歧化反应
定义
在反应中，若氧化作用和还原作用发生在同一分子内部处于同一氧化态的元素上，使该元
超氧化物歧化酶(SOD)
素的原子（或离子）一部分被氧化，另一部分被还原。这种自身的氧化还原反应称为歧化反应.
例如Cl2+H2O=HClO+HCl
此反应中Cl2原本是0价
反应后一个升为+1价，一个降为-1价
歧化反应是[1]化学反应的一种，反应中某个元素的化合价既有上升又有下降。与归中反应相对。
例子 1
氯气与氢氧化钠溶液在常温下反应，生成氯化钠、次氯酸钠和水。其离子方程式为：
Cl2 + 2OH− = Cl− + ClO− + H2O
氯气中氯的化合价为0。氯化钠中氯的化合价下降到-1；而次氯酸钠中氯的化合价则上升到+1。
而氯气和氢氧化钠溶液在高温下反应，生成氯酸钠、氯化钠和水。 这两个反应都是典型的歧化反应。
例子 2
在KClO3中,一部分氯(Ⅴ)被氧化为氯(Ⅶ)(ClO嬄)；另一部分被还原为氯(I)(Cl)。发生歧化反应的原因是由于该元素具有高低不同的氧化态，可以在适宜的条件下同时向较高和较低的氧化态转化。
苯甲醛在氢氧化钾溶液中部分氧化为苯甲酸钾；部分还原为苯甲醇，也是歧化反应：
2C6H5CHO+KOH─→C6H5COOK+C6H5CH2OH
例子 3
甲苯在催化剂（一般采用硅铝催化剂）作用下，使一个甲苯分子中的甲基转移到另一个甲苯分子上而生成一个苯分子和一个二甲苯分子，这种反应称作歧化反应。一个甲苯与一个三甲苯也可发生歧化反应（亦称烷基转移反应）生成两个二甲苯分子。工业上用这个方法增产用途广泛的苯和二甲苯。
例子 4
再如过氧化钠吸收二氧化碳生成碳酸钠和氧气
2Na2O2+2CO2====2Na2CO3+O2
Na2O2的氧元素化合价为-1，而Na2CO3的氧元素为-2，O2中氧元素化合价为0
归中反应
归中反应就是指同种元素的不同化合物发生氧化还原反应，那种元素的化合价向中间靠拢。
歧化反应刚好与归中反应相反，一种元素的化合价向两边散开，
不同价态的同种元素间发生氧化还原反应，其结果是两种价态只能相互靠近或最多达到相同的价态，而决不会出现高价态变高、低价态变低的交叉现象。——归中反应规律
价态归中是指,高价态的化合价降低,低价态的化合价升高,但不可能低的最后升的比原来高价态化合价还高。
归中现象：
1、氧化还原反应中的归中反应：
含有同一元素的不同价态的两种物质发生反应，生成只含有该元素中间价态的物质的反应叫做归中反应。发生归中反应的条件是要符合中间价态理论：含有同一元素的不同价态的两种物质，只有当这种元素有中间价态时，才有可能发生归中反应。而且高低价态变化的结果是生成该元素的中间价态。利用中间价态理论可以解释为什么二氧化硫可用浓硫酸干燥(因为不存在+5价的硫)。
C＋CO2=2CO
SO2＋2H2S＝3S↓＋2H2O
H2SO3＋2H2S＝3S↓＋3H2O
H2S＋3H2SO4(浓)＝4SO2＋4H2O
2Fe3+＋Fe＝3Fe2+
6HCl＋KClO3＝KCl＋3Cl2↑＋3H2O
5NaBr＋NaBrO3＋3H2SO4＝3Br2＋3Na2SO4＋3H2O
Ca(ClO)2＋4HCl(浓)＝2Cl2↑＋CaCl2＋2H2O
CuO＋Cu=Cu2O
2Na＋Na2O2=2Na2O
2.、复分解反应中的归中反应：
复分解反应的归中反应是指碱与多元酸反应，正盐与对应的酸式盐或酸反应，酸与对应的酸式盐反应，其中的氢原子数出现的归中现象，从而生成一种酸式盐的一类反应。其中反映的归中规律正是酸式盐的形成条件。
(1) 碱与多元酸反应：当多元酸过量时可形成酸式盐：
NaOH＋H2S＝NaHS＋H2O；
H2SO4十NaOH＝NaHSO4十H2O
(2) 多元酸与对应的正盐反应：
Na2S＋H2S＝2NaHS
CaCO3＋H2O＋CO2＝Ca(HCO3)2
MgCO3＋H2O＋CO2＝Mg(HCO3)2
Na2SO4＋H2SO4＝2NaHSO4
(NH4)2SO3＋SO2＋H2O＝2NH4HSO3
Ca3(PO4)2＋4H3PO4＝3Ca(H2PO4)2
(3) 多元酸与对应的酸式盐
Na2HPO4＋H3PO4＝2NaH2PO4
(4) 正盐与对应的酸式盐：
NaH2PO4＋Na3PO4＝2Na2HPO4
如果把正盐和碱中所含的可电离的氢离子看成是零，那么，生成酸式盐的归中条件是：两种反应物组成上要相差两个或两个以上可电离的氢离子。如果两种反应物的组成相差两个以上可电离的氢离子(即三元酸与对应正盐或与碱反应)，则生成物与反应物用量有关，但符合“显强性”原理，即生成物的组成接近于过量物的组成。 如 (注：n表示物质的量)
≤1，其反应为：H3PO4＋NaOH＝NaH2PO4＋H2O
在1—2之间，其反应为：2H3PO4＋3NaOH＝NaH2PO4＋Na2HPO4＋3H2O ＝2，其反应为：H3PO4＋2NaOH＝Na2HPO4＋2H2O
在2—3之间，其反应为：2H3PO4＋5NaOH＝Na2HPO4＋Na3PO4＋5H2O ≥3，其反应为：H3PO4＋3NaOH＝Na3PO4＋3H2O
又如
≥2，其反应为：2H3PO4＋Na3PO4＝3NaH2PO4
＝1，其反应为：H3PO4＋Na3PO4＝NaH2PO4＋Na2HPO4
≤ ，其反应为：H3PO4＋2Na3PO4＝3Na2HPO4
3.、双水解反应中的归中反应：
这类归中反应是指能形成两性化合物的元素所形成的两类盐溶液反应形成氢氧化物的一类反应。这是金属阳离子和该金属所生成的阴离子生成中性的氢氧化物沉淀的归中现象。如：
Al3+＋3 ＋6H2O＝4Al(OH)3↓
Zn2+＋ ＋2H2O＝2Zn(OH)2↓
“高价+低价→中间价”解释：
例：2H2S+SO2===3S+2H2O
此反应中，H2S中的S是-2价，SO2中的S是+4价，它们两者发生氧化还原反应后，生成0价的S和水
原则
归中反应中，若一种元素化合价有数种，任意价转换后不能超过（大于或小于）中间价，
如-2，0，+1，+2，+5，那么-2价的元素只能转换为0或+1，+5价的元素只能转换为+2或+1，0价的元素只能转换为+1，+2价的元素只能转换为+1，即
+1价在此反应中为中间价态，大于+1价的最多转化为+1价和原价之间的价，用区间表示为[+1，原价）
小于+1价的最多转化为+1价和原价之间的价，用区间表示为（原价，+1] 也就是任意价转换后不能超过（大于或小于）中间价
可以根据此原则判断电子转移
特征方程用于求解特征向量.
递推是中学数学中一个非常重要的概念和方法，递推数列问题能力要求高，内在联系密切，蕴含着不少精妙的数学思想和数学方法。新教材将数列放在高一讲授，并明确给出“递推公式”的概念：如果已知数列 的第1项（或前几项），且任一项 与它的前一项 （或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式。有通项公式的数列只是少数，研究递推数列公式给出数列的方法可使我们研究数列的范围大大扩展。新大纲关于递推数列规定的教学目标是“了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项”，但从近几年来高考试题中常以递推数列或与其相关的问题作为能力型试题来看，这一目标是否恰当似乎值得探讨，笔者以为“根据递推公式写出数列的前几项”无论从思想方法还是从培养能力上来看，都不那么重要，重要的是学会如何去发现数列的递推关系，学会如何将递推关系转化为数列的通项公式的方法。
以线性递推数列通项求法为例
本文以线性递推数列通项求法为例，谈谈这方面的认识。
关于一阶线性递推数列： 其通项公式的求法一般采用如下的参数法[1]，将递推数列转化为等比数列：
对于二阶线性递推数列，许多文章都采用特征方程法[2]：
设递推公式为 其特征方程为 ，
1、 若方程有两相异根 2、 若方程有两等根
很明显，如果将以上结论作为此类问题的统一解法直接呈现出来，学生是难以接受的，也是不负责任的。下面我们结合求一阶线性递推数列的参数法，探讨上述结论的“来源”。
最后我们指出，上述结论在求一类数列通项公式时固然有用，但将递推数列转化为等比（等差）数列的方法更为重要。如对于高阶线性递推数列和分式线性递推数列，我们也可借鉴前面的参数法，求得通项公式。
当f(x)=x时，x的取值称为不动点，不动点是我们在竞赛中解决递推式的基本方法。 典型例子： a(n+1)=(a(an)+b)/(c(an)+d)
注：我感觉一般非用不动点不可的也就这个了，所以记住它的解法就足够了。
我们如果用一般方法解决此题也不是不可以，只是又要待定系数，又要求倒数之类的，太复杂，如果用不动点的方法，此题就很容易了x=(ax+b)/(cx+d)
令 ，即 ，cx2+(d-a)x-b=0
令此方程的两个根为x1，x2，
若x1=x2
则有1/(a(n+1)-x1)=1/(an-x1)+p
其中P可以用待定系数法求解，然后再利用等差数列通项公式求解。
注：如果有能力，可以将p的表达式记住，p=2c/(a+d)
若x1≠x2则有(a(n+1)-x1)/(a(n+1)-x2)=q((an-x1)/(an-x2)
其中q可以用待定系数法求解，然后再利用等比数列通项公式求解。
注：如果有能力，可以将q的表达式记住，q=(a-cx1)/(a-cx2)
简单地说就是在递推中令an=x 代入
a(n+1)也等于x
然后构造数列.（但要注意，不动点法不是万能的，有的递推式没有不动点，但可以用其他的构造法求出通项；有的就不能求出）
我还是给几个具体的例子吧：
1。已知a(1)=m. a(n+1)=〔a*a(n)+b〕/〔c*a(n)+d〕 求an的通项
a(n)和a(n+1)分别表示数列的第n项和第n+1项
解：这种形式的递推式我有两种解法,待定系数法和不动点法,在此用不动点法解决此问题. 将原递推式中的a[n]与a[n+1]都用x代替得到方程x=(ax+b)/(cx+d)
即cx²+(d-a)x-b=0
记方程的根为x1,x2(为了简单起见,假设方程有两实根)
原方程可以变形为-x(a-cx)=b-dx
所以-x=(b-dx)/(a-cx),将x1,x2代入得到
-x1=(b-dx1)/(a-cx1)
-x2=(b-dx2)/(a-cx2)
将递推式两边同时减去x1得到a[n-1]-x1=[(a-cx1)a[n]+b-dx1]/(ca[n]+d)
即a[n-1]-x1=(a-cx1)[a[n]+(b-dx1)/(a-cx1)]/(ca[n]+d)
将-x1=(b-dx1)/(a-cx1)代入得到:
a[n-1]-x1=(a-cx1)(a[n]-x1)/(ca[n]+d)
同理:a[n-1]-x2=(a-cx2)(a[n]-x2)/(ca[n]+d)
两式相除得到(a[n+1]-x1)/(a[n+1]-x2)=[(a-cx1)/(a-cx2)]*[(a[n]-x1)/(a[n]-x2)]
从而{(a[n]-x1)/(a[n]-x2)}是等比数列
(a[n]-x1)/(a[n]-x2)=[(m-x1)/(m-x2)]*[(a-cx1)/(a-cx2)]^(n-1)
所以
a[n]={x2*[(m-x1)/(m-x2)]*[(a-cx1)/(a-cx2)]^(n-1)-x1}/([(m-x1)/(m-x2)]*[(a-cx1)/(a-cx2)]^(n-1)-1}
2。An =2/A(n-1)+A(n-1)/2
求An通项
解：利用不动点来求通项:
设f（x）=2/x+x/2
当f（x）=x时
x=-2，2，此点为不动点
An-2=[A(n-1)-2]^2/2A(n-1)
An-(-2)=[A(n-1)-(-2)]^2/2A(n-1)
两式相除
An-2 =[A(n-1)-2]^2
—— ——————
An+2 [A(n-1)+2]^2
发现规律了吗？
此时再设{Bn}=（An-2）/(An+2 )
B1=（4-2）/(4+2)=1/3
递推式为：Bn =B（n-1）^2
所以Bn=（1/3)^[2^(n-1)]
由Bn通项和An通项的关系
解得：An={2*（1/3)^[2^(n-1)]+2} /
{1-（1/3)^[2^(n-1)] }
自己化简试一下吧
补充一下：不动点大多用于极限过程。如数学分析中的隐函数定理、反函数定理的一般形式，微分方程初值问题解的存在唯一性定理，都是利用不动点理论证明的。
可以参看任何一本组合数学的书。由于数列是分式线性变换的迭代，可以和二阶矩阵的乘幂对应，所以也可以利用线性代数的特征值得到标准形来求解，都是类似的想法。——这就是这个题目背后的数学内容
具体的内容大概写起来很长，建议你去查书，组合数学的书或数学竞赛书中讲组合数学或数列的一部分。
对于高中生，当然可以从更自然的角度去看这个问题：递推公式可以通过适当的变换，转化为（一个或两个）等比数列求解。
网上找到一篇文章，就是讲线性递推和分式线性递推数列的，会对你有帮助：
1．斐波那契数列
莱昂纳多斐波那契（1175－1250）出生于意大利比萨市，是一名闻名于欧洲的数学家，其主要的著作有《算盘书》、《实用几何》和《四艺经》等。在1202年斐波那契提出了一个非常著名的数列，即：
假设一对兔子每隔一个月生一对一雌一雄的小兔子，每对小兔子在两个月以后也开始生一对一雌一雄的小兔子，每月一次，如此下去。年初时兔房里放一对大兔子，问一年以后，兔房内共有多少对兔子？
这就是非常著名的斐波那契数列问题。其实这个问题的解决并不是很困难，可以用表示第个月初时免房里的免子的对数，则有，第个月初时，免房内的免子可以分为两部分：一部分是第个月初就已经在免房内的免子，共有对；另一部分是第个月初时新出生的小免子，共有对，于是有。
现在就有了这个问题：这个数列的通项公式如何去求？为了解决这个问题，我们先来看一种求递归数列通项公式的求法——特征根法。
特征根法：设二阶常系数线性齐次递推式为（），其特征方程为，其根为特征根。
（1）若特征方程有两个不相等的实根，则其通项公式为（），其中A、B由初始值确定；
（2）若特征方程有两个相等的实根，则其通项公式为（），其中A、B由初始值确定。（这个问题的证明我们将在后面的讲解中给出）
因此对于斐波那契数列，对应的特征方程为，其特征根为：
，所以可设其通项公式为，利用初始条件得，解得
所以。
这个数列就是著名的斐波那契数列的通项公式。斐波那契数列有许多生要有趣的性质，如：
它的通项公式是以无理数的形式给出的，但用它计算出的每一项却都是整数。斐波那契数列在数学竞赛的组合数学与数论中有较为广泛地应用。为了方便大家学习这一数列，我们给出以下性质：（请同学们自己证明）
（1）斐波那契数列的前项和；
歧化反应
定义
在反应中，若氧化作用和还原作用发生在同一分子内部处于同一氧化态的元素上，使该元
超氧化物歧化酶(SOD)
素的原子（或离子）一部分被氧化，另一部分被还原。这种自身的氧化还原反应称为歧化反应.
例如Cl2+H2O=HClO+HCl
此反应中Cl2原本是0价
反应后一个升为+1价，一个降为-1价
歧化反应是[1]化学反应的一种，反应中某个元素的化合价既有上升又有下降。与归中反应相对。
例子 1
氯气与氢氧化钠溶液在常温下反应，生成氯化钠、次氯酸钠和水。其离子方程式为：
Cl2 + 2OH− = Cl− + ClO− + H2O
氯气中氯的化合价为0。氯化钠中氯的化合价下降到-1；而次氯酸钠中氯的化合价则上升到+1。
而氯气和氢氧化钠溶液在高温下反应，生成氯酸钠、氯化钠和水。 这两个反应都是典型的歧化反应。
例子 2
在KClO3中,一部分氯(Ⅴ)被氧化为氯(Ⅶ)(ClO嬄)；另一部分被还原为氯(I)(Cl)。发生歧化反应的原因是由于该元素具有高低不同的氧化态，可以在适宜的条件下同时向较高和较低的氧化态转化。
苯甲醛在氢氧化钾溶液中部分氧化为苯甲酸钾；部分还原为苯甲醇，也是歧化反应：
2C6H5CHO+KOH─→C6H5COOK+C6H5CH2OH
例子 3
甲苯在催化剂（一般采用硅铝催化剂）作用下，使一个甲苯分子中的甲基转移到另一个甲苯分子上而生成一个苯分子和一个二甲苯分子，这种反应称作歧化反应。一个甲苯与一个三甲苯也可发生歧化反应（亦称烷基转移反应）生成两个二甲苯分子。工业上用这个方法增产用途广泛的苯和二甲苯。
例子 4
再如过氧化钠吸收二氧化碳生成碳酸钠和氧气
2Na2O2+2CO2====2Na2CO3+O2
Na2O2的氧元素化合价为-1，而Na2CO3的氧元素为-2，O2中氧元素化合价为0
归中反应
归中反应就是指同种元素的不同化合物发生氧化还原反应，那种元素的化合价向中间靠拢。
歧化反应刚好与归中反应相反，一种元素的化合价向两边散开，
不同价态的同种元素间发生氧化还原反应，其结果是两种价态只能相互靠近或最多达到相同的价态，而决不会出现高价态变高、低价态变低的交叉现象。——归中反应规律
价态归中是指,高价态的化合价降低,低价态的化合价升高,但不可能低的最后升的比原来高价态化合价还高。
归中现象：
1、氧化还原反应中的归中反应：
含有同一元素的不同价态的两种物质发生反应，生成只含有该元素中间价态的物质的反应叫做归中反应。发生归中反应的条件是要符合中间价态理论：含有同一元素的不同价态的两种物质，只有当这种元素有中间价态时，才有可能发生归中反应。而且高低价态变化的结果是生成该元素的中间价态。利用中间价态理论可以解释为什么二氧化硫可用浓硫酸干燥(因为不存在+5价的硫)。
C＋CO2=2CO
SO2＋2H2S＝3S↓＋2H2O
H2SO3＋2H2S＝3S↓＋3H2O
H2S＋3H2SO4(浓)＝4SO2＋4H2O
2Fe3+＋Fe＝3Fe2+
6HCl＋KClO3＝KCl＋3Cl2↑＋3H2O
5NaBr＋NaBrO3＋3H2SO4＝3Br2＋3Na2SO4＋3H2O
Ca(ClO)2＋4HCl(浓)＝2Cl2↑＋CaCl2＋2H2O
CuO＋Cu=Cu2O
2Na＋Na2O2=2Na2O
2.、复分解反应中的归中反应：
复分解反应的归中反应是指碱与多元酸反应，正盐与对应的酸式盐或酸反应，酸与对应的酸式盐反应，其中的氢原子数出现的归中现象，从而生成一种酸式盐的一类反应。其中反映的归中规律正是酸式盐的形成条件。
(1) 碱与多元酸反应：当多元酸过量时可形成酸式盐：
NaOH＋H2S＝NaHS＋H2O；
H2SO4十NaOH＝NaHSO4十H2O
(2) 多元酸与对应的正盐反应：
Na2S＋H2S＝2NaHS
CaCO3＋H2O＋CO2＝Ca(HCO3)2
MgCO3＋H2O＋CO2＝Mg(HCO3)2
Na2SO4＋H2SO4＝2NaHSO4
(NH4)2SO3＋SO2＋H2O＝2NH4HSO3
Ca3(PO4)2＋4H3PO4＝3Ca(H2PO4)2
(3) 多元酸与对应的酸式盐
Na2HPO4＋H3PO4＝2NaH2PO4
(4) 正盐与对应的酸式盐：
NaH2PO4＋Na3PO4＝2Na2HPO4
如果把正盐和碱中所含的可电离的氢离子看成是零，那么，生成酸式盐的归中条件是：两种反应物组成上要相差两个或两个以上可电离的氢离子。如果两种反应物的组成相差两个以上可电离的氢离子(即三元酸与对应正盐或与碱反应)，则生成物与反应物用量有关，但符合“显强性”原理，即生成物的组成接近于过量物的组成。 如 (注：n表示物质的量)
≤1，其反应为：H3PO4＋NaOH＝NaH2PO4＋H2O
在1—2之间，其反应为：2H3PO4＋3NaOH＝NaH2PO4＋Na2HPO4＋3H2O ＝2，其反应为：H3PO4＋2NaOH＝Na2HPO4＋2H2O
在2—3之间，其反应为：2H3PO4＋5NaOH＝Na2HPO4＋Na3PO4＋5H2O ≥3，其反应为：H3PO4＋3NaOH＝Na3PO4＋3H2O
又如
≥2，其反应为：2H3PO4＋Na3PO4＝3NaH2PO4
＝1，其反应为：H3PO4＋Na3PO4＝NaH2PO4＋Na2HPO4
≤ ，其反应为：H3PO4＋2Na3PO4＝3Na2HPO4
3.、双水解反应中的归中反应：
这类归中反应是指能形成两性化合物的元素所形成的两类盐溶液反应形成氢氧化物的一类反应。这是金属阳离子和该金属所生成的阴离子生成中性的氢氧化物沉淀的归中现象。如：
Al3+＋3 ＋6H2O＝4Al(OH)3↓
Zn2+＋ ＋2H2O＝2Zn(OH)2↓
“高价+低价→中间价”解释：
例：2H2S+SO2===3S+2H2O
此反应中，H2S中的S是-2价，SO2中的S是+4价，它们两者发生氧化还原反应后，生成0价的S和水
原则
归中反应中，若一种元素化合价有数种，任意价转换后不能超过（大于或小于）中间价，
如-2，0，+1，+2，+5，那么-2价的元素只能转换为0或+1，+5价的元素只能转换为+2或+1，0价的元素只能转换为+1，+2价的元素只能转换为+1，即
+1价在此反应中为中间价态，大于+1价的最多转化为+1价和原价之间的价，用区间表示为[+1，原价）
小于+1价的最多转化为+1价和原价之间的价，用区间表示为（原价，+1] 也就是任意价转换后不能超过（大于或小于）中间价
可以根据此原则判断电子转移
特征方程用于求解特征向量.
递推是中学数学中一个非常重要的概念和方法，递推数列问题能力要求高，内在联系密切，蕴含着不少精妙的数学思想和数学方法。新教材将数列放在高一讲授，并明确给出“递推公式”的概念：如果已知数列 的第1项（或前几项），且任一项 与它的前一项 （或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式。有通项公式的数列只是少数，研究递推数列公式给出数列的方法可使我们研究数列的范围大大扩展。新大纲关于递推数列规定的教学目标是“了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项”，但从近几年来高考试题中常以递推数列或与其相关的问题作为能力型试题来看，这一目标是否恰当似乎值得探讨，笔者以为“根据递推公式写出数列的前几项”无论从思想方法还是从培养能力上来看，都不那么重要，重要的是学会如何去发现数列的递推关系，学会如何将递推关系转化为数列的通项公式的方法。
以线性递推数列通项求法为例
本文以线性递推数列通项求法为例，谈谈这方面的认识。
关于一阶线性递推数列： 其通项公式的求法一般采用如下的参数法[1]，将递推数列转化为等比数列：
对于二阶线性递推数列，许多文章都采用特征方程法[2]：
设递推公式为 其特征方程为 ，
1、 若方程有两相异根 2、 若方程有两等根
很明显，如果将以上结论作为此类问题的统一解法直接呈现出来，学生是难以接受的，也是不负责任的。下面我们结合求一阶线性递推数列的参数法，探讨上述结论的“来源”。
最后我们指出，上述结论在求一类数列通项公式时固然有用，但将递推数列转化为等比（等差）数列的方法更为重要。如对于高阶线性递推数列和分式线性递推数列，我们也可借鉴前面的参数法，求得通项公式。
当f(x)=x时，x的取值称为不动点，不动点是我们在竞赛中解决递推式的基本方法。 典型例子： a(n+1)=(a(an)+b)/(c(an)+d)
注：我感觉一般非用不动点不可的也就这个了，所以记住它的解法就足够了。
我们如果用一般方法解决此题也不是不可以，只是又要待定系数，又要求倒数之类的，太复杂，如果用不动点的方法，此题就很容易了x=(ax+b)/(cx+d)
令 ，即 ，cx2+(d-a)x-b=0
令此方程的两个根为x1，x2，
若x1=x2
则有1/(a(n+1)-x1)=1/(an-x1)+p
其中P可以用待定系数法求解，然后再利用等差数列通项公式求解。
注：如果有能力，可以将p的表达式记住，p=2c/(a+d)
若x1≠x2则有(a(n+1)-x1)/(a(n+1)-x2)=q((an-x1)/(an-x2)
其中q可以用待定系数法求解，然后再利用等比数列通项公式求解。
注：如果有能力，可以将q的表达式记住，q=(a-cx1)/(a-cx2)
简单地说就是在递推中令an=x 代入
a(n+1)也等于x
然后构造数列.（但要注意，不动点法不是万能的，有的递推式没有不动点，但可以用其他的构造法求出通项；有的就不能求出）
我还是给几个具体的例子吧：
1。已知a(1)=m. a(n+1)=〔a*a(n)+b〕/〔c*a(n)+d〕 求an的通项
a(n)和a(n+1)分别表示数列的第n项和第n+1项
解：这种形式的递推式我有两种解法,待定系数法和不动点法,在此用不动点法解决此问题. 将原递推式中的a[n]与a[n+1]都用x代替得到方程x=(ax+b)/(cx+d)
即cx²+(d-a)x-b=0
记方程的根为x1,x2(为了简单起见,假设方程有两实根)
原方程可以变形为-x(a-cx)=b-dx
所以-x=(b-dx)/(a-cx),将x1,x2代入得到
-x1=(b-dx1)/(a-cx1)
-x2=(b-dx2)/(a-cx2)
将递推式两边同时减去x1得到a[n-1]-x1=[(a-cx1)a[n]+b-dx1]/(ca[n]+d)
即a[n-1]-x1=(a-cx1)[a[n]+(b-dx1)/(a-cx1)]/(ca[n]+d)
将-x1=(b-dx1)/(a-cx1)代入得到:
a[n-1]-x1=(a-cx1)(a[n]-x1)/(ca[n]+d)
同理:a[n-1]-x2=(a-cx2)(a[n]-x2)/(ca[n]+d)
两式相除得到(a[n+1]-x1)/(a[n+1]-x2)=[(a-cx1)/(a-cx2)]*[(a[n]-x1)/(a[n]-x2)]
从而{(a[n]-x1)/(a[n]-x2)}是等比数列
(a[n]-x1)/(a[n]-x2)=[(m-x1)/(m-x2)]*[(a-cx1)/(a-cx2)]^(n-1)
所以
a[n]={x2*[(m-x1)/(m-x2)]*[(a-cx1)/(a-cx2)]^(n-1)-x1}/([(m-x1)/(m-x2)]*[(a-cx1)/(a-cx2)]^(n-1)-1}
2。An =2/A(n-1)+A(n-1)/2
求An通项
解：利用不动点来求通项:
设f（x）=2/x+x/2
当f（x）=x时
x=-2，2，此点为不动点
An-2=[A(n-1)-2]^2/2A(n-1)
An-(-2)=[A(n-1)-(-2)]^2/2A(n-1)
两式相除
An-2 =[A(n-1)-2]^2
—— ——————
An+2 [A(n-1)+2]^2
发现规律了吗？
此时再设{Bn}=（An-2）/(An+2 )
B1=（4-2）/(4+2)=1/3
递推式为：Bn =B（n-1）^2
所以Bn=（1/3)^[2^(n-1)]
由Bn通项和An通项的关系
解得：An={2*（1/3)^[2^(n-1)]+2} /
{1-（1/3)^[2^(n-1)] }
自己化简试一下吧
补充一下：不动点大多用于极限过程。如数学分析中的隐函数定理、反函数定理的一般形式，微分方程初值问题解的存在唯一性定理，都是利用不动点理论证明的。
可以参看任何一本组合数学的书。由于数列是分式线性变换的迭代，可以和二阶矩阵的乘幂对应，所以也可以利用线性代数的特征值得到标准形来求解，都是类似的想法。——这就是这个题目背后的数学内容
具体的内容大概写起来很长，建议你去查书，组合数学的书或数学竞赛书中讲组合数学或数列的一部分。
对于高中生，当然可以从更自然的角度去看这个问题：递推公式可以通过适当的变换，转化为（一个或两个）等比数列求解。
网上找到一篇文章，就是讲线性递推和分式线性递推数列的，会对你有帮助：
1．斐波那契数列
莱昂纳多斐波那契（1175－1250）出生于意大利比萨市，是一名闻名于欧洲的数学家，其主要的著作有《算盘书》、《实用几何》和《四艺经》等。在1202年斐波那契提出了一个非常著名的数列，即：
假设一对兔子每隔一个月生一对一雌一雄的小兔子，每对小兔子在两个月以后也开始生一对一雌一雄的小兔子，每月一次，如此下去。年初时兔房里放一对大兔子，问一年以后，兔房内共有多少对兔子？
这就是非常著名的斐波那契数列问题。其实这个问题的解决并不是很困难，可以用表示第个月初时免房里的免子的对数，则有，第个月初时，免房内的免子可以分为两部分：一部分是第个月初就已经在免房内的免子，共有对；另一部分是第个月初时新出生的小免子，共有对，于是有。
现在就有了这个问题：这个数列的通项公式如何去求？为了解决这个问题，我们先来看一种求递归数列通项公式的求法——特征根法。
特征根法：设二阶常系数线性齐次递推式为（），其特征方程为，其根为特征根。
（1）若特征方程有两个不相等的实根，则其通项公式为（），其中A、B由初始值确定；
（2）若特征方程有两个相等的实根，则其通项公式为（），其中A、B由初始值确定。（这个问题的证明我们将在后面的讲解中给出）
因此对于斐波那契数列，对应的特征方程为，其特征根为：
，所以可设其通项公式为，利用初始条件得，解得
所以。
这个数列就是著名的斐波那契数列的通项公式。斐波那契数列有许多生要有趣的性质，如：
它的通项公式是以无理数的形式给出的，但用它计算出的每一项却都是整数。斐波那契数列在数学竞赛的组合数学与数论中有较为广泛地应用。为了方便大家学习这一数列，我们给出以下性质：（请同学们自己证明）
（1）斐波那契数列的前项和；