贵州师范大学学报(自然科学版)第21卷第3期Vol.21.No.3
2003年8月Aug.2003文章编号:1004—5570(2003)03-00109-04
日晷投影原理及其应用
刘 群
(贵州师范大学数学与计算机科学系,贵州贵阳 550001)
摘要:应用日晷投影原理,可推导出日晷上确定投影点直角坐标的一般公式,以及5类有代表性的日晷的时线方程。它们的时线皆为直线。其中3类为常见的日晷,其余2类日晷新类型。文中的实例说明新型日晷的安装,并提出附加观测24节气的装置。关
键
词:日晷;日晷投影;节气
中图分类号:P111.41 文献标识码:A
Thetheoryofgnomonicprojectionanditsapplication
LIUQun
(DepartmentofMathematicsandComputerScience,GuizhouNormalUniversity,Guiyang,Guizhou550001,China)
Abstract:Withtheapplicationofthetheoryofgnomonicprojection,thegeneralequationoftherightanglecoordinateontheexactpointofgnomonicprojectionandfivekindsoftypicalequationsofdenotingprjectivelinesofthegnomonicprojectioncanbededuced.Theirprojectivelinesfordenot-ingtimearestraight.Threeofthemareusualgnomonsandtwoofthemarenewtypesofgnomons.Examplesforinstallingnewtypesofgnomonswiththeobservingdevicesofthetwenty-fourdivisionsofthesolartermsaregiveninthearticle.
Keywords:gnomon;gnomonicprojection;solarterms
0 引言
日晷是中国古代在测时仪器方面的一项发明。利用它测定观测点上的真太阳时(地方视时)。在现代,日晷是天文学、地球概论,农业气象等课程教学中的一个直观教具。它的基本构件是晷盘和晷标。晷盘一般为一平面,在其表面刻注白昼各时刻分划,称为时线。晷标选用一根细针,或一条边线,或一个视点。由于地球自转,晷标的日影位置不停地东移而划分出时间。
根据晷盘空间位置的不同,区分为赤道式、地
收稿日期:2003-04-10
平式、垂直式及指极式日晷。上世纪50年代南明公园大门口曾设置过铜铸赤道式日晷,晷盘平行于天赤道平面。地平式日晷的晷盘安置成水平位置。
垂直式日晷的晷盘垂直于天子午圈平面,同时,平行于铅垂线(重力线)方向。指极式日晷的时线为一组平行直线,它连同晷盘和晷标皆平行于地轴(天轴),包括2个亚类,其一为子午式日晷,晷盘平行于子午圈平面;其二为大距式日晷,晷盘垂直于天子午圈平面同时平行于地轴方向。
节气是中国传统文化中人类认识自然的一项经验总结和重要创举。它是依照一年内气候变化
作者简介:刘群(1960-),女,副教授,研究方向:高等数学教学研究及应用。
贵州师范大学学报(自然科学版) 第21卷
而有序地排出的24个日期;对应于地球在公转轨道上依次到达的24个位置;反应为黄道上24个等分点及太阳视运动经过这些点的时刻。每1个月有2个节气,分别根据中国季风区四季、气温、降水和农事活动的季节特征而命名。对适时耕作起着指导作用。由于地轴与公转轨道平面不垂直,反映为一年内日光直射点来回于南北回归线之间移动。在日晷上可增设节气观测装置,一年内日影有规律
地对应于夏至与冬至分划之间来回移动。
在校园、公园或旅游地设置节气日晷观测台,既观测时刻又观测节气,在绿色环境中增添一道人文景观风景线,既具有高雅的文化鉴赏品味,增强园林的观赏性,增加科技含量,又便于用它宣传有关地球运动的科学知识,有关节气和时间的科学知识,树立正确的时空观念
。
图1 日晷投影原理图
平面上投影为圆锥截线,称为赤纬线。时圈皆为大
1 日晷投影原理
1.1 一般公式
太阳在每一天内赤纬的平均值取为δ。略去太阳赤纬在一天内的变化,近似地认为太阳在同一日内视运动路线和相应的平均赤纬圈重合。图1中O为天球中心,POP′为天轴,垂直于天轴同时过天球中心的平面在天球上交出大圆弧Q为天赤道。PQP′为天子午圈。过天球中心的铅垂线与天球交于天顶O2及天底O1。设太阳沿赤纬圈M0M1运行。当太阳经过时圈PQMP′时设时角为t0;经过时圈PM1P′时时角为t。设晷盘平面(投影平面)与时角为(t0+12h)的时圈相切于O1,和天轴交于点C,交角设为δ0。以天球中心O作为晷标(视点),每一天此晷标的日影投落于晷盘上描出太阳视运动路线。
由于各赤纬圈皆以天轴为共同的轴,组成同轴圆,又以视点为共同的顶,组成圆锥面,所以它们在圆弧,在平面上投影皆为直线,称为时线。日晷的基本特征之一是时线为直线。
又取天顶O2为地平坐标系起算原点。O2的赤纬为δ0。当太阳位于M1时,它对于O2的位置由方位角ψ及天顶距Z(大圆孤O2M1)确定。
同时在晷面建立直角坐标系。取O2的投影点O1(投影中心)为原点,时角为t0的时圈的投影NC(中央时线)为X轴,某时刻M1的投影为m1,其位置由直角坐标(x,y)确定。设半径OO1=d,点m1对于投影中心O1ρ,得
x=ρcosψ=dtanzcos(1)
y=ρsinψ=dtanzsin为了从太阳的赤道坐标推求地平坐标,引用球面三角常用公式:
cosz=sinδsinδcosδcosδt-t0)0+0cos(sinzsinψ=cosδsin(t-t0)
sinzcosψ=-sinδcosδcosδsinδt-t00+0cos(
(2)
第3期 刘 群:日晷投影原理及其应用
式(2)代入式(1),得
d[-sinδcosδcosδt-t0)]0+0cos(xsinδsinδcosδcosδt-t0)0+0cos(dcosδsin(t-t0)ysinδsinδcosδcosδt-t0)0+0cos(由式(3)消去δ,得一般时线方程。
xsinδycot(t-t0)=-dcosδ0-0
1.2 地平式日晷的时线
取δ,φ为观测点纬度,此条件下式(4)写0=φ成:
xsinφ-ycot(t-t0)=-dcosφ
当y=0时x=-dcotφ,
说明时线共交于距原点为-dcotφ的一个点。若x=0,则
y=dcosφtan(t-t0),
这是任一时线和y轴交点距原点距离,设任一时线(m1c)与x轴夹角为θ,
tanθ=sinφtan(t-t0)
说明各时线间夹角不均匀。(t-t0)=6的时线和y轴相平行。以上所述为地平式日晷时线结构特征。
1.3 垂直式日晷的时线
取δ0=90°-φ,由式(4),得垂直式日晷时线方程
xcosφ-ycot(t-t0)=-dsinφ1.4 赤道式日晷的时线
取δ90°,由式(4)得0=t-t0)x=dtan(1.5 指极式日晷的时线
当δ0°,晷盘与天轴方向平行,由式(4)0=y=dtan(t-t0)
(8)
时线为一组平行直线。这是指极式日晷时线
特征,它们与天轴平行。
这类日晷包括2个亚类。其一为t0=0h,晷盘和天子午圈平面相垂直,称为大距式日晷;其二为t0=6或t0=18,晷盘与天子午圈平面相平行,称为子午式日晷。这两个亚类是过去少见的日晷新类型。
在地球表面赤道上安装日晷进行观测,由于φ=0°,赤道式和垂直式日晷相同,合为同一类型;同
h
h
h
时,地平式和大距式日晷相同。如果在地极上观测,φ=90°,垂直式和指极式日晷相同,地平式和
(3)
赤道式日晷相同。
1.6 节气线
根据相应于一定节气的太阳赤纬值(δ)在晷盘上可作出相应于各节气的赤纬线,称为节气线。由式(3)可计算节气线和时线交点的直角尘标。在指极式日晷上二分线(春分及秋分)为直线(Y轴),其它节气线为双曲线。由式(3),
x=-dtanδsec(t-t0)-t0),得赤纬线方程
x+y=dcotδ
这说明节气线为一组同心圆。
2
2
2
2
这是确定晷面投影点直角坐标的一般公式。
(4)
(9)
对于赤道式日晷,取δ90°代入(3),消去(t0=
(5)
(10)
2 节气日晷的设置
2.1 观测台墩的建立
选择有阳光直接照射的地方,建高1.5m左右
的混凝土台墩,用于支撑顶部的观测装置。台面参考尺寸可选用东西宽1m,南北长2m。用罗盘仪测定磁南北线位置,在贵阳附近,磁针偏西1°18′。夜间用经纬仪瞄准北极星,检测真南北线位置。2.2 上部组装
台墩上部为北高南低及东西二侧呈三角形剖面的混凝土装置。顶部斜面宽1m,长2.232m;对应的水平底面长保持为2m,宽1m。对应的剖面三角形直角边(正北方)为0.991m,使顶面保持倾角等于26.59°(贵阳观测点纬度),适用于贵阳(图3)。此倾角(φ)底边的水平位置要用水准仪从东西二侧进行检校。
顶面南半部面积为1m×1.116m的范围内东西二边缘构筑长1.116m、高10cm、宽20cm的矩形人造石边框,此边框内边缘为晷标(利于露天保存)。内边缘高度(d)须准确检定。南半部为指时盘。
顶面北半部为节气盘。刻划出中线(南北线)位置。取盘面南北线中点为半圆盘圆心。安装半径为0.5m、厚10cm的半圆盘,严格垂直于顶部斜面,同时垂直于南北线。利用半圆边缘的日影投落在南北线上位置而观测节气。2.3 指时盘上时线
顶面南半部刻划出上午及下午2组平行时线及注字。根据贵阳观测点经度(106.7181°),算出
(6)
(7)
说明赤道式日晷的时线与x轴交角θ=t-t0。
贵州师范大学学报(自然科学版) 第21卷
本地平太阳时和东经120°经线上平太阳时之差为53.1276min。在东西2边框的正下方选择为(12点+53.1276分)的时线位置,将对应的各时线注字统一改为北京时间(钟表时刻)。设某时线与内边框间距为L,
L=htant
(11)
t为从天子午圈起算的时角,h=d为内边框高度。这是新型的大距式日晷装置,时线为一组指向天北极的平行线。
2.4 节气盘上分划与注记
顶面北半部沿南北线上各节气线通过点与半圆盘外边缘间距设为L1,
L1=Rtanδ
(12)
R为所选用的半圆盘半径,δ为对应于各节气的太阳赤纬。L1值用于沿南北线上刻划相应的分
划与注记。同一天内半圆盘边缘的日影落在南北
线上位置保持不变,因此,可依据南北线上日影位置确定当天已经到达哪个节气。
由太阳黄经(λ)及黄赤交角(ε)推算太阳赤纬(δ)的公式为
tanδ=sinεsinλ÷[1-sin2εsin2λ]
(13)
注:东经120°地方平时(钟表时刻)与日晷观测所得地方视时之间除经度差外,还存在时差。2月份时差负值达到最大,为-14min;7、8月之间时差正值达到最大,为16min。要用地方视时减去时差,才得出地方平时。
参考文献:
[1]应振华,缪维予,方明亮.地球概论教学参考[M].西
安:陕西师范大学出版社,1986.
[2]方炳炎.地图投影计算用表[M].北京:测绘出版社,
1979.
声明
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贵州师范大学学报(自然科学版)第21卷第3期Vol.21.No.3
2003年8月Aug.2003文章编号:1004—5570(2003)03-00109-04
日晷投影原理及其应用
刘 群
(贵州师范大学数学与计算机科学系,贵州贵阳 550001)
摘要:应用日晷投影原理,可推导出日晷上确定投影点直角坐标的一般公式,以及5类有代表性的日晷的时线方程。它们的时线皆为直线。其中3类为常见的日晷,其余2类日晷新类型。文中的实例说明新型日晷的安装,并提出附加观测24节气的装置。关
键
词:日晷;日晷投影;节气
中图分类号:P111.41 文献标识码:A
Thetheoryofgnomonicprojectionanditsapplication
LIUQun
(DepartmentofMathematicsandComputerScience,GuizhouNormalUniversity,Guiyang,Guizhou550001,China)
Abstract:Withtheapplicationofthetheoryofgnomonicprojection,thegeneralequationoftherightanglecoordinateontheexactpointofgnomonicprojectionandfivekindsoftypicalequationsofdenotingprjectivelinesofthegnomonicprojectioncanbededuced.Theirprojectivelinesfordenot-ingtimearestraight.Threeofthemareusualgnomonsandtwoofthemarenewtypesofgnomons.Examplesforinstallingnewtypesofgnomonswiththeobservingdevicesofthetwenty-fourdivisionsofthesolartermsaregiveninthearticle.
Keywords:gnomon;gnomonicprojection;solarterms
0 引言
日晷是中国古代在测时仪器方面的一项发明。利用它测定观测点上的真太阳时(地方视时)。在现代,日晷是天文学、地球概论,农业气象等课程教学中的一个直观教具。它的基本构件是晷盘和晷标。晷盘一般为一平面,在其表面刻注白昼各时刻分划,称为时线。晷标选用一根细针,或一条边线,或一个视点。由于地球自转,晷标的日影位置不停地东移而划分出时间。
根据晷盘空间位置的不同,区分为赤道式、地
收稿日期:2003-04-10
平式、垂直式及指极式日晷。上世纪50年代南明公园大门口曾设置过铜铸赤道式日晷,晷盘平行于天赤道平面。地平式日晷的晷盘安置成水平位置。
垂直式日晷的晷盘垂直于天子午圈平面,同时,平行于铅垂线(重力线)方向。指极式日晷的时线为一组平行直线,它连同晷盘和晷标皆平行于地轴(天轴),包括2个亚类,其一为子午式日晷,晷盘平行于子午圈平面;其二为大距式日晷,晷盘垂直于天子午圈平面同时平行于地轴方向。
节气是中国传统文化中人类认识自然的一项经验总结和重要创举。它是依照一年内气候变化
作者简介:刘群(1960-),女,副教授,研究方向:高等数学教学研究及应用。
贵州师范大学学报(自然科学版) 第21卷
而有序地排出的24个日期;对应于地球在公转轨道上依次到达的24个位置;反应为黄道上24个等分点及太阳视运动经过这些点的时刻。每1个月有2个节气,分别根据中国季风区四季、气温、降水和农事活动的季节特征而命名。对适时耕作起着指导作用。由于地轴与公转轨道平面不垂直,反映为一年内日光直射点来回于南北回归线之间移动。在日晷上可增设节气观测装置,一年内日影有规律
地对应于夏至与冬至分划之间来回移动。
在校园、公园或旅游地设置节气日晷观测台,既观测时刻又观测节气,在绿色环境中增添一道人文景观风景线,既具有高雅的文化鉴赏品味,增强园林的观赏性,增加科技含量,又便于用它宣传有关地球运动的科学知识,有关节气和时间的科学知识,树立正确的时空观念
。
图1 日晷投影原理图
平面上投影为圆锥截线,称为赤纬线。时圈皆为大
1 日晷投影原理
1.1 一般公式
太阳在每一天内赤纬的平均值取为δ。略去太阳赤纬在一天内的变化,近似地认为太阳在同一日内视运动路线和相应的平均赤纬圈重合。图1中O为天球中心,POP′为天轴,垂直于天轴同时过天球中心的平面在天球上交出大圆弧Q为天赤道。PQP′为天子午圈。过天球中心的铅垂线与天球交于天顶O2及天底O1。设太阳沿赤纬圈M0M1运行。当太阳经过时圈PQMP′时设时角为t0;经过时圈PM1P′时时角为t。设晷盘平面(投影平面)与时角为(t0+12h)的时圈相切于O1,和天轴交于点C,交角设为δ0。以天球中心O作为晷标(视点),每一天此晷标的日影投落于晷盘上描出太阳视运动路线。
由于各赤纬圈皆以天轴为共同的轴,组成同轴圆,又以视点为共同的顶,组成圆锥面,所以它们在圆弧,在平面上投影皆为直线,称为时线。日晷的基本特征之一是时线为直线。
又取天顶O2为地平坐标系起算原点。O2的赤纬为δ0。当太阳位于M1时,它对于O2的位置由方位角ψ及天顶距Z(大圆孤O2M1)确定。
同时在晷面建立直角坐标系。取O2的投影点O1(投影中心)为原点,时角为t0的时圈的投影NC(中央时线)为X轴,某时刻M1的投影为m1,其位置由直角坐标(x,y)确定。设半径OO1=d,点m1对于投影中心O1ρ,得
x=ρcosψ=dtanzcos(1)
y=ρsinψ=dtanzsin为了从太阳的赤道坐标推求地平坐标,引用球面三角常用公式:
cosz=sinδsinδcosδcosδt-t0)0+0cos(sinzsinψ=cosδsin(t-t0)
sinzcosψ=-sinδcosδcosδsinδt-t00+0cos(
(2)
第3期 刘 群:日晷投影原理及其应用
式(2)代入式(1),得
d[-sinδcosδcosδt-t0)]0+0cos(xsinδsinδcosδcosδt-t0)0+0cos(dcosδsin(t-t0)ysinδsinδcosδcosδt-t0)0+0cos(由式(3)消去δ,得一般时线方程。
xsinδycot(t-t0)=-dcosδ0-0
1.2 地平式日晷的时线
取δ,φ为观测点纬度,此条件下式(4)写0=φ成:
xsinφ-ycot(t-t0)=-dcosφ
当y=0时x=-dcotφ,
说明时线共交于距原点为-dcotφ的一个点。若x=0,则
y=dcosφtan(t-t0),
这是任一时线和y轴交点距原点距离,设任一时线(m1c)与x轴夹角为θ,
tanθ=sinφtan(t-t0)
说明各时线间夹角不均匀。(t-t0)=6的时线和y轴相平行。以上所述为地平式日晷时线结构特征。
1.3 垂直式日晷的时线
取δ0=90°-φ,由式(4),得垂直式日晷时线方程
xcosφ-ycot(t-t0)=-dsinφ1.4 赤道式日晷的时线
取δ90°,由式(4)得0=t-t0)x=dtan(1.5 指极式日晷的时线
当δ0°,晷盘与天轴方向平行,由式(4)0=y=dtan(t-t0)
(8)
时线为一组平行直线。这是指极式日晷时线
特征,它们与天轴平行。
这类日晷包括2个亚类。其一为t0=0h,晷盘和天子午圈平面相垂直,称为大距式日晷;其二为t0=6或t0=18,晷盘与天子午圈平面相平行,称为子午式日晷。这两个亚类是过去少见的日晷新类型。
在地球表面赤道上安装日晷进行观测,由于φ=0°,赤道式和垂直式日晷相同,合为同一类型;同
h
h
h
时,地平式和大距式日晷相同。如果在地极上观测,φ=90°,垂直式和指极式日晷相同,地平式和
(3)
赤道式日晷相同。
1.6 节气线
根据相应于一定节气的太阳赤纬值(δ)在晷盘上可作出相应于各节气的赤纬线,称为节气线。由式(3)可计算节气线和时线交点的直角尘标。在指极式日晷上二分线(春分及秋分)为直线(Y轴),其它节气线为双曲线。由式(3),
x=-dtanδsec(t-t0)-t0),得赤纬线方程
x+y=dcotδ
这说明节气线为一组同心圆。
2
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2
2
这是确定晷面投影点直角坐标的一般公式。
(4)
(9)
对于赤道式日晷,取δ90°代入(3),消去(t0=
(5)
(10)
2 节气日晷的设置
2.1 观测台墩的建立
选择有阳光直接照射的地方,建高1.5m左右
的混凝土台墩,用于支撑顶部的观测装置。台面参考尺寸可选用东西宽1m,南北长2m。用罗盘仪测定磁南北线位置,在贵阳附近,磁针偏西1°18′。夜间用经纬仪瞄准北极星,检测真南北线位置。2.2 上部组装
台墩上部为北高南低及东西二侧呈三角形剖面的混凝土装置。顶部斜面宽1m,长2.232m;对应的水平底面长保持为2m,宽1m。对应的剖面三角形直角边(正北方)为0.991m,使顶面保持倾角等于26.59°(贵阳观测点纬度),适用于贵阳(图3)。此倾角(φ)底边的水平位置要用水准仪从东西二侧进行检校。
顶面南半部面积为1m×1.116m的范围内东西二边缘构筑长1.116m、高10cm、宽20cm的矩形人造石边框,此边框内边缘为晷标(利于露天保存)。内边缘高度(d)须准确检定。南半部为指时盘。
顶面北半部为节气盘。刻划出中线(南北线)位置。取盘面南北线中点为半圆盘圆心。安装半径为0.5m、厚10cm的半圆盘,严格垂直于顶部斜面,同时垂直于南北线。利用半圆边缘的日影投落在南北线上位置而观测节气。2.3 指时盘上时线
顶面南半部刻划出上午及下午2组平行时线及注字。根据贵阳观测点经度(106.7181°),算出
(6)
(7)
说明赤道式日晷的时线与x轴交角θ=t-t0。
贵州师范大学学报(自然科学版) 第21卷
本地平太阳时和东经120°经线上平太阳时之差为53.1276min。在东西2边框的正下方选择为(12点+53.1276分)的时线位置,将对应的各时线注字统一改为北京时间(钟表时刻)。设某时线与内边框间距为L,
L=htant
(11)
t为从天子午圈起算的时角,h=d为内边框高度。这是新型的大距式日晷装置,时线为一组指向天北极的平行线。
2.4 节气盘上分划与注记
顶面北半部沿南北线上各节气线通过点与半圆盘外边缘间距设为L1,
L1=Rtanδ
(12)
R为所选用的半圆盘半径,δ为对应于各节气的太阳赤纬。L1值用于沿南北线上刻划相应的分
划与注记。同一天内半圆盘边缘的日影落在南北
线上位置保持不变,因此,可依据南北线上日影位置确定当天已经到达哪个节气。
由太阳黄经(λ)及黄赤交角(ε)推算太阳赤纬(δ)的公式为
tanδ=sinεsinλ÷[1-sin2εsin2λ]
(13)
注:东经120°地方平时(钟表时刻)与日晷观测所得地方视时之间除经度差外,还存在时差。2月份时差负值达到最大,为-14min;7、8月之间时差正值达到最大,为16min。要用地方视时减去时差,才得出地方平时。
参考文献:
[1]应振华,缪维予,方明亮.地球概论教学参考[M].西
安:陕西师范大学出版社,1986.
[2]方炳炎.地图投影计算用表[M].北京:测绘出版社,
1979.
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