第02章条件概率与事件独立主要内容

第三章 条件概率与事件独立

第一节 条件概率

一、问题提出

问题：设A={甲厂产品}，={乙厂产品}，B={合格品}，

P(A)70%，甲厂合格率p195%,求P(AB).

m(AB)m(A)m(AB)

P(A)p10.70.950.665

m(S)m(S)m(A)

m(AB)m(AB)/m(S)P(AB)

 其中 表示在甲厂中考察的合格率.

m(A)m(A)/m(S)P(A)

解：P(AB)二、条件概率

1、定义：设(S,F,P)为一概率空间，A,BF，P(A)0.称比值为在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，记作P(B|A).即

P(AB)

P(A)

P(B|A)

P(AB)

P(A)

注：①P(AB)与P(B|A)的区别；

② P(B|A)一般常用在“在…时,在…下”的情况中； 而P(AB)则用在A、B同时发生的情况中。

2、乘法公式

P(AB)P(A)P(B|A), [P(A)0]

3、推广的乘法公式

P(ABC)P(A)P(B|A)P(C|AB);[P(AB)0]

P(A1A2An)P(A1)P(A2|A1)P(An|A1An1).

[P(A1A2An1)0]

例1 五个开关有一个可开灯，试开三次，A＝{灯亮},求P(A).

Ai＝{第i次试开灯亮},i1,2,3.那么AA1A1A2A1A2A3,则

P(A)P(A1)P(A1)P(A2|A1)P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)

1414313. 5545435

三、性质

令Q(B)P(B|A),BF，显然Q:FR,AF,P(A)0. (1) BF,Q(B)P(B|A)0;

(2)Q(S)P(S|A)1; 证明：Q(S)P(S|A)

(3)两两互斥BiF,iN,P(Bi|A)P(Bi|A).即

i1

i1

P(AS)P(A)

1.

P(A)P(A)

Q(Bi)Q(Bi).

i1

i1



证明：P(Bi|A)

i1

P(ABi)

i1

P(A)P(A)

由(1)(2)(3)可知，(S,F,Q)也是一个概率空间.

这样概率具有的性质，条件概率同样具有.如

P(ABi)

i1

P(ABi)

P(Bi|A). i1P(A)i1

(4) B1,B2F ,若B1B2，则

P(B2B1|A)P(B2|A)P(B1|A).

(5) BFP(|A)1P(B|A).

(6) B1,B2F，则

P(B1B2|A)P(B1|A)P(B2|A)P(B1B2|A).

例2 设P(A)

111

，P(B|A)，P(A|B)，求P(AB). 432

111P(AB)1/121,P(B), 4312P(A|B)1/26

1111

P(AB)P(A)P(B)P(AB).

46123P(AB)P(A)P(B|A)

例3 设P()0.3，P(B)0.4，P(A)0.5，求P(B|A). 解：P(AB)P(A)P(A)0.70.50.2

P(B|A)

P[B(A)]

P(A)

P(AB)0.21

. P(A)P()P(A)0.70.60.54

例4 设3正2次共5个产品，不放回依次取两个，设A{两正},B={两次}，C={一正一次}，D={第二次取次品}.求各事件的概率. 解：设Ai＝{第i次取正品},i1,2.那么

323

P(A)P(A1A2)P(A1)P(A2|A1),

5410211

P(B)P(A1A2)P(A1)P(A2|A1),

5410

P(C)P(A1A2)P(A1A2)P(A1)P(A2|A1)P(A1)P(A2|A1)

32233 .

54545

P(D)P(A1A2)P(A1A2)P(A1)P(A2|A1)P(A1)P(A2|A1)

32233. 54545

第二节 全概率公式与贝叶斯公式

一、全概率公式

设(S,F,P)为一概率空间，AiF为完备事件组，且P(Ai)0，

P(A)P(B|A).

证明：因AS,有BBSAB,于是

P(B)P(AB)P(A)P(B|A).

: BF，有P(B)

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

二、贝叶斯公式

设(S,F,P)为一概率空间，AiF为完备事件组，BF,且P(Ai)0，

P(B)0,则：

P(Ai|B)

P(Ai)P(B|Ai)

.

P(A)P(B|A)kk

k

注：(1)AiF常当作可导致事件B发生的“原因”；

(2)P(Ai)──作为预先知道的先验概率；

(3)P(Ai|B)──用于在B发生时判断各种原因的可能性的大小，称为后验概率。

证明：P(Ai|B)

P(AiB)P(B)

P(Ai)P(B|Ai)

.

P(Ak)P(B|Ak)

k

贝叶斯公式在实际中有着广泛应用。

例1 某工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一产品，每个车间的产量分别占总产量的25％，35％和40％，而各车间的次品率分别为5％，4％和2％，试求该厂产品的次品率。

解：设Ai依次为甲、乙、丙三个车间的产品,B为次品,P(Ai)依次为25％，35％和40％, P(B|Ai)依次为5％，4％和2％，那么

3

P(B)P(Ai)P(B|Ai)0.250.050.350.040.400.023.45%.

i1

例2 例1中如果进一步问:在抽到次品后,此次品是甲车间生产的概率是多少? 解：P(A1|B)

P(A1B)P(A1)P(B|A1)0.250.05

0.362.

P(B)P(B)0.0345

3 12个乒乓球都是新球，每次比赛时取出3个用完后放回去，求第3次比赛时取到的3个球都是新球的概率。

解：设Ai{第二次取i个新球}，i0,1,2,3. B{第三次取到3个新球},

i3i30C9C3C9iC3i

P(Ai)，P(B|Ai)，i0,1,2,3. 33

C12C12i3i30

C9C3C9iC3i

P(B)P(Ai)P(B|Ai)0.146. 33

C12C12i1i1

3

3

例4 用血清甲胎球蛋白法诊断肝癌。A表示“被检验者患有肝癌”，B表示“判断被检验者患有肝癌”，且P(B|A)0.95，P(|)0.90，P(A)0.0004，试求P(A|B)，即若有一人被判断患有肝癌，求此入真正患有肝癌的概率。若

P(A)0.5呢？

P(A)P(B|A)

.

P(A)P(B|A)P(A)P(B|A)

0.00040.95

0.0038 

0.00040.950.99960.10

② 若P(A)0.5,则

P(A)P(B|A)0.50.95

P(A|B)0.90.

P(A)P(B|A)P(A)P(B|A)0.50.950.50.10

解：①P(A|B)

例5 在医疗诊断中，为了诊断病人究竞患了疾病A1,A2,„ 中的哪一种，对病人进行观察和检查，确定了某个指标B(譬如体温、脉搏、血液中转氨酶含量等等)，想用这类指标来帮助诊断。

用贝叶斯公式来可以计算有关概率。 首先必须确定先验概率P(Ai)，这实际上是确定人患各种疾病的可能性大小，以往的资料可以给出一些初步数据；

其次是要确定P(B|Ai)，这里主要靠医学知识。

有了它们，利用贝叶斯公式可算出P(Ai|B)。显然，对应于较大P(Ai|B)的“病因”Ai应多加考虑。在实际工作中，检查的指标B一般有多个，综合所有的先验概率，当然会对诊断有很大帮助。在实现计算机自动诊断或辅助诊断中，这方法相当有价值。

第三节 事件的相互独立性

一、两个事件的相互独立性

1、设(S,F,P)为一概率空间，A,BF，若P(AB)P(A)P(B)，则称A,B相互独立。

显然,A,B相互独立B,A相互独立。

2、性质

(1)AF，S、与A独立.

(2)A,BF,P(A)0,则A,B独立P(B)P(B|A). 证明：因P(A)0，A,B独立

P(AB)P(A)P(B) P(B)P(B|A)

P(AB)P(A)P(B|A)

(3)下列各组事件的独立性是等价的：

①A,B；②A,；③,B；④,.

证明：①② P(A)P(A)P(AB)P(A)P(A)P(B)

P(A)[1P(B)]P(A)P()；本证明中以下用A,B简单表示A,B独立. ②④ A,,A,,； ④③,,B,B；

③① ,BB,B,AB,AA,B

例1 设A,BF,P(A)0,P()0,A,B独立,则 P(B)P(B|A)P(B|).

证明：因A,B独立，则,B也独立，又P(A)0,P()0,则 P(B)P(B|A)P(B|).

例2 设A,BF,P(B|A)P(B|),则A,B独立. 证明：显然P(A)0,P()0,那么 P(B)P(A)P(B|A)P()P(B|)

[P(A)P()]P(B|A)P(B|A), 所以A,B独立.

二、多个事件的相互独立性 1、记号:

(1)A表示事件组A1,A2,,An；AF表示A1,A2,,AnF

(2)P(A)表示P(A1)P(A2)P(An)；A表示

A；

ii1

n

(3)AJ表示子事件组Ak1,Ak2,,Aks，这里J{k1,k2,,ks}N(n)；

特别记AkA{k}Ak,kN(n).

(4)A表示A中AJ全部换成相应的逆事件后组成的事件组.

2、定义：(S,F,P)为一概率空间，AF，若JN(n),恒有 P(AJ)P(AJ)成立， 则称事件组A相互独立。

显然, A独立JN(n),AJ独立.

3、性质

设AF相互独立，BF. (1)S,A相互独立；,A相互独立.

(2)A,B独立

AJ,B均独立

P[(AJ)B]P(AJ)P(B)均成立. (JN(n)). 证明：显然由定义知.

(3)若A,B独立,则A与B独立.

证明：因A,B独立,JN(n): AJ,B独立 

P[(AJ)(B)]P(AJ)P(B)P(AJ)P(B), 故A与B独立.

若A,B独立, P(A)0则P(B)P(B证明：显然由(3)知.

(5) A,B独立,则A,独立.

证明：因A,B独立, JN(n): AJ,B独立

|A).

AJ,B独立AJ,独立

P[(AJ)]P(A)P()P(AJ)P(),

由(4)知, A,独立. (6)A独立.

证明：① 先证A独立.用Ti,jA表示A的i,j两个位置的事件对换位置后

的事件组.因A独立Tk,nA独立(Tk,nA)由(5)知独立

 ATk,n(Tk,nA)独立,即A独立.

反复运用②,可知(4)成立.

(7)将A1,A2,,An分成r组，每组经过事件运算后为一事件

Bi(i1,2,,r),则B1,B2,,Br相互独立.

证明：设A分成r组AJi，J1J2JrN(n).B为事件组B1,B2,,Br.

① 若BiAJi,反复运用(3)可知B1,B2,,Br独立. ② 一般对于A,BF,由于ABA,AB.

那么Bi中的各种运算归结为事件反复通过取逆、分组、取积而得到, 由(5)和①知, B1,B2,,Br独立.

例3 设A,B,C,DF独立，则AB与CD独立、AB与CD独立. 证明：① P[(AB)(CD)]P(A)P(B)P(C)P(D)P(AB)P(CD),

所以AB与CD独立.

② 因A,B,C,D独立,,C,独立,C独立

,C独立AB,CD独立.

(8)P(A1A2An)1

1P(A).

i

i1

n

P(Ai)1P(i)1P(i)11P(Ai).

i1

i1

i1

i1

nnnn

（{i}独立）

例4 设一门高射炮击中飞机的概率为0.6，欲以99％的把握击中飞机，问至少需配置几门炮? 解：0.99P(

A)11P(A)1(10.6)

i

i

i1

i1

nn

n

n5.026，

取n6．

例5 设一人管理3台机床，Ai={第i台机床无故障},i1,2,3独立，P(Ai)依次为0.9,0.8,85.B={有机床有故障}，C={有机床无人管而停工}，求: (1)P(B)P(

)1P(A)10.90.80.850.388．

i

i

i1

i1

nn

(2)P(C)P(122331)P(12)P(23)P(31)

2P(123)0.059．

例6 如图,Ai={第i个开关闭合}独立，

P(Ai)p,i1,2,,5，B={LR线路通}, 求P(B).

解:① P(B|A3)P{(A1A4)(A2A5)}

P(A1A4)P(A2A5)[P(A1A4)] [P(A1)P(A4)P(A1A4)](2pp) ②P(B|3)P(A1A2A4A5)

2

22

2

P(A1A2)P(A4A5)P(A1A2A4A5)2p2p4.

③P(B)P(A3)P(B|A3)P(3)P(B|3)2p22p35p42p5

说明：(1)与(2)如果都有2n个开关,那么:

并串联电路(1)的概率为P1(n)(2pp)， 串并联电路(2)的概率为P2(n)2pp.

n

2n2n

P2(n)2pnp2n2pn

0,有,n充分大时, P2(n)P1(n). 2nn

P(n)(2pp)(2p)1

可见：并串联电路 比 串并联电路 更可靠.

事实上：P2(n)P1(n),n1.

nn证明：用数学归纳法证明：P2(n)P1(n)2(2p)p,n1.

n2时, (2p)2p244p2p222(1p)22成立, 2(2p)n1pn12(2p)(2p)npn1(2p)

nn1nnn

, 2(2p)2pp2p22(2p)p

因此结论对n成立, 故P2(n)P1(n),n1.

其中要证明2pn1pn2p2pn 即 pn1p1pn.

n1时显然.假设n1成立,

pn2p1pn1pn1p2ppn

pn1p1pnp22p11pn(1p)21pn,

n1n

因此结论对n成立. 即pp1p.

例7 甲乙丙三人同时射击飞机，设Ci={第iI人击中飞机}独立，Ai={飞机被I人击中},i1,2,3，P(Ci)依次为0.4,0.5,0.7.B={飞机被击落}，P(B|Ai)依次为0.2,0.6,1，求P(B).

解: P(A1)P(C1231C2312C3)

P(C1)P(2)P(3)P(1)P(C2)P(3))P(1)P(2)P(C3)0.36；

P(A2)P(C1C23C12C31C2C3)

P(C1)P(C2)P(3)P(C1)P(2)P(C3))P(1)P(C2)P(C3)0.41； P(A3)P(C1C2C3)P(C1)P(C2)P(C3)0.14；

P(B)

P(A)P(B|A)0.458.

i

i

i1

3

例8 同例7，但P(Ci)1/3，求P(Ai) i=0,1,2,3.

202解:P(A0)P(123)P(1)P(2)P(3)C333

33

81

； 

327

214P(A1)3P(C1)P(2)P(3)C； 3391

321

221 P(A2)3P(C1)P(C2)P(3)C 9332

312

132 P(A3)P(C1C2C3)P(C1)P(C2)P(C3)C333

3011. 3273

第四节 二项概率公式

一、n重贝努利试验

1、贝努利试验──只有两个可能结果的试验.

例如：掷硬币试验，A={正},={反}. F{,A,,S}, P(A)p,P()1p,0p1.

2、n重贝努利试验──n个完全相同的且相互独立的贝努利试验.

二、二项概率公式

设P(A)p,事件A在n重贝努利试验中恰好发生k次的概率为Pn(k)，

kk则 Pn(k)Cnp(1p)nk，k0,1,,n，0p1。

证明：(1)设A＝{第k次试验中事件A发生}，那么P(A)p.由于 (i)(i)

A(k)(k1)(n))

(1)(2)(k)(k1) P(A)P(A)P(A)P()P((n))pk(1p)nk

kknk (2) 那么P. n(k)Cnp(1p) P(AA

注：(1) (1)(2)P(k)1； n

k1n

}(2)P{A至少出现一次

}(3)P{A至少出现两次

P(k)1P(0)； nnnP(k)1P(0)P(1). nnnk2k1n

1甲乙两人比赛,pP{甲胜}0.6,P{乙胜}0.4,求在五局三胜制下甲获胜的概率P.

解:已知n5,p0.6Ai{甲以 3:k 获胜},显然

33P(A0)C3p(1p)0,

22P(A1)C3p(1p)1p，

22P(A3)C4p(1p)2p,

所以 PP(A. 1)P(A2)P(A3)0.68256

例2 设P(A)p,求在nm重贝努利试验中事件A在发生n次之前发生了的m次的概率P.

n1n1n1nmmnm解：PCn(1p)mpCnm1pm1p(1p)Cnm1p(1p).

第三章 条件概率与事件独立

第一节 条件概率

一、问题提出

问题：设A={甲厂产品}，={乙厂产品}，B={合格品}，

P(A)70%，甲厂合格率p195%,求P(AB).

m(AB)m(A)m(AB)

P(A)p10.70.950.665

m(S)m(S)m(A)

m(AB)m(AB)/m(S)P(AB)

 其中 表示在甲厂中考察的合格率.

m(A)m(A)/m(S)P(A)

解：P(AB)二、条件概率

1、定义：设(S,F,P)为一概率空间，A,BF，P(A)0.称比值为在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，记作P(B|A).即

P(AB)

P(A)

P(B|A)

P(AB)

P(A)

注：①P(AB)与P(B|A)的区别；

② P(B|A)一般常用在“在…时,在…下”的情况中； 而P(AB)则用在A、B同时发生的情况中。

2、乘法公式

P(AB)P(A)P(B|A), [P(A)0]

3、推广的乘法公式

P(ABC)P(A)P(B|A)P(C|AB);[P(AB)0]

P(A1A2An)P(A1)P(A2|A1)P(An|A1An1).

[P(A1A2An1)0]

例1 五个开关有一个可开灯，试开三次，A＝{灯亮},求P(A).

Ai＝{第i次试开灯亮},i1,2,3.那么AA1A1A2A1A2A3,则

P(A)P(A1)P(A1)P(A2|A1)P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)

1414313. 5545435

三、性质

令Q(B)P(B|A),BF，显然Q:FR,AF,P(A)0. (1) BF,Q(B)P(B|A)0;

(2)Q(S)P(S|A)1; 证明：Q(S)P(S|A)

(3)两两互斥BiF,iN,P(Bi|A)P(Bi|A).即

i1

i1

P(AS)P(A)

1.

P(A)P(A)

Q(Bi)Q(Bi).

i1

i1



证明：P(Bi|A)

i1

P(ABi)

i1

P(A)P(A)

由(1)(2)(3)可知，(S,F,Q)也是一个概率空间.

这样概率具有的性质，条件概率同样具有.如

P(ABi)

i1

P(ABi)

P(Bi|A). i1P(A)i1

(4) B1,B2F ,若B1B2，则

P(B2B1|A)P(B2|A)P(B1|A).

(5) BFP(|A)1P(B|A).

(6) B1,B2F，则

P(B1B2|A)P(B1|A)P(B2|A)P(B1B2|A).

例2 设P(A)

111

，P(B|A)，P(A|B)，求P(AB). 432

111P(AB)1/121,P(B), 4312P(A|B)1/26

1111

P(AB)P(A)P(B)P(AB).

46123P(AB)P(A)P(B|A)

例3 设P()0.3，P(B)0.4，P(A)0.5，求P(B|A). 解：P(AB)P(A)P(A)0.70.50.2

P(B|A)

P[B(A)]

P(A)

P(AB)0.21

. P(A)P()P(A)0.70.60.54

例4 设3正2次共5个产品，不放回依次取两个，设A{两正},B={两次}，C={一正一次}，D={第二次取次品}.求各事件的概率. 解：设Ai＝{第i次取正品},i1,2.那么

323

P(A)P(A1A2)P(A1)P(A2|A1),

5410211

P(B)P(A1A2)P(A1)P(A2|A1),

5410

P(C)P(A1A2)P(A1A2)P(A1)P(A2|A1)P(A1)P(A2|A1)

32233 .

54545

P(D)P(A1A2)P(A1A2)P(A1)P(A2|A1)P(A1)P(A2|A1)

32233. 54545

第二节 全概率公式与贝叶斯公式

一、全概率公式

设(S,F,P)为一概率空间，AiF为完备事件组，且P(Ai)0，

P(A)P(B|A).

证明：因AS,有BBSAB,于是

P(B)P(AB)P(A)P(B|A).

: BF，有P(B)

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

二、贝叶斯公式

设(S,F,P)为一概率空间，AiF为完备事件组，BF,且P(Ai)0，

P(B)0,则：

P(Ai|B)

P(Ai)P(B|Ai)

.

P(A)P(B|A)kk

k

注：(1)AiF常当作可导致事件B发生的“原因”；

(2)P(Ai)──作为预先知道的先验概率；

(3)P(Ai|B)──用于在B发生时判断各种原因的可能性的大小，称为后验概率。

证明：P(Ai|B)

P(AiB)P(B)

P(Ai)P(B|Ai)

.

P(Ak)P(B|Ak)

k

贝叶斯公式在实际中有着广泛应用。

例1 某工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一产品，每个车间的产量分别占总产量的25％，35％和40％，而各车间的次品率分别为5％，4％和2％，试求该厂产品的次品率。

解：设Ai依次为甲、乙、丙三个车间的产品,B为次品,P(Ai)依次为25％，35％和40％, P(B|Ai)依次为5％，4％和2％，那么

3

P(B)P(Ai)P(B|Ai)0.250.050.350.040.400.023.45%.

i1

例2 例1中如果进一步问:在抽到次品后,此次品是甲车间生产的概率是多少? 解：P(A1|B)

P(A1B)P(A1)P(B|A1)0.250.05

0.362.

P(B)P(B)0.0345

3 12个乒乓球都是新球，每次比赛时取出3个用完后放回去，求第3次比赛时取到的3个球都是新球的概率。

解：设Ai{第二次取i个新球}，i0,1,2,3. B{第三次取到3个新球},

i3i30C9C3C9iC3i

P(Ai)，P(B|Ai)，i0,1,2,3. 33

C12C12i3i30

C9C3C9iC3i

P(B)P(Ai)P(B|Ai)0.146. 33

C12C12i1i1

3

3

例4 用血清甲胎球蛋白法诊断肝癌。A表示“被检验者患有肝癌”，B表示“判断被检验者患有肝癌”，且P(B|A)0.95，P(|)0.90，P(A)0.0004，试求P(A|B)，即若有一人被判断患有肝癌，求此入真正患有肝癌的概率。若

P(A)0.5呢？

P(A)P(B|A)

.

P(A)P(B|A)P(A)P(B|A)

0.00040.95

0.0038 

0.00040.950.99960.10

② 若P(A)0.5,则

P(A)P(B|A)0.50.95

P(A|B)0.90.

P(A)P(B|A)P(A)P(B|A)0.50.950.50.10

解：①P(A|B)

例5 在医疗诊断中，为了诊断病人究竞患了疾病A1,A2,„ 中的哪一种，对病人进行观察和检查，确定了某个指标B(譬如体温、脉搏、血液中转氨酶含量等等)，想用这类指标来帮助诊断。

用贝叶斯公式来可以计算有关概率。 首先必须确定先验概率P(Ai)，这实际上是确定人患各种疾病的可能性大小，以往的资料可以给出一些初步数据；

其次是要确定P(B|Ai)，这里主要靠医学知识。

有了它们，利用贝叶斯公式可算出P(Ai|B)。显然，对应于较大P(Ai|B)的“病因”Ai应多加考虑。在实际工作中，检查的指标B一般有多个，综合所有的先验概率，当然会对诊断有很大帮助。在实现计算机自动诊断或辅助诊断中，这方法相当有价值。

第三节 事件的相互独立性

一、两个事件的相互独立性

1、设(S,F,P)为一概率空间，A,BF，若P(AB)P(A)P(B)，则称A,B相互独立。

显然,A,B相互独立B,A相互独立。

2、性质

(1)AF，S、与A独立.

(2)A,BF,P(A)0,则A,B独立P(B)P(B|A). 证明：因P(A)0，A,B独立

P(AB)P(A)P(B) P(B)P(B|A)

P(AB)P(A)P(B|A)

(3)下列各组事件的独立性是等价的：

①A,B；②A,；③,B；④,.

证明：①② P(A)P(A)P(AB)P(A)P(A)P(B)

P(A)[1P(B)]P(A)P()；本证明中以下用A,B简单表示A,B独立. ②④ A,,A,,； ④③,,B,B；

③① ,BB,B,AB,AA,B

例1 设A,BF,P(A)0,P()0,A,B独立,则 P(B)P(B|A)P(B|).

证明：因A,B独立，则,B也独立，又P(A)0,P()0,则 P(B)P(B|A)P(B|).

例2 设A,BF,P(B|A)P(B|),则A,B独立. 证明：显然P(A)0,P()0,那么 P(B)P(A)P(B|A)P()P(B|)

[P(A)P()]P(B|A)P(B|A), 所以A,B独立.

二、多个事件的相互独立性 1、记号:

(1)A表示事件组A1,A2,,An；AF表示A1,A2,,AnF

(2)P(A)表示P(A1)P(A2)P(An)；A表示

A；

ii1

n

(3)AJ表示子事件组Ak1,Ak2,,Aks，这里J{k1,k2,,ks}N(n)；

特别记AkA{k}Ak,kN(n).

(4)A表示A中AJ全部换成相应的逆事件后组成的事件组.

2、定义：(S,F,P)为一概率空间，AF，若JN(n),恒有 P(AJ)P(AJ)成立， 则称事件组A相互独立。

显然, A独立JN(n),AJ独立.

3、性质

设AF相互独立，BF. (1)S,A相互独立；,A相互独立.

(2)A,B独立

AJ,B均独立

P[(AJ)B]P(AJ)P(B)均成立. (JN(n)). 证明：显然由定义知.

(3)若A,B独立,则A与B独立.

证明：因A,B独立,JN(n): AJ,B独立 

P[(AJ)(B)]P(AJ)P(B)P(AJ)P(B), 故A与B独立.

若A,B独立, P(A)0则P(B)P(B证明：显然由(3)知.

(5) A,B独立,则A,独立.

证明：因A,B独立, JN(n): AJ,B独立

|A).

AJ,B独立AJ,独立

P[(AJ)]P(A)P()P(AJ)P(),

由(4)知, A,独立. (6)A独立.

证明：① 先证A独立.用Ti,jA表示A的i,j两个位置的事件对换位置后

的事件组.因A独立Tk,nA独立(Tk,nA)由(5)知独立

 ATk,n(Tk,nA)独立,即A独立.

反复运用②,可知(4)成立.

(7)将A1,A2,,An分成r组，每组经过事件运算后为一事件

Bi(i1,2,,r),则B1,B2,,Br相互独立.

证明：设A分成r组AJi，J1J2JrN(n).B为事件组B1,B2,,Br.

① 若BiAJi,反复运用(3)可知B1,B2,,Br独立. ② 一般对于A,BF,由于ABA,AB.

那么Bi中的各种运算归结为事件反复通过取逆、分组、取积而得到, 由(5)和①知, B1,B2,,Br独立.

例3 设A,B,C,DF独立，则AB与CD独立、AB与CD独立. 证明：① P[(AB)(CD)]P(A)P(B)P(C)P(D)P(AB)P(CD),

所以AB与CD独立.

② 因A,B,C,D独立,,C,独立,C独立

,C独立AB,CD独立.

(8)P(A1A2An)1

1P(A).

i

i1

n

P(Ai)1P(i)1P(i)11P(Ai).

i1

i1

i1

i1

nnnn

（{i}独立）

例4 设一门高射炮击中飞机的概率为0.6，欲以99％的把握击中飞机，问至少需配置几门炮? 解：0.99P(

A)11P(A)1(10.6)

i

i

i1

i1

nn

n

n5.026，

取n6．

例5 设一人管理3台机床，Ai={第i台机床无故障},i1,2,3独立，P(Ai)依次为0.9,0.8,85.B={有机床有故障}，C={有机床无人管而停工}，求: (1)P(B)P(

)1P(A)10.90.80.850.388．

i

i

i1

i1

nn

(2)P(C)P(122331)P(12)P(23)P(31)

2P(123)0.059．

例6 如图,Ai={第i个开关闭合}独立，

P(Ai)p,i1,2,,5，B={LR线路通}, 求P(B).

解:① P(B|A3)P{(A1A4)(A2A5)}

P(A1A4)P(A2A5)[P(A1A4)] [P(A1)P(A4)P(A1A4)](2pp) ②P(B|3)P(A1A2A4A5)

2

22

2

P(A1A2)P(A4A5)P(A1A2A4A5)2p2p4.

③P(B)P(A3)P(B|A3)P(3)P(B|3)2p22p35p42p5

说明：(1)与(2)如果都有2n个开关,那么:

并串联电路(1)的概率为P1(n)(2pp)， 串并联电路(2)的概率为P2(n)2pp.

n

2n2n

P2(n)2pnp2n2pn

0,有,n充分大时, P2(n)P1(n). 2nn

P(n)(2pp)(2p)1

可见：并串联电路 比 串并联电路 更可靠.

事实上：P2(n)P1(n),n1.

nn证明：用数学归纳法证明：P2(n)P1(n)2(2p)p,n1.

n2时, (2p)2p244p2p222(1p)22成立, 2(2p)n1pn12(2p)(2p)npn1(2p)

nn1nnn

, 2(2p)2pp2p22(2p)p

因此结论对n成立, 故P2(n)P1(n),n1.

其中要证明2pn1pn2p2pn 即 pn1p1pn.

n1时显然.假设n1成立,

pn2p1pn1pn1p2ppn

pn1p1pnp22p11pn(1p)21pn,

n1n

因此结论对n成立. 即pp1p.

例7 甲乙丙三人同时射击飞机，设Ci={第iI人击中飞机}独立，Ai={飞机被I人击中},i1,2,3，P(Ci)依次为0.4,0.5,0.7.B={飞机被击落}，P(B|Ai)依次为0.2,0.6,1，求P(B).

解: P(A1)P(C1231C2312C3)

P(C1)P(2)P(3)P(1)P(C2)P(3))P(1)P(2)P(C3)0.36；

P(A2)P(C1C23C12C31C2C3)

P(C1)P(C2)P(3)P(C1)P(2)P(C3))P(1)P(C2)P(C3)0.41； P(A3)P(C1C2C3)P(C1)P(C2)P(C3)0.14；

P(B)

P(A)P(B|A)0.458.

i

i

i1

3

例8 同例7，但P(Ci)1/3，求P(Ai) i=0,1,2,3.

202解:P(A0)P(123)P(1)P(2)P(3)C333

33

81

； 

327

214P(A1)3P(C1)P(2)P(3)C； 3391

321

221 P(A2)3P(C1)P(C2)P(3)C 9332

312

132 P(A3)P(C1C2C3)P(C1)P(C2)P(C3)C333

3011. 3273

第四节 二项概率公式

一、n重贝努利试验

1、贝努利试验──只有两个可能结果的试验.

例如：掷硬币试验，A={正},={反}. F{,A,,S}, P(A)p,P()1p,0p1.

2、n重贝努利试验──n个完全相同的且相互独立的贝努利试验.

二、二项概率公式

设P(A)p,事件A在n重贝努利试验中恰好发生k次的概率为Pn(k)，

kk则 Pn(k)Cnp(1p)nk，k0,1,,n，0p1。

证明：(1)设A＝{第k次试验中事件A发生}，那么P(A)p.由于 (i)(i)

A(k)(k1)(n))

(1)(2)(k)(k1) P(A)P(A)P(A)P()P((n))pk(1p)nk

kknk (2) 那么P. n(k)Cnp(1p) P(AA

注：(1) (1)(2)P(k)1； n

k1n

}(2)P{A至少出现一次

}(3)P{A至少出现两次

P(k)1P(0)； nnnP(k)1P(0)P(1). nnnk2k1n

1甲乙两人比赛,pP{甲胜}0.6,P{乙胜}0.4,求在五局三胜制下甲获胜的概率P.

解:已知n5,p0.6Ai{甲以 3:k 获胜},显然

33P(A0)C3p(1p)0,

22P(A1)C3p(1p)1p，

22P(A3)C4p(1p)2p,

所以 PP(A. 1)P(A2)P(A3)0.68256

例2 设P(A)p,求在nm重贝努利试验中事件A在发生n次之前发生了的m次的概率P.

n1n1n1nmmnm解：PCn(1p)mpCnm1pm1p(1p)Cnm1p(1p).


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