用导数求切线方程的四种类型 求曲线的切线方程是导数的重要应用之一， 用导数求切线方程的 关键在于求出切点 P( x0，y0 ) 及斜率， 其求法为： 设 P( x0，y0 ) 是曲线 y f ( x) 上的一点，则以 P 的切点的切线方程为： y y0 f ( x0 )( x x0 ) ．若曲线y f ( x) 在点 P( x0，f ( x0 )) 的切线平行于 y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为 x x0 ． 下面例析四种常见的类型及解法． 类型一：已知切点，求曲线的切线方程 此类题较为简单，只须求出曲线的导数 f ( x) ，并代入点斜式方程 即可． 例1 1) 处的切线方程为（ 曲线 y x3 3x2 1 在点 (1，）Ａ． y 3x 4 Ｂ． y 3x 2Ｃ． y 4 x 3Ｄ． y 4 x 5f (1) 3 ，故所求的切 1) 处斜率 k 1 解：由 f ( x) 3x2 6x 则在点 (1，线方程为 y (1) 3( x 1) ，即 y 3x 2 ，因而选Ｂ． 练习： 1．设 f′(x0)＝0，则曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线( A．不存在 C．与 x 轴垂直 答案 2. B B．与 x 轴平行或重合 D．与 x 轴斜交 )已知函数 y＝f(x)的图像如右图所示， 则 f′(xA)与 f′(xB)的大小关 系是( )A．f′(xA)>f′(xB) B．f′(xA)2．曲线 y＝－2x2＋1 在点(0,1)处的切线的斜率是( A．－4 C．4 答案 B B．0 D．不存在10． 已知曲线 y＝2x3 上一点 A(1,2)， 则 A 处的切线斜率等于( A．2 C．6＋6· Δx＋2· (Δx)2 答案 D )B．4 D．6π 1 4．函数 y＝sin2x 的图像在6，4处的切线的斜率是()A. 3 1 C.23 B. 3 3 D. 2答案D分析 将函数 y＝sin2x 看作是由函数 y＝u2， u＝sinx 复合而成的． 解析 ∵y′＝2sinxcosx， π π π 3 ∴y′|x＝6＝2sin6cos6＝ 2 1 7 2．曲线 y＝3x3－2 在点(－1，－3)处切线的倾斜角为( A．30° C．135° 答案 B B．45° D．60° )6．y＝x3 的切线倾斜角的范围为________． 答案 解析 π [0，2) k＝y′＝3x2≥0.2 8．设点 P 是曲线 y＝x3－ 3x＋3上的任意一点，点 P 处切线倾 斜角为 α，则角 α 的取值范围是(2 A.3π，π )π 5 B.2，6π π 5 C.0，2∪6π，π π 2 D.0，2∪3π，π 答案D解析 由 y′＝3x2－ 3，易知 y′≥－ 3，即 tanα≥－ 3. π 2 ∴0≤α∴切点 P(1,1)． x＋Δx3－x3 Δy ∵y′＝ lim Δx＝ lim ΔxΔx→0 Δx→03x2Δx＋3xΔx2＋Δx3 ＝ lim ΔxΔx→0＝ lim [3x2＋3xΔx＋(Δx)2]＝3x2，Δx→0∴y′|x＝1＝3. ∴过 P 点的切线方程为 y－1＝3(x－1)， 即 3x－y－2＝0. π 1 14．求曲线 y＝sinx 在点 A(6，2)处的切线方程． 解析 ∵y＝sinx，∴y′＝cosx. π π 3 3 ∴y′|x＝6＝cos6＝ 2 ，k＝ 2 . 1 3 π ∴切线方程为 y－2＝ 2 (x－6)． 化简得 6 3x－12y＋6－ 3π＝0. x 6．曲线 y＝ 在点(1，－1)处的切线方程为( x－2 A．y＝x－2 C．y＝2x－3 答案 例3 D 求曲线 y＝ 1 1 在点(4，2)处的切线方程． x －3x2)B．y＝－3x＋2 D．y＝－2x＋11 【思路分析】 将函数变形为 y＝(x2－3x)－2，将其看做是由函 1 数 y＝u－2、u＝x2－3x 复合而成．【解析】 ∵y＝1 1 ＝(x2－3x)－2， x －3x21 3 2 ∴y′＝－2(x2－3x)－2· (x －3x)′ 1 3 ＝－2(x2－3x)－2· (2x－3)． ∴曲线 y＝ 1 1 在点 (4 ， 2)处的切线斜率为 x2－3x1 3 5 k＝y′|x＝4＝－2(42－3×4)－2· (2×4－3)＝－16.1 ∴曲线在点(4，2)处的切线方程为 1 5 y－2＝－16(x－4)，即 5x＋16y－28＝0. 探究 3 本题不要将函数 y＝ 1 1 看做是由 y ＝ u，u＝ v，v x2－3x＝x2－3x 三个函数复合而成的，这样求导就麻烦了． 思考题 3 (1) 曲 线 y ＝ 3x2＋1 在 点 (1,2) 处 的 切 线 方 程 为__________________． 【答案】 3x－2y＋1＝0 (2)y＝ 1 的水平切线方程是________． 1－x2【解析】 令 y′＝0，得 x＝0，∴y＝1. 12．求曲线 y＝2x－x3 在点(－1，－1)处的切线的方程及此切线 与 x 轴、y 轴所围成的平面图形的面积． 答案 x＋y＋2＝0；2 1 2 x 在点(4，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的8．曲线 y＝e面积为( 9 A.2e2 C．2e2 答案) B．4e2 D．e2 D1 1 2 x 解析 ∵y′＝2· e ， 1 ∴切线的斜率 k＝y′|x＝4＝2e2. 1 ∴切线方程为 y－e2＝2e2(x－4)． ∴横纵截距分别为 2，－e2，∴S＝e2，故选 D. 1 11． 已知函数 y＝f(x)的图像在点 M(1， f(1))处的切线方程是 y＝2x＋2， 则 f(1)＋f′(1)＝________. 答案 3 1 1 5 解析 f′(1)＝2，f (1)＝2×1＋2＝2，∴f(1)＋f′(1)＝3. 5．如图是函数 f(x)及 f(x)在点 P 处切线的图像，则 f(2)＋ f′(2)＝________.9 答案 8 x y 解析 由题图知，切线方程为4＋4.5＝1， 2 9 f(2)＝4.5· (1－4)＝4， 4.5 9 f′(2)＝－ 4 ＝－8. 9 9 9 ∴f(2)＋f′(2)＝4－8＝8. 类型二：已知斜率，求曲线的切线方程 此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决． 例2 与直线 2 x y 4 0 的平行的抛物线 y x 2 的切线方程是（ Ａ． 2 x y 3 0 Ｂ Ｄ． 2 x y 1 0 2 解：设 P( x0，y0 ) 为切点，则切点的斜率为 y|x x0）0．2x y 30Ｃ．2x y 1 2 x0 2 ．∴ x0 1 ．， ．故切线方程为 y 1 2( x 1) ，即 2 x y 1 0 ，故选Ｄ． 由此得到切点 (11)评注：此题所给的曲线是抛物线，故也可利用 法加以解决，即设切线方程为 y 2 x b ， 代入 y x 2 ， 得 x2 2x b 0 ， 又因为 0 ， 得 b 1 ， 故选Ｄ． 练习： 3．曲线 y＝x3 在点 P 处的切线斜率为 3，则点 P 的坐标为( A．(－2，－8) C．(2,8) 答案 B B．(1,1)，(－1，－1) 1 1 D．(－2，－8) )13．若曲线 y＝2x3 上某点切线的斜率等于 6，求此点的坐标． 2x0＋Δx3－2x30 2 解析 ∵y′|x＝x0＝ lim ＝ 6 x 0， ΔxΔx→0∴6x20＝6.∴x0＝± 1.故(1,2)，(－1，－2)为所求． x2 1 3．已知曲线 y＝ 4 －3lnx 的一条切线的斜率为2，则切点的横坐 标为( A．3 C．1 答案 解析 A 1 1 1 3 1 y′＝2x－3x，由2x－x＝2. ) B．2 1 D.2得 x＝3 或 x＝－2.由于 x>0，所以 x＝3. 3．已知曲线 y＝f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切线方程为 2x＋y＋1＝ 0，那么( ) B．f′(x0)A．f′(x0)＝0 C．f′(x0)>0 答案 B5．如果曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为 x＋2y－3＝0，那 么( ) A．f′(x0)>0 C．f′(x0)＝0 答案 B ) B．f′(x0)π 7．在曲线 y＝x2 上切线的倾斜角为4的点是( A．(0,0) 1 1 C．(4，16) 答案 D B．(2,4) 1 1 D．(2，4)2．若曲线 y＝x4 的一条切线 l 与直线 x＋4y－8＝0 垂直，则 l 的 方程为( ) B．x＋4y－5＝0 D．x＋4y＋3＝0A．4x－y－3＝0 C．4x－y＋3＝0 答案 A解析 ∵l 与直线 x＋4y－8＝0 垂直， ∴l 的斜率为 4.∵y′＝4x3， ∴由切线 l 的斜率是 4，得 4x3＝4，∴x＝1. ∴切点坐标为(1,1)． ∴切线方程为 y－1＝4(x－1)， 即 4x－y－3＝0.故选 A. 11．已知 P(－1,1)，Q(2,4)是曲线 y＝x2 上的两点，则与直线 PQ 平行的曲线 y＝x2 的切线方程是________． 答案 4x－4y－1＝0 解析 4－1 k＝ ＝1，又 y′＝2x， 2－－11 1 令 2x＝1，得 x＝2，进而 y＝4， 1 1 ∴切线方程为 y－4＝1· (x－2)， 即 4x－4y－1＝0. 13．如果曲线 y＝x2＋x－3 的某一条切线与直线 y＝3x＋4 平行， 求切点坐标与切线方程． 答案 切点坐标为(1，－1)，切线方程为 3x－y－4＝013．曲线 y＝x3＋3x2＋6x－10 的切线中，斜率最小的切线方程为 ______________． 答案 3x－y－11＝0 解析 y′＝3x2＋6x＋6＝3(x＋1)2＋3≥3，当且仅当 x＝－1 时取等号，当 x＝－1，时 y＝－14. ∴切线方程为 y＋14＝3(x＋1)，即 3x－y－11＝0. 1 9．设直线 y＝2x＋b 是曲线 y＝lnx(x>0)的一条切线，则实数 b 的 值为________． 答案 ln2－1 4．设曲线 y＝ax2 在点(1，a)处的切线与直线 2x－y－6＝0 平行， 则 a 等于( A．1 1 C．－2 答案 A ) 1 B.2 D．－114．设曲线 y＝eax 在点(0,1)处的切线与直线 x＋2y＋1＝0 垂直， 则 a＝________. 答案 2解析 由题意得 y′＝aeax，y′|x＝0＝aea×0＝2，a＝2. 10．函数 f(x)＝asinax(a∈R)的图像过点 P(2π，0)，并且在点 P 处的 切线斜率为 4，则 f(x)的最小正周期为( A．2π π C.2 答案 B B．π π D.4 )解析 f′(x)＝a2cosax，∴f′(2π)＝a2cos2πa. 又 asin2πa＝0，∴2πa＝kπ，k∈Z. ∴f′(2π)＝a2coskπ＝4，∴a＝± 2. 2π ∴T＝ |a| ＝π. 6．曲线 y＝ln(2x－1)上的点到直线 2x－y＋3＝0 的最短距离是( A. 5 C．3 5 答案 解析 A 2 y′＝ ＝2，∴x＝1.∴切点坐标为(1,0)． 2x－1 B．2 5 D．0 )|2×1－0＋3| 由点到直线的距离公式，得 d＝ ＝ 5. 22＋12 19．曲线 y＝x(x＋1)(2－x)有两条平行于 y＝x 的切线，则两切线 之间的距离为________． 16 答案 27 2 解析 y＝x(x＋1)(2－x)＝－x3＋x2＋2x，y′＝－3x2＋2x＋2，令－3x2＋2x＋2＝1，得 1 x1＝1 或 x2＝－3.1 14 ∴两个切点分别为(1,2)和(－3，－27)． 5 切线方程为 x－y＋1＝0 和 x－y－27＝0. 5 |1＋27| 16 2 ＝ 27 . 2∴d＝类型三：已知过曲线上一点，求切线方程 过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切 点，即用待定切点法． 6．下列说法正确的是( )A．曲线的切线和曲线有交点，这点一定是切点 B．过曲线上一点作曲线的切线，这点一定是切点 C．若 f′(x0)不存在，则曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处无切线 D．若曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则 f′(x0)不一定存在 答案 D 1) 的切线方程． 例3 求过曲线 y x3 2x 上的点 (1，3 解：设想 P( x0，y0 ) 为切点，则切线的斜率为 y|x x 3x02 2 ．0∴切线方程为 y y0 (3x02 2)( x x0 ) ． y ( x03 2x0 ) (3x02 2)( x x0 ) ．又 知 切 线 过 点(1 ， 1)， 把 它 代 入 上 述 方 程 ， 得1 ( x03 2 x0 ) (3x02 2)(1 x0 ) ．解得 x0 1 ，或 x0 1 ．21 3 1 故所求切线方程为 y (1 2) (3 2)( x 1) ，或 y 1 2 x ， 8 4 2即 x y 2 0 ，或 5x 4 y 1 0 ． 1) 为切点，实际上是经 评注：可以发现直线 5x 4 y 1 0 并不以 (1， 1 7 1) 且以 ， 为切点的直线．这说明过曲线上一点的切线， 过了点 (1， 2 8该点未必是切点，解决此类问题可用待定切点法． 练习： 类型四：已知过曲线外一点，求切线方程 此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解．1 0) 且与曲线 y 相切的直线方程． 例4 求过点 (2， x4 解：设 P( x0，y0 ) 为切点，则切线的斜率为 y |x x∴切线方程为 y y0 01 x0 2．1 1 1 ( x x0 ) ，即 y 2 ( x x0 ) ． x0 2 x0 x0 x0 1 (2 x0 ) ． x0 21 0) ，把它代入上述方程，得 又已知切线过点 (2，解得 x0 1，y0 1 1 ，即 x y 2 0 ． x00) 实际上是曲线外的一点，但在解答过程中却无需判 评注：点 (2，断它的确切位置，充分反映出待定切点法的高效性例516) 作曲线 y f ( x) 的切线，求此 已知函数 y x3 3x ，过点 A(0，切线方程．16) 不在曲线上． 5 解：曲线方程为 y x3 3x ，点 A(0，设切点为f ( x0 ) 3( x02 1) ，M ( x0，y0 )，则点M的坐标满足y0 x03 3x0．因故切线的方程为 y y0 3( x02 1)( x x0 ) ．16) 在切线上，则有 16 ( x03 3x0 ) 3( x02 1)(0 x0 ) ． 点 A(0，化简得 x03 8 ，解得 x0 2 ． 2) ，切线方程为 9 x y 16 0 ． 所以，切点为 M (2，评注：此类题的解题思路是，先判断点 A 是否在曲线上，若点 A 在曲线上，化为类型一或类型三；若点 A 不在曲线上，应先设出切点 并求出切点． 练习： 17．已知曲线方程为 y＝x2，求过 A(3,5)点且与曲线相切的直线 方程． 解析 解法一 设过 A(3,5)与曲线 y＝x2 相切的直线方程为 y－5＝k(x－3)，即 y＝kx＋5－3k. y＝kx＋5－3k 由 2 y＝x ，得 x2－kx＋3k－5＝0. Δ＝k2－4(3k－5)＝0， 整理得(k－2)(k－10)＝0. ∴k＝2 或 k＝10. 所求的直线方程为 2x－y－1＝0,10x－y－25＝0. 解法二 设切点 P 的坐标为(x0，y0)， 由 y＝x2，得 y′＝2x. ∴y′|x＝x0＝2x0. 由已知 kPA＝2x0，即 5－y0 ＝2x0. 3－x0又 y0＝2x0，代入上式整理，得 x0＝1 或 x0＝5. 18． 已知曲线 S： y＝3x－x3 及点 P(2,2)， 则过点 P 可向 S 引切线， 其切线条数为( )A．0 C．2 答案 DB．1 D．3解析 显然 P 不在 S 上，设切点为(x0，y0)， 由 y′＝3－3x2，得 y′|x＝x0＝3－3x20. 切线方程为 y－(3x0－x30)＝(3－3x20)(x－x0)． ∵P(2,2)在切线上， ∴2－(3x0－x30)＝(3－3x20)(2－x0)， 即 x30－3x20＋2＝0. ∴(x0－1)(x20－2x0－2)＝0. 由 x0－1＝0，得 x0＝1. 由 x20－2x0－2＝0，得 x0＝1± 3. ∵有三个切点，∴由 P 向 S 作切线可以作 3 条． 综合练习： 10．已知 f(x)＝x2＋2xf′(1)，则 f′(0)等于( A．0 C．－2 答案 B B．－4 D．2 )解析 f′(x)＝2x＋2f′(1)， 令 x＝1，得 f′(1)＝2＋2f′(1)，∴f′(1)＝－2. ∴f′(0)＝2f′(1)＝－4.12．设函数 f(x)＝g(x)＋x2，曲线 y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方 程为 y＝2x＋1，则曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为( )A．4 C．2 答案 解析 A. A1 B．－4 1 D．－2依题意得 f′(x)＝g′(x)＋2x，f′(1)＝g′(1)＋2＝4，选15．(1)求过曲线 y＝ex 上点 P(1，e)且与曲线在该点处的切线垂 直的直线方程； 1 (2)曲线 y＝5x5 上一点 M 处的切线与直线 y＝－x＋3 垂直，求此 切线方程． 解析 (1)∵y′＝ex，∴曲线在点 P(1，e)处的切线斜率是 y′|x＝1＝e. 1 ∴过点 P 且与切线垂直的直线的斜率为 k＝－e. 1 ∴所求直线方程为 y－e＝－e (x－1)， 即 x＋ey－e2－1＝0. (2)∵切线与 y＝－x＋3 垂直，∴切线斜率为 1. 又 y′＝x4，令 x4＝1，∴x＝± 1. ∴切线方程为 5x－5y－4＝0 或 5x－5y＋4＝0. 4．y＝ax2＋1 的图像与直线 y＝x 相切，则 a＝( 1 A.8 1 C.2 1 B.4 D．1)答案B2 解析 由已知{y＝ax ＋1， y＝x 有唯一解，即 x＝ax2＋1，ax2－x＋1＝0 有唯一解， 1 ∴Δ＝1－4a＝0，∴a＝4.15．点 P 在曲线 y＝f(x)＝x2＋1 上，且曲线在点 P 处的切线与曲 线 y＝－2x2－1 相切，求点 P 的坐标． 解析 设 P(x0，y0)，则 y0＝x2 0＋1.2 x0＋Δx2＋1－x0 ＋1 f′(x0)＝ lim ＝2x0. Δx Δx→0所以过点 P 的切线方程为 y－y0＝2x0(x－x0)，2 即 y＝2x0x＋1－x0 .而此直线与曲线 y＝－2x2－1 相切， 所以切线与曲线 y＝－2x2－1 只有一个公共点．2 2 由{y＝2x0x＋1－x0， y＝－2x －1， 得 2 2x2＋2x0x＋2－x0 ＝0. 2 即 Δ＝4x0 －8(2－x2 0)＝0.± 2 3 7 解得 x0＝ 3 ，y0＝3. 2 3 7 2 3 7 所以点 P 的坐标为( 3 ，3)或(－ 3 ，3)． 17．若直线 y＝kx 与曲线 y＝x3－3x2＋2x 相切，求 k 的值．2 解析 设切点坐标为(x0，y0)，y′|x＝x0＝3x0 －6x0＋2＝k.y0 若 x0＝0，则 k＝2.若 x0≠0，由 y0＝kx0，得 k＝x .0y0 2 ∴3x0 －6x0＋2＝x ，0即2 x3 0－3x0＋2x0 2 3x0－6x0＋2＝ .解之，得 x03 x0＝2.3 3 1 ∴k＝3×(2)2－6×2＋2＝－4. 1 综上，k＝2 或 k＝－4. 16． 已知函数 f(x)＝2x3＋ax 与 g(x)＝bx2＋c 的图像都过点 P(2,0)， 且在点 P 处有公共切线，求 f(x)、g(x)的表达式． 解析 ∵f(x)＝2x3＋ax 的图像过点 P(2,0)， ∴a＝－8.∴f(x)＝2x3－8x.∴f′(x)＝6x2－8. 对于 g(x)＝bx2＋c 的图像过点 P(2,0)，则 4b＋c＝0. 又 g′(x)＝2bx，∴g′(2)＝4b＝f′(2)＝16. ∴b＝4.∴c＝－16. ∴g(x)＝4x2－16. 综上可知，f(x)＝2x3－8x，g(x)＝4x2－16. 1．已知直线 l1 为曲线 y＝x2＋x－2 在点(1,0)处的切线，l2 为该 曲线的另一条切线，且 l1⊥l2. (1)求直线 l1，l2 的方程； (2)求由直线 l1，l2 和 x 轴所围成的三角形的面积． 分析 (1)求曲线在某点处的切线方程的步骤： 先求曲线在这点处的导数，这点对应的导数值即为过此点切线的斜率，再用点斜式写出 1 直线方程；(2)求面积用 S＝2a· h 即可完成． 解析 (1)因为 y′＝2x＋1，则直线 l1 的斜率 k1＝2×1＋1＝3，则直线 l1 的方程为 y＝3x－3，设直线 l2 过曲线 y＝x2＋x－2 上的点 B(x0,y0)，因为 l1⊥l2。则 l2 的方程为1 2 20 k f ' x0 2 x0 1 ,所以 x 0 ， y 0 3 3 91 22 所以直线 l2 的方程为 y＝－3x－ 9 . 1 y ＝ 3 x － 3 x ＝ 6 (2)解方程组 得 1 22 5 y ＝－ x － ， 3 9 y ＝－ 2. 1 5 所以直线 l1 和 l2 的交点坐标为(6，－2)，l1，l2 与 x 轴交点的坐 22 1 25 5 标分别为(1,0)，(－ 3 ，0)．所以所求三角形的面积 S＝2× 3 ×|－2| 125 ＝ 12 . 17．求证：双曲线 C1：x2－y2＝5 与椭圆 C2：4x2＋9y2＝72 在第 一象限交点处的切线互相垂直． 证明 联立两曲线的方程， 求得它们在第一象限交点为(3,2)．C1 在第一象限的部分对应的函数解析式为 y＝ x2－5，于是有：2y′＝[(x －5)1 2x2－5′ x ]′＝ ＝ 2 ， 2 2 x －5 x －53 ∴k1＝y′|x＝3＝2. C2 在第一象限的部分对应的函数解析式为 y＝ 4 8－9x2. 8 －9x 2x ＝－ . 4 2 3 18－x2 8－9x∴y′＝ 22 ∴k2＝y′|x＝3＝－3.∵k1· k2＝－1，∴两切线互相垂直． ►重点班· 选做题 18．曲线 y＝e2xcos3x 在(0,1)处的切线与 l 的距离为 5，求 l 的方 程． 解析 由题意知 y′＝(e2x)′cos3x＋e2x(cos3x)′ ＝2e2xcos3x＋3(－sin3x)· e2 x ＝2e2xcos3x－3e2xsin3x， ∴曲线在(0,1)处的切线的斜率为 k＝y′|x＝0＝2. ∴该切线方程为 y－1＝2x⇒y＝2x＋1. 设 l 的方程为 y＝2x＋m， 则 d＝ |m－1| ＝ 5.解得 m＝－4 或 m＝6. 5当 m＝－4 时，l 的方程为 y＝2x－4； 当 m＝6 时，l 的方程为 y＝2x＋6. 综上，可知 l 的方程为 y＝2x－4 或 y＝2x＋6. 下面例析四种常见的类型及解法（学生用） ． 类型一：已知切点，求曲线的切线方程 此类题较为简单，只须求出曲线的导数 f ( x) ，并代入点斜式方程 即可． 例1 1) 处的切线方程为（ 曲线 y x3 3x2 1 在点 (1，）Ａ． y 3x 4 Ｂ． y 3x 2Ｃ． y 4 x 3Ｄ． y 4 x 5类型二：已知斜率，求曲线的切线方程 此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决．例 2 （ ）与 直 线 2 x y 4 0的 平 行 的 抛 物 线y x2 的 切 线 方 程 是Ａ． 2 x y 3 0 Ｂ Ｄ． 2 x y 1 0．2x y 30Ｃ．2x y 10类型三：已知过曲线上一点，求切线方程 过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切 点，即用待定切点法． 1) 的切线方程． 例 3 求过曲线 y x3 2x 上的点 (1，类型四：已知过曲线外一点，求切线方程 此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解． 例4 例51 0) 且与曲线 y 相切的直线方程． 求过点 (2， x16) 作曲线 y f ( x) 的切线，求此 已知函数 y x3 3x ，过点 A(0，切线方程．
用导数求切线方程的四种类型 求曲线的切线方程是导数的重要应用之一， 用导数求切线方程的 关键在于求出切点 P( x0，y0 ) 及斜率， 其求法为： 设 P( x0，y0 ) 是曲线 y f ( x) 上的一点，则以 P 的切点的切线方程为： y y0 f ( x0 )( x x0 ) ．若曲线y f ( x) 在点 P( x0，f ( x0 )) 的切线平行于 y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为 x x0 ． 下面例析四种常见的类型及解法． 类型一：已知切点，求曲线的切线方程 此类题较为简单，只须求出曲线的导数 f ( x) ，并代入点斜式方程 即可． 例1 1) 处的切线方程为（ 曲线 y x3 3x2 1 在点 (1，）Ａ． y 3x 4 Ｂ． y 3x 2Ｃ． y 4 x 3Ｄ． y 4 x 5f (1) 3 ，故所求的切 1) 处斜率 k 1 解：由 f ( x) 3x2 6x 则在点 (1，线方程为 y (1) 3( x 1) ，即 y 3x 2 ，因而选Ｂ． 练习： 1．设 f′(x0)＝0，则曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线( A．不存在 C．与 x 轴垂直 答案 2. B B．与 x 轴平行或重合 D．与 x 轴斜交 )已知函数 y＝f(x)的图像如右图所示， 则 f′(xA)与 f′(xB)的大小关 系是( )A．f′(xA)>f′(xB) B．f′(xA)2．曲线 y＝－2x2＋1 在点(0,1)处的切线的斜率是( A．－4 C．4 答案 B B．0 D．不存在10． 已知曲线 y＝2x3 上一点 A(1,2)， 则 A 处的切线斜率等于( A．2 C．6＋6· Δx＋2· (Δx)2 答案 D )B．4 D．6π 1 4．函数 y＝sin2x 的图像在6，4处的切线的斜率是()A. 3 1 C.23 B. 3 3 D. 2答案D分析 将函数 y＝sin2x 看作是由函数 y＝u2， u＝sinx 复合而成的． 解析 ∵y′＝2sinxcosx， π π π 3 ∴y′|x＝6＝2sin6cos6＝ 2 1 7 2．曲线 y＝3x3－2 在点(－1，－3)处切线的倾斜角为( A．30° C．135° 答案 B B．45° D．60° )6．y＝x3 的切线倾斜角的范围为________． 答案 解析 π [0，2) k＝y′＝3x2≥0.2 8．设点 P 是曲线 y＝x3－ 3x＋3上的任意一点，点 P 处切线倾 斜角为 α，则角 α 的取值范围是(2 A.3π，π )π 5 B.2，6π π 5 C.0，2∪6π，π π 2 D.0，2∪3π，π 答案D解析 由 y′＝3x2－ 3，易知 y′≥－ 3，即 tanα≥－ 3. π 2 ∴0≤α∴切点 P(1,1)． x＋Δx3－x3 Δy ∵y′＝ lim Δx＝ lim ΔxΔx→0 Δx→03x2Δx＋3xΔx2＋Δx3 ＝ lim ΔxΔx→0＝ lim [3x2＋3xΔx＋(Δx)2]＝3x2，Δx→0∴y′|x＝1＝3. ∴过 P 点的切线方程为 y－1＝3(x－1)， 即 3x－y－2＝0. π 1 14．求曲线 y＝sinx 在点 A(6，2)处的切线方程． 解析 ∵y＝sinx，∴y′＝cosx. π π 3 3 ∴y′|x＝6＝cos6＝ 2 ，k＝ 2 . 1 3 π ∴切线方程为 y－2＝ 2 (x－6)． 化简得 6 3x－12y＋6－ 3π＝0. x 6．曲线 y＝ 在点(1，－1)处的切线方程为( x－2 A．y＝x－2 C．y＝2x－3 答案 例3 D 求曲线 y＝ 1 1 在点(4，2)处的切线方程． x －3x2)B．y＝－3x＋2 D．y＝－2x＋11 【思路分析】 将函数变形为 y＝(x2－3x)－2，将其看做是由函 1 数 y＝u－2、u＝x2－3x 复合而成．【解析】 ∵y＝1 1 ＝(x2－3x)－2， x －3x21 3 2 ∴y′＝－2(x2－3x)－2· (x －3x)′ 1 3 ＝－2(x2－3x)－2· (2x－3)． ∴曲线 y＝ 1 1 在点 (4 ， 2)处的切线斜率为 x2－3x1 3 5 k＝y′|x＝4＝－2(42－3×4)－2· (2×4－3)＝－16.1 ∴曲线在点(4，2)处的切线方程为 1 5 y－2＝－16(x－4)，即 5x＋16y－28＝0. 探究 3 本题不要将函数 y＝ 1 1 看做是由 y ＝ u，u＝ v，v x2－3x＝x2－3x 三个函数复合而成的，这样求导就麻烦了． 思考题 3 (1) 曲 线 y ＝ 3x2＋1 在 点 (1,2) 处 的 切 线 方 程 为__________________． 【答案】 3x－2y＋1＝0 (2)y＝ 1 的水平切线方程是________． 1－x2【解析】 令 y′＝0，得 x＝0，∴y＝1. 12．求曲线 y＝2x－x3 在点(－1，－1)处的切线的方程及此切线 与 x 轴、y 轴所围成的平面图形的面积． 答案 x＋y＋2＝0；2 1 2 x 在点(4，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的8．曲线 y＝e面积为( 9 A.2e2 C．2e2 答案) B．4e2 D．e2 D1 1 2 x 解析 ∵y′＝2· e ， 1 ∴切线的斜率 k＝y′|x＝4＝2e2. 1 ∴切线方程为 y－e2＝2e2(x－4)． ∴横纵截距分别为 2，－e2，∴S＝e2，故选 D. 1 11． 已知函数 y＝f(x)的图像在点 M(1， f(1))处的切线方程是 y＝2x＋2， 则 f(1)＋f′(1)＝________. 答案 3 1 1 5 解析 f′(1)＝2，f (1)＝2×1＋2＝2，∴f(1)＋f′(1)＝3. 5．如图是函数 f(x)及 f(x)在点 P 处切线的图像，则 f(2)＋ f′(2)＝________.9 答案 8 x y 解析 由题图知，切线方程为4＋4.5＝1， 2 9 f(2)＝4.5· (1－4)＝4， 4.5 9 f′(2)＝－ 4 ＝－8. 9 9 9 ∴f(2)＋f′(2)＝4－8＝8. 类型二：已知斜率，求曲线的切线方程 此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决． 例2 与直线 2 x y 4 0 的平行的抛物线 y x 2 的切线方程是（ Ａ． 2 x y 3 0 Ｂ Ｄ． 2 x y 1 0 2 解：设 P( x0，y0 ) 为切点，则切点的斜率为 y|x x0）0．2x y 30Ｃ．2x y 1 2 x0 2 ．∴ x0 1 ．， ．故切线方程为 y 1 2( x 1) ，即 2 x y 1 0 ，故选Ｄ． 由此得到切点 (11)评注：此题所给的曲线是抛物线，故也可利用 法加以解决，即设切线方程为 y 2 x b ， 代入 y x 2 ， 得 x2 2x b 0 ， 又因为 0 ， 得 b 1 ， 故选Ｄ． 练习： 3．曲线 y＝x3 在点 P 处的切线斜率为 3，则点 P 的坐标为( A．(－2，－8) C．(2,8) 答案 B B．(1,1)，(－1，－1) 1 1 D．(－2，－8) )13．若曲线 y＝2x3 上某点切线的斜率等于 6，求此点的坐标． 2x0＋Δx3－2x30 2 解析 ∵y′|x＝x0＝ lim ＝ 6 x 0， ΔxΔx→0∴6x20＝6.∴x0＝± 1.故(1,2)，(－1，－2)为所求． x2 1 3．已知曲线 y＝ 4 －3lnx 的一条切线的斜率为2，则切点的横坐 标为( A．3 C．1 答案 解析 A 1 1 1 3 1 y′＝2x－3x，由2x－x＝2. ) B．2 1 D.2得 x＝3 或 x＝－2.由于 x>0，所以 x＝3. 3．已知曲线 y＝f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切线方程为 2x＋y＋1＝ 0，那么( ) B．f′(x0)A．f′(x0)＝0 C．f′(x0)>0 答案 B5．如果曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为 x＋2y－3＝0，那 么( ) A．f′(x0)>0 C．f′(x0)＝0 答案 B ) B．f′(x0)π 7．在曲线 y＝x2 上切线的倾斜角为4的点是( A．(0,0) 1 1 C．(4，16) 答案 D B．(2,4) 1 1 D．(2，4)2．若曲线 y＝x4 的一条切线 l 与直线 x＋4y－8＝0 垂直，则 l 的 方程为( ) B．x＋4y－5＝0 D．x＋4y＋3＝0A．4x－y－3＝0 C．4x－y＋3＝0 答案 A解析 ∵l 与直线 x＋4y－8＝0 垂直， ∴l 的斜率为 4.∵y′＝4x3， ∴由切线 l 的斜率是 4，得 4x3＝4，∴x＝1. ∴切点坐标为(1,1)． ∴切线方程为 y－1＝4(x－1)， 即 4x－y－3＝0.故选 A. 11．已知 P(－1,1)，Q(2,4)是曲线 y＝x2 上的两点，则与直线 PQ 平行的曲线 y＝x2 的切线方程是________． 答案 4x－4y－1＝0 解析 4－1 k＝ ＝1，又 y′＝2x， 2－－11 1 令 2x＝1，得 x＝2，进而 y＝4， 1 1 ∴切线方程为 y－4＝1· (x－2)， 即 4x－4y－1＝0. 13．如果曲线 y＝x2＋x－3 的某一条切线与直线 y＝3x＋4 平行， 求切点坐标与切线方程． 答案 切点坐标为(1，－1)，切线方程为 3x－y－4＝013．曲线 y＝x3＋3x2＋6x－10 的切线中，斜率最小的切线方程为 ______________． 答案 3x－y－11＝0 解析 y′＝3x2＋6x＋6＝3(x＋1)2＋3≥3，当且仅当 x＝－1 时取等号，当 x＝－1，时 y＝－14. ∴切线方程为 y＋14＝3(x＋1)，即 3x－y－11＝0. 1 9．设直线 y＝2x＋b 是曲线 y＝lnx(x>0)的一条切线，则实数 b 的 值为________． 答案 ln2－1 4．设曲线 y＝ax2 在点(1，a)处的切线与直线 2x－y－6＝0 平行， 则 a 等于( A．1 1 C．－2 答案 A ) 1 B.2 D．－114．设曲线 y＝eax 在点(0,1)处的切线与直线 x＋2y＋1＝0 垂直， 则 a＝________. 答案 2解析 由题意得 y′＝aeax，y′|x＝0＝aea×0＝2，a＝2. 10．函数 f(x)＝asinax(a∈R)的图像过点 P(2π，0)，并且在点 P 处的 切线斜率为 4，则 f(x)的最小正周期为( A．2π π C.2 答案 B B．π π D.4 )解析 f′(x)＝a2cosax，∴f′(2π)＝a2cos2πa. 又 asin2πa＝0，∴2πa＝kπ，k∈Z. ∴f′(2π)＝a2coskπ＝4，∴a＝± 2. 2π ∴T＝ |a| ＝π. 6．曲线 y＝ln(2x－1)上的点到直线 2x－y＋3＝0 的最短距离是( A. 5 C．3 5 答案 解析 A 2 y′＝ ＝2，∴x＝1.∴切点坐标为(1,0)． 2x－1 B．2 5 D．0 )|2×1－0＋3| 由点到直线的距离公式，得 d＝ ＝ 5. 22＋12 19．曲线 y＝x(x＋1)(2－x)有两条平行于 y＝x 的切线，则两切线 之间的距离为________． 16 答案 27 2 解析 y＝x(x＋1)(2－x)＝－x3＋x2＋2x，y′＝－3x2＋2x＋2，令－3x2＋2x＋2＝1，得 1 x1＝1 或 x2＝－3.1 14 ∴两个切点分别为(1,2)和(－3，－27)． 5 切线方程为 x－y＋1＝0 和 x－y－27＝0. 5 |1＋27| 16 2 ＝ 27 . 2∴d＝类型三：已知过曲线上一点，求切线方程 过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切 点，即用待定切点法． 6．下列说法正确的是( )A．曲线的切线和曲线有交点，这点一定是切点 B．过曲线上一点作曲线的切线，这点一定是切点 C．若 f′(x0)不存在，则曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处无切线 D．若曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则 f′(x0)不一定存在 答案 D 1) 的切线方程． 例3 求过曲线 y x3 2x 上的点 (1，3 解：设想 P( x0，y0 ) 为切点，则切线的斜率为 y|x x 3x02 2 ．0∴切线方程为 y y0 (3x02 2)( x x0 ) ． y ( x03 2x0 ) (3x02 2)( x x0 ) ．又 知 切 线 过 点(1 ， 1)， 把 它 代 入 上 述 方 程 ， 得1 ( x03 2 x0 ) (3x02 2)(1 x0 ) ．解得 x0 1 ，或 x0 1 ．21 3 1 故所求切线方程为 y (1 2) (3 2)( x 1) ，或 y 1 2 x ， 8 4 2即 x y 2 0 ，或 5x 4 y 1 0 ． 1) 为切点，实际上是经 评注：可以发现直线 5x 4 y 1 0 并不以 (1， 1 7 1) 且以 ， 为切点的直线．这说明过曲线上一点的切线， 过了点 (1， 2 8该点未必是切点，解决此类问题可用待定切点法． 练习： 类型四：已知过曲线外一点，求切线方程 此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解．1 0) 且与曲线 y 相切的直线方程． 例4 求过点 (2， x4 解：设 P( x0，y0 ) 为切点，则切线的斜率为 y |x x∴切线方程为 y y0 01 x0 2．1 1 1 ( x x0 ) ，即 y 2 ( x x0 ) ． x0 2 x0 x0 x0 1 (2 x0 ) ． x0 21 0) ，把它代入上述方程，得 又已知切线过点 (2，解得 x0 1，y0 1 1 ，即 x y 2 0 ． x00) 实际上是曲线外的一点，但在解答过程中却无需判 评注：点 (2，断它的确切位置，充分反映出待定切点法的高效性例516) 作曲线 y f ( x) 的切线，求此 已知函数 y x3 3x ，过点 A(0，切线方程．16) 不在曲线上． 5 解：曲线方程为 y x3 3x ，点 A(0，设切点为f ( x0 ) 3( x02 1) ，M ( x0，y0 )，则点M的坐标满足y0 x03 3x0．因故切线的方程为 y y0 3( x02 1)( x x0 ) ．16) 在切线上，则有 16 ( x03 3x0 ) 3( x02 1)(0 x0 ) ． 点 A(0，化简得 x03 8 ，解得 x0 2 ． 2) ，切线方程为 9 x y 16 0 ． 所以，切点为 M (2，评注：此类题的解题思路是，先判断点 A 是否在曲线上，若点 A 在曲线上，化为类型一或类型三；若点 A 不在曲线上，应先设出切点 并求出切点． 练习： 17．已知曲线方程为 y＝x2，求过 A(3,5)点且与曲线相切的直线 方程． 解析 解法一 设过 A(3,5)与曲线 y＝x2 相切的直线方程为 y－5＝k(x－3)，即 y＝kx＋5－3k. y＝kx＋5－3k 由 2 y＝x ，得 x2－kx＋3k－5＝0. Δ＝k2－4(3k－5)＝0， 整理得(k－2)(k－10)＝0. ∴k＝2 或 k＝10. 所求的直线方程为 2x－y－1＝0,10x－y－25＝0. 解法二 设切点 P 的坐标为(x0，y0)， 由 y＝x2，得 y′＝2x. ∴y′|x＝x0＝2x0. 由已知 kPA＝2x0，即 5－y0 ＝2x0. 3－x0又 y0＝2x0，代入上式整理，得 x0＝1 或 x0＝5. 18． 已知曲线 S： y＝3x－x3 及点 P(2,2)， 则过点 P 可向 S 引切线， 其切线条数为( )A．0 C．2 答案 DB．1 D．3解析 显然 P 不在 S 上，设切点为(x0，y0)， 由 y′＝3－3x2，得 y′|x＝x0＝3－3x20. 切线方程为 y－(3x0－x30)＝(3－3x20)(x－x0)． ∵P(2,2)在切线上， ∴2－(3x0－x30)＝(3－3x20)(2－x0)， 即 x30－3x20＋2＝0. ∴(x0－1)(x20－2x0－2)＝0. 由 x0－1＝0，得 x0＝1. 由 x20－2x0－2＝0，得 x0＝1± 3. ∵有三个切点，∴由 P 向 S 作切线可以作 3 条． 综合练习： 10．已知 f(x)＝x2＋2xf′(1)，则 f′(0)等于( A．0 C．－2 答案 B B．－4 D．2 )解析 f′(x)＝2x＋2f′(1)， 令 x＝1，得 f′(1)＝2＋2f′(1)，∴f′(1)＝－2. ∴f′(0)＝2f′(1)＝－4.12．设函数 f(x)＝g(x)＋x2，曲线 y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方 程为 y＝2x＋1，则曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为( )A．4 C．2 答案 解析 A. A1 B．－4 1 D．－2依题意得 f′(x)＝g′(x)＋2x，f′(1)＝g′(1)＋2＝4，选15．(1)求过曲线 y＝ex 上点 P(1，e)且与曲线在该点处的切线垂 直的直线方程； 1 (2)曲线 y＝5x5 上一点 M 处的切线与直线 y＝－x＋3 垂直，求此 切线方程． 解析 (1)∵y′＝ex，∴曲线在点 P(1，e)处的切线斜率是 y′|x＝1＝e. 1 ∴过点 P 且与切线垂直的直线的斜率为 k＝－e. 1 ∴所求直线方程为 y－e＝－e (x－1)， 即 x＋ey－e2－1＝0. (2)∵切线与 y＝－x＋3 垂直，∴切线斜率为 1. 又 y′＝x4，令 x4＝1，∴x＝± 1. ∴切线方程为 5x－5y－4＝0 或 5x－5y＋4＝0. 4．y＝ax2＋1 的图像与直线 y＝x 相切，则 a＝( 1 A.8 1 C.2 1 B.4 D．1)答案B2 解析 由已知{y＝ax ＋1， y＝x 有唯一解，即 x＝ax2＋1，ax2－x＋1＝0 有唯一解， 1 ∴Δ＝1－4a＝0，∴a＝4.15．点 P 在曲线 y＝f(x)＝x2＋1 上，且曲线在点 P 处的切线与曲 线 y＝－2x2－1 相切，求点 P 的坐标． 解析 设 P(x0，y0)，则 y0＝x2 0＋1.2 x0＋Δx2＋1－x0 ＋1 f′(x0)＝ lim ＝2x0. Δx Δx→0所以过点 P 的切线方程为 y－y0＝2x0(x－x0)，2 即 y＝2x0x＋1－x0 .而此直线与曲线 y＝－2x2－1 相切， 所以切线与曲线 y＝－2x2－1 只有一个公共点．2 2 由{y＝2x0x＋1－x0， y＝－2x －1， 得 2 2x2＋2x0x＋2－x0 ＝0. 2 即 Δ＝4x0 －8(2－x2 0)＝0.± 2 3 7 解得 x0＝ 3 ，y0＝3. 2 3 7 2 3 7 所以点 P 的坐标为( 3 ，3)或(－ 3 ，3)． 17．若直线 y＝kx 与曲线 y＝x3－3x2＋2x 相切，求 k 的值．2 解析 设切点坐标为(x0，y0)，y′|x＝x0＝3x0 －6x0＋2＝k.y0 若 x0＝0，则 k＝2.若 x0≠0，由 y0＝kx0，得 k＝x .0y0 2 ∴3x0 －6x0＋2＝x ，0即2 x3 0－3x0＋2x0 2 3x0－6x0＋2＝ .解之，得 x03 x0＝2.3 3 1 ∴k＝3×(2)2－6×2＋2＝－4. 1 综上，k＝2 或 k＝－4. 16． 已知函数 f(x)＝2x3＋ax 与 g(x)＝bx2＋c 的图像都过点 P(2,0)， 且在点 P 处有公共切线，求 f(x)、g(x)的表达式． 解析 ∵f(x)＝2x3＋ax 的图像过点 P(2,0)， ∴a＝－8.∴f(x)＝2x3－8x.∴f′(x)＝6x2－8. 对于 g(x)＝bx2＋c 的图像过点 P(2,0)，则 4b＋c＝0. 又 g′(x)＝2bx，∴g′(2)＝4b＝f′(2)＝16. ∴b＝4.∴c＝－16. ∴g(x)＝4x2－16. 综上可知，f(x)＝2x3－8x，g(x)＝4x2－16. 1．已知直线 l1 为曲线 y＝x2＋x－2 在点(1,0)处的切线，l2 为该 曲线的另一条切线，且 l1⊥l2. (1)求直线 l1，l2 的方程； (2)求由直线 l1，l2 和 x 轴所围成的三角形的面积． 分析 (1)求曲线在某点处的切线方程的步骤： 先求曲线在这点处的导数，这点对应的导数值即为过此点切线的斜率，再用点斜式写出 1 直线方程；(2)求面积用 S＝2a· h 即可完成． 解析 (1)因为 y′＝2x＋1，则直线 l1 的斜率 k1＝2×1＋1＝3，则直线 l1 的方程为 y＝3x－3，设直线 l2 过曲线 y＝x2＋x－2 上的点 B(x0,y0)，因为 l1⊥l2。则 l2 的方程为1 2 20 k f ' x0 2 x0 1 ,所以 x 0 ， y 0 3 3 91 22 所以直线 l2 的方程为 y＝－3x－ 9 . 1 y ＝ 3 x － 3 x ＝ 6 (2)解方程组 得 1 22 5 y ＝－ x － ， 3 9 y ＝－ 2. 1 5 所以直线 l1 和 l2 的交点坐标为(6，－2)，l1，l2 与 x 轴交点的坐 22 1 25 5 标分别为(1,0)，(－ 3 ，0)．所以所求三角形的面积 S＝2× 3 ×|－2| 125 ＝ 12 . 17．求证：双曲线 C1：x2－y2＝5 与椭圆 C2：4x2＋9y2＝72 在第 一象限交点处的切线互相垂直． 证明 联立两曲线的方程， 求得它们在第一象限交点为(3,2)．C1 在第一象限的部分对应的函数解析式为 y＝ x2－5，于是有：2y′＝[(x －5)1 2x2－5′ x ]′＝ ＝ 2 ， 2 2 x －5 x －53 ∴k1＝y′|x＝3＝2. C2 在第一象限的部分对应的函数解析式为 y＝ 4 8－9x2. 8 －9x 2x ＝－ . 4 2 3 18－x2 8－9x∴y′＝ 22 ∴k2＝y′|x＝3＝－3.∵k1· k2＝－1，∴两切线互相垂直． ►重点班· 选做题 18．曲线 y＝e2xcos3x 在(0,1)处的切线与 l 的距离为 5，求 l 的方 程． 解析 由题意知 y′＝(e2x)′cos3x＋e2x(cos3x)′ ＝2e2xcos3x＋3(－sin3x)· e2 x ＝2e2xcos3x－3e2xsin3x， ∴曲线在(0,1)处的切线的斜率为 k＝y′|x＝0＝2. ∴该切线方程为 y－1＝2x⇒y＝2x＋1. 设 l 的方程为 y＝2x＋m， 则 d＝ |m－1| ＝ 5.解得 m＝－4 或 m＝6. 5当 m＝－4 时，l 的方程为 y＝2x－4； 当 m＝6 时，l 的方程为 y＝2x＋6. 综上，可知 l 的方程为 y＝2x－4 或 y＝2x＋6. 下面例析四种常见的类型及解法（学生用） ． 类型一：已知切点，求曲线的切线方程 此类题较为简单，只须求出曲线的导数 f ( x) ，并代入点斜式方程 即可． 例1 1) 处的切线方程为（ 曲线 y x3 3x2 1 在点 (1，）Ａ． y 3x 4 Ｂ． y 3x 2Ｃ． y 4 x 3Ｄ． y 4 x 5类型二：已知斜率，求曲线的切线方程 此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决．例 2 （ ）与 直 线 2 x y 4 0的 平 行 的 抛 物 线y x2 的 切 线 方 程 是Ａ． 2 x y 3 0 Ｂ Ｄ． 2 x y 1 0．2x y 30Ｃ．2x y 10类型三：已知过曲线上一点，求切线方程 过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切 点，即用待定切点法． 1) 的切线方程． 例 3 求过曲线 y x3 2x 上的点 (1，类型四：已知过曲线外一点，求切线方程 此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解． 例4 例51 0) 且与曲线 y 相切的直线方程． 求过点 (2， x16) 作曲线 y f ( x) 的切线，求此 已知函数 y x3 3x ，过点 A(0，切线方程．