第32卷 第10期
岩石力学与工程学报 Vol.32 No.10
2013年10月 Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering Oct.，2013
地震作用下挡土墙抗倾覆稳定安全系数研究
黄 睿1，夏唐代1，陈炜昀2
(1. 浙江大学 软弱土与环境土工程教育部重点实验室，浙江 杭州 310058；2. 南京工业大学 交通学院，江苏 南京 210009)
摘要：基于拟动力法，考虑墙背面和填土面倾斜的工况，推导出挡土墙在地震作用下的抗倾覆稳定安全系数的计算表达式。数值算例结果表明，稳定安全系数随着填土内摩擦角、墙土外摩擦角和墙背面倾角的增大而增大，随地震放大系数、水平加速度影响系数和填土面倾角的增大而减小。其中，只有在地震作用较大时，放大系数的影响才逐渐显现，同时，摩擦角的影响却相对减弱；墙背面倾角和填土面倾角不同时，稳定系数随地震作用的变化趋势基本一致。通过对比2种计算方法的结果可知，拟动力法由于考虑了地震周期和地震波效应的影响，计算得到的稳定安全系数比拟静力法大。
关键词：土力学；挡土墙；地震；稳定性；拟动力法
中图分类号：TU 43 文献标识码：A 文章编号：1000–6915(2013)10–2154–06
STUDY OF OVERTURNING STABILITY SAFETY FACTOR OF RETAINING
WALL UNDER SEISMIC ACTION
HUANG Rui，XIA Tangdai1，CHEN Weiyun2
1
(1. Key Laboratory of Soft Soils and Geoenvironmental Engineering，Ministry of Education，Zhejiang University，Hangzhou，
Zhejiang 310058，China；2. College of Transportation Science and Engineering，Nanjing University of Technology，
Nanjing，Jiangsu 210009，China)
Abstract：Based on pseudo-dynamic method，a formula of stability safety factor of retaining wall against overturning under seismic action is derived，considering the inclination conditions of retaining wall back and backfill soil. Numerical results indicate that the stability safety factor increases with the increase of soil friction angle，wall friction angle and wall inclination angle；but it decreases with the increase of seismic amplification factor，horizontal seismic acceleration coefficient and backfill inclination angle. Thereinto，only under violent earthquake action，the seismic amplification effect can emerge gradually；at the same time，the influences of friction angles on the stability relatively weaken instead. The various trends of stability safety factors with seismic actions are in basic agreement under different wall inclination angles and backfill inclination angles. Comparing the calculating results by two methods，the overturning stability safety factor by pseudo-dynamic method considering the effects of earthquake period and seismic waves into account，is larger than that by pseudo-static method. Key words：soil mechanics；retaining wall；earthquake；stability；pseudo-dynamic method
一些成果。其中被工程界普遍采用是Mononobe-
1 引 言
随着国家对抗震设计要求的提高，挡土墙在地震作用下的稳定性问题再次引起了工程师们的关注和重视。众多学者已对此问题进行了研究，取得了
收稿日期：2013–06–03；修回日期：2013–07–02
Okabe方法，该方法是基于库仑土压力理论，将地震作用的惯性力施加于挡土墙后的滑动土楔体，再由平衡条件得到土压力的计算公式，进而可以对挡土墙的稳定性进行分析，此方法也叫拟静力法。S. K. Shukla等[1]对拟静力法进行改进，其可用于计算黏
基金项目：国家自然科学基金与高速铁路基础研究联合基金重点支持项目(U1234204)
作者简介：黄 睿(1987–)，男，2010年毕业于浙江大学土木工程专业，现为博士研究生，主要从事基础工程与土动力学方面的研究工作。E-mail：[email protected]
第32卷 第10期 黄 睿等：地震作用下挡土墙抗倾覆稳定安全系数研究 • 2155 •
性土的地震土压力。然而，拟静力法假设地震作用的惯性力与周期无关，且地震加速度的相位和大小是固定不变的。这些假设过于简化，与地震工况存在较大差异。
为更真实地描述地震的动力特性，R. S. Steedman和 X. Zeng[2]提出将地震周期和相位对惯性力的影响考虑在内的计算方法，称作拟动力法。随后，X. Zeng和R. S. Steedman [3]将离心机试验结果和理论结果进行对比，验证了拟动力法的合理性。基于拟动力法的思路，D. Choudhury等[4-6]针对墙背面竖直、填土面水平的挡土墙，先后对地震作用下的主动、被动土压力，以及挡土墙在被动模式下的转动问题进行了研究。P. Ghosh等[7-8]计算并分析了倾斜墙背和折线型挡土墙的地震土压力。王志凯等[9]将拟动力法和水平层分析法相结合，通过力矩平衡建立方程得到土压力的分布，并指出忽略地震加速度的放大效应是偏危险的。夏唐代等[10]采用拟动力法推导得出了黏性土的地震主动土压力的计算式，并对内、外摩擦角和地震参数对土压力的影响进行讨论。杨 剑[11]对竖直墙背、倾斜填土挡土墙的地震被动土压力进行了分析。马少俊等[12-13]针对忽略地震加速度放大效应和填土面水平的工况，讨论了挡土墙滑动和倾覆的稳定性问题。周小平等[14]假设墙后填土滑动面为曲面，采用拟动力法分析了强震作用下填土面水平的临水挡土墙被动模式的稳定问题。
由上述研究可知，相比于拟静力法，拟动力法能更准确地描述地震的动力特征，理论上更加严谨，故本文采用拟动力法。假定地震效应沿墙高线性增大、并考虑墙背面和填土面倾斜的工况，提出挡土墙在地震作用下的抗倾覆稳定安全系数的计算方法，并通过算例讨论地震加速度放大效应、填土内摩擦角、墙土间外摩擦角、填土面倾角对挡土墙抗倾覆稳定性的影响。对比拟动力法与拟静力法计算结果显示，稳定系数随地震加速度的变化规律基本一致，但是由于拟动力法考虑了地震加速度沿墙高的相位变化，所得的稳定系数比拟静力法偏大。
2 计算模型
2.1 计算假定
本文计算采用以下基本假定[5-6]：
(1) 挡土墙受力简化为平面应变问题，不考虑挡土墙尺寸等空间效应。
(2) 挡土墙的倾覆为临界状态时，墙后土体达
到极限平衡，并形成滑动楔体，2条滑动面通过挡土墙墙蹱，一条沿着墙背，另一条位于墙后填土内。
(3) 挡土墙看作刚体，墙后填土为均质且各向同性的无黏性土。
(4) 剪切波和压缩波在墙后填土和挡土墙内传播，介质材料的剪切模量(Gs和Gw)为常数。
(5) 地震加速度的相位和峰值随着墙高变化，其中，峰值是沿着墙高线性放大的。
(6) 地震时，填土和挡土墙下部基础的土体以正弦的稳态形式振动。 2.2 地震主动土压力
考虑墙背面和填土面都倾斜的挡土墙工况如图1所示，图中，α为墙背面倾角，β为墙后填土面的倾角，δ为挡土墙和填土之间的外摩擦角，ϕ为填土的内摩擦角。作用在滑动土体上的力有：滑动土楔体的自重Ws、地震主动土压力合力Pae、填土对滑动土楔体的反力R以及水平与竖向地震惯性力
Qhs和Qvs。
图1 地震主动土压力计算模型
Fig.1 Calculation model for seismic active earth pressure
由图1的几何关系可得到与填土面平行的薄土层单元质量表达式为 dms=ρ−α)secα(1+tanαtanθ)
s(H−z)
cos(βcosβtanθ−sinβ
dz
(1)
式中：ρs为填土密度，H为挡土墙高度，z为计算深度，θ为土楔体滑裂面倾角。
填土重度为γs，则滑动土楔体的自重为 W1cos(β−α)secα(1+tanαtanθ)s=2γsH2cosβtanθ−sinβ (2)
根据假定(4)，地震时填土中传播的剪切波和压缩波波速分别为
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Vss=
(3)
Vps= (4)
式中：ρs和υs分别为填土的密度和泊松比，Gs为填土的剪切模量。
类似地，挡土墙中也存在剪切波和压缩波，其波速表达式分别为
Vsw=
(5)
Vpw= (6)
式中：ρw和υw分别为挡土墙的密度和泊松比，Gw
为挡土墙的剪切模量。
根据假定(5)，地震加速度影响系数满足以下变化规律：
kh(z=0)=fakh(z=H) (7) kv(z=0)=fakv(z=H) (8)
式中：fa为填土的地震加速度放大系数，kh和kv分别为水平和竖向地震加速度影响系数(随z变化)。
挡土墙基础的土体呈正弦稳态形式振动，振动角频率为ω=2π/T，其中T为地震的卓越周期。填土滑动楔体的水平和竖向地震加速度的表达式分别为 a，t)=⎡H−z⎡⎛H−z⎞⎤⎢⎣1+H(f⎤
hs(za−1)⎥⎦khgsin⎢⎢ω⎣
⎜t−⎝V⎟⎥
ss⎠⎥⎦(9)
a⎡H−z⎢⎤
⎡⎛H−z⎞⎤vs(z，t)=⎣1+H(fa−1)⎥⎦kvgsin⎢⎢ω⎜⎣⎜t−⎝V⎟ps⎟⎥ ⎠⎥⎦
(10)
式中：g为重力加速度。
地震时，填土滑动楔体受水平、竖向地震惯性力可分别表示为
QH
hs(t)=∫0ahs(z，t)dms (11)
QH
vs(t)=∫0
avs(z，t)dms (12)
将式(1)，(9)代入(11)，整理得
Qλγskhcos(β−α)cosθ(1+tanαtanθ)
hs(t)=
4π2cosαsin(θ−β)
⋅
⎧
⎨2πHcos(ωζ)+λ[sin(ωζ)−sin(ωt)]+
⎩
2(fa−1)[πHcos(ωζ)+λsin(ωζ)]+
(fa−1)λ2[cos(ωt)−cos(ωζ)]⎫
πH⎬⎭
(13)
式中：λ为填土中的剪切波波长，且λ=TVss；
ζ=t−H/Vss。
同理可得
Qηγskvcos(β−α)cosθ(1+tanαtanθ)
vs(t)=
4π2cosαsin(θ−β)
⋅
⎧⎪
⎨⎪2πHcos(ωψ)+η[sin(ωψ)−sin(ωt)]+
⎩
2(fa−1)[πHcos(ωψ)+ηsin(ωψ)]+
(fa−1)η2[cos(ωt)−cos(ωψ)]⎫
πH⎬⎭
(14)
式中：η为填土中的压缩波波长，且η=TVps；
ψ=t−H/Vps。
对滑动土楔体进行受力分析，由水平向的平衡条件可得
Paecos(α+δ)−Qhs(t)−Rcos(ϕ+π/2−θ)=0 (15) 由竖向的平衡条件可得
Paesin(α+δ)+Qvs(t)−Ws+Rsin(ϕ+π/2−θ)=0
(16)
联立式(15)，(16)，挡土墙后填土的地震主动土压力合力可表示为
Pssin(θ−ϕ)
ae=
Wcos(θ−ϕ−δ−α)
+
Qhs(t)cos(θ−ϕ)−Qvs(t)sin(θ−ϕ)
cos(θ−ϕ−δ−α)
(17)
从式(17)可以看出，地震土压力包括两部分：第一部分是由土楔体重力引起的，第二部分则是由填土的水平、竖向地震惯性力引起的。其中，根据本文的计算假定所得到的惯性力，可以反映地震作用的周期和地震波效应的影响。
土压力的合力作用点高度可表示为
H
Z0
pae(z)(H−z)dz
a
=
∫P (18)
ae
式中：pae(z)为土压力强度，且pae(z)=∂Pae/∂z。 2.3 抗倾覆稳定安全系数
地震作用时，挡土墙同样会受到水平和竖向的地震惯性力作用，本文假设挡土墙呈主动模式的倾覆，惯性力的作用方向如图2所示。与填土采用类似的假定，挡土墙的水平和竖向地震加速度的表达式分别为
a(z，t)=⎡H−z⎡⎢⎣1+H(f1)⎤
⎛H−z⎞⎤hwaw−⎥⎦khgsin⎢⎢ω⎣⎜t−⎝V⎟⎥
sw⎠⎥⎦
(19)
a(z，t)=⎡H−z⎡⎢⎣1+H(f⎤
⎛H−z⎞⎤vwaw−1)⎥⎦kvgsin⎢⎢ω⎜t−⎟⎥ ⎣⎜⎝Vpw⎟⎠⎥⎦
(20)
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图2 挡土墙的倾覆计算模型
Fig.2 Calculation model for retaining wall overturning
式中：faw为挡土墙的地震加速度放大系数。
假定挡土墙的形状为直角梯形，墙背面是梯形斜边，梯形上底尺寸为Bt，对梯形的水平单元层沿墙高积分，可得挡土墙受到的水平、竖向地震惯性力的表达式分别为
Qhw(t)=∫
H
⎡H0
⎢⎣1+−zH(faw−1)⎤⎥⎦
khg⋅ sin⎡⎢⎛H−z⎞⎤γw(Bt+z⎢ω⎣⎜t−tanα)⎝V⎟⎥
⎥dz (21) sw⎠⎦
gQH
⎡H−zvw(t)=∫0⎢⎣1+
H(f⎤
aw−1)⎥⎦
kvg⋅ sin⎡⎢⎛H−z⎞⎤γw(Bt+z⎢ω⎜⎣⎜t−tanα)⎝V⎟pw⎟⎥dz (22) ⎠⎥⎦
g式中：γw为挡土墙的重度。
地震作用下，填土的主动土压力水平分量和挡土墙自身的惯性力共同提供倾覆力矩，挡土墙可能发生绕墙趾点O的倾覆破坏，必须保证挡土墙的自重和土压力的竖向分量提供的抗倾覆力矩大于倾覆力矩，才能使结构稳定。验算抗倾覆稳定性时，将挡土墙的自重，惯性力和土压力对墙趾取矩，其中设重力和惯性力的作用点位于挡土墙的重心，而土压力的作用点由式(18)确定，则挡土墙的抗倾覆稳定安全系数Kt可表示为
KMWw+MPaeyt=
MPaex+MQhw+M=
Qvw
WwXc+Paesin(α+δ)Xa
P+Q (23)
aecos(α+δ)ZahwZc+QvwXc
式中：MWw，MPaey，MPaex，MQhw，MQvw分别为挡
土墙自重、土压力竖向分力、土压力水平分力、挡
土墙水平地震惯性力和竖向地震惯性力对墙趾点的力矩；Xc，Zc分别为重力和惯性力的水平和竖向力臂；Xa，Za分别为土压力的水平和竖向力臂，如图2所示。
3 参数分析
由式(13)，(14)，(17)可知，Pae是关于变量t/T，
θ，H/λ和H/η的函数。其中，H/λ和H/η表
示的物理意义是挡土墙墙高与填土中地震波波长的比值。如果已知墙高、填土剪切模量和泊松比，则
长度比值关系为常数，Pae变为时间量t/T和滑动面夹角θ的函数。其中，t/T的取值范围为0～1，θ的取值范围为0～π/2+α，此范围内Pae的最大值对应所求的主动土压力合力。通过编写迭代算法程序，可以求出此二元函数的最优解，再将对应的t/T和θ依次代入计算式中，可以算出稳定安全系数。值得注意的是，为防止无黏性土发生剪切流动，考虑放大效应，填土的内摩擦角应满足以下条件[6]：
ϕ≥arctan⎜
⎛
fakh
⎞
(24) ⎝1−f⎟ akv⎠
下面通过算例，讨论地震加速度放大系数、填土内摩擦角、墙土外摩擦角、墙背面倾角、填土面倾角等参数对挡土墙抗倾覆稳定性的影响。根据M. D. Braja[15]的研究，岩土工程中的大部分材料的压缩波和剪切波的波速比值为1.87。波速按照此关系取值，本文算例采用的参数如下[6]：H= 10 m，γ3s= 18 kN/m，
γw= 24 kN/m3，Bt= 4 m，H/(TVss)= 0.3，H/(TVps)=
0.16，H/(TVsw)= 0.012，H/(TVpw)= 0.007 7。 3.1 地震加速度放大系数影响
分别取参数ϕ= 40°，δ= 20°，α= 10°，β= 0°，kv= 0.5kh，fa=faw=f=1.0，1.2，1.4。放大系数不同时，稳定安全系数随着水平地震影响系数kh的变化关系如图3所示。kh取值范围为0.0～0.4，可
kv=0.5kh，ϕ=40°，δ=20°，
α=10°，β=0°
图3 放大系数对倾覆稳定性的影响
Fig.3 Influence of amplification factor on overturning stability
• 2158 • 岩石力学与工程学报 2013年
以看出，稳定系数随着kh的不断增大而迅速减小，地震作用对挡土墙的稳定性有着显著影响。当kh＜0.1时，不同加速度放大系数下的稳定安全系数差别不大，但是随着kh的增大，差别逐渐显现。且kh相同时，f越大，Kt越小，说明忽略加速度放大效应是不安全的。
3.2 填土内摩擦角影响
分别取参数ϕ= 20°，30°，40°，δ=ϕ/2，α= 10°，β= 0°，fa=faw=f= 1.2。填土内摩擦角对挡土墙的抗倾覆稳定性的影响如图4所示。可见，内摩擦角对稳定性影响显著。地震作用相同时，内摩擦角越大，稳定性越好。然而，内摩擦角不同时，挡土墙的稳定性对kh的敏感性不同，内摩擦角较大时，稳定安全系数Kt随kh下降得更快。当kh＞0.2时，不同内摩擦角计算所得的挡土墙的稳定系数Kt值差距明显变小，这说明当地震作用变得较强烈后，内摩擦角对挡土墙抗倾覆的影响减弱。
kv=0.5kh，f=1.2，δ=0.5ϕ，
α=10°，β=0°
图4 填土内摩擦角对倾覆稳定性的影响
Fig.4 Influence of soil friction angle on overturning stability
3.3 墙土外摩擦角影响
分别取参数ϕ= 40°，δ= 0°，0.25ϕ，0.5ϕ， α= 10°，β= 0°，fa=faw=f= 1.2， kv= 0.5kh。不同墙土外摩擦角下，抗倾覆稳定安全系数变化如图5所示。外摩擦角与内摩擦角的影响效果类似，
kv=0.5kh，ϕ=40°，f=1.2，
α=10°，β=0°
图5 墙土外摩擦角对倾覆稳定性的影响
Fig.5 Influence of wall friction angle on overturning stability
相同地震作用下，外摩擦角越大，挡土墙稳定性越
好。外摩擦角较大时，稳定安全系数随kh的增大而减小的速率更快。随着地震作用的变大，不同外摩擦角计算所得的稳定安全系数值差距减小。 3.4 墙背面倾角影响
分别取参数ϕ= 40°，δ= 0.5ϕ，β= 0°，α= 0°，5°，10°，fa=faw=f= 1.2，kv= 0.5kh。墙背面倾角对倾覆稳定性的影响如图6所示。可见，相同地震作用时，墙背面倾角越大，稳定安全系数越高，这是因为倾角越大，土压力的竖向分量越大，使抗倾覆力矩增大。此外，与内、外摩擦角的作用略有差别，不同墙背面倾角时，挡土墙的稳定安全系数随地震影响系数的下降走势基本相同，差距缩小不明显。
kv=0.5kh，ϕ=40°，δ=20°，f=1.2，β=0°
图6 墙背面倾角对倾覆稳定性影响
Fig.6
Influence of wall inclination angle on overturning stability
3.5 填土面倾角影响
分别取参数ϕ= 40°，δ= 0.5ϕ，α= 10°，β= 0°，10°，20°，fa=faw=f= 1.2，kv= 0.5kh。稳定安全系数随填土面倾角的变化如图7所示。填土面倾角的增大会使主动土压力明显增大，故kh相同时，
β越大，挡土墙的稳定性越差。
kv=0.5kh，ϕ=40°，δ=20°，
α=10°，f=1.2
图7 填土面倾角对倾覆稳定性的影响
Fig.7 Influence of backfill inclination angle on overturning stability
4 计算方法对比
拟静力法假设地震作用时，挡土墙和填土中的
第32卷 第10期 黄 睿等：地震作用下挡土墙抗倾覆稳定安全系数研究 • 2159 •
地震加速度不随时间和深度变化，同样假设惯性力和重力作用点位于梯形挡土墙的重心，而主动土压力的合力作用点位于墙高的1/3处。拟静力法和拟动力法计算结果对比如图8所示。可见，2种方法计算所得的抗倾覆稳定安全系数随地震作用的变化趋势基本一致。但是，拟静力法是沿着墙高按照地震加速度的峰值计算惯性力，且不考虑加速度的相位变化，同时土压力的合力点也没有变化。相反，本文采用的拟动力方法计算中，考虑地震周期和波动效应，惯性力沿深度并不是完全采用加速度峰值计算，且土压力合力点随着地震作用的增大而略微下降，所以计算出的稳定安全系数比拟静力法偏大。
kv=0.5kh，ϕ=40°，δ=20°，
α=10°，β=0°，f=1.2
图8 拟静力法和拟动力法计算结果对比
Fig.8 Comparison of calculation results by pseudo-static
method and pseudo-dynamic method
5
结 论 (1) 本文采用拟动力法，假定地震效应沿挡土墙高线性增大，并考虑墙背面和填土面倾斜的工况，将地震作用的惯性力计入其中，提出挡土墙抗倾覆稳定安全系数Kt的计算方法。
(2) 数值算例结果表明：抗倾覆稳定安全系数随着填土内摩擦角、墙土外摩擦角、墙背面倾角的增大而增大，随地震加速度放大系数、水平地震影响系数、填土面倾角的增大而减小。其中，只有当地震作用较强(kh＞0.1)时，放大系数对倾覆稳定性的影响才逐渐体现。当地震作用较小(kh＜0.2)时，不同内、外摩擦角算得的稳定系数Kt相差较大，随着地震作用的增大，Kt相差量逐渐变小。而墙背面倾角和填土面倾角取不同值时，倾覆稳定安全系数随地震加速度影响系数的下降趋势基本一致，差距无明显的减小。
(3) 与传统的拟静力法相比，拟动力法考虑了地震周期和地震波效应对填土和挡土墙的影响，能更真实地反映地震的动力特性。由于计算假设的差别，拟动力法计算中的地震加速度沿着墙高是变化
的，并非完全按照峰值计算，且所得的土压力合力
作用点也随着地震作用的增强而略微降低，故最终得到的抗倾覆稳定系数比拟静力法偏大。 参考文献(References)：
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摘要：基于拟动力法，考虑墙背面和填土面倾斜的工况，推导出挡土墙在地震作用下的抗倾覆稳定安全系数的计算表达式。数值算例结果表明，稳定安全系数随着填土内摩擦角、墙土外摩擦角和墙背面倾角的增大而增大，随地震放大系数、水平加速度影响系数和填土面倾角的增大而减小。其中，只有在地震作用较大时，放大系数的影响才逐渐显现，同时，摩擦角的影响却相对减弱；墙背面倾角和填土面倾角不同时，稳定系数随地震作用的变化趋势基本一致。通过对比2种计算方法的结果可知，拟动力法由于考虑了地震周期和地震波效应的影响，计算得到的稳定安全系数比拟静力法大。
关键词：土力学；挡土墙；地震；稳定性；拟动力法
中图分类号：TU 43 文献标识码：A 文章编号：1000–6915(2013)10–2154–06
STUDY OF OVERTURNING STABILITY SAFETY FACTOR OF RETAINING
WALL UNDER SEISMIC ACTION
HUANG Rui，XIA Tangdai1，CHEN Weiyun2
1
(1. Key Laboratory of Soft Soils and Geoenvironmental Engineering，Ministry of Education，Zhejiang University，Hangzhou，
Zhejiang 310058，China；2. College of Transportation Science and Engineering，Nanjing University of Technology，
Nanjing，Jiangsu 210009，China)
Abstract：Based on pseudo-dynamic method，a formula of stability safety factor of retaining wall against overturning under seismic action is derived，considering the inclination conditions of retaining wall back and backfill soil. Numerical results indicate that the stability safety factor increases with the increase of soil friction angle，wall friction angle and wall inclination angle；but it decreases with the increase of seismic amplification factor，horizontal seismic acceleration coefficient and backfill inclination angle. Thereinto，only under violent earthquake action，the seismic amplification effect can emerge gradually；at the same time，the influences of friction angles on the stability relatively weaken instead. The various trends of stability safety factors with seismic actions are in basic agreement under different wall inclination angles and backfill inclination angles. Comparing the calculating results by two methods，the overturning stability safety factor by pseudo-dynamic method considering the effects of earthquake period and seismic waves into account，is larger than that by pseudo-static method. Key words：soil mechanics；retaining wall；earthquake；stability；pseudo-dynamic method
一些成果。其中被工程界普遍采用是Mononobe-
1 引 言
随着国家对抗震设计要求的提高，挡土墙在地震作用下的稳定性问题再次引起了工程师们的关注和重视。众多学者已对此问题进行了研究，取得了
收稿日期：2013–06–03；修回日期：2013–07–02
Okabe方法，该方法是基于库仑土压力理论，将地震作用的惯性力施加于挡土墙后的滑动土楔体，再由平衡条件得到土压力的计算公式，进而可以对挡土墙的稳定性进行分析，此方法也叫拟静力法。S. K. Shukla等[1]对拟静力法进行改进，其可用于计算黏
基金项目：国家自然科学基金与高速铁路基础研究联合基金重点支持项目(U1234204)
作者简介：黄 睿(1987–)，男，2010年毕业于浙江大学土木工程专业，现为博士研究生，主要从事基础工程与土动力学方面的研究工作。E-mail：[email protected]
第32卷 第10期 黄 睿等：地震作用下挡土墙抗倾覆稳定安全系数研究 • 2155 •
性土的地震土压力。然而，拟静力法假设地震作用的惯性力与周期无关，且地震加速度的相位和大小是固定不变的。这些假设过于简化，与地震工况存在较大差异。
为更真实地描述地震的动力特性，R. S. Steedman和 X. Zeng[2]提出将地震周期和相位对惯性力的影响考虑在内的计算方法，称作拟动力法。随后，X. Zeng和R. S. Steedman [3]将离心机试验结果和理论结果进行对比，验证了拟动力法的合理性。基于拟动力法的思路，D. Choudhury等[4-6]针对墙背面竖直、填土面水平的挡土墙，先后对地震作用下的主动、被动土压力，以及挡土墙在被动模式下的转动问题进行了研究。P. Ghosh等[7-8]计算并分析了倾斜墙背和折线型挡土墙的地震土压力。王志凯等[9]将拟动力法和水平层分析法相结合，通过力矩平衡建立方程得到土压力的分布，并指出忽略地震加速度的放大效应是偏危险的。夏唐代等[10]采用拟动力法推导得出了黏性土的地震主动土压力的计算式，并对内、外摩擦角和地震参数对土压力的影响进行讨论。杨 剑[11]对竖直墙背、倾斜填土挡土墙的地震被动土压力进行了分析。马少俊等[12-13]针对忽略地震加速度放大效应和填土面水平的工况，讨论了挡土墙滑动和倾覆的稳定性问题。周小平等[14]假设墙后填土滑动面为曲面，采用拟动力法分析了强震作用下填土面水平的临水挡土墙被动模式的稳定问题。
由上述研究可知，相比于拟静力法，拟动力法能更准确地描述地震的动力特征，理论上更加严谨，故本文采用拟动力法。假定地震效应沿墙高线性增大、并考虑墙背面和填土面倾斜的工况，提出挡土墙在地震作用下的抗倾覆稳定安全系数的计算方法，并通过算例讨论地震加速度放大效应、填土内摩擦角、墙土间外摩擦角、填土面倾角对挡土墙抗倾覆稳定性的影响。对比拟动力法与拟静力法计算结果显示，稳定系数随地震加速度的变化规律基本一致，但是由于拟动力法考虑了地震加速度沿墙高的相位变化，所得的稳定系数比拟静力法偏大。
2 计算模型
2.1 计算假定
本文计算采用以下基本假定[5-6]：
(1) 挡土墙受力简化为平面应变问题，不考虑挡土墙尺寸等空间效应。
(2) 挡土墙的倾覆为临界状态时，墙后土体达
到极限平衡，并形成滑动楔体，2条滑动面通过挡土墙墙蹱，一条沿着墙背，另一条位于墙后填土内。
(3) 挡土墙看作刚体，墙后填土为均质且各向同性的无黏性土。
(4) 剪切波和压缩波在墙后填土和挡土墙内传播，介质材料的剪切模量(Gs和Gw)为常数。
(5) 地震加速度的相位和峰值随着墙高变化，其中，峰值是沿着墙高线性放大的。
(6) 地震时，填土和挡土墙下部基础的土体以正弦的稳态形式振动。 2.2 地震主动土压力
考虑墙背面和填土面都倾斜的挡土墙工况如图1所示，图中，α为墙背面倾角，β为墙后填土面的倾角，δ为挡土墙和填土之间的外摩擦角，ϕ为填土的内摩擦角。作用在滑动土体上的力有：滑动土楔体的自重Ws、地震主动土压力合力Pae、填土对滑动土楔体的反力R以及水平与竖向地震惯性力
Qhs和Qvs。
图1 地震主动土压力计算模型
Fig.1 Calculation model for seismic active earth pressure
由图1的几何关系可得到与填土面平行的薄土层单元质量表达式为 dms=ρ−α)secα(1+tanαtanθ)
s(H−z)
cos(βcosβtanθ−sinβ
dz
(1)
式中：ρs为填土密度，H为挡土墙高度，z为计算深度，θ为土楔体滑裂面倾角。
填土重度为γs，则滑动土楔体的自重为 W1cos(β−α)secα(1+tanαtanθ)s=2γsH2cosβtanθ−sinβ (2)
根据假定(4)，地震时填土中传播的剪切波和压缩波波速分别为
• 2156 • 岩石力学与工程学报 2013年
Vss=
(3)
Vps= (4)
式中：ρs和υs分别为填土的密度和泊松比，Gs为填土的剪切模量。
类似地，挡土墙中也存在剪切波和压缩波，其波速表达式分别为
Vsw=
(5)
Vpw= (6)
式中：ρw和υw分别为挡土墙的密度和泊松比，Gw
为挡土墙的剪切模量。
根据假定(5)，地震加速度影响系数满足以下变化规律：
kh(z=0)=fakh(z=H) (7) kv(z=0)=fakv(z=H) (8)
式中：fa为填土的地震加速度放大系数，kh和kv分别为水平和竖向地震加速度影响系数(随z变化)。
挡土墙基础的土体呈正弦稳态形式振动，振动角频率为ω=2π/T，其中T为地震的卓越周期。填土滑动楔体的水平和竖向地震加速度的表达式分别为 a，t)=⎡H−z⎡⎛H−z⎞⎤⎢⎣1+H(f⎤
hs(za−1)⎥⎦khgsin⎢⎢ω⎣
⎜t−⎝V⎟⎥
ss⎠⎥⎦(9)
a⎡H−z⎢⎤
⎡⎛H−z⎞⎤vs(z，t)=⎣1+H(fa−1)⎥⎦kvgsin⎢⎢ω⎜⎣⎜t−⎝V⎟ps⎟⎥ ⎠⎥⎦
(10)
式中：g为重力加速度。
地震时，填土滑动楔体受水平、竖向地震惯性力可分别表示为
QH
hs(t)=∫0ahs(z，t)dms (11)
QH
vs(t)=∫0
avs(z，t)dms (12)
将式(1)，(9)代入(11)，整理得
Qλγskhcos(β−α)cosθ(1+tanαtanθ)
hs(t)=
4π2cosαsin(θ−β)
⋅
⎧
⎨2πHcos(ωζ)+λ[sin(ωζ)−sin(ωt)]+
⎩
2(fa−1)[πHcos(ωζ)+λsin(ωζ)]+
(fa−1)λ2[cos(ωt)−cos(ωζ)]⎫
πH⎬⎭
(13)
式中：λ为填土中的剪切波波长，且λ=TVss；
ζ=t−H/Vss。
同理可得
Qηγskvcos(β−α)cosθ(1+tanαtanθ)
vs(t)=
4π2cosαsin(θ−β)
⋅
⎧⎪
⎨⎪2πHcos(ωψ)+η[sin(ωψ)−sin(ωt)]+
⎩
2(fa−1)[πHcos(ωψ)+ηsin(ωψ)]+
(fa−1)η2[cos(ωt)−cos(ωψ)]⎫
πH⎬⎭
(14)
式中：η为填土中的压缩波波长，且η=TVps；
ψ=t−H/Vps。
对滑动土楔体进行受力分析，由水平向的平衡条件可得
Paecos(α+δ)−Qhs(t)−Rcos(ϕ+π/2−θ)=0 (15) 由竖向的平衡条件可得
Paesin(α+δ)+Qvs(t)−Ws+Rsin(ϕ+π/2−θ)=0
(16)
联立式(15)，(16)，挡土墙后填土的地震主动土压力合力可表示为
Pssin(θ−ϕ)
ae=
Wcos(θ−ϕ−δ−α)
+
Qhs(t)cos(θ−ϕ)−Qvs(t)sin(θ−ϕ)
cos(θ−ϕ−δ−α)
(17)
从式(17)可以看出，地震土压力包括两部分：第一部分是由土楔体重力引起的，第二部分则是由填土的水平、竖向地震惯性力引起的。其中，根据本文的计算假定所得到的惯性力，可以反映地震作用的周期和地震波效应的影响。
土压力的合力作用点高度可表示为
H
Z0
pae(z)(H−z)dz
a
=
∫P (18)
ae
式中：pae(z)为土压力强度，且pae(z)=∂Pae/∂z。 2.3 抗倾覆稳定安全系数
地震作用时，挡土墙同样会受到水平和竖向的地震惯性力作用，本文假设挡土墙呈主动模式的倾覆，惯性力的作用方向如图2所示。与填土采用类似的假定，挡土墙的水平和竖向地震加速度的表达式分别为
a(z，t)=⎡H−z⎡⎢⎣1+H(f1)⎤
⎛H−z⎞⎤hwaw−⎥⎦khgsin⎢⎢ω⎣⎜t−⎝V⎟⎥
sw⎠⎥⎦
(19)
a(z，t)=⎡H−z⎡⎢⎣1+H(f⎤
⎛H−z⎞⎤vwaw−1)⎥⎦kvgsin⎢⎢ω⎜t−⎟⎥ ⎣⎜⎝Vpw⎟⎠⎥⎦
(20)
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图2 挡土墙的倾覆计算模型
Fig.2 Calculation model for retaining wall overturning
式中：faw为挡土墙的地震加速度放大系数。
假定挡土墙的形状为直角梯形，墙背面是梯形斜边，梯形上底尺寸为Bt，对梯形的水平单元层沿墙高积分，可得挡土墙受到的水平、竖向地震惯性力的表达式分别为
Qhw(t)=∫
H
⎡H0
⎢⎣1+−zH(faw−1)⎤⎥⎦
khg⋅ sin⎡⎢⎛H−z⎞⎤γw(Bt+z⎢ω⎣⎜t−tanα)⎝V⎟⎥
⎥dz (21) sw⎠⎦
gQH
⎡H−zvw(t)=∫0⎢⎣1+
H(f⎤
aw−1)⎥⎦
kvg⋅ sin⎡⎢⎛H−z⎞⎤γw(Bt+z⎢ω⎜⎣⎜t−tanα)⎝V⎟pw⎟⎥dz (22) ⎠⎥⎦
g式中：γw为挡土墙的重度。
地震作用下，填土的主动土压力水平分量和挡土墙自身的惯性力共同提供倾覆力矩，挡土墙可能发生绕墙趾点O的倾覆破坏，必须保证挡土墙的自重和土压力的竖向分量提供的抗倾覆力矩大于倾覆力矩，才能使结构稳定。验算抗倾覆稳定性时，将挡土墙的自重，惯性力和土压力对墙趾取矩，其中设重力和惯性力的作用点位于挡土墙的重心，而土压力的作用点由式(18)确定，则挡土墙的抗倾覆稳定安全系数Kt可表示为
KMWw+MPaeyt=
MPaex+MQhw+M=
Qvw
WwXc+Paesin(α+δ)Xa
P+Q (23)
aecos(α+δ)ZahwZc+QvwXc
式中：MWw，MPaey，MPaex，MQhw，MQvw分别为挡
土墙自重、土压力竖向分力、土压力水平分力、挡
土墙水平地震惯性力和竖向地震惯性力对墙趾点的力矩；Xc，Zc分别为重力和惯性力的水平和竖向力臂；Xa，Za分别为土压力的水平和竖向力臂，如图2所示。
3 参数分析
由式(13)，(14)，(17)可知，Pae是关于变量t/T，
θ，H/λ和H/η的函数。其中，H/λ和H/η表
示的物理意义是挡土墙墙高与填土中地震波波长的比值。如果已知墙高、填土剪切模量和泊松比，则
长度比值关系为常数，Pae变为时间量t/T和滑动面夹角θ的函数。其中，t/T的取值范围为0～1，θ的取值范围为0～π/2+α，此范围内Pae的最大值对应所求的主动土压力合力。通过编写迭代算法程序，可以求出此二元函数的最优解，再将对应的t/T和θ依次代入计算式中，可以算出稳定安全系数。值得注意的是，为防止无黏性土发生剪切流动，考虑放大效应，填土的内摩擦角应满足以下条件[6]：
ϕ≥arctan⎜
⎛
fakh
⎞
(24) ⎝1−f⎟ akv⎠
下面通过算例，讨论地震加速度放大系数、填土内摩擦角、墙土外摩擦角、墙背面倾角、填土面倾角等参数对挡土墙抗倾覆稳定性的影响。根据M. D. Braja[15]的研究，岩土工程中的大部分材料的压缩波和剪切波的波速比值为1.87。波速按照此关系取值，本文算例采用的参数如下[6]：H= 10 m，γ3s= 18 kN/m，
γw= 24 kN/m3，Bt= 4 m，H/(TVss)= 0.3，H/(TVps)=
0.16，H/(TVsw)= 0.012，H/(TVpw)= 0.007 7。 3.1 地震加速度放大系数影响
分别取参数ϕ= 40°，δ= 20°，α= 10°，β= 0°，kv= 0.5kh，fa=faw=f=1.0，1.2，1.4。放大系数不同时，稳定安全系数随着水平地震影响系数kh的变化关系如图3所示。kh取值范围为0.0～0.4，可
kv=0.5kh，ϕ=40°，δ=20°，
α=10°，β=0°
图3 放大系数对倾覆稳定性的影响
Fig.3 Influence of amplification factor on overturning stability
• 2158 • 岩石力学与工程学报 2013年
以看出，稳定系数随着kh的不断增大而迅速减小，地震作用对挡土墙的稳定性有着显著影响。当kh＜0.1时，不同加速度放大系数下的稳定安全系数差别不大，但是随着kh的增大，差别逐渐显现。且kh相同时，f越大，Kt越小，说明忽略加速度放大效应是不安全的。
3.2 填土内摩擦角影响
分别取参数ϕ= 20°，30°，40°，δ=ϕ/2，α= 10°，β= 0°，fa=faw=f= 1.2。填土内摩擦角对挡土墙的抗倾覆稳定性的影响如图4所示。可见，内摩擦角对稳定性影响显著。地震作用相同时，内摩擦角越大，稳定性越好。然而，内摩擦角不同时，挡土墙的稳定性对kh的敏感性不同，内摩擦角较大时，稳定安全系数Kt随kh下降得更快。当kh＞0.2时，不同内摩擦角计算所得的挡土墙的稳定系数Kt值差距明显变小，这说明当地震作用变得较强烈后，内摩擦角对挡土墙抗倾覆的影响减弱。
kv=0.5kh，f=1.2，δ=0.5ϕ，
α=10°，β=0°
图4 填土内摩擦角对倾覆稳定性的影响
Fig.4 Influence of soil friction angle on overturning stability
3.3 墙土外摩擦角影响
分别取参数ϕ= 40°，δ= 0°，0.25ϕ，0.5ϕ， α= 10°，β= 0°，fa=faw=f= 1.2， kv= 0.5kh。不同墙土外摩擦角下，抗倾覆稳定安全系数变化如图5所示。外摩擦角与内摩擦角的影响效果类似，
kv=0.5kh，ϕ=40°，f=1.2，
α=10°，β=0°
图5 墙土外摩擦角对倾覆稳定性的影响
Fig.5 Influence of wall friction angle on overturning stability
相同地震作用下，外摩擦角越大，挡土墙稳定性越
好。外摩擦角较大时，稳定安全系数随kh的增大而减小的速率更快。随着地震作用的变大，不同外摩擦角计算所得的稳定安全系数值差距减小。 3.4 墙背面倾角影响
分别取参数ϕ= 40°，δ= 0.5ϕ，β= 0°，α= 0°，5°，10°，fa=faw=f= 1.2，kv= 0.5kh。墙背面倾角对倾覆稳定性的影响如图6所示。可见，相同地震作用时，墙背面倾角越大，稳定安全系数越高，这是因为倾角越大，土压力的竖向分量越大，使抗倾覆力矩增大。此外，与内、外摩擦角的作用略有差别，不同墙背面倾角时，挡土墙的稳定安全系数随地震影响系数的下降走势基本相同，差距缩小不明显。
kv=0.5kh，ϕ=40°，δ=20°，f=1.2，β=0°
图6 墙背面倾角对倾覆稳定性影响
Fig.6
Influence of wall inclination angle on overturning stability
3.5 填土面倾角影响
分别取参数ϕ= 40°，δ= 0.5ϕ，α= 10°，β= 0°，10°，20°，fa=faw=f= 1.2，kv= 0.5kh。稳定安全系数随填土面倾角的变化如图7所示。填土面倾角的增大会使主动土压力明显增大，故kh相同时，
β越大，挡土墙的稳定性越差。
kv=0.5kh，ϕ=40°，δ=20°，
α=10°，f=1.2
图7 填土面倾角对倾覆稳定性的影响
Fig.7 Influence of backfill inclination angle on overturning stability
4 计算方法对比
拟静力法假设地震作用时，挡土墙和填土中的
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地震加速度不随时间和深度变化，同样假设惯性力和重力作用点位于梯形挡土墙的重心，而主动土压力的合力作用点位于墙高的1/3处。拟静力法和拟动力法计算结果对比如图8所示。可见，2种方法计算所得的抗倾覆稳定安全系数随地震作用的变化趋势基本一致。但是，拟静力法是沿着墙高按照地震加速度的峰值计算惯性力，且不考虑加速度的相位变化，同时土压力的合力点也没有变化。相反，本文采用的拟动力方法计算中，考虑地震周期和波动效应，惯性力沿深度并不是完全采用加速度峰值计算，且土压力合力点随着地震作用的增大而略微下降，所以计算出的稳定安全系数比拟静力法偏大。
kv=0.5kh，ϕ=40°，δ=20°，
α=10°，β=0°，f=1.2
图8 拟静力法和拟动力法计算结果对比
Fig.8 Comparison of calculation results by pseudo-static
method and pseudo-dynamic method
5
结 论 (1) 本文采用拟动力法，假定地震效应沿挡土墙高线性增大，并考虑墙背面和填土面倾斜的工况，将地震作用的惯性力计入其中，提出挡土墙抗倾覆稳定安全系数Kt的计算方法。
(2) 数值算例结果表明：抗倾覆稳定安全系数随着填土内摩擦角、墙土外摩擦角、墙背面倾角的增大而增大，随地震加速度放大系数、水平地震影响系数、填土面倾角的增大而减小。其中，只有当地震作用较强(kh＞0.1)时，放大系数对倾覆稳定性的影响才逐渐体现。当地震作用较小(kh＜0.2)时，不同内、外摩擦角算得的稳定系数Kt相差较大，随着地震作用的增大，Kt相差量逐渐变小。而墙背面倾角和填土面倾角取不同值时，倾覆稳定安全系数随地震加速度影响系数的下降趋势基本一致，差距无明显的减小。
(3) 与传统的拟静力法相比，拟动力法考虑了地震周期和地震波效应对填土和挡土墙的影响，能更真实地反映地震的动力特性。由于计算假设的差别，拟动力法计算中的地震加速度沿着墙高是变化
的，并非完全按照峰值计算，且所得的土压力合力
作用点也随着地震作用的增强而略微降低，故最终得到的抗倾覆稳定系数比拟静力法偏大。 参考文献(References)：
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