函数的单调性
一、教学目标：理解函数单调性的定义，会用函数单调性解决一些问题． 二、教学重点：函数单调性的判断和函数单调性的应用． 三、教学过程：
（一）主要知识： 1、函数单调性的定义；
2、判断函数单调性（求单调区间）的方法：
（1）从定义入手（2）从导数入手（3）从图象入手（4）从熟悉的函数入手 （5）从复合函数的单调性规律入手注：先求函数的定义域 3、函数单调性的证明：定义法；导数法。
4、一般规律
（1）若f(x),g(x)均为增函数，则f(x)+g(x)仍为增函数； （2）若f(x)为增函数，则-f(x)为减函数；
（3）互为反函数的两个函数有相同的单调性；
（4）设y =f [g (x )]是定义在M 上的函数，若f(x)与g(x)的单调性相反，则y =f [g (x )]在M 上是
减函数；若f(x)与g(x)的单调性相同，则y =f [g (x )]在M 上是增函数。
（二）主要方法：
1．讨论函数单调性必须在其定义域内进行，因此要研究函数单调性必须先求函数的定义域，函数的单调区间是定义域的子集； 2．判断函数的单调性的方法有：（1）用定义；（2）用已知函数的单调性；（3）利用函数的导数． 3．注意函数的单调性的应用；4．注意分类讨论与数形结合的应用． （三）例题分析：
2
例1．（1）求函数y =log 0.7(x -3x +2) 的单调区间；
（2）已知f (x ) =8+2x -x 2, 若g (x ) =f (2-x 2) 试确定g (x ) 的单调区间和单调性． 解：（1）单调增区间为：(2,+∞), 单调减区间为(-∞,1) ， （2）g (x ) =8+2(2-x ) -(2-x ) =-x +2x +8，g '(x ) =-4x +4x ， 令 g '(x ) >0，得x 1或-10，f (x ) =
e
x 2
2
2
423
a e
（1）求a 的值；（2）证明f (x ) 在(0,+∞) 上为增函数．
+
a
x
是R 上的偶函数．
例3．若f (x ) 为奇函数，且在(-∞, 0) 上是减函数，又f (-2) =0，则x ⋅f (x )
． (-∞, -2) (2, +∞)
例4．已知函数f (x ) 的定义域是x ≠0的一切实数，对定义域内的任意x 1, x 2都有
f (x ⋅x 2) =1
f (x ) +1
x >1时f (x ) >0, f (2)=1， f (2x ) ，且当
2
（1）求证：f (x ) 是偶函数；（2）f (x ) 在(0,+∞) 上是增函数；（3）解不等式f (2x -1) x 1>0，则f (x 2) -f (x 1) =f (x 1⋅
x 2x 1
) -f (x 1) =f (x 1) +f (
x 2x 1
) -f (x 1) =f (
x 2x 1
)
∵x 2>x 1>0，∴
x 2x 1
>1，∴f (
x 2x 1
) >0，即f (x 2) -f (x 1) >0，∴f (x 2) >f (x 1)
∴f (x ) 在(0,+∞) 上是增函数． （3）
即不等式的解集为(-
2a x
2
．
例5．函数f (x ) =log 9(x +8-
) 在[1,+∞) 上是增函数，求a 的取值范围．
a x
另解：（用导数求解）令g (x ) =x +8-∴g (x ) =x +8-
a x
，函数f (x ) =log 9(x +8-
a x
2
a x
) 在[1,+∞) 上是增函数，
在[1,+∞) 上是增函数，g '(x )=1+
a x
2
，
∴1+8-a >0，且1+（四）巩固练习：
≥0在[1,+∞) 上恒成立，得-1≤a
1、下列函数中，在区间(0, 2) 上递增的是 （ ） （A ）y =
1x
（B ）y =-x （C ）y =x -1 （D ）y =x 2+2x +1
2、设函数f (x ) 是减函数，且f (x ) >0，下列函数中为增函数的是 （ ）
1f (x )
（A ）y =-
（B ）y =2f (x ) （C ）y =log
12
f (x ) （D ）y =[f (x )]
2
3、已知y =f (x ) 是定义在R 上的偶函数，且f (x ) 在（0，+∞）上是减函数，如果x 1
x 2>0且|x 1|
（ ）
（A ）
f (-x 1) +f (-x 2) >0
（B ）f (x 1) +f (x 2)
（C ）f (-x 1) -f (-x 2) >0（D ）f (x 1) -f (x 2)
4、已知f (x ) 是定义在R 上的偶函数，且在[0, +∞) 上为增函数，f () =0，则不等式
31
f (log
18
x ) >0的解集为 （ ） 1
1
1
（A ）(0, ) （B ）(2, +∞) （C ）(, 1) ⋃(2, +∞) （D ）(0, ) ⋃(2, +∞)
2
2
2
变题：设定义在[-2, 2]上的偶函数f (x ) 在区间[0, 2]上单调递减，若f (1-m )
5、（1）函数f (x ) =2
-x +4x -3
2
的递增区间为___________；
2
（2）函数f (x ) =log 1(-x +4x -3) 的递减区间为_________
2
变题：已知f (x ) =log a (2-ax ) 在[0, 1]上是减函数，则实数a 的取值范围是＿＿＿＿。
⎡⎣
1⎫
（1,2） ⎪ 5(1)(-∞, 2] (2)(1, 2] 变题：
2⎭
答案：1、D 2、C 3、C 4、D 变题：-1,
⎢
四、小结：
函数单调性或者求函数单调区间的求法。
五、作业：
函数的单调性
一、教学目标：理解函数单调性的定义，会用函数单调性解决一些问题． 二、教学重点：函数单调性的判断和函数单调性的应用． 三、教学过程：
（一）主要知识： 1、函数单调性的定义；
2、判断函数单调性（求单调区间）的方法：
（1）从定义入手（2）从导数入手（3）从图象入手（4）从熟悉的函数入手 （5）从复合函数的单调性规律入手注：先求函数的定义域 3、函数单调性的证明：定义法；导数法。
4、一般规律
（1）若f(x),g(x)均为增函数，则f(x)+g(x)仍为增函数； （2）若f(x)为增函数，则-f(x)为减函数；
（3）互为反函数的两个函数有相同的单调性；
（4）设y =f [g (x )]是定义在M 上的函数，若f(x)与g(x)的单调性相反，则y =f [g (x )]在M 上是
减函数；若f(x)与g(x)的单调性相同，则y =f [g (x )]在M 上是增函数。
（二）主要方法：
1．讨论函数单调性必须在其定义域内进行，因此要研究函数单调性必须先求函数的定义域，函数的单调区间是定义域的子集； 2．判断函数的单调性的方法有：（1）用定义；（2）用已知函数的单调性；（3）利用函数的导数． 3．注意函数的单调性的应用；4．注意分类讨论与数形结合的应用． （三）例题分析：
2
例1．（1）求函数y =log 0.7(x -3x +2) 的单调区间；
（2）已知f (x ) =8+2x -x 2, 若g (x ) =f (2-x 2) 试确定g (x ) 的单调区间和单调性． 解：（1）单调增区间为：(2,+∞), 单调减区间为(-∞,1) ， （2）g (x ) =8+2(2-x ) -(2-x ) =-x +2x +8，g '(x ) =-4x +4x ， 令 g '(x ) >0，得x 1或-10，f (x ) =
e
x 2
2
2
423
a e
（1）求a 的值；（2）证明f (x ) 在(0,+∞) 上为增函数．
+
a
x
是R 上的偶函数．
例3．若f (x ) 为奇函数，且在(-∞, 0) 上是减函数，又f (-2) =0，则x ⋅f (x )
． (-∞, -2) (2, +∞)
例4．已知函数f (x ) 的定义域是x ≠0的一切实数，对定义域内的任意x 1, x 2都有
f (x ⋅x 2) =1
f (x ) +1
x >1时f (x ) >0, f (2)=1， f (2x ) ，且当
2
（1）求证：f (x ) 是偶函数；（2）f (x ) 在(0,+∞) 上是增函数；（3）解不等式f (2x -1) x 1>0，则f (x 2) -f (x 1) =f (x 1⋅
x 2x 1
) -f (x 1) =f (x 1) +f (
x 2x 1
) -f (x 1) =f (
x 2x 1
)
∵x 2>x 1>0，∴
x 2x 1
>1，∴f (
x 2x 1
) >0，即f (x 2) -f (x 1) >0，∴f (x 2) >f (x 1)
∴f (x ) 在(0,+∞) 上是增函数． （3）
即不等式的解集为(-
2a x
2
．
例5．函数f (x ) =log 9(x +8-
) 在[1,+∞) 上是增函数，求a 的取值范围．
a x
另解：（用导数求解）令g (x ) =x +8-∴g (x ) =x +8-
a x
，函数f (x ) =log 9(x +8-
a x
2
a x
) 在[1,+∞) 上是增函数，
在[1,+∞) 上是增函数，g '(x )=1+
a x
2
，
∴1+8-a >0，且1+（四）巩固练习：
≥0在[1,+∞) 上恒成立，得-1≤a
1、下列函数中，在区间(0, 2) 上递增的是 （ ） （A ）y =
1x
（B ）y =-x （C ）y =x -1 （D ）y =x 2+2x +1
2、设函数f (x ) 是减函数，且f (x ) >0，下列函数中为增函数的是 （ ）
1f (x )
（A ）y =-
（B ）y =2f (x ) （C ）y =log
12
f (x ) （D ）y =[f (x )]
2
3、已知y =f (x ) 是定义在R 上的偶函数，且f (x ) 在（0，+∞）上是减函数，如果x 1
x 2>0且|x 1|
（ ）
（A ）
f (-x 1) +f (-x 2) >0
（B ）f (x 1) +f (x 2)
（C ）f (-x 1) -f (-x 2) >0（D ）f (x 1) -f (x 2)
4、已知f (x ) 是定义在R 上的偶函数，且在[0, +∞) 上为增函数，f () =0，则不等式
31
f (log
18
x ) >0的解集为 （ ） 1
1
1
（A ）(0, ) （B ）(2, +∞) （C ）(, 1) ⋃(2, +∞) （D ）(0, ) ⋃(2, +∞)
2
2
2
变题：设定义在[-2, 2]上的偶函数f (x ) 在区间[0, 2]上单调递减，若f (1-m )
5、（1）函数f (x ) =2
-x +4x -3
2
的递增区间为___________；
2
（2）函数f (x ) =log 1(-x +4x -3) 的递减区间为_________
2
变题：已知f (x ) =log a (2-ax ) 在[0, 1]上是减函数，则实数a 的取值范围是＿＿＿＿。
⎡⎣
1⎫
（1,2） ⎪ 5(1)(-∞, 2] (2)(1, 2] 变题：
2⎭
答案：1、D 2、C 3、C 4、D 变题：-1,
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四、小结：
函数单调性或者求函数单调区间的求法。
五、作业：