班级___ ___学号____ ____姓名____ _____成绩______________ 一、填空题
1. 一旋转齿轮的角加速度β=4at 3-3bt 2 ，式中a 、b 均为恒量，若齿轮具有初角速度为ω0，则任意时刻ｔ的角速度 ，转过的角度为 .
2. 质量为m ，半径为R 的均质圆盘，平放在水平桌面上，它与桌面的滑动摩擦系数为μ，试问圆盘绕中心轴转动所受摩擦力矩为 。
3. 一长为L 质量为m 的均质细杆，两端附着质量分别为m 1和m 2的小球，且m 1>m 2 ，两小球直径d 1 、d 2都远小于L ，此杆可绕通过中心并垂直于细杆的轴在竖直平面内转动，则它对该轴的转动惯量为 ， 若将它由水平位置自静止释放，则它在开始时刻的角加速度为多大： 。
4. 质量为m ，半径为r 的均质圆盘，绕通过其中心且与盘垂直的固定轴以角速度ω匀速转动，则对其转轴来说，它的动量为____________，角动量为__________. 三、计算题：
1. 固定在一起的两个同轴均匀圆柱体可绕其光滑的水平对称轴OO ’转动，设大小圆柱的半径分别为R 和r ，质量分别为M 和m ，绕在两柱体上的细绳分别与物体m 1和物体m 2 相连，m 1和m 2则挂在圆柱体的两侧，如图所示，设R =0. 20m ，
O ’
O
r =0. 10m ，m =4kg，M =10kg，m 1=m 2=2kg，求柱体转动时的角加速度及两侧绳中的张力. 解：设a 1, a 2和β分别为m 1, m 2和柱体的加速度及角加速度，方向如图(如图b) ．
题2-26(a)图 题2-26(b)图
(1) m 1, m 2和柱体的运动方程如下：T 2-m 2g =m 2a 2 ①
m 1g -T 1=m 1a 1 ②
T 1'R -T 2'r =I α ③
式中 T 1'=T 1, T 2'=T 2, a 2=r α, a 1=R α 而 I =由上式求得
11
MR 2+mr 2 22
β=
=
Rm 1-rm 2
g
I +m 1R 2+m 2r 2
0.2⨯2-0.1⨯2
⨯9.8
⨯10⨯0.202+⨯4⨯0.102+2⨯0.202+2⨯0.10222=6.13rad ⋅s -2
(2)由①式 T 2=m 2r α+m 2g =2⨯0.10⨯6.13+2⨯9.8=20.8N 由②式T 1=m 1g -m 1R α=2⨯9.8-2⨯0.2. ⨯6.13=17.1N
2. 计算题3-13图所示系统中物体的加速度．设滑轮为质量均匀分布的圆柱体，其质量为
M ，半径为r ，在绳与轮缘的摩擦力作用下旋转，忽略桌面与物体间的摩擦，设m 1＝50
kg ，m 2＝200 kg,M＝15 kg, r ＝0.1 m
解: 分别以m 1, m 2滑轮为研究对象，受力图如图(b)所示．对m 1, m 2运用牛顿定律，有
m 2g -T 2=m 2a ① T 1=m 1a ②
对滑轮运用转动定律，有
1
T 2r -T 1r =(Mr 2) α ③
2
又， a =r α ④
联立以上4个方程，得 a
=
m 2g m 1+m 2+
M 2
=
200⨯9. 8
=7. 615
5+200+
2
m ⋅s -2
题3-13(a)图 题3-13(b)图
3. 如图质量为M ，长为L 的均匀直杆可绕O 轴在竖直平面内无摩擦地转动，开始时杆处于自由下垂位置，一质量为m 的弹性小球水平飞来与杆下端发生完全弹性碰撞，若M >3m ，且碰撞后，杆上摆的最大角度为θ=30，则求：(A)小球的初速度v 0，(B)碰撞过程中杆给小球的冲量. （教材）
O
m v M
L
解: (1)设小球的初速度为v 0，棒经小球碰撞后得到的初角速度
为ω，而小球的速度变为v ，按题意，小球和棒作弹性碰撞，所以碰撞时遵从角动量守恒定律和机械能守恒定律，可列式：
mv 0l =I ω+mvl ①
121212
mv 0=I ω+mv ② 222
上两式中I =
12
Ml ，碰撞过程极为短暂，可认为棒没有显著的角位移；碰撞后，棒从竖直3
o
位置上摆到最大角度θ=30，按机械能守恒定律可列式：
12l
I ω=Mg (1-cos 30︒) ③ 22
⎡3g 3⎤⎡Mgl ⎤
(1-cos 30︒) ⎥=⎢(1-) ⎥ 由③式得 ω=⎢I l 2⎣⎦⎣⎦
由①式 v =v 0-
2
20
12
12
I ω
④ ml
I ω2
由②式 v =v - ⑤
m
所以 (v 0-
I ω212
) =v 0-ω2 ml m
v 0=
求得
l ωI l 1M
(1+2) =(1+) ω223m ml 6(2-3m +M 12m
gl
=
(2)相碰时小球受到的冲量为 F d t =∆mv =mv -mv 0
⎰
由①式求得 F d t =mv -mv 0=-
⎰
6(2-) M I ω1
=-Ml ω=-l 36
gl
负号说明所受冲量的方向与初速度方向相反．
班级___ ___学号____ ____姓名____ _____成绩______________ 一、填空题
1. 一旋转齿轮的角加速度β=4at 3-3bt 2 ，式中a 、b 均为恒量，若齿轮具有初角速度为ω0，则任意时刻ｔ的角速度 ，转过的角度为 .
2. 质量为m ，半径为R 的均质圆盘，平放在水平桌面上，它与桌面的滑动摩擦系数为μ，试问圆盘绕中心轴转动所受摩擦力矩为 。
3. 一长为L 质量为m 的均质细杆，两端附着质量分别为m 1和m 2的小球，且m 1>m 2 ，两小球直径d 1 、d 2都远小于L ，此杆可绕通过中心并垂直于细杆的轴在竖直平面内转动，则它对该轴的转动惯量为 ， 若将它由水平位置自静止释放，则它在开始时刻的角加速度为多大： 。
4. 质量为m ，半径为r 的均质圆盘，绕通过其中心且与盘垂直的固定轴以角速度ω匀速转动，则对其转轴来说，它的动量为____________，角动量为__________. 三、计算题：
1. 固定在一起的两个同轴均匀圆柱体可绕其光滑的水平对称轴OO ’转动，设大小圆柱的半径分别为R 和r ，质量分别为M 和m ，绕在两柱体上的细绳分别与物体m 1和物体m 2 相连，m 1和m 2则挂在圆柱体的两侧，如图所示，设R =0. 20m ，
O ’
O
r =0. 10m ，m =4kg，M =10kg，m 1=m 2=2kg，求柱体转动时的角加速度及两侧绳中的张力. 解：设a 1, a 2和β分别为m 1, m 2和柱体的加速度及角加速度，方向如图(如图b) ．
题2-26(a)图 题2-26(b)图
(1) m 1, m 2和柱体的运动方程如下：T 2-m 2g =m 2a 2 ①
m 1g -T 1=m 1a 1 ②
T 1'R -T 2'r =I α ③
式中 T 1'=T 1, T 2'=T 2, a 2=r α, a 1=R α 而 I =由上式求得
11
MR 2+mr 2 22
β=
=
Rm 1-rm 2
g
I +m 1R 2+m 2r 2
0.2⨯2-0.1⨯2
⨯9.8
⨯10⨯0.202+⨯4⨯0.102+2⨯0.202+2⨯0.10222=6.13rad ⋅s -2
(2)由①式 T 2=m 2r α+m 2g =2⨯0.10⨯6.13+2⨯9.8=20.8N 由②式T 1=m 1g -m 1R α=2⨯9.8-2⨯0.2. ⨯6.13=17.1N
2. 计算题3-13图所示系统中物体的加速度．设滑轮为质量均匀分布的圆柱体，其质量为
M ，半径为r ，在绳与轮缘的摩擦力作用下旋转，忽略桌面与物体间的摩擦，设m 1＝50
kg ，m 2＝200 kg,M＝15 kg, r ＝0.1 m
解: 分别以m 1, m 2滑轮为研究对象，受力图如图(b)所示．对m 1, m 2运用牛顿定律，有
m 2g -T 2=m 2a ① T 1=m 1a ②
对滑轮运用转动定律，有
1
T 2r -T 1r =(Mr 2) α ③
2
又， a =r α ④
联立以上4个方程，得 a
=
m 2g m 1+m 2+
M 2
=
200⨯9. 8
=7. 615
5+200+
2
m ⋅s -2
题3-13(a)图 题3-13(b)图
3. 如图质量为M ，长为L 的均匀直杆可绕O 轴在竖直平面内无摩擦地转动，开始时杆处于自由下垂位置，一质量为m 的弹性小球水平飞来与杆下端发生完全弹性碰撞，若M >3m ，且碰撞后，杆上摆的最大角度为θ=30，则求：(A)小球的初速度v 0，(B)碰撞过程中杆给小球的冲量. （教材）
O
m v M
L
解: (1)设小球的初速度为v 0，棒经小球碰撞后得到的初角速度
为ω，而小球的速度变为v ，按题意，小球和棒作弹性碰撞，所以碰撞时遵从角动量守恒定律和机械能守恒定律，可列式：
mv 0l =I ω+mvl ①
121212
mv 0=I ω+mv ② 222
上两式中I =
12
Ml ，碰撞过程极为短暂，可认为棒没有显著的角位移；碰撞后，棒从竖直3
o
位置上摆到最大角度θ=30，按机械能守恒定律可列式：
12l
I ω=Mg (1-cos 30︒) ③ 22
⎡3g 3⎤⎡Mgl ⎤
(1-cos 30︒) ⎥=⎢(1-) ⎥ 由③式得 ω=⎢I l 2⎣⎦⎣⎦
由①式 v =v 0-
2
20
12
12
I ω
④ ml
I ω2
由②式 v =v - ⑤
m
所以 (v 0-
I ω212
) =v 0-ω2 ml m
v 0=
求得
l ωI l 1M
(1+2) =(1+) ω223m ml 6(2-3m +M 12m
gl
=
(2)相碰时小球受到的冲量为 F d t =∆mv =mv -mv 0
⎰
由①式求得 F d t =mv -mv 0=-
⎰
6(2-) M I ω1
=-Ml ω=-l 36
gl
负号说明所受冲量的方向与初速度方向相反．