选修1-1 2.3.1抛物线及其标准方程
一、选择题
1、已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆(x－3)2＋y2＝16相切，则p的值为( ) 1A． B．1 C．2 D．4 2
2、设抛物线y2＝2x的焦点为F，过点M(3，0)的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线
S△BCF相交于点C，|BF|＝2，则△BCF与△ACF的面积之比等于( ) S△ACF
4241A． B． C． D． 5372
3、已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )
A．x＝1 B．x＝－1
C．x＝2 D．x＝－2
4、过点M(2,4)作与抛物线y2＝8x只有一个公共点的直线l有( )
A．0条 B．1条 C．2条 D．3条
5、抛物线y2＝2px(p>0)上一点M到焦点的距离是a(a>2)，则点M的横坐标是( )
ppA．a＋ B．a－ 22
C．a＋p D．a－p
p
x2y26、已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在双曲线42＝1上，则抛物线方程为( )
A．y2＝8x B．y2＝4x
C．y2＝2x D．y2＝±8x
7、抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点到其准线的距离是( )
|a||a|aA. B. C．|a| D422
二、填空题
8、已知抛物线x2＝y＋1上一定点A(－1,0)和两动点P，Q，当PA⊥PQ时，点Q的横坐标的取值范围是______________．
9、若动点P在y＝2x2＋1上，则点P与点Q(0，－1)连线中点的轨迹方程是__________．
10、抛物线x2＋12y＝0的准线方程是__________．
三、解答题
11、求与圆(x－3)2＋y2＝9外切，且与y轴相切的动圆圆心的轨迹方程．
12、求焦点在x轴上且截直线2x－y＋1＝015的抛物线的标准方程．
13、已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，抛物线上的点M(－3，m)到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值，并写出抛物线的焦点坐标和准线方程．
以下是答案
一、选择题
1、C [本题考查抛物线的相关几何性质及直线与圆的位置关系．
p方法一 由抛物线的标准方程得准线方程为x＝－. 2
∵准线与圆相切，圆的方程为(x－3)2＋y2＝16，
p∴3＋＝4，∴p＝2. 2
方法二 作图可知，抛物线y2＝2px (p>0)的准线与圆(x－3)2＋y2＝16相切于点(－1,0)，
p所以－1，p＝2.] 2
2、A [如图所示，设过点M(3，0)的直线方程为y＝k(x3)，代入y2＝2x并整理， 得k2x2－(2k2＋2)x＋3k2＝0，
3k＋2则x1＋x2. k2
因为|BF|＝2，所以|BB′|＝2.
13不妨设x2＝2－ 22
3可得k2 322
所以x1＝2.
1dS△BCF2|BC|·|BC||BB′| |AC||AA′|S△ACF1|AC|·d2
24＝.] 1522
3、B [∵y2＝2px的焦点坐标为2，0)，
pp∴过焦点且斜率为1的直线方程为y＝x－，即x＝y＋，将其代入y2＝2px得 22
y1＋y2y＝2py＋p，即y－2py－p＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝2p，∴＝p＝2，∴抛物线的22222p
方程为y2＝4x，其准线方程为x＝－1.]
4、C [容易发现点M(2,4)在抛物线y2＝8x上，这样l过M点且与x轴平行时，或者l在M点处与抛物线相切时，l与抛物线有一个公共点，故选C.]
5、B [由抛物线的定义知：点M到焦点的距离a等于点M到抛物线的准线x2pM的横坐标即点M到y轴的距离为a－.] 2p
x2y26、D [由题意知抛物线的焦点为双曲线421的顶点，即为(－2,0)或(2,0)，所以抛物线的方程为y2＝8x或y2＝－8x.]
7、B [因为y2＝ax，所以p＝22，故选B.] |a||a|二、填空题
8、(－∞，－3]∪[1，＋∞)
2解析 由题意知，设P(x1，x21－1)，Q(x2，x2－1)，
又A(－1,0)，PA⊥PQ，－*6]＝(－x，－2－y)，·＝0，
2即(－1－x1,1－x2(x2－x1，x2－x21)·1)＝0，
2也就是(－1－x1)·(x2－x1)＋(1－x2(x21)·2－x1)＝0.
11∵x1≠x2，且x1≠－1，∴上式化简得x2＝－x1＝(1－x1)－1， 1－x11－x1
由基本不等式可得x2≥1或x2≤－3.
9、y＝4x2
10、y＝3
解析 抛物线x2＋12y＝0，即x2＝－12y，故其准线方程是y＝3.
三、解答题
11、解 设定圆圆心M(3,0)，半径r＝3，动圆圆心P(x，y)，半径为R，则由已知得下列等式
|PM|＝R＋3， |x|＝R
∴|PM|＝|x|＋3.
当x>0时，上式几何意义为点P到定点M的距离与它到直线x＝－3的距离相等， ∴点P轨迹为抛物线，焦点M(3,0)，准线x＝－3，
∴p＝6，抛物线方程为y2＝12x
.
当x
当x＝0时，不符合题意，舍去． 动点P到定点M的距离等于动点P到直线x＝3的距离，点P轨迹为x轴负半轴，
∴所求轨迹方程为y2＝12x (x>0)或y＝0 (x
12、解 设所求抛物线方程为y2＝ax (a≠0)． ① 直线方程变形为y＝2x＋1， ② 设抛物线截直线所得弦为AB.
②代入①，整理得4x2＋(4－a)x＋1＝0，
则|AB|＝ a－4211＋22－4×44
解得a＝12或a＝－4.
∴所求抛物线方程为y2＝12x或y2＝－4x.
13、解 设抛物线方程为y2＝－2px (p>0)，
p－0，由题意， 则焦点F2
m2＝6p，得 p223－m＋2＝5，
p＝4，p＝4，解得或 m＝26，m＝－26.
故所求的抛物线方程为y2＝－8x，m＝±抛物线的焦点坐标为(－2,0)，准线方程为x＝2.
选修1-1 2.3.1抛物线及其标准方程
一、选择题
1、已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆(x－3)2＋y2＝16相切，则p的值为( ) 1A． B．1 C．2 D．4 2
2、设抛物线y2＝2x的焦点为F，过点M(3，0)的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线
S△BCF相交于点C，|BF|＝2，则△BCF与△ACF的面积之比等于( ) S△ACF
4241A． B． C． D． 5372
3、已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )
A．x＝1 B．x＝－1
C．x＝2 D．x＝－2
4、过点M(2,4)作与抛物线y2＝8x只有一个公共点的直线l有( )
A．0条 B．1条 C．2条 D．3条
5、抛物线y2＝2px(p>0)上一点M到焦点的距离是a(a>2)，则点M的横坐标是( )
ppA．a＋ B．a－ 22
C．a＋p D．a－p
p
x2y26、已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在双曲线42＝1上，则抛物线方程为( )
A．y2＝8x B．y2＝4x
C．y2＝2x D．y2＝±8x
7、抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点到其准线的距离是( )
|a||a|aA. B. C．|a| D422
二、填空题
8、已知抛物线x2＝y＋1上一定点A(－1,0)和两动点P，Q，当PA⊥PQ时，点Q的横坐标的取值范围是______________．
9、若动点P在y＝2x2＋1上，则点P与点Q(0，－1)连线中点的轨迹方程是__________．
10、抛物线x2＋12y＝0的准线方程是__________．
三、解答题
11、求与圆(x－3)2＋y2＝9外切，且与y轴相切的动圆圆心的轨迹方程．
12、求焦点在x轴上且截直线2x－y＋1＝015的抛物线的标准方程．
13、已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，抛物线上的点M(－3，m)到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值，并写出抛物线的焦点坐标和准线方程．
以下是答案
一、选择题
1、C [本题考查抛物线的相关几何性质及直线与圆的位置关系．
p方法一 由抛物线的标准方程得准线方程为x＝－. 2
∵准线与圆相切，圆的方程为(x－3)2＋y2＝16，
p∴3＋＝4，∴p＝2. 2
方法二 作图可知，抛物线y2＝2px (p>0)的准线与圆(x－3)2＋y2＝16相切于点(－1,0)，
p所以－1，p＝2.] 2
2、A [如图所示，设过点M(3，0)的直线方程为y＝k(x3)，代入y2＝2x并整理， 得k2x2－(2k2＋2)x＋3k2＝0，
3k＋2则x1＋x2. k2
因为|BF|＝2，所以|BB′|＝2.
13不妨设x2＝2－ 22
3可得k2 322
所以x1＝2.
1dS△BCF2|BC|·|BC||BB′| |AC||AA′|S△ACF1|AC|·d2
24＝.] 1522
3、B [∵y2＝2px的焦点坐标为2，0)，
pp∴过焦点且斜率为1的直线方程为y＝x－，即x＝y＋，将其代入y2＝2px得 22
y1＋y2y＝2py＋p，即y－2py－p＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝2p，∴＝p＝2，∴抛物线的22222p
方程为y2＝4x，其准线方程为x＝－1.]
4、C [容易发现点M(2,4)在抛物线y2＝8x上，这样l过M点且与x轴平行时，或者l在M点处与抛物线相切时，l与抛物线有一个公共点，故选C.]
5、B [由抛物线的定义知：点M到焦点的距离a等于点M到抛物线的准线x2pM的横坐标即点M到y轴的距离为a－.] 2p
x2y26、D [由题意知抛物线的焦点为双曲线421的顶点，即为(－2,0)或(2,0)，所以抛物线的方程为y2＝8x或y2＝－8x.]
7、B [因为y2＝ax，所以p＝22，故选B.] |a||a|二、填空题
8、(－∞，－3]∪[1，＋∞)
2解析 由题意知，设P(x1，x21－1)，Q(x2，x2－1)，
又A(－1,0)，PA⊥PQ，－*6]＝(－x，－2－y)，·＝0，
2即(－1－x1,1－x2(x2－x1，x2－x21)·1)＝0，
2也就是(－1－x1)·(x2－x1)＋(1－x2(x21)·2－x1)＝0.
11∵x1≠x2，且x1≠－1，∴上式化简得x2＝－x1＝(1－x1)－1， 1－x11－x1
由基本不等式可得x2≥1或x2≤－3.
9、y＝4x2
10、y＝3
解析 抛物线x2＋12y＝0，即x2＝－12y，故其准线方程是y＝3.
三、解答题
11、解 设定圆圆心M(3,0)，半径r＝3，动圆圆心P(x，y)，半径为R，则由已知得下列等式
|PM|＝R＋3， |x|＝R
∴|PM|＝|x|＋3.
当x>0时，上式几何意义为点P到定点M的距离与它到直线x＝－3的距离相等， ∴点P轨迹为抛物线，焦点M(3,0)，准线x＝－3，
∴p＝6，抛物线方程为y2＝12x
.
当x
当x＝0时，不符合题意，舍去． 动点P到定点M的距离等于动点P到直线x＝3的距离，点P轨迹为x轴负半轴，
∴所求轨迹方程为y2＝12x (x>0)或y＝0 (x
12、解 设所求抛物线方程为y2＝ax (a≠0)． ① 直线方程变形为y＝2x＋1， ② 设抛物线截直线所得弦为AB.
②代入①，整理得4x2＋(4－a)x＋1＝0，
则|AB|＝ a－4211＋22－4×44
解得a＝12或a＝－4.
∴所求抛物线方程为y2＝12x或y2＝－4x.
13、解 设抛物线方程为y2＝－2px (p>0)，
p－0，由题意， 则焦点F2
m2＝6p，得 p223－m＋2＝5，
p＝4，p＝4，解得或 m＝26，m＝－26.
故所求的抛物线方程为y2＝－8x，m＝±抛物线的焦点坐标为(－2,0)，准线方程为x＝2.