2015年凤城一中高二年级下学期（月考）
A ．2 B．±2 C．4 D．±4
7. 在区间(-5,5)内随机地取出一个实数a ，使得不等式2+a -a >0成立的概率是 ( )
2
数 学(文科)
第Ⅰ卷(共60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的．
A ．
3157
B． C． D． 10101010
8. 函数f (x ) ＝(x －3) e x 的单调递增区间是( )
A ．(－∞，2) B ．(0,3) C ．(1,4) D ．(2，＋∞)
1
1．已知集合M ={-1, 1}，N ={x |
2
A. {-1, 1} B.{-1} C.{1} D. ∅
2. 设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，已知a 3=5, a 5=9，则S 7等于( ) A．13 B．35 C．49 D．63
x 2y 2
-=1的离心率是（ ） 9. 两 个正数1,9的等差中项为a ，等比中项为b ，则曲线a b
A ．
882 B
C
D． 或 555
10. 设α，β为两个不同的平面，n , m 为两条不同的直线，且n ⊂α, m ⊂β， 有如下两个命题：
0) =3. 已知定义在R 上的函数f (x ) 关于直线x =1对称，若x ≥1时，f (x ) =x (1-x )，则f (（ ）
A ．0
2
p : 若α//β，则n //m ；
q : 若m ⊥n ，则α⊥β， 那么（ ）
A. p ∧q 是假命题 B.p ∨q 是真命题 C.⌝p 是假命题 D.p ∧（⌝q ）是真命题 11. 已知函数f (x ) =ax +bx -1 (a , b ∈R 且a >0) 有两个零点，其中一个零点在区间（1，2）
内，则a -b 的取值范围是（ ） A ．(-∞, -1) B ．(-1, +∞)
12. 设函数y =f (x ) 的定义域为R ，且满足f (x -2) =-f (x )对任意x ∈R 恒成立，当-1≤x ≤1时，f (x ) =x . 则下列三个命题：
3
2
B ．-2 C．-6 D ．-12
4. 抛物线y =2px (p >0)上横坐标为4的点到焦点的距离为5，则p 的值是（ ） A．
5. 某程序框图如右图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（ ）
A ．f (x ) =x +1
2
1
2
B ．1 C ．2 D ．4
C ．(-1,1) D．(-2, +∞)
1
B ．f (x ) =
x
C ．f (x ) =e D ．f (x ) =cos x
2
x
①y =f (x ) 是以4为周期的周期函数；
②y =f (x ) 在[1,3]上的解析式为f (x )=(2-x )； ③x =1与x =-1都是函数y =f (x ) 图象的对称轴. 其中正确的命题是 （ ）
A．① ② B．② ③ C．① ③ D．① ② ③
3
6. 已知数列{a n }是等比数列，若a 1, a 3是方程x -10x +16=0的两根，则a 2的值是（ ）
高二数学（文科）试卷 第1页 （共2页）
第Ⅱ卷 (共90分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把正确答案写在答题纸上. 13. 已知向量a , b 满足a =b =1，且a ⋅b =0，则cos = ．
18．（本小题满分12分）
在∆ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知B =求角A ．
19. （本小题满分12分） 已知
π
12
，c =b (1+2cos A ) ，
f (x ) =x 3+ax 2-a 2x +2．
=-14.
已知，则cos α+sin α = ． 2sin(α-) 4
13⎛4⎫
15. 曲线y =x +x 在点 1⎪处的切线与坐标轴围成的三角形面积为．
3⎝3⎭
16. 已知函数f (x ) 的定义域［-1，5］，部分对应值如表，f (x ) 的导函数y =f ' (x ) 的图象如图，
cos 2α
（Ⅰ）若a =1，求曲线y =f (x ) 在点(1, f (1)) 处的切线方程； （Ⅱ）若a ≠0, 求函数f (x ) 的单调区间；
20. （本小题满分12分） 已知数列{a n }， {c n }满足条件：a 1=1, a n +1=2a n +1， c n =
1
．
(2n +1)(2n +3)
（1）求证数列{a n +1}是等比数列，并求数列{a n }的通项公式； （2）求数列{c n }的前n 项和T n ，并求使得T n >
下列关于函数f (x ) 的命题；
①函数f (x ) 的值域为［1，2］； ②函数f (x ) 在［0，2］上是减函数
③如果当x ∈[-1, t ]时，f (x ) 的最大值是2，那么t 的最大值为4； ④当1
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答过程书写在答题纸的对应位置. 17．（本小题满分10分）坐标系与参数方程
1*
对任意n ∈N 都成立的正整数m 的最小值． a m
21. （本小题满分12分）选修4—4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为
ρ=2(sin θ-cos θ)，直线l 的参数方程为：⎨
⎧x =2+t
(t 为参数).
y =-1+2t ⎩
（1）写出圆C 和直线l 的普通方程； （2）点P 为圆C 上动点，求点P 到直线l 的距离的最小值.
⎧2
t ⎪x =
π⎪2
(t 是参数) ，圆C 的极坐标方程为ρ=2cos(θ+) ． 已知直线l 的参数方程是⎨
42⎪
y =t +42⎪2⎩
f (x ) =+a ln x (a ∈R ) ． 22. （本小题满分12分） 设（1）若a ＜0，且曲线y =f (x ) 在（1, f (1) ) 处的切线与两坐标轴围成的面积为（2）若函数f (x ) 在[1, +∞)上单调递增，求实数a 的取值范围； （3）若不等式
1
x
9
，求实数a 的值； 4
（1）求圆心C 的直角坐标； （2）由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值．
1
+2ln x ≥m 2-2m +1在x ∈[1, +∞)上恒成立，求实数m 的取值范围. x
高二数学（文科）试卷 第2页 （共2页）
s +C =s i n B (+A =) s i n A c o B 所以s i n s i B n c A o , s ……………………………………6分
数学（文科）参考答案与评分参考
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．
1.B 2.C 3.B 4.C 5.D 6.D 7.B 8.D 9. C 10. A 11.B 12.D 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13.
从而sin A cos B -cos A sin B =sin B ，
所以sin(A -B ) =sin B ， …………………………………………………………………9分 即A -B =B 或A -B =π-B (舍) ， 所以A =2B , 又B =
π
12
11
14. 15. 16.①②④
952
, 所以A =
π
6
. …………………………………………………12分
三、解答题：本大题共共70分.
17. 【答案】解：（I ） ρ=2cos θ-sin θ，
19解：（Ⅰ） ∵ a =1∴f (x ) =x 3+x 2-x +2∴ f '(x ) =3x 2+2x -1 …2分
∴ k =f '(1) =4， 又f (1) =3，所以切点坐标为(1, 3) ∴ 所求切线方程为y -3=4(x -1) ，即4x -y -1=0. …………5分 （Ⅱ）f '(x ) =3x 2+2ax -a 2=(x +a )(3x -a )
∴ρ2=2ρcos θ-2ρsin θ， …………（2分） ∴圆C 的直角坐标方程为x +y -2x +y =0， …………（3分） 222222
(, -) ．…………（5分） ) +(y +) =1，∴圆心直角坐标为即(x -
2222
（II ）方法1：直线l 上的点向圆C 引切线长是
2
2
(
22t -) +(t ++42) 2-1=t 2+8t +40=(t +4) 2+24≥26， 2222
…………（8分） ∴直线l 上的点向圆C 引的切线长的最小值是26 …………（10分） 方法2：∴直线l 的普通方程为x -y +42=0， …………（8分）
a
…………7分 3
a
(1)当a >0时，由f '(x )
3a
由f '(x ) >0， 得x
3
a a
此时f (x ) 的单调递减区间为(-a , ) ，单调递增区间为(-∞, -a ) 和(, +∞) .
33
由f '(x ) =0 得x =-a 或x =
…………9分 (2)当a
由f '(x ) >0，得x
a
22|++42|=5， 圆心C 到直线l 距离是
2
∴直线l 上的点向圆C 引的切线长的最小值是2-12=2 …………（10分）
18. （本小题满分12分） 解：由正弦定理
a
或x >-a 3
a a
此时f (x ) 的单调递减区间为(, -a ) ，单调递增区间为(-∞, ) 和(-a , +∞) .
33
综上：
b c
及c =b ⋅(1+2cos A ) 可知, =
sin B sin C
sin C =sin B ⋅(1+2cos A ) ，…………………………………………………………………3分
又在∆ABC 中, A +B +C =π,
a 3a
单调递增区间为(-∞, -a ) 和(, +∞)
3a
当a
3
当a >0时，f (x ) 的单调递减区间为(-a , ) ，
高二数学（文科）试卷 第3页 （共2页）
单调递增区间为(-∞, ) 和
a 3
(-a , +∞) .
【答案】解：（1）
…………12分
20. 【答案】解：（Ⅰ）∵a n +1
=2a n +1
∴a n +1+1=2(a n +1) ，∵a 1=1，a 1+1=2≠0…………2分 ∴数列{a n +1}是首项为2，公比为2的等比数列 ． ∴a n +1=2⨯2
n -1
1a
+，而f (1) =1，f ' (1) =a -1， x 2x
故切线方程为：y -1=(a -1)(x -1) . 令x =0可得y =2-a ，
22. 【答案】解：（1）由条件可得f ' (x ) =- 令y =0，可得x =
2-a
， ……………………………………………………2分 1-a
12
2-a 91
=，解之得a =-1或 a =1-a 42
∴a n =2-1 …………4分
n
而a ＜0，(2-a ) ⋅
1111
=(-) ， …………6分∴（Ⅱ）∵c n =
(2n +1)(2n +3) 22n +12n +3T n =
1111111(-+-+⋅⋅⋅+-) 235572n +12n +3
去），故a =-1. ……………………………………………………4分 （2）（方法一）由条件可知f ' (x ) =-
ax -11a
≥0， +≥0)[1, +∞在上恒成立，即22
x x x
故只需ax -1≥0在[1, +∞)上恒成立，即a ≥ （方法二）由条件可知f ' (x ) =- 即a ≥
=
111n n
(-) ==． …………8分 232n +33⨯(2n +3) 6n +9
1
，故a ≥1. ……………………8分 x
1a a 1+≥0)[1, +∞在上恒成立，即≥， x 2x x x 2
T n +1n +16n +96n 2+15n +99
∵=⋅==1+>1，又T n >0， 22
T n 6n +15n 6n +15n 6n +15n
∴T n
*
1
，故a ≥1. …………………………………………………8分 x
1
+2ln x 在[1, +∞)上单调递增. x
（3）由（2）可知，当a =2时，函数f (x ) =
∴当n =1时，T n 取得最小值 要使得T n >
1
． …………12分 15
故f (x ) 在[1, +∞)上的最小值为f (1) =1， ………………………………………10分
正整数m 的最小值是5．
1112*
>m 对任意n ∈N 都成立，结合（Ⅰ）的结果，只需，由此得m >4．∴ 故只需1≥m -2m +1， 152-1a m
2
即m -2m ≤0，解之得0≤m ≤2，即实数m 的取值范围是[0, 2]. …………12分
21. （本小题满分12分）选修4—4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为
ρ=2(sin θ-cos θ)，直线l 的参数方程为：⎨
⎧x =2+t
(t 为参数).
⎩y =-1+2t
（1）写出圆C 和直线l 的普通方程；
（2）点P 为圆C 上动点，求点P 到直线l 的距离的最小值.
高二数学（文科）试卷 第4页 （共2页）
2015年凤城一中高二年级下学期（月考）
A ．2 B．±2 C．4 D．±4
7. 在区间(-5,5)内随机地取出一个实数a ，使得不等式2+a -a >0成立的概率是 ( )
2
数 学(文科)
第Ⅰ卷(共60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的．
A ．
3157
B． C． D． 10101010
8. 函数f (x ) ＝(x －3) e x 的单调递增区间是( )
A ．(－∞，2) B ．(0,3) C ．(1,4) D ．(2，＋∞)
1
1．已知集合M ={-1, 1}，N ={x |
2
A. {-1, 1} B.{-1} C.{1} D. ∅
2. 设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，已知a 3=5, a 5=9，则S 7等于( ) A．13 B．35 C．49 D．63
x 2y 2
-=1的离心率是（ ） 9. 两 个正数1,9的等差中项为a ，等比中项为b ，则曲线a b
A ．
882 B
C
D． 或 555
10. 设α，β为两个不同的平面，n , m 为两条不同的直线，且n ⊂α, m ⊂β， 有如下两个命题：
0) =3. 已知定义在R 上的函数f (x ) 关于直线x =1对称，若x ≥1时，f (x ) =x (1-x )，则f (（ ）
A ．0
2
p : 若α//β，则n //m ；
q : 若m ⊥n ，则α⊥β， 那么（ ）
A. p ∧q 是假命题 B.p ∨q 是真命题 C.⌝p 是假命题 D.p ∧（⌝q ）是真命题 11. 已知函数f (x ) =ax +bx -1 (a , b ∈R 且a >0) 有两个零点，其中一个零点在区间（1，2）
内，则a -b 的取值范围是（ ） A ．(-∞, -1) B ．(-1, +∞)
12. 设函数y =f (x ) 的定义域为R ，且满足f (x -2) =-f (x )对任意x ∈R 恒成立，当-1≤x ≤1时，f (x ) =x . 则下列三个命题：
3
2
B ．-2 C．-6 D ．-12
4. 抛物线y =2px (p >0)上横坐标为4的点到焦点的距离为5，则p 的值是（ ） A．
5. 某程序框图如右图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（ ）
A ．f (x ) =x +1
2
1
2
B ．1 C ．2 D ．4
C ．(-1,1) D．(-2, +∞)
1
B ．f (x ) =
x
C ．f (x ) =e D ．f (x ) =cos x
2
x
①y =f (x ) 是以4为周期的周期函数；
②y =f (x ) 在[1,3]上的解析式为f (x )=(2-x )； ③x =1与x =-1都是函数y =f (x ) 图象的对称轴. 其中正确的命题是 （ ）
A．① ② B．② ③ C．① ③ D．① ② ③
3
6. 已知数列{a n }是等比数列，若a 1, a 3是方程x -10x +16=0的两根，则a 2的值是（ ）
高二数学（文科）试卷 第1页 （共2页）
第Ⅱ卷 (共90分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把正确答案写在答题纸上. 13. 已知向量a , b 满足a =b =1，且a ⋅b =0，则cos = ．
18．（本小题满分12分）
在∆ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知B =求角A ．
19. （本小题满分12分） 已知
π
12
，c =b (1+2cos A ) ，
f (x ) =x 3+ax 2-a 2x +2．
=-14.
已知，则cos α+sin α = ． 2sin(α-) 4
13⎛4⎫
15. 曲线y =x +x 在点 1⎪处的切线与坐标轴围成的三角形面积为．
3⎝3⎭
16. 已知函数f (x ) 的定义域［-1，5］，部分对应值如表，f (x ) 的导函数y =f ' (x ) 的图象如图，
cos 2α
（Ⅰ）若a =1，求曲线y =f (x ) 在点(1, f (1)) 处的切线方程； （Ⅱ）若a ≠0, 求函数f (x ) 的单调区间；
20. （本小题满分12分） 已知数列{a n }， {c n }满足条件：a 1=1, a n +1=2a n +1， c n =
1
．
(2n +1)(2n +3)
（1）求证数列{a n +1}是等比数列，并求数列{a n }的通项公式； （2）求数列{c n }的前n 项和T n ，并求使得T n >
下列关于函数f (x ) 的命题；
①函数f (x ) 的值域为［1，2］； ②函数f (x ) 在［0，2］上是减函数
③如果当x ∈[-1, t ]时，f (x ) 的最大值是2，那么t 的最大值为4； ④当1
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答过程书写在答题纸的对应位置. 17．（本小题满分10分）坐标系与参数方程
1*
对任意n ∈N 都成立的正整数m 的最小值． a m
21. （本小题满分12分）选修4—4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为
ρ=2(sin θ-cos θ)，直线l 的参数方程为：⎨
⎧x =2+t
(t 为参数).
y =-1+2t ⎩
（1）写出圆C 和直线l 的普通方程； （2）点P 为圆C 上动点，求点P 到直线l 的距离的最小值.
⎧2
t ⎪x =
π⎪2
(t 是参数) ，圆C 的极坐标方程为ρ=2cos(θ+) ． 已知直线l 的参数方程是⎨
42⎪
y =t +42⎪2⎩
f (x ) =+a ln x (a ∈R ) ． 22. （本小题满分12分） 设（1）若a ＜0，且曲线y =f (x ) 在（1, f (1) ) 处的切线与两坐标轴围成的面积为（2）若函数f (x ) 在[1, +∞)上单调递增，求实数a 的取值范围； （3）若不等式
1
x
9
，求实数a 的值； 4
（1）求圆心C 的直角坐标； （2）由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值．
1
+2ln x ≥m 2-2m +1在x ∈[1, +∞)上恒成立，求实数m 的取值范围. x
高二数学（文科）试卷 第2页 （共2页）
s +C =s i n B (+A =) s i n A c o B 所以s i n s i B n c A o , s ……………………………………6分
数学（文科）参考答案与评分参考
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．
1.B 2.C 3.B 4.C 5.D 6.D 7.B 8.D 9. C 10. A 11.B 12.D 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13.
从而sin A cos B -cos A sin B =sin B ，
所以sin(A -B ) =sin B ， …………………………………………………………………9分 即A -B =B 或A -B =π-B (舍) ， 所以A =2B , 又B =
π
12
11
14. 15. 16.①②④
952
, 所以A =
π
6
. …………………………………………………12分
三、解答题：本大题共共70分.
17. 【答案】解：（I ） ρ=2cos θ-sin θ，
19解：（Ⅰ） ∵ a =1∴f (x ) =x 3+x 2-x +2∴ f '(x ) =3x 2+2x -1 …2分
∴ k =f '(1) =4， 又f (1) =3，所以切点坐标为(1, 3) ∴ 所求切线方程为y -3=4(x -1) ，即4x -y -1=0. …………5分 （Ⅱ）f '(x ) =3x 2+2ax -a 2=(x +a )(3x -a )
∴ρ2=2ρcos θ-2ρsin θ， …………（2分） ∴圆C 的直角坐标方程为x +y -2x +y =0， …………（3分） 222222
(, -) ．…………（5分） ) +(y +) =1，∴圆心直角坐标为即(x -
2222
（II ）方法1：直线l 上的点向圆C 引切线长是
2
2
(
22t -) +(t ++42) 2-1=t 2+8t +40=(t +4) 2+24≥26， 2222
…………（8分） ∴直线l 上的点向圆C 引的切线长的最小值是26 …………（10分） 方法2：∴直线l 的普通方程为x -y +42=0， …………（8分）
a
…………7分 3
a
(1)当a >0时，由f '(x )
3a
由f '(x ) >0， 得x
3
a a
此时f (x ) 的单调递减区间为(-a , ) ，单调递增区间为(-∞, -a ) 和(, +∞) .
33
由f '(x ) =0 得x =-a 或x =
…………9分 (2)当a
由f '(x ) >0，得x
a
22|++42|=5， 圆心C 到直线l 距离是
2
∴直线l 上的点向圆C 引的切线长的最小值是2-12=2 …………（10分）
18. （本小题满分12分） 解：由正弦定理
a
或x >-a 3
a a
此时f (x ) 的单调递减区间为(, -a ) ，单调递增区间为(-∞, ) 和(-a , +∞) .
33
综上：
b c
及c =b ⋅(1+2cos A ) 可知, =
sin B sin C
sin C =sin B ⋅(1+2cos A ) ，…………………………………………………………………3分
又在∆ABC 中, A +B +C =π,
a 3a
单调递增区间为(-∞, -a ) 和(, +∞)
3a
当a
3
当a >0时，f (x ) 的单调递减区间为(-a , ) ，
高二数学（文科）试卷 第3页 （共2页）
单调递增区间为(-∞, ) 和
a 3
(-a , +∞) .
【答案】解：（1）
…………12分
20. 【答案】解：（Ⅰ）∵a n +1
=2a n +1
∴a n +1+1=2(a n +1) ，∵a 1=1，a 1+1=2≠0…………2分 ∴数列{a n +1}是首项为2，公比为2的等比数列 ． ∴a n +1=2⨯2
n -1
1a
+，而f (1) =1，f ' (1) =a -1， x 2x
故切线方程为：y -1=(a -1)(x -1) . 令x =0可得y =2-a ，
22. 【答案】解：（1）由条件可得f ' (x ) =- 令y =0，可得x =
2-a
， ……………………………………………………2分 1-a
12
2-a 91
=，解之得a =-1或 a =1-a 42
∴a n =2-1 …………4分
n
而a ＜0，(2-a ) ⋅
1111
=(-) ， …………6分∴（Ⅱ）∵c n =
(2n +1)(2n +3) 22n +12n +3T n =
1111111(-+-+⋅⋅⋅+-) 235572n +12n +3
去），故a =-1. ……………………………………………………4分 （2）（方法一）由条件可知f ' (x ) =-
ax -11a
≥0， +≥0)[1, +∞在上恒成立，即22
x x x
故只需ax -1≥0在[1, +∞)上恒成立，即a ≥ （方法二）由条件可知f ' (x ) =- 即a ≥
=
111n n
(-) ==． …………8分 232n +33⨯(2n +3) 6n +9
1
，故a ≥1. ……………………8分 x
1a a 1+≥0)[1, +∞在上恒成立，即≥， x 2x x x 2
T n +1n +16n +96n 2+15n +99
∵=⋅==1+>1，又T n >0， 22
T n 6n +15n 6n +15n 6n +15n
∴T n
*
1
，故a ≥1. …………………………………………………8分 x
1
+2ln x 在[1, +∞)上单调递增. x
（3）由（2）可知，当a =2时，函数f (x ) =
∴当n =1时，T n 取得最小值 要使得T n >
1
． …………12分 15
故f (x ) 在[1, +∞)上的最小值为f (1) =1， ………………………………………10分
正整数m 的最小值是5．
1112*
>m 对任意n ∈N 都成立，结合（Ⅰ）的结果，只需，由此得m >4．∴ 故只需1≥m -2m +1， 152-1a m
2
即m -2m ≤0，解之得0≤m ≤2，即实数m 的取值范围是[0, 2]. …………12分
21. （本小题满分12分）选修4—4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为
ρ=2(sin θ-cos θ)，直线l 的参数方程为：⎨
⎧x =2+t
(t 为参数).
⎩y =-1+2t
（1）写出圆C 和直线l 的普通方程；
（2）点P 为圆C 上动点，求点P 到直线l 的距离的最小值.
高二数学（文科）试卷 第4页 （共2页）