，ＨＵＡＮＧ ，ＷＡＮＧ，ＷＡＮＧＣＨＥＮＪｉａｚｈａｏＭｉｎｘｉａｎＸｕｅｒｅｎＴｉｎ ｇｇ
ｔｈ
（，，’）６ＤｅａｒｔｍｅｎｔＳｅｃｏｎｄＡｒｔｉｌｌｅｒＥｎｉｎｅｅｒｉｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔＸｉａｎ７１００２５ ｐｙｇｇｙ
Ａｂｓｔｒａｃｔｅｖｅｒａｌｔｉｃａｌａｎｄｒｅｒｅｓｅｎｔａｔｉｖｅｃｏｎｓｔｉｔｕｔｉｖｅｍｏｄｅｌｓｏｆｒｕｂｂｅｒｍａｔｅｒｉａｌｓａｒｅｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄａｎｄｃｏｍ－ Ｓ ｙｐｐｔｏｄｅｍｏｎｓｔｒａｔｅｔｈｅｉｒｒａｎｅｓｏｆａｌｉｃａｔｉｏｎａｎｄｌｉｍｉｔａｔｉｏｎｓ．Ｌａｒｅｓｃｏｅｏｆｄｅｆｏｒｍａｔｉｏｎｃａｎｂｅｄｅｓｃｒｉｂｅｄｂｔｈｅａｒｅｄ ｇｐｐｇｐｙｐ
，ｗｈｅｎｏｍｅｎｏｌｏｉｃａｌｍｏｄｅｌｓｂａｓｅｄｏｎｓｔｒａｉｎｅｎｅｒｄｅｎｓｉｔｈｉｃｈｌａｃｋｔｈｅｕｎｄｅｒｓｔａｎｄｉｎｏｆｔｈｅｎａｔｕｒｅｏｆｔｈｅｍａｔｅｅｔ －ｐｇｇｙｙｇｙ ，ｒｉａｌ．Ｆｅｗ ｍａｔｅｒｉａｌａｒａｍｅｔｅｒｓａｒｅｒｅｕｉｒｅｄｉｎｔｈｅｓｔａｔｉｓｔｉｃａｌｍｏｄｅｌｓｂａｓｅｄｏｎｍｏｌｅｃｕｌａｒｃｈａｉｎｎｅｔｗｏｒｋｗｈｉｃｈｅｔｃａｎ′ｔ ｐｑｙ，ａｌｔｏｔｈｅｃａｒｂｏｎｂｌａｃｋｆｉｌｌｅｄｒｕｂｂｅｒｍａｔｅｒｉａｌｓ．ＭｏｒｅｏｖｅｒｔｈｅｈｂｒｉｄｃｏｎｓｔｉｔｕｔｉｖｅｍｏｄｅｌｃｏｍｂｉｎｉｎｔｈｅＧａｕｓｓｉａｎｎｅｔ －ｐｐｙｙｇ ａｔｔｅｒｎｓｒｅｃｉｓｉｏｎ．ｗｏｒｋｍｏｄｅｌａｎｄ８ｃｈａｉｎｎｅｔｗｏｒｋｍｏｄｅｌｃａｎｄｅｓｃｒｉｂｅｄｉｆｆｅｒｅｎｔｄｅｆｏｒｍａｔｉｏｎｗｉｔｈｈｉｈ － －ｐｐｇ
，，，ｍ，Ｋｅｗｏｒｄｓｕｂｂｅｒｍａｔｅｒｉａｌｃｏｎｓｔｉｔｕｔｉｖｅｍｏｄｅｌｓｔｒａｉｎｅｎｅｒｏｌｅｃｕｌａｒｓｔａｔｉｓｔｉｃｓｃｏｍｂｉｎｅｄｍｏｄｅｌ ｒ ｇｙｙ
０ 引言
橡胶是从橡胶树、橡胶草等植物中提取并经加工后制成的高分子材料。橡胶材料具有良好的粘弹性，在航天工业部减振部件。橡胶作为一种超弹性材料，门被广泛用作密封、
其物理化学性能与金属材料有很大差别，具有３个主要特
１］
：点［
分子链网络的统计模型。本文将对几种常见的本构模型和改进模型进行简要介绍。
１ 基本理论
１．１ 应变能函数
对于各向同性的橡胶材料，假设ＩＩａｕｃｈ－ｙ１、２和Ｉ３为Ｃ基于应力－应变关系，橡胶材料的本Ｇｒｅｅｎ变形张量不变量，
［２］
构关系可以用应变能密度函数（表示：Ｗ）
（）不可压缩性：橡胶材料的泊松比μ一般在０．１４５～
，范围内变化，接近于液体的泊松比０．因此橡胶可以０．４９９９５
看作是一种体积近似不可压缩的材料。
（）大变形特性：橡胶高分子材料变形很大，而其弹性模２
量与金属材料相比却小很多。橡胶材料的变形范围一般在甚至能够达到１很多金属材料的变形２００％～５００％，０００％，则不足０．５％。（）非线性：橡胶材料具有三重非线性，即几何非线性、３
材料非线性和边界非线性。橡胶材料的应力－应变关系具有明显的非线性，其力学性能与环境条件、应变历程、加载速率且随时间延长而不断变化。等因素有很大关联，
因此，研究橡胶材料的本构模型十分必要。从２０世纪国内外许多学者提出了许多橡胶材料的本构模４０年代至今，型，大致可分为两大类：基于应变能函数的唯象模型和基于
Ｗ＝Ｗ（ＩＩＩ１，２，３）２２２
λλλ１＝１＋２＋３
２２２２２２λλλ２＝１λ２＋２λ３＋１λ３２２２λ３＝１λ２λ３
（）１
１＋γｉ＝ｉ
式中：ＩＩλλ１、２和Ｉ３为变形张量不变量，１、２和λ３为主伸长
２２２
比，Ｉγλｉ为主应变。对于不可压缩的橡胶材料，３＝１λ２λ３＝１。
由应变能函数Ｗ，可给出柯西应力张量σ的表达式：
（）Ｉ＋２－２－１２σ＝－ｐ
ＩＩ １２
式中：Ｉ是变形张量不变量，ｐ是由于不可压缩假设引入的任意流体静压力，Ｂ为变形张量，Ｉｉ是Ｂ的不变量。
男，博士，教授，主要从事固体火箭发动机故障检测与诊断方面的研究 黄闽翔：男，硕士，从事固１９６９年生，１９９１年生， 陈家照：
：体火箭发动机密封泄露方面的研究 Ｅ－ｍａｉｌｈｕａｎｍｘ１９９２＠ｆｏｘｍａｉｌ．ｃｏｍｇ
对于不可压缩材料，Ｊ是变形后与变形前的体积比，Ｊ＝１。
１ｉ２
）由式（可导出几种常用实验中柯西应力的表达式。４
典型的二项参数形式为：
２
））（）Ｗ＝ＣＩ３＋ＣＩ３１２１０（１－２０（１－
式中：由材料试验所确定，初始剪切Ｎ、Ｃｉｋ为材料常数，ｊ和ｄ
在单轴拉伸与压缩实验中：２
＋２λσ１－１１＝
ＩＩλ λ２１１ ２
在简单剪切实验中：＋σ１－１２＝λ
ＩＩλ １１２
在等双轴拉伸实验中：
（））
（）５
模量μ＝２Ｃ１０。
（）６
Ｙｅｏｈ模型能描述随变形而变化的剪切模型的填料橡
如加碳黑后的橡胶。而且，该模型可通过某种简单变形胶，
实验数据拟合的参数来预测其他变形的力学行为，描述的变形范围也较宽。但Ｙｅｏｈ模型对等双轴拉伸实验的结果不能
７］
。很好的解释，不能准确描述小变形时的情况［
（））
）
２＋２λ－λσσ１１１＝２２＝
ＩＩλ ２１２
在双轴拉伸实验中：
２１
（）（）７
２．２ 以主伸长表示的应变能函数模型
（）８
（）１ＶａｌａｎｉｓＬａｎｄｅｌ应变能函数－
各向同性超弹性体应变能函数可用主伸长λｉ＝１，２，３）ｉ（表征，其具有对称性：
（）（）｝
ＷＷ＋λ－λλ－）＝２（）（ＩＩ λλλ｝
２２２２λλ１－１λ２－１＝２２＋２
ＩＩ λλ１２１λ２１
２
２２
１
２２１２
２２１２
２
２２
１．２ 统计热力学法
分子统计学理论认为橡胶材料的应力应变行为主要由构象熵决定。该理论假设橡胶弹性体是一个由任意取向的柔性长链分子通过交联点组成的分子链网络，分子链末端距当没有外力作用时，的径向分布符合高斯函数。研究表明：
分子链的构象熵接近最大值；而当有外力作用时，构象数由从而引起构象熵发生变于分子链内的旋转运动发生变化，
３］
。使得橡胶材料具有高弹性［化，
Ｗ（ＩＩＩ＝Ｗ（λλλ１，２，３）１，２，３）
＝Ｗ（λλλ１，３，２）
＝Ｗ（λλλ３，１，２）
以主伸长表征的ＶａｌａｎｉｓＬａｎｄｅｌ应变能函数为：－
３
（）１３
Ｗ＝
λ）∑Ｗ（
ｉ
ｉ＝１
３
（）１４
经试验，进一步得出：）］Ｗ＝２Ｇ∑［ｌｎλλｉ（ｉ－１
ｉ＝１
（）１５
２ 基于应变能函数的唯象模型
２．１ 以应变不变量表示的应变能密度函数模型
在处理橡胶弹性时，可以把橡胶材料的变形看成是各向同性的均匀变形，从而将应变能密度函数表示成变形张量不变量的函数。
）（１Ｍｏｏｎｅｉｖｌｉｎ模型－Ｒｙ
［］
几乎可Ｍｏｏｎｅｉｖｌｉｎ模型４是一个比较常用的模型，－Ｒｙ
以模拟所有橡胶材料的力学行为。其应变能密度函数模型
［］
该式的适用条件为０．６＜２．５８。λｉ＜
）（２Ｏｄｅｎ模型ｇ
ＯｄｅｎＲ Ｗ９不作应变能函数是主伸长偶函数的假设， ｇ
）提出以主伸长来表征应变能函数，如式（所示：１６
∞
［］
Ｗ（λ）＝
λ∑α（
ｉ＝１
ｉｉ
αｉ
１αα
）＋λλ２＋３－３
ｉ
ｉ（）１６
式中：αｉ和αｉ为材料常数，ｉ可取任何实数值。μ
Ｏｄｅｎ模型与Ｍｏｏｎｅｉｖｌｉｎ模型并没有本质上的区－Ｒｇｙ
别，仅在有限元分析中根据系数拟合的难易程度选择合适的模型。
为：
（２ｉ２ｋｊ
）（））Ｗ＝∑ＣＩＩＩ＋∑ｉ１－３２－３３－１ｊ（
ｋｉｋ＝１ｄ＋ｊ＝１
（）９
对于不可压缩材料，典型的二项三阶展开式为：））Ｗ＝ＣＩＩ＋Ｃ１（１－３２（２－３
式中：由实验确定。Ｎ、Ｃｉｋ为材料常数，ｊ和ｄ
（）１０
Ｎ
Ｎ
２．３ 模型小结
总结应变能函数模型的特点及适用范围，如表１所示。
３ 基于分子统计学理论的本构模型
分子链网络模型按照分子链的统计特性可分为两类：高斯链网络模型和非高斯链网络模型。其中最具代表性的分子统计学模型包括Ｔｒｅｌｏａｒ模型以及ＡｒｒｕｄａＢｏｃｅ的８链模－ｙ型。
一般适用于应变Ｍｏｏｎｅｉｖｌｉｎ模型适合于中小变形，－Ｒｙ约为１拉伸）和３压缩）的情况。但该模型不能模００％（０％（拟多轴受力数据，由某种试验得到的数据不能用来预测其它的变形行为。对于没有加碳黑的橡胶来说，该模型能得到比较准确的结果，但不能精确模拟加了碳黑的橡胶。
（）２Ｙｅｏｈ模型
［，］
Ｙｅｏｈ模型５６比较适合模拟炭黑填充ＮＲ的大变形行
３．１ 高斯链网络模型
把ＫＴｒｅｌｏａｒ在合理假设的基础上，ｕｈｎｒｕｎ提出的高－Ｇ
斯链统计理论应用到高分子网链中，用以描述橡胶材料的宏
１０］
，根据单位体积分子链网络构象熵的改变得到相应观行为［
的应变能密度函数为：
ＷＧ＝－ＴΔＳ
＝
１（２２２
）Ｒλ３λλ１＋２＋３－
２
但在预测小变形阶段时误差较大。况，
３．３ 混合模型
１２］
罗文波等［在２用高斯链网络模００８年引入权重函数，
）（）＝（Ｉ３１７１－
２
式中：ＣＲ＝ｎｋＴ为材料初始剪切模量，ｋ为Ｂｏｌｔｚｍａｎｎ常数，
）为主伸长比。Ｔ为绝对温度，ｉ＝１，２，３λｉ（
高斯统计模型是基于假设末端距远小于分子链的全部伸展长度建立的，因此该模型存在局限性。它只能用来近似预测小变形时的情况，不能用来描述分子链的伸展过程。
型描述小变形的同时用８链网络模型描述大变形，提出了基于高斯网络模型与８链模型的混合模型。其名义应力主值表示的混合模型为：
（（］１－ρλ）λ）ｆｆｆｉ＝ρｉ＋［ｉｅｆ＝∑ｆｉ（ｉ）ｉ
Ｇ
８ｃｈ
（）２０
Ｇ８ｃｈ
式中：为８链网ｆｆｉ为高斯链网络模型的名义应力主值，ｉ
３．２ 非高斯链网络模型
当分子链的末端距并不远小于分子链的伸展长度时，就需要考虑非高斯链的影响。基于这种理论提出了非高斯８。８链模型的几何形状关于３个主轴对称，８个分
子链具有相同的伸长率：链模型
（）３１８λλλλｃｈａｉｎ＝１＋２＋３假设橡胶分子链由Ｎ个长度为ｌ的链段组成，其应变能［１１］
络模型的名义应力主值。考虑到小变形和大变形时混合模（采型将分别趋近于高斯模型和８链网络模型，权重函数ρλ））的形式：用式（２１
（）２１λ）＝ｑρ（（）／（）］１＋［λ－１λｒ－１
式中：参数λ参数ｒ表征由高斯链网络模型主导的形变范围，
密度函数为：
ｃ
（）Ｗ８ＣＲβ１９ｌｎλｃｈ＝ｃｃｈａｉｎ＋ｓｉｎｈｃβ
－１
（／，式中：ＣＲ＝ｎｋＴ为材料初始剪切模量，）λｃ＝Ｌｃｈａｉｎβ
是ＬＬ－１（ｘ）ａｎｅｖｉｎ函数的反函数。ｇ
ｑ控制两个模型之间的转换速率。
通过实验表明，该混合模型具有同时描述不同变形模式的能力。该混合模型的总体预测精度要比高斯链网络模型特别是对剪切变形的模拟。和８链网络模型更高，
［］
３．４ 模型小结
总结分子热力学统计模型的特点及适用范围，如表２所示。
８链网络模型可以较好地模拟和预测大变形阶段的情
表１ 应变能函数模型的特点及适用范围
Ｔａｂｌｅ１ Ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓａｎｄｒａｎｅｓｏｆａｌｉｃａｔｉｏｎｏｆｍｏｄｅｌｓｈｅｎｏｍｅｎｏｌｏｉｃａｌ ｇｐｐｐｇ
本构模型Ｍｏｏｎｅｉｖｌｉｎ模型－Ｒｙ
Ｙｅｏｈ模型ＶａｌａｎｉｓＬａｎｄｅｌ模型－
Ｏｄｅｎ模型ｇ
特点及适用范围
适合于中小变形，但不能精确模拟加了碳黑的橡胶能描述加碳黑后的填料橡胶，但不能准确描述小变形时的情况
应变能函数用主伸长表征，适用条件为０．６＜２．５λｉ＜
与Ｍ－Ｒ模型并无本质区别
表２ 分子统计模型的特点及适用范围
Ｔａｂｌｅ２ Ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓａｎｄｒａｎｅｓｏｆａｌｉｃａｔｉｏｎｏｆｓｔａｔｉｓｔｉｃａｌｍｏｄｅｌｓ ｇｐｐ
本构模型高斯链网络模型非高斯链网络模型
混合模型
特点及适用范围
只能近似预测小变形时的情况，不能用来描述分子链伸展过程能精确模拟大变形阶段的情况，但预测小变形阶段时误差较大
总体预测精度高具有同时描述不同变形模式的能力，
橡胶材料的粘性只能采用线性微分法，已有学者仅做了初步探讨，还需进一步研究。
４ 结语
人们主要从唯象法和统计热力学法两个方面研究橡胶材料的力学特性。由于在建立本构模型时都引入了一些假设，因此现阶段所有模型的适用范围都存在一定的局限性，模拟和预测变形情况时与实际情况或多或少存在一定差距。近年来，研究者从分子热力学、非高斯链、网络缺陷等角度对尤其是基于高斯网络模型与８传统的本构模型进行了修正，
链模型的混合模型，能够利用高斯网络模型和８链模型的优势，较好地描述不同变形大小的情况。此外，应用于工程中的橡胶材料大多含有炭黑和硫黄等配合剂，其力学性能与温度有很大关联，适合建立热－粘弹性本构模型，但该模型研究
参考文献
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［］，ＦｕｎｄａｍｅｎｔａｌｃｏｎｃｅｔｓＪ．ＰｈｉｌＴｒａｎｓＳｏｃ１９４８，２４０：２５９Ⅰ． ｐ
（下转第１２４页）
］（）：究［压力容器，Ｊ．２０１２，２９１１
３．５２％、１９．７７％。这说明基于粘弹性原理Ｐｒｏｎｙ级数模型，对Ｐ模拟其蠕变行为，能够较为真实Ｅ管道进行有限元分析，这种方法是比较科学而且适用的。地反映ＰＥ管力学性状，（）模拟结果的直径变化量比实验结果小，这说明了有３
得到这限元分析中设定的聚乙烯管材弹性模量比实际值大，样的结果可能是由于聚乙烯原材料挤出成型后力学性能发即蠕变模量减小。同时，有限元模拟过于理想化生了变化，
和实验中的误差，也是造成模拟结果与实验结果有所偏差的原因。
（）恒侧压实验能够有效反映“已成型”管材的蠕变性４
能，可作为一种简易实验对ＰＥ管材进行质量评定。）（聚乙烯材料的粘弹性使得Ｐ５Ｅ管直径变形量随着时
到一定阶段后结构趋于稳定。Ｐ间的延长而增大，Ｅ管受到恒定侧向压力时，管道顶部和底部内表面的应力最大，且为拉应力，该位置最容易断裂，聚乙烯的粘弹性特性减小了管实质上增加了管道的安全性。道应力梯度，
］魏若奇．聚乙烯管材快速评价法［塑料科技，３ 王欣，Ｊ．１９９３
（）：３３８李琛．加速紫外老化对聚乙烯薄膜力学性能的影响４ 姚培培，［］（）：塑料科技，Ｊ．２０１３，４１５６６徐礼德，卢凤桂，等．蠕变对Ｐ５ 王立君，Ｅ８０管材焊缝裂尖应
］（）：力奇性的影响［压力容器，Ｊ．２００１，１８３３１ｏｈａｄｄａｓＴａｆｒｅｓｈｉＳＮ，ＫｈａｌａＯ．Ｌａｂｏｒａｔｏｒｔｅｓｔｓｏｆ６ Ｍ ｇｊｙ
ｓｍａｌｌｉｅｓｄｉａｍｅｔｅｒＨＤＰＥｂｕｒｉｅｄｉｎｒｅｉｎｆｏｒｃｅｄｓａｎｄｕｎｄｅｒ－ ｐｐ［］，：ｌｏａｄＪ．ＧｅｏｔｅｘｔｉｌｅｓＧｅｏｍｅｍｂｒａｎｅｓ２００８，２６（２）ｒｅｅａｔｅｄ－ ｐ１４５
郑津阳，施建峰，等．钢丝缠绕增强塑料复合管蠕变行７ 李翔，
］（）：压力容器，为研究［Ｊ．２０１０，２７２８燃气用聚乙烯管材［北京：中国标准出８ ＧＢ１５５５８．１２００３．Ｓ］．－
版社，２００３
陈国华．交通载荷作用下埋地聚乙烯燃气管道的有９ 李明阳，
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檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸
：Ｏ（９ ＯｄｅｎＲ Ｗ．Ｌａｒｅｄｅｆｏｒｍａｔｉｏｎｉｓｏｔｒｏｉｃｅｌａｓｔｉｃｉｔｎｔｈｅ上接第１ ｇｇｐｙ２０页）
５ ＹｅｏｈＯ Ｈ．Ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｚａｔｉｏｎｏｆｅｌａｓｔｉｃｒｏｅｒｔｉｅｓｏｆｃａｒｂｏｎ ｐｐ
［］，ｂｌａｃｋｆｉｌｌｅｄｒｕｂｂｅｒｖｕｌｃａｎｉｚａｔｅｓＪ．ＲｕｂｂｅｒＣｈｅｍ Ｔｅｃｈｎｏｌ
１９９０，６３：７９２
６ ＹｅｏｈＯ Ｈ．Ｓｏｍｅｆｏｒｍｓｏｆｔｈｅｓｔｒａｉｎｅｎｅｒｆｕｎｃｔｉｏｎｆｏｒ ｇｙ
［］，ｒｕｂｂｅｒＪ．ＲｕｂｂｅｒＣｈｅｍ Ｔｅｃｈｎｏｌ１９９３，６６：７５４ 靳晓雄，仝光．两种常用橡胶本构模型的有限元分析７ 殷闻，
］（）：及其仿真［上海电机学院学报，Ｊ．２０１０，１３４２１５８ ＶａｌａｎｉｓＫＣ，ＬａｎｄｅｌＲＦ．Ｔｈｅｓｔｒａｉｎｅｎｅｒｆｕｎｃｔｉｏｎｏｆａ ｇｙ
］ｍａｔｅｒｉａｌｉｎｔｅｒｍｓｏｆｔｈｅｅｘｔｅｎｓｉｏｎｒａｔｉｏｓ［Ｊ．Ｊｈｅｒｅｌａｓｔｉｃ ｙｐ
，（）：ＡｌＰｈｓ１９６７，３８１２２９９７ ｐｐｙ
ｏｆｔｈｅｏｒａｎｄｅｘｅｒｉｍｅｎｔｆｏｒｉｎｃｏｍｒｅｓｓｉｂｌｅｒｕｂｃｏｒｒｅｌａｔｉｏｎ －ｙｐｐ ［／／ｂｅｒｌｉｋｅｓｏｌｉｄｓＣ］ＰｒｏｃｅｅｄｉｎｏｆｔｈｅＲｏａｌＳｏｃｉｅｔｏｆＬｏｎ－ －ｇｙｙ ，ｄｏｎ．ＬｏｎｄｏｎＵ Ｋ：１９７２
１０ＴｒｅｌｏａｒｈｓｉｃｓＬＲＧ．ＴｈｅｏｆｒｕｂｂｅｒｅｌａｓｔｉｃｉｔＭ］．Ｏｘ －ｐｙｙ［
：，ｆｏｒｄＣｌａｒｅｎｄｏｎＰｒｅｓｓ１９７５
１１ＡｒｒｕｄａＥ Ｍ，ＢｏｃｅＭ Ｃ．Ａｔｈｒｅｅｉｍｅｎｓｉｏｎａｌｃｏｎｓｔｉｔｕｔｉｖｅ －ｄ ｙ
ｍｏｄｅｌｆｏｒｔｈｅｌａｒｅｓｔｒｅｔｃｈｂｅｈａｖｉｏｒｏｆｒｕｂｂｅｒｅｌａｓｔｉｃｍａｔｅ －ｇ］．，（）：ｒｉａｌｓ［ＪＪＭｅｃｈａｎＰｈｓＳｏｌｉｄｓ１９９３，４１２３８９ ｙ
］谭江华．橡胶弹性材料的一种混合本构模型［固１２罗文波，Ｊ．
（）：体力学学报，２００８，２９３２７７
，ＨＵＡＮＧ ，ＷＡＮＧ，ＷＡＮＧＣＨＥＮＪｉａｚｈａｏＭｉｎｘｉａｎＸｕｅｒｅｎＴｉｎ ｇｇ
ｔｈ
（，，’）６ＤｅａｒｔｍｅｎｔＳｅｃｏｎｄＡｒｔｉｌｌｅｒＥｎｉｎｅｅｒｉｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔＸｉａｎ７１００２５ ｐｙｇｇｙ
Ａｂｓｔｒａｃｔｅｖｅｒａｌｔｉｃａｌａｎｄｒｅｒｅｓｅｎｔａｔｉｖｅｃｏｎｓｔｉｔｕｔｉｖｅｍｏｄｅｌｓｏｆｒｕｂｂｅｒｍａｔｅｒｉａｌｓａｒｅｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄａｎｄｃｏｍ－ Ｓ ｙｐｐｔｏｄｅｍｏｎｓｔｒａｔｅｔｈｅｉｒｒａｎｅｓｏｆａｌｉｃａｔｉｏｎａｎｄｌｉｍｉｔａｔｉｏｎｓ．Ｌａｒｅｓｃｏｅｏｆｄｅｆｏｒｍａｔｉｏｎｃａｎｂｅｄｅｓｃｒｉｂｅｄｂｔｈｅａｒｅｄ ｇｐｐｇｐｙｐ
，ｗｈｅｎｏｍｅｎｏｌｏｉｃａｌｍｏｄｅｌｓｂａｓｅｄｏｎｓｔｒａｉｎｅｎｅｒｄｅｎｓｉｔｈｉｃｈｌａｃｋｔｈｅｕｎｄｅｒｓｔａｎｄｉｎｏｆｔｈｅｎａｔｕｒｅｏｆｔｈｅｍａｔｅｅｔ －ｐｇｇｙｙｇｙ ，ｒｉａｌ．Ｆｅｗ ｍａｔｅｒｉａｌａｒａｍｅｔｅｒｓａｒｅｒｅｕｉｒｅｄｉｎｔｈｅｓｔａｔｉｓｔｉｃａｌｍｏｄｅｌｓｂａｓｅｄｏｎｍｏｌｅｃｕｌａｒｃｈａｉｎｎｅｔｗｏｒｋｗｈｉｃｈｅｔｃａｎ′ｔ ｐｑｙ，ａｌｔｏｔｈｅｃａｒｂｏｎｂｌａｃｋｆｉｌｌｅｄｒｕｂｂｅｒｍａｔｅｒｉａｌｓ．ＭｏｒｅｏｖｅｒｔｈｅｈｂｒｉｄｃｏｎｓｔｉｔｕｔｉｖｅｍｏｄｅｌｃｏｍｂｉｎｉｎｔｈｅＧａｕｓｓｉａｎｎｅｔ －ｐｐｙｙｇ ａｔｔｅｒｎｓｒｅｃｉｓｉｏｎ．ｗｏｒｋｍｏｄｅｌａｎｄ８ｃｈａｉｎｎｅｔｗｏｒｋｍｏｄｅｌｃａｎｄｅｓｃｒｉｂｅｄｉｆｆｅｒｅｎｔｄｅｆｏｒｍａｔｉｏｎｗｉｔｈｈｉｈ － －ｐｐｇ
，，，ｍ，Ｋｅｗｏｒｄｓｕｂｂｅｒｍａｔｅｒｉａｌｃｏｎｓｔｉｔｕｔｉｖｅｍｏｄｅｌｓｔｒａｉｎｅｎｅｒｏｌｅｃｕｌａｒｓｔａｔｉｓｔｉｃｓｃｏｍｂｉｎｅｄｍｏｄｅｌ ｒ ｇｙｙ
０ 引言
橡胶是从橡胶树、橡胶草等植物中提取并经加工后制成的高分子材料。橡胶材料具有良好的粘弹性，在航天工业部减振部件。橡胶作为一种超弹性材料，门被广泛用作密封、
其物理化学性能与金属材料有很大差别，具有３个主要特
１］
：点［
分子链网络的统计模型。本文将对几种常见的本构模型和改进模型进行简要介绍。
１ 基本理论
１．１ 应变能函数
对于各向同性的橡胶材料，假设ＩＩａｕｃｈ－ｙ１、２和Ｉ３为Ｃ基于应力－应变关系，橡胶材料的本Ｇｒｅｅｎ变形张量不变量，
［２］
构关系可以用应变能密度函数（表示：Ｗ）
（）不可压缩性：橡胶材料的泊松比μ一般在０．１４５～
，范围内变化，接近于液体的泊松比０．因此橡胶可以０．４９９９５
看作是一种体积近似不可压缩的材料。
（）大变形特性：橡胶高分子材料变形很大，而其弹性模２
量与金属材料相比却小很多。橡胶材料的变形范围一般在甚至能够达到１很多金属材料的变形２００％～５００％，０００％，则不足０．５％。（）非线性：橡胶材料具有三重非线性，即几何非线性、３
材料非线性和边界非线性。橡胶材料的应力－应变关系具有明显的非线性，其力学性能与环境条件、应变历程、加载速率且随时间延长而不断变化。等因素有很大关联，
因此，研究橡胶材料的本构模型十分必要。从２０世纪国内外许多学者提出了许多橡胶材料的本构模４０年代至今，型，大致可分为两大类：基于应变能函数的唯象模型和基于
Ｗ＝Ｗ（ＩＩＩ１，２，３）２２２
λλλ１＝１＋２＋３
２２２２２２λλλ２＝１λ２＋２λ３＋１λ３２２２λ３＝１λ２λ３
（）１
１＋γｉ＝ｉ
式中：ＩＩλλ１、２和Ｉ３为变形张量不变量，１、２和λ３为主伸长
２２２
比，Ｉγλｉ为主应变。对于不可压缩的橡胶材料，３＝１λ２λ３＝１。
由应变能函数Ｗ，可给出柯西应力张量σ的表达式：
（）Ｉ＋２－２－１２σ＝－ｐ
ＩＩ １２
式中：Ｉ是变形张量不变量，ｐ是由于不可压缩假设引入的任意流体静压力，Ｂ为变形张量，Ｉｉ是Ｂ的不变量。
男，博士，教授，主要从事固体火箭发动机故障检测与诊断方面的研究 黄闽翔：男，硕士，从事固１９６９年生，１９９１年生， 陈家照：
：体火箭发动机密封泄露方面的研究 Ｅ－ｍａｉｌｈｕａｎｍｘ１９９２＠ｆｏｘｍａｉｌ．ｃｏｍｇ
对于不可压缩材料，Ｊ是变形后与变形前的体积比，Ｊ＝１。
１ｉ２
）由式（可导出几种常用实验中柯西应力的表达式。４
典型的二项参数形式为：
２
））（）Ｗ＝ＣＩ３＋ＣＩ３１２１０（１－２０（１－
式中：由材料试验所确定，初始剪切Ｎ、Ｃｉｋ为材料常数，ｊ和ｄ
在单轴拉伸与压缩实验中：２
＋２λσ１－１１＝
ＩＩλ λ２１１ ２
在简单剪切实验中：＋σ１－１２＝λ
ＩＩλ １１２
在等双轴拉伸实验中：
（））
（）５
模量μ＝２Ｃ１０。
（）６
Ｙｅｏｈ模型能描述随变形而变化的剪切模型的填料橡
如加碳黑后的橡胶。而且，该模型可通过某种简单变形胶，
实验数据拟合的参数来预测其他变形的力学行为，描述的变形范围也较宽。但Ｙｅｏｈ模型对等双轴拉伸实验的结果不能
７］
。很好的解释，不能准确描述小变形时的情况［
（））
）
２＋２λ－λσσ１１１＝２２＝
ＩＩλ ２１２
在双轴拉伸实验中：
２１
（）（）７
２．２ 以主伸长表示的应变能函数模型
（）８
（）１ＶａｌａｎｉｓＬａｎｄｅｌ应变能函数－
各向同性超弹性体应变能函数可用主伸长λｉ＝１，２，３）ｉ（表征，其具有对称性：
（）（）｝
ＷＷ＋λ－λλ－）＝２（）（ＩＩ λλλ｝
２２２２λλ１－１λ２－１＝２２＋２
ＩＩ λλ１２１λ２１
２
２２
１
２２１２
２２１２
２
２２
１．２ 统计热力学法
分子统计学理论认为橡胶材料的应力应变行为主要由构象熵决定。该理论假设橡胶弹性体是一个由任意取向的柔性长链分子通过交联点组成的分子链网络，分子链末端距当没有外力作用时，的径向分布符合高斯函数。研究表明：
分子链的构象熵接近最大值；而当有外力作用时，构象数由从而引起构象熵发生变于分子链内的旋转运动发生变化，
３］
。使得橡胶材料具有高弹性［化，
Ｗ（ＩＩＩ＝Ｗ（λλλ１，２，３）１，２，３）
＝Ｗ（λλλ１，３，２）
＝Ｗ（λλλ３，１，２）
以主伸长表征的ＶａｌａｎｉｓＬａｎｄｅｌ应变能函数为：－
３
（）１３
Ｗ＝
λ）∑Ｗ（
ｉ
ｉ＝１
３
（）１４
经试验，进一步得出：）］Ｗ＝２Ｇ∑［ｌｎλλｉ（ｉ－１
ｉ＝１
（）１５
２ 基于应变能函数的唯象模型
２．１ 以应变不变量表示的应变能密度函数模型
在处理橡胶弹性时，可以把橡胶材料的变形看成是各向同性的均匀变形，从而将应变能密度函数表示成变形张量不变量的函数。
）（１Ｍｏｏｎｅｉｖｌｉｎ模型－Ｒｙ
［］
几乎可Ｍｏｏｎｅｉｖｌｉｎ模型４是一个比较常用的模型，－Ｒｙ
以模拟所有橡胶材料的力学行为。其应变能密度函数模型
［］
该式的适用条件为０．６＜２．５８。λｉ＜
）（２Ｏｄｅｎ模型ｇ
ＯｄｅｎＲ Ｗ９不作应变能函数是主伸长偶函数的假设， ｇ
）提出以主伸长来表征应变能函数，如式（所示：１６
∞
［］
Ｗ（λ）＝
λ∑α（
ｉ＝１
ｉｉ
αｉ
１αα
）＋λλ２＋３－３
ｉ
ｉ（）１６
式中：αｉ和αｉ为材料常数，ｉ可取任何实数值。μ
Ｏｄｅｎ模型与Ｍｏｏｎｅｉｖｌｉｎ模型并没有本质上的区－Ｒｇｙ
别，仅在有限元分析中根据系数拟合的难易程度选择合适的模型。
为：
（２ｉ２ｋｊ
）（））Ｗ＝∑ＣＩＩＩ＋∑ｉ１－３２－３３－１ｊ（
ｋｉｋ＝１ｄ＋ｊ＝１
（）９
对于不可压缩材料，典型的二项三阶展开式为：））Ｗ＝ＣＩＩ＋Ｃ１（１－３２（２－３
式中：由实验确定。Ｎ、Ｃｉｋ为材料常数，ｊ和ｄ
（）１０
Ｎ
Ｎ
２．３ 模型小结
总结应变能函数模型的特点及适用范围，如表１所示。
３ 基于分子统计学理论的本构模型
分子链网络模型按照分子链的统计特性可分为两类：高斯链网络模型和非高斯链网络模型。其中最具代表性的分子统计学模型包括Ｔｒｅｌｏａｒ模型以及ＡｒｒｕｄａＢｏｃｅ的８链模－ｙ型。
一般适用于应变Ｍｏｏｎｅｉｖｌｉｎ模型适合于中小变形，－Ｒｙ约为１拉伸）和３压缩）的情况。但该模型不能模００％（０％（拟多轴受力数据，由某种试验得到的数据不能用来预测其它的变形行为。对于没有加碳黑的橡胶来说，该模型能得到比较准确的结果，但不能精确模拟加了碳黑的橡胶。
（）２Ｙｅｏｈ模型
［，］
Ｙｅｏｈ模型５６比较适合模拟炭黑填充ＮＲ的大变形行
３．１ 高斯链网络模型
把ＫＴｒｅｌｏａｒ在合理假设的基础上，ｕｈｎｒｕｎ提出的高－Ｇ
斯链统计理论应用到高分子网链中，用以描述橡胶材料的宏
１０］
，根据单位体积分子链网络构象熵的改变得到相应观行为［
的应变能密度函数为：
ＷＧ＝－ＴΔＳ
＝
１（２２２
）Ｒλ３λλ１＋２＋３－
２
但在预测小变形阶段时误差较大。况，
３．３ 混合模型
１２］
罗文波等［在２用高斯链网络模００８年引入权重函数，
）（）＝（Ｉ３１７１－
２
式中：ＣＲ＝ｎｋＴ为材料初始剪切模量，ｋ为Ｂｏｌｔｚｍａｎｎ常数，
）为主伸长比。Ｔ为绝对温度，ｉ＝１，２，３λｉ（
高斯统计模型是基于假设末端距远小于分子链的全部伸展长度建立的，因此该模型存在局限性。它只能用来近似预测小变形时的情况，不能用来描述分子链的伸展过程。
型描述小变形的同时用８链网络模型描述大变形，提出了基于高斯网络模型与８链模型的混合模型。其名义应力主值表示的混合模型为：
（（］１－ρλ）λ）ｆｆｆｉ＝ρｉ＋［ｉｅｆ＝∑ｆｉ（ｉ）ｉ
Ｇ
８ｃｈ
（）２０
Ｇ８ｃｈ
式中：为８链网ｆｆｉ为高斯链网络模型的名义应力主值，ｉ
３．２ 非高斯链网络模型
当分子链的末端距并不远小于分子链的伸展长度时，就需要考虑非高斯链的影响。基于这种理论提出了非高斯８。８链模型的几何形状关于３个主轴对称，８个分
子链具有相同的伸长率：链模型
（）３１８λλλλｃｈａｉｎ＝１＋２＋３假设橡胶分子链由Ｎ个长度为ｌ的链段组成，其应变能［１１］
络模型的名义应力主值。考虑到小变形和大变形时混合模（采型将分别趋近于高斯模型和８链网络模型，权重函数ρλ））的形式：用式（２１
（）２１λ）＝ｑρ（（）／（）］１＋［λ－１λｒ－１
式中：参数λ参数ｒ表征由高斯链网络模型主导的形变范围，
密度函数为：
ｃ
（）Ｗ８ＣＲβ１９ｌｎλｃｈ＝ｃｃｈａｉｎ＋ｓｉｎｈｃβ
－１
（／，式中：ＣＲ＝ｎｋＴ为材料初始剪切模量，）λｃ＝Ｌｃｈａｉｎβ
是ＬＬ－１（ｘ）ａｎｅｖｉｎ函数的反函数。ｇ
ｑ控制两个模型之间的转换速率。
通过实验表明，该混合模型具有同时描述不同变形模式的能力。该混合模型的总体预测精度要比高斯链网络模型特别是对剪切变形的模拟。和８链网络模型更高，
［］
３．４ 模型小结
总结分子热力学统计模型的特点及适用范围，如表２所示。
８链网络模型可以较好地模拟和预测大变形阶段的情
表１ 应变能函数模型的特点及适用范围
Ｔａｂｌｅ１ Ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓａｎｄｒａｎｅｓｏｆａｌｉｃａｔｉｏｎｏｆｍｏｄｅｌｓｈｅｎｏｍｅｎｏｌｏｉｃａｌ ｇｐｐｐｇ
本构模型Ｍｏｏｎｅｉｖｌｉｎ模型－Ｒｙ
Ｙｅｏｈ模型ＶａｌａｎｉｓＬａｎｄｅｌ模型－
Ｏｄｅｎ模型ｇ
特点及适用范围
适合于中小变形，但不能精确模拟加了碳黑的橡胶能描述加碳黑后的填料橡胶，但不能准确描述小变形时的情况
应变能函数用主伸长表征，适用条件为０．６＜２．５λｉ＜
与Ｍ－Ｒ模型并无本质区别
表２ 分子统计模型的特点及适用范围
Ｔａｂｌｅ２ Ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓａｎｄｒａｎｅｓｏｆａｌｉｃａｔｉｏｎｏｆｓｔａｔｉｓｔｉｃａｌｍｏｄｅｌｓ ｇｐｐ
本构模型高斯链网络模型非高斯链网络模型
混合模型
特点及适用范围
只能近似预测小变形时的情况，不能用来描述分子链伸展过程能精确模拟大变形阶段的情况，但预测小变形阶段时误差较大
总体预测精度高具有同时描述不同变形模式的能力，
橡胶材料的粘性只能采用线性微分法，已有学者仅做了初步探讨，还需进一步研究。
４ 结语
人们主要从唯象法和统计热力学法两个方面研究橡胶材料的力学特性。由于在建立本构模型时都引入了一些假设，因此现阶段所有模型的适用范围都存在一定的局限性，模拟和预测变形情况时与实际情况或多或少存在一定差距。近年来，研究者从分子热力学、非高斯链、网络缺陷等角度对尤其是基于高斯网络模型与８传统的本构模型进行了修正，
链模型的混合模型，能够利用高斯网络模型和８链模型的优势，较好地描述不同变形大小的情况。此外，应用于工程中的橡胶材料大多含有炭黑和硫黄等配合剂，其力学性能与温度有很大关联，适合建立热－粘弹性本构模型，但该模型研究
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（下转第１２４页）
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３．５２％、１９．７７％。这说明基于粘弹性原理Ｐｒｏｎｙ级数模型，对Ｐ模拟其蠕变行为，能够较为真实Ｅ管道进行有限元分析，这种方法是比较科学而且适用的。地反映ＰＥ管力学性状，（）模拟结果的直径变化量比实验结果小，这说明了有３
得到这限元分析中设定的聚乙烯管材弹性模量比实际值大，样的结果可能是由于聚乙烯原材料挤出成型后力学性能发即蠕变模量减小。同时，有限元模拟过于理想化生了变化，
和实验中的误差，也是造成模拟结果与实验结果有所偏差的原因。
（）恒侧压实验能够有效反映“已成型”管材的蠕变性４
能，可作为一种简易实验对ＰＥ管材进行质量评定。）（聚乙烯材料的粘弹性使得Ｐ５Ｅ管直径变形量随着时
到一定阶段后结构趋于稳定。Ｐ间的延长而增大，Ｅ管受到恒定侧向压力时，管道顶部和底部内表面的应力最大，且为拉应力，该位置最容易断裂，聚乙烯的粘弹性特性减小了管实质上增加了管道的安全性。道应力梯度，
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：Ｏ（９ ＯｄｅｎＲ Ｗ．Ｌａｒｅｄｅｆｏｒｍａｔｉｏｎｉｓｏｔｒｏｉｃｅｌａｓｔｉｃｉｔｎｔｈｅ上接第１ ｇｇｐｙ２０页）
５ ＹｅｏｈＯ Ｈ．Ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｚａｔｉｏｎｏｆｅｌａｓｔｉｃｒｏｅｒｔｉｅｓｏｆｃａｒｂｏｎ ｐｐ
［］，ｂｌａｃｋｆｉｌｌｅｄｒｕｂｂｅｒｖｕｌｃａｎｉｚａｔｅｓＪ．ＲｕｂｂｅｒＣｈｅｍ Ｔｅｃｈｎｏｌ
１９９０，６３：７９２
６ ＹｅｏｈＯ Ｈ．Ｓｏｍｅｆｏｒｍｓｏｆｔｈｅｓｔｒａｉｎｅｎｅｒｆｕｎｃｔｉｏｎｆｏｒ ｇｙ
［］，ｒｕｂｂｅｒＪ．ＲｕｂｂｅｒＣｈｅｍ Ｔｅｃｈｎｏｌ１９９３，６６：７５４ 靳晓雄，仝光．两种常用橡胶本构模型的有限元分析７ 殷闻，
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］ｍａｔｅｒｉａｌｉｎｔｅｒｍｓｏｆｔｈｅｅｘｔｅｎｓｉｏｎｒａｔｉｏｓ［Ｊ．Ｊｈｅｒｅｌａｓｔｉｃ ｙｐ
，（）：ＡｌＰｈｓ１９６７，３８１２２９９７ ｐｐｙ
ｏｆｔｈｅｏｒａｎｄｅｘｅｒｉｍｅｎｔｆｏｒｉｎｃｏｍｒｅｓｓｉｂｌｅｒｕｂｃｏｒｒｅｌａｔｉｏｎ －ｙｐｐ ［／／ｂｅｒｌｉｋｅｓｏｌｉｄｓＣ］ＰｒｏｃｅｅｄｉｎｏｆｔｈｅＲｏａｌＳｏｃｉｅｔｏｆＬｏｎ－ －ｇｙｙ ，ｄｏｎ．ＬｏｎｄｏｎＵ Ｋ：１９７２
１０ＴｒｅｌｏａｒｈｓｉｃｓＬＲＧ．ＴｈｅｏｆｒｕｂｂｅｒｅｌａｓｔｉｃｉｔＭ］．Ｏｘ －ｐｙｙ［
：，ｆｏｒｄＣｌａｒｅｎｄｏｎＰｒｅｓｓ１９７５
１１ＡｒｒｕｄａＥ Ｍ，ＢｏｃｅＭ Ｃ．Ａｔｈｒｅｅｉｍｅｎｓｉｏｎａｌｃｏｎｓｔｉｔｕｔｉｖｅ －ｄ ｙ
ｍｏｄｅｌｆｏｒｔｈｅｌａｒｅｓｔｒｅｔｃｈｂｅｈａｖｉｏｒｏｆｒｕｂｂｅｒｅｌａｓｔｉｃｍａｔｅ －ｇ］．，（）：ｒｉａｌｓ［ＪＪＭｅｃｈａｎＰｈｓＳｏｌｉｄｓ１９９３，４１２３８９ ｙ
］谭江华．橡胶弹性材料的一种混合本构模型［固１２罗文波，Ｊ．
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