龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn
方阵的特征值与方阵的根
作者：林大华, 戴立辉
来源：《教育教学论坛》2013年第29期
摘要：通过对方阵特征值与方阵根之间关系的讨论，用方阵的特征值给出方阵存在根的若干条件。
关键词：方阵；特征值；根
一、引言与预备知识
方阵的特征值是矩阵理论中的一个重要的概念，许多矩阵问题都与其有密切的联系，在其他领域也具有广泛的应用. 而方阵的根是方阵幂的反问题，与方阵的特征值是两个不同的概念. 文献[1-3]对方阵的根做了初步的探讨，得到了一些结果. 本文讨论方阵的特征值与方阵的根两者之间的联系，用方阵的特征值给出了方阵存在根的一些条件，可作为文献[1-3]的补充. 在本文中，我们用Pn×n 表示数域P 上n 阶方阵集合，用r （A ）表示矩阵A 的秩，用C 表示复数域，其他记号可参见文献[4].定义1.1[1-3]设A ∈Pn×n ，若存在B ∈Pn×n ，使得A=Bm，则称B 是A 的m 次根. 定义1.2[4]设A ∈Pn×n ，λ∈P 是A 的特征值，则集合Vλ=ζ∈Pn ｜Aζ=λζ是Pn 的子空间，称为A 的属于特征值λ的特征子空间. 定义1.3[4]设λ∈C ，形式为λ 1 λ?埙 ?埙1 λ的方阵称为含λ的若当块. 由若干个若当块组成的准对角矩阵J=J■ J■?埙 J■，称为若当形矩阵，其中Ji=λi 1 λi?埙 ?埙1 λi是含λi的若当块，且λ1，λ2，…，λs中有些可以相等. 定理1.1[4]：设A ∈Cn×n ，则存在可逆阵P ，使得P-1AP=J=J■ J■?埙 J■且对角线上元素 λ1，λ2，…，λs是A 的全部特征值. 在定理1.1中，当dimVλi=λi的重数k 时，含有λi的若当块有k 个且都是一阶的.
二、方阵存在根的条件
定理2.1[3]：设A ∈Cn×n ，则当A 可对角化时，对任意正整数m ，A 存在m 次根. 定理
2.2[1]在复数域上，对任意正整数m （m ＞1），n （n ＞1）阶若当块J=λ 1 λ ?埙 ?埙 1 λ，存在m 次根充要条件是λ≠0.推论2.1：n 阶若当块0 1 0 ?埙 ?埙 1 0存在m 次根充要条件是n=1.定理
2.3[3]：若A ∈Pn×n 存在任意m 次根，而D 与A 相似，则D 也存在任意m 次根. 定理2.4：设A=A1A2?埙 As则当Ai （i=1，2，…，s ）存在任意m 次根时，A 也存在任意m 次根. 证明：设 Bi是Ai 的m 次根，则B■■=Ai（i=1，2，…，s ），从而有A=A1A2?埙 As=B■■B■■?埙 B■■=B1B2?埙 Bs，所以A 存在m 次根.
三、方阵特征值与方阵根存在性的关系
定理3.1：设λ1，λ2，…，λk是方阵A ∈Cn×n 的全部特征值，则：
龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn
方阵的特征值与方阵的根
作者：林大华, 戴立辉
来源：《教育教学论坛》2013年第29期
摘要：通过对方阵特征值与方阵根之间关系的讨论，用方阵的特征值给出方阵存在根的若干条件。
关键词：方阵；特征值；根
一、引言与预备知识
方阵的特征值是矩阵理论中的一个重要的概念，许多矩阵问题都与其有密切的联系，在其他领域也具有广泛的应用. 而方阵的根是方阵幂的反问题，与方阵的特征值是两个不同的概念. 文献[1-3]对方阵的根做了初步的探讨，得到了一些结果. 本文讨论方阵的特征值与方阵的根两者之间的联系，用方阵的特征值给出了方阵存在根的一些条件，可作为文献[1-3]的补充. 在本文中，我们用Pn×n 表示数域P 上n 阶方阵集合，用r （A ）表示矩阵A 的秩，用C 表示复数域，其他记号可参见文献[4].定义1.1[1-3]设A ∈Pn×n ，若存在B ∈Pn×n ，使得A=Bm，则称B 是A 的m 次根. 定义1.2[4]设A ∈Pn×n ，λ∈P 是A 的特征值，则集合Vλ=ζ∈Pn ｜Aζ=λζ是Pn 的子空间，称为A 的属于特征值λ的特征子空间. 定义1.3[4]设λ∈C ，形式为λ 1 λ?埙 ?埙1 λ的方阵称为含λ的若当块. 由若干个若当块组成的准对角矩阵J=J■ J■?埙 J■，称为若当形矩阵，其中Ji=λi 1 λi?埙 ?埙1 λi是含λi的若当块，且λ1，λ2，…，λs中有些可以相等. 定理1.1[4]：设A ∈Cn×n ，则存在可逆阵P ，使得P-1AP=J=J■ J■?埙 J■且对角线上元素 λ1，λ2，…，λs是A 的全部特征值. 在定理1.1中，当dimVλi=λi的重数k 时，含有λi的若当块有k 个且都是一阶的.
二、方阵存在根的条件
定理2.1[3]：设A ∈Cn×n ，则当A 可对角化时，对任意正整数m ，A 存在m 次根. 定理
2.2[1]在复数域上，对任意正整数m （m ＞1），n （n ＞1）阶若当块J=λ 1 λ ?埙 ?埙 1 λ，存在m 次根充要条件是λ≠0.推论2.1：n 阶若当块0 1 0 ?埙 ?埙 1 0存在m 次根充要条件是n=1.定理
2.3[3]：若A ∈Pn×n 存在任意m 次根，而D 与A 相似，则D 也存在任意m 次根. 定理2.4：设A=A1A2?埙 As则当Ai （i=1，2，…，s ）存在任意m 次根时，A 也存在任意m 次根. 证明：设 Bi是Ai 的m 次根，则B■■=Ai（i=1，2，…，s ），从而有A=A1A2?埙 As=B■■B■■?埙 B■■=B1B2?埙 Bs，所以A 存在m 次根.
三、方阵特征值与方阵根存在性的关系
定理3.1：设λ1，λ2，…，λk是方阵A ∈Cn×n 的全部特征值，则：