机械原理答案

机械原理课程组编

武汉科技大学机械自动化学院

习题参考答案

第二章机构的结构分析

2-2 图2-38所示为一简易冲床的初拟设计方案。设计者的思路是：动力由齿轮1输入，使轴A 连续回转；而固装在轴A 上的凸轮2与杠杆3组成的凸轮机构将使冲头4

解答：原机构自由度F=3⨯3- 2

⨯4-1 = 0，不合理，改为以下几种结构均可：

2-3 图2-3936为连杆；7为齿轮及偏心轮；8为机架；9为压头。试绘制其机构运动简图，并计算其自由度。

滚子

摆杆滑块

滑杆齿轮及凸轮

压头

齿轮及偏心轮连杆

机架

解答：n=7; Pl =9; Ph =2，F=3⨯7-2 ⨯9-2 = 1

2-6 试计算图2-42所示凸轮—连杆组合机构的自由度。

解答：a) n=7; Pl =9; Ph =2，F=3⨯7-2 ⨯9-2 =1 L 处存在局部自由度，D 处存在虚约束

b) n=5; Pl =6; Ph =2，F=3⨯5-2 ⨯6-2 =1 E 、B 处存在局部自由度，F 、C 处存在虚约束

A B

a) b)

2-7 试计算图2-43所示齿轮—连杆组合机构的自由度。

A D

解答：a) n=4; Pl =5; Ph =1，F=3⨯4-2 ⨯5-1=1 A 处存在复合铰链

b) n=6; Pl =7; Ph =3，F=3⨯6-2 ⨯7-3=1 B 、C 、D 处存在复合铰链

2-8 试计算图2-44所示刹车机构的自由度。并就刹车过程说明此机构自由度的变化情况。解答：① 当未刹车时，F=3⨯6-2 ⨯8=2

E H A ② 在刹车瞬时，F=3⨯

5-2⨯7=1，此时构件EFG 和车轮

③ 完全刹死以后，F=3⨯4-2⨯6=0，此时构件EFG 、HIJ I O

G J

2-9 先计算图2-45～图2-50所示平面机构的自由度。和级别，以及机构的级别。机构中的原动件用圆弧箭头

(a)

(b )

接触成为一体，位置保持不变，可看作为机架。和车轮接触成为一体，位置保持不变，可看作为机架。再将其中的高副化为低副，确定机构所含杆组的数目表示。

解答：a) n=7; Pl =10; Ph =0，F=3⨯7-2 ⨯10 = 1 C 、E 处存在复合铰链由3个Ⅱ级杆组构成。

b) n=7; Pl =10; Ph =0，F=3⨯7-2 ⨯10 = 1 由3个Ⅱ级杆组构成的Ⅱ级机构。

c) n=3; Pl =3; Ph =2，F=3⨯3 -2 ⨯3-2 = 1 D 处存在局部自由度，由2个Ⅱ级杆组构成Ⅱ级机构。 d) n=4; Pl =5; Ph =1，F=3⨯4 -2 ⨯5-1 = 1 由1个Ⅲ级杆组构成的Ⅲ级机构。

F C D B A

G H G'

F A

D B

e) n=6; Pl =8; Ph =1，F=3⨯6 -2 ⨯8-1 = 1 B 处存在局部自由度，G 、G' 处存在虚约束, 由1个Ⅱ级杆组加上1个Ⅲ级杆组构成的Ⅲ级机构。 f) n=9; Pl =12; Ph =2，F=3⨯9 -2 ⨯12-2 = 1 C 处存在局部自由度，I 处存在复合铰链, 由5个Ⅱ级杆构成的Ⅱ级机构。杆组拆分如下图所示。

＋

第三章平面机构的运动分析

3-1 如图3-20所示曲柄滑块机构中若已知a ，b ，e ，当ϕ1给定后，试导出滑块位移s 和连杆转角ϕ2的表达式。

ωx

a cos ϕ1+b cos ϕ2=s 由解：⎧b s i n ϕ2=e -a s i n ϕ1 ⎨

⎩a sin ϕ1+b sin ϕ2=e

得到

e -a sin ϕ1⎧

ϕ2=) ⎪ ⎪b ⎨

e -a sin ϕ1

⎪s =a cos ϕ+b cos(arcsin()) 1⎪b ⎩

或写成⎪ϕ2=⎧

⎨

⎪s =a cos ϕ+b 2-(e -a sin ϕ) 2

11⎩

e -a sin ϕ1

) b

3-2 如图3-20，若已知a =20mm , b =140mm , ω1=-10rad s , ϕ1=60 , e =10mm ，设经计算得到：ϕ2=-2. 997 ，s=149.81mm ，请导出v c 和ω2的表达式，并求出其数值。

-a ω1sin ϕ1-b ω2sin ϕ2=v c ，得：a ωcos ϕ120⨯(-10) ⨯cos(60︒) 解：⎧ω2=-1=-=0. 7153rad /s ⎨

b cos ϕ2140⨯cos(-2. 997︒) ⎩a ω1cos ϕ1+b ω2cos ϕ2=0

v c =-0. 02⨯(-10) ⨯sin(60︒) -0. 14⨯0. 715⨯3s i n -(2. 99︒7) =0. 178m 4/s 3-12 如图3-30所示，曲柄摆动导杆机构中各杆长，已知a =400m m , d =500m m , l BD =250m m ，构件1以等角速度ω1=20绕A 顺时针方向转动，求此时v D 及角速度比ω13。

a cos ϕ=l cos ϕ⎧1BC 3解：⎨，其中2式除以1式可得 ︒

⎩a sin ϕ1+d =l BC sin ϕ3

a sin ϕ1+d tan ϕ3==2. 0207 a cos ϕ1

故得：ϕ3=63. 6705︒, l BC

400⨯cos(30︒) ==781.0251mm cos(63. 6705︒)

求导得⎪⎧

⎨-a ω1s i n ϕ1=l BC c o ϕs 3-l BC ω3s i n ϕ3 ⎪⎩a ω1c o ϕ

s 1=l BC s i n ϕ3+l BC ω3c o ϕs 3上式中对2式用旋转坐标系法，按逆时针方向旋转ϕ3角得：a ω1cos(ϕ1-ϕ3) =l BC ω3

所以，ω1/ω3=2. 3462, ω3=-8. 5244rad /s

又⎧⎨x D =a cos ϕ1+l BD cos(ϕ3+240︒) 求导得⎧v Dx =-a ω1sin ϕ1-l BD ω3sin(ϕ3+240︒) ω ⎩y sin ϕ⎨D =a 1+l BD sin(ϕ3+240︒) ⎩v Dy =a 1cos ϕ1+l BD ω3cos(ϕ3+240︒)

或写成如下等价形式：

⎧⎨x D =a cos ϕ1+l BD cos(ϕ3-120︒) 求导得⎧v Dx =-a ω1sin ϕ1-l BD ω3sin(ϕ3-120︒) ⎩y a sin ϕl ⎨D =1+BD sin(ϕ3-120︒) ⎩v Dy =a ω1cos ϕ1+l BD ω3cos(ϕ3-120︒)

解得：V Dx =-0.4*(-20)*sin(60*pi/180)-0.25*(-8.5244)*sin((63.6705-120)*pi/180)= 2.2264m/s V Dy =0.4*(-20)*cos(60*pi/180)+0.25*(-8.5244)*cos((63.6705-120)*pi/180)= - 8.1097 m/s 合成可得：V D =sqrt(2.2264^2+8.1097^2)＝8.4098 m/s ， β VD＝-74.6485° 3-12题解法二（瞬心法）：

l BC =a 2+d 2-2ad cos ∠CAB =781. 025mm

由余弦定理：cos ∠ABC =0. 8322，得∠ABC =33. 6746︒ ︒P

24B =l BC /cos ∠ABC =938. 5064mm 由P 24B ⋅ω3=a ⋅ω1，得：ω13=2. 3461 ω3=8. 5247rad /s ∠ABD =∠ABC +60︒=93. 6476︒ P 24D =986. 5945mm V D =ω3⋅P 24D =8. 4104m /s

3-15 如图3-33所示为采煤康拜因的钻探机构。已知件1上的B 点以等角速度ω21=1rad/s逆时针方向转动，求C 、

解：（1）求C 、D 两点的速度

⎧⎨a cos ϕ1=l AC +b cos ϕ2

sin ϕ840⨯sin(15︒) 2=, ϕ2=50. 9373︒ ⎩a sin ϕ1=b sin ϕ2

280

b =280m m , a =840m m , l AD =1300m m , ϕ1=15 , 构件

2绕构

D 两点的速度及加速度。

-a ω1s i n ϕ1=v C -b ω2s i n ϕ2 a cos ϕ1a cos ϕ1

⎧ω2=⋅ω1, 又根据题目已知条件ω21＝ω2-ω1=1，得(-1) ω1=1，得ω1=0. 278r a d /s ⎨

b cos ϕb cos ϕs 1=b ω2c o ϕs 222⎩a ω1c o ϕ

v C =b ω2sin ϕ2-a ω1sin ϕ1=217. 4079mm /s , v D =1300⨯0. 278=361. 4mm /s

（2）求C 、D 两点的加速度

⎧⎪-a ε1sin ϕ1-a ω1cos ϕ1=a C -b ε2sin ϕ2-b ω2cos ϕ2 ⎨22⎪⎩a ε1cos ϕ1-a ω1sin ϕ1=b ε2cos ϕ2-b ω2sin ϕ2

由d ω21dt ＝ε2-ε1=0，得ε2=ε1 由上面2式可得：

840*ε1*cos(15*pi/180)-840*(0.278^2)*sin(15*pi/180)=280*ε2*cos(50.93*pi/180)-280*(1.278^2)*sin(50.93*pi/180) 811.3777ε1 - 16.8022＝176.4754ε1 -355.0521 得ε1＝ε2＝-0.5328rad/s2

求D 点加速度的方法有两种：第一种按书上的方法列出运动方程式，按步骤求解；第二种方法求出法向加速度和切向加速度的合成。

x D =l AD cos ϕ1 求导得速度方程式⎧v Dx =-l AD ω1sin ϕ1 ① 对D 点列出位置方程式⎧⎨⎨

⎩y D =l AD sin ϕ1

⎩v Dy =l AD ω1c os ϕ1

⎪a Dx =-l AD ε1sin ϕ1-l AD ω1cos ϕ1 ，则a =a 2+a 2 再求导得加速度方程式⎧D Dx Dy ⎨2a =l εc os ϕ-l ωsin ϕ⎪1AD 11⎩Dy AD 1

a Dx = -1300*(-0.5328)*sin(15*pi/180)-1300*(0.278^2)*cos(15*pi/180)＝82.2226 mm/s2

a Dy = 1300*(-0.5328)*cos(15*pi/180)-1300*(0.278^2)*sin(15*pi/180)＝-695.0422 mm/s2

故D 点的加速度为：a D = sqrt(aDx ^2+ aDy ^2) = 699.8887 mm/s2 ， β aD＝-83.2533°

②a D =a Dt +a Dn =(l AD ε1) 2+(l AD ω12) 2=699.8887mm /s2

C 点的加速度为：a C =-b ε2sin ϕ2-b ω2cos ϕ2+a ε1sin ϕ1+a ω12cos ϕ1

a C =-280*(-0.5328)*sin(50.9373*pi/180)-280*(1.278^2)*cos(50.9373*pi/180)+840*(-0.5328)*sin(15*pi/180)+840*(0.278^2)*cos(15*pi/180)＝-225.4828 mm/s2

3-17 在图3-35所示

并用瞬心法求ϕ1=0 , 45 及90 时构件2

速度瞬心P 12如图

所示，从ϕ1=0︒, v 2=200mm /s ；

AB =e =20m m , R =50m m , ω1=10rad /s ，指出速度瞬心P 12

，

ϕ1=45︒, v 2=141. 4214mm /s ； ϕ1=90︒, v 2=0mm /s

3-18 如图3-36

=100P 13，并用瞬心法求构件1的角速度ω1。

解：速度瞬心P 13如图所示。

v P =v C =2mm /s ，又 v P =l AP ω1 故得出ω1=

100/cos 30︒

3-19 如图3-28所示凸轮机构，指出速度瞬心P 12，并用速度瞬心法求从动件的角速度ω2。

解：速度瞬心P 12如图所示。 l AP ω

1=l D P ω2

l AP =R /tan 30︒=R ,

l DP =(R /cos 60︒+R ) /sin 60︒=2R

所以得 ω2=1ω1=10rad /s

3-21如图3-38所示为铰链四杆机构，试用瞬心法分析欲求构件2此时ϕ1=?

和构件3上任何重合点的速度相等时的机构位置，

解：构件3

34）的连线度与该点与瞬心P 34 构件2与瞬心P 距离的乘积。

垂直的方向；其大小为构件3的角速向；其大小为构件2的角速度与该点

24要使构件2和构件3P 24重合（此2和3都相对于D 点做纯转动，且构件2和3的角速度相同（从两者的重合点C 可推导故任何重合点的速度相等。

故当ϕ1=α时，满足题目要求。

时AB 与AD 连线重合）。此时构件出），重合点距离

D 点的距离也相同，

第四章机构的力分析

. s （为常数）。又机构在图示位4-4 在图4-23所示的对心尖顶直动推杆盘形凸轮机构中，已知r 0=50m m , b 1=30m m ，l =80mm ，b 2=12mm ，ω1=01

置时，推杆以等加速度a 2=12垂直向上运动，该处凸轮的压力角α=16 。推杆重力Q 2=20N ，重心位于其轴线上。凸轮的质心与回转中心A 相重合。若加于凸轮上的驱动力矩M d =1N ⋅m ，试求各个运动副反力和推杆所能克服的生产阻力F r 。解：构件2推杆的受力简图如上，其中R 12=M d /h =M d /[(l -b 2) sin α]=53. 3523N

R 31x

R 31

R 21B

M d R 31y

惯性力F a =ma =(G /g ) a =2. 0408N 对构件2列出力和力矩平衡方程式： ⎧R 12cos α-(F r +F a +G ) =0 ⇒ F r =29. 2447N ⎪

'=0⎨R 12sin α+R 32+R 32

⎪-R ⋅(b +b ) -R '⋅b =0 '=-20. 5883N 全反力R 32全=-14. 7059N ⇒R 32=5. 8824N R 32322⎩3212

注：也可以由图中虚线所示，将机架对推杆的两个支反力R 32和R 32'合成为一个全反力R 32全，这样根据三力汇交理论，可以更方便的求出结果。

对构件1列出力平衡方程式：

⇒R 31x =14.7059N ⎧⎪R 31x +R 21sin α=0

⇒ 合成得R 31=53. 3523N ⎨

⇒ R 31y =51. 2855N ⎪⎩R 31y +R 21cos α=0

也可直接由构件1只受两力平衡直接得出：R 31=R 12=53. 3523N

4-10 在如图4-29所示摆动导杆机构中，已知a =300mm, ϕ3=30 , ϕ1=90 , 加于导杆上的力矩M 3=60N ⋅m , 求机构各运动副的反力及应加于曲柄1上的平衡力矩M b 。

R R 41

R R 21

解：对于构件3，由力矩平衡∑M =0可得：

R 23⋅(a /sin ϕ3) -M 3=0⇒R 23=100N β23=150︒

由力平衡得：R 43=100N β43=330︒

对于构件2滑块，由力平衡可得：R 12=-R 32=R 23=100N β12=150︒ 对于构件1，由力平衡可得：R 41=-R 21=R 12=100N β41=150︒ 由力矩平衡得：R 12⋅(a ⋅sin ϕ3) =M b ⇒M b =15N ⋅m

4-11 在如图4-30所示偏心轮凸轮机构中，已知R =60m m , OA =a =30m m , 且OA 位于水平位置，外载F 2=1000N, β=30 。求运动副反力和凸轮1上的平衡力矩M b 。

解：根据三力汇交理论，画出构件2受力图。列出力平衡方程：

025N 4⎧R 12+F 2cos β=0 ⎧R =86. 6

解得⎨12 ⎨

R +F sin β=0R =-50N 02⎩32⎩32

图中机架对推杆的支反力也可以看作虚线所示两个力的合成，此时也可以按照推杆在四个力的作用下平衡来求解，解法可参考题4-4。由构件1凸轮的受力图可得： R 31=-R 21=R 12=866. 0254N M b =-R 31⋅a =-25. 9808N ⋅m

4-19 如图4-38所示，构件1为一凸轮机构的推杆，它在力F 的作用下，沿导轨2向上运动，设两者的摩擦因数f=0.2，为了避免发生自锁，导轨的长度L 应满足什么条件（解题时不计构件1的质量）？

100

解：力矩平衡∑M =0可得：

F ⨯100=R ⨯L , 得：R =F ⨯100/L ，其中R =R 1=R 2 R 正压力产生的磨擦力为：F f =R ⋅f =0. 2⨯F ⨯100/L

要使推杆不自锁，即能够上升，必须满足：F >2F f ，即F >2⨯0. 2⨯F ⨯100/L

解得：L >0. 4⨯100=40mm

4-22 图4-41所示为一胶带运输机，由电动机1经过平型带传动及一个两级齿轮减速器，带动运输带8。设已知运输带8所需的曳引力F =5500N，运输

. ，运输带8的机械带8的运送速度v =12. s ，滚筒直径D =900mm，平型带传动（包括轴承）的效率η1=095. ，每对齿轮（包括其轴承）的效率η2=097

. 。试求该传动系统的总效率η及电动机所需的功率P 。效率η3=097

解：串联机组，总效率η=η1⋅η2⋅η2⋅η3=0. 8670 输出功率P r =F ⋅v =5500⨯12=660W 0

故电机输入功率应为： P =P r /η=7. 6121kW

4-23 如图4-42所示，电动机通过三角带传动及圆锥、圆柱齿轮传动带动工作机A 及B ，设每对齿轮的效率η1=096. ，带传动. ，每个轴承的效率η2=098的效率η3=092. ，工作机A 、B 的功率分别为P . , ηB =08. ，试求电动机所需的功率。 B =2kW ，效率分别为ηA =07A =3kW ，P 解：电机功率P d 为:

=[3/(0. 7⨯0. 98⨯0. 96) +2/(0. 8⨯0. 98⨯0. 96)](0. 98⨯0. 96⨯0. 98⨯0. 98⨯0. 92) =8. 6768kW

P d =[P A /(ηA ⋅η2⋅η1) +P B /(ηB ⋅η2⋅η1(η2⋅η1⋅η2⋅η2⋅η3)

第五章机构的型综合

(1)-012, N (2)-012, N -0022。请画出其运动链的结构图。若以四元连杆为机架，其中一个三元连杆作转动并为原动件，要求机构的执行构件为两个完5-1 运动链N 343

全对称运动的滑块。试进行机构变换。解：

图2 机构变换方案一

(1)-112, N (

2)-112。请画出运动链的结构图。分别取不同构件为原动件，三元连杆为机架。试综合出一个II 级机构和一个高级别机构。 5-2 运动链N 33

解：运动链的结构图如下。

① 以AB 或CD 杆为原动件得到II 级机构； ② 以FG 杆为原动件得到Ш级机构。

(1)-111, N (2)-111, N -1111中有几个二、三、四元连杆。若以四元连杆为机架，取回转构件为原动件。试变换出一个连架杆为导杆，另两个连架杆5-3 指出代号N 343

为滑块的机构。

解：1个四元连杆，2

1)2)((5-4 代号为N 3-002, N 3-013, N 4-0123的运动链。请画出其运动链的结构图。问有几个二、三、四元连杆。变换机构后其自由度F =?。

解：1个四元连杆，2个三元连杆，6个二元连杆。总构件数N =1+2+6=9，自由度F =3(N -1)-2P =2，变换机构后其自由度不应改变，依然为2。

解题注意事项：1. 画出运动链结构图后，对比代号进行检验；2. 机构变换后检查其中的多元连杆连接是否正确，多元连杆画对的话，机构一般不会有错；3. 机构变换后其自由度不应改变。

第六章平面连杆机构

6-1 如图6-48所示，设已知四杆机构各机构的长度为a =240mm ，b =600m m , c =400m m ,

d =500mm 。试问：

1）当取杆4为机架时，是否有曲柄存在？

2）若各杆长度不变，能否以选不同杆为机架的方法获得双曲柄和双摇杆机构？如何获得？解：1) a +b ≤c +d , 满足杆长之和条件，且最短杆为连架杆，故有曲柄存在。

2) 以a 为机架，得双曲柄机构；

以c 为机架，得双摇杆机构。

6-4 在图6-48所示的铰链四杆机构中，各杆的长度为a =28m m , b =52m m , c =50m m , d =72m m ，试求：

1）当取杆4为机架时，该机构的极位夹角θ、杆3的最大摆角ψ和最小传动角γmin 。

2）当取杆1为机架时，将演化成何种类型机构？为什么？并说明这时C 、D 两个转动副是周转副还是摆动副？解：1) 由曲柄与连杆拉直共线和重叠共线两位置计算极位夹角θ和杆3的摆角ψ：

222222

θ=arccos ⎡(b +a ) +d -c ⎤-arccos ⎡(b -a ) +d -c ⎤=18. 5617︒

⎢⎥⎢⎥

⎣

2(b +a ) ⋅d

⎦⎣

2(b -a ) ⋅d

⎦

⎡c 2+d 2-(b +a ) 2⎤⎡c 2+d 2-(b -a ) 2⎤

ψ=arccos ⎢-arccos ⎢=70. 558︒2 ⎥⎥2cd 2cd ⎣⎦⎣⎦

由曲柄与机架内共线和外共线两位置计算连杆和摇杆的夹角δ：

γ1=δmin =arccos ⎢

γ2=180︒-δmax

⎡b +c -(d -a ) ⎤

=51. 0633︒ ⎥2bc ⎣⎦

⎡b 2+c 2-(d +a ) 2⎤

=180︒-arccos ⎢=22. 7342︒ ⎥2bc ⎣⎦

222

故γmin =min [γ1, γ2]=22. 7342︒

2) 满足杆长之和条件，A 、B 为全转副，C 、D 为摆动副，此时取a 为机架得到双曲柄机构。

6-8 图6-52所示为一牛头刨床的主传动机构，已知l AB =75m m , l D E =100m m , 行程速比系数K =2，刨头5的行程H =300mm，要求在整个行程中，推动刨头5有较小的压力角，试设计此机构。

解：由已知行程速度变化系数K =2，得极位夹角θ为：

θ=180︒

K -1

=60︒=ψ ——导杆摆角 K +1

已知l AB =75mm ，则l AC =l AB /sin(θ) =150mm

要使压力角最小，须使滑块导轨线位于D 和D' 两位置高度中点处，此时在滑块的整个行程中机构的最大压力角最小。此时，压力角α=arcsin(

2DE ) 。

由已知条件，行程H =300mm ，即导杆从中心位置D 运动到左边极限位置D' 时滑块的行程为1H =150mm ，可得：

l D 'E 'cos α+l C D 'sin(θ) =l DE cos α+H ，化简得：

221

l C D 'sin(θ) =150，解得：l C D '=300mm

刨头导轨线距离C 点的高度为：h =l CD -δ=l CD -1l CD (1-cos(1θ)) =300-20. 0962=279. 9038mm

此时最大压力角为：αmax =arcsin(δDE ) =arcsin(20. 0962/100) =11. 5932︒

6-14 如图6-57所示，设要求四杆机构两连架杆的三组对应位置分别为α1=35 , ϕ1=50 ；α2=80 , ϕ2=75 ；α3=125 , ϕ3=105 ，试设计此四杆机构。解：对照书上（6-41）式，此处可简化为：

p 0cos ϕi +p 1cos(ϕi -αi ) +p 2=cos αi

分别代入题目中已知3组数据得：

⎧p 0cos(50︒) +p 1cos(50︒-35︒) +p 2=cos(35︒) ⎪ ⎨p 0cos(75︒) +p 1cos(75︒-80︒) +p 2=cos(80︒) ⎪p cos(105︒) +p cos(105︒-125︒) +p =cos(125︒)

12⎩0

其中p 0=c , p 1=-c , p 2=(a 2+c 2+1-b 2) /(2a )

⎧a =0. 7992

⎧p 0=1. 5815

1解得：⎪p =-1. 2640 故⎪⎪b =1. 265 ⎨1⎨

⎪p =1. 0235⎪c =1. 2640⎩2

⎪⎩d =1

6-16 如图6-59所示曲柄摇杆机构，已知摇杆长c =420mm ，摆程角ψ

机构最小传动角γmin 。

解：机构的极位夹角θ和近极位传动角为：

⎧θ=180︒(K -1) (K +1) =20︒ ⎨

⎩γ1=ψ+γ2-θ=75︒

根据课本内容列出投影方程式： ⎧(b -a )cos (θ+θ0)=1+c cos (γ1+θ+θ0)⎪

⎪(b -a )sin (θ+θ0)=c sin (γ1+θ+θ0) ⎨()()b +a cos θ=1+c cos γ+θ020⎪

⎪(b +a )sin θ0=c sin (γ2+θ0)⎩

⎧tan θ=sin γsin θ

⎪

⎪a =(A -B )N

解得：⎨

⎪b =(A +B )N ⎪c =sin θsin γ

02⎩

=60 ，行程速比系数

K =1.25，若远极位时机构的传动角γ2

=35 ，求各杆长a ，b ，d ，并校验

()sin γ1-sin γ2cos θ)

⎧A =0. 6138

⎪

其中由式（6-48）⎨B =0. 3668

⎪N =0. 8157⎩

解得：a =0. 3027, b =1. 2022, c =0. 7279 由实际尺寸 c =420mm 。得绝对杆长尺寸为：

a =174. 6568mm , b =693. 6722mm , d =577. 0023mm

此时机构的最小传动角为γmin =31. 7101︒，不符合要求。

6-22如图6-60所示，已知某刚体上P 点的三位置及其上某标线的位置角分别为：P 1=⎢D 的位置坐标为：A =⎢

⎡0⎤⎡4⎤

⎥, B =⎢⎥，求实现⎣0⎦⎣6. 2⎦

⎡-8. 6⎤⎡-6. 6⎤⎡-3. 6⎤

⎥, P 2=⎢⎥, P 3=⎢⎥；ϕ1=30101010⎣⎦⎣⎦⎣⎦

，ϕ2=47 ，ϕ3=70 ，若已知两固定支座A 、

P 点给定位置的四杆机构的各杆长度。

解：θ2=ϕ2-ϕ1=17︒，θ3=ϕ3-ϕ1=40︒

首先根据式（6-13）写出刚体位移矩阵：

⎡0. 9563-0. 29244. 5479⎤⎡0. 7660-0. 64289. 4159⎤

⎢⎥⎥

[D 12]=⎢0. 29240. 95632. 9513⎥[D 13]=⎢0. 64280. 76607. 8675⎢⎥

⎢⎥⎢⎥001001⎣⎦⎣⎦

先计算运动副B 1的坐标值。由式（6-19）解得：

A 2=5. 2121 B 2=1. 4927 C 2=-14. 697 0A 3=12. 27 B 3=-0. 025 6 C 3=-75. 278 0

将A j , B j , C j (j =2, 3)代入式（6-18）有 x B =-6. 1112, y B =11. 4926

再计算运动副C 1的坐标值。同理将位移矩阵D 12, D 13代入式（6-19）解得： A 2=3. 5742 B 2=2. 9331 C 2=21. 793

A 3=9. 2207 B 3=3. 9962 C 3=11. 164

[][]

将A j , B j , C j (j =2, 3)代入式（6-18）有 x C =-4. 2582, y C =12. 6189

可得各杆长为：l AB =13. 0164, l BC =2. 1684, l CD =10. 4595, l AD =7. 3783

6-27 如图6-64所示，砂箱翻转台与连杆BC 固结，为使翻转台作平面运动并翻转180 ，B 、C 两点的坐标值为：B 1=⎡⎢试用代数解析法设计一四杆机构实现以上要求。

解：设A 、D 点的坐标值（x A , , y A ）及（x D , y D ），由式（6-38）可得：

x A =50. 1013, y A =15. 3553 和 x D =26. 1309, y D =-10. 5946

0⎤⎡0⎤

C 1=⎢⎥⎥，⎣55⎦⎣70⎦

，B 2=⎢

⎡30⎤⎡45⎤

⎥, C 2=⎢⎥⎣76⎦⎣72⎦

，B 3=⎢

⎡73⎤⎡73⎤

⎥, C 3=⎢⎥，⎣75⎦⎣60⎦

故得各杆长为：l AB =63. 8893, l BC =15, l CD =84. 8201, l AD =35. 4002

6-28 如图6-65所示液压缸翻斗机构，已知翻斗摆角ψ

=60

. 时，位置1AB 1D 对位置2AB 2D 作用于BD 上的力矩比为K M =15. ，若摇臂BD 的长度l BD =300m m ，求ϕ0=357

的机构尺寸及液压缸行程H 。

解：设机构的相对尺寸为d =1, b 1, b 2, c

由式（6-50）：sin ϕ=k sin ϕ0 可得ϕ=1. 0661r a d 由式（6-52）：γ1=1. 3023rad

故 ψ0=0. 7732rad γ2=0. 6981

rad ⎧

由式（6-54）：⎧⎪b 1=0. 7244⎨b 故：⎪l AD =(1/c ) ⨯300=330. 4578mm

⎪2=1. 5075⎨l AB 1=(b 1/c ) ⨯300=239. 3720mm ⎩c =0. 9078⎪

⎩l AB 2=(b 2/c ) ⨯300=498. 1731

mm 行程H =l AB 2-l AB 1=258. 8011mm 。

第八章凸轮机构

8-3 在尖顶对心直动从动件盘形凸轮机构中，图8-33

s -ϕ, v -ϕ, a -ϕ曲线，并指出哪些位置有刚性冲击？哪些解：

在凸轮转角ϕ=2π 和 π处存在刚性冲击；

在凸轮转角ϕ=0π 453

π 和 3

π处存在柔性冲击；

所示从动件的运动规律尚不完整。试在图上补全各段的位置有柔性冲击？

8-9 在图8-35所示对心直动滚子从动件盘形凸轮机构中，已知h =80mm ，实际基圆半径r 0=40m m ，滚子半径r r =10mm ，推程角ϕ0=120 ，推杆按正弦加速度规律运动。当凸轮转动ϕ=90 时，试计算凸轮廓线与滚子接触点处的坐标值。解：(1) 首先计算凸轮理论廓线坐标理论基圆半径r b =r 0+r r =50mm

ϕ=90 时，推杆的行程

s =h (ϕ0-sin (2πϕ0s 为：（根据正弦加速度规律方程） 2π )=72. 7324mm

由于是对心，e =0，故理论廓线方程中s 0=r b =50mm

x =(s 0+s )sin ϕ+e cos ϕ=122. 7324 ⎧

⎨

s -e s i n ϕ=0⎩y =(s 0+s )c o ϕ

(2) 计算凸轮实际廓线坐标

ϕ=90 处理论廓线点处的法线斜率为：

(d s -e )s i n ϕ+(s 0+s )c o ϕs d s 12 t a θ n ====0. 3112s 0+s s i n ϕ-d s -e c o ϕs s 0+s s 0+s 则得θ=17. 2874︒

故实际廓线坐标值为：

⎧x '=x -r r cos θ=113. 1841 ⎨

⎩y '=y -r r sin θ=-2. 9716

（

其中

d s h 120 ）

d ϕϕ=90︒ϕ0π

8-11 与题8-9条件相同。试计算对心平底从动件的盘形凸轮当ϕ=90 时，平底与凸轮廓线接触点处的坐标值。若推程与回程运动相同，试确定平底应有的最小长度L 。

解：(1) 计算平底与凸轮廓线接触点坐标

d s ⎧

x =(r 0+s )sin ϕ+cos ϕ=(r 0+s )=112. 7324⎪d ϕ ⎪⎨

⎪y =(r +s )cos ϕ-d s sin ϕ=-d s =-38. 1972

⎪d ϕd ϕ⎩

(2) 计算平底从动件的最小长度L

L =2d d ϕ

max

+(5~7)mm

d s =h (1-c o 2πϕ) 1)

d ϕ

ϕ0ϕ0ϕ0

上式对d ϕ求导并令其为

0，可得出ϕ=ϕ0时上式取得最大值。

此时d s d ϕ=h (1+1) =2h =240=76. 3944mm

max

ϕ0ϕ0ϕ0π

所以L =2⨯76. 3944+(5~7)=157.7887 ~159.7887mm

8-17 现需设计一对心直动滚子推杆盘形凸轮机构，设已知凸轮以等角速度沿顺时针方向回转，推杆的行程h =50mm ，推程运动角ϕ0=90 ，推杆位移运动规律为

s =

h ⎛πϕ⎫

1-cos ⎪2⎝ϕ0⎭

，试确定推程所要求的最佳基圆半径r b 。又如该机构为右偏置直动滚子推杆盘形凸轮机构，偏距e =10mm ，试求其最小基圆半径r b 。

解：(1) 由于是对心直动滚子推杆盘形凸轮机构，偏距e ＝0 因此，基圆半径r b 的计算公式可简化为：r b =d s d ϕ-s

t a n α 对上式求导，并令导数为

0，求出r b 极值时对应的凸轮转角ϕ。

d ϕ2=2h cos 2ϕ

2，取[α]=30︒

tan α s =h (1-cos 2ϕ) ， d s d ϕ=h sin 2ϕ，d 2s

2h cos 2ϕb dr =0，得：-h sin 2ϕ=0，化简为：tan 2ϕ=

d ϕ

tan α 得：2ϕ=73. 8979︒，故ϕ=36. 9489︒

代入基圆半径计算公式，求得r b =65. 1387mm

(2) 当凸轮机构推杆为右偏置时，偏距e ＝10mm

⎡d s d ϕ+e ⎤⎫2 r =⎢⎛-s ⎪+e ⎥ b

α⎭⎢⎥⎣⎝t a n ⎦

d 2s /d φ

2(-ds /d φ) dr b

，即分子为0，与（1）中式子相同，求得ϕ=36. 9489︒ tan[α]=0，得：=0d ϕds /d φ-e

2(-s ) 2+e 2

tan[α]

代入基圆半径计算公式，求得r b =83. 0634mm 。

第九章直齿圆柱齿轮机构

9-4 在图9-43中，已知基圆半径r b =50m m ，现需求： 1）当r i =65m m 时，渐开线的展角θi 、渐开线上的压力角αi 2）当θi =20 时，渐开线上的压力角αi 及向径r i 的值。解：1) 根据渐开线方程，r i =r b /cos αi 得：

θi

和曲率半径ρi 。

压力角αi =39. 7151︒

展角θi =inv αi =tan αi -αi =0. 1375rad =7. 8783︒ 曲率半径ρi =r b ⋅tan αi =r ⋅sin αi =41. 5331mm

2) 当θi =20 时，查表9-1，θi =0. 34906rad ⇒αi =51. 1601︒ 查表计算时可采用插值法

αi

r i

r b

10'-5'∆α =

0. 34924-0. 347000. 34906-0. 34700

r i =r b /cos αi =50/cos 51. 1601︒=79. 7262mm

9-5 一根渐开线在基圆上发生，试求渐开线上哪一点的曲率半径为零？哪一点的压力角为零？解：基圆上的压力角αi 、曲率半径ρi 均为0。

=1, 9-9 若渐开线直齿圆柱标准齿轮的α=20 , h a 哪个大？

解：当基圆与齿根圆重合时，由d b =d f 可得：d c os α=d -2h * f m ⇒mz cos α=mz -2. 5m z =

2. 5 =41. 4543

1-cos α

2. 5可导出：

mz -2h *s ，即d f >d b 。 f m >mz c o α

1-c o s α

c *=0. 25，试求基圆与齿根圆重合时的齿数。又当齿数大于以上求出的数值时，试证明此时基圆与齿根圆

若z >

9-14 在T616镗床主轴箱中有一直齿圆柱渐开线标准齿轮，其压力角α=20 , 齿数z =40，齿顶圆直径d a =84m m 。现发现该齿轮已经损坏，需要重做一个

**. ）。齿轮，试确定这个齿轮的模数及齿顶高系数（提示：齿顶高系数只有两种情况，h a =0. 8和h a =10

***

解：d a =d +2h a ，即40m +2mh a m =mz +2mh a =84

* 若h a =1. 0，则有：42m =84⇒m =2mm ；

若h a =0. 8，则有：41. 6m =84⇒m =2. 019mm ，此为非标准值。

所以，m =2mm ，h a =1. 0

=1。试求当中心距a' =725mm时，两轮的啮合角α' 。又当α' =22 30' 9-17 设有一对外啮合齿轮的齿数z 1=30, z 2=40, m =20m m ，压力角α=20 ，齿顶高系数h a

时，试求其中心距a ' 。

解：标准中心距为：a =r 1+r 2=1m (z 1+z 2) =700mm

由a cos α=a 'cos α'⇒cos α'=a cos α⇒α'=24. 8666︒

a '

当α'=22︒30'时，中心距a '=711. 9812mm 。

9-19 设有一对按标准中心距安装的外啮合渐开线齿轮，已知z 1=z 2解：εα=1[z 1(tanαa 1-tan α') +z 2(tanαa 2-tan α')]

2π

=17, α=20 ，欲使其重合度εa =14. ，试求这对齿轮的齿顶高系数。

z 1=z 2⇒αa 1=αa 2，且按标准中心距安装，有a '=a ⇒α'=α

故有2z 1(tanαa -tan α) /2π=1. 4，解得：αa =31. 9101︒

***

d b =d cos α=d a cos αa ，有mz cos α=(mz +2h a m ) cos αa ⇒z cos α=(z +2h a ) cos αa ，解得：h a =0. 9093

*实际设计时，取h a =1，此时重合度可计算得εα=1. 5148。

9-22 在某牛头刨床中，有一对外啮合渐开线直齿圆柱齿轮传动，已知z 1=17, z 2=118, m =5m m , *

α=20 , h a =1, a ' =337.5m m 。现已发现小齿轮严重磨损，拟将其

报废。大齿轮磨损较轻（沿齿厚方向的磨损量为0.75mm ），拟修复使用，并要求新设计小齿轮的齿顶厚尽可能大些，为应如何设计这对齿轮？解：标准中心距为：a =r 1+r 2=1m (z 1+z 2) =337. 5mm =a '，此时修复大齿轮，即对大齿轮采用负变位，使其齿厚s 变小，小齿轮采用正变位，保证齿厚

尽可能大，整个齿轮传动为等变位齿轮传动：∑x =x 1+x 2=0，中心距不变。由大齿轮磨损量为0.75mm ，可得：2x 2m tan α>0. 75，解得x 2>0. 2061。

可取x 1=-x 2=0. 21进行齿轮设计。以下计算略，可参见书上公式。

9-26在图9-49所示的齿轮变速箱中，两轴中心距为90mm ，各轮齿数为z 1=41、z 2=51、z 3=30、z 4齿轮传动的类型。

解：实际中心距a '=90mm ，各对齿轮的标准中心距为：

a 12=92mm , a 12>a '，采用负传动；

a 34=90mm , a 34=a '，采用标准或等变位传动；

=60、z 5=20、z 6=68, 模数均为

m =2mm，试确定各对

3 4

a 56=88mm , a 56

（1）对齿轮1和2传动：

啮合角α'=arccos(a cos α)=16. 1422︒

a '

∑x =x 1+x 2=

(z 1+z 2)(inv α'-inv α)

=-0. 9107

2tan α

大小齿轮不发生根切需满足：x ≥h a (z min -z 1) =-1. 4118，x ≥h a (z min -z 2) =-2

z min z min

因两轮齿数分别为41和51，相差不多，故取x 1=-0. 5107, (注：选取方式不唯一，满足总体要求即可)

（2）对齿轮3和4传动：

啮合角α'=α=20︒，标准齿轮传动，取x 1=x 2=0 （3）对齿轮5和6传动：

x 2=-0. 4可使两齿轮接近等强度。

啮合角α'=arccos(a cos α) =23. 2472︒

a '

∑x =x 5+x 6=

(z 1+z 2)(inv α'-inv α)

=1. 0797，且应满足x 5>x 6

2tan α

故取x 5=0. 7, x 6=0. 3797 (注：选取方式不唯一，满足总体要求即可) 。

以下计算略，可参见书上公式。

第十章其它齿轮机构

=1, c *=0. 25。在技术改造中，提高了原动机的转速。为了改善齿轮传动的平10-2 在某设备中有一对渐开线直齿圆柱齿轮，已知z 1=26, i 12=5, m =3mm , α=20 , h a

稳性，要求在不降低强度、不改变中心距和传动比的条件下，将直齿轮改为斜齿轮，并希望将分度圆螺旋角限制在20 以内，重合度εγ≥3，试确定z 1、z 2、

m n

和齿宽B 。

解：原直齿轮标准中心距a =1m (z 1+z 2) =1m (z 1+i 12z 1) =234mm

斜齿轮中心距为：a =m n (z 1+z 2) =m n (z 1+i 12z 1) ，要使齿轮强度不降低，即模数不变，m n =3mm

2cos β2cos β初取螺旋角β=20︒，则有z =2a cos β=24. 43，取z 1=25，则z 2=i 12⋅z 1=125 1

m n (1+i 12)

此时可计算得：cos β=m n (z 1+z 2) =0. 9615，β=15. 9424︒，满足要求。

根据重合度要求计算齿宽：εγ=εα+εβ

tan αt =tan αn /cos β=0. 3785，解得αt =20. 7331︒

︒⎫⎫⎛z 1cos αt ⎫⎛125⨯cos 20. 7331︒⎫⎛25⨯cos 20. 7331 αat 2=arccos ⎪ ⎪ ⎪=22. 917︒1=arccos =arccos =29. 7225︒ ⎪⎪ z +2h cos β⎪︒⎭︒⎭⎝125+2cos 15. 9424⎝25+2cos 15. 9424an ⎭⎝1⎭

则：εα=1z 1(tanαat 1-tan αt ' ) +z 2(tanαat 2-tan αt ' ) =1. 6463，ε=B sin β=0. 0291B β

2ππm n

αat 1=arccos

⎛r b ⎫⎛0. 5m t z 1cos αt

⎪ =arccos ⎪ 0. 5m z +m h r t 1t at ⎝a 1⎭⎝

[]

由εγ=εα+εβ≥3，可得：0. 0291B ≥3-1. 6463，所以得B ≥46. 5189 综上，取取z 1=25，z 2=125，m n =3mm ，B =47mm 。

10-3 设有一对外啮合齿轮传动，已知z 1=21, z 2=32, m n =2m m , a '=55m m , 不用变位而用斜齿圆柱齿轮传动来凑中心距，试问螺旋角应多大？

解：斜齿轮中心距a =m n (z 1+z 2)

2cos β

所以c o s β=m n (z 1+z 2) =0. 9636 故β=15. 4987︒

10-4 一蜗轮的齿数z 2=40, d 2=280mm ，与一单头蜗杆啮合，试求：1）蜗轮端面模数m t2及蜗杆轴面模数m a1；2）蜗杆的轴面齿距p a1及导程l ； 3）蜗杆的分度圆直径d 1；4）两轮的中心距a '。

解：1）由d 2=m t 2z 2可得端面模数m t 2=7mm ，蜗杆轴面模数m a 1=m t 2=7mm 。

2）蜗杆轴面齿距p a 1=m a 1π=21. 9911mm ，导程l =z 1⋅p a 1=21. 9911mm

3）因模数m a 1=7mm ，故直径系数q =25~7，根据q 取较小值且满足d 1为标准值的原则，取q =8，则d 1=56mm 。 4）两轮中心距a '=r 1+r 2=1m t 2(q +z 2) =168mm 。

第十一章齿轮系

11-1 图11-36所示为一时钟轮系，S 、M 、H 分别表示秒针、分针、时针。图中数字表示该轮的齿数。假设B 和C 的模数相等，试求齿轮A 、B 、C 的

齿数。

解：此轮系为一个定轴轮系。 C i 1A =i 4B =

z 2⨯z A

=60，解得z A =64 z 1⨯z 3

z B ⨯z C

=12 ……（1） z 4⨯z 5

4(15)

3(8)S

又B 和C 模数相等，即齿轮4、C 、5、B 的模数均相等，由中心距

m (z B +z 5) =m (z 4+z C ) ，即z B =z 4+z C -z 5=z C +3……（2） 22

相等条件可得：

联立（1）、（2）两式可得z C ⨯(z C +3) =12，化成方程式为：

z 4⨯z 5

2z C +3z C -2160=0, 解得z C =45, z B =48（舍去负值）。

1(8)

11-7 图11-41所示为一装配用气动一字旋具齿轮减速部分的传动简图。已知各轮齿数为z 1=z 4=7, z 2=z 5=16。若n 1=3000解：该复合轮系由2个行星轮系串联而成。

H 1

i 1H 1=1-i 13

m in ，试求一字旋具的转速。

z z H 2

=1+3， i 4H 2=1-i 46=1+6

z 1z 4

z 3z

) ⨯(1+6) z 1z 4

6 5

螺丝刀

4 H 2

H 1

n 1

3 2

则i

1H 2

=i 1H 1⨯i 4H 2=(1+

由图中几何条件可得：1mz 3=1mz 1+mz 2 即：z 3=z 1+2z 2=39，同理z 6=39 故i 1H =43. 1837，n =3000=69. 4707r /min H

i 1H 2

11-10 图11-44所示的差动轮系是各轮模数相同的标准齿轮传动。设已知各轮的齿数z 1=15, z 2=25, z 2' =20, z 3=60, 又n 1=200速n H 的大小和方向。1）当n 1、n 3转向相同时；2）当n 1、n 3转向相反时。解：该轮系为一个周转轮系。

H i 13=

试求系杆m in ，n 3=50r m in ，

H 转

z ⨯z n 1-n H

=-23=-5 得：6n H =n 1+5n 3

n 3-n H z 1⨯z 2'

1）当n 1、n 3转向相同时有：n 1=200m in ，n 3=50r m in 得：n H =75r /m i n （n H 与n 1转向相同） 1）当n 1、n 3转向相同时有：n 1=200m in ，n 3=-50r min

得：n H =-8. 333r /m i n （n H 与n 1转向相反）

11-11 在图11-45所示的电动三爪自定心卡盘传动轮系中，设已知各比i 14。

解：该轮系为3K-H 型周转轮系，固定系杆H ，转化为定轴轮系。对1-2-3-H 可得：

3 2

2' H

轮的齿数为z 1=6, z 2=z 2' =25, z 3=57, z 4=56，试求传动

i =1-i H =1+z 3=10. 5

1H 13

z 1

对3-2-2'-4-H 可得： i =1-i H =1-z 2'⨯z 3=-1 4H 43

z 2⨯z 4

所以i =ω1=ω1⋅ωH =i ⋅i =10. 5⨯(-56) =-588 14

ω4ωH ω41H H 4

轮1与轮4 转向相反。

11-19 用于自动化照明灯具上的一周转轮系图11-53所示。已知输入转速n 1=195. r z 1=60, z 2=z 2' =30, z 3=40, z 4=40, z 5=120。试求箱体的转速。解：该轮系为一行星轮系，其中齿轮1和5为中心轮，箱体为 i =1-i H =1-(-z 2⨯z 3⨯z 5) =3

1H 15

z 1⨯z 2'⨯z 4

m in

，组成轮系的各齿轮均为圆柱直齿轮。各轮齿数为

系杆，其它齿轮均为行星轮。

n 1

z 5

z 4

z '2

z 2

z 1

z 3

n =n 1=6. 5r /m i n H

i 1H

箱体

机械原理课程组编

武汉科技大学机械自动化学院

习题参考答案

第二章机构的结构分析

解答：原机构自由度F=3⨯3- 2

⨯4-1 = 0，不合理，改为以下几种结构均可：

2-3 图2-3936为连杆；7为齿轮及偏心轮；8为机架；9为压头。试绘制其机构运动简图，并计算其自由度。

滚子

摆杆滑块

滑杆齿轮及凸轮

压头

齿轮及偏心轮连杆

机架

解答：n=7; Pl =9; Ph =2，F=3⨯7-2 ⨯9-2 = 1

2-6 试计算图2-42所示凸轮—连杆组合机构的自由度。

解答：a) n=7; Pl =9; Ph =2，F=3⨯7-2 ⨯9-2 =1 L 处存在局部自由度，D 处存在虚约束

b) n=5; Pl =6; Ph =2，F=3⨯5-2 ⨯6-2 =1 E 、B 处存在局部自由度，F 、C 处存在虚约束

A B

a) b)

2-7 试计算图2-43所示齿轮—连杆组合机构的自由度。

A D

解答：a) n=4; Pl =5; Ph =1，F=3⨯4-2 ⨯5-1=1 A 处存在复合铰链

b) n=6; Pl =7; Ph =3，F=3⨯6-2 ⨯7-3=1 B 、C 、D 处存在复合铰链

2-8 试计算图2-44所示刹车机构的自由度。并就刹车过程说明此机构自由度的变化情况。解答：① 当未刹车时，F=3⨯6-2 ⨯8=2

E H A ② 在刹车瞬时，F=3⨯

5-2⨯7=1，此时构件EFG 和车轮

③ 完全刹死以后，F=3⨯4-2⨯6=0，此时构件EFG 、HIJ I O

G J

2-9 先计算图2-45～图2-50所示平面机构的自由度。和级别，以及机构的级别。机构中的原动件用圆弧箭头

(a)

(b )

解答：a) n=7; Pl =10; Ph =0，F=3⨯7-2 ⨯10 = 1 C 、E 处存在复合铰链由3个Ⅱ级杆组构成。

b) n=7; Pl =10; Ph =0，F=3⨯7-2 ⨯10 = 1 由3个Ⅱ级杆组构成的Ⅱ级机构。

F C D B A

G H G'

F A

D B

＋

第三章平面机构的运动分析

3-1 如图3-20所示曲柄滑块机构中若已知a ，b ，e ，当ϕ1给定后，试导出滑块位移s 和连杆转角ϕ2的表达式。

ωx

a cos ϕ1+b cos ϕ2=s 由解：⎧b s i n ϕ2=e -a s i n ϕ1 ⎨

⎩a sin ϕ1+b sin ϕ2=e

得到

e -a sin ϕ1⎧

ϕ2=) ⎪ ⎪b ⎨

e -a sin ϕ1

⎪s =a cos ϕ+b cos(arcsin()) 1⎪b ⎩

或写成⎪ϕ2=⎧

⎨

⎪s =a cos ϕ+b 2-(e -a sin ϕ) 2

11⎩

e -a sin ϕ1

) b

3-2 如图3-20，若已知a =20mm , b =140mm , ω1=-10rad s , ϕ1=60 , e =10mm ，设经计算得到：ϕ2=-2. 997 ，s=149.81mm ，请导出v c 和ω2的表达式，并求出其数值。

-a ω1sin ϕ1-b ω2sin ϕ2=v c ，得：a ωcos ϕ120⨯(-10) ⨯cos(60︒) 解：⎧ω2=-1=-=0. 7153rad /s ⎨

b cos ϕ2140⨯cos(-2. 997︒) ⎩a ω1cos ϕ1+b ω2cos ϕ2=0

a cos ϕ=l cos ϕ⎧1BC 3解：⎨，其中2式除以1式可得 ︒

⎩a sin ϕ1+d =l BC sin ϕ3

a sin ϕ1+d tan ϕ3==2. 0207 a cos ϕ1

故得：ϕ3=63. 6705︒, l BC

400⨯cos(30︒) ==781.0251mm cos(63. 6705︒)

求导得⎪⎧

⎨-a ω1s i n ϕ1=l BC c o ϕs 3-l BC ω3s i n ϕ3 ⎪⎩a ω1c o ϕ

s 1=l BC s i n ϕ3+l BC ω3c o ϕs 3上式中对2式用旋转坐标系法，按逆时针方向旋转ϕ3角得：a ω1cos(ϕ1-ϕ3) =l BC ω3

所以，ω1/ω3=2. 3462, ω3=-8. 5244rad /s

又⎧⎨x D =a cos ϕ1+l BD cos(ϕ3+240︒) 求导得⎧v Dx =-a ω1sin ϕ1-l BD ω3sin(ϕ3+240︒) ω ⎩y sin ϕ⎨D =a 1+l BD sin(ϕ3+240︒) ⎩v Dy =a 1cos ϕ1+l BD ω3cos(ϕ3+240︒)

或写成如下等价形式：

⎧⎨x D =a cos ϕ1+l BD cos(ϕ3-120︒) 求导得⎧v Dx =-a ω1sin ϕ1-l BD ω3sin(ϕ3-120︒) ⎩y a sin ϕl ⎨D =1+BD sin(ϕ3-120︒) ⎩v Dy =a ω1cos ϕ1+l BD ω3cos(ϕ3-120︒)

l BC =a 2+d 2-2ad cos ∠CAB =781. 025mm

由余弦定理：cos ∠ABC =0. 8322，得∠ABC =33. 6746︒ ︒P

24B =l BC /cos ∠ABC =938. 5064mm 由P 24B ⋅ω3=a ⋅ω1，得：ω13=2. 3461 ω3=8. 5247rad /s ∠ABD =∠ABC +60︒=93. 6476︒ P 24D =986. 5945mm V D =ω3⋅P 24D =8. 4104m /s

3-15 如图3-33所示为采煤康拜因的钻探机构。已知件1上的B 点以等角速度ω21=1rad/s逆时针方向转动，求C 、

解：（1）求C 、D 两点的速度

⎧⎨a cos ϕ1=l AC +b cos ϕ2

sin ϕ840⨯sin(15︒) 2=, ϕ2=50. 9373︒ ⎩a sin ϕ1=b sin ϕ2

280

b =280m m , a =840m m , l AD =1300m m , ϕ1=15 , 构件

2绕构

D 两点的速度及加速度。

-a ω1s i n ϕ1=v C -b ω2s i n ϕ2 a cos ϕ1a cos ϕ1

⎧ω2=⋅ω1, 又根据题目已知条件ω21＝ω2-ω1=1，得(-1) ω1=1，得ω1=0. 278r a d /s ⎨

b cos ϕb cos ϕs 1=b ω2c o ϕs 222⎩a ω1c o ϕ

v C =b ω2sin ϕ2-a ω1sin ϕ1=217. 4079mm /s , v D =1300⨯0. 278=361. 4mm /s

（2）求C 、D 两点的加速度

⎧⎪-a ε1sin ϕ1-a ω1cos ϕ1=a C -b ε2sin ϕ2-b ω2cos ϕ2 ⎨22⎪⎩a ε1cos ϕ1-a ω1sin ϕ1=b ε2cos ϕ2-b ω2sin ϕ2

由d ω21dt ＝ε2-ε1=0，得ε2=ε1 由上面2式可得：

840*ε1*cos(15*pi/180)-840*(0.278^2)*sin(15*pi/180)=280*ε2*cos(50.93*pi/180)-280*(1.278^2)*sin(50.93*pi/180) 811.3777ε1 - 16.8022＝176.4754ε1 -355.0521 得ε1＝ε2＝-0.5328rad/s2

求D 点加速度的方法有两种：第一种按书上的方法列出运动方程式，按步骤求解；第二种方法求出法向加速度和切向加速度的合成。

x D =l AD cos ϕ1 求导得速度方程式⎧v Dx =-l AD ω1sin ϕ1 ① 对D 点列出位置方程式⎧⎨⎨

⎩y D =l AD sin ϕ1

⎩v Dy =l AD ω1c os ϕ1

⎪a Dx =-l AD ε1sin ϕ1-l AD ω1cos ϕ1 ，则a =a 2+a 2 再求导得加速度方程式⎧D Dx Dy ⎨2a =l εc os ϕ-l ωsin ϕ⎪1AD 11⎩Dy AD 1

a Dx = -1300*(-0.5328)*sin(15*pi/180)-1300*(0.278^2)*cos(15*pi/180)＝82.2226 mm/s2

a Dy = 1300*(-0.5328)*cos(15*pi/180)-1300*(0.278^2)*sin(15*pi/180)＝-695.0422 mm/s2

故D 点的加速度为：a D = sqrt(aDx ^2+ aDy ^2) = 699.8887 mm/s2 ， β aD＝-83.2533°

②a D =a Dt +a Dn =(l AD ε1) 2+(l AD ω12) 2=699.8887mm /s2

C 点的加速度为：a C =-b ε2sin ϕ2-b ω2cos ϕ2+a ε1sin ϕ1+a ω12cos ϕ1

a C =-280*(-0.5328)*sin(50.9373*pi/180)-280*(1.278^2)*cos(50.9373*pi/180)+840*(-0.5328)*sin(15*pi/180)+840*(0.278^2)*cos(15*pi/180)＝-225.4828 mm/s2

3-17 在图3-35所示

并用瞬心法求ϕ1=0 , 45 及90 时构件2

速度瞬心P 12如图

所示，从ϕ1=0︒, v 2=200mm /s ；

AB =e =20m m , R =50m m , ω1=10rad /s ，指出速度瞬心P 12

，

ϕ1=45︒, v 2=141. 4214mm /s ； ϕ1=90︒, v 2=0mm /s

3-18 如图3-36

=100P 13，并用瞬心法求构件1的角速度ω1。

解：速度瞬心P 13如图所示。

v P =v C =2mm /s ，又 v P =l AP ω1 故得出ω1=

100/cos 30︒

3-19 如图3-28所示凸轮机构，指出速度瞬心P 12，并用速度瞬心法求从动件的角速度ω2。

解：速度瞬心P 12如图所示。 l AP ω

1=l D P ω2

l AP =R /tan 30︒=R ,

l DP =(R /cos 60︒+R ) /sin 60︒=2R

所以得 ω2=1ω1=10rad /s

3-21如图3-38所示为铰链四杆机构，试用瞬心法分析欲求构件2此时ϕ1=?

和构件3上任何重合点的速度相等时的机构位置，

解：构件3

34）的连线度与该点与瞬心P 34 构件2与瞬心P 距离的乘积。

垂直的方向；其大小为构件3的角速向；其大小为构件2的角速度与该点

24要使构件2和构件3P 24重合（此2和3都相对于D 点做纯转动，且构件2和3的角速度相同（从两者的重合点C 可推导故任何重合点的速度相等。

故当ϕ1=α时，满足题目要求。

时AB 与AD 连线重合）。此时构件出），重合点距离

D 点的距离也相同，

第四章机构的力分析

. s （为常数）。又机构在图示位4-4 在图4-23所示的对心尖顶直动推杆盘形凸轮机构中，已知r 0=50m m , b 1=30m m ，l =80mm ，b 2=12mm ，ω1=01

R 31x

R 31

R 21B

M d R 31y

惯性力F a =ma =(G /g ) a =2. 0408N 对构件2列出力和力矩平衡方程式： ⎧R 12cos α-(F r +F a +G ) =0 ⇒ F r =29. 2447N ⎪

'=0⎨R 12sin α+R 32+R 32

⎪-R ⋅(b +b ) -R '⋅b =0 '=-20. 5883N 全反力R 32全=-14. 7059N ⇒R 32=5. 8824N R 32322⎩3212

注：也可以由图中虚线所示，将机架对推杆的两个支反力R 32和R 32'合成为一个全反力R 32全，这样根据三力汇交理论，可以更方便的求出结果。

对构件1列出力平衡方程式：

⇒R 31x =14.7059N ⎧⎪R 31x +R 21sin α=0

⇒ 合成得R 31=53. 3523N ⎨

⇒ R 31y =51. 2855N ⎪⎩R 31y +R 21cos α=0

也可直接由构件1只受两力平衡直接得出：R 31=R 12=53. 3523N

4-10 在如图4-29所示摆动导杆机构中，已知a =300mm, ϕ3=30 , ϕ1=90 , 加于导杆上的力矩M 3=60N ⋅m , 求机构各运动副的反力及应加于曲柄1上的平衡力矩M b 。

R R 41

R R 21

解：对于构件3，由力矩平衡∑M =0可得：

R 23⋅(a /sin ϕ3) -M 3=0⇒R 23=100N β23=150︒

由力平衡得：R 43=100N β43=330︒

4-11 在如图4-30所示偏心轮凸轮机构中，已知R =60m m , OA =a =30m m , 且OA 位于水平位置，外载F 2=1000N, β=30 。求运动副反力和凸轮1上的平衡力矩M b 。

解：根据三力汇交理论，画出构件2受力图。列出力平衡方程：

025N 4⎧R 12+F 2cos β=0 ⎧R =86. 6

解得⎨12 ⎨

R +F sin β=0R =-50N 02⎩32⎩32

100

解：力矩平衡∑M =0可得：

F ⨯100=R ⨯L , 得：R =F ⨯100/L ，其中R =R 1=R 2 R 正压力产生的磨擦力为：F f =R ⋅f =0. 2⨯F ⨯100/L

要使推杆不自锁，即能够上升，必须满足：F >2F f ，即F >2⨯0. 2⨯F ⨯100/L

解得：L >0. 4⨯100=40mm

4-22 图4-41所示为一胶带运输机，由电动机1经过平型带传动及一个两级齿轮减速器，带动运输带8。设已知运输带8所需的曳引力F =5500N，运输

. ，运输带8的机械带8的运送速度v =12. s ，滚筒直径D =900mm，平型带传动（包括轴承）的效率η1=095. ，每对齿轮（包括其轴承）的效率η2=097

. 。试求该传动系统的总效率η及电动机所需的功率P 。效率η3=097

解：串联机组，总效率η=η1⋅η2⋅η2⋅η3=0. 8670 输出功率P r =F ⋅v =5500⨯12=660W 0

故电机输入功率应为： P =P r /η=7. 6121kW

=[3/(0. 7⨯0. 98⨯0. 96) +2/(0. 8⨯0. 98⨯0. 96)](0. 98⨯0. 96⨯0. 98⨯0. 98⨯0. 92) =8. 6768kW

P d =[P A /(ηA ⋅η2⋅η1) +P B /(ηB ⋅η2⋅η1(η2⋅η1⋅η2⋅η2⋅η3)

第五章机构的型综合

全对称运动的滑块。试进行机构变换。解：

图2 机构变换方案一

(1)-112, N (

2)-112。请画出运动链的结构图。分别取不同构件为原动件，三元连杆为机架。试综合出一个II 级机构和一个高级别机构。 5-2 运动链N 33

解：运动链的结构图如下。

① 以AB 或CD 杆为原动件得到II 级机构； ② 以FG 杆为原动件得到Ш级机构。

为滑块的机构。

解：1个四元连杆，2

1)2)((5-4 代号为N 3-002, N 3-013, N 4-0123的运动链。请画出其运动链的结构图。问有几个二、三、四元连杆。变换机构后其自由度F =?。

解：1个四元连杆，2个三元连杆，6个二元连杆。总构件数N =1+2+6=9，自由度F =3(N -1)-2P =2，变换机构后其自由度不应改变，依然为2。

第六章平面连杆机构

6-1 如图6-48所示，设已知四杆机构各机构的长度为a =240mm ，b =600m m , c =400m m ,

d =500mm 。试问：

1）当取杆4为机架时，是否有曲柄存在？

2) 以a 为机架，得双曲柄机构；

以c 为机架，得双摇杆机构。

6-4 在图6-48所示的铰链四杆机构中，各杆的长度为a =28m m , b =52m m , c =50m m , d =72m m ，试求：

1）当取杆4为机架时，该机构的极位夹角θ、杆3的最大摆角ψ和最小传动角γmin 。

222222

θ=arccos ⎡(b +a ) +d -c ⎤-arccos ⎡(b -a ) +d -c ⎤=18. 5617︒

⎢⎥⎢⎥

⎣

2(b +a ) ⋅d

⎦⎣

2(b -a ) ⋅d

⎦

⎡c 2+d 2-(b +a ) 2⎤⎡c 2+d 2-(b -a ) 2⎤

ψ=arccos ⎢-arccos ⎢=70. 558︒2 ⎥⎥2cd 2cd ⎣⎦⎣⎦

由曲柄与机架内共线和外共线两位置计算连杆和摇杆的夹角δ：

γ1=δmin =arccos ⎢

γ2=180︒-δmax

⎡b +c -(d -a ) ⎤

=51. 0633︒ ⎥2bc ⎣⎦

⎡b 2+c 2-(d +a ) 2⎤

=180︒-arccos ⎢=22. 7342︒ ⎥2bc ⎣⎦

222

故γmin =min [γ1, γ2]=22. 7342︒

2) 满足杆长之和条件，A 、B 为全转副，C 、D 为摆动副，此时取a 为机架得到双曲柄机构。

解：由已知行程速度变化系数K =2，得极位夹角θ为：

θ=180︒

K -1

=60︒=ψ ——导杆摆角 K +1

已知l AB =75mm ，则l AC =l AB /sin(θ) =150mm

要使压力角最小，须使滑块导轨线位于D 和D' 两位置高度中点处，此时在滑块的整个行程中机构的最大压力角最小。此时，压力角α=arcsin(

2DE ) 。

由已知条件，行程H =300mm ，即导杆从中心位置D 运动到左边极限位置D' 时滑块的行程为1H =150mm ，可得：

l D 'E 'cos α+l C D 'sin(θ) =l DE cos α+H ，化简得：

221

l C D 'sin(θ) =150，解得：l C D '=300mm

刨头导轨线距离C 点的高度为：h =l CD -δ=l CD -1l CD (1-cos(1θ)) =300-20. 0962=279. 9038mm

此时最大压力角为：αmax =arcsin(δDE ) =arcsin(20. 0962/100) =11. 5932︒

p 0cos ϕi +p 1cos(ϕi -αi ) +p 2=cos αi

分别代入题目中已知3组数据得：

⎧p 0cos(50︒) +p 1cos(50︒-35︒) +p 2=cos(35︒) ⎪ ⎨p 0cos(75︒) +p 1cos(75︒-80︒) +p 2=cos(80︒) ⎪p cos(105︒) +p cos(105︒-125︒) +p =cos(125︒)

12⎩0

其中p 0=c , p 1=-c , p 2=(a 2+c 2+1-b 2) /(2a )

⎧a =0. 7992

⎧p 0=1. 5815

1解得：⎪p =-1. 2640 故⎪⎪b =1. 265 ⎨1⎨

⎪p =1. 0235⎪c =1. 2640⎩2

⎪⎩d =1

6-16 如图6-59所示曲柄摇杆机构，已知摇杆长c =420mm ，摆程角ψ

机构最小传动角γmin 。

解：机构的极位夹角θ和近极位传动角为：

⎧θ=180︒(K -1) (K +1) =20︒ ⎨

⎩γ1=ψ+γ2-θ=75︒

根据课本内容列出投影方程式： ⎧(b -a )cos (θ+θ0)=1+c cos (γ1+θ+θ0)⎪

⎪(b -a )sin (θ+θ0)=c sin (γ1+θ+θ0) ⎨()()b +a cos θ=1+c cos γ+θ020⎪

⎪(b +a )sin θ0=c sin (γ2+θ0)⎩

⎧tan θ=sin γsin θ

⎪

⎪a =(A -B )N

解得：⎨

⎪b =(A +B )N ⎪c =sin θsin γ

02⎩

=60 ，行程速比系数

K =1.25，若远极位时机构的传动角γ2

=35 ，求各杆长a ，b ，d ，并校验

()sin γ1-sin γ2cos θ)

⎧A =0. 6138

⎪

其中由式（6-48）⎨B =0. 3668

⎪N =0. 8157⎩

解得：a =0. 3027, b =1. 2022, c =0. 7279 由实际尺寸 c =420mm 。得绝对杆长尺寸为：

a =174. 6568mm , b =693. 6722mm , d =577. 0023mm

此时机构的最小传动角为γmin =31. 7101︒，不符合要求。

6-22如图6-60所示，已知某刚体上P 点的三位置及其上某标线的位置角分别为：P 1=⎢D 的位置坐标为：A =⎢

⎡0⎤⎡4⎤

⎥, B =⎢⎥，求实现⎣0⎦⎣6. 2⎦

⎡-8. 6⎤⎡-6. 6⎤⎡-3. 6⎤

⎥, P 2=⎢⎥, P 3=⎢⎥；ϕ1=30101010⎣⎦⎣⎦⎣⎦

，ϕ2=47 ，ϕ3=70 ，若已知两固定支座A 、

P 点给定位置的四杆机构的各杆长度。

解：θ2=ϕ2-ϕ1=17︒，θ3=ϕ3-ϕ1=40︒

首先根据式（6-13）写出刚体位移矩阵：

⎡0. 9563-0. 29244. 5479⎤⎡0. 7660-0. 64289. 4159⎤

⎢⎥⎥

[D 12]=⎢0. 29240. 95632. 9513⎥[D 13]=⎢0. 64280. 76607. 8675⎢⎥

⎢⎥⎢⎥001001⎣⎦⎣⎦

先计算运动副B 1的坐标值。由式（6-19）解得：

A 2=5. 2121 B 2=1. 4927 C 2=-14. 697 0A 3=12. 27 B 3=-0. 025 6 C 3=-75. 278 0

将A j , B j , C j (j =2, 3)代入式（6-18）有 x B =-6. 1112, y B =11. 4926

再计算运动副C 1的坐标值。同理将位移矩阵D 12, D 13代入式（6-19）解得： A 2=3. 5742 B 2=2. 9331 C 2=21. 793

A 3=9. 2207 B 3=3. 9962 C 3=11. 164

[][]

将A j , B j , C j (j =2, 3)代入式（6-18）有 x C =-4. 2582, y C =12. 6189

可得各杆长为：l AB =13. 0164, l BC =2. 1684, l CD =10. 4595, l AD =7. 3783

解：设A 、D 点的坐标值（x A , , y A ）及（x D , y D ），由式（6-38）可得：

x A =50. 1013, y A =15. 3553 和 x D =26. 1309, y D =-10. 5946

0⎤⎡0⎤

C 1=⎢⎥⎥，⎣55⎦⎣70⎦

，B 2=⎢

⎡30⎤⎡45⎤

⎥, C 2=⎢⎥⎣76⎦⎣72⎦

，B 3=⎢

⎡73⎤⎡73⎤

⎥, C 3=⎢⎥，⎣75⎦⎣60⎦

故得各杆长为：l AB =63. 8893, l BC =15, l CD =84. 8201, l AD =35. 4002

6-28 如图6-65所示液压缸翻斗机构，已知翻斗摆角ψ

=60

. 时，位置1AB 1D 对位置2AB 2D 作用于BD 上的力矩比为K M =15. ，若摇臂BD 的长度l BD =300m m ，求ϕ0=357

的机构尺寸及液压缸行程H 。

解：设机构的相对尺寸为d =1, b 1, b 2, c

由式（6-50）：sin ϕ=k sin ϕ0 可得ϕ=1. 0661r a d 由式（6-52）：γ1=1. 3023rad

故 ψ0=0. 7732rad γ2=0. 6981

rad ⎧

由式（6-54）：⎧⎪b 1=0. 7244⎨b 故：⎪l AD =(1/c ) ⨯300=330. 4578mm

⎪2=1. 5075⎨l AB 1=(b 1/c ) ⨯300=239. 3720mm ⎩c =0. 9078⎪

⎩l AB 2=(b 2/c ) ⨯300=498. 1731

mm 行程H =l AB 2-l AB 1=258. 8011mm 。

第八章凸轮机构

8-3 在尖顶对心直动从动件盘形凸轮机构中，图8-33

s -ϕ, v -ϕ, a -ϕ曲线，并指出哪些位置有刚性冲击？哪些解：

在凸轮转角ϕ=2π 和 π处存在刚性冲击；

在凸轮转角ϕ=0π 453

π 和 3

π处存在柔性冲击；

所示从动件的运动规律尚不完整。试在图上补全各段的位置有柔性冲击？

ϕ=90 时，推杆的行程

s =h (ϕ0-sin (2πϕ0s 为：（根据正弦加速度规律方程） 2π )=72. 7324mm

由于是对心，e =0，故理论廓线方程中s 0=r b =50mm

x =(s 0+s )sin ϕ+e cos ϕ=122. 7324 ⎧

⎨

s -e s i n ϕ=0⎩y =(s 0+s )c o ϕ

(2) 计算凸轮实际廓线坐标

ϕ=90 处理论廓线点处的法线斜率为：

(d s -e )s i n ϕ+(s 0+s )c o ϕs d s 12 t a θ n ====0. 3112s 0+s s i n ϕ-d s -e c o ϕs s 0+s s 0+s 则得θ=17. 2874︒

故实际廓线坐标值为：

⎧x '=x -r r cos θ=113. 1841 ⎨

⎩y '=y -r r sin θ=-2. 9716

（

其中

d s h 120 ）

d ϕϕ=90︒ϕ0π

解：(1) 计算平底与凸轮廓线接触点坐标

d s ⎧

x =(r 0+s )sin ϕ+cos ϕ=(r 0+s )=112. 7324⎪d ϕ ⎪⎨

⎪y =(r +s )cos ϕ-d s sin ϕ=-d s =-38. 1972

⎪d ϕd ϕ⎩

(2) 计算平底从动件的最小长度L

L =2d d ϕ

max

+(5~7)mm

d s =h (1-c o 2πϕ) 1)

d ϕ

ϕ0ϕ0ϕ0

上式对d ϕ求导并令其为

0，可得出ϕ=ϕ0时上式取得最大值。

此时d s d ϕ=h (1+1) =2h =240=76. 3944mm

max

ϕ0ϕ0ϕ0π

所以L =2⨯76. 3944+(5~7)=157.7887 ~159.7887mm

8-17 现需设计一对心直动滚子推杆盘形凸轮机构，设已知凸轮以等角速度沿顺时针方向回转，推杆的行程h =50mm ，推程运动角ϕ0=90 ，推杆位移运动规律为

s =

h ⎛πϕ⎫

1-cos ⎪2⎝ϕ0⎭

，试确定推程所要求的最佳基圆半径r b 。又如该机构为右偏置直动滚子推杆盘形凸轮机构，偏距e =10mm ，试求其最小基圆半径r b 。

解：(1) 由于是对心直动滚子推杆盘形凸轮机构，偏距e ＝0 因此，基圆半径r b 的计算公式可简化为：r b =d s d ϕ-s

t a n α 对上式求导，并令导数为

0，求出r b 极值时对应的凸轮转角ϕ。

d ϕ2=2h cos 2ϕ

2，取[α]=30︒

tan α s =h (1-cos 2ϕ) ， d s d ϕ=h sin 2ϕ，d 2s

2h cos 2ϕb dr =0，得：-h sin 2ϕ=0，化简为：tan 2ϕ=

d ϕ

tan α 得：2ϕ=73. 8979︒，故ϕ=36. 9489︒

代入基圆半径计算公式，求得r b =65. 1387mm

(2) 当凸轮机构推杆为右偏置时，偏距e ＝10mm

⎡d s d ϕ+e ⎤⎫2 r =⎢⎛-s ⎪+e ⎥ b

α⎭⎢⎥⎣⎝t a n ⎦

d 2s /d φ

2(-ds /d φ) dr b

，即分子为0，与（1）中式子相同，求得ϕ=36. 9489︒ tan[α]=0，得：=0d ϕds /d φ-e

2(-s ) 2+e 2

tan[α]

代入基圆半径计算公式，求得r b =83. 0634mm 。

第九章直齿圆柱齿轮机构

θi

和曲率半径ρi 。

压力角αi =39. 7151︒

展角θi =inv αi =tan αi -αi =0. 1375rad =7. 8783︒ 曲率半径ρi =r b ⋅tan αi =r ⋅sin αi =41. 5331mm

2) 当θi =20 时，查表9-1，θi =0. 34906rad ⇒αi =51. 1601︒ 查表计算时可采用插值法

αi

r i

r b

10'-5'∆α =

0. 34924-0. 347000. 34906-0. 34700

r i =r b /cos αi =50/cos 51. 1601︒=79. 7262mm

9-5 一根渐开线在基圆上发生，试求渐开线上哪一点的曲率半径为零？哪一点的压力角为零？解：基圆上的压力角αi 、曲率半径ρi 均为0。

=1, 9-9 若渐开线直齿圆柱标准齿轮的α=20 , h a 哪个大？

解：当基圆与齿根圆重合时，由d b =d f 可得：d c os α=d -2h * f m ⇒mz cos α=mz -2. 5m z =

2. 5 =41. 4543

1-cos α

2. 5可导出：

mz -2h *s ，即d f >d b 。 f m >mz c o α

1-c o s α

c *=0. 25，试求基圆与齿根圆重合时的齿数。又当齿数大于以上求出的数值时，试证明此时基圆与齿根圆

若z >

9-14 在T616镗床主轴箱中有一直齿圆柱渐开线标准齿轮，其压力角α=20 , 齿数z =40，齿顶圆直径d a =84m m 。现发现该齿轮已经损坏，需要重做一个

**. ）。齿轮，试确定这个齿轮的模数及齿顶高系数（提示：齿顶高系数只有两种情况，h a =0. 8和h a =10

***

解：d a =d +2h a ，即40m +2mh a m =mz +2mh a =84

* 若h a =1. 0，则有：42m =84⇒m =2mm ；

若h a =0. 8，则有：41. 6m =84⇒m =2. 019mm ，此为非标准值。

所以，m =2mm ，h a =1. 0

=1。试求当中心距a' =725mm时，两轮的啮合角α' 。又当α' =22 30' 9-17 设有一对外啮合齿轮的齿数z 1=30, z 2=40, m =20m m ，压力角α=20 ，齿顶高系数h a

时，试求其中心距a ' 。

解：标准中心距为：a =r 1+r 2=1m (z 1+z 2) =700mm

由a cos α=a 'cos α'⇒cos α'=a cos α⇒α'=24. 8666︒

a '

当α'=22︒30'时，中心距a '=711. 9812mm 。

9-19 设有一对按标准中心距安装的外啮合渐开线齿轮，已知z 1=z 2解：εα=1[z 1(tanαa 1-tan α') +z 2(tanαa 2-tan α')]

2π

=17, α=20 ，欲使其重合度εa =14. ，试求这对齿轮的齿顶高系数。

z 1=z 2⇒αa 1=αa 2，且按标准中心距安装，有a '=a ⇒α'=α

故有2z 1(tanαa -tan α) /2π=1. 4，解得：αa =31. 9101︒

***

d b =d cos α=d a cos αa ，有mz cos α=(mz +2h a m ) cos αa ⇒z cos α=(z +2h a ) cos αa ，解得：h a =0. 9093

*实际设计时，取h a =1，此时重合度可计算得εα=1. 5148。

9-22 在某牛头刨床中，有一对外啮合渐开线直齿圆柱齿轮传动，已知z 1=17, z 2=118, m =5m m , *

α=20 , h a =1, a ' =337.5m m 。现已发现小齿轮严重磨损，拟将其

尽可能大，整个齿轮传动为等变位齿轮传动：∑x =x 1+x 2=0，中心距不变。由大齿轮磨损量为0.75mm ，可得：2x 2m tan α>0. 75，解得x 2>0. 2061。

可取x 1=-x 2=0. 21进行齿轮设计。以下计算略，可参见书上公式。

9-26在图9-49所示的齿轮变速箱中，两轴中心距为90mm ，各轮齿数为z 1=41、z 2=51、z 3=30、z 4齿轮传动的类型。

解：实际中心距a '=90mm ，各对齿轮的标准中心距为：

a 12=92mm , a 12>a '，采用负传动；

a 34=90mm , a 34=a '，采用标准或等变位传动；

=60、z 5=20、z 6=68, 模数均为

m =2mm，试确定各对

3 4

a 56=88mm , a 56

（1）对齿轮1和2传动：

啮合角α'=arccos(a cos α)=16. 1422︒

a '

∑x =x 1+x 2=

(z 1+z 2)(inv α'-inv α)

=-0. 9107

2tan α

大小齿轮不发生根切需满足：x ≥h a (z min -z 1) =-1. 4118，x ≥h a (z min -z 2) =-2

z min z min

因两轮齿数分别为41和51，相差不多，故取x 1=-0. 5107, (注：选取方式不唯一，满足总体要求即可)

（2）对齿轮3和4传动：

啮合角α'=α=20︒，标准齿轮传动，取x 1=x 2=0 （3）对齿轮5和6传动：

x 2=-0. 4可使两齿轮接近等强度。

啮合角α'=arccos(a cos α) =23. 2472︒

a '

∑x =x 5+x 6=

(z 1+z 2)(inv α'-inv α)

=1. 0797，且应满足x 5>x 6

2tan α

故取x 5=0. 7, x 6=0. 3797 (注：选取方式不唯一，满足总体要求即可) 。

以下计算略，可参见书上公式。

第十章其它齿轮机构

=1, c *=0. 25。在技术改造中，提高了原动机的转速。为了改善齿轮传动的平10-2 在某设备中有一对渐开线直齿圆柱齿轮，已知z 1=26, i 12=5, m =3mm , α=20 , h a

m n

和齿宽B 。

解：原直齿轮标准中心距a =1m (z 1+z 2) =1m (z 1+i 12z 1) =234mm

斜齿轮中心距为：a =m n (z 1+z 2) =m n (z 1+i 12z 1) ，要使齿轮强度不降低，即模数不变，m n =3mm

2cos β2cos β初取螺旋角β=20︒，则有z =2a cos β=24. 43，取z 1=25，则z 2=i 12⋅z 1=125 1

m n (1+i 12)

此时可计算得：cos β=m n (z 1+z 2) =0. 9615，β=15. 9424︒，满足要求。

根据重合度要求计算齿宽：εγ=εα+εβ

tan αt =tan αn /cos β=0. 3785，解得αt =20. 7331︒

则：εα=1z 1(tanαat 1-tan αt ' ) +z 2(tanαat 2-tan αt ' ) =1. 6463，ε=B sin β=0. 0291B β

2ππm n

αat 1=arccos

⎛r b ⎫⎛0. 5m t z 1cos αt

⎪ =arccos ⎪ 0. 5m z +m h r t 1t at ⎝a 1⎭⎝

[]

由εγ=εα+εβ≥3，可得：0. 0291B ≥3-1. 6463，所以得B ≥46. 5189 综上，取取z 1=25，z 2=125，m n =3mm ，B =47mm 。

10-3 设有一对外啮合齿轮传动，已知z 1=21, z 2=32, m n =2m m , a '=55m m , 不用变位而用斜齿圆柱齿轮传动来凑中心距，试问螺旋角应多大？

解：斜齿轮中心距a =m n (z 1+z 2)

2cos β

所以c o s β=m n (z 1+z 2) =0. 9636 故β=15. 4987︒

解：1）由d 2=m t 2z 2可得端面模数m t 2=7mm ，蜗杆轴面模数m a 1=m t 2=7mm 。

2）蜗杆轴面齿距p a 1=m a 1π=21. 9911mm ，导程l =z 1⋅p a 1=21. 9911mm

3）因模数m a 1=7mm ，故直径系数q =25~7，根据q 取较小值且满足d 1为标准值的原则，取q =8，则d 1=56mm 。 4）两轮中心距a '=r 1+r 2=1m t 2(q +z 2) =168mm 。

第十一章齿轮系

11-1 图11-36所示为一时钟轮系，S 、M 、H 分别表示秒针、分针、时针。图中数字表示该轮的齿数。假设B 和C 的模数相等，试求齿轮A 、B 、C 的

齿数。

解：此轮系为一个定轴轮系。 C i 1A =i 4B =

z 2⨯z A

=60，解得z A =64 z 1⨯z 3

z B ⨯z C

=12 ……（1） z 4⨯z 5

4(15)

3(8)S

又B 和C 模数相等，即齿轮4、C 、5、B 的模数均相等，由中心距

m (z B +z 5) =m (z 4+z C ) ，即z B =z 4+z C -z 5=z C +3……（2） 22

相等条件可得：

联立（1）、（2）两式可得z C ⨯(z C +3) =12，化成方程式为：

z 4⨯z 5

2z C +3z C -2160=0, 解得z C =45, z B =48（舍去负值）。

1(8)

11-7 图11-41所示为一装配用气动一字旋具齿轮减速部分的传动简图。已知各轮齿数为z 1=z 4=7, z 2=z 5=16。若n 1=3000解：该复合轮系由2个行星轮系串联而成。

H 1

i 1H 1=1-i 13

m in ，试求一字旋具的转速。

z z H 2

=1+3， i 4H 2=1-i 46=1+6

z 1z 4

z 3z

) ⨯(1+6) z 1z 4

6 5

螺丝刀

4 H 2

H 1

n 1

3 2

则i

1H 2

=i 1H 1⨯i 4H 2=(1+

由图中几何条件可得：1mz 3=1mz 1+mz 2 即：z 3=z 1+2z 2=39，同理z 6=39 故i 1H =43. 1837，n =3000=69. 4707r /min H

i 1H 2

H i 13=

试求系杆m in ，n 3=50r m in ，

H 转

z ⨯z n 1-n H

=-23=-5 得：6n H =n 1+5n 3

n 3-n H z 1⨯z 2'

1）当n 1、n 3转向相同时有：n 1=200m in ，n 3=50r m in 得：n H =75r /m i n （n H 与n 1转向相同） 1）当n 1、n 3转向相同时有：n 1=200m in ，n 3=-50r min

得：n H =-8. 333r /m i n （n H 与n 1转向相反）

11-11 在图11-45所示的电动三爪自定心卡盘传动轮系中，设已知各比i 14。

解：该轮系为3K-H 型周转轮系，固定系杆H ，转化为定轴轮系。对1-2-3-H 可得：

3 2

2' H

轮的齿数为z 1=6, z 2=z 2' =25, z 3=57, z 4=56，试求传动

i =1-i H =1+z 3=10. 5

1H 13

z 1

对3-2-2'-4-H 可得： i =1-i H =1-z 2'⨯z 3=-1 4H 43

z 2⨯z 4

所以i =ω1=ω1⋅ωH =i ⋅i =10. 5⨯(-56) =-588 14

ω4ωH ω41H H 4

轮1与轮4 转向相反。

1H 15

z 1⨯z 2'⨯z 4

m in

，组成轮系的各齿轮均为圆柱直齿轮。各轮齿数为

系杆，其它齿轮均为行星轮。

n 1

z 5

z 4

z '2

z 2

z 1

z 3

n =n 1=6. 5r /m i n H

i 1H

箱体

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