测量不确定度的评定一般方法
【摘要】 在对测量设备进行校准/检定后，要出具校准证书或检
定证书 ；对某个被测量设备进行测量后，要给出测量结果，按照
iso/iec导则25.45的规定应给出测量不确定度。测量不确定度的
评定，是根据测量方法和测量程序确定被测量与其它量之间的函数
关系，分析不确定度来源，列出不确定度分量清单，最终确定被测
量结果的可信程度的一种方法。
【关键词】 不确定度 自由度 相关系数
一．引言
近年来，国内计量学研究取得一些新进展，名词术语和不确定度
表示趋向国际校准和测试实验室接受权威的认可机构认可，成为国
内同行的资格与能力合格评定手段，测量保证在质量体系中的要素
地位和质量保证中的支撑性地位被世界公认。这些方面的新进展都
体现在相关的国际标准中，也体现在颁布的国家军用标准中，为贯
彻国军标，为使计量工作与国际接轨，计量工作中不确定度评定是
计量工作中的新的发展和变化的需要。
二．评定步骤
为评定测量结果的不确定度或提供测量不确定度评定的报告，一
般可按下列步骤进行：
1.概述
2.建立数学模型
3.输入量的标准不确定度评定，包括标准不确定度的a类评定和
标准不确定度的b类评定。
4.合成标准不确定度的评定
5.扩展不确定度的评定
6.测量不确定度的报告与表示
三．如何建立数学模型
1.根据测量方法和测量程序建立数学模型，即确定被测量y（输出
量）与其它量（输入量）(x1,x2…xn)之间的函数关系：
x= (x1,x2…xn)。
输入量通常是一些直接可测的量，物理量或其它量（如修正值）。
由x1,x2…xn的最佳值 ，可得到y的最佳值y，则y= 。
建立数学模型时，应说明数学模型中的各个量的含义。
2.测量结果y的不确定度将取决于输入量x1,x2…xn的
不确定度及其传播率。应周全地找出这些输入量的不确定度来源，
可从测量仪器，测量环境，测量人员，测量方法，被测量等方面全
面考虑，应做到不遗漏，不重复。
评定y的不确定度之前，为确定y的最佳值，应将所有修正量加
入测得值，并将所有测量异常值剔除。
3.输出量y的输入量x1,x2…xn本身可看作被测量，也
取决于其它量，甚至包括具有系统效应的修正值，从而可能导出一
个十分复杂的函数关系式。在实际测量中，如果修正值本身与合成
标准不确定度比起来很小时，修正量可不加到测量结果中。输入量
及其不确定度来源的考虑应充分满足测量所需求的准确度，同一被
测量y的不同的准确度要求下，其数学模型可能会不完全相同。如
果测量过程比较简单，准确度要求不高，一般所考虑的输入量或影
响量个数较少。
四．输入量的标准不确定度评定
1对于数学模型y=f（x1,x2…xn），输出量y的不确定
度将取决于xi不确定度，即xi不确定度是y的不确定度的
来源，所以在评定输出量y的不确定度之前，首先应评定：输入量
xi的标准不确定度u(xi)。
u(xi)的评定一般应按（x1,x2…xn）依次逐个
评定。每个输入量xi的u（xi）的评定中，可能会有几个独
立无关的不确定度来源，则可以相应作为u（xi）分项。这种情
况应首先评定标准不确定度u（xi）的分项（xij），u
（xi）则为各个u（xij）的合成。
输入量xi的标准不确定度u（xi）及其分项u（xij
）的评定方法可归纳为a、b两类：
a类评定采用对观测列进行统计分析方法，来评定标准不确定度。
b类评定用不同于对观测列进行统计分析的方法，来评定标准不确
定度。
2标准不确定度的a类评定
(1)基本方法:
标准不确定度a类评定的信息来源于对一个输入量x进行多次重
复测量得到的测量列，（x1,x2…xn）采用统计分析方法
计算标准不确定度。
输入量的最佳值等于测量列x1,x2…xn的算术平均值，
在等精度测量下，算术平均值x-为：
测量列的单次实验标准偏差s，通常可采用贝塞尔法计算：s=
测量列的平均值的实验标准偏差s(x-)可按下式计算：s(x
-)=s√n
输入量x的a类标准不确定度 即为测量列的平均值的实验标准
差：
a类标准不确定度u(x)的自由度等于测量列标准差的自由度，用
贝塞尔法计算测量列标准差时，其自由度v=n-1，n为测量列的测
量次数。
2.2在规范化的常规测量中，如计量标准开展的检定项目等。在重
复性条件下或复现性条件下进行的规范化测量，测量结果的不确定
度及其a类标准不确定度也可不一定每一次测量时重新评定，可直
接采用预先评定结果，为提高其可靠性，一般应采用合并样本标准
差。
对于输入量 在重复性下或复现性条件下进行n次x独立测量，得
到x1,x2…xn，其平均值为x-，实验标准差为s，自
由度为v。如果有m组这样的测量，则合成样本差s可按下式计算：
合并样本标准差的自由度 可按下式计算：
；式中vj-m- 组中第j组测量列的自由度。在实际测量中，如
对输入量x仅进行了k次测量（1≤k≤n）以k次测量算术平均值
作为测量结果，则该结果的标准不确定度可为u（x-）=sp√
k，无论实际测量次数 采取多大，其标准不确定度u（x-）的自
由度均等于sp的自由度v。
上述m组测量列应考虑到可能的不同测量点，不同量程测量结果，
如果在不同测量点，不同量程所得到测量列的标准差相差较大或有
一定变化规律时，应按不同测量点，不同量程分段计算sp。
为使所得合并样本标准差sp更能代表日常规范化测量情况，
上述m组测量列还应尽可能考虑到同类型的不同被测情况，如果对
同类型不同被测情况所得测量列标准差较大，就不能使用同一个合
并样本标准差sp，通过试验说明该类型被测不太稳定，需要对
每个被测进行a类评定或在测量要求允许的情况下保守地采用其中
一列标准差最大的测量列，自由度为 n-1，n为该测量列的测量次
数。
合并样本标准差sp只有在同类型被测较稳定，m组测量列的各
个标准差s相差不大情况下，标准差s的不确定度可以忽略时，才
能使用同一个sp。考虑到测量列的标准差s是一个变量，标准
差s的标准差
式中 为测量列中测量次数。
2.3贝塞尔法是计算实验标准差的最常用方法，还有其它计算方
法，如极差法、最大残差法，最小二乘法等。其自由度也有相应的
计算方法。
一般在测量次数较小时可采用极差法。对输入量x进行n次重复
测量，计算测量结果中的最大值与最小值之差的r（称为极差），在
x可以估计接近正态分布的情况下，单次测量结果xi的实验标
准差 s可以按下式近似地评定：
s=rc
系数 及自由度如下表所示：
2.4涉及到的几个概念
(1)（测量结果）重复性在相同测量条件下，对同一被测量连续进
行多次测量所得结果之间的一致性。
这些相同的条件称为重复性条件，包括：相同的测量程序，相同
的观测者，在相同条件下使用相同测量器具，相同地点和在短期内
进行重复测量，可以用测量结果的分散性定量地表示。
(2)（测量结果）复现性:在变化的测量条件下，同一被测量的测
量结果之间的一致性。变化的测量条件包括：测量原理，测量方法，
观测者，测量器具，参照标准，测量地点，使用条件和测量时间，
可用测量结果的分散性定量表示。
(3)自由度:在方差的计算中，和的次数减去对和的限制数。
3标准不确定度的b类评定
3.1采用标准不确定度b类评定的信息来源一般有：
a．校准证书，检定证书或其它文件提供的数据准确度等级，包括
目前使用的极限误差等。
b．生产部门的技术说明书。
c．以前测量的数据和经验。
d．对有关测量仪器性能或材料掌握的知识。
e．手册或有关资料给出的数据及其不确定度。
3.2基本方法
对于以上信息来源的不确定度的b类评定，可以根据所提供的信
息，先确定（找出）其输入量x的不确定度区间［-α ，α］或误
差的范围，其中α为区间的半宽度。然后根据该输入量x在不确定
度区间［-α，α］内的概率分布情况确定包含因子kp，则按下式，
可计算得b类标准不确定度 u（x）= akp
包含因子kp的确定一般有以下几种方法：
a．服从正态分布
b．服从其他分布
c．不能确定分布情况，可认为服从均匀分布的假设取包含因子为
√3。
3.3输入量 由完善的校准证明书或检定证书等技术文件给出，同
时也给出了x的不确定度u(x)及k值，标准不确定度 =u(x)u(x)k 。
3.4输入量 的分散区间为［α-α+］ ,且相对于最佳估计值
并不对称的情况下，则半宽度α= (α+-α-)/2，缺乏 在区间
内的分布信息，则可按均匀分布处理。标准不确定度u(x)可按下式
计算：u(x)=(a+-α)/2√3 = /2 。
3.5对于数字显示式测量仪器，如其分辨率为x，则由此引起
的标准不确定度为 u(x)=0.29x。
3.6 b类评定的自由度
b类评定的标准不确定度u(x)的自由度可按下式近似计算得：v=12
［△u(x)u(x)］-2
根据经验，按所依据的信息来源的可信程度可估计u(x)的相对标
准不确定度［△u(x)u(x)］，然后按上式计算。
五．合成标准不确定度的评定
1灵敏系数
对于数学模型y=f(x1,x2…xn)
fxi是在xi=xi 时导出的这些偏导数称为灵敏系
数，符号为ci，即 =fxi
灵敏系数反映了输出量y的估计值y如何随输入量估计值x1,x
2…xn的变化而变化，即ci描述了当xi变化一个单
位时，引起y的变化量。
2标准不确定度汇总表
在标准不确定度合成之前，应将所有a类评定和b类评定得到的
标准不确定度按下表格形成汇总表，以便统揽和审核各输入量的标
准不确定度的情况。
标准不确定度汇总表
3合成标准不确定度的计算
合成标准不确定度按输出量y的估计值y给出的符号为uc(y)。
当全部输入量是彼此独立或不相关时，合成标准不确定度uc(y)
的方差可按下式得出：
标准不确定度u(xi)既可以按a类，也可以按b类方法评定。u
c(y)是估计的标准差，表征合理赋予被测量y之值的分散性。
4当输入量xi之间明显相关时，就必须考虑相关性。当所有输
入量xi都相关，且相关系数y(xi,xi) =1相关情况下，
合成标准不确定度应为：
5合成标准不确定度自由度的计算
六．扩展不确定度的评定
扩展不确定度分为两种表示形式：up和u
1扩展不确定度up可由下式计算：
up=kpuc（y） 与y的分布有关
2扩展不确定度u可由下式计算
u =kuc（y） 一般取2～3
七．测量不确定度的报告与表示
当给出完整的测量结果时，一般应报告其测量不确定度。
1报告测量不确定度时应尽可能详细，以使使用者可以正确地利用
测量结果：
报告扩展不确定度u时，应同时报告包含因子k
报告扩展不确定度up时，应同时报告包含因子kp及v
sff、p。
2报告合成标准不确定度或扩展不确定度的有效位数最多为两位
有效数字。在连续（中间）计算中，为避免修改误差可保留多一些
有效数字，最终报告不确定度时，其末位后面的数按数据修约规则
进行（以保留数字的末位为单位：①末位后的数大于0.5者，末位
进一；②末位后的数小于0.5者，末位不变；③末位后的数恰为0.5
者，末位变成偶数，即末位为奇数时进一成偶数，当末位为偶数时
舍去该0.5仍保持偶数。）。
对报告的测量结果，需将其修约至与其不确定度有效位数一致（即
报告测量结果的有效数字末位与其不确定度末位”数位”上应一
致）。
八．结束语
测量不确定度是经典的误差理论发展和完善的产物，目的是为了
澄清一些模糊的概念和便于使用，因为它比经典的误差表示方法更
为科学和实用，在出具校准证书，测试报告和技术报告中涉及到测
量结果时规定一律使用测量不确定度来表述。
参考文献
［1］ jjf1059-1999中华人民共和国国家计量技术规范《测量不
确定度评定与表示》
［2］ gjb3756-1999中华人民共和国国家军用标准《测量不确定
度的表示及评定》
测量不确定度的评定一般方法
【摘要】 在对测量设备进行校准/检定后，要出具校准证书或检
定证书 ；对某个被测量设备进行测量后，要给出测量结果，按照
iso/iec导则25.45的规定应给出测量不确定度。测量不确定度的
评定，是根据测量方法和测量程序确定被测量与其它量之间的函数
关系，分析不确定度来源，列出不确定度分量清单，最终确定被测
量结果的可信程度的一种方法。
【关键词】 不确定度 自由度 相关系数
一．引言
近年来，国内计量学研究取得一些新进展，名词术语和不确定度
表示趋向国际校准和测试实验室接受权威的认可机构认可，成为国
内同行的资格与能力合格评定手段，测量保证在质量体系中的要素
地位和质量保证中的支撑性地位被世界公认。这些方面的新进展都
体现在相关的国际标准中，也体现在颁布的国家军用标准中，为贯
彻国军标，为使计量工作与国际接轨，计量工作中不确定度评定是
计量工作中的新的发展和变化的需要。
二．评定步骤
为评定测量结果的不确定度或提供测量不确定度评定的报告，一
般可按下列步骤进行：
1.概述
2.建立数学模型
3.输入量的标准不确定度评定，包括标准不确定度的a类评定和
标准不确定度的b类评定。
4.合成标准不确定度的评定
5.扩展不确定度的评定
6.测量不确定度的报告与表示
三．如何建立数学模型
1.根据测量方法和测量程序建立数学模型，即确定被测量y（输出
量）与其它量（输入量）(x1,x2…xn)之间的函数关系：
x= (x1,x2…xn)。
输入量通常是一些直接可测的量，物理量或其它量（如修正值）。
由x1,x2…xn的最佳值 ，可得到y的最佳值y，则y= 。
建立数学模型时，应说明数学模型中的各个量的含义。
2.测量结果y的不确定度将取决于输入量x1,x2…xn的
不确定度及其传播率。应周全地找出这些输入量的不确定度来源，
可从测量仪器，测量环境，测量人员，测量方法，被测量等方面全
面考虑，应做到不遗漏，不重复。
评定y的不确定度之前，为确定y的最佳值，应将所有修正量加
入测得值，并将所有测量异常值剔除。
3.输出量y的输入量x1,x2…xn本身可看作被测量，也
取决于其它量，甚至包括具有系统效应的修正值，从而可能导出一
个十分复杂的函数关系式。在实际测量中，如果修正值本身与合成
标准不确定度比起来很小时，修正量可不加到测量结果中。输入量
及其不确定度来源的考虑应充分满足测量所需求的准确度，同一被
测量y的不同的准确度要求下，其数学模型可能会不完全相同。如
果测量过程比较简单，准确度要求不高，一般所考虑的输入量或影
响量个数较少。
四．输入量的标准不确定度评定
1对于数学模型y=f（x1,x2…xn），输出量y的不确定
度将取决于xi不确定度，即xi不确定度是y的不确定度的
来源，所以在评定输出量y的不确定度之前，首先应评定：输入量
xi的标准不确定度u(xi)。
u(xi)的评定一般应按（x1,x2…xn）依次逐个
评定。每个输入量xi的u（xi）的评定中，可能会有几个独
立无关的不确定度来源，则可以相应作为u（xi）分项。这种情
况应首先评定标准不确定度u（xi）的分项（xij），u
（xi）则为各个u（xij）的合成。
输入量xi的标准不确定度u（xi）及其分项u（xij
）的评定方法可归纳为a、b两类：
a类评定采用对观测列进行统计分析方法，来评定标准不确定度。
b类评定用不同于对观测列进行统计分析的方法，来评定标准不确
定度。
2标准不确定度的a类评定
(1)基本方法:
标准不确定度a类评定的信息来源于对一个输入量x进行多次重
复测量得到的测量列，（x1,x2…xn）采用统计分析方法
计算标准不确定度。
输入量的最佳值等于测量列x1,x2…xn的算术平均值，
在等精度测量下，算术平均值x-为：
测量列的单次实验标准偏差s，通常可采用贝塞尔法计算：s=
测量列的平均值的实验标准偏差s(x-)可按下式计算：s(x
-)=s√n
输入量x的a类标准不确定度 即为测量列的平均值的实验标准
差：
a类标准不确定度u(x)的自由度等于测量列标准差的自由度，用
贝塞尔法计算测量列标准差时，其自由度v=n-1，n为测量列的测
量次数。
2.2在规范化的常规测量中，如计量标准开展的检定项目等。在重
复性条件下或复现性条件下进行的规范化测量，测量结果的不确定
度及其a类标准不确定度也可不一定每一次测量时重新评定，可直
接采用预先评定结果，为提高其可靠性，一般应采用合并样本标准
差。
对于输入量 在重复性下或复现性条件下进行n次x独立测量，得
到x1,x2…xn，其平均值为x-，实验标准差为s，自
由度为v。如果有m组这样的测量，则合成样本差s可按下式计算：
合并样本标准差的自由度 可按下式计算：
；式中vj-m- 组中第j组测量列的自由度。在实际测量中，如
对输入量x仅进行了k次测量（1≤k≤n）以k次测量算术平均值
作为测量结果，则该结果的标准不确定度可为u（x-）=sp√
k，无论实际测量次数 采取多大，其标准不确定度u（x-）的自
由度均等于sp的自由度v。
上述m组测量列应考虑到可能的不同测量点，不同量程测量结果，
如果在不同测量点，不同量程所得到测量列的标准差相差较大或有
一定变化规律时，应按不同测量点，不同量程分段计算sp。
为使所得合并样本标准差sp更能代表日常规范化测量情况，
上述m组测量列还应尽可能考虑到同类型的不同被测情况，如果对
同类型不同被测情况所得测量列标准差较大，就不能使用同一个合
并样本标准差sp，通过试验说明该类型被测不太稳定，需要对
每个被测进行a类评定或在测量要求允许的情况下保守地采用其中
一列标准差最大的测量列，自由度为 n-1，n为该测量列的测量次
数。
合并样本标准差sp只有在同类型被测较稳定，m组测量列的各
个标准差s相差不大情况下，标准差s的不确定度可以忽略时，才
能使用同一个sp。考虑到测量列的标准差s是一个变量，标准
差s的标准差
式中 为测量列中测量次数。
2.3贝塞尔法是计算实验标准差的最常用方法，还有其它计算方
法，如极差法、最大残差法，最小二乘法等。其自由度也有相应的
计算方法。
一般在测量次数较小时可采用极差法。对输入量x进行n次重复
测量，计算测量结果中的最大值与最小值之差的r（称为极差），在
x可以估计接近正态分布的情况下，单次测量结果xi的实验标
准差 s可以按下式近似地评定：
s=rc
系数 及自由度如下表所示：
2.4涉及到的几个概念
(1)（测量结果）重复性在相同测量条件下，对同一被测量连续进
行多次测量所得结果之间的一致性。
这些相同的条件称为重复性条件，包括：相同的测量程序，相同
的观测者，在相同条件下使用相同测量器具，相同地点和在短期内
进行重复测量，可以用测量结果的分散性定量地表示。
(2)（测量结果）复现性:在变化的测量条件下，同一被测量的测
量结果之间的一致性。变化的测量条件包括：测量原理，测量方法，
观测者，测量器具，参照标准，测量地点，使用条件和测量时间，
可用测量结果的分散性定量表示。
(3)自由度:在方差的计算中，和的次数减去对和的限制数。
3标准不确定度的b类评定
3.1采用标准不确定度b类评定的信息来源一般有：
a．校准证书，检定证书或其它文件提供的数据准确度等级，包括
目前使用的极限误差等。
b．生产部门的技术说明书。
c．以前测量的数据和经验。
d．对有关测量仪器性能或材料掌握的知识。
e．手册或有关资料给出的数据及其不确定度。
3.2基本方法
对于以上信息来源的不确定度的b类评定，可以根据所提供的信
息，先确定（找出）其输入量x的不确定度区间［-α ，α］或误
差的范围，其中α为区间的半宽度。然后根据该输入量x在不确定
度区间［-α，α］内的概率分布情况确定包含因子kp，则按下式，
可计算得b类标准不确定度 u（x）= akp
包含因子kp的确定一般有以下几种方法：
a．服从正态分布
b．服从其他分布
c．不能确定分布情况，可认为服从均匀分布的假设取包含因子为
√3。
3.3输入量 由完善的校准证明书或检定证书等技术文件给出，同
时也给出了x的不确定度u(x)及k值，标准不确定度 =u(x)u(x)k 。
3.4输入量 的分散区间为［α-α+］ ,且相对于最佳估计值
并不对称的情况下，则半宽度α= (α+-α-)/2，缺乏 在区间
内的分布信息，则可按均匀分布处理。标准不确定度u(x)可按下式
计算：u(x)=(a+-α)/2√3 = /2 。
3.5对于数字显示式测量仪器，如其分辨率为x，则由此引起
的标准不确定度为 u(x)=0.29x。
3.6 b类评定的自由度
b类评定的标准不确定度u(x)的自由度可按下式近似计算得：v=12
［△u(x)u(x)］-2
根据经验，按所依据的信息来源的可信程度可估计u(x)的相对标
准不确定度［△u(x)u(x)］，然后按上式计算。
五．合成标准不确定度的评定
1灵敏系数
对于数学模型y=f(x1,x2…xn)
fxi是在xi=xi 时导出的这些偏导数称为灵敏系
数，符号为ci，即 =fxi
灵敏系数反映了输出量y的估计值y如何随输入量估计值x1,x
2…xn的变化而变化，即ci描述了当xi变化一个单
位时，引起y的变化量。
2标准不确定度汇总表
在标准不确定度合成之前，应将所有a类评定和b类评定得到的
标准不确定度按下表格形成汇总表，以便统揽和审核各输入量的标
准不确定度的情况。
标准不确定度汇总表
3合成标准不确定度的计算
合成标准不确定度按输出量y的估计值y给出的符号为uc(y)。
当全部输入量是彼此独立或不相关时，合成标准不确定度uc(y)
的方差可按下式得出：
标准不确定度u(xi)既可以按a类，也可以按b类方法评定。u
c(y)是估计的标准差，表征合理赋予被测量y之值的分散性。
4当输入量xi之间明显相关时，就必须考虑相关性。当所有输
入量xi都相关，且相关系数y(xi,xi) =1相关情况下，
合成标准不确定度应为：
5合成标准不确定度自由度的计算
六．扩展不确定度的评定
扩展不确定度分为两种表示形式：up和u
1扩展不确定度up可由下式计算：
up=kpuc（y） 与y的分布有关
2扩展不确定度u可由下式计算
u =kuc（y） 一般取2～3
七．测量不确定度的报告与表示
当给出完整的测量结果时，一般应报告其测量不确定度。
1报告测量不确定度时应尽可能详细，以使使用者可以正确地利用
测量结果：
报告扩展不确定度u时，应同时报告包含因子k
报告扩展不确定度up时，应同时报告包含因子kp及v
sff、p。
2报告合成标准不确定度或扩展不确定度的有效位数最多为两位
有效数字。在连续（中间）计算中，为避免修改误差可保留多一些
有效数字，最终报告不确定度时，其末位后面的数按数据修约规则
进行（以保留数字的末位为单位：①末位后的数大于0.5者，末位
进一；②末位后的数小于0.5者，末位不变；③末位后的数恰为0.5
者，末位变成偶数，即末位为奇数时进一成偶数，当末位为偶数时
舍去该0.5仍保持偶数。）。
对报告的测量结果，需将其修约至与其不确定度有效位数一致（即
报告测量结果的有效数字末位与其不确定度末位”数位”上应一
致）。
八．结束语
测量不确定度是经典的误差理论发展和完善的产物，目的是为了
澄清一些模糊的概念和便于使用，因为它比经典的误差表示方法更
为科学和实用，在出具校准证书，测试报告和技术报告中涉及到测
量结果时规定一律使用测量不确定度来表述。
参考文献
［1］ jjf1059-1999中华人民共和国国家计量技术规范《测量不
确定度评定与表示》
［2］ gjb3756-1999中华人民共和国国家军用标准《测量不确定
度的表示及评定》