2016大学生物理实验研究论文
受迫振动
闵博雅（19115104）
（东南大学 化学化工学院）
摘 要： 本实验用珀尔共振仪测量了摆轮自由振动，阻尼振动以及受迫振动时的各组数据，以此为依据绘制了曲线，观察到了受迫振动中摆轮运动的特点。 关键词： 共振仪，阻尼振动，受迫振动
Forced vibration
Min Boya 19115104
(College of Chemistry and Chemical Engineering,Southeast University , Nanjin)
Abstract: The experiment used Pearl resonance instrument to get the statistics of free vibration, damping vibration and forced
vibration of a balance wheel, drew lines according to these and got the rules of vibration from the lines. key words: resonance instrument, damping vibration, forced vibration
引言:振动是自然界最常见的运动形式之一。由受迫振动而引起的共振现象在日常生活和工程技术中极为普遍。共振现象在许多领域有着广泛的应用，例如，众多电声器件需要利用共振原理设计制作；为研究物质的微观结构，常采用磁共振的方法。但是共振现象也有极大的破坏性，减震和防震是工程技术和科学研究的一项重要任务。
簧提供的弹性力矩-矩-
k θ，轴承、空气和电磁阻尼力
b
d θ
dt
，电动机偏心系统经卷簧的外夹持端提供
的驱动力矩M
=M 0cos ωt 。
根据转动定理，有
1、实验原理
1.1
受迫振动
物体在周期性外力（亦称驱动力）的持续作用下进行的振动称为受迫振动。在珀尔共振仪中，铜质圆 形摆轮系统作受迫振动时受到三种力矩作用：蜗卷弹
d 2θd θJ =-k θ-b +M 0cos ωt （1） 2
dt dt
式中，J 为摆轮的转动惯量，M 0为驱动力矩的幅值，
ω为驱动力矩的角频率。令
ω2
k M 00=
J
，2δ=
b J
，m =
J
则式(1)可写为
d 2θdt
2
+2δd θ2
dt +ω0θ=m cos ωt （2）
式中δ为阻尼系数，ω0为摆轮系统的固有频率。在小阻尼(δ
2
-ω2) 条件下，方程（2）的通解为
θ=θ-δt a e cos(ωa t +α) +θb cos(ωt +ϕ)
此解为两项之和，表明摆轮的受迫振动包含两个分振动。第一项为阻尼振动，随时间的而推移而趋于消失，它反映了受迫振动的暂态行为，与驱动力无关。第二项表示与驱动力频率相同且振幅为θb 的周期振动。
可见，摆轮的受迫振动在开始时比较复杂，但经过不长的时间后，阻尼振动项衰减到可以忽略不计，受迫振动达到稳定状态。这时，振动的周期即是驱动力的周期，振幅保持稳定不变，于是受迫振动变为简谐振动，有
θ=θb cos(ωt +ϕ) （3） 振幅θb 和初相位ϕ既与振动系统的性质和阻尼情况有关，也与驱动力的频率ω和力矩的幅度M 0有关，而与振动的初始条件无关。θb 和ϕ由下述两式决定：
θm
b =
（4）
ω2
20-ω) 2
+4δ2
ω
2
ϕ=arctan
-2δω
ω2
（5）
0-ω
2
1.2
共振
由极值条件∂θ
b ∂ω
=0可以得出，当驱动力的角
频率为ω=
2
0-2δ2
时，受迫振动的振幅达到
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极大值，产生共振。共振时的角频率ωr 、振幅θr 和相位差ϕr 分别为
ω2
r =ω0-2δ2
θr =
m
2
（6）
2δω2
0-δ
⎛ϕω2
-2δ2
⎫r
=arctan
-
0⎪ ⎪⎝
δ
⎪ ⎭
由上式可以看出，阻尼系数δ越小，共振角频率
ωr 越接近系统的固有频率ω0，共振振幅θr 也越大，
振动的角位移的相位滞后于驱动力矩的相位越接近于
π
。
图1给出了不同阻尼系数条件下受迫振动系统的
振幅频率响应曲线和相位差的频率响应曲线。
图1 受迫振动的幅频特性图和相频特性图
1.3
阻尼系数δ的测量
1.3.1 由振动系统作阻尼振动时的振幅比值求阻尼系
数
摆轮如果只受到蜗卷弹簧提供的弹性力矩
-k θ，轴承、空气和电磁阻尼力矩-b
d θ
dt
，阻尼
较小
(δ
2
0)
时，振动系统做阻尼振动。对应的
振动方程和方程的解为
d
2θdt 2
+2δd θ2
dt +ω0θ=0
θ=θ-δt a e cos(ωa t +α)
ω2
a =
ω0-δ
2
注意到阻尼振动的振幅随时间按指数律衰减，对相隔n 个周期的两振幅之比取自然对数，则有
θδt ln 0θ=ln θa e --=n δ （7） n θδ(t +nT )
T a e
实际测量中，可利用上式求出δ值，其中n 为阻尼振动的周期数，θ0为计时开始时振动的振幅，θn 为第n 次振动时的振幅，T 为阻尼振动的周期。 1.3.2 由受迫振动系统的幅频特性曲线求阻尼系数
由幅频特性可以看出，弱阻尼δ2
0情况
下，共振峰附近≈1，ω+ω0≈2ω0，由
式（4）和式（6）可得
θ2δ2
b
=0-δ2θr
ω2
20-ω) 2+4δ2ω2
≈
δ
ω-ω2
0) +δ
2
当θb =θr 时，
由上式可解得ω-ω0≈±δ。 在幅频特性曲线上可以直接读出θb =θr
2
处对应的两个横坐标
ω+
和
ω-
，从而可得
ω+-ω-=2δ （8）
2 实验仪器
2.1
珀尔共振仪结构
共振仪的外形结构如图2所示。铜质圆形摆轮在弹簧弹性力的作用下，可绕固定在机架支柱上的轴自由往复振动。机架下方有一对带有铁心的线圈，摆轮恰巧嵌在铁心的空隙内。利用电磁感应原理，当线圈
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中通过电流后，摆轮受到电磁阻尼力矩的作用，改变电流的数值可以改变阻尼力矩的大小。共振仪右方的电动机经齿轮减速箱带动有机玻璃转盘逆时针旋转，其上的偏心轴带动连杆使摇杆左右摆动，与摆轮相连的蜗卷弹簧的外端固定在摇杆的上部，摇杆左右摆动以M 0
cos ωt 驱动力矩推动弹簧，使摆轮做受迫振
动。改变电机的供电电压使电机改变转速，从而可改变转盘的转速和摇杆摆动的频率。
图2 共振仪外形结构图
2.2 仪器测量原理
2.2.1
摆轮振动周期和振幅的测量
光电门中有上下两个光电管，摆轮每经过一次平衡位置时下光电管就产生一个光电脉冲，此脉冲信号控制周期计时和上光电管的计时状态，同行是可以触发闪光灯。
摆轮上的长凹槽第一次经过下光电管时，产生的光电脉冲控制周期计时器开始计时，半个周期后凹槽第二次经过下光电管时产生的光电脉冲不影响周期计时器的工作，但将上一次周期显示值清零。凹槽第三次经过下光电管时正好是过了一个周期的时间，产生的光电脉冲使计时器停止计时，并立即在周期显示屏上显示振动周期值。
摆轮振动的振幅是由光电门中的上光电管采样的。摆轮的周边上均匀刻有180个矩形小齿，小齿平均占角为2。
。摆轮振动时小齿在上光电管及其光源间通过，每经过一个小齿，摆轮转过2。
，上光电管便产
生一个光电脉冲，对光电脉冲计数后便能测知振幅。
2.2.2 频闪法测量相位差
仪器配置了一个闪光灯，闪光灯信号受光电门的控制，每当摆轮上的长凹槽经过光电门时，下光电管产生的光电脉冲可以触发闪光灯。借助于闪光瞬间，转盘上的强反光指针被照亮，由于人眼的视觉暂留作用，光指针所在处的角度值就可以方便地读出。共振仪在受迫振动达到稳定后，闪光频率是转盘旋转频率的两倍，这与转盘的同一直径上两个光指针相匹配，所以在闪光灯照射下，看起来光指针好像会一直停留在同意位置上显示ϕ值。
3 数据处理
3.1
自由振动
表1 自由振动实验数据
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图3摆轮振幅与周期的关系曲线图 (说明：
（1）由于材料的性质和制造工艺等原因，使得弹簧系数k 在扭转角度θ的改变而略有变化（3%左右）。为此测出周期与振幅之间的关系曲线，供作幅频特性曲线和相频特
性曲线是查用，有效减小实验的系统误差。
（2）由于实验测量精度的原因，测量值无法表现出一种连续性的变化。所以在图上的描点会出现这样的情况。采用直线拟合效果也是比较好的。 )
表2 阻尼振动实验数据
根据实验数据以nT 为横坐标，ln （θ0/θn ）为纵坐标绘制曲线，得到图像如下：
图4 由振幅比值求阻尼系数图像
通过拟合可以得到斜率也即阻尼系数
δ=0.05342。
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表3 受迫振动实验数据
根据实验数据，作出幅频特性曲线与相频特性曲线如下图所示：
图5 受迫振动的幅频特性和相频特性曲线
对受迫振动的幅频特性曲线分析可得，峰值
θr =150.1824
将θb =θr
2
=106. 1950
在图中进行描点，解
得
ω+/ω0=1. 0138
ω-/ω0=0. 9865
于是可以得到2δ=（1.0138-0.9865）*2π/To，所以δ=0.05451
（令δ1=0.05342，δ2=0.05451，则相对误差 |δ1-δ2 | /δ1 X 100％= 2.04％ |δ1-δ2 | /δ2 X 100％= 1.99％
可见误差属于可接受误差，两个结果均在一定程度上具有一定的可信度。
）
4 误差分析
4.1
偶然误差
本实验中存在着较多操作中的偶然误差，典型的几个是：在等待摆轮与电机的周期接近时过于急躁，读数尚未稳定就进行测量；实验中在频闪法测相位差时读数存在误差。偶然误差是实验中常见的误差，除非在测量过程中或者读数时发生较大错误，一般不会对实验结果造成太大影响。
4.2 系统误差
在进行实验的过程中，由于仪器的原因，摆轮做
自由振动的振幅范围比较小，小于预定的50。~160。
导
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致后续实验中部分振幅的数据没有办法查找，只能估测，这会造成比较大的误差。这是系统本身存在的误差，更换实验仪器可以达到减小实验误差的目的。
4.3 数据处理误差
在对实验数据进行处理时，拟合的曲线与实验数
据之间存在偏离，尤其是幅频特性曲线中，曲线的峰值与实际测量得到的峰值有所偏差，按拟合公式对实验结果进行分析处理带来的误差较为明显。此误差与实验数据有关，可以通过实验中多测几组数据以及寻找更合适的拟合曲线来减小误差。
5 结论
实验通过两种方法测量了阻尼系数，虽然结果存在一定的误差，但是掌握了测量以及计算的方法，这对以后的实验很有借鉴意义。
参考文献格式：
[1] 钱锋，潘人培. 大学物理实验（修订版） 高等教育出
版社，2005.11 (ISBN 978-7-04-017776-3)
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受迫振动
闵博雅（19115104）
（东南大学 化学化工学院）
摘 要： 本实验用珀尔共振仪测量了摆轮自由振动，阻尼振动以及受迫振动时的各组数据，以此为依据绘制了曲线，观察到了受迫振动中摆轮运动的特点。 关键词： 共振仪，阻尼振动，受迫振动
Forced vibration
Min Boya 19115104
(College of Chemistry and Chemical Engineering,Southeast University , Nanjin)
Abstract: The experiment used Pearl resonance instrument to get the statistics of free vibration, damping vibration and forced
vibration of a balance wheel, drew lines according to these and got the rules of vibration from the lines. key words: resonance instrument, damping vibration, forced vibration
引言:振动是自然界最常见的运动形式之一。由受迫振动而引起的共振现象在日常生活和工程技术中极为普遍。共振现象在许多领域有着广泛的应用，例如，众多电声器件需要利用共振原理设计制作；为研究物质的微观结构，常采用磁共振的方法。但是共振现象也有极大的破坏性，减震和防震是工程技术和科学研究的一项重要任务。
簧提供的弹性力矩-矩-
k θ，轴承、空气和电磁阻尼力
b
d θ
dt
，电动机偏心系统经卷簧的外夹持端提供
的驱动力矩M
=M 0cos ωt 。
根据转动定理，有
1、实验原理
1.1
受迫振动
物体在周期性外力（亦称驱动力）的持续作用下进行的振动称为受迫振动。在珀尔共振仪中，铜质圆 形摆轮系统作受迫振动时受到三种力矩作用：蜗卷弹
d 2θd θJ =-k θ-b +M 0cos ωt （1） 2
dt dt
式中，J 为摆轮的转动惯量，M 0为驱动力矩的幅值，
ω为驱动力矩的角频率。令
ω2
k M 00=
J
，2δ=
b J
，m =
J
则式(1)可写为
d 2θdt
2
+2δd θ2
dt +ω0θ=m cos ωt （2）
式中δ为阻尼系数，ω0为摆轮系统的固有频率。在小阻尼(δ
2
-ω2) 条件下，方程（2）的通解为
θ=θ-δt a e cos(ωa t +α) +θb cos(ωt +ϕ)
此解为两项之和，表明摆轮的受迫振动包含两个分振动。第一项为阻尼振动，随时间的而推移而趋于消失，它反映了受迫振动的暂态行为，与驱动力无关。第二项表示与驱动力频率相同且振幅为θb 的周期振动。
可见，摆轮的受迫振动在开始时比较复杂，但经过不长的时间后，阻尼振动项衰减到可以忽略不计，受迫振动达到稳定状态。这时，振动的周期即是驱动力的周期，振幅保持稳定不变，于是受迫振动变为简谐振动，有
θ=θb cos(ωt +ϕ) （3） 振幅θb 和初相位ϕ既与振动系统的性质和阻尼情况有关，也与驱动力的频率ω和力矩的幅度M 0有关，而与振动的初始条件无关。θb 和ϕ由下述两式决定：
θm
b =
（4）
ω2
20-ω) 2
+4δ2
ω
2
ϕ=arctan
-2δω
ω2
（5）
0-ω
2
1.2
共振
由极值条件∂θ
b ∂ω
=0可以得出，当驱动力的角
频率为ω=
2
0-2δ2
时，受迫振动的振幅达到
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极大值，产生共振。共振时的角频率ωr 、振幅θr 和相位差ϕr 分别为
ω2
r =ω0-2δ2
θr =
m
2
（6）
2δω2
0-δ
⎛ϕω2
-2δ2
⎫r
=arctan
-
0⎪ ⎪⎝
δ
⎪ ⎭
由上式可以看出，阻尼系数δ越小，共振角频率
ωr 越接近系统的固有频率ω0，共振振幅θr 也越大，
振动的角位移的相位滞后于驱动力矩的相位越接近于
π
。
图1给出了不同阻尼系数条件下受迫振动系统的
振幅频率响应曲线和相位差的频率响应曲线。
图1 受迫振动的幅频特性图和相频特性图
1.3
阻尼系数δ的测量
1.3.1 由振动系统作阻尼振动时的振幅比值求阻尼系
数
摆轮如果只受到蜗卷弹簧提供的弹性力矩
-k θ，轴承、空气和电磁阻尼力矩-b
d θ
dt
，阻尼
较小
(δ
2
0)
时，振动系统做阻尼振动。对应的
振动方程和方程的解为
d
2θdt 2
+2δd θ2
dt +ω0θ=0
θ=θ-δt a e cos(ωa t +α)
ω2
a =
ω0-δ
2
注意到阻尼振动的振幅随时间按指数律衰减，对相隔n 个周期的两振幅之比取自然对数，则有
θδt ln 0θ=ln θa e --=n δ （7） n θδ(t +nT )
T a e
实际测量中，可利用上式求出δ值，其中n 为阻尼振动的周期数，θ0为计时开始时振动的振幅，θn 为第n 次振动时的振幅，T 为阻尼振动的周期。 1.3.2 由受迫振动系统的幅频特性曲线求阻尼系数
由幅频特性可以看出，弱阻尼δ2
0情况
下，共振峰附近≈1，ω+ω0≈2ω0，由
式（4）和式（6）可得
θ2δ2
b
=0-δ2θr
ω2
20-ω) 2+4δ2ω2
≈
δ
ω-ω2
0) +δ
2
当θb =θr 时，
由上式可解得ω-ω0≈±δ。 在幅频特性曲线上可以直接读出θb =θr
2
处对应的两个横坐标
ω+
和
ω-
，从而可得
ω+-ω-=2δ （8）
2 实验仪器
2.1
珀尔共振仪结构
共振仪的外形结构如图2所示。铜质圆形摆轮在弹簧弹性力的作用下，可绕固定在机架支柱上的轴自由往复振动。机架下方有一对带有铁心的线圈，摆轮恰巧嵌在铁心的空隙内。利用电磁感应原理，当线圈
2016大学生物理实验研究论文
中通过电流后，摆轮受到电磁阻尼力矩的作用，改变电流的数值可以改变阻尼力矩的大小。共振仪右方的电动机经齿轮减速箱带动有机玻璃转盘逆时针旋转，其上的偏心轴带动连杆使摇杆左右摆动，与摆轮相连的蜗卷弹簧的外端固定在摇杆的上部，摇杆左右摆动以M 0
cos ωt 驱动力矩推动弹簧，使摆轮做受迫振
动。改变电机的供电电压使电机改变转速，从而可改变转盘的转速和摇杆摆动的频率。
图2 共振仪外形结构图
2.2 仪器测量原理
2.2.1
摆轮振动周期和振幅的测量
光电门中有上下两个光电管，摆轮每经过一次平衡位置时下光电管就产生一个光电脉冲，此脉冲信号控制周期计时和上光电管的计时状态，同行是可以触发闪光灯。
摆轮上的长凹槽第一次经过下光电管时，产生的光电脉冲控制周期计时器开始计时，半个周期后凹槽第二次经过下光电管时产生的光电脉冲不影响周期计时器的工作，但将上一次周期显示值清零。凹槽第三次经过下光电管时正好是过了一个周期的时间，产生的光电脉冲使计时器停止计时，并立即在周期显示屏上显示振动周期值。
摆轮振动的振幅是由光电门中的上光电管采样的。摆轮的周边上均匀刻有180个矩形小齿，小齿平均占角为2。
。摆轮振动时小齿在上光电管及其光源间通过，每经过一个小齿，摆轮转过2。
，上光电管便产
生一个光电脉冲，对光电脉冲计数后便能测知振幅。
2.2.2 频闪法测量相位差
仪器配置了一个闪光灯，闪光灯信号受光电门的控制，每当摆轮上的长凹槽经过光电门时，下光电管产生的光电脉冲可以触发闪光灯。借助于闪光瞬间，转盘上的强反光指针被照亮，由于人眼的视觉暂留作用，光指针所在处的角度值就可以方便地读出。共振仪在受迫振动达到稳定后，闪光频率是转盘旋转频率的两倍，这与转盘的同一直径上两个光指针相匹配，所以在闪光灯照射下，看起来光指针好像会一直停留在同意位置上显示ϕ值。
3 数据处理
3.1
自由振动
表1 自由振动实验数据
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图3摆轮振幅与周期的关系曲线图 (说明：
（1）由于材料的性质和制造工艺等原因，使得弹簧系数k 在扭转角度θ的改变而略有变化（3%左右）。为此测出周期与振幅之间的关系曲线，供作幅频特性曲线和相频特
性曲线是查用，有效减小实验的系统误差。
（2）由于实验测量精度的原因，测量值无法表现出一种连续性的变化。所以在图上的描点会出现这样的情况。采用直线拟合效果也是比较好的。 )
表2 阻尼振动实验数据
根据实验数据以nT 为横坐标，ln （θ0/θn ）为纵坐标绘制曲线，得到图像如下：
图4 由振幅比值求阻尼系数图像
通过拟合可以得到斜率也即阻尼系数
δ=0.05342。
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表3 受迫振动实验数据
根据实验数据，作出幅频特性曲线与相频特性曲线如下图所示：
图5 受迫振动的幅频特性和相频特性曲线
对受迫振动的幅频特性曲线分析可得，峰值
θr =150.1824
将θb =θr
2
=106. 1950
在图中进行描点，解
得
ω+/ω0=1. 0138
ω-/ω0=0. 9865
于是可以得到2δ=（1.0138-0.9865）*2π/To，所以δ=0.05451
（令δ1=0.05342，δ2=0.05451，则相对误差 |δ1-δ2 | /δ1 X 100％= 2.04％ |δ1-δ2 | /δ2 X 100％= 1.99％
可见误差属于可接受误差，两个结果均在一定程度上具有一定的可信度。
）
4 误差分析
4.1
偶然误差
本实验中存在着较多操作中的偶然误差，典型的几个是：在等待摆轮与电机的周期接近时过于急躁，读数尚未稳定就进行测量；实验中在频闪法测相位差时读数存在误差。偶然误差是实验中常见的误差，除非在测量过程中或者读数时发生较大错误，一般不会对实验结果造成太大影响。
4.2 系统误差
在进行实验的过程中，由于仪器的原因，摆轮做
自由振动的振幅范围比较小，小于预定的50。~160。
导
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致后续实验中部分振幅的数据没有办法查找，只能估测，这会造成比较大的误差。这是系统本身存在的误差，更换实验仪器可以达到减小实验误差的目的。
4.3 数据处理误差
在对实验数据进行处理时，拟合的曲线与实验数
据之间存在偏离，尤其是幅频特性曲线中，曲线的峰值与实际测量得到的峰值有所偏差，按拟合公式对实验结果进行分析处理带来的误差较为明显。此误差与实验数据有关，可以通过实验中多测几组数据以及寻找更合适的拟合曲线来减小误差。
5 结论
实验通过两种方法测量了阻尼系数，虽然结果存在一定的误差，但是掌握了测量以及计算的方法，这对以后的实验很有借鉴意义。
参考文献格式：
[1] 钱锋，潘人培. 大学物理实验（修订版） 高等教育出
版社，2005.11 (ISBN 978-7-04-017776-3)