【探究发现】
按图中方式将大小不同的两个正方形放在一起，分别求出阴影部分（⊿ACF ）的面积。 （单位：厘米，阴影部分的面积依次用S 1、S 2、S 3表示） 1.
S 1= cm; S2= cm; S3= cm. 2. 上题中，重新设定正方形ABCD 的边长，AB= cm ，并再次分别求出阴影部分（⊿ACF ）的面积：S 1= cm; S2= cm; S3= cm. 3. 归纳总结你的发现：
【推理反思】
按图中方式将大小不同的两个正方形放在一起，设小正方形的边长是b cm ，大正方形的边长是a cm ，求：阴影部分（⊿ACF ）的面积。 解：
【应用拓展】
1．按上图方式将大小不同的两个正方形放在一起，若大正方形的面积是80cm , 则图中阴影三角形的面积是 cm.
2．如图，C 是线段AB 上任意一点，分别以AC 、BC 为边 在线段AB 同侧构造等边三角形⊿ACD 和等边三角形⊿CBE ，若⊿CBE 的面积是1 cm，则图中阴影三角形的面积是 cm.
2
2
2
2
222
222
如图，矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，将矩形ABCD 沿对角线AC 平移，平移后的矩形为EFGH （A 、E 、C 、G 始终在同一条直线上），当点E 与C 重合时停止移动．平移中EF 与BC 交于点N ，GH 与BC 的延长线交于点M ，EH 与DC 交于点P ，FG 与DC 的延长线交于点Q ．设S 表示矩形PCMH 的面积，S '表示矩形NFQC 的面积． （1） S 与S '相等吗？请说明理由．
（2）设AE ＝x ，写出S 和x 之间的函数关系式，并求出x 取何值时S 有最大值，最大值是多少？
（3）连结BE 、BF ，是否存在x ，使△BEF 是等腰三角形？若存在，请直接写出此时x 的值（不必展示探求过程） ；若不存在，说明理由．（图2、图3供同学们分析题目使用，请用钢笔或圆珠笔完成草图） 解：
A D P H B C N
M F G 图1
操作：在△ABC 中，AC =BC =2，∠C =90°， 将一块三角板的直角顶点放在斜边AB 的中点P 处，将三角板绕P 点旋转，三角板的两直角边分别交射线．．AC 、射线．．CB 于D 、E 两点。
图⑴、⑵、⑶是旋转三角板得到的图形中的其中三种。
探究：⑴三角板绕P 点旋转，观察线段PD 和PE 之间有什么大小关系？它们的关系为 。并以图⑵为例，加以证明。
⑵三角板绕P 点旋转，△PBE 是否能成为等腰三角形？若能，指出所有的情况（即求
出△PBE 为等腰三角形时的CE 的长）；若不能，请说明理由。
两块完全相同的直角三角板ABC 和DEF 如图1所示放置，点C 、F 重合，且BC 、DF 在
一条直线上，其中AC =DF =4，BC =EF =3．固定Rt △ABC 不动，让Rt △DEF 沿CB 向左平移，直到点F 和点B 重合为止．设FC =x ，两个三角形重叠阴影部分的面积为y ． （1）如图2，求当x =
1
时，y 的值是多少？ 2
（2）如图3，当点E 移动到AB 上时，求x 、y 的值； （3）求y 与x 之间的函数关系式；
如图，等边三角形ABC 的边长为8，点P 由点B 开始沿BC 以每秒1个单位长的速度作匀速运动，到点C 后停止运动；点Q 由点C 开始沿C-A-B 以每秒2个单位长的速度作匀速运动，到点B 后停止运动. 若点P ，Q 同时开始运动，运动的时间为t(秒)(t＞0).
（1）指出当t ＝4秒时，点P,Q 的位置，此时直线PQ 有何特点？
（2）当点Q 在AC 边上运动时，求△PCQ 的面积S 1与t 的函数关系式.
（3）当点Q 在AB 边上运动时（点Q 与点B 不重合），求四边形PCAQ 的面积S 2与t 的函数关系式，并指出自变量t 的取值范围.
B
P
. 如图28-1所示，一张三角形纸片ABC ，∠ACB=90°,AC=8,BC=6.沿斜边AB 的中线CD 把这张纸片剪成∆AC 1D 1和∆BC 2D 2两个三角形（如图28-2所示）. 将纸片∆AC 1D 1沿直线，当点D 1于点B 重合时，停止D 2B （AB ）方向平移（点A , D 1, D 2, B 始终在同一直线上）
平移. 在平移过程中，C 1D 1与BC 2交于点E, AC 1与C 2D 2、BC 2分别交于点F 、P. (1) 当∆AC 1D 1平移到如图28-3所示的位置时，猜想图中的D 1E 与D 2F 的数量关系，并证
明你的猜想；
(2) 设平移距离D 2D 1为x ，∆AC 1D 1与∆BC 2D 2重叠部分面积为y ，请写出y 与x 的函数关系式，以及自变量的取值范围；
(3) 对于（2）中的结论是否存在这样的x 的值；若不存在，请说明理由.
C 1C 2C
2
A B A B D D 1D 212 28-1图
28-2图 28-3图
在平行四边形ABCD 中，AB =6cm ，AD =AC =5cm ．点P 由C 出发沿CA 方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，线段EF 由AB 出发沿AD 方向匀速运动，速度为1cm/s，交AC 于Q ，连接PE 、PF ．若设运动时间为t （s ）（0
（2）设△PEQ 的面积为y ，写出y 与t 的函数关系式.
（3）当t 为何值时，△PEQ 的面积是平行四边形ABCD 面积的3?
50
(4)在上述运动过程中，五边形ABFPE 的面积是否为定值？如果是，求出五边形ABFPE 的面积；如果不是，请说明理由．
B
如图，正方形ABCD 的边长为1，点E 是AD 边上的动点，从点A 沿AD 向D 运动，以．．BE 为边，在BE 的上方作正方形BEFG ，连接CG 。请探究： （1）线段AE 与CG 是否相等？请说明理由：
（2）若设AE =x ，DH =y ，当x 取何值时，y 最大？ （3）连接BH ，当点E 运动到AD 的何位置时，△
BEH ∽△BAE ？
【探究发现】
按图中方式将大小不同的两个正方形放在一起，分别求出阴影部分（⊿ACF ）的面积。 （单位：厘米，阴影部分的面积依次用S 1、S 2、S 3表示） 1.
S 1= cm; S2= cm; S3= cm. 2. 上题中，重新设定正方形ABCD 的边长，AB= cm ，并再次分别求出阴影部分（⊿ACF ）的面积：S 1= cm; S2= cm; S3= cm. 3. 归纳总结你的发现：
【推理反思】
按图中方式将大小不同的两个正方形放在一起，设小正方形的边长是b cm ，大正方形的边长是a cm ，求：阴影部分（⊿ACF ）的面积。 解：
【应用拓展】
1．按上图方式将大小不同的两个正方形放在一起，若大正方形的面积是80cm , 则图中阴影三角形的面积是 cm.
2．如图，C 是线段AB 上任意一点，分别以AC 、BC 为边 在线段AB 同侧构造等边三角形⊿ACD 和等边三角形⊿CBE ，若⊿CBE 的面积是1 cm，则图中阴影三角形的面积是 cm.
2
2
2
2
222
222
如图，矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，将矩形ABCD 沿对角线AC 平移，平移后的矩形为EFGH （A 、E 、C 、G 始终在同一条直线上），当点E 与C 重合时停止移动．平移中EF 与BC 交于点N ，GH 与BC 的延长线交于点M ，EH 与DC 交于点P ，FG 与DC 的延长线交于点Q ．设S 表示矩形PCMH 的面积，S '表示矩形NFQC 的面积． （1） S 与S '相等吗？请说明理由．
（2）设AE ＝x ，写出S 和x 之间的函数关系式，并求出x 取何值时S 有最大值，最大值是多少？
（3）连结BE 、BF ，是否存在x ，使△BEF 是等腰三角形？若存在，请直接写出此时x 的值（不必展示探求过程） ；若不存在，说明理由．（图2、图3供同学们分析题目使用，请用钢笔或圆珠笔完成草图） 解：
A D P H B C N
M F G 图1
操作：在△ABC 中，AC =BC =2，∠C =90°， 将一块三角板的直角顶点放在斜边AB 的中点P 处，将三角板绕P 点旋转，三角板的两直角边分别交射线．．AC 、射线．．CB 于D 、E 两点。
图⑴、⑵、⑶是旋转三角板得到的图形中的其中三种。
探究：⑴三角板绕P 点旋转，观察线段PD 和PE 之间有什么大小关系？它们的关系为 。并以图⑵为例，加以证明。
⑵三角板绕P 点旋转，△PBE 是否能成为等腰三角形？若能，指出所有的情况（即求
出△PBE 为等腰三角形时的CE 的长）；若不能，请说明理由。
两块完全相同的直角三角板ABC 和DEF 如图1所示放置，点C 、F 重合，且BC 、DF 在
一条直线上，其中AC =DF =4，BC =EF =3．固定Rt △ABC 不动，让Rt △DEF 沿CB 向左平移，直到点F 和点B 重合为止．设FC =x ，两个三角形重叠阴影部分的面积为y ． （1）如图2，求当x =
1
时，y 的值是多少？ 2
（2）如图3，当点E 移动到AB 上时，求x 、y 的值； （3）求y 与x 之间的函数关系式；
如图，等边三角形ABC 的边长为8，点P 由点B 开始沿BC 以每秒1个单位长的速度作匀速运动，到点C 后停止运动；点Q 由点C 开始沿C-A-B 以每秒2个单位长的速度作匀速运动，到点B 后停止运动. 若点P ，Q 同时开始运动，运动的时间为t(秒)(t＞0).
（1）指出当t ＝4秒时，点P,Q 的位置，此时直线PQ 有何特点？
（2）当点Q 在AC 边上运动时，求△PCQ 的面积S 1与t 的函数关系式.
（3）当点Q 在AB 边上运动时（点Q 与点B 不重合），求四边形PCAQ 的面积S 2与t 的函数关系式，并指出自变量t 的取值范围.
B
P
. 如图28-1所示，一张三角形纸片ABC ，∠ACB=90°,AC=8,BC=6.沿斜边AB 的中线CD 把这张纸片剪成∆AC 1D 1和∆BC 2D 2两个三角形（如图28-2所示）. 将纸片∆AC 1D 1沿直线，当点D 1于点B 重合时，停止D 2B （AB ）方向平移（点A , D 1, D 2, B 始终在同一直线上）
平移. 在平移过程中，C 1D 1与BC 2交于点E, AC 1与C 2D 2、BC 2分别交于点F 、P. (1) 当∆AC 1D 1平移到如图28-3所示的位置时，猜想图中的D 1E 与D 2F 的数量关系，并证
明你的猜想；
(2) 设平移距离D 2D 1为x ，∆AC 1D 1与∆BC 2D 2重叠部分面积为y ，请写出y 与x 的函数关系式，以及自变量的取值范围；
(3) 对于（2）中的结论是否存在这样的x 的值；若不存在，请说明理由.
C 1C 2C
2
A B A B D D 1D 212 28-1图
28-2图 28-3图
在平行四边形ABCD 中，AB =6cm ，AD =AC =5cm ．点P 由C 出发沿CA 方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，线段EF 由AB 出发沿AD 方向匀速运动，速度为1cm/s，交AC 于Q ，连接PE 、PF ．若设运动时间为t （s ）（0
（2）设△PEQ 的面积为y ，写出y 与t 的函数关系式.
（3）当t 为何值时，△PEQ 的面积是平行四边形ABCD 面积的3?
50
(4)在上述运动过程中，五边形ABFPE 的面积是否为定值？如果是，求出五边形ABFPE 的面积；如果不是，请说明理由．
B
如图，正方形ABCD 的边长为1，点E 是AD 边上的动点，从点A 沿AD 向D 运动，以．．BE 为边，在BE 的上方作正方形BEFG ，连接CG 。请探究： （1）线段AE 与CG 是否相等？请说明理由：
（2）若设AE =x ，DH =y ，当x 取何值时，y 最大？ （3）连接BH ，当点E 运动到AD 的何位置时，△
BEH ∽△BAE ？