程；

（Ⅱ）当∠ABC =60时，求菱形ABCD 面积的最大值．

解：（Ⅰ）由题意得直线BD 的方程为y =x +1．因为四边形ABCD 为菱形，所以AC ⊥BD ．

于是可设直线AC 的方程为y =-x +n ．由⎧⎨x 2+3y 2=4，得⎩y =-x +n

4x 2-6nx +3n 2

-4=0．

因为A ，C 在椭圆上，

所以∆=-12n 2

+64>

0，解得

则x 3n 32x n 2-4

1+x 2=，1x 2=4

，y 1=-x 1+n ，y 2=-x 2+n ．

所以y 1+y n

．

所以AC 的中点坐标为

⎛3n ⎝4n ⎫

4⎪⎭

．由四边形ABCD 为菱形可知，点⎛ 3n n ⎫

⎝44⎪⎭在直线y =x +1上，

所以n 3n

4=4

+1，解得n =-2．所以直线AC 的方程为y =-x -2，即x +y +2=0．（Ⅱ）因为四边形ABCD 为菱形，且∠ABC =60，所以AB =BC =CA ．

所以菱形ABCD

的面积S =

．由（Ⅰ）可得AC 2

=(x -x 2

-3n 2+16

12) +(y 1-y 2) =2

，

所以S =

⎛-3n 2+16) ⎝

的面积取得最大值

15. （06福建卷）已知两条直线y =ax -2和y =(a +2) x +1互相垂直，则a 等于（A ）2 （B ）1 （C ）0 （D ）-1

解析：两条直线y =ax -2和y =(a +2) x +1互相垂直，则a (a +2) =-1，∴ a =－1，选D.

16. （06湖南卷）若圆x 2

+y 2

-4x -4y -10=0上至少有三个不同点到直线l :ax +by =

0的距离为

则直线l 的倾斜角的取值范围是 ( )

A.[

π,

π124

] B.[

12, 5π12] C.[π6, π3

] D.[0,π

2] 解析：圆x

+y 2

-4x -4y -10=0整理为(x -2) 2+(y -2) 2=2，∴圆心坐标为(2，2) ，半径为32，要求圆上至少有三个不同的点到直线l :ax +by =0的距离为22，则圆心到直线的距离应小

于等于

2， ∴

，∴ (a ) 2a a

b +4(b ) +1≤0，∴

-2(b ) ≤-2，

k =-(a b ) ，∴

22l 的倾斜角的取值范围是[π5π

1212

]，选B.

17. (06上海卷) 已知两条直线l 1:ax +3y -3=0, l 2:4x +6y -1=0. 若l 1//l 2，则a =____. 解：两条直线l 1:ax +3y -3=0, l 2:4x +6y -1=0. 若l 1//l 2，-

a 3=-2

，则a =2. ⎧x +218. (重庆卷) 已知变量x ，y 满足约束条件⎪

y -3≤0

⎨x +3y -3≥0。若目标函数z =ax +y （其中a >0）仅在点

⎪⎩y -1≤0(3,0)处取得最大值，则a 的取值范围为。

解：画出可行域如图所示，其中B （3，0）， C （1，1），D （0，1），若目标函数z =ax +y 取

得最大值，必在B ，C ，D 三点处取得，故有3a >a ＋1

且3a >1，解得a >1

19. “a = 3”是“直线ax -2y -1=0与直线6x -4y +c =0平行”的（）条件

A ．充要

B ．充分而不必要 C ．必要而不充分 D ．既不充分也不必要

答案 C

20. 直线x +2y -3=0与直线ax +4y +b =0关于点A (1, 0) 对称，则b ＝___________。

答案 2

21. 光线从点P （－3，5）射到直线l:3x-4y+4=0上，经过反射，其反射光线过点Q （3，5），则光线从P

到Q 所走过的路程为 . 答案 8

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