含绝对值的不等式知识点

含绝对值的不等式

1．绝对值的意义是：xx(x0). x(x0)

2．｜x｜＜a(a＞0)的解集是｛x｜－a＜x＜a｝．

｜x｜＞a(a＞0)的解集是｛x｜x＜－a或x＞a｝．

【思考导学】

1．|ax＋b|＜b(b＞0)转化成－b＜ax＋b＜b的根据是什么？

答：含绝对值的不等式|ax＋b|＜b转化－b＜ax＋b＜b的根据是由绝对值的意义确定．

2．解含有绝对值符号的不等式的基本思想是什么？

答：解含有绝对值符号的不等式的基本思想是去掉绝对值符号，使不等式变为不含绝对值符号的一般不等式，而后，其解法就与解一般不等式或不等式组相同．

【典例剖析】

［例1］解不等式2＜｜2x－5｜≤7．

解法一：原不等式等价于|2x5|2

|2x5|7

∴2x5|2或2x5273

即

72x5|7x2或x2

1x6

∴原不等式的解集为｛x｜－1≤x＜32或7

2＜x≤6｝

解法二：原不等式的解集是下面两个不等式组解集的并集

(Ⅰ)2x50

22x57

(Ⅱ)2x50

252x7

不等式组(Ⅰ)的解集为｛x｜7

2＜x≤6｝

不等式组(Ⅱ)的解集是｛x｜－1≤x＜3

2｝

∴原不等式的解集是｛x｜－1≤x＜32或7

2＜x≤6｝

解法三：原不等式的解集是下面两个不等式解集的并集．

(Ⅰ)2＜2x－5≤7

(Ⅱ)2＜5－2x≤7

不等式(Ⅰ)的解集为｛x｜7

2＜x≤6｝

不等式(Ⅱ)的解集是｛x｜－1≤x＜3

2｝

∴原不等式的解集是｛x｜－1≤x＜32或7

2＜x≤6｝．

点评：含绝对值的双向不等式的解法，关键是去绝对值号．其方法一是转

化为单向不等式组如解法一，再就是利用绝对值的定义如解法二、解法三．

［例2］解关于x的不等式：

(1)｜2x＋3｜－1＜a(a∈R)；

(2)｜2x＋1｜＞x＋1．

解：(1)原不等式可化为｜2x＋3｜＜a＋1

当a＋1＞0，即a＞－1时，由原不等式得－(a＋1)＜2x＋3＜a＋1 a4a2＜x＜ 22

当a＋1≤0,即a≤－1时，原不等式的解集为，

a4a2} 综上，当a＞－1时，原不等式的解集是｛x｜－＜x＜22

当a≤－1时，原不等式的解集是． －

(2)原不等式可化为下面两个不等式组来解

2x102x10(Ⅰ)或(Ⅱ) 2x1x1(2x1)x1

不等式组(Ⅰ)的解为x＞0

不等式组(Ⅱ)的解为x＜－2 3

2或x＞0｝ 3

点评：由于无论x取何值，关于x的代数式的绝对值均大于或等于0，即不可能小于0，故｜f(x)｜＜a(a≤0)的解集为． ∴原不等式的解集为｛x｜x＜－

解不等式分情况讨论时，一定要注意是对参数分类还是对变量分类，对参数分类的解集一般不合并，如

(1)对变量分类，解集必须合并如(2)．

例3］解不等式|x－|2x＋1||＞1．

解：∵由|x－|2x＋1||＞1等价于(x－|2x＋1|)＞1或x－|2x＋1|＜－1

(1)由x－|2x＋1|＞1得|2x＋1|＜x－1

2x102x10∴ 或2x1x1(2x1)x1

11xx即2或2均无解

x2x0

(2)由x－|2x＋1|＜－1得|2x＋1|＞x＋1

2x102x10∴或 2x1x1(2x1)x1

11x2x2即，∴x＞0或x＜－ 2或3x2x03

2综上讨论，原不等式的解集为{x|x＜－或x＞0}． 3

点评：这是含多重绝对值符号的不等式，可以从“外”向“里”，反复应用解答绝对值基本不等式类型的方法，去掉绝对值的符号，逐次化解．

【随堂训练】

1．不等式|8－3x|＞0的解集是( )

A． B．R

C．{x|x≠88，x∈R} D．{} 33

答案： C

2．下列不等式中，解集为R的是( )

A．｜x＋2｜＞1 B．｜x＋2｜＋1＞1

22C．(x－78)＞－ 1 D．(x＋78)－1＞0

答案： C

3．在数轴上与原点距离不大于2的点的坐标的集合是( )

A．｛x｜－2＜x＜2}

B．｛x｜0＜x≤2}

C．｛x｜－2≤x≤2｝

D．｛x｜x≥2或x≤－2｝

解析： 所求点的集合即不等式｜x｜≤2的解集．

答案： C

4．不等式｜1－2x｜＜3的解集是( )

A．｛x｜x＜1}

B．｛x｜－1＜x＜2}

C．｛x｜x＞2｝

D．｛x｜x＜－1或x＞2｝

解析： 由｜1－2x｜＜3得－3＜2x－1＜3，∴－1＜x＜2

答案： B

5．不等式｜x＋4｜＞9的解集是__________．

解析： 由原不等式得x＋4＞9或x＋4＜－9，∴x＞5或x＜－13

答案： ｛x｜x＞5或x＜－13}

6．当a＞0时，关于x的不等式｜b－ax｜＜a的解集是________．

解析： 由原不等式得｜ax－b｜＜a，∴－a＜ax－b＜a bb－1＜x＜＋1 aa

bb∴｛x｜－1＜x＜＋1} aa

bb答案： ｛x｜－1＜x＜＋1｝ aa∴

【强化训练】

1．不等式｜x＋a｜＜1的解集是( )

A．｛x｜－1＋a＜x＜1＋a

B．｛x｜－1－a＜x＜1－a}

C．｛x｜－1－｜a｜＜x＜1－｜a｜}

D．｛x｜x＜－1－｜a｜或x＞1－｜a｜｝

解析： 由｜x＋a｜＜1得－1＜x＋a＜1

∴－1－a＜x＜1－a

答案： B

2．不等式1≤｜x－3｜≤6的解集是( )

A．｛x｜－3≤x≤2或4≤x≤9｝

B．｛x｜－3≤x≤9｝

C．｛x｜－1≤x≤2｝

D．｛x｜4≤x≤9｝

x30x30解析： 不等式等价于或 1x3613x6

解得：4≤x≤9或－3≤x≤2．

答案： A

3．下列不等式中，解集为｛x｜x＜1或x＞3｝的不等式是( )

A．｜x－2｜＞5

B．｜2x－4｜＞3

x1－1｜≤ 22

x1D．1－｜－1｜＜ 22

解析： A中，由｜x－2｜＞5得x－2＞5或x－2＜－5

∴x＞7或x＜－3

7同理，B的解集为｛x｜x＞或x＜－1｝ 2

C的解集为｛x｜x≤1或x≥3｝

D的解集为｛x｜x＜1或x＞3｝ C．1－｜

答案： D

4．已知集合A＝{x||x－1|＜2}，B＝{x||x－1|＞1}，则A∩B等于( )

A．{x|－1＜x＜3}

B．{x|x＜0或x＞3}

C．{x|－1＜x＜0}

D．{x|－1＜x＜0或2＜x＜3}

解析： |x－1|＜2的解为－1＜x＜3，|x－1|＞1的解为x＜0或x＞2．

∴A∩B＝{x|－1＜x＜0或2＜x＜3}．

答案： D

5．已知不等式｜x－2｜＜a(a＞0)的解集是｛x｜－1＜x＜b}，则a＋2b＝ ．

解析： 不等式｜x－2｜＜a的解集为｛x｜2－a＜x＜2＋a｝

由题意知：｛x｜2－a＜x＜2＋a｝＝｛x｜－1＜x＜b｝

2a1a3∴ 2acc5

∴a＋2b＝3＋2×5＝13

答案： 13

6．不等式|x＋2|＞x＋2的解集是______．

解析： ∵当x＋2≥0时，|x＋2|＝x＋2，x＋2＞x＋2无解．

当x＋2＜0时，|x＋2|＝－(x＋2)＞0＞x＋2

∴当x＜－2时，｜x＋2｜＞x＋2

答案： ｛x｜x＜－2｝

7．解下列不等式：

(1)|2－3x|≤2；(2)|3x－2|＞2．

解：(1)由原不等式得－2≤2－3x≤2，各加上－2得－4≤－3x≤0，各除以－3得

≤x≤4≥x≥0，解集为{x|034}． 3

44，故解集为{x|x＜0或x＞}． 33(2)由原不等式得3x－2＜－2或3x－2＞2，解得x＜0或x＞

8．解下列不等式：(1)3≤|x－2|＜9；(2)|3x－4|＞1＋2x．

解：(1)原不等式等价于不等式组

由①得x≤－1或x≥5；

由②得－7＜x＜11，把①、②的解表示在数轴上(如图)，

∴原不等式的解集为{x|－7＜x≤－1或5≤x＜11}．

(2)原不等式等价于下面两个不等式组，即原不等式的解集是下面两个不等式组解集的并集：

3x40,3x40,① ②

(3x4)12x.3x412x;

由不等式组①解得x＞5；由不等式组②解得x＜

∴原不等式的解集为{x|x＜3． 53或x＞5}． 5

9．设A＝｛x｜｜2x－1｜≤3｝，B＝｛x｜|x＋2｜＜1｝，求集合M，使其同时满足下列三个条件：

(1)M［(A∪B)∩Z］；

(2)M中有三个元素；

(3)M∩B≠

解：∵A＝｛x｜｜2x－1｜≤3｝＝｛x｜－1≤x≤2｝

B＝｛x｜|x＋2｜＜1｝＝｛x｜－3＜x＜－1｝

∴M［(A∪B)∩Z］＝｛x｜－1≤x≤2｝∪｛x｜－3＜x＜－1｝∩Z＝｛x｜－3＜x≤2｝∩Z＝｛－2，－1，0，1，2｝

又∵M∩B≠，∴－2∈M．

又∵M中有三个元素

∴同时满足三个条件的M为：

｛－2，－1，0｝，｛－2，－1，1｝，｛－2，－1，2｝，｛－2，0，1｝，｛－2，0，2｝，｛－2，1，2｝．

【学后反思】

解绝对值不等式，关键在于“转化”．根据绝对值的意义，把绝对值不等式转化为一次不等式(组)． ｜x｜＜a与｜x｜＞a(a＞0)型的不等式的解法及利用数轴表示其解集．

不等式｜x｜＜a(a＞0)的解集是｛x｜－a＜x＜a｝．其解集在数轴上表示为(见图1—7)

：

不等式｜x｜＞a(a＞0)的解集是｛x｜x＞a或x＜－a｝，其解集在数轴上表示为(见图1—8)：

把不等式｜x｜＜a与｜x｜＞a(a＞0)中的x替换成ax＋b，就可以得到｜ax＋b｜＜b与｜ax＋b｜＞b(b＞0)型的不等式的解法．

含绝对值的不等式

1．绝对值的意义是：xx(x0). x(x0)

2．｜x｜＜a(a＞0)的解集是｛x｜－a＜x＜a｝．

｜x｜＞a(a＞0)的解集是｛x｜x＜－a或x＞a｝．

【思考导学】

1．|ax＋b|＜b(b＞0)转化成－b＜ax＋b＜b的根据是什么？

答：含绝对值的不等式|ax＋b|＜b转化－b＜ax＋b＜b的根据是由绝对值的意义确定．

2．解含有绝对值符号的不等式的基本思想是什么？

答：解含有绝对值符号的不等式的基本思想是去掉绝对值符号，使不等式变为不含绝对值符号的一般不等式，而后，其解法就与解一般不等式或不等式组相同．

【典例剖析】

［例1］解不等式2＜｜2x－5｜≤7．

解法一：原不等式等价于|2x5|2

|2x5|7

∴2x5|2或2x5273

即

72x5|7x2或x2

1x6

∴原不等式的解集为｛x｜－1≤x＜32或7

2＜x≤6｝

解法二：原不等式的解集是下面两个不等式组解集的并集

(Ⅰ)2x50

22x57

(Ⅱ)2x50

252x7

不等式组(Ⅰ)的解集为｛x｜7

2＜x≤6｝

不等式组(Ⅱ)的解集是｛x｜－1≤x＜3

2｝

∴原不等式的解集是｛x｜－1≤x＜32或7

2＜x≤6｝

解法三：原不等式的解集是下面两个不等式解集的并集．

(Ⅰ)2＜2x－5≤7

(Ⅱ)2＜5－2x≤7

不等式(Ⅰ)的解集为｛x｜7

2＜x≤6｝

不等式(Ⅱ)的解集是｛x｜－1≤x＜3

2｝

∴原不等式的解集是｛x｜－1≤x＜32或7

2＜x≤6｝．

点评：含绝对值的双向不等式的解法，关键是去绝对值号．其方法一是转

化为单向不等式组如解法一，再就是利用绝对值的定义如解法二、解法三．

［例2］解关于x的不等式：

(1)｜2x＋3｜－1＜a(a∈R)；

(2)｜2x＋1｜＞x＋1．

解：(1)原不等式可化为｜2x＋3｜＜a＋1

当a＋1＞0，即a＞－1时，由原不等式得－(a＋1)＜2x＋3＜a＋1 a4a2＜x＜ 22

当a＋1≤0,即a≤－1时，原不等式的解集为，

a4a2} 综上，当a＞－1时，原不等式的解集是｛x｜－＜x＜22

当a≤－1时，原不等式的解集是． －

(2)原不等式可化为下面两个不等式组来解

2x102x10(Ⅰ)或(Ⅱ) 2x1x1(2x1)x1

不等式组(Ⅰ)的解为x＞0

不等式组(Ⅱ)的解为x＜－2 3

2或x＞0｝ 3

点评：由于无论x取何值，关于x的代数式的绝对值均大于或等于0，即不可能小于0，故｜f(x)｜＜a(a≤0)的解集为． ∴原不等式的解集为｛x｜x＜－

解不等式分情况讨论时，一定要注意是对参数分类还是对变量分类，对参数分类的解集一般不合并，如

(1)对变量分类，解集必须合并如(2)．

例3］解不等式|x－|2x＋1||＞1．

解：∵由|x－|2x＋1||＞1等价于(x－|2x＋1|)＞1或x－|2x＋1|＜－1

(1)由x－|2x＋1|＞1得|2x＋1|＜x－1

2x102x10∴ 或2x1x1(2x1)x1

11xx即2或2均无解

x2x0

(2)由x－|2x＋1|＜－1得|2x＋1|＞x＋1

2x102x10∴或 2x1x1(2x1)x1

11x2x2即，∴x＞0或x＜－ 2或3x2x03

2综上讨论，原不等式的解集为{x|x＜－或x＞0}． 3

点评：这是含多重绝对值符号的不等式，可以从“外”向“里”，反复应用解答绝对值基本不等式类型的方法，去掉绝对值的符号，逐次化解．

【随堂训练】

1．不等式|8－3x|＞0的解集是( )

A． B．R

C．{x|x≠88，x∈R} D．{} 33

答案： C

2．下列不等式中，解集为R的是( )

A．｜x＋2｜＞1 B．｜x＋2｜＋1＞1

22C．(x－78)＞－ 1 D．(x＋78)－1＞0

答案： C

3．在数轴上与原点距离不大于2的点的坐标的集合是( )

A．｛x｜－2＜x＜2}

B．｛x｜0＜x≤2}

C．｛x｜－2≤x≤2｝

D．｛x｜x≥2或x≤－2｝

解析： 所求点的集合即不等式｜x｜≤2的解集．

答案： C

4．不等式｜1－2x｜＜3的解集是( )

A．｛x｜x＜1}

B．｛x｜－1＜x＜2}

C．｛x｜x＞2｝

D．｛x｜x＜－1或x＞2｝

解析： 由｜1－2x｜＜3得－3＜2x－1＜3，∴－1＜x＜2

答案： B

5．不等式｜x＋4｜＞9的解集是__________．

解析： 由原不等式得x＋4＞9或x＋4＜－9，∴x＞5或x＜－13

答案： ｛x｜x＞5或x＜－13}

6．当a＞0时，关于x的不等式｜b－ax｜＜a的解集是________．

解析： 由原不等式得｜ax－b｜＜a，∴－a＜ax－b＜a bb－1＜x＜＋1 aa

bb∴｛x｜－1＜x＜＋1} aa

bb答案： ｛x｜－1＜x＜＋1｝ aa∴

【强化训练】

1．不等式｜x＋a｜＜1的解集是( )

A．｛x｜－1＋a＜x＜1＋a

B．｛x｜－1－a＜x＜1－a}

C．｛x｜－1－｜a｜＜x＜1－｜a｜}

D．｛x｜x＜－1－｜a｜或x＞1－｜a｜｝

解析： 由｜x＋a｜＜1得－1＜x＋a＜1

∴－1－a＜x＜1－a

答案： B

2．不等式1≤｜x－3｜≤6的解集是( )

A．｛x｜－3≤x≤2或4≤x≤9｝

B．｛x｜－3≤x≤9｝

C．｛x｜－1≤x≤2｝

D．｛x｜4≤x≤9｝

x30x30解析： 不等式等价于或 1x3613x6

解得：4≤x≤9或－3≤x≤2．

答案： A

3．下列不等式中，解集为｛x｜x＜1或x＞3｝的不等式是( )

A．｜x－2｜＞5

B．｜2x－4｜＞3

x1－1｜≤ 22

x1D．1－｜－1｜＜ 22

解析： A中，由｜x－2｜＞5得x－2＞5或x－2＜－5

∴x＞7或x＜－3

7同理，B的解集为｛x｜x＞或x＜－1｝ 2

C的解集为｛x｜x≤1或x≥3｝

D的解集为｛x｜x＜1或x＞3｝ C．1－｜

答案： D

4．已知集合A＝{x||x－1|＜2}，B＝{x||x－1|＞1}，则A∩B等于( )

A．{x|－1＜x＜3}

B．{x|x＜0或x＞3}

C．{x|－1＜x＜0}

D．{x|－1＜x＜0或2＜x＜3}

解析： |x－1|＜2的解为－1＜x＜3，|x－1|＞1的解为x＜0或x＞2．

∴A∩B＝{x|－1＜x＜0或2＜x＜3}．

答案： D

5．已知不等式｜x－2｜＜a(a＞0)的解集是｛x｜－1＜x＜b}，则a＋2b＝ ．

解析： 不等式｜x－2｜＜a的解集为｛x｜2－a＜x＜2＋a｝

由题意知：｛x｜2－a＜x＜2＋a｝＝｛x｜－1＜x＜b｝

2a1a3∴ 2acc5

∴a＋2b＝3＋2×5＝13

答案： 13

6．不等式|x＋2|＞x＋2的解集是______．

解析： ∵当x＋2≥0时，|x＋2|＝x＋2，x＋2＞x＋2无解．

当x＋2＜0时，|x＋2|＝－(x＋2)＞0＞x＋2

∴当x＜－2时，｜x＋2｜＞x＋2

答案： ｛x｜x＜－2｝

7．解下列不等式：

(1)|2－3x|≤2；(2)|3x－2|＞2．

解：(1)由原不等式得－2≤2－3x≤2，各加上－2得－4≤－3x≤0，各除以－3得

≤x≤4≥x≥0，解集为{x|034}． 3

44，故解集为{x|x＜0或x＞}． 33(2)由原不等式得3x－2＜－2或3x－2＞2，解得x＜0或x＞

8．解下列不等式：(1)3≤|x－2|＜9；(2)|3x－4|＞1＋2x．

解：(1)原不等式等价于不等式组

由①得x≤－1或x≥5；

由②得－7＜x＜11，把①、②的解表示在数轴上(如图)，

∴原不等式的解集为{x|－7＜x≤－1或5≤x＜11}．

(2)原不等式等价于下面两个不等式组，即原不等式的解集是下面两个不等式组解集的并集：

3x40,3x40,① ②

(3x4)12x.3x412x;

由不等式组①解得x＞5；由不等式组②解得x＜

∴原不等式的解集为{x|x＜3． 53或x＞5}． 5

9．设A＝｛x｜｜2x－1｜≤3｝，B＝｛x｜|x＋2｜＜1｝，求集合M，使其同时满足下列三个条件：

(1)M［(A∪B)∩Z］；

(2)M中有三个元素；

(3)M∩B≠

解：∵A＝｛x｜｜2x－1｜≤3｝＝｛x｜－1≤x≤2｝

B＝｛x｜|x＋2｜＜1｝＝｛x｜－3＜x＜－1｝

∴M［(A∪B)∩Z］＝｛x｜－1≤x≤2｝∪｛x｜－3＜x＜－1｝∩Z＝｛x｜－3＜x≤2｝∩Z＝｛－2，－1，0，1，2｝

又∵M∩B≠，∴－2∈M．

又∵M中有三个元素

∴同时满足三个条件的M为：

｛－2，－1，0｝，｛－2，－1，1｝，｛－2，－1，2｝，｛－2，0，1｝，｛－2，0，2｝，｛－2，1，2｝．

【学后反思】

解绝对值不等式，关键在于“转化”．根据绝对值的意义，把绝对值不等式转化为一次不等式(组)． ｜x｜＜a与｜x｜＞a(a＞0)型的不等式的解法及利用数轴表示其解集．

不等式｜x｜＜a(a＞0)的解集是｛x｜－a＜x＜a｝．其解集在数轴上表示为(见图1—7)

：

不等式｜x｜＞a(a＞0)的解集是｛x｜x＞a或x＜－a｝，其解集在数轴上表示为(见图1—8)：

把不等式｜x｜＜a与｜x｜＞a(a＞0)中的x替换成ax＋b，就可以得到｜ax＋b｜＜b与｜ax＋b｜＞b(b＞0)型的不等式的解法．