考研数学之微分中值定理与导数的应用
来源：文都教育
微分中值定理可以说是考研整个高数部分的重点内容，也是难点内容，知识点琐碎，题型灵活多变而且技巧性很强，很多同学在这一部分复习的时间很长，但是最后还是觉得复习的不是很好。下面文都数学老师大致总结一下本章经常考的题型和做题方法。
核心题型
题型一 证明函数恒等于常数
若f '(x ) =0，则f (x ) =C （C 为常数）． 常用：arcsin x +arccos x =π
2；arctan x +arc cot x =
3π2． 例:证明：3arccos x -arccos(3x -4x ) =π(|x |
题型二 不等式的证明
（1）利用函数的单调性
例 证明：当x >0时，ln(1+x )
（2）利用函数的最值：求出函数f (x ) 在给定区间内的最大值M 、最小值m ，则函数在该区间内满足m ≤f (x ) ≤M ．
例 证明：11+
1[f (x 1) +f (x 2)]的项，那么往往可以找到合适的函数，并利用该函数的凸凹性证明不等式． 2
例 已知x >0，y >0且x ≠y ，证明：x ln x +y ln y >(x +y ) ln x +y ． 2
（4）利用微分中值定理证明：当不等式或其适当变形中有函数值之差f (b ) -f (a ) 时，
一般可考虑用拉格朗日中值定理证明。当不等式或其适当变形中有两个函数在两点的函数值之差的比值f (b ) -f (a ) 时，可考虑用柯西中值定理． g (b ) -g (a )
ln 2b -ln 2a 4>2． 例 设e
（5）利用Taylor 公式
如果已知函数的高阶导数存在，则往往可以考虑通过Taylor 公式将函数展开来进行证明．
例 已知0
2，求证1
π
题型三 方程根的讨论
（1）存在性，一般用零点定理；（2）唯一性，用单调性．
例 证明方程tan x =1-x 在(0,1)内有唯一实根．
题型四 f (n ) (ξ) =0
(n -1) （1）验证ξ为f (x ) 的最值或极值点，利用极值存在的必要条件或费马引理可得证
例 （导数零点定理）设f (x ) 在[a , b ]上可导，f +' (a ) f -' (b )
（2）验证f (n -1) (x ) 在包含x =ξ于其内的区间上满足罗尔定理
例 设f (x ) 在[0,3]上连续，在(0,3)内可导，又f (0)+f (1)+f (2)=3, f (3)=1．证明：∃ξ∈(0,3)，使得f '(ξ) =0．
（3）利用Taylor 公式
例 设f (x ) 在[-1,1]上有三阶连续导数，且f (-1) =0, f (1)=1, f '(0)=0，证明：
∃ξ∈(-1,1) ，使得f '"(ξ) =0．
题型五 至少存在一点ξ∈(a , b ) ，使得f (n ) (ξ) =k (k ≠0) 或由
a , b , f (a ), f (b ), ξ, f (ξ), f '(ξ), , f (n ) (ξ) 所构成的代数式成立
（1）做辅助函数F (x ) ；（2）验证F (x ) 满足罗尔定理．
辅助函数F (x ) 的做法有如下两种：
（原函数法）
①将ξ改为x ；
②将式子写成容易去掉一次导数符号的形式（即容易积分的形式）；
③作一次积分，移项，使得等式一端为0，另一端即为辅助函数（为简便，积分常数取0）．
例 设f (x ) 在[0,1]内可导，且f (0)=f (1)=0，证明：∃ξ∈(0,1)，使得
f '(ξ) +f (ξ) =0．
（常数k 值法）
①令常数部分为k ；
②作恒等变形，使等式一端为a 及f (a ) 构成的代数式，令一端为b 及f (b ) 构成的代数式；
③分析关于端点的表达式是否为对称式或轮换对称式，若是，只要把a （或b ）改成x ，相应的函数值f (a ) （或f (b ) ）改成f (x ) ，则变量代换后的表达式即为辅助函数．
例 设f (x ) 在[a , b ]上可导，证明：∃ξ∈(a , b ) ，使得ξf '(ξ) +f (ξ) =0．
题型六 在(a , b ) 内，至少存在ξ, η(ξ≠η) 满足某个代数式
证法：用两次拉格朗日中值定理；或用一次拉格朗日中值定理，用一次柯西中值定理；
或用两次柯西中值定理．辅助函数利用分离变量法，使等式一端只含有ξ的式子，另一端只含有η的式子，然后再结合原函数法分析．
例 设f (x ) 在[a , b ]上连续，在(a , b ) 内可导，f (a ) =f (b ) =1，证明：∃ξ, η∈(a , b ) ，使得e η-ξ[f (η) +f '(η)]=1．
以上是文都考研数学老师总结的本章的主要内容和题型，这一部分复习关键在于要多多总结方法和技巧，每一道题，多想几种方法，有助于扩展思路。希望以上内容对大家有所帮助。
考研数学之微分中值定理与导数的应用
来源：文都教育
微分中值定理可以说是考研整个高数部分的重点内容，也是难点内容，知识点琐碎，题型灵活多变而且技巧性很强，很多同学在这一部分复习的时间很长，但是最后还是觉得复习的不是很好。下面文都数学老师大致总结一下本章经常考的题型和做题方法。
核心题型
题型一 证明函数恒等于常数
若f '(x ) =0，则f (x ) =C （C 为常数）． 常用：arcsin x +arccos x =π
2；arctan x +arc cot x =
3π2． 例:证明：3arccos x -arccos(3x -4x ) =π(|x |
题型二 不等式的证明
（1）利用函数的单调性
例 证明：当x >0时，ln(1+x )
（2）利用函数的最值：求出函数f (x ) 在给定区间内的最大值M 、最小值m ，则函数在该区间内满足m ≤f (x ) ≤M ．
例 证明：11+
1[f (x 1) +f (x 2)]的项，那么往往可以找到合适的函数，并利用该函数的凸凹性证明不等式． 2
例 已知x >0，y >0且x ≠y ，证明：x ln x +y ln y >(x +y ) ln x +y ． 2
（4）利用微分中值定理证明：当不等式或其适当变形中有函数值之差f (b ) -f (a ) 时，
一般可考虑用拉格朗日中值定理证明。当不等式或其适当变形中有两个函数在两点的函数值之差的比值f (b ) -f (a ) 时，可考虑用柯西中值定理． g (b ) -g (a )
ln 2b -ln 2a 4>2． 例 设e
（5）利用Taylor 公式
如果已知函数的高阶导数存在，则往往可以考虑通过Taylor 公式将函数展开来进行证明．
例 已知0
2，求证1
π
题型三 方程根的讨论
（1）存在性，一般用零点定理；（2）唯一性，用单调性．
例 证明方程tan x =1-x 在(0,1)内有唯一实根．
题型四 f (n ) (ξ) =0
(n -1) （1）验证ξ为f (x ) 的最值或极值点，利用极值存在的必要条件或费马引理可得证
例 （导数零点定理）设f (x ) 在[a , b ]上可导，f +' (a ) f -' (b )
（2）验证f (n -1) (x ) 在包含x =ξ于其内的区间上满足罗尔定理
例 设f (x ) 在[0,3]上连续，在(0,3)内可导，又f (0)+f (1)+f (2)=3, f (3)=1．证明：∃ξ∈(0,3)，使得f '(ξ) =0．
（3）利用Taylor 公式
例 设f (x ) 在[-1,1]上有三阶连续导数，且f (-1) =0, f (1)=1, f '(0)=0，证明：
∃ξ∈(-1,1) ，使得f '"(ξ) =0．
题型五 至少存在一点ξ∈(a , b ) ，使得f (n ) (ξ) =k (k ≠0) 或由
a , b , f (a ), f (b ), ξ, f (ξ), f '(ξ), , f (n ) (ξ) 所构成的代数式成立
（1）做辅助函数F (x ) ；（2）验证F (x ) 满足罗尔定理．
辅助函数F (x ) 的做法有如下两种：
（原函数法）
①将ξ改为x ；
②将式子写成容易去掉一次导数符号的形式（即容易积分的形式）；
③作一次积分，移项，使得等式一端为0，另一端即为辅助函数（为简便，积分常数取0）．
例 设f (x ) 在[0,1]内可导，且f (0)=f (1)=0，证明：∃ξ∈(0,1)，使得
f '(ξ) +f (ξ) =0．
（常数k 值法）
①令常数部分为k ；
②作恒等变形，使等式一端为a 及f (a ) 构成的代数式，令一端为b 及f (b ) 构成的代数式；
③分析关于端点的表达式是否为对称式或轮换对称式，若是，只要把a （或b ）改成x ，相应的函数值f (a ) （或f (b ) ）改成f (x ) ，则变量代换后的表达式即为辅助函数．
例 设f (x ) 在[a , b ]上可导，证明：∃ξ∈(a , b ) ，使得ξf '(ξ) +f (ξ) =0．
题型六 在(a , b ) 内，至少存在ξ, η(ξ≠η) 满足某个代数式
证法：用两次拉格朗日中值定理；或用一次拉格朗日中值定理，用一次柯西中值定理；
或用两次柯西中值定理．辅助函数利用分离变量法，使等式一端只含有ξ的式子，另一端只含有η的式子，然后再结合原函数法分析．
例 设f (x ) 在[a , b ]上连续，在(a , b ) 内可导，f (a ) =f (b ) =1，证明：∃ξ, η∈(a , b ) ，使得e η-ξ[f (η) +f '(η)]=1．
以上是文都考研数学老师总结的本章的主要内容和题型，这一部分复习关键在于要多多总结方法和技巧，每一道题，多想几种方法，有助于扩展思路。希望以上内容对大家有所帮助。