函数单调性与奇偶性(奇偶性)
教学目标：
1. 了解函数的单调性和奇偶性的概念, 掌握有关证明和判断的基本方法. (1)了解并区分增函数, 减函数, 单调性, 单调区间, 奇函数, 偶函数等概念. (2)能从数和形两个角度认识单调性和奇偶性.
(3)能借助图象判断一些函数的单调性, 能利用定义证明某些函数的单调性; 能用定义判断某些函数的奇偶性, 并能利用奇偶性简化一些函数图象的绘制过程.
2. 通过函数单调性的证明, 提高学生在代数方面的推理论证能力; 通过函数奇偶性概念的形成过程, 培养学生的观察, 归纳, 抽象的能力, 同时渗透数形结合, 从特殊到一般的数学思想. 教学建议： 一、知识结构
（1）函数单调性的概念. 包括增函数、减函数的定义，单调区间的概念函数的单调性的判定方法，函数单调性与函数图像的关系.
（2）函数奇偶性的概念. 包括奇函数、偶函数的定义，函数奇偶性的判定方法，奇函数、偶函数的图像. 二、重点难点分析
(1)教学的重点：函数的单调性, 奇偶性概念的形成与认识；
教学的难点：领悟函数单调性, 奇偶性的本质, 掌握单调性的证明.
(2)函数的单调性这一性质学生在初中所学函数中曾经了解过, 但只是从图象上直观观察图象的上升与下降, 而现在要求把它上升到理论的高度, 并用准确的数学语言去刻画它. 这种由形到数, 从直观到抽象的转变对高一的学生来说是比较困难的, 因此要在概念的形成上重点下功夫. 单调性的证明自然就是教学中的难点. 教学目标：
1. 让学生了解奇偶性的概念, 会利用定义判断简单函数的奇偶性;
2. 在奇偶性概念形成过程中, 培养学生的观察、归纳能力. 教学重点、难点:
1. 重点是奇偶性概念的形成与函数奇偶性的判断; 2. 难点是对概念的认识. 教学方法:引导发现法 教学过程: 一. 引入新课
前面我们已经研究了函数的单调性, 它是反映函数在某一个区间上函数值随自变量变化而变化的性质, 今天我们继续研究函数的另一个性质. 将从对称的角度来研究函数的性质.
教师提问:对称我们大家都很熟悉, 在生活中有很多对称, 在数学中也能发现很多对称的问题, 大家回忆一下在我们所学的内容中, 特别是函数中有没有对称问题呢? (学生可能会举出一些数值上的对称问题,
对称问题, 此时教师可以引导学生把函数具体化, 如
和
等, 也可能会举出一些图象的
等.)
结合图象提出这些对称是我们在初中研究的关于
我们还曾研究过关于 轴对称的问题.
轴对称和关于原点对称问题, 此外
由于函数是映射, 一个 只能对一个 , 而不能有两个不同的, 故函数的图象不可能关于 轴对称. 提出我们将重点研究图象关于
中找出它们在数值上的规律. 二. 讲解新课
函数的奇偶性
教师从刚才的图象中选出
怎样判断图象关于
, 指出这是关于
轴对称的图象, 然后问学生初中是
轴对称和关于原点对称的问题, 从形的特征
轴对称呢? 此时教师明确提出研究方向:将从数值角度研究图象的这种
特征体现在自变量与函数值之间的规律.
学生开始可能只会用语言去描述:自变量互为相反数, 函数值相等. 教师可引导学生先把它们具体化, 再用数学符号表示.(演示
, 再令
与
, 得到
不等呢?
比较
得出等式
), 进而再提出会不会在定义域内
存在 , 使
从这个结论中就可以发现对定义域内任意一个 , 都有
学生用完整的语言给出定义, 不准确的地方教师予以提示或调整. (1) 偶函数的定义:如果对于函数
那么
就叫做偶函数.
的定义域内任意一个 , 都有
成立. 最后让
,
(给出定义后可让学生举几个例子, 如
的初步认识
)
等以检验一下对概念
提出新问题:函数图象关于原点对称, 它的自变量与函数值之间的数值规律是什么呢?(同用
或
的图象让学生观察研究)
学生可比较刚才的方法, 很快得出结论, 再让学生给出奇函数的定义.
(2) 奇函数的定义: 如果对于函数
, 那么
就叫做奇函数.
的定义域内任意一个 , 都有
(由于在定义形成时已经有了一定的认识, 故可以先作判断, 在判断中再加深认识) 例1. 判断下列函数的奇偶性 (1)
; (2)
;
(3)
;
;
(5)
; (6)
.
(要求学生口答, 选出1-2个题说过程) 解: (1)
(3)
是奇函数.(2)
是偶函数.
,
是偶函数.
前三个题做完, 教师做一次小结, 判断奇偶性, 只需验证
且以第(1)为例, 说明怎样解决它不是偶函数的问题呢? 学生经过思考可以解决问题，指出只要举出一个反例说明
与
之间的关系. 并
与
不等.
如
即可说明它不是偶函数.(从这个问题的解决中让学生再次认识到定义中任
意性的重要)
从(4)题开始, 可以让学生先讨论, 教师再做评述. 即第(4)题中表面成立的
不能经受任意性的考验, 当
时, 由于
, 故
=
不存在, 更谈不上与
相等了, 由于任意性被破坏, 所以不能讨论它的奇偶性.
教师由此引导学生, 通过刚才这个题目, 你发现在判断中需要注意些什么?(教师可再从定义启发, 在定义域中有1, 就必有-1, 有-2, 就必有2, 有
, 从而发现定义域应关于原点对称 ).
, 就必有
, 有 就必有
(3) 定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要但不充分条件. 可以用(6)题辅助说明充分性不成立, 用(5)题说明必要性成立, 得出结论.
由学生小结判断奇偶性的步骤之后, 教师再提出新的问题:在刚才的几个函数中有是奇函数不是偶函数, 有是偶函数不是奇函数, 也有既不是奇函数也不是偶函数, 那么有没有这样的函数, 它既是奇函数也是偶函数呢? 若有, 举例说明. 经学生思考, 可找到函数
式都只能写成这样呢? 能证明吗? 例2. 已知函数
既是奇函数也是偶函数, 求证:
. (试由学生来完成)
. 然后继续提问:是不是具备这样性质的函数的解析
证明:
既是奇函数也是偶函数,
=
, 且
,
=
.
, 即
.
证后, 教师请学生记住结论的同时, 追问这样的函数应有多少个呢? 学生开始可能认为只有一个, 经教师提示可发现,
,
只是解析式的特征, 若改变函数的定义域, 如
,
, 它们显然是不同的函数, 但它们都是
,
既是奇函数也是偶函数. 由上可知函数按其是否具有奇偶性可分为四类
(4) 函数按其是否具有奇偶性可分为四类: 奇函数, 偶函数, 非奇非偶, 既是奇函数又是偶函数
例3. 判断下列函数的奇偶性
(1)
; (2)
;
(3)
.
由学生回答, 不完整之处教师补充. 解: (1)当
时,
为奇函数, 当
时,
既不是奇函数也不是偶函数.
(2)当
时, 既是奇函数也是偶函数, 当
时, 是偶函数.
(3) 当
时,
于是
,
当
时,
, 于是
=
,
综上
是奇函数.
教师小结 :(1)(2)注意分类讨论的使用,(3)是分段函数, 当
, 并不能说明
刻画, 因此必须
三. 小结
1. 奇偶性的概念 2. 判断中注意的问题 四. 作业 略 五. 板书设计
函数奇偶性 例1 例3
(1) 偶函数定义 (2) 奇函数定义
(3) 定义域关于原点对称是函数 例2 小结 具备奇偶性的必要条件 (4)函数按奇偶性分类分四类
思考题: (1)定义域为
能试证明之吗? (2)判断函数
在
上的单调性, 并加以证明.
的任意函数
均有
检验
具备奇偶性, 因为奇偶性是对函数整个定义域内性质的
成立, 二者缺一不可.
都可以表示成一个奇函数和一个偶函数的和, 你
函数单调性与奇偶性(奇偶性)
教学目标：
1. 了解函数的单调性和奇偶性的概念, 掌握有关证明和判断的基本方法. (1)了解并区分增函数, 减函数, 单调性, 单调区间, 奇函数, 偶函数等概念. (2)能从数和形两个角度认识单调性和奇偶性.
(3)能借助图象判断一些函数的单调性, 能利用定义证明某些函数的单调性; 能用定义判断某些函数的奇偶性, 并能利用奇偶性简化一些函数图象的绘制过程.
2. 通过函数单调性的证明, 提高学生在代数方面的推理论证能力; 通过函数奇偶性概念的形成过程, 培养学生的观察, 归纳, 抽象的能力, 同时渗透数形结合, 从特殊到一般的数学思想. 教学建议： 一、知识结构
（1）函数单调性的概念. 包括增函数、减函数的定义，单调区间的概念函数的单调性的判定方法，函数单调性与函数图像的关系.
（2）函数奇偶性的概念. 包括奇函数、偶函数的定义，函数奇偶性的判定方法，奇函数、偶函数的图像. 二、重点难点分析
(1)教学的重点：函数的单调性, 奇偶性概念的形成与认识；
教学的难点：领悟函数单调性, 奇偶性的本质, 掌握单调性的证明.
(2)函数的单调性这一性质学生在初中所学函数中曾经了解过, 但只是从图象上直观观察图象的上升与下降, 而现在要求把它上升到理论的高度, 并用准确的数学语言去刻画它. 这种由形到数, 从直观到抽象的转变对高一的学生来说是比较困难的, 因此要在概念的形成上重点下功夫. 单调性的证明自然就是教学中的难点. 教学目标：
1. 让学生了解奇偶性的概念, 会利用定义判断简单函数的奇偶性;
2. 在奇偶性概念形成过程中, 培养学生的观察、归纳能力. 教学重点、难点:
1. 重点是奇偶性概念的形成与函数奇偶性的判断; 2. 难点是对概念的认识. 教学方法:引导发现法 教学过程: 一. 引入新课
前面我们已经研究了函数的单调性, 它是反映函数在某一个区间上函数值随自变量变化而变化的性质, 今天我们继续研究函数的另一个性质. 将从对称的角度来研究函数的性质.
教师提问:对称我们大家都很熟悉, 在生活中有很多对称, 在数学中也能发现很多对称的问题, 大家回忆一下在我们所学的内容中, 特别是函数中有没有对称问题呢? (学生可能会举出一些数值上的对称问题,
对称问题, 此时教师可以引导学生把函数具体化, 如
和
等, 也可能会举出一些图象的
等.)
结合图象提出这些对称是我们在初中研究的关于
我们还曾研究过关于 轴对称的问题.
轴对称和关于原点对称问题, 此外
由于函数是映射, 一个 只能对一个 , 而不能有两个不同的, 故函数的图象不可能关于 轴对称. 提出我们将重点研究图象关于
中找出它们在数值上的规律. 二. 讲解新课
函数的奇偶性
教师从刚才的图象中选出
怎样判断图象关于
, 指出这是关于
轴对称的图象, 然后问学生初中是
轴对称和关于原点对称的问题, 从形的特征
轴对称呢? 此时教师明确提出研究方向:将从数值角度研究图象的这种
特征体现在自变量与函数值之间的规律.
学生开始可能只会用语言去描述:自变量互为相反数, 函数值相等. 教师可引导学生先把它们具体化, 再用数学符号表示.(演示
, 再令
与
, 得到
不等呢?
比较
得出等式
), 进而再提出会不会在定义域内
存在 , 使
从这个结论中就可以发现对定义域内任意一个 , 都有
学生用完整的语言给出定义, 不准确的地方教师予以提示或调整. (1) 偶函数的定义:如果对于函数
那么
就叫做偶函数.
的定义域内任意一个 , 都有
成立. 最后让
,
(给出定义后可让学生举几个例子, 如
的初步认识
)
等以检验一下对概念
提出新问题:函数图象关于原点对称, 它的自变量与函数值之间的数值规律是什么呢?(同用
或
的图象让学生观察研究)
学生可比较刚才的方法, 很快得出结论, 再让学生给出奇函数的定义.
(2) 奇函数的定义: 如果对于函数
, 那么
就叫做奇函数.
的定义域内任意一个 , 都有
(由于在定义形成时已经有了一定的认识, 故可以先作判断, 在判断中再加深认识) 例1. 判断下列函数的奇偶性 (1)
; (2)
;
(3)
;
;
(5)
; (6)
.
(要求学生口答, 选出1-2个题说过程) 解: (1)
(3)
是奇函数.(2)
是偶函数.
,
是偶函数.
前三个题做完, 教师做一次小结, 判断奇偶性, 只需验证
且以第(1)为例, 说明怎样解决它不是偶函数的问题呢? 学生经过思考可以解决问题，指出只要举出一个反例说明
与
之间的关系. 并
与
不等.
如
即可说明它不是偶函数.(从这个问题的解决中让学生再次认识到定义中任
意性的重要)
从(4)题开始, 可以让学生先讨论, 教师再做评述. 即第(4)题中表面成立的
不能经受任意性的考验, 当
时, 由于
, 故
=
不存在, 更谈不上与
相等了, 由于任意性被破坏, 所以不能讨论它的奇偶性.
教师由此引导学生, 通过刚才这个题目, 你发现在判断中需要注意些什么?(教师可再从定义启发, 在定义域中有1, 就必有-1, 有-2, 就必有2, 有
, 从而发现定义域应关于原点对称 ).
, 就必有
, 有 就必有
(3) 定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要但不充分条件. 可以用(6)题辅助说明充分性不成立, 用(5)题说明必要性成立, 得出结论.
由学生小结判断奇偶性的步骤之后, 教师再提出新的问题:在刚才的几个函数中有是奇函数不是偶函数, 有是偶函数不是奇函数, 也有既不是奇函数也不是偶函数, 那么有没有这样的函数, 它既是奇函数也是偶函数呢? 若有, 举例说明. 经学生思考, 可找到函数
式都只能写成这样呢? 能证明吗? 例2. 已知函数
既是奇函数也是偶函数, 求证:
. (试由学生来完成)
. 然后继续提问:是不是具备这样性质的函数的解析
证明:
既是奇函数也是偶函数,
=
, 且
,
=
.
, 即
.
证后, 教师请学生记住结论的同时, 追问这样的函数应有多少个呢? 学生开始可能认为只有一个, 经教师提示可发现,
,
只是解析式的特征, 若改变函数的定义域, 如
,
, 它们显然是不同的函数, 但它们都是
,
既是奇函数也是偶函数. 由上可知函数按其是否具有奇偶性可分为四类
(4) 函数按其是否具有奇偶性可分为四类: 奇函数, 偶函数, 非奇非偶, 既是奇函数又是偶函数
例3. 判断下列函数的奇偶性
(1)
; (2)
;
(3)
.
由学生回答, 不完整之处教师补充. 解: (1)当
时,
为奇函数, 当
时,
既不是奇函数也不是偶函数.
(2)当
时, 既是奇函数也是偶函数, 当
时, 是偶函数.
(3) 当
时,
于是
,
当
时,
, 于是
=
,
综上
是奇函数.
教师小结 :(1)(2)注意分类讨论的使用,(3)是分段函数, 当
, 并不能说明
刻画, 因此必须
三. 小结
1. 奇偶性的概念 2. 判断中注意的问题 四. 作业 略 五. 板书设计
函数奇偶性 例1 例3
(1) 偶函数定义 (2) 奇函数定义
(3) 定义域关于原点对称是函数 例2 小结 具备奇偶性的必要条件 (4)函数按奇偶性分类分四类
思考题: (1)定义域为
能试证明之吗? (2)判断函数
在
上的单调性, 并加以证明.
的任意函数
均有
检验
具备奇偶性, 因为奇偶性是对函数整个定义域内性质的
成立, 二者缺一不可.
都可以表示成一个奇函数和一个偶函数的和, 你