第六专题：线性规划题（选考）
一、命题规律讲解
1、 求线性（非线性）目标函数最值题 2、 求可行域的面积题
3、 求目标函数中参数取值范围题 4、 求约束条件中参数取值范围题 5、 利用线性规划解答应用题 二、北京历年高考真题实例分析 2010线性规划
（11）若点p （m ，3）到直线4x -3y +1=0的距离为4，且点p 在不等式2x +y ＜3表示的平面区域内，则m= 。
答案-3
【命题意图】本题考查点到线的距离问题和二元一次不等式表示的平面区域问题，和应用方程的思想进行解题的能力。
⎧4m -9+1
=4⎪
【试题解析】由题意可得⎨，解得m=-3 5
⎪2m +3
【2011⋅北京文，7】7．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元。若每批生产x 件，则平均仓储时间为
x
天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储8
费用之和最小，每批应生产产品( ) ．
A ．60件 B ．80件 C ．100件 D ．120件 【答案】B ．
x x 2
【解析】仓库费用⨯x ⨯1=，每件产品的生产准备费用与仓储费用之和
88
2x
+800x 800x 800=，当且仅当即x =80时取等号，所以每批应生产≥20y ==
+
8x x 8x
产品80件，故选择B ．
2012
6．已知为等比数列，下面结论种正确的是
（A ）a 1+a3≥2a 2 （B ）a 1+a 3≥2a 2 （C ）若a 1=a3，则a 1=a2（D ）若a 3＞a 1，则a 4＞a 2
【解析】当a 10，所以A 选项错误；当q =-1时，C 选项错误：当q a 1⇒a 3q
2．设a ，b ，c ∈R ，且a >b ，则（ ）
2
2
2
A ．ac >bc B ．
11
b 2 D ．a 3>b 3 a b
答案：D
解析：A 选项中若c 小于等于0则不成立，B 选项中若a 为正数b 为负数则不成立，C 选项中若a ，b 均为负数则不成立，故选D.
⎧x ≥0⎪
12．设D 为不等式组⎨2x -y ≤0所表示的平面区域，区域D 上
⎪x +y -3≤0⎩
的点与点(1,0)之间的距离的最小值为 。 12．
解析：区域D 表示的平面部分如图阴影所示：
根据数形结合知(1,0)到D 的距离最小值为(1,0)到直线2x －y ＝0的
=
三、必考知识点及题型讲解
题型一、求线性（非线性）目标函数最值题 一、必考知识点讲解
1．线性规划问题涉及如下概念：
⑴存在一定的限制条件，这些约束条件如果由x 、y 的一次不等式（或方程）组成的不等式组来表示，称为线性约束条件.
⑵都有一个目标要求，就是要求依赖于x 、y 的某个函数（称为目标函数）达到最大值或最小值. 特殊地，若此函数是x 、y 的一次解析式，就称为线性目标函数.
⑶求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题，统称为线性规划问题. ⑷满足线性约束条件的解（x ，y ）叫做可行解. ⑸所有可行解组成的集合，叫做可行域.
⑹使目标函数取得最大值或最小值的可行解，叫做这个问题的最优解. 2．线性规划问题有以下基本定理：
⑴ 一个线性规划问题，若有可行解，则可行域一定是一个凸多边形. ⑵ 凸多边形的顶点个数是有限的.
⑶ 对于不是求最优整数解的线性规划问题，最优解一定在凸多边形的顶点中找到. 3. 线性规划问题一般用图解法. (四) 圆的有关问题
线性规划问题在近几年全国各省市的高考试题中，都是以选择题或填空题的形式呈现的；考查内容除了常见的截距型、距离型和斜率型问题外，还出现了求平面区域的面积、求约束条件中的参变量范围以及求目标函数中的参变量范围等问题，集中体现了化归思想、数形结合思想以及运动变化思想等等；不仅考查了学生的画图、识图能力，还对学生的观察能力、联想能力以及推理能力提出了较高的要求.
二、经典例题分析
一、 线性约束条件下线性函数的最值问题
线性约束条件下线性函数的最值问题即简单线性规划问题，它的线性约束条件是一个二元一次不等式组，目标函数是一个二元一次函数，可行域就是线性约束条件中不等式所对应的方程所表示的直线所围成的区域，区域内的各点的点坐标(x , y )即简单线性规划的可行解，在可行解中的使得目标函数取得最大值和最小值的点的坐标(x , y )即简单线性规划的最优解。
⎧x -4y ≤-3
⎪
例1 已知⎨3x +5y ≤25，z =2x +y ，求z 的最大值和最小
⎪x ≥1⎩
值
⎧x -4y ≤-3⎪
约束条件：⎨3x +5y ≤25 ，是关于x , y 的一个二元一次不等
⎪x ≥1⎩
式组；
目标函数：z =2x +y ，是关于x , y 的一个二元一次函数；
可行域：是指由直线x -4y =-3，3x +5y =25和x =1所围成的一个三角形区域（包括边界）U （如图1）；
图
1
可行解：所有满足(x , y )∈U （即三角形区域内（包括边界）的点的坐标）实数x , y 都是可行解； 最优解：(x , y )∈U ，即可行域内一点(x , y )，使得一组平行线x +y -z =0（z 为参数）中的z 取得最大值和最小值时，所对应的点的坐标(x , y )就是线性规划的最优解。
当线性约束条件中的二元一次不等式组中出现一个二元一次方程（或一元一次方程）时，则可行域就转变成一条线段（或一条直线，或一条射线）。
例2 和最小值
⎧x +y =1
⎪
已知x , y 满足⎨2x +4y ≥1，求x -5y 的最大值
⎪x -2y ≥-6⎩
2x +⎧x +y =1⎪
约束条件：⎨2x +4y ≥1，是关于x , y 的一个二元一次不
⎪x -2y ≥-6⎩
等式组；
目标函数：z =x -5y ，是关于x , y 的一个二元一次函数；
可行域：是指由直线x +y =1被直线x -2y =-6和
2x +4y =1所夹的一条线段AB （如图1）；
可行解：所有满足(x , y )∈AB （即线段上的点的坐标）实数x , y 都是可行解；
图 2
最优解：(x , y )∈U ，即可行域内一点(x , y )，使得一组平行线x -5y -z =0（z 为参数）中的z 取得最大值和最小值时，所对应的点的坐标(x , y )就是线性规划的最优解。
这类问题的解决，关键在于能够正确理解线性约束条件所表示的几何意义，并画出其图形，利用简单线性规划求最优解方法求出最优解及目标函数的最大值或最小值。
二、 非线性约束条件下线性函数的最值问题
高中数学中的最值问题很多可以转化为非线性约束条件下线性函数的最值问题。它们的约束条件是一个二元不等式组，目标函数是一个二元一次函数，可行域是直线或曲线所围成的图形（或一条曲线段），区域内的各点的点坐标(x , y )即可行解，在可行解中的使得目标函数取得最大值和最小值的点的坐标
(x , y )即最优解。
例3 已知x , y 满足，x 2+y 2=4，求3x +2y 的最大值和最小值 约束条件：x 2+y 2=4，是关于x , y 的一个二元二次方程； 目标函数：z =3x +2y ，是关于x , y 的一个二元一次函数； 可行域：是圆x 2+y 2=4上的圆周U （如图3） 可行解：所有满足(x , y )∈U （即圆周上的点的坐标）实数
x , y 都是可行解；
最优解：(x , y )∈U ，即可行域内一点(x , y )，使得一组平行线3x +2y -z =0（z 为参数）中的z 取得最大值和最小值时，所对应的点的坐标(x , y )就是线性规划的最优解。
给定区间内的函数最值问题也可以看作是这类问题。
4
(x ∈[1,5])的最大值和最小值。 x
⎧1≤x ≤5⎪
约束条件：⎨4是关于x , y 的一个二元不等式组；
y =x +⎪x ⎩
目标函数：z =y 是关于x , y 的一个二元一次函数；
4
可行域：函数y =x +的图象在直线x =1和x =5之间
x
的部分曲线U （如图4）
可行解：所有满足(x , y )∈U
（即曲线段上的点的坐标）实数x , y 都
例4 求函数y =x +是可行解；
最优解：(x , y )∈U ，即可行域内一点(x , y )，使得一组平行线
图 3
y -z =0（z 为参数）中的z 取得最大值和最小值时，所对应的点的坐标
(x
, y )就是线性规划的最优解。
图 4
这类问题的解决，关键在于能够正确理解非线性约束条件所表达的几何意义，并画出其图形，利用简单线性规划求最优解方法求出最优解及目标函数的最大值或最小值。
三、 线性约束条件下非线性函数的最值问题 这类问题也是高中数学中常见的问题，它也可以用线性规划的思想来进行解决。它的约束条件是一个二元一次不等式组，目标函数是一个二元函数，可行域是直线所围成的图形（或一条线段），区域内的各点的点坐标(x , y )即可行解，在可行解中的使得目标函数取得最大值和最小值的点的坐标(x , y )即最优解。
例5
⎧x +y -1≤0
⎪
已知实数x , y 满足不等式组⎨x -y +1≥0，求
⎪y ≥-1⎩
x 2+y 2-4x -4y +8的最小值。
⎧x +y -1≤0⎪
约束条件：⎨x -y +1≥0是一个关于x , y 的一个二元一次不
⎪y ≥-1⎩
等式组；
目标函数：z =x +y -4x -4y +8是一个关于x , y 的一个二元二次函数，可以看作是一点(x , y )到点(2,2)的距离的平方；
2
2
可行域：是指由直线x +y -1=0，x -y +1=0和y =-1所围成的一个三角形区域（包括边界）U （如图5）；
可行解：所有满足(x , y )∈U （即三角形区域（包括边界）内的点的坐标）实数x , y 都是可行解； 最优解：(x , y )∈U ，即可行域内一点(x , y )，使得它到点(2,2)的距离最小，则其距离的平方也取得最小值，此时所对应的点的坐标(x , y )就是最优解。
⎧y ≥0
y -1⎪
例6 实数x , y 满足不等式组⎨x -y ≥0，求x +
1⎪2x -y -2≥0
⎩
⎧y ≥0⎪
约束条件：⎨x -y ≥0是一个关于x , y ⎪2x -y -2≥0⎩
组；
目标函数：z =x 2+y 2-4
x -4y +8是一个关于x , y 数，可以看作是一点(x , y )与点(-1,1)的斜率；
可行域：是指由直线y =0，x -y =0和2x -y -2=0个三角形区域（包括边界）U （如图6）；
可行解：所有满足(x , y )∈U 的坐标）实数x , y 都是可行解； 点的坐标(x , y )就是最优解。
图 6
最优解：(x , y )∈U ，即可行域内一点(x , y )，使得它与点(2,2)的斜率取得最小值，此时所对应的
这类问题的解决，关键在于能够正确理解非线性目标函数所表示的几何意义，并利用图形及非线性目标函数所表示的几何意义求出最优解及目标函数的最大值或最小值。
四、 非线性约束条件下非线性函数的最值问题
在高中数学中还有一些常见的问题也可以用线性规划的思想来解决，它的约束条件是一个二元不等式组，目标函数也是一个二元函数，可行域是由曲线或直线所围成的图形（或一条曲线段），区域内的各点的点坐标(x , y )即可行解，在可行解中的使得目标函数取得最大值和最小值的点的坐标(x , y )即最优解。
例7
已知x , y 满足y =y
的最大值和最小值 x +2
约束条件：y =x , y 的一个二元方程； 目标函数：z =
y
是一个关于x , y 的一个二元函数，可以看作是一x +2
点(x , y )与点(-2,0)的斜率；
可行域：以原点为圆心，1为半径的在x 轴上方的半圆及与x 轴的交点
U （如图7）；
可行解：所有满足(x , y )∈U （即半圆（包括交点）上的点的坐标）实数x , y 都是可行解；
图 7
最优解：(x , y )∈U ，即可行域内一点(x , y )，使得它与点(-2,0)的斜率取得最大值和最小值，此时所对应的点的坐标(x , y )就是最优解。
这类问题的解决，关键在于能够正确理解非线性约束条件与非线性目标函数所表示的几何意义，利用非线性约束条件作出图形并利用非线性目标函数所表示的几何意义求出最优解及目标函数的最大值或最
小值。
利用线性规划思想去理解高中数学中一些求最值问题，实际上是对数学形结合思想的提升，利用线性或非线性函数的几何意义，通过作图解决最值问题。是从一个新的角度对求最值问题的理解，对于学生最优化思想的形成是非常有益的。
1. “截距”型考题方法：求交点求最值
在线性约束条件下，求形如z =ax +by (a , b ∈R ) 的线性目标函数的最值问题，通常转化为求直线在y 轴上的截距的取值. 结合图形易知，目标函数的最值一般在可行域的顶点处取得. 掌握此规律可以有效避免因画图太草而造成的视觉误差.
⎧y ≤2⎪
1. 【2012年高考·广东卷 理5】已知变量x , y 满足约束条件⎨x +y ≥4，则z =3x +y 的最大值为( )
⎪x -y ≤1⎩
(A ) 12 (B ) 11 (C ) 3
(D ) -1
5322
1、选B 【解析】约束条件对应∆ABC 内的区域(含边界) ，其中A (2,2), B (3,2), C (, ) 画出可行域，结合图形和z 的几何意义易得z =3x +y ∈[8,11]
⎧x -y ≤10⎪
2. (2012年高考·辽宁卷 理8) 设变量x , y 满足⎨0≤x +y ≤20，则
⎪0≤y ≤15⎩2x +3y 的最大值为
A ．20 B ．35 C ．45 D ．55
2、选D ； 【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由图知目标函数过点A (5,15)时，2x +3y 的最大值为55，故选D.
3.(2012年高考·全国大纲卷 理13) 若x , y 满足约束条件
⎧x -y +1≥0⎪⎪
⎨x +y -3≤0，则z =3x -y 的最小值为 。 ⎪⎪⎩x +3y -3≥0
3、答案：-1
【解析】利用不等式组，作出可行域，可知区域表示的为三角形，当目标函数过点(3,0)时，目标函数最大，当目标函数过点(0,1)时最小为-1.]
⎧ln x , x >04. 【2012年高考·陕西卷 理14】 设函数f (x ) =⎨，D 是由x 轴和曲线y =f (x ) 及该
⎩-2x -1, x ≤0
曲线在点(1,0)处的切线所围成的封闭区域，则z =x -2y 在D 上的最大值为 ．
4、答案2； 【解析】当x > 0时，f (x )=
'
1
，f ' (1)=1， x
∴曲线在点(1,0)处的切线为y =x -1，则根据题意可画出可行域D 如右图： 目标函数y =
11
x -z ， ∴当x =0，y =-1时，z 取得最大值2 22
5. 【2012年高考·江西卷 理8】某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50计，投入资金不超过54
为使一年的种植总利润（总利润=总销售收入 总种植成本）最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积（单位：亩）分别为（ ）
A ．50，0 B ．30，20 C ．20，30 D ．0，50
5、选B ；【解析】本题考查线性规划知识在实际问题中的应用，同时考查了数学建模的思想方法以及实践能力. 设黄瓜和韭菜的种植面积分别为x 、y 亩，总利润为z 万元， 则目标函数为
⎧x +y ≤50,
⎪1.2x +0.9y ≤54, ⎪
z =(0.55⨯4x -1.2x ) +(0.3⨯6y -0.9y ) =x +0.9y . 线性约束条件为 ⎨
⎪x ≥0, ⎪⎩y ≥0. ⎧x +y ≤50,
⎪4x +3y ≤180, ⎪即⎨作出不等式组表示的可行域,
x ≥0, ⎪⎪⎩y ≥0.
易求得点A (0,50), B (30,20), C (0,45). 平移直线z =x +0.9y ，可知当直线z =x +0.9y ，经过点B (30,20)，
即x =30, y =20时 z 取得最大值，且z max =48（万元）. 故选B.
点评：解答线性规划应用题的一般步骤可归纳为：
(1)审题——仔细阅读，明确有哪些限制条件，目标函数是什么？ (2)转化——设元．写出约束条件和目标函数;
(3)求解——关键是明确目标函数所表示的直线与可行域边界直线斜率间的关系； (4)作答——就应用题提出的问题作出回答．
6. (2012年高考·四川卷 理9 ) 某公司生产甲、乙两种桶装产品. 已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克，B 原料1千克. 每桶甲产品的利润是300元，每桶
B 原料都不超过12千克. 通乙产品的利润是400元. 公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A 、
过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是（ ）
A 、1800元 B 、2400元 C 、2800元 D 、3100元
6、答案C 【解析]】 设公司每天生产甲种产品X 桶，乙种产品Y 桶，公司共可获得利润为Z 元/天，则
⎧X +2Y ≤12⎪2X +Y ≤12⎪
由已知，得 Z=300X+400Y，且⎨，画可行域如图所
⎪X ≥0⎪⎩Y ≥0
示，
目标函数Z=300X+400Y可变形为Y=-
3z
x + 4400
这是随Z 变化的一族平行直线，解方程组⎨
⎧x =4⎧2x +y =12
，∴⎨ ，即A （4,4）
⎩y =4⎩x +2y =12
∴Z max =1200+1600=2800
⎧x ≥0⎪
7. (2012年高考·安徽卷 理11) 若x , y 满足约束条件：⎨x +2y ≥3；则x -y 的取值范围为_____.
⎪2x +y ≤3⎩
7、答案[-3,0]； 【解析】约束条件对应∆ABC 内的区域(含边界) ，其中A (0,3),B (0,), C (1,1)，画出可行域，结合图形和t 的几何意义易得t =x -y ∈[-3,0]
8．(2012年高考·山东卷 理5) 的约束条件⎨
A ． [-
3
2
⎧2x +y ≤4
，则目标函数z=3x－y 的取值范围是
4x -y ≥-1⎩
3
，6] 2
B ．[-
33，－1] C ．[－1，6] D ．[－6，] 22
1
2
8、选A ； 【解析】 作出可行域和直线l ：3x -y =0，将直线l 平移至点(2, 0) 处有最大值，点(, 3) 处有最小值，即-
3
≤z ≤6. ∴应选A. 2
⎧x , y ≥0⎪
2的取值范围为 . 9．(2012年高考·新课标卷 理14) 设x , y 满足约束条件：则z =x -y ⎨x -y ≥-1；
⎪x +y ≤3⎩
9、答案[－3，3]；【解析】约束条件对应区域为四边形OABC 内及边界，其中
O (0,0),A (0,1),B (1,2),C (3,0)，则z =x -2y ∈[-3,3]
2 . “距离”型考题方法：求交点求最值
⎧x ≥1⎪
10. 【2010年高考·福建卷 理8】 设不等式组⎨x-2y+3≥0所表示的平面区域是Ω1, 平面区域是Ω2与Ω1关
⎪y ≥x ⎩
于直线3x -4y -9=0对称, 对于Ω1中的任意一点A 与Ω2中的任意一点B, |AB |的最小值等于( )
A.
2812
B.4 C. D.2 55
10、选B ；【命题意图】本题考查不等式中的线性规划以及两个图形间最小距离的求解、基本公式（点到
直线的距离公式等）的应用，考查了转化与化归能力。
【解析】由题意知，所求的|AB |的最小值，即为区域Ω1中的点到直线3x -4y -9=0的距离的最小值的两倍，画出已知不等式表示的平面区域，如图所示，可看出点（1，1）到直线3x -4y -9=0的距离最小，故|AB |的最小值为2⨯
|3⨯1-4⨯1-9|
=4，所以选B 。
5
评注：在线性约束条件下，求分别在关于一直线对称的两个区域内的两点距离的最值问题，通常转化为求其中一点(x，y) 到对称轴的距离的的最值问题。结合图形易知，可行域的顶点及可行域边界线上的点是求距离最值的关键点.
⎧0≤x ≤2,
11. ( 2012年高考·北京卷 理2) 设不等式组⎨，表示平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，
0≤y ≤2⎩
则此点到坐标原点的距离大于2的概率是
A
ππ-2π4-π
B C D
24 46
⎧0≤x ≤2
11、选D ；【解析】题目中⎨表示的区域为正方形，如图所示，而动点M 可
0≤y ≤2⎩
以存在的位置为正方形面积减去四分之一圆的面积部分，
1
2⨯2-π⋅22
4-π因此 P =，故选D. =
2⨯24
3. “斜率”型考题方法：现求交点，再画图 （包括90取两边，不包括90取中间）
当目标函数形如z =
y -a
时, 可把z 看作是动点P (x , y ) 与定点Q (b , a ) 连线的斜率，这样目标函数的x -b
最值就转化为PQ 连线斜率的最值。
12. 【2008年高考·福建卷 理8】 若实数x 、y 满足⎨
A.(0,1) B. (0,1]
⎧x -y +1≤0y
, 则的取值范围是 （ ）
x ⎩x >0
D. [1, +∞)
C.(1,+∞)
12、选C ；【解析】如图，阴影部分为不等式所对应的平面区域，
y
表示平面区x
域内的动点(x , y ) 与原点O (0,0)之间连线的斜率，由图易知，
评注：在线性约束条件下，对于形如z =
y
∈(1, +∞)，选C . x
y -b
(a , b ∈R ) 的目标函数的取值问题，通常转化为求点x -a
(x , y ) 、(a , b ) 之间连线斜率的取值. 结合图形易知，可行域的顶点是求解斜率取值问题的关键点. 在本
题中，要合理运用极限思想，判定
y
的最小值无限趋近于1. x
b
的取a
c ln b ≥a +c ln c ，则b ，c 满足：5c -3a ≤b ≤4c -a ，13. （2012年高考·江苏卷 14）已知正数a ，
值范围是 ．
⎧a b
⎪3⋅+≥5⎪c c ⎪a b
c ln b ≥a +c ln c 可化为：⎨c +c ≤4. 13、答案[e ，【解析】条件5c -3a ≤b ≤4c -a ， 7]；
⎪
a ⎪b ⎪≥e c ⎩c
⎧3x +y ≥5⎪x +y ≤4
a b y ⎪
设=x ，y =，则题目转化为：已知x ，求的取值范围. ，y 满足⎨x
c c x y ≥e ⎪
⎪x >0，y >0⎩
作出（x ，求出y =e x 的切线的，y ）所在平面区域（如图）斜率e ，设过切点P (x 0，y 0)的切线为y =ex +m (m ≥0)， 则
y 0ex 0+m m
==e +，要使它最小，须m =0. x 0x 0x 0
∴
y
的最小值在P (x 0，y 0)处，为e . 此时，点P (x 0，y 0)在x
y =e x 上A , B 之间. 当（x ，y ）对应点C 时，
⎧y =4-x ⎧5y =20-5x y y
⇒⇒y =7x ⇒=7，∴的最大⎨⎨
x x ⎩y =5-3x ⎩4y =20-12x
值在C 处，最大值为7. ∴
b y
的取值范围为[e ， 7]， 即的取值范围是[e ， 7]
a x
2. 求可行域的面积题
一、必考知识点讲解
本题涉及双重约束条件，解题的关键是采用换元的思想去寻求平面区域B 所对应的约束条件，从而准确画出相应的平面区域.
二、经典例题分析 14. 【2012年高考·重庆卷 理10】设平面点集
⎧1⎫
A =⎨(x , y ) (y -x )(y -) ≥0⎬, B =(x , y ) (x -1) 2+(y -1) 2≤1，则A B 所表示的平面图形的面积
x ⎩⎭
{}
为
A
14、选D ；【解析】由对称性：y ≥x , y ≥
334π
π B π C π D 4572
1
,(x -1) 2+(y -1) 2≤1围成的面积与x
1
,(x -1) 2+(y -1) 2≤1围成的面积相等，得：A B 所表示的平面图形的面积为x
1π
y ≤x ,(x -1) 2+(y -1) 2≤1围成的面积既⨯πR 2=
22y ≤x , y ≥
15. （2007年高考·江苏卷 理10）在平面直角坐标系xOy ，已知平面区域A ={(x , y ) |x +y ≤1,
且x ≥0, y ≥0}，则平面区域B ={(x +y , x -y ) |(x , y ) ∈A }的面积为 （ ）
11
D ． 24
11
15、选B ；【解析】令a =x +y , b =x -y ，则x =(a +b ), y =(a -b ) 22
A ．2 B ．1 C ．
代入集合A ，易得a +b ≥0, a -b ≥0, a ≤1部分，则平面区域的面积为
图 5
1
×2×1＝1，∴选B . 2
面区域B 所对应的约束条件，从而准确画出相应的平面区域.
⎧x ≤0⎪
16. （2008年高考·安徽卷 理15） 若A 为不等式组⎨y ≥0表示的平面区域，则当a 从－2连续变化到
⎪y -x ≤2⎩
1时，动直线x +y =a 扫过A 中的那部分区域的面积为.
图6
7
16、答案；【解析】如图，阴影部分为不等式组表示的平面区域A ，
4
其中： l :x +y =a , l 1:x +y =-2, l 2:x +y =1.
当a 从－2连续变化到1时，动直线l 扫过的平面区域即为l 1与l 2之间的平面区域，则动直线l 扫过A
中的那部分平面区域的面积即为四边形
x
BOCD 的面积，由图易知，其面积为：S =S
7. ADC
4
评注：本题所求平面区域即为题设平面区域A 与动直线x +y =a 在a 从－2连续变化到1时扫过的
ABO -S
=
平面区域之间的公共区域，理解题意，准确画图是解题的关键.
⎧x ≥0
4⎪
y =kx +x +3y ≥417. （2009年高考·安徽卷 理7） 若不等式组⎨所表示的平面区域被直线分
3⎪3x +y ≤4
⎩
为面积相等的两部分，则k 的值是 （A ）
7343 （B ） （C ） （D ） 高 3734
17、选A ； 【解析】不等式表示的平面区域如图所示阴影部分△ABC
⎧x +3y =44
由⎨得A （1，1），又B （0，4），C （0，）
3⎩3x +y =4
144
(4-) ⨯1=，设y =kx 与3x +y =4的交点为D ， 233
1215
则由S ∆BCD =S ∆ABC =知x D =，∴y D =， ∴
2322
5147
=k ⨯+, k =，选A. 2233
∴S
△ABC
=
图7
x
⎧x ≥0, ⎪
18. （2008年高考·浙江卷 理17）若a ≥0, b ≥0，且当⎨y ≥0, 时，恒有
⎪x +y ≤1⎩
ax +by ≤1，则以a ,b 为坐标点P (a , b ) 所形成的平面区域的面积等于
__________.
18、答案1；【解析】如图，阴影部分为不等式组表示的平面区域， 要使得恒有ax +by ≤1成立，只须
平面区域顶点A , O , B 的坐标都满足不等式ax +by ≤1，易得0≤a ≤1,0≤b ≤1, 所以P (a , b ) 所形成的平面区域的面积等于1.
评注：本题是线性规划背景下的不等式恒成立问题，只须考虑可行域的顶点即可. 作为该试卷客观题的最后一题，熟悉的题面有效避免了学生恐惧心理的产生，但这并不等于降低了对数学能力、数学思想方法的考查，真可谓简约而不简单.
3. 求目标函数中参数取值范围题 一、必考知识点讲解
规律方法：目标函数中含有参数时，要根据问题的意义，转化成“直线的斜率”、“点到直线的距离”等模型进行讨论与研究.
二、经典例题分析
⎧x +2y -19≥0，⎪
21. （2008年高考·山东卷 理12）设二元一次不等式组⎨x -y +8≥0，所表示的平面区域为M ，使函
⎪2x +y -14≤0⎩
数y =a x (a >0，a ≠1) 的图象过区域M 的a 的取值范围是（ ） A ．[1，3] B ．[2，] C ．[2，9] D ．[，9]
21、选C ；【解析】区域M 是三条直线相交构成的三角形（如图）,
其中A (1,9),B (3,8),C (2,10)，使函数y =a x (a >0，a ≠1) 的图象过区域M , 由图易知a >1，只须区域M 的顶点A , B 不位于
y
函数y =a 图象的同侧，即不等式(a -9) ⋅(a -8) ≤0(a ＞0，a ≠1)恒成立，即2≤a ≤9.
评注：首先要准确画出图形；其次要能结合图形对题意进行等价转化；最后要能正确使用“同侧同号、异侧异号”的规律.
x 3
⎧x +y -11≥0⎪x
22. （2010年高考·北京卷 理7）设不等式组 ⎨3x -y +3≥0表示的平面区域为D ，若指数函数y=a 的
⎪5x -3y +9≤0⎩
图像上存在区域D 上的点，则a 的取值范围是
A (1，3] B [2，3] C (1，2] D [ 3， +∞]
22、选A ；【解析】这是一道略微灵活的线性规划问题，作出区域D 的图象，联系指数函数y =a 的图象，能够看出，当图象经过区域的边界点（2，9）时，a 可以取到最大值3，而显然只要a 大于1，图象必然经过区域内的点.
x
⎧x +y ≥1⎪
25. （2009年高考·陕西卷 理11）若x ，y 满足约束条件⎨x -y ≥-1，目标函数z =ax +2y 仅在点（1，0）
⎪2x -y ≤2⎩
处取得最小值，则a 的取值范围是 （ ）
A ．（-1，2） B ．（-4，2） C ．(-4,0] D ． (-2, 4)
25、选B ；【解析】如图，阴影部分△ABC 为题设约束条件所对应的可行
域，其中A(1，0) ，B (3,4) ，C (0,1)，
a 法一：，目标函数z =ax +2y 对应直线l ，直线l 的斜率为-，在y
2
轴上的截距为
x
z
. ∵目标函数恰好在点(1，0) 处取得最小值，
2
∴直线l 落在的直线x ＋y =1按逆时针方向旋转到直线2x －y =2的位置所扫过的区域，根据直线倾
a
斜角与直线斜率的关系，可得－12
法二：根据题意，目标函数z (x , y ) =ax +2y 仅在点（1，0）处取得最小值，则有z (0,1)>z (1,0),且，答案选B . z (0,1)>z (3,4)，解之得a 的取值范围是（-4，2 ）
评注：本题是以截距为背景，求满足题意的目标函数中所含的未知参数，对于这类问题，关键是要
抓住可行域的顶点就是取到最值的点.
⎧y ≥x ⎪
26. （2011年高考·湖南卷 理7）设m >1，在约束条件⎨y ≤m x 下，目标函数z=x+my的最大值小于2，
⎪x +y ≤1⎩
则m 的取值范围为
A ．(1, 1+2) B ．(1+2, +∞) C ．（1，3） D ．(3, +∞)
26、选A ；【解析】在平面直角坐标系中作出直线y ≥x 和x +y ≤1，再作出直线y ≤mx (m >1)，由图可
1m 1m 知目标函数z=x+my在点（，）处取得最大值z max =，由已知可解+
m +1m +1m +1m +1
m .
4. 求约束条件中参数取值范围题
一、必考知识点讲解
规律方法：当参数在线性规划问题的约束条件中时，作可行域，要注意应用“过定点的直线系”知识，使直线“初步稳定”，再结合题中的条件进行全方面分析才能准确获得答案.
二、经典例题分析
2
⎧x +y -1≥0⎪
19. （2009年高考·福建卷 文9）在平面直角坐标系中，若不等式组⎨x -1≤0（α为常数）所表示的
⎪ax -y +1≥0⎩
平面区域内的面积等于2，则a 的值为
A. －5 B. 1
⎧⎪
19、选D ；【解析】 作出不等式组⎨⎪⎩
意可知，公共区域的面积为2；∴得a =3，故选D.
点评：该题在作可行域时，若能抓住直线方程ax -系”产生联系，就会明确ax -
y +1=0中含有参数a 这个特征，迅速与“直线
y +1=0可变形为y -1=ax 的形式，则此直线必过定点(0，1) ；此时可
行域的“大致”情况就可以限定，再借助于题中的其它条件，就可轻松获解.
⎧x +y -3≤0⎪x
20. 【2012年高考·福建卷 理9】若直线y =2上存在点(x , y ) 满足约束条件⎨x -2y -3≤0，则实数m
⎪x ≥m ⎩
的最大值为（ ）
A ．
13
B ．1 C ． D ．2 22
20、选B ；分析：本题考查的知识点为含参的线性规划，需要画出可
行域的图形，含参的直线要能画出大致图像. 解答：可行域如图：所
⎧x +y -3≤0⎪
以，若直线y =2x 上存在点(x , y ) 满足约束条件⎨x -2y -3≤0，
⎪x ≥m ⎩
m
则3-m ≥2，即m ≤1。
评注：题设不等式组对应的平面区域随参数m 的变化而变化，先局部后整体是突破的关键.
⎧x -2y +5≥0⎪
23（. 2007年高考·浙江卷 理17）设m 为实数，若{(x , y ) ⎨3-x ≥0}⊆{(x , y ) |x 2+y 2≤25}，则m
⎪mx +y ≥0⎩
的取值范围是___________.
44
23、答案[0,]；【解析】 如图10，直线l :y =-mx , l 1:y =-x ，由
33
题意，要使得不等式组表示的区域包含在圆的内部，则直线l 应位于直
4
线l 1与x 轴之间（包括直线l 1及x 轴），即-≤-m ≤0，所以m 的取
3
4
值范围是[0,.
3
评注：由集合之间的包含关系到对应平面区域之间的包含关系是解决本题的第一突破口；另外，在直线l 的旋转变化中，确定关键的两个
x
特殊位置l 1、x 轴是解决本题第二突破口，这对考生的想象能力、数形结合能力都提出了非常高的要求.
⎧x +3y -3≥0, ⎪
24. （2010年高考·浙江卷 理7） 若实数x ，y 满足不等式组⎨2x -y -3≤0, 且x +y 的最大值为9，则
⎪x -my +1≥0, ⎩
实数m =
A -2 B -1 C 1 D 2
24、选C ；【思路点拨】画出平面区域，利用x +y 的最大值为9，确定区域的边界．
【规范解答】选C ．令z =x +y ，则y =-x +z ，z 表示斜率为-1的直线在y 轴上的截距．当z 最大值为9时， y =-x +z 过点A ，因此x -my +1=0过点A ， 所以m =1．
5. 其它型考题
⎧3x -y -6≤0
⎪
27. （2009年高考·山东卷 理12） 设x ，y 满足约束条件⎨x -y +2≥0 ，若目标函数
⎪x ≥0, y ≥0⎩
23
z =ax +by (a >0, b >0) 的值是最大值为12，则+的最小值为（ ）
a b
25811A. B. C. D. 4
633
27、选A ；【解析】如图，阴影部分为约束条件表示的平面区域，其中A ，显然，当直线ax +by =z 过点B (4,6)时，目标函数z =ax +by (a >0, b >0) 取得最大值12，即4a +6b =12，
23232a +3b 13b a 1325+=(+) =+(+) ≥+2=，选A . a b a b 66a b 66
评注：本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题. 要求能准确地画出不等式表示的平面区域，并根据图形建立关于参数
x
23
a , b 的等式；求+的最小值时，常先用乘积进行等价变形，进而用基本
a b
不等式解答.
⎧2x -y +2≥0⎪
28. （2010年高考·安徽卷 理13）设x , y 满足约束条件⎨8x -y -4≤0，若目标函数
⎪x ≥0 , y ≥0⎩
z =abx +y (a >0, b >0) 的最大值为8，则a +b 的最小值为________.
28、答案4； 【解析】不等式表示的区域是一个四边形，4个顶点是(0,0),(0,2),(,0),(1,4) ，由图易知，目标函数在(1,4) 取最大值8，所以8=ab +4⇒ab =
4，所以a +b ≥=4，在a =b =2时是等号成立. 所以a +b 的最小值为4.
综上可知，解决线性规划问题，首先要弄清题意；其次要准确画图、识图；最后是合理联想与转化，并充分挖掘方法和规律.
三、求可行域中整点个数
12
例3、满足|x|＋|y|≤2的点（x ，y ）中整点（横纵坐标都是整数）有（ ） A 、9个 B 、10个 C 、13个 D 、14个
⎧x +y ≤2⎪x -y ≤2⎪
解：|x|＋|y|≤2等价于⎨
⎪-x +y ≤2⎪⎩-x -y ≤2
(x ≥0, y ≥0)
(x ≥0, y 0)
(x 0, y ≥0) (x 0, y 0)
作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界），容易得到整
点个数为13个，选D
6、 利用线性规划解答应用题 一、必考知识点讲解
点评：解答线性规划应用题的一般步骤可归纳为：
(1)审题——仔细阅读，明确有哪些限制条件，目标函数是什么？ (2)转化——设元．写出约束条件和目标函数;
(3)求解——关键是明确目标函数所表示的直线与可行域边界直线斜率间的关系； (4)作答——就应用题提出的问题作出回答．
二、经典例题分析 6. (2012年高考·四川卷 理9 ) 某公司生产甲、乙两种桶装产品. 已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克，B 原料1千克. 每桶甲产品的利润是300元，每桶
B 原料都不超过12千克. 通乙产品的利润是400元. 公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A 、
过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是（ ）
A 、1800元 B 、2400元 C 、2800元 D 、3100元
6、答案C 【解析]】 设公司每天生产甲种产品X 桶，乙种产品Y 桶，公司共可获得利润为Z 元/天，则由已知，得 Z=300X+400Y，
⎧X +2Y ≤12⎪2X +Y ≤12⎪且⎨，画可行域如图所示， ⎪X ≥0⎪⎩Y ≥0
3z
目标函数Z=300X+400Y可变形为Y=-x +
4400
⎧x =4⎧2x +y =12
这是随Z 变化的一族平行直线，解方程组⎨ ，∴⎨ ，即A （4,4）
y =4x +2y =12⎩⎩∴Z max =1200+1600=2800
四、近三年各区模拟题 2010年模拟题
1. （东城·文·题4）
⎧x ≥1⎪
已知变量x , y 满足⎨y ≤2，则x +y 的最小值为（ ）
⎪x -y ≤0⎩
A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 【解析】 A ；
不等式组所表示的平面区域如下图如示，当x =1, y =1时，x +y 有最小值2．
⎧y
下面四个点中，在平面区域⎨内的点是（ ）
y >-x ⎩
A ．(0,0) B ．(0,2) C ．(-3, 2) D ．(-2, 0) 【解析】 B ；
直接将坐标代入即得．
2. （西城·理·题7）
⎧⎧y ≤x +1⎫
⎧⎫⎧y ≤-|x |+1⎪⎪⎪⎪⎪
已知平面区域Ω=⎨(x , y ) ⎨y ≥0⎬, M =⎨(x , y ) ⎨向区域Ω内随机投一点P ，点P 落在⎬，
y ≥0⎩⎪⎪⎪⎪x ≤1⎪⎩⎭
⎩⎩⎭
区域M 内的概率为（ ）A ．
1112
B ． C ． D ． 4233【解析】 C ；
如图，阴影部分大的等腰直角三角形区域为Ω，小的等腰直角三角形区域为M ，由面积比知
1P =．
2
3. （海淀·文·题11）
⎧y ≤x ⎪
已知不等式组⎨y ≥-x ，表示的平面区域的面积为4，点P (x , y )在所给平面区域内，则z =2x +y 的最
⎪x ≤a ⎩
大值为______． 【解析】 6；
可行域面积为a ，∴a =2
因此当x =2, y =2时，2x +y 取最大值，为6．
2
2011年模拟题
⎧3x -y -6≤0⎪
2.(2009山东卷理) 设x ，y 满足约束条件⎨x -y +2≥0 ，
⎪x ≥0, y ≥0⎩
若目标函数z=ax+by（a>0，b>0）的值是最大值为12，
23
+的最小值为( ). a b 25811A. B. C. D. 4
633
则
【解析】:不等式表示的平面区域如图所示阴影部分, 当直线ax+by= z（a>0，b>0） 过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点（4,6）时, 目标函数z=ax+by（a>0，b>0）取得最大12, 即4a+6b=12,即2a+3b=6, 而答案:A
23232a +3b 13b a 1325+=(+) =+(+) ≥+2=, 故选A. a b a b 66a b 66
【命题立意】:本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题. 要求能准确地画出不等式表示的平面区域, 并且能够求得目标函数的最值, 对于形如已知2a+3b=6,求进而用基本不等式解答.
⎧x ≥04
3. （2009安徽卷理）若不等式组⎪x +3y ≥4所表示的平面区域被直线y =kx +分为面积相等的两部
⎨3⎪3x +y ≤4⎩
23
+的最小值常用乘积a b
分，则k 的值是 （A ）
7343 （B ） （C ） （D ） 3734
B
【解析】：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分△ABC
⎧x +3y =44
由⎨得A （1，1），又B （0，4），C （0，）
3⎩3x +y =4
144
(4-) ⨯1=，设y =kx 与3x +y =4的 233
1215
交点为D ，则由S ∆BCD =S ∆ABC =知x D =，∴y D =
2322
5147
∴=k ⨯+, k =选A 。 2233
∴S
△ABC
=
4. （2009安徽卷文）不等式组所表示的平面区域的面积等于
A. B.
C. D.
【解析】由⎨【答案】C
⎧x +3y -4=014
可得C (1,1)，故S 阴 =⨯AB ⨯x c =，选C 。
23⎩3x +y -4=0
⎧2x +y ≥4
⎪
6. （2009宁夏海南卷理）设x,y 满足⎨x -y ≥-1, 则z =x +y
⎪x -2y ≤2⎩
（A ）有最小值2，最大值3 （B ）有最小值2，无最大值 （C ）有最大值3，无最小值 （D ）既无最小值，也无最大值
【解析】画出可行域可知，当z =x +y 过点（2，0）时，z min =2，但无最大值。选B.
⎧2x +y ≥4, ⎪
7. （2009宁夏海南卷文）设x , y 满足⎨x -y ≥1, 则z =x +y
⎪x -2y ≤2, ⎩
（A ）有最小值2，最大值3 （B ）有最小值2，无最大值
（C ）有最大值3，无最小值 （D ）既无最小值，也无最大值
【答案】B
【解析】画出不等式表示的平面区域，如右图，由z ＝x ＋y ，得y ＝－x ＋z ，令z ＝0，画出y ＝－x 的图象，当它的平行线经过A （2,0）时，z 取得最小值，最小值为：z ＝2，无最大值，故选
.B
⎧x +y ≥3⎪
8. （2009天津卷理）设变量x ，y 满足约束条件：⎨x -y ≥-1. 则目标函数z=2x+3y的最小值为
⎪2x -y ≤3⎩
（A ）6 （B ）7 （C ）8 （D ）23 【考点定位】本小考查简单的线性规划，基础题。
⎧x +y ≥3⎪
【解析】画出不等式⎨x -y ≥-1表示的可行域，如右图，
⎪2x -y ≤3⎩
让目标函数表示直线y =-
2x z
+在可行域上平移，知在点B 自目标函数取到最小值，解方程组
33
⎧x +y =3
得(2, 1) ，所以z min =4+3=7，故选择B 。 ⎨
x +y -1≥0
x -1≤0（α为常数）所表示的平面区域
-y +1≥0⎩
内的面积等于2，则a 的值为
A. -5 B. 1 C. 2 D. 3
【解析】 如图可得黄色即为满足x -1≤0与x +y -1≥0的可行域，而ax -y +1=0的直线恒过（0，1），故看作直线绕点（0，1）旋转，当a=-5时，则可行域不是一个封闭区域，当a=1时，面积是1；
a=2时，面积是
3
；当a=3时，面积恰好为2，故选
D. 2
二、填空题
⎧x +y ≥2, ⎪
2. （2009浙江卷文）若实数x , y 满足不等式组⎨2x -y ≤4, 则2x +3y 的最小值是 ．
⎪x -y ≥0, ⎩
【命题意图】此题主要是考查了线性规划中的最值问题，此题的考查既体现了正确画线性区域的要求，也体现了线性目标函数最值求解的要求 【解析】通过画出其线性规划，可知直线y =-
2
x +Z 过点(2,0)时，(2x +3y )min =4 3
4.(2009山东卷文) 某公司租赁甲、乙两种设备生产A,B 两类产品, 甲种设备每天能生产A 类产品5件和B 类产品10件, 乙种设备每天能生产A 类产品6件和B 类产品20件. 已知设备甲每天的租赁费为200元, 设备乙每天的租赁费为300元, 现该公司至少要生产A 类产品50件,B 类产品140件, 所需租赁费最少为__________元.
【解析】:设甲种设备需要生产x 天, 乙种设备需要生产y 天, 该公司所需租赁费为z 元, 则
z =200x +300y ，甲、乙两种设备生产A,B 两类产品的情况为下表所示:
产品 设备
A 类产品 (件)(≥50)
甲设备 乙设备
5 6
B 类产品 (件)(≥140)
10 20
200 300 租赁费 (元)
⎧6
x +y ≥10⎧5x +6y ≥50⎪⎪5⎪
则满足的关系为⎨10x +20y ≥140即:⎨,
x +2y ≥14⎪⎪x ≥0, y ≥0
⎩⎪⎩x ≥0, y ≥0
⎧6
⎪x +y =10
作出不等式表示的平面区域, 当z =200x +300y 对应的直线过两直线⎨的交点(4,5)时，目5
⎪⎩x +2y =14
标函数z =200x +300y 取得最低为2300元. 答案:2300
【命题立意】:本题是线性规划的实际应用问题, 需要通过审题理解题意, 找出各量之间的关系, 最好是列成表格, 找出线性约束条件, 写出所研究的目标函数, 通过数形结合解答问题
【2012北京市房山区一模理】7. 直线y =kx +3与圆(x -1)+(y +2)=4相交于M ,
N 两点，若
2
2
MN ≥k 的取值范围是( )
1212
（A ）(-∞, -) （B ）(-∞, -]
55
【答案】B
（C ）(-∞,
12) 5
（D ）(-∞,
12] 5
B
分别在射线y =【2012年北京市西城区高三一模理】14. 在直角坐标系xOy 中，动点A ，
x (x ≥
0) 3
和y =(x ≥0) 上运动，且△OAB 的面积为1．则点A ，B 的横坐标之积为_____；△OAB 周长的最小值是_____．
【答案】
，2(1 2
2x 1, OB =2x 2，x 1), B (x 2, -3x 2), (x 1>0, x 2>0) ，则OA =
33
1122
x 1⨯2x 2=x 1x 2=1，所以由题意知OA ⊥OB , 所以三角形的面积为OA ⋅OB =⨯
223x 1x 2=。
2
【解析】设A,B 的坐标分别为A (x 1, 2013年模拟题
1 ．（北京市东城区普通校2013届高三3月联考数学（理）试题 ）设a >0, b >
0. 若
11
3a 与3b 的等比中项，则+的最小值为
a b
A ．8
B ．4
C ．1
D ．
（ ）
1 4
⎧x ≥0, ⎪y ≥0,
2 ．（北京市东城区2013届高三上学期期末考试数学理科试题）已知x ，y 满足不等式组⎪当⎨
⎪x +y ≤s , ⎪⎩y +2x ≤4.
3≤s ≤5时，目标函数z =3x +2y 的最大值的变化范围是
（ ）
A ．[6,15] B ．[7,15] C ．[6,8] D ．[7,8]
3 ．（北京市西城区2013届高三上学期期末考试数学理科试题）已知a , b 是正数，且满足2
么a +b 的取值范围是 A ．(,
2
2
（ ）
416
) 55
B ．(,16)
45
C ．(1,16) D ．(
16, 4) 5
⎧x +y ≤4, ⎪
4 ．（北京市顺义区2013届高三第一次统练数学理科试卷（解析））设不等式组⎨y -x ≥0, 表示的平面区
⎪x -1≥0⎩
域为D . 若圆C :(x +1)+(y +1)=r 2 (r >0)不经过区域D 上的点, 则r 的取值范围是
2
2
（ ）
[C ．(3
A ．22, 2
2, 2
]] (]D ．(0, 22)⋃(2
B ．22, 32
, +∞
)
二、填空题 5．（北京市东城区2013届高三上学期期末考试数学理科试题）某种饮料分两次提价，提价方案有两种，
方案甲：第一次提价p %, 第二次提价q %；方案乙：每次都提价多的方案是 .
p +q
%，若p >q >0，则提价2
⎧x -y -4≤0,
6．（北京市海淀区北师特学校2013届高三第四次月考理科数学）已知点P (2,t ) 在不等式组⎨
⎩x +y -3≤0
表示的平面区域内，则点P (2,t ) 到直线3x +4y +10=0距离的最大值为____________． 7．（北京市海淀区北师特学校
2013届高三第四次月考理科数学）已知
⎧x ≥0⎪
x , y 满足⎨y ≤x k (为常数）若, z =x +3y 的最大值为8，则k=_____
⎪2x +y +k ≤0⎩
8．（北京市通州区2013届高三上学期期末考试理科数学试题 ）若x +1>0，则x +
1
的最小值为 ． x +1
9．（北京市丰台区2013届高三上学期期末考试 数学理试题 ）已知直线y =x +b 与平面区域C:⎨
的边界交于A ，B
两点，若AB ≥b 的取值范围是________.
⎧|x |≤2,
⎩|y |≤2
10．（【解析】北京市朝阳区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）若关于x ，y 的不等式组
⎧x …0, ⎪
⎨y …x , （k 是常数）所表示的平面区域的边界是一个直角三角形，则k = . ⎪kx -y +1…0⎩
⎧x ≥0, ⎪11．（【解析】北京市海淀区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）点P (x , y ) 在不等式组 ⎨x +y ≤3, ⎪y ≥x +1⎩
表示的平面区域内，若点P (x , y ) 到直线y =kx -
1的最大距离为k =___.
⎧y ≤x ，⎪
12．（【解析】北京市石景山区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）已知不等式组⎨y ≥-x ，表示的
⎪x ≤a ⎩
平面区域S 的面积为4，则a = ；
若点P (x , y ) ∈S ，则z =2x +y 的最大值为 .
13．（北京市房山区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）某汽车运输公司，购买了一批豪华大客车
投入运营，据市场分析每辆客车运营前n (n ∈N ) 年的总利润S n （单位：万元）与n 之间的关系为
*
S n =-(n -6) 2+11. 当每辆客车运营的平均利润最大时， n 的值为.
北京2013届高三最新模拟试题分类汇编（含9区一模及上学期期末试题精选）专题：不等式参考答
案
一、选择题 1. 【答案】D
解：，当s =3时，对应的平面区域为阴影部分，由z =3x +2y 得
3z 3z
y =-x +，平移直线由图象可知当直线经过点C 时，直线y =-x +的截距最大，此时
2222
⎧x =1⎧x +y =3,
解得⎨，即C (1,2) ，代入z =3x +2y 得z =7。当s =5时，对应的平面区域为阴⎨
⎩y =2⎩y +2x =4
影部分ODE ，由z =3x +2y 得y =-
3z
x +，平移直线由图象可知当直线经过点E 时，直线22
，代入z =3x +2y 得
⎧x =03z ⎧x =0y =-x +的截距最大，此时⎨解得⎨，即E (0, 4)
22y =4⎩⎩y +2x =4
z =8。
所以目标函数z =3x +2y 的最大值的变化范围是7≤z ≤8，即[7,8]，选
D.
，
2. 【答案】B
解：原不等式组等价为⎨
⎧2
，做出不等式组对应的平面区域如图阴影部分，
⎩a +2b
，a +b 表示区域内的动点P (a , b ) 到原点距离的平方，由图象可知当
22
P 在D 点时，a 2+b 2最大，此时a 2+b 2=42=16，原点到直线a +2b -2=
0的距离最小，即
d =
=
44
，所以a 2+b 2=d 2=，即a 2+b 2的取值范围是
553. 答案D 不等式对应的区域为ABE. 圆心为(-1, -1) , 区域中,A 到圆心的距离最小,B 到圆心的距离最大,
所以要使圆不经过区域D, 则有0BC . 由⎨
⎧x =1⎧x =1
得⎨, 即A (1,1). 由
y =1y =x ⎩⎩
⎧x =1⎧x =1
, 得, 即B (1,3).
所以AC =
, BC =,
所以0
或r >, ⎨⎨
⎩y =-x +4⎩y =3
即r
的取值范围是+∞)
, 选D.
二、填空题 4. 【答案】乙
解：设原价为1，则提价后的价格:方案甲：(1+p %)(1+q %), 乙：(1+
p +q 2
%) ，因
为2
，
所
以
≤) 5. 【答案】4
1+p %1+q %p +q
+=+%，因为222p +q p +q (+%即(1) +p %)(11+%q ) (
22
p >q >0
2
，所以提价多的方案是乙。
【解析】因为点P (2,t ) 可行域内，所以做出可行域，由图象可知当当点P 位于直线x +y -3=0时，
即P (2,1)，此时点P
到直线的距离最大为d =
=
20
=4。
5
6. 【答案】-6
⎧x ≥0⎨
y ≤x 的图象。因为z =x +3y 的最大值为8，所以此时x +3y =8，说明此时直线经
【解析】做出⎩
过区域内截距做大的点
，
，即直线2x +y +k =0也经过点B 。由
⎧y =x ⎧x =2⎨⎨
⎩x +3y =8，解得⎩y =2，即B (2,2) ，代入直线2x +y +k =0得，k =-6。
8
7. 【答案】3
【 解析】作出不等式组对应的可行
域
，由z =x +y 得
y =-x +z ，平移直线y =-x +z ，由图象可知当直线y =-x +z 经过点B 时，直线y =-x +z 的截
4⎧x =⎪448⎧2x +y =4, 44⎪3
距最大，此时z 最大。由⎨解得⎨，即B (, ) ，代入z =x +y 得z =+=。
333433⎩x +2y =4，⎪y =
⎪3⎩
8. 【答案】
【 解析】由x +
111
=x +1+-1得，因为x +1>0，所以>0，根据均值
定理得x +1x +1x +1
x +
111
，即(x +1) 2=1，即=x +1+-1≥1=1，当且仅当x +1=
x +1x +1x +11
的最小值为1. x +1
x +1=1, x =0时取等号，所以x +
9. 【答案】[-2, 2]
⎧|x |≤2,
解：不等式⎨对应的区域为
|y |≤2⎩
，因为直线y =x +b 的斜率为1，
由图象可知CD =EF =
AB ≥，则-2≤b ≤2，即b 的取值范围是[-2, 2]。
10. 【答案】-1或
⎧x …0
解：先做出不等式⎨对应的区域，阴影部分。因为直线kx -y +1=0过定点(0,1)，且不等式
⎩y …x
kx -y +1≥0表示的区域在直线kx -y +1=0的下方，所以要使所表示的平面区域是直角三角形，
所以有k =0或直线kx -y +1=0与y =x 垂直，所以k =-1，综上k =0或k =-1。 11. 【答案】±1
解：做出不等式组对应的区域为三角形BCD ，直线y =kx -1过定点(0,-1) ，由图象可知点D (0,3)到直线kx -y -1=0的距离最大，此
时d =
=
=，解得k =±
1。
12. 【答案】2；6
解：如图不等式组对应的平面区域为三角形OBC ，由图象知a >0。其中B (a , a ), C (a , -a ) ，所以
1
BC =2a , 所以三角形的面积为⨯a ⨯2a =a 2=4，所以a =2。由z =2x +y 得y =-2x +z ，平
2
移直线y =-2x +z ，由图象可知当直线y =-2x +z 经过点B 时，直线截距最大，此时z 也最大，
z =2⨯2+2=6。
把B (2,2) 代入z =2x +y 得
13. 5
第六专题：线性规划题（选考）
一、命题规律讲解
1、 求线性（非线性）目标函数最值题 2、 求可行域的面积题
3、 求目标函数中参数取值范围题 4、 求约束条件中参数取值范围题 5、 利用线性规划解答应用题 二、北京历年高考真题实例分析 2010线性规划
（11）若点p （m ，3）到直线4x -3y +1=0的距离为4，且点p 在不等式2x +y ＜3表示的平面区域内，则m= 。
答案-3
【命题意图】本题考查点到线的距离问题和二元一次不等式表示的平面区域问题，和应用方程的思想进行解题的能力。
⎧4m -9+1
=4⎪
【试题解析】由题意可得⎨，解得m=-3 5
⎪2m +3
【2011⋅北京文，7】7．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元。若每批生产x 件，则平均仓储时间为
x
天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储8
费用之和最小，每批应生产产品( ) ．
A ．60件 B ．80件 C ．100件 D ．120件 【答案】B ．
x x 2
【解析】仓库费用⨯x ⨯1=，每件产品的生产准备费用与仓储费用之和
88
2x
+800x 800x 800=，当且仅当即x =80时取等号，所以每批应生产≥20y ==
+
8x x 8x
产品80件，故选择B ．
2012
6．已知为等比数列，下面结论种正确的是
（A ）a 1+a3≥2a 2 （B ）a 1+a 3≥2a 2 （C ）若a 1=a3，则a 1=a2（D ）若a 3＞a 1，则a 4＞a 2
【解析】当a 10，所以A 选项错误；当q =-1时，C 选项错误：当q a 1⇒a 3q
2．设a ，b ，c ∈R ，且a >b ，则（ ）
2
2
2
A ．ac >bc B ．
11
b 2 D ．a 3>b 3 a b
答案：D
解析：A 选项中若c 小于等于0则不成立，B 选项中若a 为正数b 为负数则不成立，C 选项中若a ，b 均为负数则不成立，故选D.
⎧x ≥0⎪
12．设D 为不等式组⎨2x -y ≤0所表示的平面区域，区域D 上
⎪x +y -3≤0⎩
的点与点(1,0)之间的距离的最小值为 。 12．
解析：区域D 表示的平面部分如图阴影所示：
根据数形结合知(1,0)到D 的距离最小值为(1,0)到直线2x －y ＝0的
=
三、必考知识点及题型讲解
题型一、求线性（非线性）目标函数最值题 一、必考知识点讲解
1．线性规划问题涉及如下概念：
⑴存在一定的限制条件，这些约束条件如果由x 、y 的一次不等式（或方程）组成的不等式组来表示，称为线性约束条件.
⑵都有一个目标要求，就是要求依赖于x 、y 的某个函数（称为目标函数）达到最大值或最小值. 特殊地，若此函数是x 、y 的一次解析式，就称为线性目标函数.
⑶求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题，统称为线性规划问题. ⑷满足线性约束条件的解（x ，y ）叫做可行解. ⑸所有可行解组成的集合，叫做可行域.
⑹使目标函数取得最大值或最小值的可行解，叫做这个问题的最优解. 2．线性规划问题有以下基本定理：
⑴ 一个线性规划问题，若有可行解，则可行域一定是一个凸多边形. ⑵ 凸多边形的顶点个数是有限的.
⑶ 对于不是求最优整数解的线性规划问题，最优解一定在凸多边形的顶点中找到. 3. 线性规划问题一般用图解法. (四) 圆的有关问题
线性规划问题在近几年全国各省市的高考试题中，都是以选择题或填空题的形式呈现的；考查内容除了常见的截距型、距离型和斜率型问题外，还出现了求平面区域的面积、求约束条件中的参变量范围以及求目标函数中的参变量范围等问题，集中体现了化归思想、数形结合思想以及运动变化思想等等；不仅考查了学生的画图、识图能力，还对学生的观察能力、联想能力以及推理能力提出了较高的要求.
二、经典例题分析
一、 线性约束条件下线性函数的最值问题
线性约束条件下线性函数的最值问题即简单线性规划问题，它的线性约束条件是一个二元一次不等式组，目标函数是一个二元一次函数，可行域就是线性约束条件中不等式所对应的方程所表示的直线所围成的区域，区域内的各点的点坐标(x , y )即简单线性规划的可行解，在可行解中的使得目标函数取得最大值和最小值的点的坐标(x , y )即简单线性规划的最优解。
⎧x -4y ≤-3
⎪
例1 已知⎨3x +5y ≤25，z =2x +y ，求z 的最大值和最小
⎪x ≥1⎩
值
⎧x -4y ≤-3⎪
约束条件：⎨3x +5y ≤25 ，是关于x , y 的一个二元一次不等
⎪x ≥1⎩
式组；
目标函数：z =2x +y ，是关于x , y 的一个二元一次函数；
可行域：是指由直线x -4y =-3，3x +5y =25和x =1所围成的一个三角形区域（包括边界）U （如图1）；
图
1
可行解：所有满足(x , y )∈U （即三角形区域内（包括边界）的点的坐标）实数x , y 都是可行解； 最优解：(x , y )∈U ，即可行域内一点(x , y )，使得一组平行线x +y -z =0（z 为参数）中的z 取得最大值和最小值时，所对应的点的坐标(x , y )就是线性规划的最优解。
当线性约束条件中的二元一次不等式组中出现一个二元一次方程（或一元一次方程）时，则可行域就转变成一条线段（或一条直线，或一条射线）。
例2 和最小值
⎧x +y =1
⎪
已知x , y 满足⎨2x +4y ≥1，求x -5y 的最大值
⎪x -2y ≥-6⎩
2x +⎧x +y =1⎪
约束条件：⎨2x +4y ≥1，是关于x , y 的一个二元一次不
⎪x -2y ≥-6⎩
等式组；
目标函数：z =x -5y ，是关于x , y 的一个二元一次函数；
可行域：是指由直线x +y =1被直线x -2y =-6和
2x +4y =1所夹的一条线段AB （如图1）；
可行解：所有满足(x , y )∈AB （即线段上的点的坐标）实数x , y 都是可行解；
图 2
最优解：(x , y )∈U ，即可行域内一点(x , y )，使得一组平行线x -5y -z =0（z 为参数）中的z 取得最大值和最小值时，所对应的点的坐标(x , y )就是线性规划的最优解。
这类问题的解决，关键在于能够正确理解线性约束条件所表示的几何意义，并画出其图形，利用简单线性规划求最优解方法求出最优解及目标函数的最大值或最小值。
二、 非线性约束条件下线性函数的最值问题
高中数学中的最值问题很多可以转化为非线性约束条件下线性函数的最值问题。它们的约束条件是一个二元不等式组，目标函数是一个二元一次函数，可行域是直线或曲线所围成的图形（或一条曲线段），区域内的各点的点坐标(x , y )即可行解，在可行解中的使得目标函数取得最大值和最小值的点的坐标
(x , y )即最优解。
例3 已知x , y 满足，x 2+y 2=4，求3x +2y 的最大值和最小值 约束条件：x 2+y 2=4，是关于x , y 的一个二元二次方程； 目标函数：z =3x +2y ，是关于x , y 的一个二元一次函数； 可行域：是圆x 2+y 2=4上的圆周U （如图3） 可行解：所有满足(x , y )∈U （即圆周上的点的坐标）实数
x , y 都是可行解；
最优解：(x , y )∈U ，即可行域内一点(x , y )，使得一组平行线3x +2y -z =0（z 为参数）中的z 取得最大值和最小值时，所对应的点的坐标(x , y )就是线性规划的最优解。
给定区间内的函数最值问题也可以看作是这类问题。
4
(x ∈[1,5])的最大值和最小值。 x
⎧1≤x ≤5⎪
约束条件：⎨4是关于x , y 的一个二元不等式组；
y =x +⎪x ⎩
目标函数：z =y 是关于x , y 的一个二元一次函数；
4
可行域：函数y =x +的图象在直线x =1和x =5之间
x
的部分曲线U （如图4）
可行解：所有满足(x , y )∈U
（即曲线段上的点的坐标）实数x , y 都
例4 求函数y =x +是可行解；
最优解：(x , y )∈U ，即可行域内一点(x , y )，使得一组平行线
图 3
y -z =0（z 为参数）中的z 取得最大值和最小值时，所对应的点的坐标
(x
, y )就是线性规划的最优解。
图 4
这类问题的解决，关键在于能够正确理解非线性约束条件所表达的几何意义，并画出其图形，利用简单线性规划求最优解方法求出最优解及目标函数的最大值或最小值。
三、 线性约束条件下非线性函数的最值问题 这类问题也是高中数学中常见的问题，它也可以用线性规划的思想来进行解决。它的约束条件是一个二元一次不等式组，目标函数是一个二元函数，可行域是直线所围成的图形（或一条线段），区域内的各点的点坐标(x , y )即可行解，在可行解中的使得目标函数取得最大值和最小值的点的坐标(x , y )即最优解。
例5
⎧x +y -1≤0
⎪
已知实数x , y 满足不等式组⎨x -y +1≥0，求
⎪y ≥-1⎩
x 2+y 2-4x -4y +8的最小值。
⎧x +y -1≤0⎪
约束条件：⎨x -y +1≥0是一个关于x , y 的一个二元一次不
⎪y ≥-1⎩
等式组；
目标函数：z =x +y -4x -4y +8是一个关于x , y 的一个二元二次函数，可以看作是一点(x , y )到点(2,2)的距离的平方；
2
2
可行域：是指由直线x +y -1=0，x -y +1=0和y =-1所围成的一个三角形区域（包括边界）U （如图5）；
可行解：所有满足(x , y )∈U （即三角形区域（包括边界）内的点的坐标）实数x , y 都是可行解； 最优解：(x , y )∈U ，即可行域内一点(x , y )，使得它到点(2,2)的距离最小，则其距离的平方也取得最小值，此时所对应的点的坐标(x , y )就是最优解。
⎧y ≥0
y -1⎪
例6 实数x , y 满足不等式组⎨x -y ≥0，求x +
1⎪2x -y -2≥0
⎩
⎧y ≥0⎪
约束条件：⎨x -y ≥0是一个关于x , y ⎪2x -y -2≥0⎩
组；
目标函数：z =x 2+y 2-4
x -4y +8是一个关于x , y 数，可以看作是一点(x , y )与点(-1,1)的斜率；
可行域：是指由直线y =0，x -y =0和2x -y -2=0个三角形区域（包括边界）U （如图6）；
可行解：所有满足(x , y )∈U 的坐标）实数x , y 都是可行解； 点的坐标(x , y )就是最优解。
图 6
最优解：(x , y )∈U ，即可行域内一点(x , y )，使得它与点(2,2)的斜率取得最小值，此时所对应的
这类问题的解决，关键在于能够正确理解非线性目标函数所表示的几何意义，并利用图形及非线性目标函数所表示的几何意义求出最优解及目标函数的最大值或最小值。
四、 非线性约束条件下非线性函数的最值问题
在高中数学中还有一些常见的问题也可以用线性规划的思想来解决，它的约束条件是一个二元不等式组，目标函数也是一个二元函数，可行域是由曲线或直线所围成的图形（或一条曲线段），区域内的各点的点坐标(x , y )即可行解，在可行解中的使得目标函数取得最大值和最小值的点的坐标(x , y )即最优解。
例7
已知x , y 满足y =y
的最大值和最小值 x +2
约束条件：y =x , y 的一个二元方程； 目标函数：z =
y
是一个关于x , y 的一个二元函数，可以看作是一x +2
点(x , y )与点(-2,0)的斜率；
可行域：以原点为圆心，1为半径的在x 轴上方的半圆及与x 轴的交点
U （如图7）；
可行解：所有满足(x , y )∈U （即半圆（包括交点）上的点的坐标）实数x , y 都是可行解；
图 7
最优解：(x , y )∈U ，即可行域内一点(x , y )，使得它与点(-2,0)的斜率取得最大值和最小值，此时所对应的点的坐标(x , y )就是最优解。
这类问题的解决，关键在于能够正确理解非线性约束条件与非线性目标函数所表示的几何意义，利用非线性约束条件作出图形并利用非线性目标函数所表示的几何意义求出最优解及目标函数的最大值或最
小值。
利用线性规划思想去理解高中数学中一些求最值问题，实际上是对数学形结合思想的提升，利用线性或非线性函数的几何意义，通过作图解决最值问题。是从一个新的角度对求最值问题的理解，对于学生最优化思想的形成是非常有益的。
1. “截距”型考题方法：求交点求最值
在线性约束条件下，求形如z =ax +by (a , b ∈R ) 的线性目标函数的最值问题，通常转化为求直线在y 轴上的截距的取值. 结合图形易知，目标函数的最值一般在可行域的顶点处取得. 掌握此规律可以有效避免因画图太草而造成的视觉误差.
⎧y ≤2⎪
1. 【2012年高考·广东卷 理5】已知变量x , y 满足约束条件⎨x +y ≥4，则z =3x +y 的最大值为( )
⎪x -y ≤1⎩
(A ) 12 (B ) 11 (C ) 3
(D ) -1
5322
1、选B 【解析】约束条件对应∆ABC 内的区域(含边界) ，其中A (2,2), B (3,2), C (, ) 画出可行域，结合图形和z 的几何意义易得z =3x +y ∈[8,11]
⎧x -y ≤10⎪
2. (2012年高考·辽宁卷 理8) 设变量x , y 满足⎨0≤x +y ≤20，则
⎪0≤y ≤15⎩2x +3y 的最大值为
A ．20 B ．35 C ．45 D ．55
2、选D ； 【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由图知目标函数过点A (5,15)时，2x +3y 的最大值为55，故选D.
3.(2012年高考·全国大纲卷 理13) 若x , y 满足约束条件
⎧x -y +1≥0⎪⎪
⎨x +y -3≤0，则z =3x -y 的最小值为 。 ⎪⎪⎩x +3y -3≥0
3、答案：-1
【解析】利用不等式组，作出可行域，可知区域表示的为三角形，当目标函数过点(3,0)时，目标函数最大，当目标函数过点(0,1)时最小为-1.]
⎧ln x , x >04. 【2012年高考·陕西卷 理14】 设函数f (x ) =⎨，D 是由x 轴和曲线y =f (x ) 及该
⎩-2x -1, x ≤0
曲线在点(1,0)处的切线所围成的封闭区域，则z =x -2y 在D 上的最大值为 ．
4、答案2； 【解析】当x > 0时，f (x )=
'
1
，f ' (1)=1， x
∴曲线在点(1,0)处的切线为y =x -1，则根据题意可画出可行域D 如右图： 目标函数y =
11
x -z ， ∴当x =0，y =-1时，z 取得最大值2 22
5. 【2012年高考·江西卷 理8】某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50计，投入资金不超过54
为使一年的种植总利润（总利润=总销售收入 总种植成本）最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积（单位：亩）分别为（ ）
A ．50，0 B ．30，20 C ．20，30 D ．0，50
5、选B ；【解析】本题考查线性规划知识在实际问题中的应用，同时考查了数学建模的思想方法以及实践能力. 设黄瓜和韭菜的种植面积分别为x 、y 亩，总利润为z 万元， 则目标函数为
⎧x +y ≤50,
⎪1.2x +0.9y ≤54, ⎪
z =(0.55⨯4x -1.2x ) +(0.3⨯6y -0.9y ) =x +0.9y . 线性约束条件为 ⎨
⎪x ≥0, ⎪⎩y ≥0. ⎧x +y ≤50,
⎪4x +3y ≤180, ⎪即⎨作出不等式组表示的可行域,
x ≥0, ⎪⎪⎩y ≥0.
易求得点A (0,50), B (30,20), C (0,45). 平移直线z =x +0.9y ，可知当直线z =x +0.9y ，经过点B (30,20)，
即x =30, y =20时 z 取得最大值，且z max =48（万元）. 故选B.
点评：解答线性规划应用题的一般步骤可归纳为：
(1)审题——仔细阅读，明确有哪些限制条件，目标函数是什么？ (2)转化——设元．写出约束条件和目标函数;
(3)求解——关键是明确目标函数所表示的直线与可行域边界直线斜率间的关系； (4)作答——就应用题提出的问题作出回答．
6. (2012年高考·四川卷 理9 ) 某公司生产甲、乙两种桶装产品. 已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克，B 原料1千克. 每桶甲产品的利润是300元，每桶
B 原料都不超过12千克. 通乙产品的利润是400元. 公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A 、
过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是（ ）
A 、1800元 B 、2400元 C 、2800元 D 、3100元
6、答案C 【解析]】 设公司每天生产甲种产品X 桶，乙种产品Y 桶，公司共可获得利润为Z 元/天，则
⎧X +2Y ≤12⎪2X +Y ≤12⎪
由已知，得 Z=300X+400Y，且⎨，画可行域如图所
⎪X ≥0⎪⎩Y ≥0
示，
目标函数Z=300X+400Y可变形为Y=-
3z
x + 4400
这是随Z 变化的一族平行直线，解方程组⎨
⎧x =4⎧2x +y =12
，∴⎨ ，即A （4,4）
⎩y =4⎩x +2y =12
∴Z max =1200+1600=2800
⎧x ≥0⎪
7. (2012年高考·安徽卷 理11) 若x , y 满足约束条件：⎨x +2y ≥3；则x -y 的取值范围为_____.
⎪2x +y ≤3⎩
7、答案[-3,0]； 【解析】约束条件对应∆ABC 内的区域(含边界) ，其中A (0,3),B (0,), C (1,1)，画出可行域，结合图形和t 的几何意义易得t =x -y ∈[-3,0]
8．(2012年高考·山东卷 理5) 的约束条件⎨
A ． [-
3
2
⎧2x +y ≤4
，则目标函数z=3x－y 的取值范围是
4x -y ≥-1⎩
3
，6] 2
B ．[-
33，－1] C ．[－1，6] D ．[－6，] 22
1
2
8、选A ； 【解析】 作出可行域和直线l ：3x -y =0，将直线l 平移至点(2, 0) 处有最大值，点(, 3) 处有最小值，即-
3
≤z ≤6. ∴应选A. 2
⎧x , y ≥0⎪
2的取值范围为 . 9．(2012年高考·新课标卷 理14) 设x , y 满足约束条件：则z =x -y ⎨x -y ≥-1；
⎪x +y ≤3⎩
9、答案[－3，3]；【解析】约束条件对应区域为四边形OABC 内及边界，其中
O (0,0),A (0,1),B (1,2),C (3,0)，则z =x -2y ∈[-3,3]
2 . “距离”型考题方法：求交点求最值
⎧x ≥1⎪
10. 【2010年高考·福建卷 理8】 设不等式组⎨x-2y+3≥0所表示的平面区域是Ω1, 平面区域是Ω2与Ω1关
⎪y ≥x ⎩
于直线3x -4y -9=0对称, 对于Ω1中的任意一点A 与Ω2中的任意一点B, |AB |的最小值等于( )
A.
2812
B.4 C. D.2 55
10、选B ；【命题意图】本题考查不等式中的线性规划以及两个图形间最小距离的求解、基本公式（点到
直线的距离公式等）的应用，考查了转化与化归能力。
【解析】由题意知，所求的|AB |的最小值，即为区域Ω1中的点到直线3x -4y -9=0的距离的最小值的两倍，画出已知不等式表示的平面区域，如图所示，可看出点（1，1）到直线3x -4y -9=0的距离最小，故|AB |的最小值为2⨯
|3⨯1-4⨯1-9|
=4，所以选B 。
5
评注：在线性约束条件下，求分别在关于一直线对称的两个区域内的两点距离的最值问题，通常转化为求其中一点(x，y) 到对称轴的距离的的最值问题。结合图形易知，可行域的顶点及可行域边界线上的点是求距离最值的关键点.
⎧0≤x ≤2,
11. ( 2012年高考·北京卷 理2) 设不等式组⎨，表示平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，
0≤y ≤2⎩
则此点到坐标原点的距离大于2的概率是
A
ππ-2π4-π
B C D
24 46
⎧0≤x ≤2
11、选D ；【解析】题目中⎨表示的区域为正方形，如图所示，而动点M 可
0≤y ≤2⎩
以存在的位置为正方形面积减去四分之一圆的面积部分，
1
2⨯2-π⋅22
4-π因此 P =，故选D. =
2⨯24
3. “斜率”型考题方法：现求交点，再画图 （包括90取两边，不包括90取中间）
当目标函数形如z =
y -a
时, 可把z 看作是动点P (x , y ) 与定点Q (b , a ) 连线的斜率，这样目标函数的x -b
最值就转化为PQ 连线斜率的最值。
12. 【2008年高考·福建卷 理8】 若实数x 、y 满足⎨
A.(0,1) B. (0,1]
⎧x -y +1≤0y
, 则的取值范围是 （ ）
x ⎩x >0
D. [1, +∞)
C.(1,+∞)
12、选C ；【解析】如图，阴影部分为不等式所对应的平面区域，
y
表示平面区x
域内的动点(x , y ) 与原点O (0,0)之间连线的斜率，由图易知，
评注：在线性约束条件下，对于形如z =
y
∈(1, +∞)，选C . x
y -b
(a , b ∈R ) 的目标函数的取值问题，通常转化为求点x -a
(x , y ) 、(a , b ) 之间连线斜率的取值. 结合图形易知，可行域的顶点是求解斜率取值问题的关键点. 在本
题中，要合理运用极限思想，判定
y
的最小值无限趋近于1. x
b
的取a
c ln b ≥a +c ln c ，则b ，c 满足：5c -3a ≤b ≤4c -a ，13. （2012年高考·江苏卷 14）已知正数a ，
值范围是 ．
⎧a b
⎪3⋅+≥5⎪c c ⎪a b
c ln b ≥a +c ln c 可化为：⎨c +c ≤4. 13、答案[e ，【解析】条件5c -3a ≤b ≤4c -a ， 7]；
⎪
a ⎪b ⎪≥e c ⎩c
⎧3x +y ≥5⎪x +y ≤4
a b y ⎪
设=x ，y =，则题目转化为：已知x ，求的取值范围. ，y 满足⎨x
c c x y ≥e ⎪
⎪x >0，y >0⎩
作出（x ，求出y =e x 的切线的，y ）所在平面区域（如图）斜率e ，设过切点P (x 0，y 0)的切线为y =ex +m (m ≥0)， 则
y 0ex 0+m m
==e +，要使它最小，须m =0. x 0x 0x 0
∴
y
的最小值在P (x 0，y 0)处，为e . 此时，点P (x 0，y 0)在x
y =e x 上A , B 之间. 当（x ，y ）对应点C 时，
⎧y =4-x ⎧5y =20-5x y y
⇒⇒y =7x ⇒=7，∴的最大⎨⎨
x x ⎩y =5-3x ⎩4y =20-12x
值在C 处，最大值为7. ∴
b y
的取值范围为[e ， 7]， 即的取值范围是[e ， 7]
a x
2. 求可行域的面积题
一、必考知识点讲解
本题涉及双重约束条件，解题的关键是采用换元的思想去寻求平面区域B 所对应的约束条件，从而准确画出相应的平面区域.
二、经典例题分析 14. 【2012年高考·重庆卷 理10】设平面点集
⎧1⎫
A =⎨(x , y ) (y -x )(y -) ≥0⎬, B =(x , y ) (x -1) 2+(y -1) 2≤1，则A B 所表示的平面图形的面积
x ⎩⎭
{}
为
A
14、选D ；【解析】由对称性：y ≥x , y ≥
334π
π B π C π D 4572
1
,(x -1) 2+(y -1) 2≤1围成的面积与x
1
,(x -1) 2+(y -1) 2≤1围成的面积相等，得：A B 所表示的平面图形的面积为x
1π
y ≤x ,(x -1) 2+(y -1) 2≤1围成的面积既⨯πR 2=
22y ≤x , y ≥
15. （2007年高考·江苏卷 理10）在平面直角坐标系xOy ，已知平面区域A ={(x , y ) |x +y ≤1,
且x ≥0, y ≥0}，则平面区域B ={(x +y , x -y ) |(x , y ) ∈A }的面积为 （ ）
11
D ． 24
11
15、选B ；【解析】令a =x +y , b =x -y ，则x =(a +b ), y =(a -b ) 22
A ．2 B ．1 C ．
代入集合A ，易得a +b ≥0, a -b ≥0, a ≤1部分，则平面区域的面积为
图 5
1
×2×1＝1，∴选B . 2
面区域B 所对应的约束条件，从而准确画出相应的平面区域.
⎧x ≤0⎪
16. （2008年高考·安徽卷 理15） 若A 为不等式组⎨y ≥0表示的平面区域，则当a 从－2连续变化到
⎪y -x ≤2⎩
1时，动直线x +y =a 扫过A 中的那部分区域的面积为.
图6
7
16、答案；【解析】如图，阴影部分为不等式组表示的平面区域A ，
4
其中： l :x +y =a , l 1:x +y =-2, l 2:x +y =1.
当a 从－2连续变化到1时，动直线l 扫过的平面区域即为l 1与l 2之间的平面区域，则动直线l 扫过A
中的那部分平面区域的面积即为四边形
x
BOCD 的面积，由图易知，其面积为：S =S
7. ADC
4
评注：本题所求平面区域即为题设平面区域A 与动直线x +y =a 在a 从－2连续变化到1时扫过的
ABO -S
=
平面区域之间的公共区域，理解题意，准确画图是解题的关键.
⎧x ≥0
4⎪
y =kx +x +3y ≥417. （2009年高考·安徽卷 理7） 若不等式组⎨所表示的平面区域被直线分
3⎪3x +y ≤4
⎩
为面积相等的两部分，则k 的值是 （A ）
7343 （B ） （C ） （D ） 高 3734
17、选A ； 【解析】不等式表示的平面区域如图所示阴影部分△ABC
⎧x +3y =44
由⎨得A （1，1），又B （0，4），C （0，）
3⎩3x +y =4
144
(4-) ⨯1=，设y =kx 与3x +y =4的交点为D ， 233
1215
则由S ∆BCD =S ∆ABC =知x D =，∴y D =， ∴
2322
5147
=k ⨯+, k =，选A. 2233
∴S
△ABC
=
图7
x
⎧x ≥0, ⎪
18. （2008年高考·浙江卷 理17）若a ≥0, b ≥0，且当⎨y ≥0, 时，恒有
⎪x +y ≤1⎩
ax +by ≤1，则以a ,b 为坐标点P (a , b ) 所形成的平面区域的面积等于
__________.
18、答案1；【解析】如图，阴影部分为不等式组表示的平面区域， 要使得恒有ax +by ≤1成立，只须
平面区域顶点A , O , B 的坐标都满足不等式ax +by ≤1，易得0≤a ≤1,0≤b ≤1, 所以P (a , b ) 所形成的平面区域的面积等于1.
评注：本题是线性规划背景下的不等式恒成立问题，只须考虑可行域的顶点即可. 作为该试卷客观题的最后一题，熟悉的题面有效避免了学生恐惧心理的产生，但这并不等于降低了对数学能力、数学思想方法的考查，真可谓简约而不简单.
3. 求目标函数中参数取值范围题 一、必考知识点讲解
规律方法：目标函数中含有参数时，要根据问题的意义，转化成“直线的斜率”、“点到直线的距离”等模型进行讨论与研究.
二、经典例题分析
⎧x +2y -19≥0，⎪
21. （2008年高考·山东卷 理12）设二元一次不等式组⎨x -y +8≥0，所表示的平面区域为M ，使函
⎪2x +y -14≤0⎩
数y =a x (a >0，a ≠1) 的图象过区域M 的a 的取值范围是（ ） A ．[1，3] B ．[2，] C ．[2，9] D ．[，9]
21、选C ；【解析】区域M 是三条直线相交构成的三角形（如图）,
其中A (1,9),B (3,8),C (2,10)，使函数y =a x (a >0，a ≠1) 的图象过区域M , 由图易知a >1，只须区域M 的顶点A , B 不位于
y
函数y =a 图象的同侧，即不等式(a -9) ⋅(a -8) ≤0(a ＞0，a ≠1)恒成立，即2≤a ≤9.
评注：首先要准确画出图形；其次要能结合图形对题意进行等价转化；最后要能正确使用“同侧同号、异侧异号”的规律.
x 3
⎧x +y -11≥0⎪x
22. （2010年高考·北京卷 理7）设不等式组 ⎨3x -y +3≥0表示的平面区域为D ，若指数函数y=a 的
⎪5x -3y +9≤0⎩
图像上存在区域D 上的点，则a 的取值范围是
A (1，3] B [2，3] C (1，2] D [ 3， +∞]
22、选A ；【解析】这是一道略微灵活的线性规划问题，作出区域D 的图象，联系指数函数y =a 的图象，能够看出，当图象经过区域的边界点（2，9）时，a 可以取到最大值3，而显然只要a 大于1，图象必然经过区域内的点.
x
⎧x +y ≥1⎪
25. （2009年高考·陕西卷 理11）若x ，y 满足约束条件⎨x -y ≥-1，目标函数z =ax +2y 仅在点（1，0）
⎪2x -y ≤2⎩
处取得最小值，则a 的取值范围是 （ ）
A ．（-1，2） B ．（-4，2） C ．(-4,0] D ． (-2, 4)
25、选B ；【解析】如图，阴影部分△ABC 为题设约束条件所对应的可行
域，其中A(1，0) ，B (3,4) ，C (0,1)，
a 法一：，目标函数z =ax +2y 对应直线l ，直线l 的斜率为-，在y
2
轴上的截距为
x
z
. ∵目标函数恰好在点(1，0) 处取得最小值，
2
∴直线l 落在的直线x ＋y =1按逆时针方向旋转到直线2x －y =2的位置所扫过的区域，根据直线倾
a
斜角与直线斜率的关系，可得－12
法二：根据题意，目标函数z (x , y ) =ax +2y 仅在点（1，0）处取得最小值，则有z (0,1)>z (1,0),且，答案选B . z (0,1)>z (3,4)，解之得a 的取值范围是（-4，2 ）
评注：本题是以截距为背景，求满足题意的目标函数中所含的未知参数，对于这类问题，关键是要
抓住可行域的顶点就是取到最值的点.
⎧y ≥x ⎪
26. （2011年高考·湖南卷 理7）设m >1，在约束条件⎨y ≤m x 下，目标函数z=x+my的最大值小于2，
⎪x +y ≤1⎩
则m 的取值范围为
A ．(1, 1+2) B ．(1+2, +∞) C ．（1，3） D ．(3, +∞)
26、选A ；【解析】在平面直角坐标系中作出直线y ≥x 和x +y ≤1，再作出直线y ≤mx (m >1)，由图可
1m 1m 知目标函数z=x+my在点（，）处取得最大值z max =，由已知可解+
m +1m +1m +1m +1
m .
4. 求约束条件中参数取值范围题
一、必考知识点讲解
规律方法：当参数在线性规划问题的约束条件中时，作可行域，要注意应用“过定点的直线系”知识，使直线“初步稳定”，再结合题中的条件进行全方面分析才能准确获得答案.
二、经典例题分析
2
⎧x +y -1≥0⎪
19. （2009年高考·福建卷 文9）在平面直角坐标系中，若不等式组⎨x -1≤0（α为常数）所表示的
⎪ax -y +1≥0⎩
平面区域内的面积等于2，则a 的值为
A. －5 B. 1
⎧⎪
19、选D ；【解析】 作出不等式组⎨⎪⎩
意可知，公共区域的面积为2；∴得a =3，故选D.
点评：该题在作可行域时，若能抓住直线方程ax -系”产生联系，就会明确ax -
y +1=0中含有参数a 这个特征，迅速与“直线
y +1=0可变形为y -1=ax 的形式，则此直线必过定点(0，1) ；此时可
行域的“大致”情况就可以限定，再借助于题中的其它条件，就可轻松获解.
⎧x +y -3≤0⎪x
20. 【2012年高考·福建卷 理9】若直线y =2上存在点(x , y ) 满足约束条件⎨x -2y -3≤0，则实数m
⎪x ≥m ⎩
的最大值为（ ）
A ．
13
B ．1 C ． D ．2 22
20、选B ；分析：本题考查的知识点为含参的线性规划，需要画出可
行域的图形，含参的直线要能画出大致图像. 解答：可行域如图：所
⎧x +y -3≤0⎪
以，若直线y =2x 上存在点(x , y ) 满足约束条件⎨x -2y -3≤0，
⎪x ≥m ⎩
m
则3-m ≥2，即m ≤1。
评注：题设不等式组对应的平面区域随参数m 的变化而变化，先局部后整体是突破的关键.
⎧x -2y +5≥0⎪
23（. 2007年高考·浙江卷 理17）设m 为实数，若{(x , y ) ⎨3-x ≥0}⊆{(x , y ) |x 2+y 2≤25}，则m
⎪mx +y ≥0⎩
的取值范围是___________.
44
23、答案[0,]；【解析】 如图10，直线l :y =-mx , l 1:y =-x ，由
33
题意，要使得不等式组表示的区域包含在圆的内部，则直线l 应位于直
4
线l 1与x 轴之间（包括直线l 1及x 轴），即-≤-m ≤0，所以m 的取
3
4
值范围是[0,.
3
评注：由集合之间的包含关系到对应平面区域之间的包含关系是解决本题的第一突破口；另外，在直线l 的旋转变化中，确定关键的两个
x
特殊位置l 1、x 轴是解决本题第二突破口，这对考生的想象能力、数形结合能力都提出了非常高的要求.
⎧x +3y -3≥0, ⎪
24. （2010年高考·浙江卷 理7） 若实数x ，y 满足不等式组⎨2x -y -3≤0, 且x +y 的最大值为9，则
⎪x -my +1≥0, ⎩
实数m =
A -2 B -1 C 1 D 2
24、选C ；【思路点拨】画出平面区域，利用x +y 的最大值为9，确定区域的边界．
【规范解答】选C ．令z =x +y ，则y =-x +z ，z 表示斜率为-1的直线在y 轴上的截距．当z 最大值为9时， y =-x +z 过点A ，因此x -my +1=0过点A ， 所以m =1．
5. 其它型考题
⎧3x -y -6≤0
⎪
27. （2009年高考·山东卷 理12） 设x ，y 满足约束条件⎨x -y +2≥0 ，若目标函数
⎪x ≥0, y ≥0⎩
23
z =ax +by (a >0, b >0) 的值是最大值为12，则+的最小值为（ ）
a b
25811A. B. C. D. 4
633
27、选A ；【解析】如图，阴影部分为约束条件表示的平面区域，其中A ，显然，当直线ax +by =z 过点B (4,6)时，目标函数z =ax +by (a >0, b >0) 取得最大值12，即4a +6b =12，
23232a +3b 13b a 1325+=(+) =+(+) ≥+2=，选A . a b a b 66a b 66
评注：本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题. 要求能准确地画出不等式表示的平面区域，并根据图形建立关于参数
x
23
a , b 的等式；求+的最小值时，常先用乘积进行等价变形，进而用基本
a b
不等式解答.
⎧2x -y +2≥0⎪
28. （2010年高考·安徽卷 理13）设x , y 满足约束条件⎨8x -y -4≤0，若目标函数
⎪x ≥0 , y ≥0⎩
z =abx +y (a >0, b >0) 的最大值为8，则a +b 的最小值为________.
28、答案4； 【解析】不等式表示的区域是一个四边形，4个顶点是(0,0),(0,2),(,0),(1,4) ，由图易知，目标函数在(1,4) 取最大值8，所以8=ab +4⇒ab =
4，所以a +b ≥=4，在a =b =2时是等号成立. 所以a +b 的最小值为4.
综上可知，解决线性规划问题，首先要弄清题意；其次要准确画图、识图；最后是合理联想与转化，并充分挖掘方法和规律.
三、求可行域中整点个数
12
例3、满足|x|＋|y|≤2的点（x ，y ）中整点（横纵坐标都是整数）有（ ） A 、9个 B 、10个 C 、13个 D 、14个
⎧x +y ≤2⎪x -y ≤2⎪
解：|x|＋|y|≤2等价于⎨
⎪-x +y ≤2⎪⎩-x -y ≤2
(x ≥0, y ≥0)
(x ≥0, y 0)
(x 0, y ≥0) (x 0, y 0)
作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界），容易得到整
点个数为13个，选D
6、 利用线性规划解答应用题 一、必考知识点讲解
点评：解答线性规划应用题的一般步骤可归纳为：
(1)审题——仔细阅读，明确有哪些限制条件，目标函数是什么？ (2)转化——设元．写出约束条件和目标函数;
(3)求解——关键是明确目标函数所表示的直线与可行域边界直线斜率间的关系； (4)作答——就应用题提出的问题作出回答．
二、经典例题分析 6. (2012年高考·四川卷 理9 ) 某公司生产甲、乙两种桶装产品. 已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克，B 原料1千克. 每桶甲产品的利润是300元，每桶
B 原料都不超过12千克. 通乙产品的利润是400元. 公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A 、
过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是（ ）
A 、1800元 B 、2400元 C 、2800元 D 、3100元
6、答案C 【解析]】 设公司每天生产甲种产品X 桶，乙种产品Y 桶，公司共可获得利润为Z 元/天，则由已知，得 Z=300X+400Y，
⎧X +2Y ≤12⎪2X +Y ≤12⎪且⎨，画可行域如图所示， ⎪X ≥0⎪⎩Y ≥0
3z
目标函数Z=300X+400Y可变形为Y=-x +
4400
⎧x =4⎧2x +y =12
这是随Z 变化的一族平行直线，解方程组⎨ ，∴⎨ ，即A （4,4）
y =4x +2y =12⎩⎩∴Z max =1200+1600=2800
四、近三年各区模拟题 2010年模拟题
1. （东城·文·题4）
⎧x ≥1⎪
已知变量x , y 满足⎨y ≤2，则x +y 的最小值为（ ）
⎪x -y ≤0⎩
A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 【解析】 A ；
不等式组所表示的平面区域如下图如示，当x =1, y =1时，x +y 有最小值2．
⎧y
下面四个点中，在平面区域⎨内的点是（ ）
y >-x ⎩
A ．(0,0) B ．(0,2) C ．(-3, 2) D ．(-2, 0) 【解析】 B ；
直接将坐标代入即得．
2. （西城·理·题7）
⎧⎧y ≤x +1⎫
⎧⎫⎧y ≤-|x |+1⎪⎪⎪⎪⎪
已知平面区域Ω=⎨(x , y ) ⎨y ≥0⎬, M =⎨(x , y ) ⎨向区域Ω内随机投一点P ，点P 落在⎬，
y ≥0⎩⎪⎪⎪⎪x ≤1⎪⎩⎭
⎩⎩⎭
区域M 内的概率为（ ）A ．
1112
B ． C ． D ． 4233【解析】 C ；
如图，阴影部分大的等腰直角三角形区域为Ω，小的等腰直角三角形区域为M ，由面积比知
1P =．
2
3. （海淀·文·题11）
⎧y ≤x ⎪
已知不等式组⎨y ≥-x ，表示的平面区域的面积为4，点P (x , y )在所给平面区域内，则z =2x +y 的最
⎪x ≤a ⎩
大值为______． 【解析】 6；
可行域面积为a ，∴a =2
因此当x =2, y =2时，2x +y 取最大值，为6．
2
2011年模拟题
⎧3x -y -6≤0⎪
2.(2009山东卷理) 设x ，y 满足约束条件⎨x -y +2≥0 ，
⎪x ≥0, y ≥0⎩
若目标函数z=ax+by（a>0，b>0）的值是最大值为12，
23
+的最小值为( ). a b 25811A. B. C. D. 4
633
则
【解析】:不等式表示的平面区域如图所示阴影部分, 当直线ax+by= z（a>0，b>0） 过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点（4,6）时, 目标函数z=ax+by（a>0，b>0）取得最大12, 即4a+6b=12,即2a+3b=6, 而答案:A
23232a +3b 13b a 1325+=(+) =+(+) ≥+2=, 故选A. a b a b 66a b 66
【命题立意】:本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题. 要求能准确地画出不等式表示的平面区域, 并且能够求得目标函数的最值, 对于形如已知2a+3b=6,求进而用基本不等式解答.
⎧x ≥04
3. （2009安徽卷理）若不等式组⎪x +3y ≥4所表示的平面区域被直线y =kx +分为面积相等的两部
⎨3⎪3x +y ≤4⎩
23
+的最小值常用乘积a b
分，则k 的值是 （A ）
7343 （B ） （C ） （D ） 3734
B
【解析】：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分△ABC
⎧x +3y =44
由⎨得A （1，1），又B （0，4），C （0，）
3⎩3x +y =4
144
(4-) ⨯1=，设y =kx 与3x +y =4的 233
1215
交点为D ，则由S ∆BCD =S ∆ABC =知x D =，∴y D =
2322
5147
∴=k ⨯+, k =选A 。 2233
∴S
△ABC
=
4. （2009安徽卷文）不等式组所表示的平面区域的面积等于
A. B.
C. D.
【解析】由⎨【答案】C
⎧x +3y -4=014
可得C (1,1)，故S 阴 =⨯AB ⨯x c =，选C 。
23⎩3x +y -4=0
⎧2x +y ≥4
⎪
6. （2009宁夏海南卷理）设x,y 满足⎨x -y ≥-1, 则z =x +y
⎪x -2y ≤2⎩
（A ）有最小值2，最大值3 （B ）有最小值2，无最大值 （C ）有最大值3，无最小值 （D ）既无最小值，也无最大值
【解析】画出可行域可知，当z =x +y 过点（2，0）时，z min =2，但无最大值。选B.
⎧2x +y ≥4, ⎪
7. （2009宁夏海南卷文）设x , y 满足⎨x -y ≥1, 则z =x +y
⎪x -2y ≤2, ⎩
（A ）有最小值2，最大值3 （B ）有最小值2，无最大值
（C ）有最大值3，无最小值 （D ）既无最小值，也无最大值
【答案】B
【解析】画出不等式表示的平面区域，如右图，由z ＝x ＋y ，得y ＝－x ＋z ，令z ＝0，画出y ＝－x 的图象，当它的平行线经过A （2,0）时，z 取得最小值，最小值为：z ＝2，无最大值，故选
.B
⎧x +y ≥3⎪
8. （2009天津卷理）设变量x ，y 满足约束条件：⎨x -y ≥-1. 则目标函数z=2x+3y的最小值为
⎪2x -y ≤3⎩
（A ）6 （B ）7 （C ）8 （D ）23 【考点定位】本小考查简单的线性规划，基础题。
⎧x +y ≥3⎪
【解析】画出不等式⎨x -y ≥-1表示的可行域，如右图，
⎪2x -y ≤3⎩
让目标函数表示直线y =-
2x z
+在可行域上平移，知在点B 自目标函数取到最小值，解方程组
33
⎧x +y =3
得(2, 1) ，所以z min =4+3=7，故选择B 。 ⎨
x +y -1≥0
x -1≤0（α为常数）所表示的平面区域
-y +1≥0⎩
内的面积等于2，则a 的值为
A. -5 B. 1 C. 2 D. 3
【解析】 如图可得黄色即为满足x -1≤0与x +y -1≥0的可行域，而ax -y +1=0的直线恒过（0，1），故看作直线绕点（0，1）旋转，当a=-5时，则可行域不是一个封闭区域，当a=1时，面积是1；
a=2时，面积是
3
；当a=3时，面积恰好为2，故选
D. 2
二、填空题
⎧x +y ≥2, ⎪
2. （2009浙江卷文）若实数x , y 满足不等式组⎨2x -y ≤4, 则2x +3y 的最小值是 ．
⎪x -y ≥0, ⎩
【命题意图】此题主要是考查了线性规划中的最值问题，此题的考查既体现了正确画线性区域的要求，也体现了线性目标函数最值求解的要求 【解析】通过画出其线性规划，可知直线y =-
2
x +Z 过点(2,0)时，(2x +3y )min =4 3
4.(2009山东卷文) 某公司租赁甲、乙两种设备生产A,B 两类产品, 甲种设备每天能生产A 类产品5件和B 类产品10件, 乙种设备每天能生产A 类产品6件和B 类产品20件. 已知设备甲每天的租赁费为200元, 设备乙每天的租赁费为300元, 现该公司至少要生产A 类产品50件,B 类产品140件, 所需租赁费最少为__________元.
【解析】:设甲种设备需要生产x 天, 乙种设备需要生产y 天, 该公司所需租赁费为z 元, 则
z =200x +300y ，甲、乙两种设备生产A,B 两类产品的情况为下表所示:
产品 设备
A 类产品 (件)(≥50)
甲设备 乙设备
5 6
B 类产品 (件)(≥140)
10 20
200 300 租赁费 (元)
⎧6
x +y ≥10⎧5x +6y ≥50⎪⎪5⎪
则满足的关系为⎨10x +20y ≥140即:⎨,
x +2y ≥14⎪⎪x ≥0, y ≥0
⎩⎪⎩x ≥0, y ≥0
⎧6
⎪x +y =10
作出不等式表示的平面区域, 当z =200x +300y 对应的直线过两直线⎨的交点(4,5)时，目5
⎪⎩x +2y =14
标函数z =200x +300y 取得最低为2300元. 答案:2300
【命题立意】:本题是线性规划的实际应用问题, 需要通过审题理解题意, 找出各量之间的关系, 最好是列成表格, 找出线性约束条件, 写出所研究的目标函数, 通过数形结合解答问题
【2012北京市房山区一模理】7. 直线y =kx +3与圆(x -1)+(y +2)=4相交于M ,
N 两点，若
2
2
MN ≥k 的取值范围是( )
1212
（A ）(-∞, -) （B ）(-∞, -]
55
【答案】B
（C ）(-∞,
12) 5
（D ）(-∞,
12] 5
B
分别在射线y =【2012年北京市西城区高三一模理】14. 在直角坐标系xOy 中，动点A ，
x (x ≥
0) 3
和y =(x ≥0) 上运动，且△OAB 的面积为1．则点A ，B 的横坐标之积为_____；△OAB 周长的最小值是_____．
【答案】
，2(1 2
2x 1, OB =2x 2，x 1), B (x 2, -3x 2), (x 1>0, x 2>0) ，则OA =
33
1122
x 1⨯2x 2=x 1x 2=1，所以由题意知OA ⊥OB , 所以三角形的面积为OA ⋅OB =⨯
223x 1x 2=。
2
【解析】设A,B 的坐标分别为A (x 1, 2013年模拟题
1 ．（北京市东城区普通校2013届高三3月联考数学（理）试题 ）设a >0, b >
0. 若
11
3a 与3b 的等比中项，则+的最小值为
a b
A ．8
B ．4
C ．1
D ．
（ ）
1 4
⎧x ≥0, ⎪y ≥0,
2 ．（北京市东城区2013届高三上学期期末考试数学理科试题）已知x ，y 满足不等式组⎪当⎨
⎪x +y ≤s , ⎪⎩y +2x ≤4.
3≤s ≤5时，目标函数z =3x +2y 的最大值的变化范围是
（ ）
A ．[6,15] B ．[7,15] C ．[6,8] D ．[7,8]
3 ．（北京市西城区2013届高三上学期期末考试数学理科试题）已知a , b 是正数，且满足2
么a +b 的取值范围是 A ．(,
2
2
（ ）
416
) 55
B ．(,16)
45
C ．(1,16) D ．(
16, 4) 5
⎧x +y ≤4, ⎪
4 ．（北京市顺义区2013届高三第一次统练数学理科试卷（解析））设不等式组⎨y -x ≥0, 表示的平面区
⎪x -1≥0⎩
域为D . 若圆C :(x +1)+(y +1)=r 2 (r >0)不经过区域D 上的点, 则r 的取值范围是
2
2
（ ）
[C ．(3
A ．22, 2
2, 2
]] (]D ．(0, 22)⋃(2
B ．22, 32
, +∞
)
二、填空题 5．（北京市东城区2013届高三上学期期末考试数学理科试题）某种饮料分两次提价，提价方案有两种，
方案甲：第一次提价p %, 第二次提价q %；方案乙：每次都提价多的方案是 .
p +q
%，若p >q >0，则提价2
⎧x -y -4≤0,
6．（北京市海淀区北师特学校2013届高三第四次月考理科数学）已知点P (2,t ) 在不等式组⎨
⎩x +y -3≤0
表示的平面区域内，则点P (2,t ) 到直线3x +4y +10=0距离的最大值为____________． 7．（北京市海淀区北师特学校
2013届高三第四次月考理科数学）已知
⎧x ≥0⎪
x , y 满足⎨y ≤x k (为常数）若, z =x +3y 的最大值为8，则k=_____
⎪2x +y +k ≤0⎩
8．（北京市通州区2013届高三上学期期末考试理科数学试题 ）若x +1>0，则x +
1
的最小值为 ． x +1
9．（北京市丰台区2013届高三上学期期末考试 数学理试题 ）已知直线y =x +b 与平面区域C:⎨
的边界交于A ，B
两点，若AB ≥b 的取值范围是________.
⎧|x |≤2,
⎩|y |≤2
10．（【解析】北京市朝阳区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）若关于x ，y 的不等式组
⎧x …0, ⎪
⎨y …x , （k 是常数）所表示的平面区域的边界是一个直角三角形，则k = . ⎪kx -y +1…0⎩
⎧x ≥0, ⎪11．（【解析】北京市海淀区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）点P (x , y ) 在不等式组 ⎨x +y ≤3, ⎪y ≥x +1⎩
表示的平面区域内，若点P (x , y ) 到直线y =kx -
1的最大距离为k =___.
⎧y ≤x ，⎪
12．（【解析】北京市石景山区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）已知不等式组⎨y ≥-x ，表示的
⎪x ≤a ⎩
平面区域S 的面积为4，则a = ；
若点P (x , y ) ∈S ，则z =2x +y 的最大值为 .
13．（北京市房山区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）某汽车运输公司，购买了一批豪华大客车
投入运营，据市场分析每辆客车运营前n (n ∈N ) 年的总利润S n （单位：万元）与n 之间的关系为
*
S n =-(n -6) 2+11. 当每辆客车运营的平均利润最大时， n 的值为.
北京2013届高三最新模拟试题分类汇编（含9区一模及上学期期末试题精选）专题：不等式参考答
案
一、选择题 1. 【答案】D
解：，当s =3时，对应的平面区域为阴影部分，由z =3x +2y 得
3z 3z
y =-x +，平移直线由图象可知当直线经过点C 时，直线y =-x +的截距最大，此时
2222
⎧x =1⎧x +y =3,
解得⎨，即C (1,2) ，代入z =3x +2y 得z =7。当s =5时，对应的平面区域为阴⎨
⎩y =2⎩y +2x =4
影部分ODE ，由z =3x +2y 得y =-
3z
x +，平移直线由图象可知当直线经过点E 时，直线22
，代入z =3x +2y 得
⎧x =03z ⎧x =0y =-x +的截距最大，此时⎨解得⎨，即E (0, 4)
22y =4⎩⎩y +2x =4
z =8。
所以目标函数z =3x +2y 的最大值的变化范围是7≤z ≤8，即[7,8]，选
D.
，
2. 【答案】B
解：原不等式组等价为⎨
⎧2
，做出不等式组对应的平面区域如图阴影部分，
⎩a +2b
，a +b 表示区域内的动点P (a , b ) 到原点距离的平方，由图象可知当
22
P 在D 点时，a 2+b 2最大，此时a 2+b 2=42=16，原点到直线a +2b -2=
0的距离最小，即
d =
=
44
，所以a 2+b 2=d 2=，即a 2+b 2的取值范围是
553. 答案D 不等式对应的区域为ABE. 圆心为(-1, -1) , 区域中,A 到圆心的距离最小,B 到圆心的距离最大,
所以要使圆不经过区域D, 则有0BC . 由⎨
⎧x =1⎧x =1
得⎨, 即A (1,1). 由
y =1y =x ⎩⎩
⎧x =1⎧x =1
, 得, 即B (1,3).
所以AC =
, BC =,
所以0
或r >, ⎨⎨
⎩y =-x +4⎩y =3
即r
的取值范围是+∞)
, 选D.
二、填空题 4. 【答案】乙
解：设原价为1，则提价后的价格:方案甲：(1+p %)(1+q %), 乙：(1+
p +q 2
%) ，因
为2
，
所
以
≤) 5. 【答案】4
1+p %1+q %p +q
+=+%，因为222p +q p +q (+%即(1) +p %)(11+%q ) (
22
p >q >0
2
，所以提价多的方案是乙。
【解析】因为点P (2,t ) 可行域内，所以做出可行域，由图象可知当当点P 位于直线x +y -3=0时，
即P (2,1)，此时点P
到直线的距离最大为d =
=
20
=4。
5
6. 【答案】-6
⎧x ≥0⎨
y ≤x 的图象。因为z =x +3y 的最大值为8，所以此时x +3y =8，说明此时直线经
【解析】做出⎩
过区域内截距做大的点
，
，即直线2x +y +k =0也经过点B 。由
⎧y =x ⎧x =2⎨⎨
⎩x +3y =8，解得⎩y =2，即B (2,2) ，代入直线2x +y +k =0得，k =-6。
8
7. 【答案】3
【 解析】作出不等式组对应的可行
域
，由z =x +y 得
y =-x +z ，平移直线y =-x +z ，由图象可知当直线y =-x +z 经过点B 时，直线y =-x +z 的截
4⎧x =⎪448⎧2x +y =4, 44⎪3
距最大，此时z 最大。由⎨解得⎨，即B (, ) ，代入z =x +y 得z =+=。
333433⎩x +2y =4，⎪y =
⎪3⎩
8. 【答案】
【 解析】由x +
111
=x +1+-1得，因为x +1>0，所以>0，根据均值
定理得x +1x +1x +1
x +
111
，即(x +1) 2=1，即=x +1+-1≥1=1，当且仅当x +1=
x +1x +1x +11
的最小值为1. x +1
x +1=1, x =0时取等号，所以x +
9. 【答案】[-2, 2]
⎧|x |≤2,
解：不等式⎨对应的区域为
|y |≤2⎩
，因为直线y =x +b 的斜率为1，
由图象可知CD =EF =
AB ≥，则-2≤b ≤2，即b 的取值范围是[-2, 2]。
10. 【答案】-1或
⎧x …0
解：先做出不等式⎨对应的区域，阴影部分。因为直线kx -y +1=0过定点(0,1)，且不等式
⎩y …x
kx -y +1≥0表示的区域在直线kx -y +1=0的下方，所以要使所表示的平面区域是直角三角形，
所以有k =0或直线kx -y +1=0与y =x 垂直，所以k =-1，综上k =0或k =-1。 11. 【答案】±1
解：做出不等式组对应的区域为三角形BCD ，直线y =kx -1过定点(0,-1) ，由图象可知点D (0,3)到直线kx -y -1=0的距离最大，此
时d =
=
=，解得k =±
1。
12. 【答案】2；6
解：如图不等式组对应的平面区域为三角形OBC ，由图象知a >0。其中B (a , a ), C (a , -a ) ，所以
1
BC =2a , 所以三角形的面积为⨯a ⨯2a =a 2=4，所以a =2。由z =2x +y 得y =-2x +z ，平
2
移直线y =-2x +z ，由图象可知当直线y =-2x +z 经过点B 时，直线截距最大，此时z 也最大，
z =2⨯2+2=6。
把B (2,2) 代入z =2x +y 得
13. 5