《图形相似与相似三角形》能力提高训练
知识点1. ．相似图形的含义
把形状相同的图形叫做相似图形。（即对应角相等、对应边的比也相等的图形） 解读：
（1）两个图形相似，其中一个图形可以看做由另一个图形放大或缩小得到． （2）全等形可以看成是一种特殊的相似，即不仅形状相同，大小也相同．
（3）判断两个图形是否相似，就是看这两个图形是不是形状相同，与其他因素无关． 例1．放大镜中的正方形与原正方形具有怎样的关系呢？
例2．下列各组图形：①两个平行四边形；②两个圆；③两个矩形；④有一个内角80°的两个等腰三角形；⑤两个正五边形；⑥有一个内角是100°的两个等腰三角形，其中一定是相似图形的是_________(填序号) ． 知识点2．比例线段
对于四条线段a,b,c,d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即
a c
=（或a:b=c:d）那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段． b d
解读：
（1）四条线段a,b,c,d 成比例，记作有顺序性． （2）在比例式
a c
=（或a:b=c:d），不能写成其他形式，即比例线段b d
a c
=（或a:b=c:d）中，比例的项为a,b,c,d ，其中a,d 为比例外项，b,c 为比b d
例内项，d 是第四比例项． （3）如果比例内项是相同的线段，即
a b
=或a:b=b:c，那么线段b 叫做线段和的比例中项。 b c
(4)通常四条线段a,b,c,d 的单位应一致，但有时为了计算方便，a 和b 统一为一个单位，c 和d 统一为另一个单位也可以，因为整体表示两个比相等． 例3．已知线段a=2cm, b=6mm, 求
a ． b
3
cm ，求c 的长度． 2
例4．已知a,b,c,d 成比例，且a=6cm,b=3cm,d=
分析：由a,b,c,d 成比例，写出比例式a:b=c:d，再把所给各线段a,b,,d 统一单位后代入求c ． 例5．已知正数a 、b 、c ，且
a b c
===k ，则下列四个点中在正比例b +c c +a a +b
函数y=kx图象上的点的坐标是（ ）
A. (1，
11
) B. (1，2) C. (1，- ) D.(1，-1) 22
例6．已知x ：y ：z=3：4：5，则
x +y +z
=________。
x +y -z
知识点3．相似多边形的性质
相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．
解读：
（1）正确理解相似多边形的定义，明确“对应”关系．
（2）明确相似多边形的“对应”来自于书写，且要明确相似比具有顺序性． 例5．若四边形ABCD 的四边长分别是4，6，8，10，与四边形ABCD 相似的四边形A 1B 1C 1D 1的最大边长为30，则四边形A 1B 1C 1D 1的最小边长是多少？ 知识点4．相似三角形的概念
对应角相等，对应边之比相等的三角形叫做相似三角形．
注意：①相似比是有顺序的，比如△ABC ∽△A 1B 1C 1，相似比为k, 若△A 1B 1C 1∽△ABC ，则相似比为
1
。②若两个三角形的相似比为1，则这两个三角形全等，全等三角形是相似三k
角形的特殊情况。若两个三角形全等，则这两个三角形相似；若两个三角形相似，则这两个三角形不一定全等．
例6．如图，已知△ADE ∽△ABC ，DE=2，BC=4，则他们的相似比是多少？点D ，E 分别是AB ，AC 的中点吗？
注意：解决此类问题应注意两方面：（1）相似比的顺序性，（2）图形的识别． 知识点5．相似三角的判定方法
（1） 定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似；
（2） 平行于三角形一边的直线截其他两边（或其他两边的延长线）所构成的三角形与原
三角形相似．
（3） 如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角
形相似．
（4） 如果一个三角的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么
这两个三角形相似．
（5） 如果一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三
角形相似．
（6） 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形都相似． 经过归纳和总结，相似三角形有以下几种基本类型： ① 平行线型
常见的有如下两种，D E ∥BC ，则△ADE ∽△ABC
B
B
B C
② 相交线型
常见的有如下四种情形，如图，已知∠1=∠B ，则由公共角∠A 得，△ADE ∽△ABC
如下左图，已知∠1=∠B ，则由公共角∠A 得，△ADC ∽△ACB 如下右图，已知∠B=∠D ，则由对顶角∠1=∠2得，△ADE ∽△
ABC
B
C
③ 旋转型
已知∠BAD=∠CAE ，∠B=
∠D ，则△ADE ∽△ABC ，下图为常见的基本图形．
C
④ 母子型
已知∠ACB=90°，AB ⊥CD ，则△CBD ∽△ABC ∽△ACD ．
解决相似三角形问题，关键是要善于从复杂的图形中分解出（构造出）上述基本图形． 4、如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC 相似的是（ ）
5、如右图所示，D 是△ABC 的边AC 上的点，过D 作直线DE ，与AB 交于点E ，若△ADE•与△ABC 相似，则这样的直线DE 最多可作_______条．
例7．如图，点D 在△ABC 的边AB 上，满足怎样的条件时，△ACD 与△ABC 相似？试分别加以列举．
分析：此题属于探索性问题，由相似三角形的判别方法可知，△ACD 与△ABC 已有公共角∠A ，要使此两个三角形相似，可根据相似三角形的判别方法寻找一个条件即可． 知识点6．相似三角形的性质
（1） 对应角相等，对应边的比相等；
（2） 对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比； （3） 相似三角形周长之比等于相似比；面积之比等于相似比的平方． 例8．如图，已知△ADE ∽△ABC ，AD=8，BD=4，BC=15，EC=7
（1） 求DE 、AE 的长
（2） 你还能发现哪些线段成比例．（说出一种即可） 例9．已知△ABC ∽△A 1B 1C 1，，
AB 2
=，△ABC 的周长为20cm ，面积为40cm 2． A 1B 13A
E
F
求（1）△A 1B 1C 1的周长；（2）△A 1B 1C 1的面积．
8、如图，已知△ABC 中CE ⊥AB 于E,BF ⊥AC 于F, 求证：△AFE ∽△ABC
B
9、
已知，如图，CD 是Rt ∆ABC 斜边上的中线，DE ⊥AB 交BC 于F ，交AC 的延长线于E ，
C
E
C
F
说明：⑴ ∆ADE ∽∆FDB ； ⑵CD =DE ∙DF ．
2
B A D
6、如图ΔABC 中, ∠C=90°, BC = 8cm, AC = 6cm,点P 从B 出发,
沿BC 方向以2cm/s的速度移动, 点Q 从C 出发, 沿CA 方向以1cm/s的速度移动. 若P 、Q 分别同时从B 、C 出发, 经过多少时间ΔCPQ 与ΔCBA 相似?
相似三角形典型习题
1 。如图，P 为Rt △ABC 斜边AB 上任意一点（除A 、B 外）
，过点P 作直线截△ABC ，使截得的新三角形与△ABC 相似，满足这样条件的直线的作法共有（
） A 、1种B 、2种C 、3种D 、4种
点拨：在一个问题有多种情况时，分类小心有遗漏。
2. 如图所示，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 相交于O ，试问：△AOB 和△DOC 是否相似？
3. 如图1，在4×4的正方形方格中，△ABC 和△DEF 的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上。（1）填空：∠ABC ＝__________°，BC ＝__________；（2）判断△ABC 与△DE
是否相似，并证明你的结论。
4 如图2所示，某市经济开发区建有B 、C 、D 三个食品加工厂，这三个工厂和开发区A 处的自来水厂正好在一个矩形的四个顶点上，它们之间有公路相通，且AB ＝CD ＝900米，AD ＝BC ＝1700米。自来水公司已经修好一条自来水主管道AN ，B 、C 两厂之间的公路与自来水管道交于E 处，EC ＝500米。若自来水主管道到各工厂的自来水管道由各厂负担，每米造价800元。
图2
（1）要使修建自来水管道的造价最低，这三个工厂的自来水管道路线应怎样设计？并在图形中画出；
（2）求出各厂所修建的自来水管道的最低的造价各是多少元？
《图形相似与相似三角形》能力提高训练
知识点1. ．相似图形的含义
把形状相同的图形叫做相似图形。（即对应角相等、对应边的比也相等的图形） 解读：
（1）两个图形相似，其中一个图形可以看做由另一个图形放大或缩小得到． （2）全等形可以看成是一种特殊的相似，即不仅形状相同，大小也相同．
（3）判断两个图形是否相似，就是看这两个图形是不是形状相同，与其他因素无关． 例1．放大镜中的正方形与原正方形具有怎样的关系呢？
例2．下列各组图形：①两个平行四边形；②两个圆；③两个矩形；④有一个内角80°的两个等腰三角形；⑤两个正五边形；⑥有一个内角是100°的两个等腰三角形，其中一定是相似图形的是_________(填序号) ． 知识点2．比例线段
对于四条线段a,b,c,d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即
a c
=（或a:b=c:d）那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段． b d
解读：
（1）四条线段a,b,c,d 成比例，记作有顺序性． （2）在比例式
a c
=（或a:b=c:d），不能写成其他形式，即比例线段b d
a c
=（或a:b=c:d）中，比例的项为a,b,c,d ，其中a,d 为比例外项，b,c 为比b d
例内项，d 是第四比例项． （3）如果比例内项是相同的线段，即
a b
=或a:b=b:c，那么线段b 叫做线段和的比例中项。 b c
(4)通常四条线段a,b,c,d 的单位应一致，但有时为了计算方便，a 和b 统一为一个单位，c 和d 统一为另一个单位也可以，因为整体表示两个比相等． 例3．已知线段a=2cm, b=6mm, 求
a ． b
3
cm ，求c 的长度． 2
例4．已知a,b,c,d 成比例，且a=6cm,b=3cm,d=
分析：由a,b,c,d 成比例，写出比例式a:b=c:d，再把所给各线段a,b,,d 统一单位后代入求c ． 例5．已知正数a 、b 、c ，且
a b c
===k ，则下列四个点中在正比例b +c c +a a +b
函数y=kx图象上的点的坐标是（ ）
A. (1，
11
) B. (1，2) C. (1，- ) D.(1，-1) 22
例6．已知x ：y ：z=3：4：5，则
x +y +z
=________。
x +y -z
知识点3．相似多边形的性质
相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．
解读：
（1）正确理解相似多边形的定义，明确“对应”关系．
（2）明确相似多边形的“对应”来自于书写，且要明确相似比具有顺序性． 例5．若四边形ABCD 的四边长分别是4，6，8，10，与四边形ABCD 相似的四边形A 1B 1C 1D 1的最大边长为30，则四边形A 1B 1C 1D 1的最小边长是多少？ 知识点4．相似三角形的概念
对应角相等，对应边之比相等的三角形叫做相似三角形．
注意：①相似比是有顺序的，比如△ABC ∽△A 1B 1C 1，相似比为k, 若△A 1B 1C 1∽△ABC ，则相似比为
1
。②若两个三角形的相似比为1，则这两个三角形全等，全等三角形是相似三k
角形的特殊情况。若两个三角形全等，则这两个三角形相似；若两个三角形相似，则这两个三角形不一定全等．
例6．如图，已知△ADE ∽△ABC ，DE=2，BC=4，则他们的相似比是多少？点D ，E 分别是AB ，AC 的中点吗？
注意：解决此类问题应注意两方面：（1）相似比的顺序性，（2）图形的识别． 知识点5．相似三角的判定方法
（1） 定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似；
（2） 平行于三角形一边的直线截其他两边（或其他两边的延长线）所构成的三角形与原
三角形相似．
（3） 如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角
形相似．
（4） 如果一个三角的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么
这两个三角形相似．
（5） 如果一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三
角形相似．
（6） 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形都相似． 经过归纳和总结，相似三角形有以下几种基本类型： ① 平行线型
常见的有如下两种，D E ∥BC ，则△ADE ∽△ABC
B
B
B C
② 相交线型
常见的有如下四种情形，如图，已知∠1=∠B ，则由公共角∠A 得，△ADE ∽△ABC
如下左图，已知∠1=∠B ，则由公共角∠A 得，△ADC ∽△ACB 如下右图，已知∠B=∠D ，则由对顶角∠1=∠2得，△ADE ∽△
ABC
B
C
③ 旋转型
已知∠BAD=∠CAE ，∠B=
∠D ，则△ADE ∽△ABC ，下图为常见的基本图形．
C
④ 母子型
已知∠ACB=90°，AB ⊥CD ，则△CBD ∽△ABC ∽△ACD ．
解决相似三角形问题，关键是要善于从复杂的图形中分解出（构造出）上述基本图形． 4、如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC 相似的是（ ）
5、如右图所示，D 是△ABC 的边AC 上的点，过D 作直线DE ，与AB 交于点E ，若△ADE•与△ABC 相似，则这样的直线DE 最多可作_______条．
例7．如图，点D 在△ABC 的边AB 上，满足怎样的条件时，△ACD 与△ABC 相似？试分别加以列举．
分析：此题属于探索性问题，由相似三角形的判别方法可知，△ACD 与△ABC 已有公共角∠A ，要使此两个三角形相似，可根据相似三角形的判别方法寻找一个条件即可． 知识点6．相似三角形的性质
（1） 对应角相等，对应边的比相等；
（2） 对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比； （3） 相似三角形周长之比等于相似比；面积之比等于相似比的平方． 例8．如图，已知△ADE ∽△ABC ，AD=8，BD=4，BC=15，EC=7
（1） 求DE 、AE 的长
（2） 你还能发现哪些线段成比例．（说出一种即可） 例9．已知△ABC ∽△A 1B 1C 1，，
AB 2
=，△ABC 的周长为20cm ，面积为40cm 2． A 1B 13A
E
F
求（1）△A 1B 1C 1的周长；（2）△A 1B 1C 1的面积．
8、如图，已知△ABC 中CE ⊥AB 于E,BF ⊥AC 于F, 求证：△AFE ∽△ABC
B
9、
已知，如图，CD 是Rt ∆ABC 斜边上的中线，DE ⊥AB 交BC 于F ，交AC 的延长线于E ，
C
E
C
F
说明：⑴ ∆ADE ∽∆FDB ； ⑵CD =DE ∙DF ．
2
B A D
6、如图ΔABC 中, ∠C=90°, BC = 8cm, AC = 6cm,点P 从B 出发,
沿BC 方向以2cm/s的速度移动, 点Q 从C 出发, 沿CA 方向以1cm/s的速度移动. 若P 、Q 分别同时从B 、C 出发, 经过多少时间ΔCPQ 与ΔCBA 相似?
相似三角形典型习题
1 。如图，P 为Rt △ABC 斜边AB 上任意一点（除A 、B 外）
，过点P 作直线截△ABC ，使截得的新三角形与△ABC 相似，满足这样条件的直线的作法共有（
） A 、1种B 、2种C 、3种D 、4种
点拨：在一个问题有多种情况时，分类小心有遗漏。
2. 如图所示，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 相交于O ，试问：△AOB 和△DOC 是否相似？
3. 如图1，在4×4的正方形方格中，△ABC 和△DEF 的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上。（1）填空：∠ABC ＝__________°，BC ＝__________；（2）判断△ABC 与△DE
是否相似，并证明你的结论。
4 如图2所示，某市经济开发区建有B 、C 、D 三个食品加工厂，这三个工厂和开发区A 处的自来水厂正好在一个矩形的四个顶点上，它们之间有公路相通，且AB ＝CD ＝900米，AD ＝BC ＝1700米。自来水公司已经修好一条自来水主管道AN ，B 、C 两厂之间的公路与自来水管道交于E 处，EC ＝500米。若自来水主管道到各工厂的自来水管道由各厂负担，每米造价800元。
图2
（1）要使修建自来水管道的造价最低，这三个工厂的自来水管道路线应怎样设计？并在图形中画出；
（2）求出各厂所修建的自来水管道的最低的造价各是多少元？